CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CAPÍTULO 4 - Variáveis aleatórias e distribuições de probabilidade"

Transcrição

1 CAPÍTULO 4 - Varáves aleatóras e dstrbuções de probabldade Conceto de varável aleatóra Uma função cujo valor é um número real determnado por cada elemento em um espaço amostral é chamado uma varável aleatóra (v.a.) Isso equvale a descrever os resultados de um expermento aleatóro por meo de números ao nvés de palavras, o que é uma grande vantagem pos possblta melhor tratamento matemátco, nclusve através de parâmetros que veremos a segur. obs.:utlzaremos letras maúsculas (X, Y, Z, etc.) para representar a v.a. e a correspondente letra mnúscula (x, y, z, etc.) para um dos seus valores. obs.: cada possível valor x de X representa um evento que é um subconjunto do espaço amostral. exemplo: Duas peças são retradas sucessvamente, sem reposção, de uma caxa que contém quatro peças boas (B) e 3 defetuosas (D). Para esse expermento teríamos o segunte espaço amostral S = {BB, BD, DB, DD}. Se consderarmos a v.a. Y = número de peças boas retradas teríamos: S* = {0, 1, }. Fazendo uma correspondênca entre S e S* teríamos: Evento Smples Y = y BB BD 1 DB 1 DD 0 outro exemplo: Consdere o lançamento de duas moedas e seja X = n o de caras obtdas, c= cara e k=coroa S = {cc, ck, kc, kk} X = {0, 1, }. Se um espaço amostral contém um numero fnto de pontos como no exemplo anteror, ou uma sequênca nfnta enumerável de pontos amostras, ele é chamado espaço amostral dscreto. A v.a. defnda sobre esse espaço é chamada varável aleatóra dscreta (v.a.d.). Por outro lado, se um espaço amostral contém pontos amostras que formam uma contnudade como todas as possíves alturas de pessoas, pesos de anmas, tempos de 47

2 vda de um componente mecânco ou eletrônco, temperaturas, etc. então ele é chamado espaço amostral contínuo. A varável defnda sobre esse espaço é chamada varável aleatóta contínua (v.a.c.). obs.: na maor parte dos problemas prátcos as v.a.c. representam dados meddos e as v.a.d. representam dados contados, tas como o número de defetuosos em uma amostra de n peças ou o número de acdentes na estrada Vçosa Belo Horzonte no ano de exemplo: - n o de acdentes ocorrdos em uma semana; - n o de defetos por peça produzda por um fabrcante; - n o de vtóras obtdas por um atleta; - n o de flhos do sexo masculno por casal. obs.: No caso das v.a.c. somente terão nteresse as probabldades de que a v.a. assuma valores em dados ntervalos. As probabldades de nteresse poderão ser determnadas com o conhecmento da dstrbução de probabldade da v.a. Dstrbução de probabldade De acordo com o tpo de varável aleatóra, ou seja se v.a.d. ou v.a.c., teremos: a) X é uma v.a.d. Nesse caso precsamos saber os valores da v.a.d. X e de sua função de probabldade. Chama-se função de probabldade (f.p.) da varável aleatóra dscreta X, a função P (X = x ) = P(x ) = p que a cada valor de X (ou seja, a cada x ) assoca sua probabldade de ocorrênca. obs.: essa função mutas vezes está reduzda a um valor numérco e, em outros casos, pode ser representada por uma fórmula. A função P( x ) será uma função de probabldade se satsfzer às seguntes condções: ) P( x ) 0, para todo x ) P( x ) = 1 À coleção de pares [x, P(x )], = 1,,..., n, denomnaremos dstrbução de probabldade da v.a.d. X, que pode ser representada por meo de tabelas e gráfcos. exemplo: Seja E: lançamento de um dado vcado de tal forma que a probabldade é proporconal ao valor obtdo no lançamento. consdere: S = {1,, 3, 4, 5, 6} Vamos supor que estamos nteressado na avalação da varável aleatóra X, onde X = {n o de pontos obtdos num lançamento}, ou X = {resultado num lançamento} 48

3 Assm os possíves valores que a varável aleatóra X pode assumr são: X = {1,, 3, 4, 5, 6}, com as respectvas probabldades: p + p + 3p + 4p + 5p + 6p = 1 1p = 1 p = 1/1 Para o nosso exemplo temos que a dstrbução de probabldades da v.a. X será: ) Gráfco 0,3 6/1 0,5 5/1 4/1 0, P(x) 0,15 3/1 /1 0,1 0,05 1/ x ) Tabela x P(x ) 1/1 /1 3/1 4/1 5/1 6/1 Observe que as duas condções apresentadas acma são satfetas. As tabelas e gráfcos são utlzados para mostrar como a probabldade total atrbuída a um espaço amostral é dstrbuída pelos dversos resultados daquele espaço. Nesse exemplo, a função de probabldade podera também ser representada como: x, para x Px = 1,, 3456,,, ( ) = 1 0, para outros valores de x Problema proposto: Uma urna contém 4 bolas azus e 6 brancas. Duas bolas são retradas sucessvamente I) com reposção e II) sem reposção. Determnar, em cada caso, a dstrbução de probabldade e a função de probabldade do n o de bolas brancas retradas. b) X é uma v.a.c. No caso de v.a.c. somente terão nteresse as probabldades de que a v.a. assuma valores em dados ntervalos. Tas probabldades poderão ser determnadas com o conhecmento da função densdade de probabldade da v.a.. Chama-se função densdade de probabldade (f.d.p.) da varável aleatóra dscreta X, a função f(x) que atenda às seguntes condções: 49

4 ) f(x) 0, para a < x < b ) b f (x)dx = 1, a onde a e b podem ser, respectvamente, e. A f.d.p. assm defnda determna a dstrbução de probabldades da v.a.c. X. Sua representação é dada em forma gráfca. obs.: d 1) Para c < d, P(c < X < d) = f(x) dx c ) Para um valor fxo de X, por exemplo, X = x 0, temos que P (X = x o ) = f (x)dx = 0 ; sendo assm, as probabldades abaxo são todas guas, se X for uma v.a.c.: P( c X d) = P( c X < d) = P( c < X d) = P( c < X < d) 3) A função densdade de probabldade f(x), não representa probabldade. Somente quando a função for ntegrada entre dos lmtes, ela produzrá uma probabldade, que será a área sob a curva da função entre os valores consderados. exemplo: Uma v.a.c. X possu a segunte função: k, para0 x< 1 = k( x), para 1 x < 0, para outros valores de x Pede-se: a) A constante k para que f(x) seja uma f.d.p. b) Gráfco da f(x) c )P( X 1); d)p(x = 1); e)p( X < ); f )P(X > ) Respostas: a) 3; c)1 3; d) 0; e) 71; f) 0. x0 x0 Problemas propostos: 1. Seja uma v.a.c. X defnda pela segunte f.d.p.: 0, para x < 0 = kx, para 0 x 0, para x > a) Determnar o valor de k b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Calcular P(X 1). 50

5 Respostas: a)1 ; c) 1 4. Uma v.a.c. X tem a segunte f.d.p. 0, para x < 0 kx, para 0 x < 5 = k( 10 x), para 5 x 10 0, para x > 10 a) Determnar o valor de k b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Calcular P(X 3) Respostas: a)1 5; b) Consdere a segunte função de X 3x k e para x > 0 f (x) = 0 c. c. a) Encontre o valor de k para que f(x) seja uma função densdade de probabldade; b) Encontre P(0,5 X 1); c) Faça o gráfco da f(x). Respostas: a) k = 3; b) 0,173 Exstem mutos problemas nos quas é de nteresse conhecer a probabldade que a v.a. X assumsse valores menores que um partcular valor x. Nesse caso precsamos defnr a função de dstrbução acumulada de X. Função de dstrbução acumulada Dada a varável aleatóra X, chamaremos de função de dstrbução acumulada ou, smplesmente, função de dstrbução F(x) a função F(x) = P(X x). Observe que o domíno de F é todo o conjunto real. obs.: a) 0 F(x) 1 para todo x. b) Se x 1 x, então F(x 1 ) F(x ), sto é, F(x) é não-decrescente. a) F(x) para X v.a.d. Para X uma v.a.d. temos que: F(x) = P(X x) = P(t) t x Exemplo: Seja X uma v.a.d. com a segunte dstrbução de probabldade x total P( x ) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16 1,00 51

