4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.
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- Bento Conceição Madureira
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1 MÉTODOS NM ÉRICOS PARA E QAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS - Métoo e Dfereçs Fts Aplco às Eqções Dferecs Prcs..- Apromção e Fções...- Apromção por Polômos...- Ajste e Dos: M ímos Qros..- Dervs e Iters Nmércs...- Apromção e Dervs por Df ereçs Fts...- Apromção e Iters por Rers e Iterção Nmérc..- Solção e Eqções Dferecs Orárs...- Prolem e Vl or Icl...- Prolem e Vl or e Cotoro..- Solção e Eqções Dferecs Prcs.
2 .- Solção e Eqções Dferecs Orárs. Se estcm os tpos e prolems pr s EDO: f f f F f EDO mplct f f f f F f EDO eplct A solção erl est eqção poss costtes rtr árs qe poem ser eterms se são mposts restrções: -Prolem e Vlor Icl : Qo s restr ções são mposts m poto cl Coções Ics. O sej qo são coecs o poto cl f f Esto Al teror f - Prolem e Vlor e Cotoro : Qo s restr ções são mposts os etremos o tervlo [ ] Coções e Cotoro.
3 Cosere qe vr ável epeete é posção e ão o tempo. Nosso Prolem e Vlor e Cotoro cosste em ecotrr qe stsf z: Prolems este tpo moelm feômeos mesos qe ão vrm com o tempo o sej. Estremos ls métoos e Dfereçs Fts qe promm sol ção este PVC. Fremos sto plco prolems qe precem v prátc...- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. ] [ t < ' ' pr eemplo Por ecotoro. Coções EDO [ ] t
4 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Pr eemplfcr o Métoo e Apromção por Dfereçs Fts MDF cosere m PVC escrto por m EDO er e Se Orem e s setes coções e cotoro ] [ { Coçõese Cotoro EDO m form e scretzr o prolem é costrr m ml sete form. Dvmos o tervlo [ ] em prtes s e tmo e ef mos o cojto e ós ml como: Os vlores correspoetes e os potos est ml são. Resolver este PVC pelo MDF cosste em promr tos s ervs qe precem EDO e s coções e cotoro por formls e fereçs. Dfereçs Cetrs são ms ss porqe possem mor precsão.
5 Destcmos três formls e fereçs cetrs: Etão prom ção pelo MDF pr o PVC teror cosste em ecotrr qe stsf z Est eqção poe ser reescrt como:..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. D D 6 6 D { Cotoro e Coções EDO < <
6 Note qe sto é m sstem ler e - eqções com - cóts qe poe ser resolvo pelos m étoos já estos...- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. { oe C.C. EDO < < { C. C.
7 O em form mtrcl temos:..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. F oe F A M M A
8 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Note qe mtrz A o sstem ler e eq ções lércs oto pel plc ção o métoo e fereçs fts é trol mtrz esprs. O sej pes os elemetos ol prcpl e ol speror e feror à ol prcpl são feretes e zero. Isto é m crcterístc s mtrzes ers pelo m étoo e fereçs fts. Est crcterístc eve ser eplor or e resolver o sstem e eqções ler lércs porqe rez o so e mem ór pr rmzer mtrz o sstem. Note qe mtrz é trol porqe smos formls e fereçs fts com o mámo e três potos. Se tvéssemos so formls e fereçs fts com m úmero mor e potos terímos ms os feretes e zero. Etretto mtrz cot seo esprs.
9 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Prolem Eqção o Clor: Cosere m rr fet e m mterl cotor e clor sjet lm f ote eter e clor e coções e cotoro os etremos rr. Spo qe s proprees o mterl str ção e tempertr cl e fote eter epeem pes e ão s re ções seção trsversl e em o tempo. e O feômeo e co ção o clor est rr poe ser moelo pel sete eq ção: { ] [ EDO Fote Eter Dfsão oe é o coefcete e co ção o clor e é fote eter e clor Eqção Dfsão Estcoár mesol.
