1. Introdução 2. Misturas Gaussianas

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1 Ajuste de Msturas Gaussanas utlzando Algortmo de Maxmzação da Esperança e Crtéro de Comprmento de Descrção Mínmo para Modelagem de Tráfego VoIP Chela Mendes de Olvera Escola de Engenhara Elétrca e de Computação - UFG Av. Unverstára S.N. Setor Leste Unverstáro Goâna Goás Flávo Henrque Teles Vera Escola de Engenhara Elétrca e de Computação - UFG Av. Unverstára S.N. Setor Leste Unverstáro Goâna Goás Marcos Antôno de Sousa Escola de Engenhara Elétrca e de Computação - UFG Av. Unverstára S.N. Setor Leste Unverstáro Goâna Goás Marco Aurélo de Faras Borges Escola de Engenhara Elétrca e de Computação - UFG Av. Unverstára S.N. Setor Leste Unverstáro Goâna Goás RESUMO O aumento do número de aplcações que geram tráfego VoIP (Voce over IP) requer que modelos adequados para este tpo de tráfego sejam empregados para um melhor dmensonamento dos recursos da rede. Neste artgo, propomos a aplcação de Msturas Gaussanas ajustadas por um algortmo adaptatvo EM (Expectaton-Maxmzaton) com seleção de classes utlzando o prncípo do Comprmento de Descrção Mínmo (MDL-Mnmum Descrpton Length) para descrever o tráfego VoIP. Dados reas de VoIP foram coletados e séres sntétcas foram geradas de acordo com esses dados. O algortmo proposto é comparado com o algortmo adaptatvo denomnado Msturas Adaptatvas em termos do desempenho em modelar as séres de tráfego VoIP consderadas. PALAVRAS CHAVES. VoIP, Tráfego, Msturas. Área prncpal: PO em Telecomuncações e Sstemas de Informação ABSTRACT The growng number of applcatons that generate traffc VoIP (Voce over IP) requres that sutable models for ths nd of traffc be used n order to better estmate the requred networ resources. In ths paper, we propose the applcaton of Gaussan mxtures adjusted by an adaptve algorthm EM (Expectaton-Maxmzaton) wth selecton of classes usng the prncple of Mnmum Descrpton Length (MDL Mnmum Descrpton Length-) to descrbe the VoIP traffc. Real VoIP data were collected and synthetc traces were generated accordng to them. The proposed algorthm s compared to the adaptve algorthm called Adaptve Mxtures n terms of performance n modelng the seres of VoIP traffc consdered. KEYWORDS. VoIP, Traffc, Mxtures Man area: Operatons Research n Telecommuncatons and Informaton Systems 269

