MODELAGEM DE UMA ESTUFA TÉRMICA E SINTONIA DO CONTROLADOR PID

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E PRODUÇÃO CURSO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MODELAGEM DE UMA ESTUFA TÉRMICA E SINTONIA DO CONTROLADOR PID Marcelo Marques Melo VIÇOSA MINAS GERAIS BRASIL DEZEMBRO/007

2 MODELAGEM DE UMA ESTUFA TÉRMICA E SINTONIA DO CONTROLADOR PID Marcelo Marques Melo Trabalho de Conclusão de Curso submetdo à Unversdade Federal de Vçosa para a obtenção dos crédtos referentes à dscplna Monografa e Semnáro do curso de Engenhara Elétrca.

3 Resumo O conhecmento do comportamento de um sstema é de grande mportânca tendo em vsta que faclta o ajuste de um controlador para melhorar sua resposta transtóra e em regme permanente. O sstema em questão é uma estufa térmca cuja temperatura será controlada va hardware externo, sto é, um controlador proporconal a base de amplfcador operaconal, ou va software o qual fo programado na lnguagem C++. Exste uma placa de aqusção através da qual permte capturar os valores referentes à temperatura atual da estufa e também envar nformação responsável sobre o controle do cclo de trabalho em um conversor buck. Este conversor é o dspostvo prncpal que atua no sstema, levando em consderação que ao se dmnur a tensão na estufa leva à redução da temperatura, sto porque o aquecmento é proporconado pela tensão presente nas lâmpadas dentro da estufa. Este trabalho objetva a determnação do modelo determnístco da estufa usando uma função de transferênca e a sntona do controlador PID através da análse do comportamento da saída do sstema à medda que se varam os parâmetros do controlador. Todo esse estudo de valores do PID fo feto através de smulações, possbltando a análse em stuações que não são possíves na prátca. Palavras-chave: sntona de pd, modelagem de estufa, controle de temperatura 3

4 Abstract nowledge of the behavor of a system s of great mportance n order to facltate the adjustment of a controller to mprove ts transent response and on a permanent bass. The system n queston s a greenhouse thermal whose temperature wll be controlled va external hardware, e a drver proportonal bass of the operatonal amplfer, or va software whch was programmed n C ++. There s a plate of purchase through whch enables capture fgures for the current temperature of the greenhouse and also send nformaton on the responsble control of the cycle of work n a buck converter. Ths converter s the man devce that operates on the system, takng nto account that f the decrease n the voltage leads to the reducton of greenhouse temperature, because the heat s provded by ths tenson n lamps nsde the greenhouse. Ths work ams to determne the determnstc model of the greenhouse usng a functon of transfer and lne of the PID controller through analyss of the behavor of the output of the system as they vary the parameters of the controller. All that study of values of the PID was made through smulatons, enablng the analyss n stuatons that are not possble n practce. eywords: Adjustment of pd, the greenhouse modelng, temperature control 4

5 Lsta de Fguras FIGURA 1 - EXEMPLO DE DIAGRAMA DE BLOCO...1 FIGURA - PROJETO ESTUFA...15 FIGURA 3 - CONVERSOR BUC E A PARTE DE POTÊNCIA...16 FIGURA 4 - GERAÇÃO DO SINAL PWM...17 FIGURA 5 - DETALHES DA GERAÇÃO DO SINAL PWM...18 FIGURA 6 - DIAGRAMA DE BLOCO USANDO CONTROLADOR P...19 FIGURA 7 - FONTE... FIGURA 8 - RESPOSTA DA ESTUFA A UM DEGRAU DE POTÊNCIA...4 FIGURA 9 - COMPARAÇÃO ENTRE OS DADOS REAIS E O MODELO...6 FIGURA 10 - DADOS DE VALIDAÇÃO...7 FIGURA 11 - VALIDAÇÃO...8 FIGURA 1 - RESPOSTA DO SENSOR A UM DEGRAU DE TEMPERATURA...9 FIGURA 13 - RESPOSTA DA ESTUFA A UM DEGRAU DE TEMPERATURA...30 FIGURA 14 - RELAÇÃO ENTRE SAÍDA E ENTRADA DO ATUADOR...31 FIGURA 15 - DIAGRAMA DE BLOCO PARA O PROJETO DA ESTUFA...33 FIGURA 16 - DIAGRAMA DE BLOCO DA SIMULAÇÃO...34 FIGURA 17 - PERTURBAÇÃO EM REGIME PERMANENTE...35 FIGURA 18 - DIAGRAMA DE BLOCOS COM INSERÇÃO DE PERTURBAÇÃO...36 FIGURA 19 - FIGURA 0 - VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DE ACORDO COM A FREQÜÊNCIA DA PERTURBAÇÃO...37 VARIAÇÃO DE P POR TEMPERATURA...38 FIGURA 1 - VARIAÇÃO DE I POR TEMPERATURA...39 FIGURA - 1º PID REGULADO...41 FIGURA 3 - PÓLOS E ZEROS (1º PID CORRIGIDO)...4 FIGURA 4 - º PID REGULADO...43 FIGURA 5 - PÓLOS E ZEROS (º PID CORRIGIDO)...43 FIGURA 6 - VARIAÇÃO DA TEMPERATURA DE ACORDO COM A FREQÜÊNCIA DA PERTURBAÇÃO

6 Lsta de Tabelas TABELA 1. FUNÇÕES DE CADA ELEMENTO DO CONVERSOR BUC...17 TABELA. FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIAS DE CADA ETAPA DO SISTEMA

7 Sumáro 1 INTRODUÇÃO...8 OBJETIVO ORGANIZAÇÃO DO TEXTO REVISÃO BIBLIOGRÁFICA MODELO TÉRMICO CONTROLE Dagrama de Bloco PID Transformada Z PROJETO ESTUFA MOTIVAÇÃO CONVERSOR BUC PWM CONTROLADOR P CONTROLADOR PID DIGITAL OPTOACOPLADOR SENSOR FONTE METODOLOGIA E RESULTADOS DESCRIÇÃO RESUMIDA DO TRABALHO DETERMINAÇÃO DO MODELO DA ESTUFA VALIDAÇÃO DO MODELO DETERMINÍSTICO ESTUDO DA DINÂMICA DO SENSOR FUNÇÃO DE TRANSFERÊNCIA EM MALHA FECHADA SIMULAÇÃO COM O PID Efeto da freqüênca da perturbação no estado de regme permanente Efeto da varação de p aplcada à freqüênca crítca Efeto da varação de aplcada à freqüênca crítca DETERMINAÇÃO DAS CONSTANTES DO PID CONCLUSÕES PROPOSTA DE CONTINUIDADE REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