6 Pede-se: a) Traçar o gráfco da dstrbução de probabldade de X. b) Obter a função de dstrbução acumulada e traçar seu gráfco. b) F(x) para X v.a.c. Para X uma v.a.c. temos que: x F(x) = P(X x) = P( < X x) = f (t)dt Temos anda que, Pc ( < X d) = Fd ( ) Fc ( ) = f( xdx ). df( x) Vê-se também que = em todos os pontos de contnudade de f(x), dx sto é, a dervada da função de dstrbução é a função densdade de probabldade. d c Exemplos: 1. Seja X uma v.a.c. com a segunte f.d.p.: 1 x, para0 x = 0, caso contraro. Pede-se: a) Traçar o gráfco da f.d.p. b) Obter F(x) e traçar seu gráfco c) Calcular P( X 1) 3 d) Calcular P 1 X e) Qual o valor de X abaxo do qual exstem 50% dos dados? Respostas: c)1 4; d) 516; e). Seja X uma v.a.c. com função dada por: ax, se 0 x < 1 a, se1 x< = ax + 3a, se x 3 0, se x < 0 ou x > 3 Pede-se: a) Determne a constante a para que f(x) seja uma f.d.p. b) Traçar o gráfco da f.d.p. c) Obter F(x) e traçar seu gráfco 3 d) P 0 < X< 5

7 e) Se X 1, X e X 3 forem três observações ndependentes de X, qual será a probabldade de, exatamente um desses três números ser maor do que 1? f) Qual valor de X abaxo do qual exstem 50% dos dados? Resposta: a)1 ; d) 1; e) 9 64 ; f) 1,5. Dstrbuções empírcas Geralmente quando temos um expermento envolvendo uma v.a.c. a verdadera função densdade (f(x)) nos é desconhecda. Para que adotemos uma f(x) razoável uma boa análse sobre todas as nformações dsponíves se faz necessára. Essa análse pode ser feta com o uso de dstrbuções de frequêncas relatvas, em forma de tabelas ou gráfcos, conforme descrto no captulo. Dstrbuções assm obtdas permtem supor acerca da verdadera dstrbução de probabldades assocada àquela varável aleatóra. Supondose então uma determnada dstrbução de probabldades à v.a. em questão, outras análses mas avançadas podem ser realzadas (como os testes de hpóteses para se testar tas suposções). Exemplos desse tpo serão ctados oportunamente. Dstrbuções de probabldades conjuntas Vmos, anterormente o caso de dstrbuções de probabldades para o caso de uma únca varável aleatóra. Há casos, contudo, nos quas estamos nteressados no estudo de duas ou mas varáves aleatóras smultaneamente. Por exemplo, alguém podera estar nteressado na dureza (D) e na tensão de ruptura (T) de uma lga de cobre fornecendo assm o resultdo (b,t). Se X e Y são duas v.a., a dstrbução de probabldade para a sua ocorrênca smultânea pode ser representada por f(x,y) para o caso em que (X,Y) é uma v.a. bdmensonal contínua, e p(x,y) para o caso em que (X,Y) é uma v.a. bdmensonal dscreta. Defnção Sejam E um expermento e S um espaço amostral assocado a E. Sejam X = X(s) e Y =Y(s), duas funções, cada uma assocando um número real a cada resultado s S. Denomnaremos (X,Y) uma varável aleatóra bdmensonal. Em determnadas stuações, X e Y não estão necessaramente lgadas a um mesmo expermento, mas exste uma razão bastante defnda para consderar X e Y conjuntamente. Para o nosso estudo vamos consderar que X e Y são ambas dscretas ou contínuas. Do mesmo modo que no caso undmensonal (X,Y) deve ter assocada, a cada valor que pode assumr, uma probabldade de sua ocorrênca. Assm precsamos defnr a dstrbução de probabldade da v.a. bdmensonal (X,Y). 53

8 Dstrbução conjunta de duas varáves aleatóras, dstrbuções margnas e condconas a) (X, Y) é v.a.d. bdmensonal (X,Y) será uma v.a.d. bdmensonal se os valores possíves de X e Y forem fntos ou nfntos enumeráves. Isto é, se os valores possíves de (X,Y) podem ser representados por ( x, y ) = 1,,..., r e j= 1,,..., s. j a.1) Função de probabldade conjunta de X e Y Chama-se de função de probabldade conjunta da v.a.d.bdmensonal (X, Y) a função: P(X=x ; Y=y j ) = P(x ; y j ) = p j que a cada valor de (x ; y j ) assoca sua probabldade de ocorrênca. Para que P(x ; y j ) seja uma função de probabldade conjunta é necessáro que satsfaça às seguntes condções: Dstrbução de probabldade conjunta a)p(x, y j ) 0, para todo par (x, y j ) b) P(x y j, j ) = 1 É o conjunto {(x ; y j ), P(x ; y j )} para = 1,,..., r e j = 1,,..., s a.) Dstrbuções margnas Dada uma dstrbução conjunta de duas varáves aleatóras X e Y, podemos determnar a dstrbução de X sem consderar Y e a de Y sem consderar X. São as chamadas dstrbuções margnas. A dstrbução margnal é consttuda pelos valores da varável aleatóra e suas respectvas probabldades margnas, que serão apresentadas na forma gráfca ou tabular conforme vsto para v.a. undmensonas. A probabldade margnal para cada valor é obtda da segunte forma: s para X: P( X = x ) = P( x ) = P( x, y ) j j= 1 para Y: P( Y = y ) = P( y ) = P( x, y ) j j j = 1 r a.3) Dstrbuções condconas Seja x um valor de X, tal que P( X = x) = P( x) > 0 A probabldade P( X = x, Y = yj) PY ( = y j / X= x) = P( X = x ) 54

9 é denomnada probabldade condconal de Y = y j, dado que X=x. Assm, para x fxado, os pares [ yj, P( Y= yj/ X= x)] defnem a dstrbução condconal de Y, dado que X = x. Analogamente para o X: P( X = x / Y = y ) = j P( X = x, Y = y ) PY ( = y) j j b) (X, Y) é v.a.c. bdmensonal A varável (X, Y) será uma v.a.c.bdmensonal se (X, Y) puder assumr todos os valores em algum conjunto não enumerável. b.1) Função densdade de probabldade conjunta Seja (X, Y) uma v.a.c.bdmensonal. Dzemos que f(x, y) é uma função densdade de probabldade conjunta de X e Y, se satsfzer às seguntes condções: a) f ( x, y) 0, para todo ( x, y) b) f ( x, y) dxdy = 1 f(x,y) = 0 para (x,y) aos ntervalos de x e y. Temos anda que: d b P( a X b, c Y d) = f( x, y) dxdy b.) dstrbuções margnas As f.d.p. margnas de X e Y são dadas por: g( x) = f( x, y) dy e h( y) = f( x, y) dx respectvamente. Temos anda que: b c a P( a X b) = g( x) dx e P( c Y d) = h( y) dy a b.3) Dstrbuções condconas Sejam X e Y v.a.c. com f.d.p. conjunta f(x, y) e f.d.p. margnas dadas por g(x) e h(y). A f.d.p. condconal de X, dado que Y = y é defnda por: f x y f( x/ y) = (, ) hy hy ( ), ( ) > 0 Analogamente, a f.d.p. condconal de Y, dado que X = x é defnda por: d c 55

10 f( x, y) f( y/ x) =, gx ( ) > 0 gx ( ) As f.d.p. condconas acma, satsfazem a todas as condções mpostas para uma f.d.p. undmensonal. Deste modo para y fxado, teremos: a)f (x / y) b) y) 1 f (x / y)dx = dx = f (x, 0 h(y) h(y) f (x, y)dx = h(y) h(y) = 1 Varáves aleatóras ndependentes a) (X, Y) é uma v.a.d.bdmensonal. Defnção 1 - Seja (X, Y) v.a.d.bdmensonal. Dzemos que X e Y são ndependentes se, e somente se, para todo par de valores ( x, y j ) de X e Y, tem-se: P( X = x, Y = y j) = P( X = x). P( Y = y j) Basta que esta condção não se verfque para um par ( x, y j ) para que X e Y não sejam ndependentes. Neste caso dremos que X e Y são dependentes. Defnção - Seja (X, Y) uma v.a.d.bdmensonal. Neste caso X e Y serão ndependentes se, e somente se, P( X = x / Y = y ) = P( X = x ), para todo e j. j ou equvalente se, e somente se: P( Y = y / X = x ) = P( Y = y ), para todo e j. j j b) (X, Y) é uma v.a.c.bdmensonal. Defnção 1 - Seja (X, Y) v.a.c.bdmensonal. Dremos que X e Y são ndependentes se, e somente se: f(x, y) = g(x).h(y), para todo x e todo y Defnção - Seja (X, Y) uma v.a.c.bdmensonal. Neste caso X e Y serão ndependentes se, e somente se: f(x/y) = g(x). Nesse caso, é evdente que f(y/x) = h(y). OBS.: Todas as defnções concernentes a duas v.a. podem ser generalzadas para o caso de n v.a. Exemplos: 1. Dada a dstrbução de probabldade conjunta de (X, Y) na Tabela abaxo 56

