PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO NUMÉRICO. Notas de Aula Aplicações Exercícios

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1 PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA CÁLCULO NUMÉRICO Nots de Al Aplcções Eercícos Elete Bsotto Hser

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3 Ídce Sstem de Poto Fltte Normlzdo Teor dos Erros... Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes... 9 Sstems de Eqções Leres... 5 Iterpolção Poloml Aste de Fções Itegrção Nmérc Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Ordárs Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Prcs Bblogrf...85 Formláro Lbortóros tlzdo Sstem Mple... 9

4 Teor dos Erros - Sstem de Poto Fltte Um úmero bse β, L,b b L form pode ser descrto β β L β β β b β b β L. Por eemplo, 57, Em rtmétc de poto fltte ormlzdo de t dígtos, tem form:,d d d e L t β β,d d L d t é mtss m frção bse β, d β, d,,,...,t e é m epoete tero qe vr o tervlo [m,m]. M e m depedem d máq tlzd. Em gerl, m -M Z. v t defe precsão d máq, é o úmero de dígtos d mtss. Obs: precsão etdãodepede d precsão d máq e do lgorítmo tlzdo A ão de todos os úmeros de poto fltte ormlzdos com o zero: m. L β t vezes é chmdo Sstem de Poto Fltte Normlzdo e represetdo por Fβ, t, m, M. Algs eemplos de máqs com precsão smples: HP 8 : F,, -98, 5 b IBM 9 : F6, 6, -6, 6 c Cr : F, 8, -89, 89 d Brroghs B67: F8,, -6, 6 Em F vlem s propreddes:, β m é o meor úmero em módlo, ão lo, de F., β β... β β M é o mor úmero, em módlo, ão lo, de F. t vezes # F β β t M m é o crdl de F Pr qlqer mtss, vle β mtss <. 5 Se F, etão F. 6 F e F. Se o epoete d bse ão pertecer [m,m], ão pode ser represetdo em F. São os csos de erro de: - derflow, se e < m ltrpss cpcdde mím - overflow, se e > M ltrpss cpcdde mám

5 E.B.Hser Cálclo Nmérco Se represetção do rel em F ão é et, é ecessáro tlzr m rredodmeto. Os tpos de rredodmeto ms cohecdos são: - Arredodmeto pr úmero ms prómo de máq O. - Arredodmeto por flt, o trcmeto. - Arredodmeto por ecesso Em F, gerlmete, s operções de dção e mltplcção ão são comttvs, ssoctvs e em dstrbtvs, pos m sére de operções rtmétcs, o rredodmeto é feto pós cd operção. O se, em sempre s operções rtmétcs válds pr os úmeros res são válds em F. Isto fl solção obtd trvés de m método mérco. Assm, métodos mércos mtemtcmete eqvletes, podem forecer resltdos dferetes. Medds de Etdão Qdo se prom m úmero rel por *, o erro qe reslt é -*. Defe-se: * erro bsolto: EA * e o erro reltvo: ER pr. A fm de ver o tpo de stção qe pode ocorrer m erro reltvo de grde mgtde, vmos cosderr dfereç etre os úmeros segr, por eemplo:,77869,757,8,8 - Se os cálclos forem fetos em F, 5, -99, 99 com rredodmeto O: *,75, *,7 e *-*,, - Assm, o erro reltvo etre os dos resltdos é grde: * -*, -,8 -,8 - % N resolção de m problem o vlor eto d solção pode ser descohecdo. Podemos sr ds promções scessvs de, defdo: DIGSE,, log µ o ql epress o úmero de dígtos sgfctvos etos de em relção. Aq µ represet dde de rredodmeto d máq µ β t se o rredodmeto for O. 5

6 - Teor dos Erros Algortmos Nmércos O Cálclo Nmérco tem por obetvo estdr e plcr lgortmos mércos pr solção de problems, vsdo o meor "csto" e cofbldde do resltdo observr tempo de eecção, úmero de operções rtmétcs, qtdde de memór, propgção do erro, etc. Um bom lgortmo mérco deve se crcterzdo por: Idepedêc d máq : eecção do progrm pode ser relzd em dferetes máqs. b Iestêc de Erro Artmétco: problems de overflow e derflow devem ser detectdos pror c Iestêc de Erro Lógco: prevsão de tdo o qe poderá ocorrer drte o processo dvsão por zero, por eemplo d Qtdde ft de cálclos. e Estêc de m crtéro de etdão. f O erro deve covergr pr zero com precsão ft. g Efcêc: prodz respost corret com ecoom Pssos pr resolção de m problem: tpos de erros A resolção de problems res evolve dverss etps: Problem Rel Modelgem Mtemátc Solção Estdremos lgortmos mércos fm de obter m solção mérc do problem, ql, gerlmete, dfere d solção et. Possíves fotes de erro qe germ ess dfereç são: Smplfcção do modelo mtemátco lgms vráves evolvds são desprezds; b Erro os ddos de etrd com freqêc provdos de ddos epermets; c Trcmeto por eemplo, sbsttção de m processo fto por m fto e lerzções; d Erro de rredodmeto em rtmétc de poto fltte. Crosddes: Some dssters csed b mercl errors. Aplcção O volme de m esfer de ro r pode ser obtdo de π r V. Estmr o volme do hemsféro de ro e represetdo grfcmete o ldo. Utlzr rredodmeto pr úmero ms prómo de máq em F,, -98, 98. 6