8 1 Introdução Modelos matemátcos são mportantes no que dz respeto ao conhecmento do comportamento de um sstema sem precsar tê-lo em mãos. A déa de usar modelos é bem ntutva, pos o própro cérebro humano faz sso nconscentemente sem que se perceba. Por exemplo, durante o aprendzado de algum movmento que use coordenação motora, a mente cra varáves e parâmetros os quas são modelados durante esse aprendzado. Então, quando o movmento é assmlado quer dzer que um bom modelo fo crado, sto é, essas varáves e parâmetros foram defndos para que a execução seja bem próxma da perfeção. Um outro assunto mportante é a defnção de qual tpo de modelo deve ser adotado para melhor representar o sstema em questão. Város tpos de modelos podem servr para um mesmo evento, mas talvez exsta algum que descreva com mas clareza e melhor representação matemátca suas mportantes varáves [1] e [5]. Vale a pena ressaltar que, ndependente do modelo escolhdo, ele va revelar uma representação aproxmada da realdade [1]. Isto confrma a nformação de que exste não apenas um modelo, mas sm uma famíla deles, em que cada um possu uma partculardade bem característca [5]. Como a perfeção não é atngda, então o modelador deve fazer uma análse subjetva ou objetva de quas nformações ele mas preza em seu modelo. Isto leva, nclusve, a uma possível smplfcação na modelagem, vsto que certos detalhes podem ser descartados para facltar o processo, sem perdas sgnfcantes de nformação. Fnalmente de posse desse modelo, o modelador pode trabalhar conforme desejado sobre o sstema, seja de forma apenas de montorá-lo ou realzar alguma modfcação benéfca para melhorar sua dnâmca tanto em regme transtóro quanto permanente. A partr daí, váras técncas podem ser aplcadas para se chegar a um resultado satsfatóro. Uma das mas comuns na Engenhara é aplcar um controlador PID para poder manpular a resposta tanto regme transtóro quanto permanente. Atualmente, se dspõe de uma varedade de técncas para controle 8

9 dgtal de processos em tempo real. Com o advento do computador e seu poder de processamento, abru-se um enorme campo para sua crescente utlzação no controle automátco desses processos. Os controladores que antes eram desenvolvdos analogcamente, hoje podem ser substtuídos por programas de controle, os tornando mas versátes, flexíves e precsos. Além dsso, o computador pode detectar stuações de alarme, permtndo uma melhor proteção do processo controlado, contra um mau funconamento, além de possbltar a obtenção de tabelas, gráfcos e dados referentes ao estado do controlador e do processo controlado, facltando assm sua compreensão [4]. 9

10 Objetvo O prncpal foco deste trabalho é realzar a modelagem matemátca de uma estufa e dmensonar, usando técncas de controle, os parâmetros de um controlador PID dgtal, que consste na verdade de um software desenvolvdo em lnguagem C++. O PID dgtal possu as mesmas característcas do que um PID físco, sto é, as respostas transtóra e permanente são equvalentes a um crcuto com o mesmo fm. Por sso é que se podem aplcar todas as técncas de controle sobre o sstema. Quanto à estufa, um bom modelo deve ser escolhdo para facltar o trabalho matemátco e anda sm representar o comportamento real da estufa. Uma malha de controle fechará todos os elementos do sstema de forma que a temperatura da estufa seja regulada. A mportânca deste trabalho entra justamente neste ponto, vsto que se um controlador estver mal regulado ele pode nclusve porar a resposta do objeto em estudo. Assm, como objetvo fnal, o PID deve ser regulado para mnmzar os efetos causados por perturbações externas [10]..1 Organzação do texto Este trabalho fo dvdo em 8 capítulos para facltar o entendmento do letor. O prmero capítulo trata da ntrodução do texto para começar a falar do assunto. O capítulo já traz presente quas são os objetvos propostos pelo trabalho. O capítulo 3 já faz uma breve revsão bblográfca sobre alguns pontos necessáros para o entendmento durante a letura do trabalho. Nele são tratados assuntos da área de modelagem determnístca e um pouco sobre a teora de controle. Quanto ao capítulo 4, o assunto refere-se ao projeto estufa, detalhando suas partes prncpas e a motvação de realzação do mesmo. O capítulo 5 é o mas mportante em vrtude de trazer toda a metodologa e os resultados obtdos com trabalho. Para fnalzar, temos o capítulo 6 dscutndo as conclusões, o capítulo 7 propondo possíves melhoras futuras do trabalho e o capítulo 8 com as referêncas bblográfcas. 10

11 3 Revsão Bblográfca 3.1 Modelo Térmco Os sstemas térmcos se caracterzam por possur comportamento de prmera ordem, sto é, funções de transferênca de prmera ordem podem descrever muto bem a dnâmca desses sstemas [3]. Consdere a função de transferênca de prmera ordem: H ( S ) = τ S +1 (3.1) Segundo [1], a equação 3.1 o é o valor do ganho do sstema e τ é a constante de tempo. Esta constante de tempo caracterza a velocdade com que o sstema responde a uma entrada. Além dos sstemas térmcos, mutos processos ndustras reas podem ser descrtos por expressões como a equação 3.1. Se a resposta a um degrau de ampltude A fo medda e a relação snal ruído for consderada não prejudcal, é possível determnar os valores das constantes envolvdas na equação 3.1, ou seja, os parâmetros e τ. O ganho é defndo pela segunte regra: ( y( ) y( 0) ) = (3.) A Vale ressaltar que y ( ) é o valor da função no tempo em regme permanente. Contnuando a usar a resposta ao degrau, pode-se chegar também no valor da constante de tempo, que é defnda com o tempo que o sstema demora a atngr 63,% da varação total do degrau aplcado, segundo a relação da equação 3.3 e supondo que o degrau fo aplcado em t = 0. ( ) = 0.63( y( ) y( 0) ) y( 0) y τ + (3.3) 11