11 X Y ,10 0,0 0,0 1 0,04 0,08 0,08 0,06 0,1 0,1 Pede-se: a) Dstrbução margnal de X e Y, dstrbução de (X + Y) e de XY; b) X ey são ndependentes? c) As dstrbuções condconas de X dado que Y = 0 e Y dado que X = 1. d) P( X 1, Y 1) e) P( X 1/ Y = 0) f) Construr a dstrbução conjunta a partr das dstrbuções margnas de X e de Y. Resposta: d) 0,30; e) 0,70. Sejam X e Y v.a.c. com f.d.p. conjunta dada por: k(x + y), x 6, 0 y 5 f (x, y) = 0, para outros valores de x e y Pede-se: a) O valor de k b) P( X 3, Y 4) c)p(y < ) d) P(X > 4) e) X e Y são v.a. ndependentes? Justfque f) f(x/ y) g) f(x/ Y = 1) Resposta: a) 1 10 ; b) ; c) 7 10 ; d) ; e) Não Problemas propostos: 1) A função de probabldade conjunta da v.a.x e Y é dada por x y 10 x y 10! p(x,y) = x! y! (10 x y)! para x = 0,1,,, 10 y = 0,1,,, 10 0 x + y 10 Calcule: a) P(X, Y ); b) P(X + Y = 4) Resposta: a) 0,00157; b) 0,06 ) Sejam X, Y e Z três v.a. ndependentes e cada uma com a função densdade t e para t 0 f (t) = 0 c.c. Ache a P(X 3, 0,5 Y,5, Z > 1) Resposta: 0,

12 Concetos e Propredades de esperança matemátca e varânca de varáves aleatóras a) Esperança matemátca (méda ou valor esperado de uma v. a.) Neste tem vamos aprender a quantfcar o parâmetro méda de uma população. A esperança matemátca de uma população é também denomnada uma medda da tendênca central. Parâmetro é uma medda utlzada para descrever uma característca de uma população e caracterza a dstrbução de probabldade de uma varável aleatóra. Sob o ponto de vsta centífco, a esperança matemátca corresponde ao que se espera que aconteça em méda. a.1) Caso em que X é uma v.a.d. Seja X uma v.a.d. com a segunte dstrbução de probabldade: x x 1 x... x n Total P(x ) Px ( 1) Px ( )... Px ( n ) 1 Defne-se a esperança matemátca de X por: µ µ 1 1 EX ( ) = = = x. Px ( ) + x. Px ( ) x. Px ( ) n x n n EX ( ) = x. Px ( ) = 1 Exemplo: Um fabrcante produz peças tas que 10% delas são defetuosas e 90% não são defetuosas. Se uma peça defetuosa for produzda, o fabrcante perde U$ 1,00, enquanto uma peça não defetuosa lhe dá um lucro de U$ 5,00. Seja a varável aleatóra X = {lucro líqudo por peça}. Calcular a méda do lucro líqudo por peça. Resposta: ΕΧ ( ) =440, a.) Caso em que X é uma v.a.c. A esperança matemátca de uma v.a.c. X é defnda por: EX ( ) = xfxdx ( ) Exemplo: Uma v.a.c. X apresenta a segunte f.d.p.: Calcular E(X) Resposta: 43 0, para x < 0 x =, para 0 x 0, para x > 58

13 a.3) Propredades da esperança matemátca As propredades a segur apesar de estarem apenas demonstradas para quando X é uma v.a.c., valem também para quando X é uma v.a.d.. P 1 ) Se X é uma v.a. com P(X = k) = 1, então E(X) = k, sendo k uma constante (ou numa lnguagem mas smples mas menos rgorosa, pode-se dzer que a méda de uma constante é a própra constante). Prova: E( X) = k dx = k dx = k E( X) = k P ) A esperança matemátca do produto de uma constante por uma varável é gual ao produto da constante pela esperança matemátca da varável, ou seja, multplcandose uma varável aleatóra por uma constante, sua méda fca multplcada por essa constante. Prova: E( kx) = kx dx = k x dx = ke( X) P 3 ) A esperança matemátca do produto de duas varáves aleatóras ndependentes é gual ao produto das esperanças matemátcas das varáves, ou seja, a méda do produto de duas varáves aleatóras ndependentes é o produto das médas. Prova: E( XY) = xyf ( x, y) dxdy Se X e Y são v.a. ndependentes, a f.d.p. conjunta pode ser fatorada no produto das f.d.p. margnas de X e Y. Assm: E( XY) = xyg( x) h( y) dxdy = xg( x) dx yh( y) dy EXY ( ) = EXEY ( ) ( ) obs: E(XY) = E(X).E(Y) não mplca que X e Y sejam varáves aleatóras ndependentes. P 4 ) A esperança matemátca da soma ou da subtração de duas v.a. quasquer é gual a soma ou a subtração das esperanças matemátcas das duas v.a., ou seja, a méda da soma ou da subtração de duas v.a. é gual a soma ou subtração das médas. Prova: E( X ± Y) = ( x ± y) f( x, y) dxdy = x f( x, y) dxdy ± y f( x, y) dxdy E( X ± Y) = x g( x) dx ± y h( y) dy = E( X) ± E( Y) 59 P 5 ) A esperança matemátca da soma ou subtração de uma v.a. com uma constante é gual a soma ou subtração da esperança matemátca com a constante, ou seja, somando-se ou subtrando-se uma constante a uma v.a., a sua méda fca somada ou subtraída da mesma constante. Prova: EX ( ± K) = ( x± Kfxdx ) ( ) = xfxdx ( ) + Kfxdx ( ) = EX ( ) ± K

14 P 6 ) A méda de uma v.a. centrada é zero, ou seja, a méda dos desvos dos valores da v.a. em relação a sua méda é zero. Obs: Dzemos que a v.a. está centrada quando todos os valores são expressos como desvos em relação à respectva méda, ( X µ x ). Assm: E[ X µ ] = E( X) E[ µ ] = µ µ = 0 x x x x b) Varânca É a medda que quantfca a dspersão dos valores em torno da méda. A varânca de uma v.a. X é defnda por: VX ( ) = = EX [ EX ( )] = EX [ ] σ µ b.1.) Para X v.a.d.: V( X) = ( x µ x) P( x ) b..) Para X v.a.c.: V( X) = ( x ) dx x µ x Uma fórmula mas prátca para calcular a varânca é: x pos, VX ( ) = EX ( ) [ EX ( )] VX ( ) = EX [ EX ( )], = { X XE( X) + [ E( X)] } = E( X ) E( X) E( X) + [ E( X)] = E( X ) [ E( X)] em que: - para X v.a.d.: E( X ) = x P( x ) - para X v.a.c.: E( X ) = x dx b.3.) Propredades da varânca: Valem tanto para X v.a.d. quanto para X v.a.c. P 1 ) A varânca de uma constante é gual a zero. Prova: V( k) = E[ K E( K)] = E( k k) = 0 P ) Somando-se ou subtrando-se uma constante à uma v.a., sua varânca não se altera. Prova: 60

15 VX ( ± k) = E[( X± k) EX ( ± k)] = E[( X) E( X) ± ( k k)] = EX [ EX ( )] = VX ( ) VX ( ± k) = VX ( ) P 3 ) Multplcando-se uma v.a. por uma constante, sua varânca fca multplcada pelo quadrado da constante. Prova: V( kx) = E[ kx E( kx)] = EkX [ kex ( )] = kex [ EX ( )] VkX ( ) = kvx ( ) P 4 ) A varânca da soma de duas v.a. ndependentes é gual a soma das varâncas das duas varáves. Prova: VX ( + Y) = EX [ + Y] [ EX ( + Y)] = E( X + XY + Y ) [ E( X) + E( Y)] = E( X ) + E( XY) + E( Y ) {[ E( X)] + E( X) E( Y) + [ E( Y)] } = E( X ) + E( XY) + E( Y ) [ E( X)] E( X) E( Y) [ E( Y)] Se X e Y são ndependentes; E(XY) = E(X).E(Y), assm V( X+ Y) = { E( X ) [ E( X)] } + { E( Y ) [ E( Y)] } VX ( + Y) = VX ( ) + VY ( ) Do mesmo modo: V(X - Y) = V(X) + V(Y) OBS.1:Desvo padrão da varável X é a raz quadrada postva da varânca de X. = VX ( ) σ x OBS.: Sejam X e Y duas v.a.. A covarânca entre X e Y, denotada por Cov(X,Y) é defnda por: Cov(X,Y) = E{[X E(X)][Y E(Y)]}, ou, de forma alternatva, Cov(X,Y) = E(X,Y) E(X)E(Y) A covarânca nos dá uma déa da relação de dependênca entre duas ou mas v.a. Proposções útes: a) Cov(X,Y) = Cov(Y,X) b) Se V(X) = 0 ou V(Y) = 0 então a Cov(X,Y) = 0 c) Cov(X,k) = Cov(k,Y) = 0 d) Cov(aX,bY) = abcov(x,y), sendo a e b constantes e) Cov(X + Z,Y) = Cov(X,Y) + Cov(Z,Y) Resultado útl: Se X e Y são duas varáves quasquer V(aX ± by) = a V(X) + b V(Y) ± abcov(x,y) 61