7 E.B.Hser Cálclo Nmérco Eercícos No sstem MpleV estmr e 8. e e! com 6 termos cd e comprr com tlzdo e e 8. e ! Em F,, -98, 98 e rredodmeto por trcmeto estmr p.7 se: p b p Em mbos os csos estmr o erro bsolto o comprr com p Obs: Estmr p pelo lgortmo sl p... ege dções e / mltplcções eqto qe o lgortmo de Horer p... {... reqer dções e mltplcções. Sem A, B, C e D mtrzes geércs de ordem, 5, 5 e respectvmete. Utlzdo propredde ssoctv, pode-se determr o prodto mtrcl ABCD de dverss forms. Ql ds ds bo é ms efcete? Porqe? ABCD b ABCD Represetr o úmero rel bse sdo 8 lgrsmos sgfctvos? Ess represetção é et?.6 b.5 c.7 5 Determr o crdl, regões de derflow e overflow e todos elemetos res de: F,,-, b F,,-, c F,,-, 6 Represetr, se possível, os úmeros bo em tlzdo rredodmeto por trcmeto e rredodmeto pr úmero ms prómo de máq O em F,5,-,. b c d e e f 7 Cosderdo: A Clclr o vlor de A tlzdo precsão ft.. b Utlzdo rredodmeto por trcmeto em F,,-98,98, estmr o vlor de A somdo d dret pr esqerd e pós somdo d esqerd pr dret. Comprr os resltdos. 7

8 - Teor dos Erros Resposts: ep-8.; > f:sm-^/!,..5: > f:pplf,: > f8.; Obs: Css desse erro: sbtrção de grdezs mto próms e dção de grdezs de dferetes ordes. > > f:/sm^/!,..5: > f:pplf,: > f8.;.857 p.7 -.5,erro bsolto.697 bp.7.,erro bsolto.8 ABCD é ms efcete pos ege mltplcções eqto qe pr clclr o prodto ABCD são ecessárs 5 mltplcções. OBS: Se M é de ordem pq e N de ordem qr, etão MN, de ordem pr, é obtd efetdo pqr operções de mltplcções de elemetos de M e N. - 6,, b,5, c 7., 5-, /, /,,, 5/6, 5/8, 5/, 5/, /8, /, /,, 7/6, 7/8, 7/, 7/ e smétrcos. # F Regão de oferflow:, 7/ 7/, Regão de derflow: -/,/ - {} b, /9, /,,, /7, /9,/,, 5/7, 5/9, 5/, 5, /9, /,, 6, 7/7, 7/9, 7/, 7, 8/7, 8/9, 8/, 8 e ses smétrcos. # F 9 Regão de oferflow:, 8 8, Regão de derflow: -/9,/9 - {} c, /8, /, /,,, /6, 5/6, /, /,, e ses smétrcos. # F Regão de oferflow:,, Regão de derflow: -/8,/8 - {} 6-,7* e,7 * b,66666* e,66667* c overflow,66666* e,66667* F d.78* e.78* e derflow.* F f,* e, * 7-,99975 b,999 e,998 8

9 . Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes Obetvo: Resolver eqções de form f gldde f é stsfet. Se fção, sto é, determr os vlores de pr os qs f só cotém operções lgébrcs repetds m úmero fto de vezes, eqção é dt lgébrc. E.: polômos,, 5 Eqções Trscedetes são qels em qe vrável depedete está sbmetd m operção ão lgébrc m úmero fto de vezes. E.: e, l tg, se e.- Eqções Poloms Revsão sobre polômo: Se p K m polômo de gr, ode os coefcetes, são úmeros res e. Temos qe: p poss rízes, cotds s mltplcddes. Se,,, p K. K forem rízes res de p, etão p pode ser ftordo form: E: p, tem rízes:,,. Logo, p Se b é rz de E.: p 6 p etão z b tmbém o é. tem rízes ±. 9

10 E.B.Hser Cálclo Nmérco Se b p é rz de p de gr b q ode o gr de q é. E.: p p, etão p tem rízes ±, ±. p tem rízes, ± E.: b 7 6 p 6. pode ser ftordo: 5Se p é de gr ímpr, etão p poss o meos m rz rel. ' " m 6 Um rz de p tem mltplcdde m se p p p K p e p m é rz de mltplcdde p 6 8 é rz de mltplcdde de p E.:

11 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes 7 Vlor mérco de m polômo: pr clclr, de form sl, p são ecessárs dções e mltplcções. O Método de Horer fz esse cálclo com dções e mltplcções: p K K K prêteses 5 E.: p 8 Se p é de gr, etão este úco polômo de gr, q p α q p α. Se α é rz de p etão p α. É o lgortmo de Brot-Rff tlzdo pr Deflcor Rízes. E. p α α α e p 5 6 e p 6 8 e p 8, tl qe comples. Emerr s rízes de Regr de Descrtes o Regrs de Ss..-Emerção ds Rízes O úmero de rízes res postvs de p é dzer qts são s rízes e se postvs, egtvs o p é gl o úmero de vrções de ss seqüêc dos coefcetes o meor do qe este por m úmero tero pr, sedo m rz de mltplcdde m cotd como m rízes e ão sedo cosderdos os coefcetes los. p O úmero de rízes res egtvs é obtdo plcdo regr de Descrtes Regr de Ht Se etão p e pr lgm, Regr d Lc p e pr lgm K, e Se, etão > p poss rízes comples. p tem rízes comples.

12 E.B.Hser Cálclo Nmérco 5 E.: p 5 p pode ter: rz rel postv, rízes egtvs e comples; o rz rel postv, ehm egtv, e comples...-loclzção ds rízes de p Loclzr s rízes de p é determr regão do plo qe cotém tods s rízes. Cot de Cch: Tod rz α rel o comple de p stsfz α β. Ode β lm, e K E.: p,7,68,6,7,68,6 e,787755, , , ,899 M α 5, , , , , M

13 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes.- Seprção de Rízes Res de f Métodos Gráfcos: Utlz-se m dos segtes processos: esboçr gráfco d fção f e loclzr s bcsss dos potos ode crv tercept o eo dos. f obter m eqção eqvlete f f. Loclzr o mesmo eo crteso os potos r ode s ds crvs se terceptem: f r f r f r f r f r de, etão b Método Alítco: Se f cot o tervlo [, b]. Se f f b < este pelo meos m rz de f em, b. Se o sl de f ' é costte em, b rz é úc esse tervlo. E.: p 9 Aálse gráfc: Logo, estem três rízes res: r,,,, b ltcmete: p 5,9 5 7,9 7 r r Obs: Devemos dr m teção especl pr os csos de: Rízes mto próms. pr rízes de mltplcdde pr ão ocorre troc de sl.