12 3. Controle 3..1 Dagrama de Bloco A representação dos sstemas físcos por meo de equações nem sempre dexa clara a relação entre as funções de entrada e de saída desses sstemas. É, portanto, convenente e desejável sstematzar a descrção matemátca de um sstema, de tal forma que aquela relação seja expressa claramente. Um dagrama de blocos é representação gráfca do sstema em questão cujo objetvo é smplfcar a esquematzação e mesmo assm contnuar a passar a nformação que cada elemento presente possu. Através dele podese transmtr a função de cada estágo e relaconar cada etapa de nterlgação entre eles. Os dagramas de bloco são mas fáces de desenhar do que os crcutos que eles representam. Assm, é possível, medante a utlzação de regras especas, denomnadas Álgebra dos dagramas de Bloco, reduz-los a um únco bloco e, fnalmente, achar a função global de transferênca do problema, sem necessdade de resolver o sstema ncal de equações dferencas que, algumas vezes, exge muto tempo devdo ao elevado número de equações envolvdas. Na fgura 1, segue um exemplo de um dagrama de bloco [3]: Fgura 1 - Exemplo de dagrama de bloco 1

13 3.. PID Em mutos processos, do uso doméstco ao ndustral, há necessdade de se manter um ou mas parâmetros estáves ou, pelo menos, dentro de certa faxa de varação. Pode ser a pressão de um líqudo ou de um gás, a rotação de um motor, a temperatura de algum meo, etc. Para esta últma, é muto comum o controle tpo lga-deslga (termostato), presente, por exemplo, em geladeras e ferros de passar doméstco e também em mutos equpamentos ndustras e comercas. Entretanto, este tpo de controle tem lmtações. Quando as exgêncas de precsão, establdade e outras são maores, eles não são adequados. Um bom exemplo onde este tpo de controle não é aplcado é em chocaderas, em que a temperatura deve fcar bastante estável, ndependente de fatores externos. A combnação das ações de controle proporconal, ntegral e dervatva dá orgem ao que chamamos de controlador proporconal-ntegral-dervatvo ou smplesmente PID [3] e []. O objetvo é aprovetar as característcas partculares de cada uma destas ações a fm de se obter uma melhora sgnfcatva do comportamento transtóro e em regme permanente do sstema controlado. O snal de controle gerado pelo controlador PID é assm genercamente dado como: u () t e() t + e( ) ( t) 1 = t de τ dτ + T d (3.4) T 0 dt Assm, com apenas três parâmetros é possível ajustar o controlador conforme desejado, sto é, basta calbrar o valor de (ganho proporconal) T (tempo ntegral) T d (tempo dervatvo). No entanto, a forma ctada na equação 3.4 é no domíno contínuo de tempo. [8] A forma expressa no domíno da freqüênca pode ser representada segundo equação 3.5. U 1 1 d T S (3.5) ( S ) = + + T S E( S) 13

14 3..3 Transformada Z A transformada em z é uma ferramenta matemátca essencal para a análse e síntese de sstemas dscretos, desempenhando um papel paralelo ao desempenhado pela transformada de Laplace relatvamente aos sstemas contínuos [9]. Para um snal dscreto x ( n), sua transformada de Fourer pode ser determnada, se exstr, pela equação 3.6: X + jω jωn ( e ) x( n) e = (3.6) n= Exstndo a transformada de Fourer, sua transformada nversa pode ser determnada pela equação 3.7: x jω jωn ( n) X ( e ) e dω 1 = π π π (3.7) O problema é que nem sempre é possível encontrar a transformada para certos snas, no entanto, exste uma saída para este problema que é a transformada z. A transformada em z, X(z), de um snal dscreto x(n) é uma função complexa da varável complexa z C, e defne-se como mostra a equação 3.8: X + n ( z) x( n) z = (3.8) n= 14

15 4 Projeto Estufa 4.1 Motvação O projeto nasceu da déa de aplcar conhecmentos da área de controle e da área de eletrônca de potênca. Essa mstura de conhecmentos dentro da engenhara elétrca é de extrema mportânca porque na realdade dos processos ndustras exstem dversos assuntos relaconados, nclusve, mutas vezes aparecem áreas do conhecmento que não estão lgados à engenhara elétrca. Incalmente, a déa proposta conssta bascamente de usar um controlador proporconal para manter o controle da temperatura da estufa. Depos de mutas experêncas, vu-se que era possível aplcar um controlador mas elaborado através de software, vsto que se poda aplcar uma nterface muto mas agradável, além da possbldade de coletar dados referentes à temperatura da estufa, valor da saída do controlador e a saída saturada (entrada do atuador). Fgura - Projeto Estufa 15

16 A fgura mostra como fcou a estrutura de toda a parte físca do projeto. Todas as placas são mostradas nessa fgura juntamente com a placa de aqusção de dados e a estufa. Os tópcos seguntes da seção 4 mostram com mas detalhes cada etapa do projeto. 4. Conversor Buck A manera mas smples de reduzr uma tensão DC é usar um crcuto dvsor de tensão, mas tensões dvsóras desperdçam energa. O Buck, por outro lado, pode ser extraordnaramente efcaz. O conversor Buck é, na verdade, um conversor de tensão dc-dc, sto é, tanto a entrada como a saída é sempre em nível contínuo. A partculardade deste conversor é que sempre se tem a saída em um nível de tensão gual ou nferor à tensão de entrada e seu valor dependerá do chaveamento de controle. O Conversor Buck enquadra-se no grupo de fontes chaveadas onde podemos destacar também, os conversores Boost, Buck-Boost, Cúk além dos nversores. A topologa do conversor usado no projeto fca mas bem dentfcada na fgura 3. Além do conversor propramente, a fgura 3 tem a etapa de retfcação da tensão da rede e a carga utlzada. Fgura 3 - Conversor Buck e a parte de potênca A topologa do conversor buck é bastante smples, como se pôde observar na fgura 3, sendo que se trata apenas de quatro componentes recebendo a tensão de entrada e entregando potênca a uma carga que, neste projeto serão lâmpadas em paralelo. Cada componente tem uma função 16