2 . Introdução O crescente aumento do acesso à Internet mpulsonou o processo de ntegração da transmssão das dversas mídas. A compettvdade de preços, mposta por grandes ndústras, para equpamentos específcos para VoIP, o aumento da qualdade dos servços em conjunto com a grande utlzação da rede Internet ou de outras redes baseadas em IP e a cração de padrões relaconados ao VoIP permtram sua entrada defntva no mercado. Na década de 9, o surgmento do software comercal Internet Phone crado pela empresa VocalTec Communcatons possbltou o empacotamento de amostras de voz para transmt-las va rede IP (Colcher et. al., 25). O conhecmento das característcas do tráfego VoIP torna-se crucal, especalmente quando os prestadores de servços se deparam com a escassez de recursos de rede e são obrgados a alocar seus recursos da forma mas efcente possível (Hassan et. al., 26). Neste trabalho, propomos um algortmo adaptatvo de ajuste de parâmetros para o modelo Msturas Gaussanas baseado no algortmo de estmação de maxmzação da esperança (EM-Expectaton-Maxmzaton), (Martnez at. al., 28) e no conceto de Comprmento de Descrção Mínmo (MDL-Mnmum Descrpton Length) (Bouman et. al., 25) para representar efcentemente o tráfego VoIP. A prncpal motvação para estudarmos a aplcação de Msturas Gaussanas para modelar o tráfego VoIP fo a constatação de que suas densdades de probabldade poderam ser representadas pela soma de dstrbuções Gaussanas. Além dsso, as Msturas Gaussanas proporconam uma modelagem precsa para város tpos de fenômenos cujas densdades de probabldade podem ser contínuas ou dscretas (Martnez at. al., 28). Para avalar o algortmo proposto aplcado a Msturas Gaussanas, ncalmente foram fetas coletas de dados de tráfego de pacotes em dversas chamadas VoIP. Em seguda, analsouse o desempenho de modelagem para Msturas Gaussanas varando o tpo de algortmo adaptatvo de estmação do número de Gaussanas para o modelo. Utlzando o modelo obtdo, dados sntétcos foram gerados e a partr dos mesmos a méda, a varânca e o desvo-padrão foram calculados para comparação com os valores dos dados de tráfego reas. Este artgo está dvddo em 5 seções. A seção 2 ntroduz os concetos báscos sobre Msturas Gaussanas. A seção 3 expõe brevemente o conceto de Comprmento de Descrção Mínma (MDL) e o algortmo proposto. A seção 4 traz a descrção dos dados coletados e os prncpas resultados para as análses realzadas. Fnalmente, a seção 5 expõe as conclusões obtdas neste trabalho. 2. Msturas Gaussanas A utlzação generalzada das msturas gaussanas é devdo ao fato de que uma dstrbução gaussana tem uma representação smples e concsa que requer apenas dos parâmetros, a méda µ e varânca σ 2 (Zhuang et. al., 996). A Mstura Gaussana é uma forma de modelagem de séres temporas que consste no agrupamento de densdades de probabldades gaussanas com característcas ndvduas. Tem como característcas desejáves para um modelo, necesstar de pouco volume de nformações armazenadas e de pouca carga computaconal para se realzar as estmatvas de densdade de probabldade, prncpalmente quando se trabalha com conjunto de dados de n dmensões. A Mstura Gaussana parte do prncípo que a função de densdade de probabldade f(x) pode ser modelada como a soma ponderada de um certo número c de densdade de probabldade, com c<<n. O caso mas comum é a Mstura Gaussana unvarada que é dada pela Equação (Martnez et. al., 28): f c ( x) = δ ( x;θ ) = ρ () 269

3 onde δ x; θ representa uma densdade de probabldade, com os parâmetros µ e σ 2 representados pelo vetor θ e x é o ponto da varável que se deseja estmar a densdade. Para a Mstura Gaussana multvarada podese usar a segunte equação (Martnez et. al., 28): ρ representa o peso ou o coefcente da mstura para -ésmo termo e ( ) f FM c = ( x) = ρ φ( x; µ, ) (2) onde x é um vetor n-dmensonal dos valores da sére que se deseja estmar a densdade; µ é um vetor n-dmensonal de médas e é uma matrz de covarânca n x n de x. A condção de que a soma dos coefcentes ρ da mstura deve ser gual à undade tem que ser obedecda tanto para uma mstura unvarada quando para uma multvarada. Os parâmetros da função de densdade de probabldade de uma mstura gaussana são o número de Gaussanas (c), seu fator de ponderação ρ e os parâmetros µ (méda) e Σ (matrz de covarânca) de cada função de densdade Gaussana (Resch, 2). Geralmente o algortmo EM é utlzado para estmar estes parâmetros. O algortmo EM (Expectaton-Maxmzaton) executa um cálculo teratvo de estmadores de máxma verossmlhança quando as observações podem ser vstas como dados ncompletos (Pcard, 27). É de grande mportânca ncar os parâmetros do algortmo EM com valores adequados, pos o algortmo encontra um valor ótmo local e não um valor ótmo global e a convergênca do algortmo também depende destes valores ncas (Resch, 2). O algortmo EM possu duas lmtações báscas: a taxa de convergênca pode ser lenta e, como mutos procedmentos teratvos, é sensível à etapa de ncalzação (Pcard, 27). Exstem métodos menos sensíves à etapa de ncalzação como a Mstura Adaptatva que será abordada na próxma subseção. 2. Msturas Adaptatvas (MA) A Mstura Adaptatva é um método para se estmar adaptatvamente os parâmetros de uma Mstura Gaussana, assm como o seu número de Gaussanas. A déa básca na abordagem da mstura adaptatva é obter para cada ponto (amostra) dos dados (sére temporal) à dstânca a partr desta observação a cada componente de densdade no modelo. Se a dstânca entre a observação e cada componente (termo) da densdade de probabldade é maor do que algum lmar (t c ) de todos os termos, então um termo novo é crado. Se a dstânca for nferor ao lmar (t c ) de todos os termos, as estmatvas de parâmetros são atualzadas com base nas equações EM recursvas (Martnez et. al., 28). Se t c = for usado, então um novo termo é crado quando uma nova observação é maor do que um desvo-padrão dstante da méda de cada termo. Para t c =4, um novo termo será crado para uma observação que é, pelo menos, dos desvos-padrão de dstânca a partr dos termos exstentes (Martnez et. al., 28). Esta dstânca é dada pela Dstânca de Mahalanobs (dstânca de cada elemento até o elemento central da sére). A dstânca de Mahalanobs pode ser defnda como uma medda de smlardade. A dstânca de Mahalanobs ao quadrado entre a nova observação ( n+) x e o -ésmo termo é dado por MD 2 ( ) Σ n n n n+ n+ n+ x = x x µ T µ (3) A abordagem das Msturas Adaptatvas pode ser resumda da segunte forma, (Martnez et. al., 28): î 2692

