Simulações de modelos dinâmicos com amortecimento não-proporcional

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS ANA LÚCIA GRICI ZACARIN MAMEDE Smulações de modelos dnâmcos com amortecmento não-proporconal São Carlos 8

2 ANA LÚCIA GRICI ZACARIN MAMEDE Smulações de modelos dnâmcos com amortecmento não-proporconal Dssertação apresentada à Escola de Engenhara de São Carlos da Unversdade de São Paulo, como parte dos requstos para a obtenção do título de Mestre em Engenhara Mecânca. Área de concentração: Dnâmca de Sstemas Mecâncos Orentador: Prof. Dr. Roberto Hdeak Tsunak São Carlos 8

3 Dedcatóra A memóra do meu avô Otavano que engenhava sementes e cosas dando sgnfcado a tudo que não tnha sgnfcado só e que através de suas mãos era promovdo o encontro e desse encontro um novo muto maor passava a exstr. Mutas dessas sementes soltáras ele semeou em mm e tenho certeza que contnua acompanhando o germnar de cada uma delas com sua lanterna de sonhos.

4 Agradecmentos Meu Deus, agradeço por todos os dons que me destes, com gratdão quero vos devolver para que dsponha deles segundo a Vossa vontade. Mnha gratdão ao Prof. Maro Mucheron pela oportundade de guerrear quando só hava o nvsível e com sua ajuda dscernndo o nvsível consegu desnventar a deslusão e enxergar em cada equação um sonho a ser deduzdo e tornado vsível. Agradeço ao Prof. Roberto Hdeak Tsunak por acetar o desfecho dessa mnha hstóra. Todo meu amor e gratdão ao Whsner pela persstênca em cultvar uma semente lançada no vazo onde não hava mas sonhos e que precsou do abandono e escurdão para ser germnada e dar frutos. Com carnho, agradeço aos meus pas Dorval e Mara Augusta pela eterna pacênca e apoo em todos os momentos da mnha vda. A mnha rmã Govana agradeço por todo empenho e prontdão dedcados e pela pacênca de tantas notes mal dormdas pelo montor de vídeo sempre lgado. Ao meu cunhado André agradeço por ter ceddo váras vezes o seu tempo para ajudar em um trabalho meu. Agradeço pelo companhersmo dos meus gatos Zagreus, Iss e Nna, que não me dexaram soznha nenhum da e nenhuma note dedcados a este trabalho. O meu muto obrgada a todos os professores e funconáros da EESC.

5 RESUMO Mamede, A. L. G. Z. (8). Smulações de modelos dnâmcos com amortecmento nãoproporconal. Dssertação (Mestrado) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 8. Alguns métodos aproxmados são sugerdos na lteratura relaconada para encontrar a resposta de sstemas com amortecmento não-proporconal. Mutas vezes procura-se estabelecer um crtéro para aproxmar o amortecmento não-proporconal por um modelo de amortecmento proporconal. Neste trabalho foram utlzadas smulações de modelos dnâmcos com três graus de lberdade, com amortecmento não proporconal, a fm de analsar os valores obtdos para as freqüêncas naturas, estmados a partr dos autovalores resultantes desses modelos. Os cálculos das freqüêncas naturas e dos amortecmentos modas foram fetos admtndo-se a valdade das relações entre estes parâmetros e os autovalores do problema como são bem conhecdas no caso do amortecmento proporconal. Observa-se que, para o caso de amortecmento não-proporconal, este procedmento pode levar a erros sgnfcatvos na avalação destes parâmetros. Nos problemas smulados é possível quantfcar os erros nas avalações das freqüêncas naturas, sendo sgnfcatvos para fatores de amortecmentos altos. Observa-se que para os fatores de amortecmento não é possível quantfcar estes erros, sendo que seus valores são apenas aproxmações baseadas na teora de amortecmento proporconal. Este trabalho apresenta dados que possbltam uma dscussão sobre as dferenças encontradas entre os valores das freqüêncas naturas e os valores estmados pelas expressões clásscas do amortecmento proporconal. Palavras-chave: Sstemas dnâmcos. Vbrações mecâncas. Amortecmento não-proporconal.

6 ABSTRACT Mamede, A. L. G. Z. (8). Dynamc smulatons of mechancal systems wth nonproportonal dampng. Dssertaton (Master) - Escola de Engenhara de São Carlos, Unversdade de São Paulo, São Carlos, 8. Some approxmate methods are suggested n the related lterature to fnd the output of mechancal systems wth non-proportonal dampng. Often they try to establsh a crteron that approxmates the non-proportonal dampng to proportonal dampng model. In ths work, smulatons of dynamcs models of three degree of freedom wth non-proportonal dampng were used to examne the values of natural frequences, estmated from the egenvalues obtaned by these models. The calculatons of natural frequences and modal dampng rato were performed assumng the valdty of the relatonshp between these parameters and the well known egenvalues of the problem n the proportonal dampng case. In the smulated problems s possble to quantfy the errors n the evaluatons of the natural frequences and ths errors are sgnfcant for the case where the dampng factors are hgh. It s observed that for the dampng factors t s not possble to quantfy these errors, and ther magntudes are only approxmatons based on the theory of proportonal dampng. Ths work presents data whch enables a dscusson about the dfferences between the magntude of natural frequences and the magntude estmated by the classc equatons of proportonal dampng. Keywords: Dynamc systems. Mechancal vbratons. Non-proportonal dampng.

7 LISTA DE FIGURAS Fgura Sstema massas-molas-amortecedores com 3GDL...45 Fgura 4. Prmera freqüênca natural ( ω n 1) estmada em função da varação de c Fgura 4.3 Parte real do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b Fgura Parte magnára do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b Fgura Segunda freqüênca natural ( ω n ) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do segundo autovalor: λ = a ± b...5 Fgura Parte magnára do segundo autovalor: λ = a ± b...5 Fgura Tercera freqüênca natural ( ω n 3 ) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura Parte magnára do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura 4.11 Varação da porcentagem de erro para ω n...55 Fgura Estmatvas do prmero fator de amortecmento modal...57 Fgura Estmatvas do segundo fator de amortecmento modal...57 Fgura 4.14 Estmatvas do tercero fator de amortecmento modal...58 Fgura Prmera freqüênca natural ( ω n 1) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b Fgura 4.17 Parte magnára do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b Fgura Segunda freqüênca natural ( ω n ) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do segundo autovalor: λ = a ± b.....6