10 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Se o mterl é omoêeo etão ão epee e e EDO se trsform e: { ] [ EDO Fote Eter Dfsão Coções e Cotoro : Destcmos três tpos e co ções e cotoro - A tempertr é coec os etremos o tervlo Coção e Drclet { - O flo e clor é coeco em lm etremo o tervlo q o q { Coção e Nem - Se coece em lm etremo o tervl o m com ção s s co ções terores α r o α r { Coção e Ro
11 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Eemplo : Resolv o sete PVC { ] [ EDO Fote Eter Dfsão Coção e Drclet { Este prolem é tão smples qe poe ser resolvo e form et: o C { Prmer Iterção G Prmtv G C o G C C { Se Iterção { { G Prmtv G C C Prmer Coção e Cotoro G C C Se Coção e Cotoro [ ] [ G G ] [ ] [ G G ] C e C G
12 Se prommos erv se pel forml e fereç cetr: Etão prom ção pelo MDF pr o PVC teror cosste em ecotrr qe stsf z oe ml s pr scretzr o prolem é: Est eqção poe ser reescrt f orm:..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. D { Cotoro e Coções EDO < <
13 Note qe sto é m sstem ler e - eqções com - cóts qe poe ser resolvo pelos m étoos já estos...- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. { oe C.C. EDO ] [ < < { C. C. ] [ ] [ ] [ ] [ F M M oe A F A O O O
14 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. A mtrz A é ão slr e o sstem teror poe ser resolvo pelos métoos já estos. Erro Sol ção Aprom? - Erro em c poto : - Erro lol: E G ] [ já qe e - Note qe em erl ão stsf z e sto ef e o cmo erro locl A F A F E A compoete o erro locl l é oe [ D Aplco o MDF A F E [ ] < EDO E < T T ] e [ ]
15 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Se solção et o prolem é sve epo el em sere e Tylor etoro o poto pr e e sstto eqção teror otemos: O < < E Sstto EDO see qe: E O < EDO < O sej o erro locl é e orem EDO E < EDO C < Poemos estelecer m rel ção etre o erro locl E e o erro lol. Pr sto fç fereç etre - e otemos: E G A E o A EG E G Note qe este é o mesmo sstem e eq ções em fereçs oto pr eceto qe em lr e Ftemos E. Este sstem poe ser terpreto como seo scretzção E
16 EDO correspoete o erro em c poto: Já qe etão o erro lol poe ser oto tero s vezes EDO teror: O sej oo pr este prolem o erro lol tmém é e orem o l qe o erro locl...- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. E E A Aplcoo MDF [ ] E G e e e E e e C [ ] [ ] G e e C C T T E
17 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Estle: Cosere o sstem qe estelece rel ção etre o erro locl e o erro lol: AEG E o A EG E oe Escrto est form os lemr qe o sstem epee o tmo ml. Note qe qo mesão mtrz A met. Sej vers mtrz A loo sol ção o sstem é A E A E e E A E A E G G Fo vsto qe E O e espermos mesm orem e precsão pr E G como fo vsto tm ém. Pr qe sto se verfqe relção é ecessáro qe A sej lmto por m costte epeete e qo. A < C pr sfcetemete peqeo EG C E C O
18 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Isto motv sete efção e estle pr PVC. ESTABIIDADE: Spo qe m métoo e fereçs fts pr o PVC ler forece m seq üêc e eq ções mtrcs form A F oe é o prâmetro ml. Se z qe este Métoo e Dfereçs Fts é Estável se A este pr too sfcetemete peqeo < e se este m costte C qe epee e tl qe A < C < Note qe se est co ção e estle se verf c etão pr sfcetemete peqeo E C E C O G CONSISTÊNCIA: Se z qe o MDF é cosstete se o Erro ocl tee pr zero qo o prâmetro ml tee pr zero: E qo A E E G G
19 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. CONVERGÊNCIA : Se z qe o MDF é coverete se orm o Erro Glol tee pr zero qo o prâmetro ml tee pr zero : E qo G Como os três cocetos terores cemos o reslto Cosstêc Estle Coverêc O sej se E qo e < C < etão A E E qo EG C A Em erl Cosstêc é ms fácl e verfcr qe Estle. Provr Estle e m MDF é m os mores esf os qe ecotrmos qo qeremos mostrr Coverêc os MDF pr ovos prolems sejm eles prolems leres o ão leres.