17 específca para o conversor e estas funções serão apresentadas abaxo: IGBT Indutor Capactor Dodo Chave responsável por lgar e deslgar o conversor. O valor de tensão méda na saída do conversor depende da relação de tempo em que a chave estver aconada. Tem como função armazenar energa magnétca quando a chave está fechada e fornecer a corrente para o crcuto quando a chave estver aberta. Desta forma, pode-se projetar um ndutor que permta que a corrente na carga nunca chegue a zero ou até que seja pratcamente constante. Tem a função de fltrar possíves osclações de alta freqüênca, reduzndo o rpple (osclação de tensão) na carga. Nesta confguração o dodo é chamado dodo de retorno ou de roda lvre, pos permte a crculação da corrente orunda do ndutor no crcuto quando a chave estver aberta. Tabela 1. Funções de cada elemento do conversor Buck 4.3 PWM De posse de uma onda trangular e do snal contínuo provenente do controlador, é fácl obter o snal PWM. Para sso, basta utlzar mas um amplfcador operaconal na confguração de comparador. Fgura 4 - Geração do snal PWM 17

18 Como se pode observar, o snal PWM nada mas é do que uma onda quadrada gerada da comparação entre os snas njetados na entrada nversora e na entrada não nversora do amplfcador operaconal. Fgura 5 - Detalhes da geração do snal PWM Na fgura 5 é possível perceber mas detalhadamente que o operaconal satura em +Vcc quando o snal da entrada nversora é menor que o snal da entrada não nversora. Quando ocorre o contráro, ou seja, a entrada nversora adqure uma ampltude de snal superor à nstalada na entrada não nversora, o comparador fará com que o gerador de pulsos em PWM sature em Vcc. Desta forma, basta adaptar o PWM à chave que será utlzada, pos cada tpo de chave possu uma partculardade específca no aconamento. 4.4 Controlador P Este é um dos sstemas de controle mas báscos, perdendo apenas para o controle on-off que é mas smples. No projeto da estufa o controlador P fo confecconado usando amplfcadores operaconas usando a confguração de subtração, ou seja, a malha de controle era fechada apenas com a dferença entre o valor do set pont (valor estpulado em um potencômetro) e o valor captado pelo sensor após um ganho. A fgura 6 representa o dagrama de bloco utlzado: 18

19 Fgura 6 - Dagrama de Bloco usando controlador P 4.5 Controlador PID Dgtal Com este tpo de controle podem se obter resultados melhores do que usando apenas um controlador proporconal. Esta fo uma melhora no projeto vsto que ncalmente ele contava apenas com um smples controlador proporconal e que traza resultados não tão satsfatóros comparados com o PID. Só que ao nvés de construr um crcuto aproprado para este fm, a déa adotada fo usar uma placa de aqusção de dados e o PID através de um software programado em lnguagem C++. Então, a tensão capturada pelo sensor era levada até esta placa que consequentemente era nterpretada pelo programa e fnalmente calculava a resposta a ser envada de acordo com os dados recebdos. Como o computador não trabalha no domíno contínuo, assm como ocorrem todos os processos da natureza, então fo necessáro realzar algumas manpulações algébrcas para consegur chegar numa forma dscretzada da função de transferênca do controlador PID. Partndo da equação 3.5, que representa a função de transferênca do controlador PID, pode-se começar os cálculos. U = p + d (4.1) S ( S) + S A prmera etapa para começar a dscretzação é aplcar o mapeamento S Z. Este mapeamento é uma aproxmação dscreta para dervada e, 19

20 0 nclusve, exste mas de uma manera de se obtê-la. A que fo utlzada para a mplementação do PID no computador usou a transformação blnear, sto é, segue a relação da equação 4.: ( ) ( ) = Z T Z S (4.) Então, bastou substtur a equação 4. na equação 4.1. O resultado pode ser vsto na equação 4.3: ( ) = Z Z Z Z Z G d p τ τ (4.3) Realzando as devdas smplfcações: ( ) ( ) ( ) ( ) = Z Z Z Z G p d d d p τ τ τ τ τ τ τ (4.4) Fnalmente basta transformar essa função de transferênca dscreta em equação de dferenças: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = k V k V k V k V k V d p d d p o o τ τ τ τ τ τ τ τ (4.4) Na equação 4.4 o V corresponde à saída do controlador (tensão) e V a entrada (tensão). 4.6 Optoacoplador O objetvo de se usar um optoacoplador fo garantr segurança ao crcuto uma vez que ele proporcona solamento elétrco entre as partes

21 envolvdas, funconando a base de exctação lumnosa. Neste caso, a solação pretendda é entre o snal PWM e o crcuto da parte de potênca. Incalmente, o projeto da estufa contava com uma chave do tpo transstor, em que não era tão necessáro usar o optoacoplador, vsto que ele é bem mas robusto que o IGBT utlzado no momento. Além de reduzr bastante o custo, a substtução do transstor de potênca pelo IGBT, possbltou dmnuções na estrutura físca do projeto. Anterormente, o transstor necesstava de um grande dsspador devdo as suas dmensões (maor que o IGBT) e a sua maor dsspação de potênca. O IGBT possu dsspação de potênca menor e, portanto, necessta de um dsspador de dmensões reduzdas. 4.7 Sensor Exstem no mercado hoje em da, dversos tpos de sensores de temperatura. Porém, é dfícl que algum seja de tão smples manuseo e exja tão poucos aparatos eletrôncos para que funcone quanto o modelo LM35, pos o crcuto usual é bastante smples, necesstando apenas do sensor propramente dto, um sstema amplfcador de snal e de uma nterface que realze a letura do snal amplfcado. O LM35 utlzado possu capacdade de montorar temperaturas até 150ºC. Ele possu três termnas e é almentado com uma tensão contínua de cnco volts. Então são dos termnas para almentação e o últmo é uma saída de tensão em que cada dez mlvolts correspondem a um grau Celsus. Assm, bastou montar um crcuto para fltrar ruídos e dar um ganho no snal de forma que cento e cnqüenta graus de temperatura correspondessem a cnco volts contínuos. 4.8 Fonte Esta parte do projeto fo desenvolvda com o objetvo de dar pratcdade ao crcuto. A fonte construída possu a capacdade de fornecer todas as 1