8 Fgura 4. - Parte magnára do segundo autovalor: λ 1 = a ± b...6 Fgura Tercera freqüênca natural ( ω n 3 ) estmada em função da varação de c Fgura 4. - Parte real do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura Parte magnára do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura 4.4 Varação da porcentagem de erro obtda paraω...65 Fgura Estmatvas do prmero fator de amortecmento modal Fgura Estmatvas do segundo fator de amortecmento modal...67 Fgura Estmatvas do tercero fator de amortecmento modal...67 Fgura Prmera freqüênca natural ( ω n 1) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b1...7 Fgura Parte magnára do prmero autovalor: λ 1 = a 1 ± b Fgura Segunda freqüênca natural ( ω n ) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do segundo autovalor: λ = a ± b Fgura Parte magnára do segundo autovalor: λ = a ± b Fgura Tercera freqüênca natural ( ω n 3 ) estmada em função da varação de c Fgura Parte real do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura Parte magnára do tercero autovalor: λ 3 = a 3 ± b Fgura Varação da porcentagem de erro obtda paraω...75 Fgura Estmatvas do prmero fator de amortecmento modal Fgura Estmatvas do segundo fator de amortecmento modal...77 Fgura Estmatvas do tercero fator de amortecmento modal n n

9 LISTA DE TABELAS Tabela 4.1 Dados utlzados para o caso Tabela 4. Valores de Tabela 4.3 Erro calculado em porcentagem para ω n e ω n calculados para c1 varando de, a ω n - ω n...55 Tabela 4.4 Fatores de amortecmento estmados em função da varação de c Tabela 4.5 Dados utlzados para o caso...58 Tabela 4.6 Valores de Tabela 4.7 Erro calculado em porcentagem para ω n e ω n calculados para c5 varando de, a ω n - ω n...65 Tabela 4.8 Fatores de amortecmento estmados em função da varação de c Tabela Dados utlzados para o caso Tabela Valores de Tabela 4.11 Erro calculado em porcentagem para ω n e ω n calculados para c6 varando de, a ω n - ω n...75 Tabela Fatores de amortecmento estmados em função da varação de c

10 LISTA DE SÍMBOLOS m k c constante de massa modal. constante de rgdez modal. coefcente de amortecmento modal. f força externa atuante na massa m. λ 1 λ raíz da equação característca raíz da equação característca. a constante complexa dependente das condções ncas mpostas ao sstema. b constante complexa dependente das condções ncas mpostas ao sstema. ζ ω n ω d fator de amortecmento. freqüênca natural do sstema. freqüênca natural amortecda. T M = M matrz de massa postva-defnda. T C = C matrz de amortecmento. T K = K matrz de rgdez. w vetor deslocamento.

11 w& vetor velocdade. w& & vetor aceleração. λ q autovalores do -ésmo modo. forma de vbrar do -ésmo modo normal. Q r a a 1 I y x D A B matrz modal. coordenadas modas ou coordenadas normas do -ésmo modo. constante real. constante real. vetor de estado. vetor de estado. matrz dentdade. matrz de estado. matrz de estado. matrz de estado. (k ) c k-ésmo elemento do vetor c. (k ) d k-ésmo elemento do vetor d. (k ) a módulo do k-ésmo elemento do vetor q. (k ) ϕ fase do k-ésmo elemento do vetor q. ω n ζ freqüênca natural estmada. fator de amortecmento modal estmado.

12 SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 1 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA TEORIA BÁSICA DE VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL E NÃO PROPORCIONAL MODELOS SIMULADOS E RESULTADOS SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DINÂMICOS COM VARIAÇÃO DO ELEMENTO c 1 DA MATRIZ DE AMORTECIMENTO CASO SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DINÂMICOS COM VARIAÇÃO DO ELEMENTO c 5 DA MATRIZ DE AMORTECIMENTO CASO SIMULAÇÃO NUMÉRICA DE SISTEMAS DINÂMICOS COM VARIAÇÃO DO ELEMENTO c 6 DA MATRIZ DE AMORTECIMENTO CASO CONCLUSÃO... 8 REFERÊNCIAS ANEXOS... 9

13 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO Em modelos de sstemas dnâmcos com parâmetros agrupados na lteratura dentfcados por lumped-parameters uma força de exctação externa ntroduz energa no sstema, que é armazenada pelos parâmetros de massa e de mola e dsspada pelos parâmetros de amortecedor. As massas são modeladas como corpos rígdos que armazenam energa cnétca. As molas, que representam elementos elástcos, armazenam a energa potencal. São consderadas deas com massas desprezíves. As forças de mola ocorrem quando há um deslocamento relatvo entre as suas extremdades e o trabalho feto para comprmr ou estender a mola é armazenado como energa potencal a energa de deformação armazenada na mola. Os amortecedores são consderados elementos deas e não possuem massa, nem elastcdade. As forças de amortecmento são produzdas quando ocorrem velocdades relatvas entre suas extremdades. Os amortecedores são dentfcados como elementos nãoconservatvos porque dsspam a energa mecânca do sstema. Exstem város tpos de modelos de amortecmento, mas o amortecmento vscoso sto é, força de amortecmento proporconal à velocdade é o modelo mas usado nos estudos de vbrações mecâncas. Sstemas mecâncos não amortecdos como descrtos acma apresentam movmentos vbratóros com característcas partculares. Tas movmentos são denomnados modos de vbrar, que ocorrem em freqüêncas própras dos sstemas, denomnadas por freqüêncas

14 naturas. Estas característcas de sstemas não amortecdos também são própras de sstemas amortecdos com determnados modelos de amortecmento. Os modos de vbrar, as freqüêncas naturas e os fatores de amortecmento modas são denomnados parâmetros modas do sstema. Sua determnação, tanto teórca como expermentalmente são mportantes na análse de sstemas dnâmcos. A análse modal é atualmente um método efcente para se resolver problemas de vbração em estruturas flexíves. O conceto de análse modal, aplcado a sstemas nãoamortecdos, pode ser estenddo a determnados modelos de amortecmento. Os modos de vbrar de sstemas não-amortecdos, também conhecdos como modos clásscos, satsfazem às condções de ortogonaldade entre modos de vbrar. A matrz modal, matrz composta pelos modos de vbrar, é usada como transformação de coordenadas para dagonalzar as matrzes de massa e de rgdez no espaço das confgurações n X n, onde n é o número de graus de lberdade do modelo. Esta propredade traz uma sgnfcatva smplfcação à análse dnâmca, pos um sstema de múltplos graus de lberdade pode ser tratado como uma coleção de város sstemas de um grau de lberdade, todos dasacoplados. Sstemas dnâmcos reas são amortecdos uma vez que sempre possuem algum mecansmo de dsspação de energa, o chamado amortecmento. Para se aplcar técncas de análse modal de sstemas não-amortecdos aos sstemas amortecdos no espaço n X n, é necessáro fazer a hpótese de amortecmento proporconal. Este é um modelo especal de amortecmento vscoso que admte a matrz de amortecmento como uma combnação lnear das matrzes de massa e de rgdez. Esse modelo para a matrz de amortecmento é conhecdo como amortecmento de Raylegh ou amortecmento clássco. Os modos de vbrar de sstemas com amortecmento de Raylegh são dêntcos aos modos de vbrar reas do sstema equvalente não-amortecdo. Isto torna também mas smples a análse no espaço de confguração destes sstemas, espaço n X n.