20 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC. Eemplo : Resolv o sete PVC { ] [ EDO Fote Eter Dfsão { Coção e Drclet Este prolem é tão smples qe poe ser resolvo e form et: C C oe C e C o Costrímos ml form e E ] [ e e e C C { e E e e como E 5 e
21 ..- Prolem e Vlor e Cotoro PVC E t D F C E t D F C
22 Frse o D Alto to peetrte to te tmte mysteres of tre tece to l er te tre cses of peome s ot llowe to s everteless t c ppe tt cert fctve ypotess my sffce for epl my peome. eor Eler A mesm s Al 9... te sty of Elers wors wll rem te est for fferet fels of mtemtcs ot else c replce t. Frerc Gss
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AJUST D CURVAS Até or o polômo de promção o dedo de tl mer cocdr com o vlor d ução dd em potos dedos terpolção m certos tpos de prolems sto pode ão ser desejável em prtculr se os vlores orm otdos epermetlmete
L triangular inferior U triangular superior
69 Forção Ax A rgr feror rgr speror Vmos oserr o exempo roóro m Po () m po 8 Osere qe mrz () poe ser o e pré-mpco- por m mrz coeee o cso: mesm form mrz é o pré-mpco- por: 7 eror é m mrz râgr Assm sp A
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1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS
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Método de Gauss- Seidel
.7.- Método de Guss- Sedel Supohmos D = I, como fo feto pr o método de Jco-Rchrdso. Trsformmos o sstem ler A = como se segue: (L + I + R) = (L + I) = - R + O processo tertvo defdo por: é chmdo de Guss-Sedel.
Em muitas situações duas ou mais variáveis estão relacionadas e surge então a necessidade de determinar a natureza deste relacionamento.
Prof. Lorí Vl, Dr. vll@mt.ufrgs.r http://www.mt.ufrgs.r/~vll/ Em muts stuções dus ou ms vráves estão relcods e surge etão ecessdde de determr turez deste relcometo. A álse de regressão é um técc esttístc
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CAPÍTULO 3. O Método das Diferenças Finitas
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... Capítulo III - Resolução de Sistemas. Vamos estudar métodos numéricos para: - resolver sistemas lineares
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k 0 4 n NOTAS DE AULA A Integral Definida
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Epço Eo Eqo or corolo covcol - rlção r í-r, o fção rfrêc, o corolo moro - crção qçõ o m m rmo qçõ frc ªorm q pom r com m qção frcl ª orm form mrcl. O o oção mrcl mplfc m mo rprção mmác m qçõ. O mo úmro
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Grio lis e MAT A forç resle em iesie N ireção o prir o semi-eio posiio os A eloie resle é m/h m âglo e -6 o sese O ião ee segir ireção -6 o soese Ese proo iero represe o lor o esoqe represeo pelo eor m
6.1: Séries de potências e a sua convergência
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Aula 1b Problemas de Valores Característicos I
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4. Fomlção Mcl o Méoo Elmos Fos s cpílo sá ps fomlção mcl o méoo lmos fos pos plcção o méoo lv ssms lgécos q pom s ogzos fom mcl p poso solção po éccs mécs pops p c po qção fcl: lípc pólc o hpólc. O poo
INTEGRAÇÃO NUMÉRICA. Profa. Luciana Montera Faculdade de Computação Facom/UFMS. Métodos Numéricos
NTEGRAÇÃO NUMÉRCA Pro. Luc Moter moter@com.ums.r Fculdde de Computção Fcom/UFMS Métodos Numércos tegrção Numérc tegrl ded Aplcções Métodos tegrção Numérc Fórmul ude Newto Cotes oes Método dos Trpézos Método
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CLASSIFICAÇÃO AUTOMÁTICA (Taxonomia Numérica)
Toomi Numéric OBJECTIVO Costrução utomátic e gruos e mostrs iivíuos oectos ou vriáveis roriees o iterior os quis eiste elev roimie e coro com um critério efiio riori. A roimie etre os elemetos e c gruo
Exemplo: As funções seno e cosseno são funções de período 2π.
