Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade

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1 Controle Estatístco de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do montoramento de mas de uma característca de qualdade Docentes: Maysa S. de Magalhães; Lnda Lee Ho; Antono Fernando B. Costa. João Pessoa, a 5 de Setembro 8

2 Prefáco O montoramento de um processo é feto com base nas nformações de uma, ou de mas de uma característca de qualdade, que são seleconadas de acordo com as especfcações do produto. Por exemplo, saqunhos de lete devem conter entre 985 ml e 5 ml; um saqunho de lete com menos de 985 ml gera multa a empresa, e com mas de 5 ml tem rsco de estourar durante o manuseo e transporte. Neste caso, a característca de qualdade de nteresse é a quantdade de lete dentro do saqunho e a mssão do montoramento é manter as varações de dentro de níves que não comprometam as especfcações. A varável é também chamada de varável de montoramento. Pos bem, para obter os valores de, defronta-se prmero com a questão da precsão do sstema de medção e, em seguda, com a questão da correlação entre e +, onde o sub índce () é o número do tem, de acordo com a seqüênca de produção. As notas deste mn-curso são consttuídas de cnco seções, a prmera parte destas notas é uma revsão das propredades dos gráfcos de Shewhart; a segunda parte é dedcada ao estudo dos gráfcos de Shewhart, mas especfcamente do gráfco de, na presença de erros de mensuração e da autocorrelação entre valores de. A tercera e quarta seções são dedcadas ao montoramento de processos multvarados; são dstntas uma da outra, por tratarem de varáves contínuas e dscretas, respectvamente e por fm comentáros fnas são fetas na últma seção. Este mn-curso trata, portanto, de pesqusas recentes na área de Controle Estatístco de Processos, que abordam a questão da autocorrelação dos dados, do erro de mensuração e do montoramento smultâneo de váras característcas de qualdade. Maysa Sacramento de Magalhães; Lnda Lee Ho; Antono Fernando Branco Costa. Setembro 8 João Pessoa, a 5 de Setembro 8

3 Conteúdo SEÇÃO UM:... 5 REVISÃO DAS PROPRIEDADES DOS GRÁFICOS DE SHEWHART INTRODUÇÃO ALARME FALSO NO GRÁFICO DE PODER DO GRÁFICO DE... REFERÊNCIA... SEÇÃO DOIS... 3 ERRO DE MENSURAÇÃO E DADOS AUTOCORRELACIONADOS INTRODUÇÃO ERRO DE MENSURAÇÃO DADOS AUTO CORRELACIONADOS ERRO DE MENSURAÇÃO COM DADOS AUTOCORRELACIONADOS... 5 REFERÊNCIAS... 7 SEÇÃO TRÊS:... 8 PROCESSOS MULTIVARIADOS - VARIÁVEIS CONTÍNUAS INTRODUÇÃO O VETOR DE MÉDIAS E A MATRIZ DE COVARIÂNCIAS AMOSTRAIS GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O MONITORAMENTO DO VETOR DE MÉDIAS GRÁFICOS DE CONTROLE PARA O MONITORAMENTO DA MATRIZ DE COVARIÂNCIAS João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

4 REFERÊNCIAS SEÇÃO QUATRO PROCESSOS MULTIVARIADOS-VARIÁVEIS DISCRETAS INTRODUÇÃO DISTRIBUIÇÃO POISSON BIVARIADA UMA BREVE REVISÃO GRÁFICOS DE CONTROLE PARA OBSERVAÇÕES INDIVIDUAIS DE UM PROCESSO DE POISSON BIVARIADO EEMPLO NUMÉRICO CONSIDERAÇÕES FINAIS REFERÊNCIAS APÊNDICE SEÇÃO CINCO: COMENTÁRIOS FINAIS João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

5 Seção UM: Revsão das propredades dos gráfcos de Shewhart. Introdução Antes de se pensar em controlar um processo é precso prmero estudar o comportamento da característca de qualdade a ser montorada; para sto é precso que o sstema de medção seja confável. Erros de mensuração bem como a correlação em sére entre valores da varável, que compõem os subgrupos raconas, comprometem o desempenho dos gráfcos de controle. Para lustrar o efeto do erro de mensuração e da autocorrelação das observações no desempenho dos gráfcos de controle, seja o gráfco de. Nesta seção é feta uma revsão das propredades dos gráfcos de para dados ndependentes e sem erros de mensuração. A próxma seção estende os resultados, ncorporando os erros de mensuração e a autocorrelação. Quando o gráfco de está em uso, montorando um processo, amostras de tamanho n são retradas a cada h horas, e o valor calculado da estatístca para cada amostra é plotado no gráfco de controle. Este dspostvo estatístco pode ser vsto como uma seqüênca de testes de hpóteses, onde, a cada h horas, testamos sempre as mesmas hpóteses: H : Processo em controle H : Processo fora de controle Outras maneras de descrever as hpóteses H e H são: H : Processo ajustado H : Processo desajustado João Pessoa, a 5 de Setembro 8 5

6 ou H : Processo centrado no valor-alvo ou ou, anda, H : Processo não centrado no valor-alvo H : Processo lvre de causas especas H : Processo sob a nfluênca de causas especas H : µ = µ H : µ µ onde µ é o valor-alvo ou o valor médo em controle da varável aleatóra. A hpótese H é aceta como verdadera todas as vezes que o valor de car dentro dos lmtes de controle. Já a hpótese H é aceta como verdadera sempre que o valor de car fora dos lmtes de controle. Se o processo estver em controle ( H verdadera), α representa o rsco (probabldade) de erroneamente se consderar o processo fora de controle ( alarme falso ). Se o processo estver fora de controle ( H verdadera), β representa o rsco (probabldade) de erroneamente se consderar o processo em controle ( não-detecção ). A conseqüênca de ordem prátca assocada ao erro do tpo I (alarme falso) é ntervr no processo na hora errada, quando o mesmo está sento de causas especas (o que em s já acarreta um custo de nterrupção do processo, de mão de obra além de um rsco de desajustar um processo que estava ajustado); e a conseqüênca de ordem prátca assocada ao erro do tpo II (não detecção) é não ntervr no processo na hora certa, quanto o mesmo está sob a nfluênca de causas especas. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 6

7 Dado que o processo é consderado em controle ( H verdadera ) quando ca dentro dos lmtes do gráfco e fora de controle ( H falsa ) quando está fora dos lmtes do gráfco, as probabldades de alarme falso (α ) e de não-detecção ( β ) são dadas por: onde LIC e α Pr[ > LSC ou < LIC µ = µ ] = β = Pr[ LIC < < LSC µ µ ] LSC são respectvamente os lmtes nferor e superor de controle do gráfco de controle. O poder do gráfco de controle, Pd, é defndo como sendo a probabldade de detecção (Pd=-β). Assume-se que as causas especas não alteram o desvo padrão da varável aleatóra.. - Alarme Falso no Gráfco de Quando a hpótese H é a hpótese verdadera (processo sento de causas especas) o deal é que todos os pontos caam dentro dos lmtes de controle do gráfco. Contudo, por tratar-se de um teste estatístco, exste o rsco α de um deles car fora dos lmtes. Quando sto acontece, tem-se alarme falso: um snal ndevdo de que o processo está sob a nfluênca de alguma causa especal, portanto demandando ajustes. Devdo a esse snal, nterfere-se no processo na hora errada, ou seja, quando o mesmo se encontra no mas perfeto estado de controle (com a dstrbução da característca de qualdade estável e ajustada no alvo, µ = µ ). A Fgura retrata a ocorrênca de um alarme falso. Nessa fgura, a hpótese H é verdadera, pos a méda µ da varável aleatóra é gual ao valor-alvo µ. Para se calcular o rsco α probabldade de alarme falso é necessáro conhecer a dstrbução da varável aleatóra. Na verdade, graças ao Teorema do Lmte Central, para João Pessoa, a 5 de Setembro 8 7