14 E.B.Hser Cálclo Nmérco E: p,7,68, 6 r,7 e r,8 são rízes de mltplcdde..- Métodos pr Resolção de eqções lgébrcs e trscedetes Qlqer método deve observr m crtéro de prd, o ql está ssocdo m estmdor de etdão. Por eemplo, pr ode C ε,, L são ddos: DIGSE, C f ε ε, ε > L úmero mámo de terções..-método d Bsseção o Dcotom Algortmo de qebr Se f : [, b] R cot e tl qe f b < Clcl-se o poto médo [, m ], [ m, b] Se f m e: b m f., dvddo-se [ b] f f m < etão rz está em, m f m f b < etão rz está em, em dos ovos tervlos :. Volt-se pr m,b. Volt-se pr Repete-se o processo té obter m promção rzoável d rz, sto é, té qe m crtéro de prd se stsfeto. Crcterístcs: É smples covergêc let ms grtd. A velocdde de covergêc é, DIGSE /psso, sto é, cd o pssos gh-se m DIGSE. E: p 7,5 Emerção ds rízes de p Regrs de Ht e Lc ão plcm R R totl

15 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes b Cot de Cch: 7,5, M,86868,866,756896,69558 M 5 6 7,67959, ,68869, c Seprção de rízes p 5 76,5 77 8,5 5 5, , 5 d Cálclo d rz, f r r r r r tlzdo o método d bssecção. I,5 6,975 ; 5,5 5,965 ;,5,5 9,669 ;,5,65, ;,65 5,5,5588,5;,65 6,6875,9568,5;,6875 7,965,8888,5;,965 8,5565,955,5565;,965 9,7975,89595,5565;,7975,685, ,5565;,685,5655,5,5565;,5655,596,595,5565;,596,578,878 M Obtemos r, 596 com DIGSE,, 96..-Método d Iterção Ler Cosste em escrever eqção f form G. Os potos * qe * * stsfzem codção G são dtos potos fos de G e geometrcmete represetm os potos de tersecção d ret G. com crv G é dt fção de terção do método. Ic-se terção com m vlor prómo d rz, e s otrs promções são dds por: G,,,, K 5 5

16 E.B.Hser Cálclo Nmérco A seqüêc de promção, coverge pr solção * d eqção f sob certs codções. A costrção de G ão é úc. A escolh de m G proprd é dt problem do poto fo. E b G 6, c G 6, G, G G 5 Embor ão se precso sr métodos mércos pr ecotrr s ds rízes res α, e α d presete eqção, ot-se qe: Tomdo G e, 5, seqüêc { } ão coverge pr. G M 5 G G G G G 6,5,75 6,75 8,65 6 8,65 59,965 75, ,8 6 Tomdo G e, 5, seqüêc { } coverge pr. G G G G 5 G 6 G 7 G M 5 6 6,5,56,96968,76665,998999,76885, ,988 Teorem d Covergêc: Se α m rz sold de f em [, b]. Se G e G são cotís em [, b] ; G',,b ; Ι e G,b,,,,... G,coverge pr α., etão seqüêc { }, gerd por 6

17 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes E: Utlzdo o método d terção ler clcle rz de f e, com DIGSE, 5 f G G e Se e ' e e ; G' G' e, e, * G e G são cots em [-,] e G ' < [,. ] Logo, seqüêc gerd por e coverge pr α [,]. Se, 5 5,86875,755577,777758,77669,77 6,778, , , M *G ão tem Mmo em mímo locl em [,], test-se etão só os etremos., f 9 DIGSE,88 9, 5, e Crcterístcs do Método d Iterção Ler: Não grte covergêc pr tod fção cot. Necesst do clclo de G. Pode ocorrer dfcldde pr ecotrr G. A covergêc é ler pr rízes smples cd psso do método o erro é redzdo por m fto costte. A velocdde de covergêc depede de G', qto meor este vlor, mor será covergêc. 7

18 E.B.Hser Cálclo Nmérco Obs.: Dd eqção f, estem fts fções G qe são fções de terção. A form gerl dests fções é: f A G, com codção qe em *, poto fo de G, se teh * A. Temos qe: * * * G f Com efeto: Se * tl qe * f. * * * * * * * A f A G * * * * * * * * * * A pos f f A f A G Se..-Método de Newto-Rphso Procr grtr e celerr covergêc do método d Iterção Ler, escolhedo pr fção de terção fção G tl qe G Dd fção f, tommos form gerl pr G:, ' ' ' ' ' ' ' ' * * * * * * * * f A G f A f A G f A f A G f A G pos * é poto fo de G * * * f G. Agor, ' ' * * * * * f A f A G. Tomemos ' ' f f G e f A. Etão dd f, G é tl qe ' * G, pos ] ' [ " ' ] ' [ " ] ' [ ' f f f f f f f G e. ' ' * * * f se G f Portto, cdo-se terção com m vlor escolhdo, seqüêc é determd por: ',,,..., ' f f f Geometrcmete, coforme podemos observr próm fgr, ddo, é bscss do poto de tersecção d ret tgete à crv f em, f e o eo dos. Assm, ' ' f f f f tg θ 8

19 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes f f θ Covergêc: é trblhoso mostrr qe G ' <. O método de Newto-Rphso coverge se: f f " G ' < f f " < f '. f ' Pr rízes smples covergêc é qdrátc e pr rízes dpls o trpls é ler. Escolh do poto cl: Se α,b rz de f. f f " > Se f b f " b > b b Cso cotráro, pode-se cosderr. E.: Estmr o vlor d úc rz rel de f l, tlzdo Newto-Rphso. f l, l 9

20 E.B.Hser Cálclo Nmérco l,5,,699599,675 Logo promção pr rz é α, 675 com 9 dígtos sgfctvos corretos. Clclr rz r [, ] do polômo ddo terormete: 7,5 p. p p" < e p p" > 7, ,69759,898,7965,55,599 5 Um promção pr rz é r, 599 com 9 dígtos sgfctvos e 5 terções. Obs: O Método de Newto pode dvergr devdo o so d tgete, oscldo defdmete.