4. Séries de Fourier 38 As séries de Fourier têm váris plicções, como por eemplo resolução de prolems de vlor de cotoro. 4.. Fuções periódics Defiição: Um fução f() é periódic se eistir um costte T> tl
Método de Gauss-Seidel
Método de Guss-Sedel É o ms usdo pr resolver sstems de equções lneres. Suponhmos que temos um sstem A=b e que n= Vmos resolver cd equção em ordem um ds vráves e escrevemos 0/0/9 MN em que Método de Guss-Sedel
ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica. Prova Substitutiva de Mecânica B PME /07/2012
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CAPÍTULO Ajuste de curvas pelo Método dos Mímos Quadrados Ajuste Lear Smples (ou Regressão Lear); Ajuste Lear Múltplo (ou Regressão Lear Múltpla); Ajuste Polomal; Regressão Não Lear Iterpolação polomal
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AJUSTE A U POLINÔIO Se curv f for jusd um polômo de gru, eremos f * () 0 Segudo o mesmo procedmeo eror, chegremos o segue ssem ler: m L O L L 0 EXEPLO Os ddos bo correspodem o volume do álcool ídrco em
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ESTATÍSTICA STICA DESCRITIVA Prof. Lorí Val, Dr. val@mat.ufrgs.br http://.ufrgs.br/~val/ Orgazação; Resumo; Apresetação. Cojuto de dados: Amostra ou População Um cojuto de dados é resumdo de acordo com
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Cpítulo V INTEAIS DE SUPEFÍCIE Cpítulo V Iters de Superfíce Cpítulo V Vmos flr sobre ters sobre superfíces o espço tr-dmesol Estes ters ocorrem em problems evolvedo fluídos e clor electrcdde metsmo mss
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OSG: / ENSINO PRÉ-UNIVERSITÁRIO T MATEMÁTIA TURNO DATA ALUNO( TURMA Nº SÉRIE PROFESSOR( JUDSON SANTOS ITA-IME SEDE / / Ftorl Defção h-se ftorl de e dc-se or o úero turl defdo or: > se ou se A A A A Eercícos
EE625-Integraisederivadas
A. Forms Básics. v=v v. =,. =l 4. e =e 5. = l 6. si=cos 7. cos=si. sec =t 9. csc =cot 0. t=l sec. cot=l si. sec=l sect. csc=l csccot 4. =si 5. = t 6. = sec 7. = l. = l EE65-Itegriseerivs B. Trigoométrics.
EAE Modelo de Insumo-Produto
EAE 598 Modelo de sumo-produto Modelo de sumo-produto Costruído prtr de ddos observáves fluxos terdustrs (us, $) Estrutur mtemátc equções cógts j f j EAE 598 Modelo de sumo-produto Setor Setor (Demd Fl)
CURSO DE NIVELAMENTO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc ÁLGEBRA MATRICIAL. Dra. Heloísa Lajas Sanches
CURSO DE NIVELAMENO PEQ/COPPE/UFRJ M.Sc. 9 ÁLGEBRA MARICIAL Dra. Heloísa Laas Saches Arthr Cayley Nascmeto: 6 de Agosto de 8 em Rchmod, Srrey, Iglaterra Falecmeto: 6 de Jaero de 895 em Cambrdge, Cambrdgeshre,
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Itrodução ao R 960 988 996 Atualmete Lguagem S (Joh Chambers et al; Lucet Techologes) S-Plus. Software propretáro de aálse de dados que cotém a lguagem S Lguagem oretada a objetos R (Ross Ihaka e Robert
A Integral Definida. A definição da integral definida utiliza a soma de muitos termos. Assim, para expressar tais
A Itegrl Defd wwwcttmtr/log Itegrl Defd ou de Rem Notção Sgm A defção d tegrl defd utlz som de mutos termos Assm, pr epressr ts soms, troduzmos otção greg, cujo símolo é que correspode à letr S pr sgfcr
4º Teste de Avaliação de MATEMÁTICA A 12º ano
º (0 / 4) Nº Nome 4º Teste de Avlição de MATEMÁTICA A º o 4 Fevereiro 04 durção 90 mi. Pro. Josué Bptist Clssiicção:, O Pro.:, Grupo I Os sete ites deste rupo são de escolh múltipl. Em cd um deles, são