22 tensões que são utlzadas pela parte de eletrônca, ou seja, basta lgar apenas uma tomada para que a fonte converta a tensão alternada da rede para as tensões contínuas postvas de cnco, nove, doze e qunze e também as negatvas dos mesmos valores. Então são oto valores dferentes de tensão contínua, em que os crcutos ntegrados da sére 78xx e 79xx eram responsáves por fornecer cada uma. A sére 78xx é responsável pelas tensões postvas, tendo o xx substtuído pelo valor da tensão. A sére 79xx é responsável pelas tensões negatvas, tendo o xx substtuído pelo valor da tensão. Bascamente, a fonte é consttuída dos seguntes estágos: possu um transformador que abaxa a tensão da rede, uma ponte de dodos para retfcar a tensão, um capactor parar amenzar a tensão de rplle. Fnalmente, essa tensão retfcada era levada à entrada de cada crcuto ntegrado. A fgura 7 mostra o esquema da fonte utlzada: Fgura 7 - Fonte

23 5 Metodologa e Resultados 5.1 Descrção resumda do trabalho Depos de termnada a parte da confecção da estufa e de todas as placas necessáras para seu funconamento, o próxmo passo fo realzar a coleta de dados com a placa de aqusção para auxlar na determnação do modelo determnístco de prmera ordem da estufa. Depos, também fo feto um estudo da dnâmca do sensor, vsto que se ele tver uma resposta lenta rá prejudcar a coleta dos dados. Esse modelo é a únca nformação que restava para começar a trabalhar no dmensonamento dos parâmetros do controlador PID. Então, com base nos dados coletados pôde-se obter a função de transferênca da estufa. O foco do controlador é justamente manter a temperatura de saída conforme determnado pelo set pont, então fo feto um estudo, em regme permanente, de como o conjunto se comporta com a presença de perturbação em uma dversa faxa de freqüênca. Daí, a etapa segunte consstu em smular o sstema de malha fechada varando tanto os parâmetros do controlador quanto a freqüênca de perturbação njetada em regme permanente. Com a varação da freqüênca, descobru-se o por caso para se trabalhar sobre ela com a varação das constantes do PID e achar os valores que mnmzem o efeto de osclação. O cudado que teve que ser tomado é o transtóro da estufa, sto porque, mutos sstemas não conseguem corresponder bem a certas entradas. Como o comportamento da estufa é de prmera ordem e possu uma nclnação máxma de varação de saída causada por uma entrada, optou por não trabalhar com entradas em degrau durante a smulação. Assm, rampas foram usadas com nclnação nferor à máxma nclnação que a resposta consegue varar de acordo com a entrada. Por motvos de smplfcação e pratcdade, o valor da constante dervatva não va ser estudado e deverá ser consderada zero. Com apenas as duas constantes p e já é possível projetar um bom controlador para o sstema. 3

24 5. Determnação do modelo da estufa O ensao realzado para a coleta de dados consstu em regular a temperatura da estufa em 60 graus e esperá-la establzar. A potênca njetada pelo crcuto para manter a temperatura neste valor é 43,48W. Este valor de potênca fo estmado a partr dos dados coletados pelo programa, sto é, o programa guarda em um arquvo com extensão txt os dados do sensor e o valor de tensão contínua que é envado para o atuador, a partr do qual é possível determnar o valor de potênca que o atuador converte a partr deste snal contínuo. Na fgura 8 pode-se ver o gráfco da varação da temperatura com o passar do tempo. Fgura 8 - Resposta da estufa a um degrau de potênca Assm, com a determnação de y ( 0), ( ) y e ( ) y τ é possível chegar à função de transferênca que expressa a nformação entre entrada e saída. A partr da análse da fgura 8 e utlzando a equação 3.3 para se encontrar y( τ ) estufa, tem-se: estufa 4

25 y ( 0 ) = 33, 3 ºC (5.1) ( ) = 60, 5 y ºC (5.) ( ) = 0,63( 60,5 33,3) + 33,3 = 50, 4 y τ ºC (5.3) estufa Sabendo que ( ) = 50, 4 y τ estufa, o valor de estufa correspondente à ordenada 50,4 na fgura 7. Daí: τ é a abscssa τ = 10 s (5.4) estufa Para o cálculo do valor do ganho da estufa a equação 3. deve ser usada, sendo que A = 43, 48W. ( 60,5 33,3) = = (5.5) 43,48 Agora basta montar a expressão fnal de acordo com equação 3.1: 0,656 H ( S ) = (5.6) 10S + 1 Para verfcar a qualdade do modelo expressado na equação 5.6, uma valdação deve ser feta usando outro conjunto de dados dferentes dos utlzados durante a modelagem. Mas antes desse passo, a fgura 9 faz uma comparação usando os própros dados de modelagem juntamente com a resposta do modelo. 5

26 Fgura 9 - Comparação entre os dados reas e o modelo Entretanto, esta comparação não é sufcente para dzer que o modelo está bom, porque ele deve ser comparado com outros conjuntos de dados, vsto que se ele concordar bem com essa valdação pode-se consderá-lo bom. 5.3 Valdação do modelo determnístco Para fnalzar a etapa de modelagem do trabalho, resta apenas verfcar como o modelo (equação 5.6) se comporta ao ser submetdo com outro conjunto de dados dferente do usado na modelagem. Essa etapa, chamada valdação, va mostrar o grau de qualdade que o modelo realmente proporcona. Partndo desse prncípo, outros valores de temperatura da estufa foram coletados para valdação e estão mostrados na fgura 10. 6

27 Fgura 10 - Dados de valdação Comparar a smulação do modelo com dados meddos é provavelmente a manera mas smples de se valdar um modelo. O motvo de se usar essa técnca é saber quão geral é o modelo, sto é, sua capacdade de generalzação, para saber se ele serve para outro conjunto de dados. Uma smulação fo feta a partr dos dados da fgura 10 e o resultado desta comparação está representado na fgura 11. 7