4 Algortmo MA. Incalzar o algortmo das msturas adaptatvas usando o prmero ponto do dados ( ) x : ( ) ( ) ( ) ( ) µ = x, ρ = e Σ = I onde I denota a matrz dentdade. No caso unvarado, a varânca do termo ncal é a undade. ( n+) 2. Para um novo ponto de dados x, calcular a dstânca de Mahalanobs ao quadrado como na Equação (3). 3. Se 2 n mn { MD ( x )} + > t, crar um novo termo utlzando as Equações (4), (5) e (6). c Aumentar o número de termos N em uma undade. ( n+ ) ( + ) µ + = n N x (4) ( n+ ) ρ N + = (5) n + ( n+ ) Σ N + = I Σ (6) onde I Σ é a méda ponderada das probabldades a posteror calculadas usando as Equações (7) e (8). n ( n) ( ) ( n) n+ ρ φ x ; µ, ( n ) + (7) τ = ; =,..., c ( n+ ) ( n) ( n+ ) f ( x ) ( n) c ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) = + ; n n n n f x, φ x µ = Σ ρ (8) onde τ representa a probabldade estmada a posteror de que a nova observação ( n+) x pertença ao -ésmo termo e o subescrto (n) denota os valores dos parâmetros estmados com base em n observações anterores. O denomnador é a estmatva de densdade da mstura gaussana para a nova observação usando a mstura dos n pontos anterores. 4. Se a dstânca mínma ao quadrado é nferor ao lmar de cração t c, atualzar os termos exstentes usando as Equações (9), () e (). ( n+ ) ( n) ( n+ ) ( n) ρ = + ρ τ ρ (9) n ( n+ ) ( n+ ) ( n) ( n ) τ ( ) = + n+ µ µ ( ) x µ n () n ρ ( n+ ) T ( n+ ) ( n ) ( ) ( ) ( ) n ( ) n + ( + ) n n n Σ = Σ + ( ) x µ x µ Σ n τ () n ρ 5. Repetr os passos 2 à 4, utlzando todos os pontos do vetor de amostras. Na prátca, o método de msturas adaptatvas é utlzado para obter os valores ncas para os parâmetros, bem como uma estmatva do número de termos necessáros para o modelo de densdade. Esta abordagem apresenta dos fatores que devem ser consderados: a complexdade do modelo que as vezes pode apresentar um número de termos maor do que o necessáro e a função de densdade de probabldade estmada depende da ordem na qual os 2693