8 uma grande varedade de dstrbuções de, a dstrbução de tenderá, com boa precsão, a uma dstrbução normal, mesmo para amostras pequenas. Defnndo a varável aleatóra Z como: Z = µ esta terá dstrbução normal com méda µ = e desvo padrão =. Quando o processo está em controle, µ = µ =. n e Z Z ~ N( µ ; ) ~ N( µ ; / n) LSC = µ + 3 / n Alarme falso LM = µ LIC = µ 3 / n Mnutos Fgura : Gráfco de ocorrênca de um alarme falso (Extraída da Fgura 3.7 do lvro de Costa, Epprecht e Carpnett, 5) João Pessoa, a 5 de Setembro 8 8

9 Tradconalmente, os lmtes de controle do gráfco de são estabelecdos usando os valores em controle dos parâmetros do processo, µ e a ±3 desvos padrão amostras da lnha méda (LM= µ ), ou seja, em µ ± 3 ; ver Fgura. Se o processo estver em n controle, a probabldade de um ponto car fora dos lmtes de controle assm localzados é gual a α = Pr[ > LSC ] + Pr[ < LIC ] = = Pr Z > LSC µ + Pr Z < LIC µ Substtundo LSC por µ + 3, LIC por µ 3, e (já que está supondo o processo em controle) µ por µ e por =, chega-se, após smplfcações n medatas, a α = Pr[ Z > 3] Para z=3, o rsco α é gual a,7. Então, durante o período em que o processo permanece estável e ajustado, portanto sob controle, essa é a probabldade de o valor de car na regão de ação do gráfco (acma do LSC ou então, abaxo do LIC ); ou seja, é a probabldade que cada amostra tem de gerar um alarme falso. A dstrbução do número de amostras, L, que antecedem um alarme falso (nclundo a amostra que gera o alarme falso) segue uma dstrbução geométrca de parâmetro p=α cuja função de probabldade é dada por Pr[ L = d] = p( p) d, d=,, 3, João Pessoa, a 5 de Setembro 8 9

10 Por exemplo, na Fgura temos L=7. A méda da dstrbução geométrca é gual a /p, portanto o número médo de amostras (NMA) até um alarme falso é gual a / α. Em outras palavras, com lmtes de 3 desvos padrão, tem em méda um alarme falso a cada (/,7) = 37,4 pontos plotados. Caso o usuáro consdere esta freqüênca de alarmes falsos nacetável, uma alternatva consste em alargar os lmtes de controle, por exemplo, aumentar k de 3, para 3, (k é o fator de abertura dos lmtes de controle, ou seja, LIC = µ k e n LSC = µ + k ). Com k=3,, o rsco de alarme falso dmnu para,9 e o NMA aumenta n para 56,7. O rsco α é função apenas do fator de abertura dos lmtes de controle, k. α = Pr[ Z > k]. Poder do Gráfco de Quando a hpótese H é a hpótese verdadera (processo sob a nfluênca de causas especas), o deal sera que o prmero ponto plotado já caísse fora dos lmtes de controle (snalzando o estado de falta de controle). Contudo, sto nem sempre ocorre, em especal se o deslocamento sofrdo pela méda do processo for pequeno. É usual expressar este deslocamento em undades guas ao desvo padrão da varável, de forma que o novo valor da méda, µ, pode ser escrto como µ = µ + δ, portanto µ µ =. δ De um modo geral, se δ, 5, então rapdamente um valor de cará fora dos lmtes de controle. Caso contráro, exstrá uma certa nérca. Por exemplo, na Fgura, o snal só João Pessoa, a 5 de Setembro 8

11 ocorre quando o 5º valor de é plotado. Nessa fgura, a hpótese H é verdadera porque a méda µ da varável é dferente de µ ; na verdade, ela é gual a µ + δ por:. A probabldade de um valor de car acma do Lmte Superor de Controle é dada Pr[ > LSC] = Pr[ Z > Z ], LSC onde Z LSC ( LSC µ ) [ µ + k ( µ + δ )] = = = k δ n, e a probabldade de um valor de car abaxo do Lmte Inferor de Controle (LIC) é dada por: Pr[ < LIC] = Pr[ Z < Z ], LIC onde Z LIC ( LIC µ ) = = [ µ k ( µ + δ )] = k δ n. Como Pr[Z>z]=Pr[Z<-z], (e portanto Pr[Z>LSC]=Pr[Z<-LSC]), tem-se Pd = Pr[ Z < k + δ n] + Pr[ Z < k δ n]. A dstrbução do número de amostras, M, que antecede um alarme verdadero (nclundo a amostra que gerou o snal, ou seja, a amostra cujo valor não pertence ao ntervalo delmtado pelos lmtes de controle) segue uma dstrbução geométrca de parâmetro p=(pd), cuja função de probabldade é dada por Pr[ M = m] = p( p) m, m=,, 3, João Pessoa, a 5 de Setembro 8

12 N( µ ; ) ~ N( µ + δ; / ~ n ) LSC = µ + 3 / n Alarme verdadero LM = µ δ = µ µ + δ LIC = µ 3 / n Mnutos Fgura : Gráfco de ocorrênca de um alarme verdadero (Extraída da Fgura 3. do lvro de Costa, Epprecht e Carpnett, 5) Por exemplo, na Fgura, temos M=5. A méda da dstrbução geométrca de parâmetro p é gual a /p, portanto o número médo de amostras (NMA) que antecedem um alarme verdadero é gual a /(Pd). Referênca COSTA, A.F.B.; EPPRECHT E.K.; CARPINETTI, L.C.R. Controle Estatístco de Qualdade.. ed. São Paulo: Edtora Atlas, p. João Pessoa, a 5 de Setembro 8

13 Seção DOIS Erro de mensuração e dados autocorrelaconados. Introdução Os gráfcos de controle foram ntroduzdos por Shewhart que, em um prmero momento, supôs um sstema de medção sento de erros e uma varável de montoramento gerando observações ndependentes. Nesta seção, os efetos do erro de mensuração e/ou da autocorrelação no desempenho do gráfco de controle serão nvestgados.. Erro de Mensuração É mportante salentar que estudos de Repetbldade e Reprodutbldade devem anteceder até mesmo as nvestgações prelmnares do comportamento da varável de montoramento. Nesta seção, alguns comentáros sobre o efeto do erro de mensuração no desempenho do gráfco de controle serão fetos. Para tanto, consdere uma amostra de tamanho n em que cada tem é meddo m vezes formando o segunte conjunto de observações: + e + e... n + e n + e + e... n + e n e m + e m... n + e nm João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