15 Caughey e O Kelly, em 1965, propuseram as condções que um sstema dnâmco amortecdo deve satsfazer para que possua tas modos clásscos, modos reas. Os pesqusadores propuseram também uma expressão para a matrz de amortecmento, em função das matrzes de massa e de rgdez, tal que o sstema possa ser desacoplado utlzandose os modos de vbrar não-amortecdos e provaram que o amortecmento de Raylegh é um caso partcular de uma expressão mas geral. Em resumo, quando a matrz de amortecmento é dagonalzada pela mesma transformação que dagonalza as matrzes de massa e rgdez, o sstema possurá os modos de vbrar reas, denomnados modos clásscos. Por outro lado, nem sempre a matrz de amortecmento pode ser dagonalzada por esta transformação. Estes modelos de amortecmento são denomnados amortecmento não-proporconal, objeto deste trabalho. Neste caso a análse deverá ser conduzda no espaço de estado n X n, onde os autovalores do problema contêm as frequêncas naturas e os fatores de amortecmento modas (de forma mplícta) e os autovetores correspondem ao que na lteratura convenconou-se chamar de modos modos complexos. Mutas estruturas de engenhara possuem um modelo de amortecmento que não é proporconal, mas que pode ser aproxmado por modelo proporconal. Nestes casos há aproxmações na avalação especalmente das freqüêncas naturas. Quanto é o erro nesta avalação anda é uma questão aberta na lteratura. Para um sstema com amortecmento não-proporconal, as equações de movmento nas coordenadas modas (sstema n X n) são acopladas por meo de termos não nulos fora da dagonal da matrz de amortecmento modal. Nestes casos passa-se a fazer a análse no espaço de estado (n X n), onde surgem os denomnados modos complexos. Esta nova matrz

16 modal, agora complexa e de dmensão n X n, desacoplará o sstema no espaço de estado formado por n equações dferencas de prmera ordem. A bblografa que trata de amortecmento em sstemas dnâmcos sugere alguns dferentes métodos que podem ser utlzados para se encontrar a resposta para o caso de uma modelagem com amortecmento não-proporconal. A teora clássca sobre amortecmento proporconal estabelece relações exatas para a obtenção das freqüêncas naturas e dos fatores de amortecmento modal a partr dos autovalores do sstema. Para sstemas com amortecmento não-proporconal estas mesmas relações são anda utlzadas para todas as aplcações, o que conduz a aproxmações nos valores dos parâmetros modas obtdos. Alguns autores Lallement (1995) e Sondpon (1) observam que, para o caso de amortecmento não-proporconal, o método de obtenção dos parâmetros modas que utlza concetos consoldados da teora de amortecmento proporconal, pode levar a erros sgnfcatvos na magntude das freqüêncas naturas e dos fatores de amortecmento modal. 1.1 Justfcatva A tendênca das pesqusas atuas é a de propor métodos para aproxmar como modos reas os modos complexos encontrados para o caso de amortecmento qualquer e de propor hpóteses para se defnr quando esta aproxmação pode ser feta sem grandes dscrepâncas no resultado fnal Neste trabalho, pretende-se através de smulações em alguns modelos de sstemas com 3 graus de lberdade, levantar o comportamento dos erros destas aproxmações. 1. Objetvo Fazer um estudo qualtatvo e quanttatvo dos erros que se cometem ao utlzar modelo aproxmado de amortecmento proporconal para amortecmento não-proporconal analsando o comportamento de sstemas dnâmcos com amortecmento não-proporconal.

17 No capítulo deste trabalho é apresentado um hstórco das prncpas pesqusas que versam sobre amortecmento não-proporconal, salentando os aspectos fundamentas da abordagem sobre o tema. Em seguda, no capítulo 3, são apresentados os prncpas pontos teórcos da análse modal tanto no espaço de confguração como no espaço de estado, utlzando para tanto dferentes fontes bblográfcas clásscas sobre o tema. São apresentadas no capítulo 4 as smulações numércas para três casos dferentes de um modelo dnâmco com três graus de lberdade, com o objetvo de se fazer uma análse quanttatva das freqüêncas naturas de sstemas com amortecmento não-proporconal, avalados com o modelo de amortecmento proporconal. Estão mostrados os modelos, suas matrzes de massa, de amortecmento e de rgdez. Uma verfcação do erro é feta apenas para as freqüêncas naturas pos em modelos smulados é possível saber o valor exato das mesmas, enquanto que os amortecmentos modas estmados são apresentados sem análse de erro, uma vez que é nacessível o valor correto destes parâmetros. No capítulo 5 são dscutdos os resultados das smulações, mostrando as dfculdades das avalações destes parâmetros em caso reas. As conclusões baseadas nos três casos smulados e na teora básca de amortecmento proporconal e não proporconal leva a mpossbldade de se estabelecer um crtéro para avalação dos erros na dentfcação de freqüêncas naturas e fatores de amortecmento modal em casos de estruturas reas. O ANEXO A mostra uma smulação numérca de um sstema dnâmco com um fator de proporconaldade α de multplcação alterando todos os valores da matrz de amortecmento e no ANEXO B apenas o prmero elemento da matrz de amortecmento é alterado.