5 dados são apresentados ao algortmo. Maores detalhes podem ser encontrados em Martnez, et. al., (28). 3. Algortmo de Maxmzação da Esperança com Seleção de Classes utlzando Comprmento de Descrção Mínmo (MDL) A abordagem MDL (Mnmum Descrpton Length) basea-se no fato de que se exste alguma regulardade nos dados, esta pode ser usada para comprmr os mesmos. Quanto mas os dados forem compactados menos classes e consequentemente menos parâmetros serão necessáros para caracterzar as mesmas, (Peter, 25). O crtéro MDL tenta obter o número de subclasses que melhor descreve os dados da amostra. Propomos então a partr dos dados compactados, utlzar o algortmo EM para estmar os parâmetros das subclasses formadas pelos dados da amostra e, dessa forma reduzr o número de Gaussanas na Mstura Gaussana. As etapas relaconadas abaxo resumem a abordagem proposta de utlzação da maxmzação da esperança em conjunto com o crtéro MDL (Bouman, et. al. 25). Algortmo 2 - MDL. Incalzar a classe com um grande número de subclasses, Ko. ( ) 2. Incalzar θ () () () () (onde θ = ( π, µ, R ) ) usando (2), (3) e (4). ( ) π = K ( ) = y n onde n = ( )( N ) /( K ) + (2) µ (3) N ( ) (4) t R = yn yn N n= onde y n é uma amostra da sére que se deseja modelar usando a Mstura Gaussana; N é o número de elementos da sére e. é uma função pso com arredondamento para baxo onde o resultado é o maor ntero menor ou gual ao argumento da função. 3. Aplcar o algortmo teratvo EM - Equação (5) - até a mudança de MDL (K; θ ) dado pela Equação (6), seja menor que ε. onde ( + ) ( + ) ( + ) ( ) ( π, µ, R ) = arg ( ) ( K ) max Q( θ; θ ) (5) π, µ, R Ω = ( π, µ, R ) [ ] ( ) ( ) ( ) Q( θ, θ ) = E log ρ x, y ( y, X θ ) Y = y, θ L log NM 2 MDL( K, ) = log py ( y K, θ ) + Llog( NM ) 2 θ (6) e L é um termo de penaldade e M é a dmensão da sére temporal que se deseja modelar. 4. Armazenar o parâmetro ( K, θ ) fnal e o valor MDL (K, ( K, fnal ) θ ). 5. Se o número de subclasses K é maor que, aplcar a Equação (7) para reduzr o número de subclasses, conjunto K K, e voltar para o passo 3. onde l e m são exemplos de subclasses. * * ( l m ) arg( ) mn d( l m), l, m, = (7) 6. Escolher o valor de K* e dos parâmetros ( K*, fnal ) θ que mnmzam o valor do MDL. Na etapa 3, o valor de ε é escolhdo para ser (Bouman et. al., 25): 2694

6 ( M ) + M ε = + M + log( NM ) 2 ( K*, fnal ) Uma vez obtdos K*e θ é possível utlzar as seguntes equações para calcular a densdade de probabldade da Mstura e posterormente gerar uma sére sntétca. ρ y n xn ( y θ ) 4. Avalação dos Algortmos Adaptatvos n 2 t = ( ) ( ), R / exp y M n µ R yn µ (8) / 2 ( 2π ) 2 ρ y n ( y n θ ) = ρ y x ( y n, θ ) π n n, (9) 4. - Dados coletados Os dados foram coletados de chamadas realzadas com um software (Sype) que utlza a comuncação VoIP entre dos termnas fm-a-fm. Para mostrar os resultados de modelagem neste artgo, foram escolhdas 3 séres de tráfego (chamadas) que representam a maora dos comportamentos do tráfego VoIP das séres coletadas. A Tabela mostra o comportamento estatístco dos dados coletados para três destas chamadas realzadas. Chamada Nº. de Pacotes (Amostras) Méda da Amostra Varânca da Amostra , , , , Tabela Resumo dos Dados Coletados nas Chamadas VoIP. Frequênca dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados em Bytes Função de Densdade de Probabldade dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados (Bytes) Fgura Hstograma Chamada. Fgura 2 Densdade de Probabldade da Chamada Frequênca dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados em Bytes Função de Densdade de Probabldade dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados (Bytes) Fgura 3 Hstograma Chamada 2. Fgura 4 Densdade de Probabldade da Chamada

7 Frequênca dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados em Bytes Função de Densdade de Probabldade dos Paylood dos Pacotes Coletados Paylood dos Pacotes Coletados (Bytes) Fgura 5 Hstograma Chamada 3. Fgura 6 Densdade de Probabldade da Chamada 3 As fguras de a 6 apresentam os hstogramas e as curvas de densdades de probabldade para os valores de payload (número de bytes de dados de usuáro) nas três chamadas. É possível observar que na chamada exste uma regulardade entre os valores dos payload, com uma pequena varação na quantdade de bytes para o payload. Este comportamento no tamanho dos pacotes já não se repete para as chamadas 2 e 3. A Tabela 2 lustra este comportamento no tamanho do payload para os dez prmeros valores coletados nas três séres VoIP. Chamada Chamada 2 Chamada Tabela 2 Dez Prmeros Valores de Payload dos Pacotes das Chamadas VoIP Análse Realzada utlzando os Métodos MA e MDL Para encontrar o número adequado de gaussanas para as Msturas Gaussanas foram utlzadas abordagens adaptatvas: Msturas Adaptatvas e a proposta (MDL-EM). Para realzar as comparações, depos de gerada a amostra sntétca, também, fo calculado a méda, a varânca e o desvo-padrão de ambas as séres. Chamada : As Tabelas 3 e 4 mostram os erros percentuas calculados para as duas abordagens para a chamada. Comparou-se também as funções de densdade das séres geradas com as das séres reas. A Fgura 7 mostra a densdade de probabldade de cada sére gerada com os algortmos adaptatvos para a chamada. Sére Coletada Sére Sntétca com 4 Gaussanas Erro(%) Méda 97, ,6497,28 Varânca 33, ,583,3 Desvo Padrão 7,772 7,782,56 Tabela 3 - Parâmetros Estatístcos da Chamada utlzando MA. Sére Coletada Sére Sntétca com 3 Gaussanas Erro(%) Méda 97, ,6385,66 Varânca 33,5448 3,856,5386 Desvo Padrão 7,772 7,6594,2694 Tabela 4 - Parâmetros Estatístcos da Chamada utlzando MDL-EM. 2696