14 Devdo ao erro de medção, o valor exato,, da característca de qualdade é acompanhado de um erro e j. Deste modo, a característca de qualdade de um mesmo tem pode ter m dferentes valores: + e, + e,.., + em. A méda amostral é dada por m( = nm n m n ) + e j j= = Sejam o desvo padrão do processo e m o desvo padrão do erro de mensuração. Se as observações de não forem autocorrelaconadas e os erros de mensuração e j forem ndependentes de, então: ( ) = + m n m Neste caso, os lmtes de controle do gráfco da méda são dados por LC = µ ± k + m m n / Para ~ N( µ ; ) e e N(; ) o poder de detecção é dado por: ~ m P = Φ( k Cδ n) + Φ( k + Cδ n) d onde C = m + ( m = m m / ) m + C e Φ(.) denota a função acumulada de dstrbução normal padrão. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

15 A constante C assume valores entre e. Quando C=, não se tem erro de mensuração. O gráfco de controle perde poder de detecção à medda que C dmnu. Na Tabela, estão valores de C para m= e 4 e C = = ;,;,3;,5 e,. Quando m=, cada m tem é meddo uma únca vez, e quando C =, não exste erro de mensuração. C Tabela. Valores de C C m= m=4,,995,9988,3,9578,9889,5,8944,97,,77,8944 O erro de mensuração pode ser mnmzado pela repetção da medda de um mesmo tem (m>). Por exemplo, quando o erro de mensuração corresponde a 3% da varabldade m do processo ( =,3), tem-se para m= um valor de C=,9578 e para m=4 um valor de C=,9889, sto é, medndo um mesmo tem quatro vezes o valor de C fca mas próxmo da undade, que é quando o erro de mensuração dexa de exstr. O gráfco da Fgura 3 lustra o efeto do erro de mensuração no desempenho do gráfco da méda. Por exemplo, quando a causa especal desloca a méda de um desvo padrão, sem o erro de mensuração o NMA= 6,3; já supondo que a varabldade do nstrumento de medda seja m da mesma ordem da varabldade do processo ( =,), o NMA aumenta assustadoramente, NMA=7,7. Este aumento é mnmzado quando o mesmo tem é meddo váras vezes. De acordo com a Fgura 4, se um mesmo tem é meddo quatro vezes (m=4), o NMA se reduz de 7,7 para 8,9. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 5

16 Nos estudos de Repetbldade e Reprodutbldade, um nstrumento de medda é consderado aproprado quando a sua varabldade não exceder de 3% da varabldade do processo ( C <,3). Nestes casos, o efeto do erro de mensuração no desempenho do gráfco é pequeno (sto é percebdo nas Fguras 3 e 4, pela proxmdade das lnhas correspondentes a C = e C =,3). NMA C= C=,3 C=, Escala logarítmca,5,75,5,5,75 δ Fgura 3. Efeto do erro de mensuração no NMA, m=, n=4. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 6

17 NMA C= C=,3 C=, Escala logarítmca,5,75,5,5,75 δ Fgura 4. Efeto do erro de mensuração no NMA, m=4, n=4.. Dados Auto correlaconados Para se utlzar um gráfco de controle convenconal (de Shewhart) é necessáro que as observações da característca de qualdade de nteresse sejam ndependentes e normalmente dstrbuídas. Satsfetas estas condções, então é possível fazer uso destes dspostvos estatístcos para tomar decsões sobre o estado do processo: se em controle ou se fora de controle. Se a hpótese de normaldade for lgera ou moderadamente volada, anda assm os gráfcos convenconas funconam razoavelmente bem; entretanto, quando os valores da característca de qualdade possuem alguma nterdependênca, ou autocorrelação, mesmo que João Pessoa, a 5 de Setembro 8 7

18 em grau relatvamente pequeno, o rsco α probabldade de uma observação car fora dos lmtes do gráfco, com o processo em controle aumenta, e compromete a credbldade deste dspostvo pela ocorrênca de um número elevado de alarmes falsos. De fato, Shewhart, ao crar os gráfcos de controle, estava destnando-os à ndústra de partes dscretas, com quase ou nenhum grau de automação. Em tas processos, a condção de ndependênca das observações geralmente era satsfeta. Hoje em da, porém, processos contínuos e por batelada são extremamente freqüentes, prncpalmente (embora não exclusvamente) na ndústra químca e na ndústra metalúrgca. Tas processos raramente produzem observações ndependentes, de modo que não podem ser montorados pelos gráfcos de controle convenconas. Esse problema não se restrnge a processos contínuos e por batelada: processos dscretos altamente automatzados, freqüentes hoje em da, também costumam produzr dados autocorrelaconados. É, portanto mportante antes de ncar o montoramento de um processo, dentfcar se ele produz observações ndependentes ou se é autocorrelaconado, pos um gráfco de controle nadequado, que produza alarmes falsos em excesso, acabará sendo descartado, ou por, mantdo apenas para cumprr alguma exgênca formal; os alarmes são smplesmente gnorados pelo pessoal envolvdo com o processo. O exemplo a segur fo extraído do lvro de Costa, Epprecht e Carpnett (5). A coluna da Tabela regstra os valores de 5 medções sucessvas (espaçadas de 3 mnutos) da temperatura de um banho químco, cujo valor-alvo é 5 C. A prmera medda fo efetuada às 8:h, a segunda, às 8:3h, e assm por dante. Para melhor vsualzação, a Fgura 5 apresenta o gráfco da temperatura do banho químco em função do tempo. As demas colunas da Tabela foram construídas deslocando as observações da o coluna: o º elemento da ª coluna é o º elemento da ª coluna, o º elemento da 3ª coluna é o º elemento da ª coluna, que por sua vez é o 3º elemento da ª coluna, e assm por dante. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 8

19 Tabela. Sére de Meddas da Temperatura de um Banho Químco. x x + x + x +3 x +4 x +5 x +6 x +7 37,59 34,4 33,66 37,4 3,54 33,7 35, 3,36 34,4 33,66 37,4 3,54 33,7 35, 3,36 9, 3 33,66 37,4 3,54 33,7 35, 3,36 9, 3, ,4 3,54 33,7 35, 3,36 9, 3,97 7, 5 3,54 33,7 35, 3,36 9, 3,97 7, 9,4 6 33,7 35, 3,36 9, 3,97 7, 9,4 7, , 3,36 9, 3,97 7, 9,4 7,65 6, ,5 9,59 8,78 6,59 6,9 5,98 5, 9,9 4 9,59 8,78 6,59 6,9 5,98 5, 9,9 9, ,78 6,59 6,9 5,98 5, 9,9 9,95 3, ,59 6,9 5,98 5, 9,9 9,95 3, ,9 5,98 5, 9,9 9,95 3, ,98 5, 9,9 9,95 3, , 9,9 9,95 3, ,9 9,95 3, ,95 3,64 5 3,64 Temperatura Número da Medda Fgura 5. Sére de Meddas da Temperatura do Banho Químco. A Tabela 3 apresenta os coefcentes de autocorrelação amostral r k para a defasagem k=,,... Observe que exste uma correlação postva muto alta entre os valores das colunas João Pessoa, a 5 de Setembro 8 9