18 CAPÍTULO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA Váras técncas de análse modal teórca ou expermental de sstemas dnâmcos têm sdo desenvolvdas e aplcadas ao estudo dos fenômenos vbratóros em estruturas mecâncas. Essas técncas buscam determnar as propredades dnâmcas da estrutura, descrtas através de um conjunto de parâmetros denomnados parâmetros modas. São parâmetros modas: as freqüêncas naturas, os fatores de amortecmento modal e os modos de vbrar. Esses parâmetros quando dentfcados consttuem nformações que podem ser utlzadas como ferramenta de projeto e análse de desempenho, sobretudo para corrgr ou valdar modelos analítcos, realzar modfcação estrutural, detectar a presença de falhas estruturas e efetuar controle de qualdade e montoramento da vda útl da estrutura em estudo. Neste contexto, o presente capítulo apresenta uma revsão bblográfca sobre alguns trabalhos mportantes que tratam das dferenças entre os modelos de amortecmento proporconal e não-proporconal. Caughey (196) analsa as condções em que um sstema lnear amortecdo apresenta modos de vbrar clásscos, sto é, modos de vbrar do sstema conservatvo. O autor demonstra que a condção necessára e sufcente para a exstênca de modos de vbrar clásscos é que a matrz de amortecmento seja dagonalzada pela mesma transformação que desacopla o

19 sstema dnâmco sem amortecmento correspondente. São apresentadas condções sufcentes para que as matrzes de amortecmento sejam dagonalzadas e para que o sstema apresente os modos de vbrar clásscos, mesmo que seja amortecdo. Caughey e O Kelly (1965), ao estenderem o trabalho de Caughey (196), propõem a determnação de condções necessáras e sufcentes para que sstemas dnâmcos lneares amortecdos e dscretos possuam modos de vbrar clásscos. Brandon (1984) sugere uma formulação alternatva à formulação apresentada por Frazer et al. (195) para sstemas dnâmcos com amortecmento vscoso geral, ou seja, para amortecmento qualquer, proporconal ou não proporconal. A proposta de Brandon envolve a mudança do problema quadrátco n x n de forma equvalente à formulação ncal mas mantendo smetra de matrzes. O procedmento de Brandon (1984) resulta em um problema lnear n x n com matrzes smétrcas. O autor compara a formulação básca de Frazer et al. (195) aplcada a problemas estudados por Pomazal em 1969 e chega à conclusão que tal formulação apresenta algumas desvantagens computaconas para a solução de sstemas dnâmcos com amortecmento não-clássco. Ibrahmbegovc e Wlson (1988) apresentam um algortmo para resolver teratvamente as equações modas acopladas de um sstema com amortecmento nãoproporconal no espaço das confgurações, espaço n x n. O método sugerdo é posto à prova em exemplos numércos e se mostra sempre convergente. Lang et al. (199) questonaram a sufcênca do crtéro de Caughey e O Kelly (1965) para a classfcação do amortecmento de sstemas como proporconal ou nãoproporconal, através de dos exemplos smulados. De acordo com os autores, a gualdade C M 1 1 K = KM C, onde M, C e K são as matrzes de massa, amortecmento e rgdez, respectvamente, não pode ser usada como condção para classfcação do tpo de amortecmento presente em um sstema. Fo apontada a exstênca de um modo real em um

20 dos exemplos do trabalho de Lang et al. (199) quando o amortecmento era nãoproporconal, segundo a classfcação de Caughey e O Kelly (1965). Este exemplo mostra que mesmo se o amortecmento é não-proporconal, é possível a exstênca de um ou mas modos reas, mas não todos. Entretanto, como observou Phan (3), a presença de algum modo no problema com amortecmento não proporconal, não altera a classfcação de sstemas não-conservatvos em sstemas amortecdos proporconalmente e não-proporconalmente de acordo com o crtéro de Caughey e O Kelly (1965). Entende-se, segundo Phan (3), que todos os modos de um sstema com amortecmento proporconal devem ser reas, não somente um ou poucos, mas todos. Daí que os exemplos sugerdos por Lang et al. (199) não volam o crtéro de Caughey e O Kelly (1965). De fato Caughey e O Kelly (1965) tratam da matrz modal completa (todos os modos) e não de modos ndvduas. Proporconaldade é uma hpótese de convenênca matemátca. Sob este ponto de vsta, um sstema é defndo com amortecmento proporconal quando há uma matrz real que dagonalza smultaneamente todas as três matrzes do sstema, sto é, as matrzes de massa, amortecmento e rgdez. Inman (1995) traz um exemplo bastante nteressante para lustrar a dferença nos valores obtdos para a freqüênca natural ao se calcular as freqüêncas naturas de um sstema de dos graus de lberdade. O autor crou um fator de proporconaldade α que pode varar de a 1, sendo que o valor α gual a corresponde a um sstema proporconal e gual a 1 corresponde a um sstema com forte não-proporconaldade no amortecmento. Analsando os resultados, Inman (1995) chegou à conclusão de que a dferença nos resultados das freqüêncas naturas pode chegar a até aproxmadamente dez por cento, para o caso mas crítco, em que α = 1. Balmès (1997) relata os resultados obtdos na dentfcação de modos de vbrar (reas) a partr dos modos complexos expermentas. O autor aponta a necessdade de se obter os

21 modos de vbrar para comparação com modelos de elementos fntos não-amortecdos e lembra que o amortecmento ntroduz um acoplamento entre os modos de vbrar e que, em geral, não há uma relação smples entre modos de vbrar reas clásscos e os modos complexos no caso geral de amortecmento. O artgo apresenta resultados expermentas obtdos em um nterferômetro e os compara com um modelo em elementos fntos para valdar sua teora. Prells e Frswell (1999) nvestgam a dferença entre modelos de amortecmento proporconal e vscoso geral. No caso de amortecmento vscoso geral, a matrz modal depende de uma matrz ortonormal, que representa a fase entre os dferentes graus de lberdade do modelo. Os autores mostram que, no caso do amortecmento proporconal, essa matrz ortonormal torna-se a matrz dentdade, que permte uma normalzação da matrz modal, que será real. Consequentemente, esta matrz ortonormal pode servr como uma medda da dferença entre modelos de amortecmento vscoso geral e proporconal. Os autores apresentam dos exemplos de smulação, em que dscutem as proposções teórcas lançadas por eles. Um dos modelos para smulação apresenta dos graus de lberdade e outro com cnqüenta graus de lberdade. Kefu Lu () propõe três novos índces para quantfcar a não-proporconaldade do amortecmento vscoso. Os três índces fazem uso de modos complexos. O prmero índce mede a correlação entre partes reas e magnáras do modo complexo. Para computar o segundo índce, o modo complexo é escalonado de tal forma que as partes magnáras do modo são mnmzadas. Então as magntudes das partes magnáras dos modos escalonados são usadas como ndcador da não-proporconaldade do amortecmento. O tercero índce explora a estrutura da matrz modal complexa. Com uma baxa da não-proporconaldade do amortecmento, um modo complexo é domnado por modo normal homogêneo ou possu acoplamento modal fraco. Assm, este tercero índce mede a ntensdade do acoplamento