21 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes Isto cotece qdo: Não há rz rel Ocorre smetr de f em toro de α O vlor cl está loge d rz et, fzedo qe otr prte d fção pred terção. f ' dfereçs: ode..-método d Secte Um desvtgem do Método de Newto-Rphso é o clclo do vlor mérco de cd terção. O método d secte cotor este problem, sbsttdo dervd pelo qocete ds f ' e f f são ds promções pr rz de f f f f. A forml tertv é: Geometrcmete, prtr ds promções pr rz de e, o poto é ddo pel bscss do poto de tersecção do eo O e d ret secte qe pss por, f e, f. Crcterístcs do método d secte: Grte covergêc pr tod fção cot Pode dvergr se f f Covergêc ms let qe o Método de Newto e ms rápd qe Bssecção e Iterção Ler. São ecessárs ds promções d rz cd terção. E: p 5 7 e α, , 6, ,968759, ,9976,985688,985666

22 E.B.Hser Cálclo Nmérco Eercícos Um prtícl é rremessd vertclmete, prtr do solo, com m velocdde cl v o.desprezdo resstêc do r, spomos qe posção p prtícl é dd por: g d t vot t, ode g é celerção d grvdde. Determr ltr mám tgd pel prtícl e o stte em qe ocorre. Um correte osclte m crcto elétrco é descrt por I 9e t se π t, t em segdos. Determr todos os vlores postvos de t pr os qs I.5. A cocetrção de m bctér polete m lgo é descrt por C 7e.5t.5e.75t Ecotrr o tempo pr qe cocetrção se redzd pr ove. O deslocmeto de m estrtr está defdo pel segte eqção D 8e t cos wt ode.5 e w. Determr grfcmete m estmtv cl do tempo ecessáro pr o deslocmeto decrescer pr. b Usr o método de Newto-rphso pr determr ess rz 5 Emerr, loclzr, seprr e clclr v Newto-Rphso e/o Bssecção, se possível, tods s rízes dos polomos tedo como crtéro de prd DIGSE, 5. No cso de rízes múltpls, determr mltplcdde d rz e clclr s dems tlzdo deflção. p 5 b p 5-5,5 77, c p 7 5 d p e p f p -,, -,, g p 9-8,9 7, 6-5, ,87,856,75 -,5966 -,555 h p - 8,9,6-,978 p,98,,66 -,75 6 Loclzr grfcmete e clclr v Newto-Rphso e/o Método d Iterção Ler tods s rízes, com DIGSE, 5:

23 - Resolção de Eqções Algébrcs e Trscedetes f l b f cos c f l d f cos l e f e B pr B,5,,5,5 7 Respoder resmdmete: Em qe cosste o prcípo d bssecção pr determr prmer promção de m rz de m eqção f? b Eplcr o método d terção ler pr clclr m rz de m eqção f, prtdo de m prmer promção. c Qdo ão coverge terção ler? d Qdo ão coverge o Método de Newto Rphso? e Iterpretr geometrcmete o Método de Newto-Rphso. f Ql vtgem de se tlzr o Algortmo de Horer pr se vlr o vlor do polomo m poto? Eemplfcr. Resposts: O deslocmeto mámo é vo /g e ocorre em t vo/g. t e t.697 t

24 E.B.Hser Cálclo Nmérco t r r- T p tem rízes comples. Este m rz rel em, Rízes:, ± b Rízes:.55557,.969,.98786,.7888, c Rízes: R e R 7mltplcdde, ão tem rízes comples. d Rízes: R e R5mltplcdde, ão tem rízes comples. e Rízes: R.7mltplcdde, R.8mltplcdde f Rízes: R, R, R R g Rízes: R-,5mltplcdde, R,mltplcdde 5 h Rízes: R.5689, R , R Rízes: R-, R-,75 R-, R, 6- R b R c R.675 d R e Este úc rz de f em -,

25 . Sstems de Eqções Leres O sstem com eqções leres e vráves M M L L M L b b M M b pode ser represetdo mtrclmete por AX B, ode A M M K K K M, X M, b b B M b e A é mtrz dos coefcetes, X é o vetor ds cógts e B o vetor dos termos depedetes..- Itrodção à problemátc de sstems Um SEL pode ser ml codcodo, bem codcodo o sem solção. Um sstem é ml codcodo se m peqe lterção os ddos pode provocr m grde lterção solção. Por eemplo:,98,95 5 tem solção et,5,5 b,99,95 5 tem solção et, 5, Um lterção de %, o coefcete,98 ocsoo m lterção de % solção. No cso de m sstem ler de ordem, cd eqção represet m ret. Resolver o sstem sgfc determr tersecção ds ds rets. Três csos são possíves: R R R R R R Bem codcodo Não tem solção. Ml codcodo det det det rets cocorretes rets prlels pertrbção em R 5

26 E.B.Hser Cálclo Nmérco Eemplo: 5 7,5 7,5 5,5 tem solção et: b 5 7,5 7,5 5,5 tem solção:.-medds de Codcometo O determte ormlzdo d mtrz dos coefcetes A é ddo por det A NORM A ode α L, pr,,..., αα Lα Norm A, e qto ms fstdo de ± sto é, qto ms prómo de zero ms ml codcodo é mtrz A. Retomdo o E: 5 α A,5 7,5 α det A 7,5 5,5, 5 5,999559,5 7,5 7, , orm A α α, 9,58, Agor, como pode ser meddo o codcometo de m sstem ler? Ddo m SEL AX B, o se úmero de codcometo é ddo por: Cod A A A. Qto mor for Cod A, ms sesível será o sstem ler. Utlzmos A A m E: A, A,5 7,5 5, orm do mámo ds lhs. A 9,, A 5 Cod A A A 5 5,5 6