16 Exercícos propostos: 1. Sabendo-se que Y=3X-5 e que E(X)= e V(X)=1, calcule: a)e(y); b)v(y); c)e(x+3y); d)e(x + Y ); e)v(3x+y); Resp.: 1; 9; 5; 15; 81. Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas pretas. Três bolas são retradas smultaneamente dessa urna. Se ganharmos R$ 00,00 por bola branca retrada e perdermos R$ 100,00 por bola preta retrada, qual sera o nosso lucro esperado? Resp.: Uma moeda honesta é lançada sucessvamente até sar cara ou até serem fetos 3 lançamentos. Obtenha a dstrbução de X = número de lançamentos, e calcule sua méda e varânca. Resp.: E(X)=1,75; Moda=1; V(X)=11/16 4. Uma máquna de apostar tem dscos ndependentes. Cada dsco tem 10 fguras: 4 maçãs, 3 bananas, pêras e 1 laranja. Paga-se 80 para aconar a máquna. Se aparecerem maçãs ganha-se 40; bananas 80; pêras 140 e laranjas 180. Qual é o resultado esperado após númeras jogadas? Resp.: E(X) = Um determnado artgo é venddo em caxas a preço de 8 U.M. por caxa. Sabe-se que 0% dos artgos venddos apresentam algum defeto de fabrcação. Um comprador faz a segunte proposta: Pede para poder amostrar, ao acaso, 10 artgos por caxa e pagará por caxa 10 U.M. se nenhum dos artgos amostrados for defetuoso; 5 U.M. se um ou dos artgos forem defetuosos e 4 U.M. se três ou mas forem defetuosos. O que é melhor para o vendedor; manter o seu preço de 8 U.M. por caxa ou acetar a proposta do comprador? Mostre por quê. Consdere X = número de artgos defetuosos, com a segunte dstrbução de probabldade: (sugestão: utlze a varável Y = valor pago por caxa) x Total P( x ) 0,1074 0,684 0,3019 0,33 1,00 Resp.: O vendedor deve manter o seu preço [E(Y) 5,1] 6. (X, Y) é uma varável aleatóra bdmensonal dscreta com a segunte dstrbução conjunta: X Y -3 4 P ( x ) 1 0,1 0, 0, 0,5 3 0,3 0,1 0,1 0,5 P( y j ) 0,4 0,3 0,3 1 Pede-se calcular: a) E(X), V(X) e σ x b) E(Y), V(Y) eσ y c) E(X + Y) d) X e Y são ndependentes? Resp.: a) ; 1 e 1 b) 0,6; 9,4 e 3,04 c),6 d) não são 6

17 7. Seja X uma v.a.c. com a segunte f.d.p.:, x [ 01, ] 3 = ( x), x [, ] 3 1 0, caso contrá ro Calcule: a) A esperança matemátca de (X-1) b) O desvo padrão de X Resp.: a) 0,78 b) 0, Mostre que E{[X E(X)][Y E(Y)]}= E(X,Y) E(X)E(Y) Unversdade Federal de Vçosa - CCE / DPI INF Incação à Estatístca / Inf 16 Estatístca I Lsta de Exercícos: Cap. 4 - Varáves Aleatóras 1. Uma v.a.c. X possu f.d.p. dada por : 6( x x ), 0 x 1 = 0, para outros valores de x Calcular : a) P[ EX ( ) σ X EX ( ) + σ], σ = VX ( ), dado E( X ) = 3/ 10 b) F(x), a Função de dstrbução acumulada. Suponha que X e Y tenham a segunte dstrbução conjunta : X Y ,1 0, ,1 0, 0,3 3 0,1 0,1 0 Sabendo-se que V(X) = 1,41 e E(Y) = 0, ; pede-se: a) X e Y são v. a. ndependentes? Mostre. b) E 1 X 3Y + 8 c)v 1 X 3Y

18 3. Dada a função densdade de probabldade abaxo: 1, se 0 x 1 1 = ( x 3), se1 x 3 4 0, para outros valores de x Calcule : a) V( 1X - 8 ), dado E( X ) = 17 / 6 b) A função de dstrbução acumulada c) P( 0,5 < X < 1,5 ) 4. Uma v. a. c. X possu a segunte f. d. p. : 0, se x < 1 ou x 4/ 3 1 = ( x ), se x< , se x < / Determnar: a) F(x), a função de dstrbução acumulada P 05, x 05, b) ( ) 5.Dada a dstrbução conjunta abaxo, parcalmente ndcada: X Y P(Y) - 1/15 1/15? 7/30 0 8/30? /15? 1? 1/30? 7/30 P(X) 6/15 7/30? Pede-se: a) Verfque se X e Y são v. a. ndependentes. b) E X Y V 8 15X c) ( ) 6.Cte as propredades de: a) Esperança Matemátca. b) Varânca. 7. Concetue: a) Varável aleatóra dscreta b) Varável aleatóra contínua 64

19 8.Uma v. a. c. é dada por: kx, se x < 5 = k( 8 x), se5 x 8 0, se x assume outros valores Determnar: a) O valor da constante k para que f(x) seja uma f. d. p. 8 7 b) P X 9. Suponha que X e Y tenham a segunte dstrbução conjunta: X Y Soma 0, 0,1 0,1 0, 3 0,1 0,1 0,1 0,1 Soma Pede-se: 1 a) E X 3 ; b) V( 5X 3Y) ; c) X e Y são v. a. ndependentes? Mostre porque. 10. Sabendo-se que X e Y são varáves aleatóras ndependentes e que E(X) = 5, V(X) =, E(Y) = 8 e V(Y) = 3, calcule: a) E( X - Y + 3 ) d) V( 3Y+ ) b) E[ ( X - Y ) 1 ] c) V X Y Seja ( X, Y ) uma varável aleatóra bdmensonal dscreta, com a segunte função de probabldade: x + y j, para x = 01,, e y j = 013,,, Px (, y j) = 4 0, caso contrá ro Pede-se: a) Dar a tabela da dstrbução de probabldade conjunta. b) Dar a tabela da dstrbução margnal de X e também a de Y. EX Y+ 4 c) ( ) 1. Dada a segunte função: ( ) K x, se0 x< 1 = K, se1 x 0, caso contrá ro 65

20 Determnar: a) O valor de K para que f(x) seja uma f.d.p. b) EX ( 3 ) 3 c) P X d) P( X = 1) 14. Sejam X e Y v. a. c. com função densdade de probabldade conjunta dada por: K( x + y), se x 6 e 0 y 5 f( x, y) = 0, c. c. Pede-se: a) O valor de K para que f( x, y) seja uma f. d. p. b) P( Y ) c) P( X > 3/ 0 Y ) d) X e Y são v. a. ndependentes? mostre. 15.A varável aleatóra contínua X tem f. d. p., f(x) = 3x, 1 x 0. Se a for um número que satsfaça a 1 a 0, calcule: P X> a X< a 3 y, se 0 y e 0 x Dado f( x, y) = 16 0, caso contrá ro Determnar: a) As funções margnas de X e Y b) Se X e Y são v. a. ndependentes. 17. Seja f(x, y) = (x + y - xy), para 0 x 1 e 0 y 1 e f(x, y) = 0, para quasquer outros valores de x e de y. Pede-se: a) Mostre que f(x, y) é uma f.d.p. b) Obtenha a f.d.p. margnal de X e a de Y. 18. Suponha que as dmensões, X e Y, de uma chapa retangular de metal, possam ser consderadas varáves aleatóras contínuas ndependentes, com as seguntes f.d.p.: x 1, 1< x gx ( ) = x+ 3, < x< 3 0, para outros valores e 1, < y < h( y) = 4 0, para outros valores Pede-se: Ache a f.d.p. da área da chapa (A). RESPOSTAS 1. a) 0,9855 b) 0 se x < 0; x ( 3 x) se 0 x < 1; 1se x 1 66

21 . a) não b) 0,55 c)119,57 x 1 3. a) 879 b) 0se x < 0 ; se 0 x < 1 ; ( x 6 x + 1 ) se 1 x < 3 ; 1 se x 3 8 c) 15/3 4.a) se x < ; ( x + 3x + ) se 1 x < 0; ( x) se 0 x < 4 / 3 ; 1 se x 4 / 3 b) 3/48 5. a) não b) -373/450 c) 689/4 8. a) /87 b) 149/61 9. a) -1 b) 7,16 c) não 10. a) 0 b) 14 c) 7/3 d) c) 70/4 1. a) /5 b) 81/50 c) 0, d) 0 14.a) 1/10 b) 7/10 c) 60/7 d) não 15. 7a 3 3 ( a + 8) 16. a) 1, 0 x 4 gx ( ) = 4 0, cc.. 1 ( y), y hy ( ) = , cc. b) sm a) f ( x, y) dxdy = , 0 x 1 b) g( x) = 0, cc.. e 1, 0 y 1 h( y) = 0, cc.. x 1, para 1< x < e < y < 4 x f( x, y) =, para < x < 3 e < y < 4 0, fora destes ntervalos 67

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha)

X = 1, se ocorre : VB ou BV (vermelha e branca ou branca e vermelha) Estatístca p/ Admnstração II - Profª Ana Cláuda Melo Undade : Probabldade Aula: 3 Varável Aleatóra. Varáves Aleatóras Ao descrever um espaço amostral de um expermento, não especfcamos que um resultado

Leia mais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais

R X. X(s) Y Y(s) Variáveis aleatórias discretas bidimensionais 30 Varáves aleatóras bdmensonas Sea ε uma experênca aleatóra e S um espaço amostral assocado a essa experênca. Seam X X(s) e Y Y(s) duas funções cada uma assocando um número real a cada resultado s S.