20 e + ( r =,893). Este nível de correlação é alto, o sufcente para comprometer o desempenho do gráfco de controle de Shewhart; uma alta autocorrelação postva provoca freqüentes alarmes falsos. Tabela 3. Coefcentes de autocorrelação amostral k r k k r k,893 7,465,793 M M 3,74 5,7 4,638 6,94 5,588 M M 6,57 M M Costa, Epprecht e Carpnett (5) apresentam maneras de se controlar processos quando os valores da varável de montoramento são autocorrelaconados. Nenhuma delas, contudo, é estabelecda com base em uma expressão matemátca da forma como as observações se relaconam como, por exemplo, a que segue: µ = φ( µ ) + e, =,,.., = µ, e e N( ) ~, e A expressão acma representa o modelo autoregressvo de prmera ordem AR (). Em mutos processos ndustras os valores da característca de qualdade, meddas no tempo, se ajustam a um modelo AR (). Nesta seção, nvestga-se como é o desempenho do gráfco de controle de médas quando os valores de não são ndependentes, mas descrtos por um modelo AR (). Para o modelo AR(), a varânca do processo e do erro tem a segunte relação: = e /( φ ). Aqu, assume-se que o ntervalo entre retrada de amostras é sufcentemente espaçado para garantr que os valores de de uma amostra são ndependentes dos valores de da amostra anteror. Para exemplfcar consdere o caso em que n=3: João Pessoa, a 5 de Setembro 8

21 = µ + e = µ + φ( µ + e ) = µ + φ( µ + e 3 ) 3 Segue que 3 + 4φ + φ 9 ( ) = = 3C A Tabela 4 apresenta as expressões de nc para n=, 3, 4, 5, 6. A constante C assume valores entre e. Para φ= as observações de tornam-se ndependentes e C =. Tabela 4. Expressões de nc n nc + φ φ + φ 4 + 6φ + 4φ + φ 5 + 8φ + 6φ + 4φ + φ 6 + φ + 8φ + 6φ + 4φ + φ Os lmtes de controle do gráfco da méda são dados por e o poder de detecção por: LC = µ ± k C n P d = Φ( k C δ n) + Φ( k + Cδ n ) João Pessoa, a 5 de Setembro 8

22 O gráfco de controle perde poder de detecção à medda que C dmnu. Na Tabela 5 estão os valores de C para n=4, 5 e φ=;,;,5;,7. Tabela 5. Valores de C. φ C n=4 n=5,,8658,8579,5,6963,674,7,679,56995 O gráfco da Fgura 6 lustra o efeto da autocorrelação no desempenho do gráfco da méda. Por exemplo, quando a causa especal desloca a méda de um desvo padrão e as observações são ndependentes, o NMA= 6,3. Supondo agora que as observações de são descrtas por um modelo autoregressvo de prmera ordem AR () com φ=,5, o NMA aumenta assustadoramente, NMA=8,5. Uma manera de se reduzr o efeto da autocorrelação no desempenho do gráfco de controle consste em se espaçar as observações. Por exemplo, ao nvés de formar a amostra com quatro tens produzdos na seqüênca, seleconam-se sete tens, e forma-se a amostra com o prmero, o tercero, o qunto, e o sétmo tens. Suponha, por exemplo, que a cada mea hora uma amostra é extraída do processo, então o prmero tem produzdo na mea hora rá fazer parte da amostra, o segundo não, o tercero sm, o quarto não, o qunto sm, o sexto não e o sétmo sm. Esta forma de composção da amostra será denomnada de composção C. Com sto tem-se um novo valor para a autocorrelação φ = φ. Caso sejam seleconados dez tens, e a amostra seja consttuída pelo prmero, quarto, sétmo e décmo tens, o novo valor da autocorrelação será φ = φ. Esta forma de composção da amostra será denomnada de C 3 C João Pessoa, a 5 de Setembro 8

23 composção C. A composção amostral C é a usual em que os tens da amostra são tens que foram produzdos um após o outro, na seqüênca, portanto a autocorrelação é dada por φ. NMA φ= φ =, φ =,5 φ=,7 Escala logarítmca,5,75,5,5,75 δ Fgura 6. Efeto da autocorrelação no NMA, n=4. O gráfco da Fgura 7 lustra a melhora no desempenho do gráfco de controle quando a composção C é substtuída pelas composções C ou C. O NMA se reduz de 8,5 para, e 8,4 respectvamente. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

24 Dados ndependentes, sem correlação composção C, correlação=,5 Composção C, correlação=,5 NMA Composção C, correlação=,5 Escala logarítmca,5,75,5,5,75 δ Fgura 7. Efeto da composção da amostra no NMA, n=4. Artgos recentes de Costa e Claro (8); Claro, Costa e Machado (7) tratam do montoramento de processos autocorrelaconados. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

25 .3. Erro de mensuração com dados autocorrelaconados Para lustrar o efeto da autocorrelação, combnado com o erro de mensuração, no desempenho do gráfco de, consdere novamente o modelo autoregressvo de prmera ordem AR(). µ = φ( µ ) + e, =,,..; = µ, e e N( ). ~, e Neste caso, como já vsto, a varânca de é dada por: ( ) = nc Na Tabela 4 estão as expressões de nc para n=, 3, 4, 5, 6. Com a adção do erro de mensuração a expressão da varânca de passa a ser C ( ) = = n + C m nc 3 com C =. Portanto m P d = Φ k C δ n) + Φ( k + C δ ). ( 3 3 n A constante C 3 assume valores entre e. Quando C 3 =, não se tem erro de mensuração e as observações de são ndependentes. O gráfco de controle perde poder de detecção à medda que C 3 dmnu. Na Tabela 6 estão os valores de C 3 para m=, n=4, φ=,;,5 e,7 e C =,3;,5 e,. E o gráfco da Fgura 8 lustra o efeto no desempenho do gráfco de controle da méda da autocorrelação combnada com o erro de mensuração. Por exemplo, quando a causa especal João Pessoa, a 5 de Setembro 8 5

26 desloca a méda de um desvo padrão, sem o erro de mensuração e observações ndependentes o NMA= 6,3; por outro lado quando a varabldade do nstrumento de medda é equvalente a 3% da varabldade do processo ( C =,3), o NMA para dados autocorrelaconados (φ=,5) e sem replcações (m=) aumenta assustadoramente, NMA=9,7. Tabela 6. Valores de C 3. φ C,3,5,,,835,79,653,5,686,6576,574,7,5975,58,59 NMA C= C=,3 C=, Escala logarítmca,5,75,5,5,75 δ Fgura 8. Efeto da autocorrelação e do erro de mensuração no NMA. (n=4, m= e φ=,5) João Pessoa, a 5 de Setembro 8 6

27 Referêncas CLARO, F. A. E.; COSTA, A.F.B.; MACHADO, M. A. G. Gráfcos de controle de EWMA e para montoramento de processos autocorrelaconados. Produção, v. 7, p , 7. COSTA, A. F. B.; CLARO, F. A. E. Double samplng control chart for a frst-order autoregressve and movng average process model. The Internatonal Journal of Advanced Manufacturng Technology, n press, 8. COSTA, A.F.B.; EPPRECHT E.K.; CARPINETTI, L.C.R. Controle Estatístco de Qualdade.. ed. São Paulo: Edtora Atlas, p. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 7

28 Seção TRÊS: Processos multvarados - Varáves contínuas 3. Introdução Até agora foram dscutdos os gráfcos de controle unvarados. Porém, o aumento da complexdade e dos níves de automação dos processos ndustras e a crescente dsponbldade de suporte computaconal, têm aumentado o nteresse pelo montoramento smultâneo de váras característcas de qualdade, também chamadas de varáves do processo. Pouco a pouco as novas estratégas de montoramento para processos unvarados estão sendo estenddas ao montoramento de processos multvarados. Antes de dscutr as estratégas de montoramento para processos multvarados, algumas notações e defnções de vetores aleatóros, matrzes de covarânca e de correlação utlzados no controle estatístco de processos multvarados serão apresentados. 3. O vetor de médas e a matrz de covarâncas amostras Seja um vetor contendo p componentes, onde cada componente é uma varável aleatóra, sto é, é uma varável aleatóra onde =,,..., p. Então, é chamado de vetor aleatóro e é denotado por: = M p João Pessoa, a 5 de Setembro 8 8