27 Sstems de Eqçõe Leres.-Método de Resolção de Sstems Métodos Dretos: A solção et é obtd relzdo-se m úmero fto de operções rtmétcs em R com precsão ft: Elmção de Gss e Gss Jord. Métodos Itertvos: A solção é obtd como lmte de m seqüêc de promções scessvs,,.... Método de Elmção de Gss Algortmo básco de Gss: A solção de AX B é clcld em ds etps: º- Trglrzção : Medte operções elemetres s lhs, mtrz A é trsformd m mtrz trglr speror. Algortmo: pr, K, dc lh do pvô pr, K, dc lh trsformr de A m pr, K, dc col trsformr d lh m b b m b Obs.: Se é ecessáro trocr de lh, se possível. º- Retro-sbsttção: A trglrzção trsform o sstem AX B, o sstem eqvlete: c c c solção é dd por: c c c d c d c, L c L c L c c d d d d LLLLLLL d c c c L c,, Teorem: O método de Gss prodz sempre solção et do sstem AX B tlzdo precsão ft se det A e s lhs de A forem permtds qdo., 7

28 E.B.Hser Cálclo Nmérco Qdo é tlzd rtmétc do poto fltte, erros de rredodmeto podem comprometer solção obtd. E.: Em,, 98,98 F, com rredodmeto pr úmero ms prómo de máq o,, 5 elmção de Gss plcd o sstem prodz e, 5 o qe ão 6 stsfz segd eqção do sstem. Obs.: mltplcdor m. L L m L por Gss com Pvotmeto Prcl O método cosste em trocr lhs o cols de mer mmzr propgção de erros s operções. Escolhs dos pvôs: º pvô é o elemeto de mor vlor bsolto d col. º pvô é o elemeto de mor vlor bsolto d col e d dgol pr bo. Procede-se d mesm form pr os dems pvôs: º pvô º pvô º pvô Aplcdo técc o últmo eemplo 6, em F,, 98,98, com, 5 rredodmeto pr úmero ms prómo de máq o, obtemo, 5 e, 5. Obs.: Neste cso o mltplcdor é meor m -, Método de Gss-Jord Mtrz Ivers A solção do SEL Obs.: Ver eercíco 9. AX B é clcldo tlzdo X A B se det A. Métodos Itertvos Os sstems leres de grde prte são, em gerl, esprsos mto elemetos. Os métodos dretos ão preservm esprsdde, eqto qe os métodos tertvos sm, lém de presetrem reltv sesbldde o crescmeto dos erros de rredodmeto. No sstem orgl AX B, spodo,, K,, o vetor X é soldo medte seprção de dgol prcpl: 8

29 Sstems de Eqçõe Leres X, X M b K b K b K M, Metodo de Gss-Jcob Dd promção cl X, o processo tertvo prodz promções scessvs, K, X,K, obtds de: b b K M b M K K, Método de Gss-Sedel Pr X ddo: b K b K b K M M b K, Crtéro de Covergêc O teorem bo estbelece m codção sfcete pr covergêc dos métodos de Gss-Jcob e de Gss-Sedel. Teorem Ddo o sstem ler AX Y, se mtrz A é Dgolmete Domte, sto é, se >, etão tto o método de Jcob como o de Gss-Sedel ger m seqüêc X covergete pr solção do sstem ddo, depedete d escolh d promção cl X. 9

30 E.B.Hser Cálclo Nmérco Eemplo: Resolver o sstem bo por Gss- Jcob e Gss-Sedel. Crtéro de Prd: erro bsolto d solção clcld for meor qe -.,5,5 Reordemos fm de stsfzer o crtéro de covergêc.,5,5 > > > >,5 Como mtrz dos coefcetes, pós reordeção, é dgolmete domte, etão plcção dos métodos de Gss-Jcob e Gss-Sedel prodzrá m seqüêc X covergete pr solção et. Gss-Jcob Fórmls tertvs:,5,5,5,5,5,5,5,5,5 Apromção cl: X.

31 Sstems de Eqçõe Leres,5,5,5 -,5,5 -,,5 -,75,875 -,,875 -,875,975 -,975, ,5 -,,5 -, ,9875 -,,9875 -,9875 7, ,99875,785 -,785 8,965 -,,965, , ,, , , ,9997, , , : : : : : - -. terção cosege-se < 5 Gss-Sedel Fórmls tertvs:,5,5,5,5,5,5,5,5,5,5 -,65,5 -,875,975,955,5 -,9875, ,9965,965, , , ,888 -, , ,999987,65 -, : : : : : <

32 E.B.Hser Cálclo Nmérco EXERCÍCIOS Um cosderção mportte o estdo d trsferêc de clor é de se determr dstrbção de tempertr m plc, qdo tempertr s bords é cohecd. Spomos qe plc d fgr represete m seção trsversl de m brr de metl, com flo de clor desprezível dreção perpedclr à plc. Sem T, T,..., T 6 s tempertrs os ses vértces terores do retcldo d fgr. A tempertr m vértce é promdmete gl à méd dos qtro vértces vzhos ms prómos à esqerd, cm, à dret e bo. Por eemplo: T T T / o T T T Escrever o sstem de ses eqções, c solção forece estmtvs pr s tempertrs T, T,..., T 6. b Resolver o sstem tlzdo o sstem MpleV. o o o o o 5 6 o o o o o Nm epermeto m túel de veto, forç sobre m proétl devdo à resstêc do r fo medd pr velocddes dferetes. velocdde forç.9 Epressr forç como fção d velocdde promdo- m polômo de qto gr: 5 f v v v v v v o 5 Verfcr vldde de f v ecotrd e obter m estmtv pr forç sobre o proétl qdo ele estver se deslocdo m velocdde de,, 5, 7 e 9 ddes de velocdde ,5,,8 Cosdere o sstem #,5,,5,8.,,5,, 78 # é bem o ml codcodo? Porqe? O qe sso sgfc? b Resolver # pelo método de Gss sem pvotmeto.