Leia mais

AEP FISCAL ESTATÍSTICA

AEP FISCAL ESTATÍSTICA AEP FISCAL ESTATÍSTICA Módulo 11: Varáves Aleatóras (webercampos@gmal.com) VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 1. Conceto de Varáves Aleatóras Exemplo: O expermento consste no lançamento de duas moedas: X: nº de caras

Leia mais

Introdução e Organização de Dados Estatísticos

Introdução e Organização de Dados Estatísticos II INTRODUÇÃO E ORGANIZAÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICOS 2.1 Defnção de Estatístca Uma coleção de métodos para planejar expermentos, obter dados e organzá-los, resum-los, analsá-los, nterpretá-los e deles extrar

Leia mais

Elementos de Estatística e Probabilidades II

Elementos de Estatística e Probabilidades II Elementos de Estatístca e Probabldades II Varáves e Vetores Aleatóros dscretos Inês Das 203 O prncpal objetvo da deste documento é fornecer conhecmentos báscos de varáves aleatóras dscretas e pares aleatóros

Leia mais

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna

Apostila de Estatística Curso de Matemática. Volume II 2008. Probabilidades, Distribuição Binomial, Distribuição Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna Apostla de Estatístca Curso de Matemátca Volume II 008 Probabldades, Dstrbução Bnomal, Dstrbução Normal. Prof. Dr. Celso Eduardo Tuna 1 Capítulo 8 - Probabldade 8.1 Conceto Intutvamente pode-se defnr probabldade

Leia mais

Regressão e Correlação Linear

Regressão e Correlação Linear Probabldade e Estatístca I Antono Roque Aula 5 Regressão e Correlação Lnear Até o momento, vmos técncas estatístcas em que se estuda uma varável de cada vez, estabelecendo-se sua dstrbução de freqüêncas,

Leia mais

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma.

TEORIA DE ERROS * ERRO é a diferença entre um valor obtido ao se medir uma grandeza e o valor real ou correto da mesma. UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE FÍSICA AV. FERNANDO FERRARI, 514 - GOIABEIRAS 29075-910 VITÓRIA - ES PROF. ANDERSON COSER GAUDIO FONE: 4009.7820 FAX: 4009.2823

Leia mais

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA

Análise de Regressão. Profa Alcione Miranda dos Santos Departamento de Saúde Pública UFMA Análse de Regressão Profa Alcone Mranda dos Santos Departamento de Saúde Públca UFMA Introdução Uma das preocupações estatístcas ao analsar dados, é a de crar modelos que explctem estruturas do fenômeno

Leia mais

Notas de Aula de Probabilidade A

Notas de Aula de Probabilidade A VII- VARIÁVEIS ALEATÓRIAS UNIDIMENSIONAIS. 7. CONCEITO DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS: Informalmente, uma varável aleatóra é um característco numérco do resultado de um epermento aleatóro. Defnção: Uma varável

Leia mais

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística

ESTATÍSTICA MULTIVARIADA 2º SEMESTRE 2010 / 11. EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revisões de Estatística ESTATÍSTICA MULTIVARIADA º SEMESTRE 010 / 11 EXERCÍCIOS PRÁTICOS - CADERNO 1 Revsões de Estatístca -0-11 1.1 1.1. (Varáves aleatóras: função de densdade e de dstrbução; Méda e Varânca enquanto expectatvas

Leia mais

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza

Escolha do Consumidor sob condições de Risco e de Incerteza 9/04/06 Escolha do Consumdor sob condções de Rsco e de Incerteza (Capítulo 7 Snyder/Ncholson e Capítulo Varan) Turma do Prof. Déco Kadota Dstnção entre Rsco e Incerteza Na lteratura econômca, a prmera

Leia mais

Departamento de Informática. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Modelagem Analítica. Disciplina: Variável Aleatória

Departamento de Informática. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Modelagem Analítica. Disciplina: Variável Aleatória Departamento de Informátca Dscplna: do Desempenho de Sstemas de Computação Varável leatóra Prof. Sérgo Colcher colcher@nf.puc-ro.br Varável leatóra eal O espaço de amostras Ω fo defndo como o conjunto

Leia mais

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS

NOTA II TABELAS E GRÁFICOS Depto de Físca/UFMG Laboratóro de Fundamentos de Físca NOTA II TABELAS E GRÁFICOS II.1 - TABELAS A manera mas adequada na apresentação de uma sére de meddas de um certo epermento é através de tabelas.

Leia mais

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal

www.obconcursos.com.br/portal/v1/carreirafiscal www.obconcursos.com.br/portal/v1/carrerafscal Moda Exercíco: Determne o valor modal em cada um dos conjuntos de dados a segur: X: { 3, 4,, 8, 8, 8, 9, 10, 11, 1, 13 } Mo 8 Y: { 10, 11, 11, 13, 13, 13,

Leia mais

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas

Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire. Integrais Múltiplas Unversdade Salvador UNIFACS Cursos de Engenhara Cálculo IV Profa: Ilka ebouças Frere Integras Múltplas Texto 3: A Integral Dupla em Coordenadas Polares Coordenadas Polares Introduzremos agora um novo sstema

Leia mais

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO

Professor Mauricio Lutz CORRELAÇÃO Professor Maurco Lutz 1 CORRELAÇÃO Em mutas stuações, torna-se nteressante e útl estabelecer uma relação entre duas ou mas varáves. A matemátca estabelece város tpos de relações entre varáves, por eemplo,

Leia mais

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear

Probabilidade e Estatística. Correlação e Regressão Linear Probabldade e Estatístca Correlação e Regressão Lnear Correlação Este uma correlação entre duas varáves quando uma delas está, de alguma forma, relaconada com a outra. Gráfco ou Dagrama de Dspersão é o

Leia mais

FAAP APRESENTAÇÃO (1)

FAAP APRESENTAÇÃO (1) ARESENTAÇÃO A Estatístca é uma cênca que organza, resume e smplfca nformações, além de analsá-las e nterpretá-las. odemos dvdr a Estatístca em três grandes campos:. Estatístca Descrtva- organza, resume,

Leia mais

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas

Introdução à Análise de Dados nas medidas de grandezas físicas Introdução à Análse de Dados nas meddas de grandezas físcas www.chem.wts.ac.za/chem0/ http://uregna.ca/~peresnep/ www.ph.ed.ac.uk/~td/p3lab/analss/ otas baseadas nos apontamentos Análse de Dados do Prof.

Leia mais

Covariância e Correlação Linear

Covariância e Correlação Linear TLF 00/ Cap. X Covarânca e correlação lnear Capítulo X Covarânca e Correlação Lnear 0.. Valor médo da grandeza (,) 0 0.. Covarânca na propagação de erros 03 0.3. Coecente de correlação lnear 05 Departamento

Leia mais

METROLOGIA E ENSAIOS

METROLOGIA E ENSAIOS METROLOGIA E ENSAIOS Incerteza de Medção Prof. Aleandre Pedott pedott@producao.ufrgs.br Freqüênca de ocorrênca Incerteza da Medção Dstrbução de freqüênca das meddas Erro Sstemátco (Tendênca) Erro de Repettvdade

Leia mais

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas

3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Medidas Numéricas PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EGEHARIA DE TRASPORTES E GESTÃO TERRITORIAL PPGTG DEPARTAMETO DE EGEHARIA CIVIL ECV DISCIPLIA: TGT41006 FUDAMETOS DE ESTATÍSTICA 3ª AULA: ESTATÍSTICA DESCRITIVA Meddas umércas

Leia mais

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias

7. Resolução Numérica de Equações Diferenciais Ordinárias 7. Resolução Numérca de Equações Dferencas Ordnáras Fenômenos físcos em dversas áreas, tas como: mecânca dos fludos, fluo de calor, vbrações, crcutos elétrcos, reações químcas, dentre váras outras, podem

Leia mais

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00)

Y X Baixo Alto Total Baixo 1 (0,025) 7 (0,175) 8 (0,20) Alto 19 (0,475) 13 (0,325) 32 (0,80) Total 20 (0,50) 20 (0,50) 40 (1,00) Bussab&Morettn Estatístca Básca Capítulo 4 Problema. (b) Grau de Instrução Procedênca º grau º grau Superor Total Interor 3 (,83) 7 (,94) (,) (,33) Captal 4 (,) (,39) (,) (,3) Outra (,39) (,7) (,) 3 (,3)

Leia mais

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos

Despacho Econômico de. Sistemas Termoelétricos e. Hidrotérmicos Despacho Econômco de Sstemas Termoelétrcos e Hdrotérmcos Apresentação Introdução Despacho econômco de sstemas termoelétrcos Despacho econômco de sstemas hdrotérmcos Despacho do sstema braslero Conclusões