8 Comparando os valores mostrados nas Tabelas 3 e 4, nota-se que apesar do algortmo MA apresentar menores valores de erro percentual para o desvo padrão e conseqüentemente para varânca, os valores de erro percentual apresentados para méda é maor que o valor apresentado pelo algortmo MDL-EM. Entretanto, o algortmo MDL-EM atnge este desempenho utlzando um menor número de gaussanas. Densdade de Probabldade dos Dados Sére Coletada Sére do MDL-EM Sére da MA Dados (Bytes) Fgura 7 Densdade de Probabldade das Séres Sntétcas Geradas pelo MDL-EM e MA e da Sére Coletada para a chamada Observa-se na Fgura 7, que a curva de densdade de probabldade da sére gerada pelo algortmo MDL-EM aproxmadamente sobrepõe a curva de densdade da sére coletada enquanto que a curva de densdade da sére gerada pelo algortmo MA apresentou uma dscrepânca sgnfcatva. Chamada 2: Para a chamada 2 utlzou os mesmos procedmentos realzados para a chamada, utlzou os algortmos MA e MDL-EM, com base nas séres VoIP coletadas, para gerar as séres sntétcas para posteror calculo de suas estatístcas. As Tabelas 5 e 6 mostram os erros percentuas calculados para as abordagens MA e MDL-EM. A Fgura 8 mostra as curvas de densdade de probabldade de cada sére gerada com os algortmos adaptatvos. Sére Coletada Sére Sntétca com Gaussanas Erro(%) Méda 455, ,382,222 Varânca ,98 Desvo Padrão 582, ,4,544 Tabela 5 - Parâmetros Estatístcos da Chamada 2 utlzando MA. Sére Coletada Sére Sntétca com 9 Gaussanas Erro(%) Méda 455, ,743,78 Varânca ,7 Desvo Padrão 582,422 58,9382,35 Tabela 6 - Parâmetros Estatístcos da Chamada 2 utlzando MDL-EM Observando os valores apresentados pelas Tabelas 5 e 6, nota-se que os menores erros percentuas para os parâmetros estatístcos foram obtdos para a sére sntétca gerada pelo algortmo MDL-EM. Pode-se dzer então que a sére gerada pelo algortmo MDL-EM se aproxmou mas da sére VoIP coletada. 2697

9 Densdade de Probabldade dos Dados Sére Coletada Sére do MDL-EM Sére da MA Dados (Bytes) Fgura 8 Densdade de Probabldade das Séres Sntétcas Geradas pelo MDL-EM e MA e da Sére Coletada para a chamada 2 Pode-se observar na Fgura 8 que a curva de densdade de probabldade da sére gerada pelo algortmo MA apresenta pcos mas dstantes da curva de densdade da sére coletada. Anda na Fgura 8, também, pode-se observar que a densdade da sére gerada pelo algortmo MDL- EM acompanha de forma mas precsa a curva de densdade da sére coletada do que a densdade da sére gerada pelo algortmo MA. Chamada 3: Para a chamada 3 foram mantdos os mesmos procedmentos realzados para as chamadas e 2. As Tabelas 7 e 8 mostram os erros percentuas calculados para as abordagens MA e MDL-EM. A Fgura 9 mostra as curvas de densdade de cada sére gerada com os algortmos adaptatvos. Sére Coletada Sére Sntétca com Gaussanas Erro(%) Méda 566, ,899,237 Varânca ,238 Desvo Padrão 63,72 63,45,9 Tabela 7 - Parâmetros Estatístcos da Chamada 3 utlzando MA. Sére Coletada Sére Sntétca com 8 Gaussanas Erro(%) Méda 566, ,594,269 Varânca ,22 Desvo Padrão 63,72 63,46, Tabela 8 - Parâmetros Estatístcos da Chamada 3 utlzando MDL-EM Na chamada 3, a sére sntétca gerada pelo algortmo MDL-EM, também, apresentou os menores erros percentuas comparados com os erros percentuas calculados para a sére sntétca gerada pelo algortmo MA, como mostra as Tabelas 7 e 8. Também para a chamada 3, a sére sntétca gerada pelo algortmo MDL-EM possu característcas mas próxmas das característcas da sére VoIP coletada. 2698