33 Sstems de Eqçõe Leres Idem o pr / / / / 55 7 / 6 / / / / 5 / / 6 / / / 5 / 6 / / / / 5 / 6 / 7 / 8 7 / 8 5 / 5 / 6 / 7 / 8 / / 5 5 Resolver por Elmção de Gss com pvotmeto prcl b c Referete o sstem ler AXB, verfcr se frmção é Verdder o fls. Se det A etão o sstem ão tem solção.jstfcr verfcdo o qe cotece em : 5 e b Se A ão é m mtrz Dgol Domte etão os métodos de Gss-Jcob e Gss-Sedel ão germ m seqêc covergete pr solção. Jstfcr verfcdo o qe cotece com b 7 Resolver pelo Método de Gss-Sedel. Apresetr s fórmls tertvs e m grt de covergêc se possível b

34 E.B.Hser Cálclo Nmérco 8 Resolver o sstem de eqções lgébrcs ão leres: z z 8 z 5 9 Resolver 7 b b 5 b pr: b 6 b -5 b b b 5 b - b -5 c b b 5 b -5 Utlzdo Elmção Gss clclr deta. 7 A b A Ql o Resído prodzdo pel solção promd X [ - ] T de Resposts: Solção obtd tlzdo o MpleV: >solve{*ttt,*tttt5,*ttt6, *TTT5,*T5TTT6, *T6T5T}, {T,T,T,T,T5,T6}; {T6 9/7, T5 5/7, T /7, T 9/7, T /7, T 5/7} > evlf%; {T , T5.857, T 7.857, T 7.857, T 7.857, T.857} Solção tlzdo o sstem MpleV: >solve{,.9***8*65*,.8**^*^*^5*^5, 9.6*6*6^*6^*6^5*6^5, 7.*8*8^*8^*8^5*8^5, 9**^*^*^5*^5}, {,,,,,5}; {, , , -.758,.6658,.75} >f:->.75* *^.6658*^-.758e- *^ e-*^5; > vldde:[f,f,f,f6,f8,f];

35 Sstems de Eqçõe Leres vldde : [, ,.8, 9.6, , 9.] > estmtvs:[f,f,f5,f7,f9]; estmtvs : [.7875, 7.75, , , ] - Ml codcodo. NORM A,8. Um peqe pertrbção os ddos de etrd pode csr m grde lterção solção. b A solção et é X[ ] T - NORM A,57, solção et é X[ ] T 5- X[-,8688,6568,767-8,58, ,598 8,898] T b solção et X[ ] T c solção et X[ -] T 6- deta e o sstem e comptível b deta e o sstem tem fts solções dds por z e -z A ão é mtrz Dgol Domte e Gss-Jcob e Gss-Sedel coverge oscldo pr solção et [.5.5] T b dverge 7 - X [ ] T X 5 [ ] T b solção et X [ ] T 8 - A solção et é z. 9 - solções ets: X [ - ] T b X [ -7 ] T c X [- ] T - deta -55 b det A R [...5] T 5

36 .Iterpolção Poloml. Obetvo: Ddo m coto de potos dsttos, f,,,...,, qeremos determr o polômo p tlqe p f, e pr os dems potos do tervlo f ;. O polômo p é dto polômo promte o terpoldor de p, [ o ] f o tervlo [, ]. o. Aplcções Obter m epressão lítc promd de m fção qe é cohecd em pes m úmero fto de potos; Avlr fção m poto ão tbeldo * [ o ; ]; Determr promções pr f d, sbsttdo f pelo polômo o terpoldor; Clclr m promção pr f ' pr [ o; ], sbsttdo f por p.. Estêc e Ucdde d Solção p Ddos R e f R,,,...,, procrmos p P tl qe f,. Se p o.... 6

37 E.B.Hser Cálclo Nmérco Etão de p, f obtemos: f f... f..., o ql represet m sstem ler de ordem ode s cógts são os,, e mtrz dos coefcetes é dd por: A De cordo com Vdermode, det A. Como os potos são dsttos, dfereç será sempre dferete de zero, e etão deta. Portto o polômo terpoldor este e tmbém é úco..polômo Iterpoldor de Newto Pr Dfereçs Fts Ascedetes Ddos,, f,,,..., stsfzedo h..., sto é, h. Pr,,..., e,,,..., -, dfereç ft de ordem é dd por. E, o polômo terpoldor de Newto pr dfereçs fts scedetes é ddo por : o o o o o o! h! h h p L L 7

38 -Iterpolção Poloml Eemplo: O logmeto de m mol fo meddo em fção d crg plcd. Obteve-se: c rg g logmeto cm Estmr o logmeto pr o cso de ser plcd m crg de 7g, tlzdo o polômo terpoldor de Newto pr dfereçs fts. Solção: Tbel ds dfereçs fts: Polômo terpoldor: p.,5.!,,5 6 p,58,675! 6 5,, , 8 6,., Verfcção de vldde de p : p, p, , 5 p 6 5 e p86. Estmtv do logmeto o se plcr m crg de 7g: O logmeto d mol este cso é promdmete p 7 5, 975 cm. 5 Aálse gráfc do problem: 8

39 E.B.Hser Cálclo Nmérco. Polômo Iterpoldor de Newto Pr Dfereçs Fts Dvdds,, f,,,,..., os potos podem ter m espçmeto qlqer, ão ecessrmete eqüdsttes. Ddos O polômo de Newto pr dfereçs dvdds é ddo por: p o o o o... o... ode, pr,,...,, e,,,..., - dfereç dvdd de ordem é dd por Por eemplo, pr o cso de : o , Observção: Pr h costte, relção etre dfereçs dvdds e fts é dd por :.!.h Eemplo: f