Leia mais

Estatística stica Descritiva

Estatística stica Descritiva AULA1-AULA5 AULA5 Estatístca stca Descrtva Prof. Vctor Hugo Lachos Davla oo que é a estatístca? Para mutos, a estatístca não passa de conjuntos de tabelas de dados numércos. Os estatístcos são pessoas

Leia mais

CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva

CAPÍTULO 2 - Estatística Descritiva INF 16 Prof. Luz Alexandre Peternell CAPÍTULO - Estatístca Descrtva Exercícos Propostos 1) Consderando os dados amostras abaxo, calcular: méda artmétca, varânca, desvo padrão, erro padrão da méda e coefcente

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Prof. Lorí Val, Dr. UFRG Insttuto de Matemátca

Leia mais

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação

Ministério da Educação. Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Cálculo do Conceito Preliminar de Cursos de Graduação Mnstéro da Educação Insttuto Naconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera Cálculo do Conceto Prelmnar de Cursos de Graduação Nota Técnca Nesta nota técnca são descrtos os procedmentos utlzados

Leia mais

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino

IV - Descrição e Apresentação dos Dados. Prof. Herondino IV - Descrção e Apresentação dos Dados Prof. Herondno Dados A palavra "dados" é um termo relatvo, tratamento de dados comumente ocorre por etapas, e os "dados processados" a partr de uma etapa podem ser

Leia mais

Caderno de Exercícios Resolvidos

Caderno de Exercícios Resolvidos Estatístca Descrtva Exercíco 1. Caderno de Exercícos Resolvdos A fgura segunte representa, através de um polígono ntegral, a dstrbução do rendmento nas famílas dos alunos de duas turmas. 1,,75 Turma B

Leia mais

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA

1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 1. ANÁLISE EXPLORATÓRIA E ESTATÍSTICA DESCRITIVA 014 Estatístca Descrtva e Análse Exploratóra Etapas ncas. Utlzadas para descrever e resumr os dados. A dsponbldade de uma grande quantdade de dados e de

Leia mais

7 - Distribuição de Freqüências

7 - Distribuição de Freqüências 7 - Dstrbução de Freqüêncas 7.1 Introdução Em mutas áreas há uma grande quantdade de nformações numércas que precsam ser dvulgadas de forma resumda. O método mas comum de resumr estes dados numércos consste

Leia mais

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina: Medida de Probabilidade

Departamento de Informática. Modelagem Analítica. Modelagem Analítica do Desempenho de Sistemas de Computação. Disciplina: Medida de Probabilidade Departaento de Inforátca Dscplna: do Desepenho de Ssteas de Coputação Medda de Probabldade Prof. Sérgo Colcher colcher@nf.puc-ro.br Teora da Probabldade Modelo ateátco que perte estudar, de fora abstrata,

Leia mais

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG

CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnilesteMG 1 CENTRO UNIVERSITÁRIO DO LESTE DE MINAS GERAIS - UnlesteMG Dscplna: Introdução à Intelgênca Artfcal Professor: Luz Carlos Fgueredo GUIA DE LABORATÓRIO LF. 01 Assunto: Lógca Fuzzy Objetvo: Apresentar o

Leia mais

2 Incerteza de medição

2 Incerteza de medição 2 Incerteza de medção Toda medção envolve ensaos, ajustes, condconamentos e a observação de ndcações em um nstrumento. Este conhecmento é utlzado para obter o valor de uma grandeza (mensurando) a partr

Leia mais

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO

CORRELAÇÃO E REGRESSÃO CORRELAÇÃO E REGRESSÃO Constata-se, freqüentemente, a estênca de uma relação entre duas (ou mas) varáves. Se tal relação é de natureza quanttatva, a correlação é o nstrumento adequado para descobrr e medr

Leia mais

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem.

1 a Lei de Kirchhoff ou Lei dos Nós: Num nó, a soma das intensidades de correntes que chegam é igual à soma das intensidades de correntes que saem. Les de Krchhoff Até aqu você aprendeu técncas para resolver crcutos não muto complexos. Bascamente todos os métodos foram baseados na 1 a Le de Ohm. Agora você va aprender as Les de Krchhoff. As Les de

Leia mais

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS

INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS Físca Laboratoral Ano Lectvo 003/04 ITRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS AS MEDIDAS DE GRADEAS FÍSICAS. Introdução.... Erros de observação: erros sstemátcos e erros fortutos ou acdentas... 3. Precsão e rgor...3

Leia mais

PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS

PROBABILIDADE - CONCEITOS BÁSICOS ROBBILIDD - CONCITOS BÁSICOS xpermento leatóro é um expermento no qual: todos os possíves resultados são conhecdos; resulta num valor desconhecdo, dentre todos os resultados possíves; pode ser repetdo

Leia mais

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA

PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Mara Manuela Portela DECvl, IST, 0 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA APLICADAS À HIDROLOGIA Mauro aghettn Professor Assocado, Escola de Engenhara

Leia mais

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos

Curso de extensão, MMQ IFUSP, fevereiro/2014. Alguns exercício básicos Curso de extensão, MMQ IFUSP, feverero/4 Alguns exercíco báscos I Exercícos (MMQ) Uma grandeza cujo valor verdadero x é desconhecdo, fo medda três vezes, com procedmentos expermentas dêntcos e, portanto,

Leia mais

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um).

INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE. A probabilidade é uma medida da incerteza dos fenômenos. Traduz-se por um número real compreendido de 0 ( zero) e 1 ( um). INTRODUÇÃO À PROILIDDE teora das probabldade nada mas é do que o bom senso transformado em cálculo probabldade é o suporte para os estudos de estatístca e expermentação. Exemplos: O problema da concdênca

Leia mais

Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira

Estatística Experimental Medicina Veterinária. Faculadade de Ciências Agrárias e Veterinárias. Campus de Jaboticabal SP. Gener Tadeu Pereira MATERIAL DIDÁTICO Medcna Veternára Faculadade de Cêncas Agráras e Veternáras Campus de Jabotcabal SP Gener Tadeu Perera º SEMESTRE DE 04 ÍNDICE INTRODUÇÃO AO R AULA ESTATÍSTICA DESCRITIVA 3 º EXERCÍCIO

Leia mais

REGRESSÃO LOGÍSTICA. Seja Y uma variável aleatória dummy definida como:

REGRESSÃO LOGÍSTICA. Seja Y uma variável aleatória dummy definida como: REGRESSÃO LOGÍSTCA. ntrodução Defnmos varáves categórcas como aquelas varáves que podem ser mensurados usando apenas um número lmtado de valores ou categoras. Esta defnção dstngue varáves categórcas de

Leia mais

Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade

Controle Estatístico de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do monitoramento de mais de uma característica de qualidade Controle Estatístco de Processos: a questão da autocorrelação, dos erros de mensuração e do montoramento de mas de uma característca de qualdade Docentes: Maysa S. de Magalhães; Lnda Lee Ho; Antono Fernando

Leia mais

Análise Descritiva com Dados Agrupados

Análise Descritiva com Dados Agrupados Análse Descrtva com Dados Agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas descrtvas

Leia mais

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para

Objetivos da aula. Essa aula objetiva fornecer algumas ferramentas descritivas úteis para Objetvos da aula Essa aula objetva fornecer algumas ferramentas descrtvas útes para escolha de uma forma funconal adequada. Por exemplo, qual sera a forma funconal adequada para estudar a relação entre

Leia mais

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05

LQA - LEFQ - EQ -Química Analítica Complemantos Teóricos 04-05 LQA - LEFQ - EQ -Químca Analítca Complemantos Teórcos 04-05 CONCEITO DE ERRO ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS Embora uma análse detalhada do erro em Químca Analítca esteja fora do âmbto desta cadera, sendo abordada

Leia mais

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens

O problema da superdispersão na análise de dados de contagens O problema da superdspersão na análse de dados de contagens 1 Uma das restrções mpostas pelas dstrbuções bnomal e Posson, aplcadas usualmente na análse de dados dscretos, é que o parâmetro de dspersão

Leia mais

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas

3.6. Análise descritiva com dados agrupados Dados agrupados com variáveis discretas 3.6. Análse descrtva com dados agrupados Em algumas stuações, os dados podem ser apresentados dretamente nas tabelas de frequêncas. Netas stuações devemos utlzar estratégas específcas para obter as meddas

Leia mais

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES

CURSO ON-LINE PROFESSOR: VÍTOR MENEZES O Danel Slvera pedu para eu resolver mas questões do concurso da CEF. Vou usar como base a numeração do caderno foxtrot Vamos lá: 9) Se, ao descontar uma promssóra com valor de face de R$ 5.000,00, seu

Leia mais

DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO

DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO DEFINIÇÃO - MODELO LINEAR GENERALIZADO 1 Um modelo lnear generalzado é defndo pelos seguntes três componentes: Componente aleatóro; Componente sstemátco; Função de lgação; Componente aleatóro: Um conjunto