28 Fgura 11 - Valdação Como era esperado, o modelo nunca fca perfeto, embora ele passe corretamente o comportamento do conjunto de dados. Apenas essa análse qualtatva servrá para conclur que o modelo é bom para a representação da dnâmca da estufa, embora haja técncas para fazer uma análse quanttatva sobre a qualdade do modelo. Uma outra nformação que ajuda a conclur que o modelo é satsfatóro é que sstemas térmcos são de prmera ordem, a mesma ordem que a função de transferênca determnada para ela. Outra consderação mportante a se fazer é o ntervalo que se pode consderar este modelo, ou seja, ele é bom no ntervalo de estudo de 0 a 150 ºC, pos em temperaturas fora desse valor não se sabe o comportamento da estufa. O ntutvo é afrmar que o sstema de temperatura é lnear em qualquer faxa, mas no caso da estufa, se tem o problema de ela não consegur reter totalmente o calor e perder para o ambente. Mas este não será problema para o trabalho vsto que não se trabalhará com temperaturas em outros ntervalos. 8

29 5.4 Estudo da dnâmca do sensor O deal para o projeto sera utlzar um sensor que não nterfersse na resposta da estufa, sto é, quando a estufa mudar de temperatura o sensor deve acusar quase que medatamente esta varação. Como não exste um sensor deal, um estudo fo feto para ver se sua nfluênca é relevante na captação de temperatura da estufa. Então, o ensao proposto fo establzar a temperatura da estufa em 100ºC e retrar o sensor de dentro da estufa para submetê-lo à temperatura ambente, ou seja, submetê-lo a um degrau de temperatura. O mesmo procedmento fo aplcado à estufa, sto é, expô-la ao mesmo degrau de temperatura. Assm, uma comparação pôde ser feta analsando o tempo de descda da temperatura de ambos. Os dados referentes à resposta ao degrau de temperatura estão mostrados na fgura 1. Fgura 1 - Resposta do sensor a um degrau de temperatura Usando a fgura 1 e realzando alguns cálculos, chega-se no valor de tempo que o sensor demora a atngr 63,% do degrau de temperatura. São 90 s para atngr este para atng-lo. Para aumentar a credbldade deste valor, vale ressaltar que ele também é bem coerente com sua folha de dados [7]. 9

30 Fgura 13 - Resposta da estufa a um degrau de temperatura O mesmo fo feto para obter quanto tempo a estufa demora a atngr os mesmos 63,% do degrau de temperatura a qual fo submetda. Este valor é 533 s, que corresponde a quase 6 vezes o tempo gasto pelo sensor. Assm, pôde-se conclur que é pertnente usar este sensor para captar a temperatura, pos ele é bem mas rápdo que a própra estufa. Caso a resposta do sensor estvesse próxma da estufa, podera ocasonar um atraso de nformação que prejudcara o sstema de controle. A solução para este problema sera consderar no modelo o tempo morto (atraso na resposta) do sstema. 5.5 Função de transferênca em malha fechada Nem todo sstema de controle é possível trabalhar com o equaconamento matemátco do processo, entretanto, exstem algumas smplfcações, sem perdas sgnfcatvas de nformação, que ajudam a entender matematcamente o que ocorre de forma mas clara. No caso do projeto da estufa, exste um elemento que possu um 30

31 comportamento não lnear, sto é, não respeta o prncpo da superposção. O atuador, que é o tem em questão, recebe uma tensão contnua de zero a cnco volts e converte essa entrada em potênca jogando na entrada da estufa. O grande problema é justamente a regra que defne a relação entre saída e entrada nesse dspostvo. Esse comportamento fca evdente ao se examnar a fgura 14. Fgura 14 - Relação entre saída e entrada do atuador Na fgura 14, fca clara a relação entre saída e entrada do atuador e, mas evdente anda, que não é possível chegar à função de transferênca sem que se faça uma aproxmação. A curva com traço contínuo representa o real comportamento do atuador, já a com traço e ponto representa uma aproxmação polnomal de ordem dos e fnalmente a curva apenas tracejada que representa uma aproxmação de prmera ordem. Para chegar nestas equações, dados referentes à tensão e a corrente foram coletados à medda que se varou o valor do cclo de trabalho na entrada do atuador. Então, com esses dados e a ajuda de um software, fo possível obter as equações 5.7 e

32 P = 60,37 V 3,5 (5.7) P = 7,37 V + 3,51 V 3,3 (5.8) Entretanto, nenhuma delas atende ao prncpo da superposção e servram apenas para realzar a smulação em software. Daí, o que restou a fazer fo trabalhar com a equação 5.7 de forma que ela atendesse os requstos necessáros, então, adotou-se que uma aproxmação válda sera consderar apenas a constante que multplca o valor da tensão contínua na entrada do atuador. A relação fnal após tal smplfcação está representada pela equação 5.9. P = 60, 37 V (5.9) Uma outra smplfcação que não compromete o equaconamento matemátco é consderar o sensor com resposta medata, mesmo porque sua constante de tempo não tem nfluênca tão sgnfcatva para o sstema em questão. Assm, bastou consderar o ganho que ele proporcona no snal que ele trabalha. Como ela captura o valor correspondente de temperatura entre zero a cento e cnqüenta graus centígrados e precsa converter esse valor em uma escala de tensão de zero a cnco volts, então ele dá um ganho de 1 30 nesse snal. Fnalmente, após todas as smplfcações realzadas, já é possível montar a função de transferênca relatva ao sstema da estufa como um todo. Na tabela se pode ver a função de transferênca de cada etapa do projeto. Planta da estufa 0,656 10S + 1 Atuador 60, 37 PID p + S + d S Sensor

33 Tabela. Funções de transferêncas de cada etapa do sstema Com posse de todas essas equações fca fácl chegar à relação fnal para função de transferênca segundo a dsposção de acordo com a fgura 15. Fgura 15 - Dagrama de bloco para o projeto da estufa Daí: H ( S ) G1 G G3 = (5.10) 1+ G1 G G3 G4 Realzando as devdas contas e smplfcações: H ( S ) = 37,536 d S + 37,536 ( ,51 d ) S + ( 1+ 1,51 p ) S + 1,51 p S + 37,536 (5.11) Fazendo a consderação que = 0, a função de transferênca fca conforme equação 5.1. d H ( S ) 37,536 p S + 37,536 = (5.1) 10 S + ( 1+ 1,51 p ) S + 1,51 33