40 -Iterpolção Poloml Eemplo: A velocdde do som ág vr com tempertr coforme tbel: o tempertr C 86 9, 98,9, velocdde m / s,55,58,5,58,5 Solção: Cálclo ds dfereçs dvdds Costrção do polômo: p Smplfcdo epressão, ecotrmos -6 p Verfcção d vldde de p clcldo o tem : p ; p ; p ; p ; p. 5 Estmtv d velocdde do som qdo tempertr d ág tge C, é p.5995 m/s 6 Aálse gráfc do problem:

41 E.B.Hser Cálclo Nmérco.5 Erro de Trcmeto ϕ E f ξ, ξ [, ] com! f * ϕ!h pos f, pr h costte.!.h,.6 Aplcções tlzdo o sstem Mple APLICAÇAO Cqet ms de m espéce meçd de etção form colocdos m reserv e m cotrole poplcol mostro os ddos: t os 5 7 qtdde de ms Determr mtrz de Vdermode pr o problem e determr o vlor do respectvo Número de Codcometo Cod e Determte Normlzdo. O qe podemos coclr? b Determr o polômo terpoldor tlzdo todos os ddos tbeldos. c Verfcr vldde do modelo ecotrdo. d Estmr poplção o qrto o. É possível estmr poplção o décmo qto o tlzdo o polômo determdo o ítem b. e Em qe o ess poplção ml tg se mámo? Ql poplção mám tgd? f Plotr m mesmo sstems de eos os potos tbeldos e e o polômo terpoldor determdo o ítem b. Respost: V Determte Normlzdo Cod V 99. pt e-*t^ e-*t^ e-*t^ *t^ *t^.855*t5. p poplção mám p

42 -Iterpolção Poloml APLICAÇÃO Pr determr resstêc elétrc de m solo m sstem de terrmeto, eterr-se ds hstes de cobre e plc-se m determd voltgem, resltdo m correte elétrc. Nm eperêc deste tpo, form obtdos os segtes ddos: voltgem voltsv correte mpere A Estmr correte se voltgem plcd for de A sdo o Polômo Iterpoldor de Newto. Respost: p,88 5,8,5 7, 5,5 APLICAÇÃO Ao cosderr qe o Jpão vd méd á é speror 8 os, esperç de vd o Brsl de poco ms qe 7 os d é reltvmete b. E, de cordo com proeção ms recete d mortldde, somete por volt de o Brsl estr lcçdo o ptmr de 8 os de esperç de vd o scer. Ver em Poplção / Tábs Complets de Mortldde. A esperç de vd o scer de 7, os coloc o Brsl 86ª posção o rg d ONU, cosderdo s estmtvs pr 9 píses o áres o período -5 World Poplto Prospects: The Revso;. Etre 98 e esperç de vd o scer, o Brsl, elevo-se em 8,8 os: ms 7,9 os pr os homes e ms 9,5 os pr s mlheres. Em 98, m pesso qe completsse 6 os de dde ter, em méd, ms 6, os de vd, perfzedo 76, os. Vte e três os ms trde, m dvído mesm stção lcçr, em méd, os 8,6 os. Aos 6 os de dde os dferecs por seo á ão são tão elevdos comprtvmete o mometo do scmeto: em, o completr tl dde, m homem d vver ms 9, os, eqto m mlher ter pel frete ms, os de vd.n tbel cm obtemos formções sobre esperç de vd às ddes ets, especlmete, esperç de vd o scer qe epress o úmero médo de os qe se esper vver m recém-scdo qe, o logo d vd, estvesse eposto os rscos de morte d táb de mortldde em qestão

43 E.B.Hser Cálclo Nmérco Além dos múltplos sos, ão somete pel Demogrf e Prevdêc Provd, ms tmbém pels dems Cêcs Socs, tbel é tlzd pr determr, tmete com otros prâmetros, o chmdo ftor prevdecáro pr o cálclo ds posetdors ds pessos regds pelo Regme Gerl de Prevdêc Socl. TAREFA: Cosderr os resltdos de. dde em ep ecttvde vd os,em Mlheres ep ecttv dde de vd os em,em Homes A Determr o polômo terpoldor tlzdo todos os ddos tbeldos. Sgestão:?terp B Verfcr vldde do modelo ecotrdo. C Plotr m mesmo sstem de eos os potos tbeldos e e o polômo terpoldor determdo o tem b. DEstmr epecttv de vd pr pessos com dde em, vrdo de os. > Estmtvs_mlheres: rr [ seq [, pepvdm],..]; > Estmtvs_homes: rr [ seq [, pepvdh],..]; Estmtvs_mlheres : Estmtvs_homes :

44 -Iterpolção Poloml.7 Eercícos Fote: Cálclo Nmérco Comptcol. Cldo, Dlcído Mores e Mrs, Jssr M. São Plo: Ed.Atls,99.. A tbel bo dá o volme de ág m tqe elástco sdo pr trspor-te de óleo, lete, etc. em cmhões pr várs cots de ág. Determr,. m,,6,,6, m,5,8,,95 8,66. Um hdroelétrc tem cpcdde mám de 6Mw, ql é determd por três gerdores de respectvmete Mw, 5Mw e 5Mw. A demd de eerg vr m cclo de h e é m fção del qe o egehero opercol dstrb s trefs dos gerdores. Sbe-se qe demd mím ocorre etre e 5h e demd mám etre e 7h. Pede-se pr chr prtr dos ddos bo esss demds máms e míms. H Demd Mw 6, 5,, ,5,. Um prqedst relzo ses slto; sltdo de ltrs dstts em cd slto, fo testd precsão de ses slto em relção m lvo de ro de 5m, de cordo com ltr. A dstâc presetd tbel bo é reltv à crcferêc. ALTURA m O SALTO 5 O SALTO 5 O SALTO O SALTO 75 5 O SALTO 5 DISTÂNCIA DO ALVO Levdo em cosderção os ddos cm, qe provável dstâc do lvo cr o prqedst se ele sltsse de m ltr de 85m?. Um veíclo de fbrcção col, pós város testes, preseto os resltdos bo, qdo se lso o cosmo de combstível de cordo com velocdde méd mpost o veíclo. Os testes form relzdos em rodov em operção orml de tráfego, m dstâc de 7 m. Verfcr o cosmo promdo pr o cso de ser desevolvd velocdde de 8m/h. VELOCIDADE m/h CONSUMO m/l 55,8 7,56 85,8,7,,