29 O vetor transposto de vetor aleatóro é denotado por = [ 3... p ]. O vetor µ = E( ) é chamado de vetor de médas do vetor = [ 3... p ], sendo E( ) E( ) µ µ µ = E( ) = = µ p E( p ) onde µ = E ) denota a méda, ou esperança, da varável aleatóra, =,,..., p. ( A varânca do -ésmo componente do vetor é denotada por Var( ) = =. O desvo-padrão é denotado por ou e fornece a nformação sobre a dspersão dos valores das varáves em relação a µ, sto é, ndca se os valores de estão próxmos ou dstantes da méda µ. Assm, valores grandes de ndcam uma maor dspersão de valores de em relação à méda µ. A covarânca entre os valores da -ésma e j-ésma varáves do vetor é defnda por: Cov, ) = = E[( µ )( µ )] ( j j j j A covarânca serve para medr o grau de relaconamento lnear entre duas varáves aleatóras. De acordo com a expressão acma, quando os valores de acma (abaxo) da méda µ tendem a estar assocados aos valores de j acma (abaxo) da méda µ j, a covarânca jtende a ser postva. Portanto, à medda que a varável cresce (decresce) numercamente, a varável j também cresce (decresce) lnearmente. Quando os valores de acma da méda µ tendem a estar assocados com valores de j abaxo da méda µ j, ou vce-versa, a covarânca j tende a ser negatva. Neste caso, à medda que a varável cresce (decresce) numercamente, a varável j decresce (cresce) lnearmente. Embora a covarânca tenha nformação sobre o relaconamento lnear entre duas varáves, é dfícl julgar se a relação é João Pessoa, a 5 de Setembro 8 9

30 forte ou não, observando-se apenas os seus valores numércos uma vez que não se tem um valor de referênca mínmo ou máxmo para comparação dos valores j. Assm, uma medda mas útl na prátca é a correlação. (Mngot, 5). É prátca comum apresentar os valores de j em uma matrz chamada matrz de covarâncas. A matrz de varâncas e covarâncas do vetor aleatóro é denotada por: L p p Cov( ) L = Σ p x p =. M M O M p p L pp 8 A título de lustração, a matrz Σx = 5 representa a matrz de covarâncas de um vetor aleatóro = [ ], tal que = = 8; = = 5; = = -. O coefcente de correlação entre a -ésma e j-ésma varáves do vetor é defndo por: j j ρ j = = jj j onde ρ, =,,..., p. A correlação é uma medda mas adequada para avalar o j grau de relaconamento lnear entre duas varáves quanttatvas do que a covarânca, pos seus valores estão sempre entre - e. Assm quanto mas próxmo de, maor é o relaconamento lnear postvo entre as varáves e j e quanto mas próxmo de -, maor o relaconamento lnear negatvo entre as varáves. Uma correlação próxma de zero é uma ndcação numérca de um não-relaconamento lnear entre as varáves em questão. Quando se têm mutas varáves, o procedmento mas comum é apresentar os valores de ρ j em uma matrz chamada de matrz de correlação. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

31 3. Gráfcos de controle para o montoramento do vetor de médas Desde que fo crado, o gráfco de controle baseado na estatístca T para o montoramento de processos multvarados (Hotellng, 947) passou a ser o dspostvo estatístco mas usual no montoramento do vetor de médas de duas ou mas característcas de qualdade. O gráfco de controle T é utlzado no montoramento smultâneo de p varáves de nteresse. Quando o vetor das médas e a matrz de covarâncas, µ e Σ, de um processo p- varado dstrbuído normalmente são conhecdos, a estatístca amostra é dada por: T ( µ ) Σ ( µ ) = n, T de Hotellng para a -ésma onde n é o tamanho da -ésma amostra e é o vetor das médas amostras dos p parâmetros para a amostra. Quando o processo está sob controle, T segue uma dstrbução de ququadrado com p graus de lberdade. Uma dfculdade encontrada ao se ldar com qualquer gráfco de controle multvarado é a nterpretação prátca de um snal de fora de controle. Especfcamente, não se sabe ao certo qual das p varáves (ou qual subconjunto delas) é responsável pelo snal. A prátca padrão consste em ter gráfcos de unvarados para as varáves,, 3,..., p. Durante o período fora de controle, a causa especal gera alterações de magntude d nos parâmetros do processo, sendo d = ( µ µ ) ( µ ) µ, onde µ é o vetor de médas das p característcas de qualdade após a ocorrênca da causa especal. Após a ocorrênca da causa especal, T tem dstrbução de qu-quadrado não-central com parâmetro de não-centraldade λ, sendo n o tamanho da amostra, sto é, T χ p ( λd ) d = nd ~. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

32 O gráfco de Hotellng fo proposto com o ntuto de se reduzr o número de gráfcos de controle. Por exemplo, se cnco característcas de qualdade precsam ser montoradas, há duas opções, ou utlzar cnco gráfcos de controle de, um para cada característca, ou apenas um gráfco de Hotellng. A questão que não se pode esquecer é o desempenho do gráfco ou do conjunto de gráfcos de controle em snalzar alterações no processo. A título de lustração, na Tabela 7, são comparados os valores do NMA do gráfco de Hotellng com os valores do NMA que se obtém com o uso conjunto de dos gráfcos de (notação s), para o caso bvarado. O que se observa da Tabela 7 é que quando as varáves não são ndependentes e a causa especal altera a méda de ambas varáves, os dos gráfcos de, em uso conjunto, snalzam com maor rapdez. Detalhes deste estudo estão em Machado e Costa (8). Tabela 7. Valores de NMA para o gráfco de Hotellng e para os gráfcos s ρ,,3,5,7 δ s T s T s T s T LSC 3,3,597 3,,597 3,5,597,996,597 LIC -3,3 - -3, - -3,5 - -,996 - δ,,,,,,,,,,,,5 7,4 5,6 7,4,5 7,5 99,7 5,8 78,,, 4,6 4,9 4,6 38, 4,5 3,6 4,3 9,,,5 5, 5,8 5, 3,9 5,,5 4,5 5,94,5,5 83, 76,9 84, 9,7 85,4 99,7 87, 6,7,5, 36,4 33, 36,9 4, 37,5 4,9 37,8 38,7,5,5 4,4 3,6 4,5 5,8 4,6 5, 4,5,4,, 3,44 8,5 4, 5,8 4,93 3,6 5,96 35,5,,5,89 9,36,3 3,,65 5, 3, 5,73,5,5 8,9 5,76 8,5 8,53 8,9,5 9,4,58 João Pessoa, a 5 de Setembro 8 3