10 Densdade de Probabldade dos Dados Sére Coletada Sére do MDL-EM Sére do MA Dados (Bytes) Fgura 9 Densdade de Probabldade das Séres Sntétcas Geradas pelo MDL-EM e MA e da Sére Coletada para a chamada 3. Observa-se na Fgura 9 que a curva de densdade de probabldade da sére gerada pelo algortmo MDL-EM se aproxma mas da curva de densdade da sére coletada do que a curva de densdade da sére gerada pelo algortmo MA. Os pcos da curva de densdade da sére do MDL- EM se aproxma mas que os pcos da curva de densdade da sére coletada Taxa de Perda Uma análse do comportamento de fla no buffer também fo realzada para comparar as séres sntétcas geradas com o da sére VoIP orgnal coletada. Para sso, consderou-se nas smulações, um enlace com um servdor e um buffer sendo almentado pelas séres. A smulação computaconal fo realzada mantendo-se o tamanho do buffer fxo em bytes e varando a capacdade do enlace em 45, 6, 7, 85 e bytes/s. As Tabelas 9, e mostram os valores obtdos para a taxa de perda de pacotes para as séres coletada e sntétcas. Tamanho do Buffer(Bytes) / Capacdade de Enlace(Bytes/s) Sére Coletada Sére MA Sére MDL / 45 53,9 53,94 53,9 / 6 38,6 38,53 38,6 / 7 28,49 28,3 28,44 / 85 3,77 3,6 3,8 / 4,53,39,47 Tabela 9 Comportamento de Fla das Séres Coletada, do MA e MDL-EM para a Chamada Tamanho do Buffer(Bytes) / Capacdade de Enlace(Bytes/s) Sére Coletada Sére MA Sére MDL / 2 73,24 69,8 7,3 / 5 53,9 49,5 5,9 / 9 27,56 23,8 24,6 /. 2,4 7,99 8,63 /.3 3,48,4 4,52 Tabela Comportamento de Fla das Séres Coletada, do MA e MDL-EM para a Chamada

11 Tamanho do Buffer(Bytes) / Capacdade de Enlace(Bytes/s) Sére Coletada Sére MA Sére MDL / 2 74,98 7,82 72,7 / 5 54,65 5,55 52, / 9 28,58 26,2 26,33 /. 22,24 9,49 9,78 /.3 3,8,76 4,24 Tabela - Comportamento de Fla das Séres Coletada, do MA e MDL-EM para a Chamada 3 Os valores da capacdade de enlace utlzados na chamada são menores do que para as outras chamadas devdo ao fato que os valores de capacdade de enlace guas a 2, 5, 9,. e.3 geram taxas de perdas guas a zero para esta chamada. A não ser por este crtéro, os valores para o tamanho do buffer e para capacdade de enlace utlzados nas smulações foram escolhdos aleatoramente. Observando as tabelas acma nota-se que à medda que a capacdade de enlace aumenta a taxa de perda dmnu. Observa-se anda, que para as três chamadas, a sére gerada pelo algortmo MDL-EM apresentou os valores da taxa de perda mas próxmos da taxa de perda da sére VoIP coletada, ou seja, o comportamento de fla da sére sntétca gerada pelo algortmo MDL-EM é o mas parecdo com a sére VoIP coletas. A relação entre a taxa de perda de pacotes e o tamanho do buffer para duas chamadas pode ser averguada nas fguras e. Taxa de Perdas (Bytes) Sére Coletada Sére MDL-EM Sére MA Tamanho do Buffer (Bytes) x 4 Fgura Gráfco da Relação entre a Taxa de Perda e o Tamanho do Buffer para Sére Coletada e Séres do MDL-EM e MA na Chamada Sére Coletada Sére MDL-EM Sére MA Taxa de Perda (Bytes) Tamanho do Buffer (Bytes) x 4 Fgura Gráfco da Relação entre a Taxa de Perda e o Tamanho do Buffer para Sére Coletada e Séres do MDL-EM e MA na Chamada 3 27