22 modal quando o modo complexo é representado por uma combnação lnear dos modos de vbrar. Os índces propostos têm váras característcas dstntas. Prmero, eles caracterzam a não-proporconaldade do amortecmento através de propredades do modo complexo. Segundo, sua computação é smples. Tercero, eles são menos sensíves a ruídos presentes na medção dos dados. Kasa e Lnk () propõem uma técnca para determnação da matrz smétrca de amortecmento não-proporconal a partr dos parâmetros modas dentfcados e compara com os resultados da dentfcação de sstemas não-amortecdos obtdos por meo de um programa computaconal desenvolvdo na Alemanha, o ISSPA. Foram apresentados resultados numércos e expermentas para a valdação do método proposto. Starek e Inman (4) propõe a solução do problema nverso ou seja a determnação das matrzes de coefcente smétrca real e postva defnda que representam as matrzes normalzadas de massa velocdade e posção, dados um conjunto de autovalores e autovetores complexos. São apresentadas duas soluções numércas para um sstema vbratóro subamortecdo com amortecmento não-proporconal. Km (6) dscute um novo método teratvo para se obter a solução de um sstema com amortecmento não-proporconal. Por meo de resultados expermentas em um panel vecular, o autor mostra que o método híbrdo de Jacob, proposto no trabalho, é bastante efcente para a análse da resposta de sstemas com amortecmento não-proporconal.

23 CAPÍTULO 3 TEORIA BÁSICA DE VIBRAÇÕES COM AMORTECIMENTO PROPORCIONAL E NÃO PROPORCIONAL No estudo de um sstema dnâmco é mportante conhecer o modelo matemátco que descreve seu comportamento. Este capítulo traz os concetos relaconados ao estudo de vbrações com amortecmento proporconal e não-proporconal e sua representação matemátca através de modelos no espaço de confguração e no espaço de estado em tempo contínuo. O estudo do comportamento dnâmco de estruturas mecâncas flexíves pode ser feto, entre város métodos, através de sua dscretzação e da utlzação do método da superposção modal. O método da superposção modal calcula a resposta de cada modo de vbrar separadamente e a segur obtém a resposta total por meo da soma das contrbuções ndvduas de cada modo. Desta forma, o comportamento dnâmco do sstema pode ser compreenddo através das característcas dos modos de vbrar e de como cada um contrbu para o sstema, a denomnada superposção modal. De forma geral, o método da superposção modal proporcona um grande conhecmento sobre o comportamento dnâmco e a sua dependênca sobre os parâmetros do sstema estudado.

24 O conceto de modos normas em vbrações de sstemas mecâncos é assocado às freqüêncas naturas (ou fundamentas) de um sstema lnear. Assm, os modos normas são defndos como movmentos partculares, lvres e peródcos, que ocorrem sob condções ncas apropradas. Pode-se dzer, também, que estes movmentos são movmentos de vbração em harmona. A exstênca destes modos possblta a ntrodução de coordenadas normas que proporconam o desacoplamento do sstema. A metodologa de estudo através da superposção modal é conhecda como Análse Modal. Como a Análse Modal se basea nos modos normas de vbrar, que são representados por sstemas dscretos com 1 grau de lberdade, ncalmente consderaremos a sua representação matemátca: m w& &+ c w&+ k w = f (3.1) em que m, c e k são as constantes de massa, amortecmento e rgdez do modelo, w = w(t) é o deslocamento da massa m, dw w & = w&( t) = é a velocdade, dt d w w & = w&&( t) = é a aceleração e dt f = f (t) é a força externa atuante na massa m. A equação dferencal (3.1) possu a equação característca: mλ + cλ+ k = (3.)

25 cujas raízes λ 1 e λ são λ 1 σ + jω λ σ + jω = 1 d 1 d = (3.3) Assm, a equação dferencal (3.1) possu a solução homogênea: w λ1t λt = a e + b e (3.4) em que a e b são constantes complexas dependentes das condções ncas mpostas ao sstema. Para estruturas sub-amortecdas, que é a maor das estruturas reas sem dspostvos de amortecmento atvo ou passvo, as raízes λ 1 e λ, são complexas conjugadas, bem como as constantes a e b são complexas conjugadas uma da outra. Desta forma, para sstemas sub-amortecdos, as raízes da equação característca fcam: λ 1 σ + jω λ λ = σ jω = d d 1 d d = (3.5) na qual ( )* é o complexo conjugado de ( ). Defnndo-se ζ como fator de amortecmento e ω n como frequênca natural do sstema, as raízes (3.5) podem ser reescrtas como: λ 1 = ς ωn ± jωn 1 ς, (3.6) Deve-se também observar que a solução da equação homogênea (3.) dada em (3.4) pode ser escrta sem a utlzação de números complexos, somente utlzando as

26 ςω t funções seno, cosseno e exponencal w = c e ( ω t + ϕ) n sen onde ω d é a frequênca d natural amortecda dada por = ωn. ωd 1 ς Com o conhecmento dos sstemas com 1 grau de lberdade pode estudar sstemas dscretos com n graus de lberdade. Para smplfcar a notação, todos os vetores ou matrzes serão representados por letras em negrto, maúsculas representando matrzes e mnúsculas representando vetores. Incalmente consdera-se a equação de movmento lvre: M w& + C w& + K w = (3.7) em que T M = M é a matrz de massa postva-defnda, T C = C é a matrz de amortecmento, T K = K é matrz de rgdez, [ w w L ] T w = é o vetor deslocamento, 1 wn T dw dw1 dw dwn w & = = L é o vetor velocdade e dt dt dt dt d w d w1 d w d w n w && = = L é o vetor aceleração. dt dt dt dt T Assume-se que a equação (3.7) tenha uma solução da forma w, [ q q L q ] T st ( t) = q e q = 1 n (3.8) que substtuída na equação (3.7) resulta num problema de autovalores quadrátco

27 s M q+s Cq+ Kq = (3.9) que, para sstemas conservatvos, pode ser reduzdo ao problema M q+ Kq =, λ = s (3.1) λ cujos autovalores λ ( = 1,,..., n) e autovetores q ( = 1,,..., n) são reas e cuja matrz modal formada por estes autovetores desacopla o sstema conservatvo. Estes autovalores estão assocados às frequêncas naturas λ = e os autovetores q são ω chamados de modos normas ou às vezes modos clásscos. Um movmento qualquer do sstema pode ser escrto como uma superposção das contrbuções modas, na forma w( t) = q r ( t) + q r ( t) + L + q r ( t) Q r( t) (3.11) 1 1 n n = com Q = q q L q e r( t) = r ( t) r ( t) L r ( ) [ ] [ ] T 1 n 1 n t onde Q é a matrz modal e r (t), (=1,,...,n) são denomnadas coordenadas modas ou coordenadas normas, que correspondem às contrbuções de cada modo no movmento fnal em cada nstante. A dnâmca de cada modo é obtda substtundo-se a equação (3.11) na equação (3.7), pré-multplcando esta por Q T. Tal operação resulta no sstema desacoplado lvre: m & r + c r& + k r = = 1,, L n (3.1),