33 Artgos recentes de Costa e Machado (7 e 8) consderam a estatístca de Hotellng como a estatístca de montoramento do vetor de médas Gráfcos de controle para o montoramento da matrz de covarâncas Assm como é mportante montorar o vetor de médas de um processo, é também mportante montorar a sua matrz de covarâncas. O prmero gráfco de controle utlzado no montoramento da matrz de covarâncas Σ se baseou na estatístca obtda do teste da razão de máxma verossmlhança generalzada (Alt, 985): A = pn + pnln n nln S Σ + tr ( Σ S) onde s s L s p s s s L p S = M M L M s p s p L s pp é a matrz de covarâncas, sendo s a varânca amostral da - ésma varável e s j a covarânca amostral entre a -ésma e a j-ésma varáves. S é o determnante da matrz S e tr(s) é o traço da matrz S (a soma dos elementos da dagonal). Quando o processo está sob controle, sto éσ= Σ, A é assntotcamente dstrbuído como uma qu-quadrado com p ( p + ) graus de lberdade. Para o caso bvarado, Alt (985) propôs o uso da varânca amostral generalzada S para controlar a matrz de covarâncas Σ. Quando o processo está sob controle, com n 4 graus de lberdade (Alt, 985). s s S = é a matrz de covarâncas amostral. s s n ( ) Σ S tem dstrbução de qu-quadrado João Pessoa, a 5 de Setembro 8 33

34 Estudos recentes têm mostrado que é possível trabalhar com estatístcas de montoramento mas smples que a da varânca amostral generalzada S. Por exemplo, a estatístca VMA que é dada smplesmente pelo maor valor das varâncas amostras padronzadas. No caso de duas característcas de qualdade e, VMA= max{ S, S } onde S n x j j = = e n S n x j j = =, n x j ( j µ ) = e x j ( j µ ) =. Com o processo em controle, a matrz de covarâncas é dada por Σ =, sendo e as varâncas de e e =, as covarâncas entre e, sendo ρ = a correlação entre matrz de covarâncas, resultando na matrz e. Exstem duas maneras de uma causa especal alterar a Σ a = a a a a a a a. A prmera possbldade (caso I) supõe que a causa especal afeta somente a varânca da varável aleatóra, sto é, a = γ e a =, ou somente a varânca da varável aleatóra, neste caso a = γ e a. A segunda possbldade (caso II) supõe que a causa especal altera tanto a = varânca de quanto a de, sto é, a = a = γ, sendo γ > a magntude da perturbação. Em ambos os casos, a correlação ρ = entre e não é afetada pela causa especal. Se = =, então ρ = =. Quando o gráfco de VMA está em uso, amostras de tamanho n são retradas do processo em ntervalos de tempo regulares. As duas característcas de qualdade e das n undades da amostra são meddas e a estatístca VMA é calculada. Se a estatístca VMA for maor do que o lmte de controle LC, o gráfco snalza um desajuste do processo. Após a ocorrênca do snal, o usuáro pode medatamente examnar as varâncas amostras de e João Pessoa, a 5 de Setembro 8 34

35 para descobrr quas varáves foram afetadas pela causa especal, ou seja, aquelas cujas varâncas amostras são maores que LC. O lmte de controle LC do gráfco de VMA pode ser obtdo pela expressão (a segur) do poder do gráfco de VMA, bastando fazer a = a e p = α. d = pd = nlc a Pr χ n, tρ ρ < a nlc ( ) n ρ Γ( n ) t e ( n t ) dt A Fgura 9 apresenta o gráfco de VMA. VMA LC Número da amostra () Fgura 9. Gráfco de controle de VMA. A título de lustração, na Tabela 8 comparam-se os valores do NMA dos gráfcos de VMA e de S para o caso em que ρ =,5. O que se pode conclur desta tabela é que o gráfco de VMA é sempre mas ágl na snalzação da causa especal. Este resultado se mantém para outros valores de ρ. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 35

36 Tabela 8. Valores do NMA dos gráfcos de VMA e de S (p=, ρ =,5) n 4 5 S VMA S VMA caso I caso II caso I caso II γ LC 6,34 4,94 4,94 5,375 3,668 3,668,,,,,,,, 46,8 36,6 43, 4,4 3,5 39,7,,5 9,4 7, 4,6 86,8,4,3 89, 63,9 8,9 8,5 58,3 78,,4 73,3 45,7 66, 64, 4,7 6,4,5 6,4 33,9 54, 5,9 9,6 49,6, 3,,6 5,4 4, 9,6,3 3, 3,6 4,9,7, 3,38 9,9 5, 6,37,95 4,77 4,58,67 3,98 Artgos recentes de Costa e Machado (8a e 8b), Machado e Costa (8a) e Machado, De Magalhães e Costa (8) consderam a estatístca de VMA como a estatístca de montoramento da matrz de covarâncas. Referêncas ALT, F. B. Multvarate control charts. Encyclopeda of Statstcal Scences. Kotz, S., Johnson, N. L., Eds.; Wley, 985. HOTELLING, H. Multvarate qualty control, llustrated by the ar testng of sample bombsghts. Technques of Statstcal Analyss, p. -84, New York, McGraw Hll, 947. COSTA, A. F. B.; MACHADO, M. A. G. Synthetc control chart wth two-stage samplng for montorng bvarate processes. Pesqusa Operaconal, v. 7, p. 7-3, 7. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 36

37 COSTA, A. F. B.; MACHADO, M. A. G. Bvarate control charts wth double samplng. Journal of Appled Statstcs, aceto, 8. COSTA, A. F. B.; MACHADO, M. A. G. A new chart for montorng the covarance matrx of bvarate processes. Communcatons n Statstcs Smulaton and Computaton, aceto, 8a. COSTA, A. F. B.; MACHADO, M. A. G. A new chart based on the sample varances for montorng the covarance matrx of multvarate processes. Internatonal Journal of Advanced Manufacturng Technology, aceto, 8b. MACHADO, M. A. G; COSTA, A. F. B. The use of prncpal components and smultaneous unvarate charts to control multvarate processes. Pesqusa Operaconal, v. 8, p , 8. MACHADO, M. A. G; COSTA, A. F. B. The double samplng and the EWMA charts based on the sample varances. Internatonal Journal of Producton Economcs, v. 4, p , 8a. MACHADO, M. A. G.; De MAGALHÃES, M.S; COSTA, A. F. B. Gráfco de controle de VMA para o montoramento da matrz de covarâncas, Revsta Produção, v. 8, p. -39, 8. MINGOTI, S. A. Análse de dados através de métodos de estatístca multvarada: uma abordagem aplcada.. ed. Belo Horzonte: Edtora UFMG, p. João Pessoa, a 5 de Setembro 8 37

38 Seção QUATRO Processos multvarados-varáves dscretas 4 - Introdução Na seção 3 foram apresentados alguns gráfcos de controle consderando processos multvarados cujas varáves de processos eram varáves contínuas. Dando prossegumento aos processos multvarados, nesta seção serão abordados gráfcos de controle para o caso de varáves dscretas (será consderado apenas o caso bvarado). Montorar o número de defetos ou o de não conformdades ao nvés da fração de não conformdade é preferível em mutos processos de produção como os de placas de crcuto mpresso, de tecdo ou papel. Neste caso, geralmente assume-se que o número de defetos obedece a uma dstrbução Posson e em controle de qualdade os gráfcos de controles c ou u têm sdo usados para fm. Para assegurar a qualdade dos produtos, em mutas stuações prátcas mas de um tpo de defeto é montorado na mesma undade nspeconada. Por exemplo, dos tpos de defetos podem ser observados na mesma placa de crcuto mpresso se o processo de solda não estver bem calbrado: defetos por excesso de solda e defetos de superfíce. É comum sugerr que sejam utlzados dos gráfcos de controle (gráfcos de controle c ou u), um para cada tpo de controle. Esta pode ser uma boa solução para eventos ndependentes, contudo, se os defetos forem postvamente correlaconados (conforme o número de defetos por excesso de solda aumenta, o mesmo pode ser observado no número de defetos de superfíce também), dos gráfcos de controle (separados) podem não levar em consderação esta possbldade. Portanto, o processo descrto é um caso de controle multvarado de processo. E esta é uma das seções do controle estatístco de processo que tem apresentado um João Pessoa, a 5 de Setembro 8 38