12 As Fguras e corroboram os resultados apresentados nas tabelas 9, e no sentdo de que as séres geradas pelo algortmo MDL-EM também apresentam uma relação entre a taxa de perda e o tamanho do buffer smlar as das séres VoIP coletadas. Observa-se também que o tamanho do buffer nfluenca no valor da taxa de perda. Um aumento do tamanho do buffer proporcona uma queda na taxa de perda. 5. Conclusões A geração de séres a partr de Msturas Gaussanas depende da estmação da densdade de probabldade para este modelo. As dfculdades na obtenção da densdade de probabldade para Msturas Gaussanas é encontrar os parâmetros do modelo e um número de gaussanas que seja efcaz na geração da sére sntétca. Este artgo apresentou abordagens adaptatvas para encontrar o número adequado de gaussanas. Observou-se que é possível obter uma sére sntétca com característcas semelhantes das amostras coletadas utlzando msturas gaussanas. A abordagem proposta MDL-EM, de modo geral, apresentou menores valores para os erros percentuas para as médas e varâncas das séres nas três chamadas VoIP do que o algortmo MA. O algortmo MDL-EM, também, apresentou menor número de gaussanas, conseqüentemente necessta de menor volume de nformação a ser armazenado e de menor processamento computaconal para estmar a densdade do que o algortmo MA. Avalando os resultados obtdos, pode-se dzer que a sére gerada pelo algortmo MDL-EM possu em geral característcas mas próxmas das característcas das séres de VoIP coletadas do que as séres geradas através do algortmo MA. Outro fato, também observado, é que com a utlzação do algortmo MDL-EM não é necessáro determnar o quanto de regulardade possu a sére para posterormente escolher o método a ser usado. O tempo gasto na estmatva dos parâmetros do modelo apresentado pela abordagem MDL-EM é maor que o tempo gasto apresentado pela abordagem MA, mas a dferença entre o tempo computaconal dos algortmos não sobressa às vantagens que o MDL-EM apresenta. Por fm, na análse de taxa de perda em um enlace de comuncação com buffer fnto, a sére gerada pelo algortmo MDL-EM também apresentou um comportamento mas próxmo do das séres coletadas do que o algortmo MA. Referêncas Bouman, C. A., Shapro, M., Coo, G. W., Atns, C. B., Cheng, H., Dy, J.G., Borman, S., (25), CLUSTER: An Unsupervsed Algorthm for Modelng Gaussan Mxtures, School of Electrcal Engneerng, Purdue Unversty, West Lafayerette. Colcher, S., Gomes, A. T. A., Slva, A. O., Souza, G. L. F. e Soares, L. F. S., (25), VoIP Voz sobre IP, 4 ed., Edtora Elsever, Ro de Janero. Hassan, H., Garca, J. M., Bocstal, C., (26), Aggregate Traffc Models for VoIP Applcatons, LAAS-CNRS, 7 av du colonel ROCHE, 377 Toulouse cedex4, FRANCE. Martnez, W. L., Martnez, A. R., (28), Computatonal Statstcs Handboo wth MatLab, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, Florda. Peter G., (25), A Tutoral Introducton to the Mnmum Descrpton Length Prncple, Centrum voor Wsunde en Informatca, Kruslaan 43, 98 SJ Amsterdam, The Netherlands, Pcard, F., (27), An ntroducton to mxture models, Laboratore Estatstque et Génome, UMR CNRS 87 INRA 52 Unv. d Evry, France. Resch, B. (2), Mxtures of Gaussans A Tutoral for the Course Computatonal Intellgence. Sgnal Processng and Speech Communcaton Laboratory. MxtGaussan/MxtGaussan.html, Inffeldgasse 6c, last updated: 24. Jun. Zhuang, X., Huang, Y., Palanappan, K. end Zhao, Y., (996), Gaussan Mxture Densty Modelng, Decomposton, and Applcatons, IEEE TRANSACTIONS ON IMAGE PROCESSING, VOL. 5, NO

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