Leia mais

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF)

CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Finitos (MEF) PMR 40 - Mecânca Computaconal CAPÍTULO VI Introdução ao Método de Elementos Fntos (MEF). Formulação Teórca - MEF em uma dmensão Consderemos a equação abao que representa a dstrbução de temperatura na barra

Leia mais

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S

Universidade Federal da Bahia Instituto de Física Departamento de Física da Terra e do Meio Ambiente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Unversdade Federal da Baha Insttuto de Físca Departamento de Físca da Terra e do Meo Ambente TEXTOS DE LABORATÓRIO T E O R I A D E E R R O S Físca I SALVADOR, BAHIA 013 1 Prefáco Esta apostla é destnada

Leia mais

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA

CAPÍTULO 2 DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA CAPÍTULO DESCRIÇÃO DE DADOS ESTATÍSTICA DESCRITIVA. A MÉDIA ARITMÉTICA OU PROMÉDIO Defnção: é gual a soma dos valores do grupo de dados dvdda pelo número de valores. X x Soma dos valores de x número de

Leia mais

PROBLEMAS SOBRE PONTOS Davi Máximo (UFC) e Samuel Feitosa (UFC)

PROBLEMAS SOBRE PONTOS Davi Máximo (UFC) e Samuel Feitosa (UFC) PROBLEMS SOBRE PONTOS Dav Máxmo (UFC) e Samuel Fetosa (UFC) Nível vançado Dstrbur pontos num plano ou num espaço é uma tarefa que pode ser realzada de forma muto arbtrára Por sso, problemas sobre pontos

Leia mais

ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS

ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS CCE DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA Curso de Especalzação Lato Sensu em Estatístca ANÁLISE EXPLORATÓRIA DE DADOS Professor: Dr. Waldr Medr medr@uel.br Londrna/Pr Março de 011 ÍNDICE

Leia mais

REITORA Ângela Maria Paiva Cruz. VICE-REITOR José Daniel Diniz Melo

REITORA Ângela Maria Paiva Cruz. VICE-REITOR José Daniel Diniz Melo REITORA Ângela Mara Pava Cruz VICE-REITOR José Danel Dnz Melo DIRETORIA ADMINISTRATIVA DA EDUFRN Lus Passegg (Dretor) Wlson Fernandes (Dretor Adjunto) Judthe Albuquerque (Secretára) CONSELHO EDITORIAL

Leia mais

Prof. Lorí Viali, Dr.

Prof. Lorí Viali, Dr. Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://www.mat.ufrgs.br/~val/ 1 É o grau de assocação entre duas ou mas varáves. Pode ser: correlaconal ou expermental. Numa relação expermental os valores de uma das

Leia mais

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07

Estatística I Licenciatura MAEG 2006/07 Estatístca I Lcencatura MAEG 006/07 AMOSTRAGEM. DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM.. Em determnada unversdade verfca-se que 30% dos alunos têm carro. Seleccona-se uma amostra casual smples de 0 alunos. a) Qual

Leia mais

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência.

Os modelos de regressão paramétricos vistos anteriormente exigem que se suponha uma distribuição estatística para o tempo de sobrevivência. MODELO DE REGRESSÃO DE COX Os modelos de regressão paramétrcos vstos anterormente exgem que se suponha uma dstrbução estatístca para o tempo de sobrevvênca. Contudo esta suposção, caso não sea adequada,

Leia mais

ELETRICIDADE E MAGNETISMO

ELETRICIDADE E MAGNETISMO PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE GOIÁS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E FÍSICA Professor: Renato Mederos ELETRICIDADE E MAGNETISMO NOTA DE AULA III Goâna - 2014 CORRENTE ELÉTRICA Estudamos anterormente

Leia mais

Cálculo do Conceito ENADE

Cálculo do Conceito ENADE Insttuto aconal de Estudos e Pesqusas Educaconas Aníso Texera IEP Mnstéro da Educação ME álculo do onceto EADE Para descrever o cálculo do onceto Enade, prmeramente é mportante defnr a undade de observação

Leia mais

BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2011

BC0406 Introdução à Probabilidade e à Estatística Lista de Exercícios Suplementares 3 3 quadrimestre 2011 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares novembro 0 BC0406 Introdução à Probabldade e à Estatístca Lsta de Eercícos Suplementares quadrmestre 0 Além destes eercícos,

Leia mais

2) Como há 6 tipos de peso, e estamos avaliando 2 peças, o espaço amostral será uma matriz 6 x 6:

2) Como há 6 tipos de peso, e estamos avaliando 2 peças, o espaço amostral será uma matriz 6 x 6: Lsta de Exercícos - Probabldade INE 700 GABARITO LISTA DE EXERÍIOS PROBABILIDADE ) Vamos medr o tempo de duração da lâmpada. Ao lgarmos a lâmpada ela pode não funconar, ou durar um tempo ndetermnado. a)

Leia mais

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis.

PARTE 1. 1. Apresente as equações que descrevem o comportamento do preço de venda dos imóveis. EXERCICIOS AVALIATIVOS Dscplna: ECONOMETRIA Data lmte para entrega: da da 3ª prova Valor: 7 pontos INSTRUÇÕES: O trabalho é ndvdual. A dscussão das questões pode ser feta em grupo, mas cada aluno deve

Leia mais

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear

Estatística II Antonio Roque Aula 18. Regressão Linear Estatístca II Antono Roque Aula 18 Regressão Lnear Quando se consderam duas varáves aleatóras ao mesmo tempo, X e Y, as técncas estatístcas aplcadas são as de regressão e correlação. As duas técncas estão

Leia mais

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011

PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 2010/2011 Instruções: PROVA DE ESTATÍSTICA & PROBABILIDADES SELEÇÃO MESTRADO/UFMG 00/0 Cada uestão respondda corretamente vale (um) ponto. Cada uestão respondda ncorretamente vale - (menos um) ponto. Cada uestão

Leia mais

Influência dos Procedimentos de Ensaios e Tratamento de Dados em Análise Probabilística de Estrutura de Contenção

Influência dos Procedimentos de Ensaios e Tratamento de Dados em Análise Probabilística de Estrutura de Contenção Influênca dos Procedmentos de Ensaos e Tratamento de Dados em Análse Probablístca de Estrutura de Contenção Mara Fatma Mranda UENF, Campos dos Goytacazes, RJ, Brasl. Paulo César de Almeda Maa UENF, Campos

Leia mais

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações.

As tabelas resumem as informações obtidas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de informações. 1. TABELA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIA As tabelas resumem as normações obtdas da amostra ou da população. Essas tabelas podem ser construídas sem ou com perda de normações. As tabelas sem perda de normação

Leia mais

Curso de especialização em Finanças e Economia Disciplina: Incerteza e Risco Prof: Sabino da Silva Porto Júnior Sabino@ppge.ufrgs.

Curso de especialização em Finanças e Economia Disciplina: Incerteza e Risco Prof: Sabino da Silva Porto Júnior Sabino@ppge.ufrgs. Incerteza: o básco Curso de especalzação em Fnanças e Economa Dscplna: Incerteza e Rsco Prof: Sabno da Slva Porto Júnor Sabno@ppge.ufrgs.br Introdução Até agora: conseqüêncas das escolhas dos consumdores

Leia mais

Aplicando o método de mínimos quadrados ordinários, você encontrou o seguinte resultado: 1,2

Aplicando o método de mínimos quadrados ordinários, você encontrou o seguinte resultado: 1,2 Econometra - Lsta 3 - Regressão Lnear Múltpla Professores: Hedbert Lopes, Prscla Rbero e Sérgo Martns Montores: Gustavo Amarante e João Marcos Nusdeo QUESTÃO 1. Você trabalha na consultora Fazemos Qualquer

Leia mais

MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES

MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES MOQ-14 PROJETO E ANÁLISE DE EXPERIMENTOS LISTA DE EXERCÍCIOS 1 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES 1. Obtenha os estmadores dos coefcentes lnear e angular de um modelo de regressão lnear smples utlzando o método

Leia mais

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR

UNIVERSIDADE DO ESTADO DA BAHIA - UNEB DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA COLEGIADO DO CURSO DE DESENHO INDUSTRIAL CAMPUS I - SALVADOR Matéra / Dscplna: Introdução à Informátca Sstema de Numeração Defnção Um sstema de numeração pode ser defndo como o conjunto dos dígtos utlzados para representar quantdades e as regras que defnem a forma

Leia mais

Mecânica Estatística. - Leis da Física Macroscópica - Propriedades dos sistemas macroscópicos

Mecânica Estatística. - Leis da Física Macroscópica - Propriedades dos sistemas macroscópicos Mecânca Estatístca Tal como a Termodnâmca Clássca, também a Mecânca Estatístca se dedca ao estudo das propredades físcas dos sstemas macroscópcos. Tratase de sstemas com um número muto elevado de partículas