39 dos mas rápdos desenvolvmentos. No entanto a maora dos trabalhos é voltada para varáves contínuas (e normalmente dstrbuídas). Poucas contrbuções relatvas ao controle de qualdade para varáves dscretas como as dstrbuções bnomal e Posson multvaradas podem ser encontradas na lteratura. Patel (973) apresentou um esquema para montorar processos bnomas e Posson multvarados como uma extensão da proposta do Hotellng e recentemente Sknner, Montgomery & Runger (3) consderaram um modelo lnear generalzado para montorar dados de contagens multvaradas. Portanto exste uma carênca de gráfcos de controle para este tpo de dstrbuções multvaradas. Antes de dscutr as estratégas de montoramento para este tpo de processo, a dstrbução de Posson bvarada e suas propredades serão apresentadas. 4. Dstrbução Posson bvarada uma breve revsão A dstrbução Posson bvarada fo prmeramente apresentada por Holgate (964) como uma soma de três varáves aleatóras ndependentes com dstrbução Posson. Sejam Y, Y e Y3 varáves aleatóras ndependentes de parâmetros (a-d); (b-d) e d respectvamente. Deste modo o vetor = Y + Y3 ; = Y + Y3 ; segue uma dstrbução bvarada Posson cuja função de probabldade é dada por mn( x, x ) x x λ λ λ3 P( = x, = x ) = exp[ ( λ + λ + λ3 )] = ( x )!( x )!! () onde λ = a d ; λ = b d e λ 3 = d. Manpulando a expressão (), ela pode ser escrta como x x mn(, ) λ λ x x x x λ ( 3 P = x, = x ) = exp[ ( λ + λ + λ3 )]! x! x! = ( λλ () As expressões de recorrênca em (3) João Pessoa, a 5 de Setembro 8 39

40 λ λ xp ( x, x ) = P( x, x ) + 3P( x, x ) xp( x, x) = λp( x, x ) + λ3p( x, x ) (3) facltam o cálculo dos valores das probabldades em (). Alguns parâmetros mportantes como méda, varânca, covarânca e correlação estão dadas em (4) λ λ E( ) = Var( ) = + 3 E( ) = Var( ) = λ + λ3 Cov(, ) = λ3 λ 3.5 Corr(, ) = λ3[ λ3 + mn( λ, λ)] ( λ + λ3 )( λ + λ3 ) (4) Note que a correlação assume somente valores postvos. A dstrbução de probabldade condconal de é expressa como mn(, ) x x x x x λ ( 3 λ λ P = x = x) = exp( λ )! = λ3 + λ λ3 + λ ( x )! (5) Pode-se notar que a expressão (5) é uma convolução de duas varáves ndependentes: λ uma varável Posson com parâmetro λ e uma bnomal de parâmetros 3 x,. A méda e λ3 + λ a varânca da dstrbução condconal são respectvamente Se λ 3 λ E( 3 ) = λ + x λ3 + λ Var( 3 ) = λ + x ( λ3 + λ ) λ λ λ λ +, λ3 + λ,e 3 ρ, então ( λ + λ )( λ + λ ) 3 3 João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

41 Z Z = ( λ + λ3 ) ( λ + λ3 ), ( λ + λ3 ) ( λ + λ3 ) (, ) ( Z ) segue uma dstrbução normal bvarada padrão e assntotcamente ρz Z + Z ρ é uma varável aleatóra com uma dstrbução qu-quadrado com dos graus de lberdade. De acordo com Rayner & Best (995), esta aproxmação não fornece bons resultados no caso de alta correlação. Outros modelos de contagem Posson bvarada usando probabldades condconas foram ntroduzdos por Berkhout & Plug (4). Os parâmetros da dstrbução Posson bvarada podem ser estmados por dferentes métodos como os mas conhecdos: Métodos dos Momentos e da Máxma Verossmlhança. Alguns métodos foram especfcamente desenvolvdos para estmar o parâmetro da covarânca como o Método do double-zero proporton e even pont (maores detalhes ver, Kocherlakota & Kocherlakota (99)). O uso do algortmo EM para estmação de máxma verossmlhança dos parâmetros da dstrbução Posson multvarada está descrto em Karls (3). E recentemente Karls & Ntzoufras (5) ncluíram uma função denomnada bvpos no pacote estatístco R para estmar os parâmetros de modelos de regressão Posson bvarada pelo método da máxma verossmlhança. Para maores detalhes sobre dstrbução Posson bvarada ver Johnson; Kotz & Balakrshnan (997); Kocherlakota & Kocherlakota (99). Outras dstrbuções nteressantes podem ser dervadas a partr da dstrbução Posson bvarada. Por exemplo: a dstrbução de DF=-, a dstrbução de SM=+ e a dstrbução de M=Max(, ). A função de probabldade de DF=- pode ser obtda calculando j y j ( + ) = e j= j= y j j y P( DF = y) = P( = j, = j y) λ λ λ λ!( )! (6) Note que (6) não depende do parâmetro da covarânca. Méda e varânca são respectvamente João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

42 λ λ E( DF) = Var( DF) = λ + λ A função de dstrbução de SM=+ é dada por y P( SM = y) = P( = j, = y j) j= ( ) y j y j mn( j, y j) λ λ j y j λ 3 exp[ ( λ λ λ3 )]! j= j! ( y j)! = ( λλ. = + + (7) Sua méda e varânca são respectvamente E( SM ) = λ + λ + λ 3 Var( SM ) = λ + λ + 4λ 3 E a função da dstrbução de M=Max(,) é gual a y P( M = y) = P( = y, = y) + P( = j, = y) + P( = y, = j) = j= y j y y j j y y e[ ( λ + λ + λ3 )] λ λ + λ λ j y λ 3 ( λ λ ) y λ 3 =! +! y! j= j! = λλ y! = λλ (8) As expressões de E(M) e Var(M) são um tanto complcadas e foram dexadas no Apêndce. Para qualquer uma das três varáves aleatóras dervadas da dstrbução Posson bvarada, valem os seguntes resultados E( Y ) = f ( λ, λ, λ ) 3 Var( Y ) = g( λ, λ, λ ) 3 (9) Y=M, SM ou DF. Assm as estmatvas de (9) são dsponíves substtundo os parâmetros pelas suas estmatvas (como os estmadores de máxma verossmlhança, por exemplo) João Pessoa, a 5 de Setembro 8 4