34 5.6 Smulação com o PID Depos de obtdo o modelo da estufa, o próxmo estágo é smular o sstema de malha fechada conforme fgura 16. Para realzar o estudo para dmensonar as constantes do PID, é necessáro trabalhar em regme permanente. Assm, é precso njetar uma perturbação de freqüênca fxa e verfcar a exstênca de osclação na temperatura, sendo que sto é dfícl de se realzar na prátca, vsto que o estudo deve ser feto em uma grande faxa de freqüênca para descobrr qual é caso mas crtco. Fgura 16 - Dagrama de bloco da smulação Agora, o grande desafo é sntonzar os parâmetros p, e d do controlador PID. Se estes valores estverem mal regulados o controle da temperatura da estufa, tanto em regme transtóro quanto permanente, pode fcar comprometdo. Portanto, um cudado muto grande deve ser tomado no dmensonamento desses valores de forma a atenuar os efetos da perturbação na saída. A fgura 17 é um exemplo de controlador PID regulado de forma errada. Ela mostra os efetos de perturbação presente no sstema, em que possu caráter osclatóro e muto prejudcal ao controle. Fca evdente que o controlador não consegue manter a temperatura determnada pelo set pont e, assm, a resposta de saída começa varar. 34

35 Fgura 17 - Perturbação em regme permanente Em vrtude destes problemas causados pelo mau dmensonamento do controlador, justfca-se a realzação de uma sntona do PID atenuando estes problemas. No caso da aplcação deste controlador, que é o controle de temperatura de uma estufa, os problemas menconados acma não são acetáves. E em mutas outras aplcações, nclusve a nível ndustral, esse problema não pode ocorrer Efeto da freqüênca da perturbação no estado de regme permanente É evdente que para um sstema de controle ser consderado bom, ele deve manter a saída establzada conforme determnado pelo set pont e contnuar assm mesmo submetdo a nterferêncas. Então, para ajudar na escolha dos parâmetros do PID, é de extrema mportânca realzar testes sobre o sstema e verfcar se essa condção ocorre. Como já fo explcado na seção 5.6, este teste é muto dfícl de se realzar na prátca, sendo, assm, essencal o 35

36 uso de um software de smulação. Um dagrama semelhante ao projeto da estufa fo montado em software conforme mostrado na fgura 18: Fgura 18 - Dagrama de blocos com nserção de perturbação Com o bloco de smulação já montado, bastou varar a freqüênca da perturbação e descobrr para qual valor é mas prejudcal. A fgura 19 mostra o comportamento da temperatura com a varação da freqüênca da perturbação adconada à estufa. Para mostrar com mas detalhes esse efeto, um outro ensao fo realzado em smulação de forma a descobrr com mas exatdão qual é valor de freqüênca crítca. Usando o dagrama de bloco da fgura 15, fo possível chegar ao valor de: f = rad/sec (5.1) c Nesse ensao fo usado perturbação com ntensdade de 50 W. A fgura 19 mostra todos esses dados coletados e o valor de freqüênca crítca. Vale ressaltar que para coleta desses valores o controlador estava regulado com as seguntes constantes: = 1, = e = 0. p d 36

37 Fgura 19 - Varação da temperatura de acordo com a freqüênca da perturbação Fnalmente em posse do valor da freqüênca crtca, fca mas fácl focar o trabalho de dmensonamento dos parâmetros do controlador PID, uma vez que a osclação para as outras freqüêncas será amenzada caso a osclação para o caso crítco seja resolvdo. Para freqüêncas mas altas, as quas não foram ncluídas na fgura 17, não é necessáro se preocupar, tendo em vsta que a própra estufa funcona como um fltro passa - baxa. Pela análse de sua função de transferênca podese, nclusve obter a freqüênca de corte do fltro. Já que os sstemas térmcos são de prmera ordem, então, a relação para se trar a freqüênca de corte é: f corte 1 = (5.13) τ estufa Consequentemente: 1 f corte = = 0, Hz (5.14) 10 37

38 5.6. Efeto da varação de p aplcada à freqüênca crítca Este é o prmero passo para chegar a um resultado satsfatóro para o controle de temperatura. É fundamental saber qual é a relação de varação da constante proporconal do controlador e a osclação da perturbação na resposta fnal de temperatura. Para trabalhar em cma do PID, fo adotado uma perturbação senodal padrão de freqüênca Hz e ampltude de 50 W. O valor de p fo varado de até 15 com = e = 0. O gráfco que expressa a relação d entre a constante proporconal e a varação de temperatura pode ser vsto na fgura 0. Fgura 0 - Varação de p por temperatura Pelo gráfco fca claro que a perturbação fca cada vez menor à medda que o valor de p aumenta. Mas sso anda não é sufcente, pos anda há mas uma constante a ser analsada, lembrando que o valor de d será zero. 38

39 5.6.3 Efeto da varação de aplcada à freqüênca crítca Não se pode basear apenas em uma das constantes para regular o PID, por sso a análse de também é mportante para o projeto. Neste caso, varou-se a constante ntegratva de 0 até 0.15, com os valores de = 1 e p d = 0. O gráfco que expressa a relação entre a constante ntegratva e a varação de temperatura pode ser vsto na fgura 1. Fgura 1 - Varação de por temperatura O efeto observado na fgura 1 é semelhante ao da fgura 0, sto porque à medda que a constante ntegratva aumenta a osclação se reduz. 5.7 Determnação das constantes do PID Após um crteroso estudo qualtatvo dos efetos provocados pelas mudanças ocasonadas pelos parâmetros do controlador e com ajuda do 39

40 software de smulação, fo possível escolher bons valores para as constantes. Vale lembrar que a escolha desses valores fo defnda de forma baseada nos resultados da smulação, através da análse de respostas dos gráfcos. As fguras 0 e 1 mostram que se aumentar o valor de p e d o efeto causado pela perturbação pode ser mnmzado. Levando esse comportamento em consderação, o mas ntutvo é adotar os maores valores que as fguras 0 e 1 mostram para as duas constantes do controlador. Assm, o prmero teste será com os seguntes valores: = 10 (5.15) p = 0.15 (5.16) = 0 (5.17) d Com os prmeros valores determnados, é necessáro voltar a usar o esquema da fgura 17 para verfcar se realmente houve uma redução na osclação causada pela perturbação. Sabendo que a freqüênca que mas propca a nfluênca da perturbação é f = rad/sec, as constantes serão usadas numa nova smulação que a use. A fgura mostra o resultado obtdo com a smulação. c 40