28 ou & r + ς ω r& + ω r = = 1,, L n (3.13), em que m = q M q, c = q C q = ς ω m e k = q K q = ω m T T T As constantes m, c e k são as chamadas massa modal, coefcente de amortecmento modal e rgdez modal, respectvamente, e ω e ζ são a frequênca natural e o fator de amortecmento modal, respectvamente, do -ésmo modo. Os vetores q representam a forma de vbrar do -ésmo modo normal que neste caso também é denomnado de modo normal clássco. Quando ocorre um movmento no -ésmo modo normal ou clássco, e somente neste modo: -) o deslocamento em cada coordenada do sstema possu a mesma frequênca ω ; -) as ampltudes dos deslocamentos são relaconadas por fatores de escala, que são as componentes do autovetor q, -) exstem momentos em que todos os valores dos deslocamentos relaconados com as coordenadas do sstema passam pelo zero smultaneamente, o que neste caso equvale a dzer que também passam por um máxmo smultaneamente e perodcamente, desta forma a quando a energa cnétca passa pelo seu máxmo, a energa potencal (das deformações elástcas) passam pelo seu mínmo,

29 v-) exstem pontos que permanecem em repouso ndefndamente, que são denomnados de pontos nodas. No caso de sstemas com amortecmento, representado pela (3.9), pode-se ncar o estudo por alguns casos que relaconam a matrz de amortecmento com as matrzes de massa e de rgdez. O denomnado amortecmento de Raylegh, C a1 = a M + K, a e a 1 constantes reas quasquer, é um caso partcular da forma proposta por Caughey (1965): C = M a -1 [ M K ] Esta forma geral para o amortecmento proporconal possblta, através de um breve desenvolvmento, a montagem de matrzes de amortecmento proporconal em função de fatores de amortecmento modas que se desejam para o sstema. Sstemas que possuem matrzes de amortecmento como as descrtas acma são denomnadas, por motvos óbvos, de sstemas com amortecmento proporconal. Observa-se que o desacoplamento na segunda parcela da equação (3.13) ocorre para sstemas com amortecmento proporconal. Nestes casos é nteressante notar que os autovetores que desacoplam o sstema (3.7) são os mesmos do sstema conservatvo (3.1). Assm, todas as condções de ortogonaldade são dêntcas às do sstema conservatvo. Também fcam váldas, para sstemas com amortecmento proporconal, as característcas que descrevem os modos de vbrar clásscos com o acréscmo de poucas palavras no fnal do tem (destacadas em negrto),

30 -) exstem momentos em que todos os valores dos deslocamentos relaconados com as coordenadas do sstema passam pelo zero smultaneamente, o que neste caso equvale a dzer que também passam por um máxmo smultaneamente e perodcamente, desta forma a quando a energa cnétca passa pelo seu máxmo, a energa potencal (das deformações elástcas) passam pelo seu mínmo, cujos valores decaem com o tempo e são dependentes do fator de amortecmento e freqüênca natural do modo. Na presença de amortecmento que não possblte o desacoplamento da expressão (3.9) é dto que o sstema possu amortecmento não proporconal, e a matrz modal Q da equação (3.1) não desacopla completamente a equação (3.9), não ocorrendo a dagonalzação da matrz C. Para qualquer matrz C, uma solução geral através do método da superposção modal pode ser obtda transformando o sstema de n equações de segunda ordem (3.7) em um sstema de n equações de prmera ordem, nclundo as velocdades como varáves ndependentes, defndas por y = w& (3.14) e a equação (3.7) pode ser escrta como M y& + C y + Kw = (3.15) Tomando a equação (3.15) e a dentdade

31 M y y M = (3.16) obtém-se = + y w M K y y M M C & (3.17) ou, numa forma mas compacta, x K x M = + & (3.18) com = = M K K M M C M e em que as matrzes M e K não têm sgnfcados físcos de massa e rgdez, sendo esta notação usada apenas por convenênca, e fo ntroduzdo o vetor de estado = w w y w = x & (3.19) Admtndo uma solução da equação (3.18) na forma [ ] T n 1 t q q q e t L = = q q x, ) ( λ (3.) que, substtuída na equação (3.18), resulta no problema de autovalores nxn dado por K q q M = + λ (3.1) Uma outra forma de escrever a equação (3.18) é

32 x & = D x (3.) em que D = M 1 K = A I B com 1 1 A = M K, B = C K e I é a matrz dentdade (3.3) É claro que a equação (3.) admte a solução (3.), resultando no problema de autovalores nxn dado por λ q = D q (3.4) As equações (3.1) e (3.4) são dos problemas de autovalores equvalentes que, em geral, possuem n autovalores e n autovetores dstntos, exstndo sstemas em que ocorrem autovalores repetdos (Newland, 1989). Aqu, será analsado somente o caso em que todos os autovalores e autovetores são complexos e dstntos; as condções em que sto ocorre podem ser encontradas em Iman e Andry (198). Como as matrzes M, C e K são reas, os coefcentes dos polnômos característcos dos problemas (3.1) e (3.4) também são reas e, portanto (Jennngs, 1985): -) se λ é autovalor * λ também é autovalor; -) se q é autovetor * q também é autovetor, onde ( )* é o complexo conjugado de ( ).