Leia mais

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS

ESPELHOS E LENTES ESPELHOS PLANOS ESPELHOS E LENTES 1 Embora para os povos prmtvos os espelhos tvessem propredades mágcas, orgem de lendas e crendces que estão presentes até hoje, para a físca são apenas superfíces poldas que produzem

Leia mais

7.4 Precificação dos Serviços de Transmissão em Ambiente Desregulamentado

7.4 Precificação dos Serviços de Transmissão em Ambiente Desregulamentado 64 Capítulo 7: Introdução ao Estudo de Mercados de Energa Elétrca 7.4 Precfcação dos Servços de Transmssão em Ambente Desregulamentado A re-estruturação da ndústra de energa elétrca que ocorreu nos últmos

Leia mais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº2: Distribuições Bidimensionais

Universidade da Beira Interior Departamento de Matemática. Ficha de exercícios nº2: Distribuições Bidimensionais Ano lectvo: 2006/2007 Unversdade da Bera Interor Departamento de Matemátca ESTATÍSTICA Fcha de exercícos nº2: Dstrbuções Bdmensonas Curso: Cêncas do Desporto 1. Consdere a segunte tabela de contngênca:

Leia mais

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001

Sistemas de Filas: Aula 5. Amedeo R. Odoni 22 de outubro de 2001 Sstemas de Flas: Aula 5 Amedeo R. Odon 22 de outubro de 2001 Teste 1: 29 de outubro Com consulta, 85 mnutos (níco 10:30) Tópcos abordados: capítulo 4, tens 4.1 a 4.7; tem 4.9 (uma olhada rápda no tem 4.9.4)

Leia mais

Termodinâmica e Termoquímica

Termodinâmica e Termoquímica Termodnâmca e Termoquímca Introdução A cênca que trata da energa e suas transformações é conhecda como termodnâmca. A termodnâmca fo a mola mestra para a revolução ndustral, portanto o estudo e compreensão

Leia mais

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM

Princípios do Cálculo de Incertezas O Método GUM Prncípos do Cálculo de Incertezas O Método GUM João Alves e Sousa Laboratóro Regonal de Engenhara Cvl - LREC Rua Agostnho Perera de Olvera, 9000-64 Funchal, Portugal. E-mal: jasousa@lrec.pt Resumo Em anos

Leia mais

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE TAGUCHI NA REDUÇÃO DOS CUSTOS DE PROJETOS. Uma equação simplificada para se determinar o lucro de uma empresa é:

UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE TAGUCHI NA REDUÇÃO DOS CUSTOS DE PROJETOS. Uma equação simplificada para se determinar o lucro de uma empresa é: UTILIZAÇÃO DO MÉTODO DE TAGUCHI A REDUÇÃO DOS CUSTOS DE PROJETOS Ademr José Petenate Departamento de Estatístca - Mestrado em Qualdade Unversdade Estadual de Campnas Brasl 1. Introdução Qualdade é hoje

Leia mais

TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS

TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS TABELAS E GRÁFICOS PARA VARIÁVEIS ALEATÓRIAS QUANTITATIVAS CONTÍNUAS Varável Qualquer característca assocada a uma população Classfcação de varáves Qualtatva { Nomnal sexo, cor dos olhos Ordnal Classe

Leia mais

Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos.

Sempre que surgir uma dúvida quanto à utilização de um instrumento ou componente, o aluno deverá consultar o professor para esclarecimentos. Insttuto de Físca de São Carlos Laboratóro de Eletrcdade e Magnetsmo: Transferênca de Potênca em Crcutos de Transferênca de Potênca em Crcutos de Nesse prátca, estudaremos a potênca dsspada numa resstênca

Leia mais

Associação de resistores em série

Associação de resistores em série Assocação de resstores em sére Fg.... Na Fg.. está representada uma assocação de resstores. Chamemos de I, B, C e D. as correntes que, num mesmo nstante, passam, respectvamente pelos pontos A, B, C e D.

Leia mais

01. Em porcentagem das emissões totais de gases do efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor, conforme a tabela abaixo:

01. Em porcentagem das emissões totais de gases do efeito estufa, o Brasil é o quarto maior poluidor, conforme a tabela abaixo: PROCESSO SELETIVO 7 RESOLUÇÃO MATEMÁTICA Rosane Soares Morera Vana, Luz Cláudo Perera, Lucy Tem Takahash, Olímpo Hrosh Myagak QUESTÕES OBJETIVAS Em porcentagem das emssões totas de gases do efeto estufa,

Leia mais

Lista de Exercícios de Recuperação do 2 Bimestre. Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M.

Lista de Exercícios de Recuperação do 2 Bimestre. Lista de exercícios de Recuperação de Matemática 3º E.M. Lsta de Exercícos de Recuperação do Bmestre Instruções geras: Resolver os exercícos à caneta e em folha de papel almaço ou monobloco (folha de fcháro). Copar os enuncados das questões. Entregar a lsta

Leia mais

EST 220 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL

EST 220 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA EST 0 ESTATÍSTICA EXPERIMENTAL Vçosa Mnas Geras 00 / II UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de

Leia mais

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Taxas Equivalentes Rendas

Análise de Projectos ESAPL / IPVC. Taxas Equivalentes Rendas Análse de Projectos ESAPL / IPVC Taxas Equvalentes Rendas Taxas Equvalentes Duas taxas e, referentes a períodos dferentes, dzem-se equvalentes se, aplcadas a um mesmo captal, produzrem durante o mesmo

Leia mais

Notas de Aula de Física

Notas de Aula de Física Versão prelmnar 7 de setembro de Notas de Aula de Físca 7. TRABAO E ENERGIA CINÉTICA... MOVIMENTO EM UMA DIMENSÃO COM FORÇA CONSTANTE... TRABAO EXECUTADO POR UMA FORÇA VARIÁVE... Análse undmensonal...

Leia mais

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA

PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 2013 DA UNICAMP-FASE 1. RESOLUÇÃO: PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA PROVA DE MATEMÁTICA DO VESTIBULAR 03 DA UNICAMP-FASE. PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA QUESTÃO 37 A fgura abaxo exbe, em porcentagem, a prevsão da oferta de energa no Brasl em 030, segundo o Plano Naconal

Leia mais

Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças 1. Introdução 2. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Distribuição 4. Algumas Aplicações 5.

Método de Monte Carlo Aplicado às Finanças 1. Introdução 2. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Distribuição 4. Algumas Aplicações 5. Método de Monte Carlo Aplcado às Fnanças 1. Introdução. O Método de Monte Carlo 3. Inversão da Função de Dstrbução 4. Algumas Aplcações 5. Prncípos Báscos do Método de Monte Carlo 5.1 Introdução 5. Formulação

Leia mais

Aula 03 Erros experimentais Incerteza. Aula 03 Prof. Valner Brusamarello

Aula 03 Erros experimentais Incerteza. Aula 03 Prof. Valner Brusamarello Aula 03 Erros epermentas Incerteza Aula 03 Prof. Valner Brusamarello Incerteza Combnada Efeto da Incerteza sobre = f ± u, ± u, L, ± u, L ( ) 1 1 Epansão em Sére de Talor: k k L f = f 1,, 3, + ± uk + L,,,

Leia mais

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução

2 Máquinas de Vetor Suporte 2.1. Introdução Máqunas de Vetor Suporte.. Introdução Os fundamentos das Máqunas de Vetor Suporte (SVM) foram desenvolvdos por Vapnk e colaboradores [], [3], [4]. A formulação por ele apresentada se basea no prncípo de

Leia mais

Estimativa da Incerteza de Medição da Viscosidade Cinemática pelo Método Manual em Biodiesel

Estimativa da Incerteza de Medição da Viscosidade Cinemática pelo Método Manual em Biodiesel Estmatva da Incerteza de Medção da Vscosdade Cnemátca pelo Método Manual em Bodesel Roberta Quntno Frnhan Chmn 1, Gesamanda Pedrn Brandão 2, Eustáquo Vncus Rbero de Castro 3 1 LabPetro-DQUI-UFES, Vtóra-ES,

Leia mais

2 ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS

2 ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS ANÁLISE ESPACIAL DE EVENTOS Glberto Câmara Marla Sá Carvalho.1 INTRODUÇÃO Neste capítulo serão estudados os fenômenos expressos através de ocorrêncas dentfcadas como pontos localzados no espaço, denomnados

Leia mais

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado)

5.1 Seleção dos melhores regressores univariados (modelo de Índice de Difusão univariado) 5 Aplcação Neste capítulo será apresentada a parte empírca do estudo no qual serão avalados os prncpas regressores, um Modelo de Índce de Dfusão com o resultado dos melhores regressores (aqu chamado de

Leia mais

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média.

Ao se calcular a média, moda e mediana, temos: Quanto mais os dados variam, menos representativa é a média. Estatístca Dscplna de Estatístca 0/ Curso de Admnstração em Gestão Públca Profª. Me. Valéra Espíndola Lessa e-mal: lessavalera@gmal.com Meddas de Dspersão Indcam se os dados estão, ou não, prómos uns dos

Leia mais