41 Fgura - 1º PID regulado Percebe-se, pela fgura, que o controlador consegue manter a saída muto bem regulada, embora haja uma pequena osclação de cerca de um volt. Com esses mesmos parâmetros do PID usados nesta smulação e a função de transferênca aproxmada do sstema (equação 5.11) podem-se obter os valores dos pólos e zeros de malha fechada do sstema (ver fgura 3). 41

42 Fgura 3 - Pólos e zeros (1º PID corrgdo) Apesar de o resultado da fgura poder ser consderado muto bom, um outro teste fo feto adotando constantes do PID um pouco maores, com o ntuto de melhorar anda mas a resposta do controlador. Embora o aumento dessas varáves possa levar uma melhora na resposta, esse mesmo aumento tem um lmte, ocasonando até uma possível nstabldade, sto é, algum pólo do sstema fcará com a parte real postva. Este é o motvo para se verfcar a posção deles no exo real, como mostram as fguras 3 e 5. Agora, adotando os novos valores do PID corrgdos, novos resultados podem ser verfcados através da fgura 3. = 5 (5.15) p = 0.3 (5.16) = 0 (5.17) d 4

43 Fgura 4 - º PID regulado Fgura 5 - Pólos e zeros (º PID corrgdo) Em ambos os controladores regulados a temperatura da estufa sofreu 43

44 pouca nfluênca da perturbação. Notou-se, também, que os dos possuem establdade em vrtude da posção dos pólos de malha fechada, sto é, possuem a parte real negatva. Para fnalzar o todo esse estudo feto para regular os parâmetros do PID da estufa, novamente a análse deste controle deve ser submetdo a outros valores de freqüênca, como realzado na fgura 19. Esta etapa é mportante, vsto que a mudança dos valores do PID ocasona uma mudança de comportamento quanto à freqüênca, alterando o valor de freqüênca crtca. Fgura 6 - Varação da temperatura de acordo com a freqüênca da perturbação A fgura 6 vem defntvamente confrmar a qualdade do controlador corrgdo neste trabalho. Para o por caso de nterferênca da perturbação, a temperatura de saída da estufa sequer varou mas de um grau centígrado. Agora, a freqüênca crítca passou a valer 0,06 rad/sec. 44

45 6 Conclusões Todo o trabalho realzado até então fo de extrema mportânca vsto que sem um bom conjunto de valores de parâmetros o controlador não corresponderá a sua ntutva função, que é controlar a temperatura. Graças às ferramentas de smulação fo possível chegar a todos esses resultados, o que sera pratcamente muto dfícl de se realzar na prátca, devdo ao grau de complexdade envolvdo na metodologa adotada. O grande problema de sntona do PID fo soluconado com êxto, mesmo sabendo que pode ser dfícl ocorrer uma perturbação justamente na freqüênca crtca. Como fo menconado na metodologa do trabalho, o valor de d fo acertadamente smplfcado, afrmação que fo confrmada com os resultados obtdos na resposta de temperatura como está explctado nas fguras 1 e 3. Claramente vê-se que é desnecessáro utlzar todos os três parâmetros do PID, pos apenas os valores de p e foram sufcentes para se corrgr o controlador. O modelo determnístco atendeu perfetamente a ocasão, embora se saba que apenas os modelos estocástcos tratam os eventuas ruídos presentes durante a modelagem. A decsão de escolha desse tpo de modelo fo baseada apenas analsando qualtatvamente os dados usados na modelagem e, também, por causa da pratcdade que o modelo adotado proporcona para o trabalho em questão. Vale ressaltar que o êxto deste controlador está assocado à função de transferênca que a estufa possu. Caso a função fosse outra, o que pode acontecer através de uma mudança para uma outra estufa, uma nova sntona deve ser realzada para esta nova stuação. 45

46 7 Proposta de contnudade Uma lmtação mportante mposto pelo trabalho fo a baxa capacdade do sensor em medr altas temperaturas, vsto que ele suporta no máxmo 150ºC. Uma smples solução é a adoção de outro dspostvo que possa suportar temperaturas mas elevadas. Em pratcamente todos os processos que envolvem controle de temperatura, opta-se, também, pelo controle de uma outra mportante varável, que é a umdade do ar. Assm, todas essas técncas utlzadas para o controle de temperatura podem ser aplcadas ao controle de umdade. O referdo controle pode ser aplcado, por exemplo, em chocaderas e ncubadoras de ovos, levando em consderação que valores nadequados de umdade podem ocasonar a desdratação dos mesmos [6]. Entretanto, para realzar essa proposta de controle de umdade, o crcuto deve ser reprojetado, o software deve ser adaptado e um novo sensor dedcado a este fm deve ser obtdo para mplementar o controle ctado. 46

47 8 Referêncas Bblográfcas [1] AGUIRRE, LUÍS ANTÔNIO. Introdução à dentfcação de sstemas: técncas lneares e não-lneares aplcadas a sstemas reas. ª ed. rev. E ampl. Belo Horzonte: Edtora UFMG, 004. [] DORF, C. R.; BISHOP, R. H.. Sstemas de Controle Modernos. 8ed. Ro de Janero: LTC, 001. [3] OGATA, atsuhko. Engenhara de Controle Moderno. 4ed. São Paulo: Prentce Hall, 003. [4] MELO, Rosecléa L. O. Implementação de controle dgtal com mcrocomputador p.. Dssertação (Mestrado em Físca) Unversdade Estadual de Campnas, Campnas, [5] PRATES, Mauro. Modelagem matemátca de um sstema de secagem de um secador de plantas medcnas e aromátcas. Vçosa, p. [6] WAGENINGEN, Nco van. A ncubação de ovos por galnhas e na ncubadora. Wagenngen, p.. [7] NATIONAL Semconductor. LM35 Precson Centgrade Temperature Sensors. 000, 13 p.. [8] LOURENÇO, João. Sntona de cntroladores P.I.D p.. Escola Superor de Tecnologa, Setúbal, [9] HAYIN, Smon.; VEEN, Barry Van. Snas e Sstemas. 1ed. Tradução: José Carlos Barbosa dos Santos. Porto Alegre: Bookman, 001. [10] LORENZ, Robert D.; LIPO, Thomas A.; NOVOTNY, Donald W. Moton Control wth Inducton Motors. 1994, IEEE 47