33 Usando novamente a superposção modal, pode-se compor um movmento qualquer do sstema (3.1) ou (3.4) na forma x( t) = q r ( t) + q r ( t) + L + q r ( t) Q r( t) (3.5) 1 1 n n = em que Q = q q L q e r( t ) = r ( t) r ( t) L r ( ) [ ] [ ] T 1 n 1 n t Da equação (3.1) pode-se obter λr Mqr= Kq λs Mqs= Kq r s (3.6) pré-multplcando a prmera por T q s e a segunda por T q r resulta λrq λsq T s T r Mq = q Kq r s T s Mq = q Kq T r r s (3.7) e, transpondo a prmera, obtém-se T T T T λrqr M qs= qr K q T T λsqr Mqs= qr Kqs s (3.8) Usando o fato de M e K serem smétrcas, ou seja, M T = M e K T = K a equação (3.8) fca

34 λrq λsq T r T r Mq = q Kq s s T r Mq = q Kq T r s s (3.9) Subtrando a segunda equação da prmera na (3.9), obtém-se T ( λ ) q M q λ (3.3) r s r s = para λr λs, o que permte a obtenção da relação de ortogonaldade T q M q (3.31) r s = e, conseqüentemente de (3.9), T q K q (3.3) r s = Por outro lado, multplcando a prmera equação da (3.6) por T q r obtém-se λ q M q = q K q (3.33) r T r r T r r o que proporcona uma expressão para o autovalor q K q T r r λ r = T qr M qr (3.34) Substtundo a (3.5) na (3.18) resulta M Q r& + K Q r = (3.35) que, multplcado por T Q e utlzando as propredades de ortogonaldade (3.31) e (3.3), pode-se obter M ˆ r& + K ˆ r = (3.36)

35 em que = = n 1 T n 1 T k k m m ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ O O K, Q K = Q K M, M Q M = Q (3.37) Portanto, o sstema de equações de prmera ordem (3.36) é desacoplado e suas equações são dadas por n 1 t r k t r m,,, ) ( ˆ ) ( ˆ L & = = + (3.38) cuja solução tem a forma t e r t r λ ) ( ) ( = (3.39) em que m k ˆ ˆ = λ Desta manera, pode-se escrever a equação (3.5) como t n 1 e r t λ ) ( ) ( = = q x (3.4) e como os autovalores e autovetores são todos complexos conjugados, a equação (3.34) também pode ser escrta na forma:

36 n * λt * * λ t [ qr ( ) e + q r ( ) e ] x ( t) = (3.41) = 1 Tomando jθ r ( ) = ρ e e λ = σ + jω com j = 1 d (3.4) a equação (3.41) fca n = 1 j( ωd t+ θ ) * j( ωd t+ θ ) [ q e + q e ] σ t x ( t) = ρ e (3.43) Lembrando que α e jφ * + α e jφ = asenφ + bcosφ, a e b reas (3.44) e fazendo 1 q = ( c + j d ), c e d reas (3.45) a equação (3.43) fca n = 1 [ c cos( ω t + θ ) + d sen ( ω + ] σ t x ( t) = ρ e θ ) (3.46) d d t e, fnalmente, n σ t ( k ) ( k ) x ( t) = ρ e a sen ( ω t + θ + ϕ ) k = 1 d (3.47) em que

37 a ( k ) ( k ) ( k ) [ c ] + [ d ] ( k ) = ( k ), = arctg ( k ) d c ϕ (3.48) sendo (k ) c e (k ) d são os k-ésmos elementos dos vetores c e d, respectvamente, (k ) o módulo do k-ésmo elemento do vetor q e ϕ é a fase deste mesmo vetor. Quando para cada modo todos os valores (k ) a é (k ) ϕ são guas, têm-se o caso do k amortecmento proporconal. Se o amortecmento é nulo, então ϕ ( ) ou π. Deve-se lembrar que no caso de amortecmento proporconal todos os autovetores podem ser reduzdos às correspondentes formas reas, obtdas do sstema nxn assocado (sem amortecmento). Neste caso os fatores de amortecmento modal e as freqüêncas naturas podem ser obtdos através da expressão (3.6). As dfculdades que podem ocorrer nesta abordagem estão relaconadas sempre com a nterpretação dos autovalores e autovetores quando o amortecmento é não proporconal. Como os autovetores são números complexos os modos de vbrar são denomnados de modos complexos. Neste caso a utlzação da expressão (3.6) para estmação dos fatores de amortecmento e freqüêncas naturas pode levar a erros expressvos que não podem ser avalados. O mesmo ocorre para a forma do modo de vbrar, para o qual não exste expressão geral e totalmente segura para extrar a forma do modo quando os autovetores são complexos. Embora a expressão (3.47) que representa a superposção modal, e a expressão (3.48) que representa a contrbução modal, possuam somente valores reas e sejam relatvamente smples, não fornecem uma passagem fácl para a obtenção de expressões que possbltem a obtenção das = freqüêncas naturas amortecdas, fatores de amortecmento e formas modas.

38 A obtenção da forma de vbrar va expressões (3.45), (3.47) e (3.48) pode parecer smples, mas exstem dfculdades. À prmera vsta pode parecer que as prmeras n valores (k ) a são as componentes dretas do que seram as componentes da (k ) forma de vbrar, mas deve-se lembrar que os dferentes valores de fase ϕ realzam um papel fundamental pos agora a forma do modo muda no tempo dentro de um período modal. Da mesma forma que no caso conservatvo ou com amortecmento proporconal, podemos descrever o comportamento de um sstema que é exctado no seu -ésmo modo complexo, e somente neste modo -) o deslocamento em cada coordenada do sstema possu a mesma frequênca ω, portanto exste um movmento em harmona, -) as ampltudes dos deslocamentos são relaconadas por fatores de escala, que são as componentes a, mas a forma vara ao longo de um cclo pos (k ) (k ) os valores de fase ϕ são dferentes para um dado modo, -) não exstem momentos em que todos os valores dos deslocamentos modas relaconados com as coordenadas do sstema passam pelo zero smultaneamente, o que neste caso equvale a dzer que também não passam por um máxmo smultaneamente, desta forma não se pode afrmar que quando a energa cnétca passa pelo seu máxmo, a energa potencal (das deformações elástcas) passam pelo seu mínmo, ou vceversa, pos as forças de amortecmento agora não permtem que se o sstema tenham condções de fase partculares ( ou 18 ),

39 v-) não exstem pontos que permanecem em repouso ndefndamente, ou seja, não exstem pontos nodas. Estas característcas do comportamento dos modos complexos colocam em cheque o própro conceto da forma de vbrar, que no caso dos modos clásscos equvale à forma da estrutura que, quando exctado em únco modo, passa por uma condção de máxma ampltude que também corresponde à condção de máxma energa potencal (das forças elástcas) e à condção de mínma energa cnétca (das forças de nérca). Na verdade exste o desejo de se manter o mesmo conceto dos modos clásscos, a dfculdade é de se encontrar expressões que forneçam os prncpas parâmetros modas (forma de vbrar, fator de amortecmento, freqüênca natural e freqüênca natural amortecda) através dos autovalores e autovetores obtdos no sstema nxn. A denomnação de modos complexos está dretamente assocada com o resultado do problema de autovalores. Podemos trar algumas conclusões do exposto até agora: No caso dos modos clásscos, a energa do sstema (cnétca e potencal) em qualquer nstante de tempo pode ser descrta no espaço de confguração de dmensão n (ou pelos n deslocamentos ou pelas n velocdades) No caso dos modos complexos, a energa do sstema (cnétca e potencal) em qualquer nstante de tempo não pode ser descrta no espaço de confguração de dmensão n, pos como não exstem relações de fase partculares há a