43 Eˆ( Y ) = f ( ˆ λ, ˆ λ, ˆ λ ) 3 Var ˆ ( Y ) = g( ˆ λ, ˆ λ, ˆ λ ) 3 () ( ) E assntotcamente Y ~ N E( Y ); Var Y, n é o tamanho da amostra. n 4. Gráfcos de controle para observações ndvduas de um processo de Posson bvarado Nesta seção, os gráfcos de controle para observações ndvduas de um processo de Posson bvarado serão ntroduzdos. Especfcamente gráfcos de controle baseados nas smples estatístcas descrtvas: SM = + M = max(, ); ; DF = ; e dos gráfcos (separados) de controle (um para e o outro para que doravante serão referdos como C) serão consderados. Fxado um nível do erro tpo I (α), os lmtes dos gráfcos de controle foram determnados tal que P( C < c) = α ou P ( c < ) L C < c = U α onde C é uma estatístca montorada (no caso: SM, M, DF ou e ), c é o lmte de controle para gráfcos de controle unlateras (especfcamente para os gráfcos de controle SM; M; e ) e c L e c U são respectvamente os lmtes de controle nferor e superor para o gráfco de controle blateral (no caso DF). Tabela apresenta para doze combnações de valores dos parâmetros λ, λ e λ3, as médas (sob controle) de e, a respectva correlação e os lmtes de controle para os gráfcos SM, M, DF e C (para um fxado valor do erro tpo I <.7). Devdo à natureza da João Pessoa, a 5 de Setembro 8 43

44 varável em questão (varáves dscretas), os lmtes de controle foram ajustados ou determnados de modo a ter NMA o mas próxmo possível do nível escolhdo ( (.7) 37.4 ) para poder comparar os desempenhos dos dferentes gráfcos de controle. Para exemplfcar consdere o caso (λ= λ= λ3=). Se utlzasse estatístca SM, um snal de que o processo está fora de controle será dado se + > ; caso fosse utlzado M, um snal sera se Max (, ) > 7 e caso empregasse DF, um snal sera com (-) <-5 ou ( -) > 4. E caso utlzasse dos gráfcos separados, um snal sera dado se > 7 e/ou >7. Na Tabela, os casos smétrcos sto é, quando E() = E() estão marcados com s e os assmétrcos por a. Lmte de controle que forneceu o maor valor NMA está em negrto. Os prmeros oto casos seguem o planejamento de um expermento fatoral; os quatros últmos casos foram ncluídos para analsar casos quando E()-E() >. Um total de sessenta e quatro mudanças nos dversos parâmetros (dada pelas combnações de kλ; kλ, kλ3; com k=,, 4 ) fo consderado para comparar os desempenhos dos gráfcos de controle. Tabela Descrção dos parâmetros e lmtes de controle João Pessoa, a 5 de Setembro 8 44

45 Os valores de NMA s dos gráfcos de controle SM, M, DF e C cujos parâmetros são λ=λ=λ3= e (λ=λ3= e λ=) quando o processo está sob controle estão respectvamente, nas Tabelas e 3. O prmero é um caso smétrco uma vez que E() = E() com coefcente de correlação ρ=.5 e o segundo é um caso assmétrco com E() = e E() =3 e um coefcente de correlação de ρ=.4. Tabelas semelhantes para outros conjuntos de parâmetros foram construídas, porém elas não serão reproduzdas aqu. O menor valor de NMA para cada caso de mudança nos parâmetros está em negrto. Adconalmente nas duas tabelas, os valores de NMA s dos gráfcos de controle C (denotados por C*) foram calculados assumndo (erroneamente) que as varáves e fossem ndependentes (ver as últmas colunas das Tabelas e 3). Por exemplo, na Tabela, quando λ quadruplca (λ=4) e os demas parâmetros permanecem nalterados (λ=λ3=), o menor valor de NMA é 4.8 (qunta lnha da Tabela ) e o gráfco de controle DF é o mas rápdo para detectar este tpo de dstúrbo. Nos casos onde o gráfco de controle DF é a melhor opção (ver Tabela da segunda a sexta lnha), observa-se que o valor de λ3permaneceu nalterado. As próxmas lnhas da Tabela estão os casos de dstúrbos (de dferentes tamanhos em todos os parâmetros) que os gráfcos de controle M e C detectam mas rapdamente (com gual desempenho). Valores médos dos parâmetros (λ, λ e λ3, quando processo fora do controle) destes casos foram calculados para descrever o perfl, obtendo-se respectvamente.6;.8;. que corresponde aos seguntes valores esperados E() =4.7; E() =4.9 e ρ=.43 (estes valores estão no segundo bloco de colunas da Tabela 4). Note que este valor médo de correlação é menor que o valor quando o processo está sob controle. E fnalmente os dstúrbos (para dferentes tamanhos em todos os parâmetros) que o gráfco de controle SM detecta rapdamente. Os valores médos de λ, λ e λ3 são respectvamente.5;.5 e 3. fornecendo E() = 5.6; E() =5.6 e ρ=.56 (maor que o valor quando o processo está sob controle). João Pessoa, a 5 de Setembro 8 45

46 Tabela Valores de NMA dos gráfcos de controle (caso : λ=λ=λ3=) João Pessoa, a 5 de Setembro 8 46

47 João Pessoa, a 5 de Setembro 8 47

48 Tabela 4 O melhor gráfco de controle Letura smlar pode ser feta com os resultados da Tabela 3. Por exemplo, quando λ permanece nalterado (λ=), mas se λ trplca (λ=6) e λ3 duplca (λ3=), os gráfcos de controle M e C são mas rápdos para detectar este tpo de dstúrbo com o menor NMA gual João Pessoa, a 5 de Setembro 8 48

49 a Valores médos de λ, λ e λ3 (fora de controle), quando os gráfcos de controle M e C são as melhores opções, são respectvamente.36; 7.7 e.64 que resultam valores de E() =4.; E()=9.9 e ρ=.4. Note que a correlação (fora de controle) é gual ao seu valor se o processo estvesse sob controle, mas grandes mudanças foram observados em λ e conseqüentemente grandes mudanças no valor de E(). Para dentfcar um aproprado gráfco de controle para detectar rapdamente algum tpo de dstúrbo específco, Tabela 4 fo construída. Os valores dos parâmetros sob controle de processo estão colocados no prmero de bloco de colunas. Os valores dos prncpas parâmetros quando o processo está fora de controle estão no segundo bloco de colunas e no últmo bloco de colunas um mosaco fo construído para dentfcar qual gráfco de controle é mas adequado para detectar mas rapdamente algum dstúrbo específco. As entradas deste últmo bloco de colunas são as razões entre os valores dos parâmetros fora de controle e sob controle λ λ denotados como =,, 3, 4 e =,, 3. Analsando a Tabela 4, algumas observações podem ser fetas: Note que o gráfco de controle DF aparece como a melhor opção apenas na coluna λ 3 λ = e na maora das vezes quando 3 λ = ou λ João Pessoa, a 5 de Setembro 8 λ λ =. Em outras palavras, o parâmetro da covarânca permaneceu nalterado e dstúrbos somente em uma das médas ou E() ou E(), tendo como conseqüênca uma dmnução da correlação, conforme pode-se observar os valores médos dos parâmetros relatvos ao gráfco DF no segundo bloco de colunas. Os gráfcos M e C (doravante denomnados como gráfcos M) são as melhores opções quando os valores sob controle de λ e λ são guas (os casos smétrcos,, 7 e 8). Observam-se causas especas provocando grandes ou moderados aumentos smultaneamente em λ e λ3 mantendo-se λnalterado; ou smetrcamente, aumentos grandes ou moderados smultâneos em λ e λ3 mantendo λ nalterado. Nestes casos 49