40 necessdade de n varáves (todos os n deslocamentos e n velocdades) do espaço de fase. Os números complexos aparecem na solução do problema de autovalores, pos é a forma de descrever as relações de ampltudes e fases. A forma com números reas utlzando funções transcendentas como seno e cosseno não é uma forma natural. Não exste a cração de nformação, pos dos 4n números reas obtdos metade deles é redundante (n números complexos conjugados). Exstem outros métodos da análse modal em outros domínos que possbltam a extração da nformação dos parâmetros modas sem a necessdade de passar pelas representações de fase utlzando números complexos. Shaw e Perre (1993) orgnalmente e Mucheron et al. (1993) e Tsunak, (1994), desenvolveram pesqusas em métodos para sstemas com amortecmento não proporconal que obtém dretamente n constantes reas que defnem o modo de vbrar no espaço de fase. Metade destas constantes reas está relaconada dretamente com a forma dos modos clásscos. A dfculdade deste método é que é baseada em computação smbólca, não exstndo anda uma vertente numérca que possblte a solução de sstemas com um grande de graus de lberdade. A manutenção dos modos clásscos como referênca para os modos complexos também é uma exgênca do atual estado da engenhara na área, já que os programas de elementos fntos obtêm somente modos normas clásscos. Pode-se consderar que no estágo atual da tecnologa de computadores que memóra e capacdade de processamento, ou seja, o tpo e quantdade de elementos, não são mas os fatores

41 lmtantes na precsão de modelos de elementos fntos, mas a forma com que estes modelos são corrgdos e atualzados com dados expermentas em que se devem sntonzar as freqüêncas naturas, formas de vbrar e fatores de amortecmento. Atualmente estes parâmetros modas são corrgdos através de expressões que não possuem valdade totalmente provada e generalzada e de dfícl avalação quanto ao grau de ncerteza que ntroduz nestes modelos. Os métodos de dentfcação expermental de parâmetros modas geralmente não oferecem solução para estas questões, pos métodos de dentfcação modernos como o ERA obtém matrzes representatvas do sstema nxn em que numa fase posteror são realzadas operações de decomposção em autovalores e autovetrores ou smlares. Exstem alguns métodos de dentfcação expermental de parâmetros modas que buscam a dentfcação das freqüêncas naturas não amortecdas e da forma de vbrar de modos normas clásscos em grandes estruturas com amortecmento não proporconal. Estes métodos caem numa classe especal que pode ser denomnada de métodos de Apropração de Força, que é uma subclasse dos métodos de sntona modal ou ensao da ressonânca em fase. Apesar de algumas varantes destes métodos serem alguns dos métodos mas antgos, Lews and Wrsley (195), Asher (1958) e Tral-Nash (1958), da análse modal expermental e exstrem varantes e dervações mas novas, Wrgth et al. (1999) e Brlhart and Hunt (199), são pouco utlzados pos são procedmentos em parte manuas, exgem um alto grau de conhecmento expermental e um grande aparato expermental com grande número de exctadores eletromecâncos, amplfcadores e geradores com capacdade se controle de fase

42 entre eles. Desta forma, em sua fase fnal estes métodos são baseados na solação expermental de um únco modo por meo da exctação da estrutura a cada freqüênca natural. Cada exctador produz uma exctação senodal de mesma freqüênca, mas com fase e níves de força que cancelam as forças de amortecmento da estrutura, sntonzando o modo normal já que é uma forma expermental de retrar o efeto do amortecmento da estrutura modo a modo. A freqüênca natural não amortecda é a freqüênca de exctação que junto com os níves de exctação e de fase possbltaram a sntona. Como todos os pontos de resposta na estrutura estão em quadratura, a forma de vbrar está dretamente relaconada com os níves das respostas.

43 CAPÍTULO 4 MODELOS SIMULADOS E RESULTADOS Neste capítulo são apresentadas as smulações numércas para três casos dferentes de um modelo dnâmco com três graus de lberdade, com o objetvo de se fazer uma análse quanttatva do comportamento das freqüêncas naturas de sstemas com modelo de amortecmento proporconal e não-proporconal. Os resultados apresentados mostram que, ao se aplcar o modelo proporconal para obtenção dos autovalores e autovetores de um sstema com amortecmento qualquer, há uma dscrepânca nos resultados obtdos para as freqüêncas naturas. O método clássco parte do pressuposto que o sstema possu amortecmento proporconal e até os das atuas é utlzado em qualquer tpo de sstema como uma boa aproxmação. Entretanto, os resultados apresentados nesta dssertação comprovam que há casos de sstemas com amortecmento não-proporconal em que há uma dferença sgnfcatva nas magntudes das freqüêncas naturas devdo ao fato de se utlzar um modelo aproxmado para o cálculo desses parâmetros. O modelo de sstema dnâmco estudado possu 3 graus de lberdade, com 3 massas, 6 amortecedores e 4 molas e pode ser representado por um modelo dscretzado como mostra a Fgura 4.1. Consdera-se que as molas assumem um comportamento lnear e os amortecedores são do tpo vscoso lnear. Este sstema será utlzado para os três casos em estudo neste trabalho.

44 Fgura 4.1. Sstema massas-molas-amortecedores com 3 graus de lberdade. Os movmentos na dreção w dos três pontos de massas são descrtos através do segunte sstema de equações dferencas ordnáras de segunda ordem: Kw Cw w M = + + & && (4.1) A análse modal teórca é desenvolvda fazendo a exctação externa nula, sto é, consderando as vbrações lvres. As matrzes de massa, amortecmento e rgdez do modelo acma possuem dmensões 3 3 e são dadas por: = 3 1 m m m M = c c c c c c c c c c c c c c c C = k k k k k k k k k k K As freqüêncas naturas de um sstema com amortecmento proporconal estão relaconadas às freqüêncas naturas do sstema não-amortecdo através de uma relação bem conhecda, como vsto na teora. No caso de sstemas com amortecmento não-proporconal, a relação não é conhecda. Há uma varação nos valores das freqüêncas naturas calculadas pelas expressões do sstema proporconal, na medda em que se vara o amortecmento. Os m1 m m3 k1 k k3 k4 c1 c c3 c4 c5 c6 1 w w 3 w