45 E.B.Hser Cálclo Nmérco 5. Nm esfer de sperfíce cohecd, o coefcete de bsorção,7 fo mtdo à tempertr de 6 o K. Fo clcld eerg rrdd de cordo com o tempo de rrdção, obedecedo à tbel. Pede-se pr obter possível eerg rrdd qdo rrdção tgr o tempo de 5 mtos. ENERGIA IRRADIADA Joles TEMPO DE IRRADIAÇÃO s 7,7. 6 9,7. 8 8,.,8. 65,76. 89, Um cord fo tesod sob ção de pesos dsttos, qdo pr os respectvos pesos form clclds s devds velocddes de propgção qe estão dcds bo. Pede-se pr clclr velocdde de propgção qdo cord está tesod sob ção de m peso de 75 gf. PESO gf VELOCIDADE cm/s 6 78, 65 88, , , ,87 Resposts p,, 6997 A demd mím é, 86 Mw. e ocorre etre h e h d mhã. A demd mám é, Mw. e ocorre etre h e 5h. p 85, 8 p 8,6778 p 8, p ,597 6 p75 59,5 5

46 5. Aste de Fções Aplcção: Os ddos cm tbeldos descrevem tesdde d lz como m fção d dstâc d fote, Id, medd m epermeto. Determr I d Y d. Ad Bd C d I Aplcção :Segdo le de Bole, o volme de m gás é versmete proporcol à pressão eercd, mtedo-se costte tempertr. Pr m certo gás, form observdos os segtes vlores: Pr essão Volme,,85,5,,5,7,9,6,,,5,8,.5,5, Astr os ddos tbeldos m hpérbole do tpo: Volp Y p A B p 6

47 E.B.Hser Cálclo Nmérco 5. Itrodção O stmeto é m técc de promção. Cohecedo-se ddos epermets,,,,,,...,, dese-se obter le f relcodo com. Devdo os erros epermets os pres,, f, teremos em gerl f ε ; f ε ;... ; f ε, sto é, é mpossível clclr etmete fção f. Por sso, em vez de procrrmos fção f tl qe pss por cd m dos potos epermets, determremos fção qe melhor se st os potos ddos. O stmeto trdz m comportmeto médo. Pr str m tbel de ddos m fção devemos: Cohecer trez físc do problem ; Determr o tpo de crv qe se stm os vlores tbldos grfcmete e/o cálclo ds dfereçs fts o dvdds ; Clclr os prâmetros d crv. 5.. Escolh d Fção de Aste Fção Ler regressão ler : Y, se cte o cte. b Prábol ste qdrátco:, se cte o cte. Y p p c Polômo de gr p: se cte o cte. d Fção Epoecl: log Y b, se cte. d FçãoPotêc: p log Y, cte log Otros tpos de Fções Aste: Y ; / / cte. Y ; / / cte. 7

48 5 - Aste de Fções Y Y ; / / / cte. b c Y e ; l l l b c, l cte. Eemplo: Cosderdo tbel bo, como bo tbeldos m polômo de gr.,, é deqdo o ste dos ddos f Determção dos Prâmetros d Fção de Aste CRITÉRIO DOS MINÍMOS QUADRADOS Se Y p... p fção de stmeto. Dd m tbel com potos,, chmmos resído dfereç etre o vlor de Y d eqção de stmeto e o vlor tbldo de. Y δ,,,...,. O crtéro dos mímos qdrdos estbelece qe: δ mímo. Se F p Y,,.... Pr F ter vlor mímo, é precso qe F F F ; ;... ; p 8

49 E.B.Hser Cálclo Nmérco 5. -Aste Ler A fção de ste terá form Y. Pelo crtéro dos Mímos Qdrdos é ecessáro qe : F Y deve ser mímo. Sedo F m fção de ds vráves, e, o meor vlor de F será obtdo δf δf trvés de : ; e ssm: δ δ δf δ δf δ e.,, Costrímos o sstem de ds eqções e ds vráves: o. Obtemos: Resolvedo-se este últmo sstem ler são obtdos os vlores de e e ssm determ-se fção de ste : Y. 9

50 5 - Aste de Fções Eemplo : Dd tbel, chr eqção d ret qe se st sdo o método dos Mímos Qdrdos. Y Y Se Y fção qe st os ddos. Os prâmetros e costtem solção do sstem : Logo, Y

51 E.B.Hser Cálclo Nmérco Aste Qdrátco Qdrdos : Se Y fção de ste. Pelo crtéro dos Mímos Y F,, δf δf δf ssme vlor mímo se. δ δ δ Assm, os prâmetros, e são obtdos resolvedo: Eemplo : Ecotre epressão do polômo de o gr qe se st os ddos d tbel bo Y

52 5 - Aste de Fções 5..-Aste polômo de Gr p O ste m polômo de gr p. resolver o sstem ler: Y p... p, p <, ege p... p p p p p... p Eemplo5 Utlzdo o sstem Mple > v:[,,,5,6,8]; > v:[p,p,p,p5,p6,p8]; > g:ft[lestsqre[[,],*^b*^c*d,{,b,c,d}]][v, v]; > gll :pplrhsg,: > plots[dspl]{plots[potplot][,p,,p,,p,5,p5, 6,p6,8,p8],plotgll, , ,plotgll, , -5..8,thcess}; 5

53 E.B.Hser Cálclo Nmérco 5.. -AJUSTE NÃO LINEAR NOS PARÂMETROS: CASOS REDUTÍVEIS AO LINEAR OU PARABÓLICO POR MUDANÇA DE VARIÁVEIS 5... Aste por Fção Eoecl Se Y b fção de ste. Lerzmos Y, plcdo log o l escolher bse deqd l { Y l { { lb l lb l Determmos e b resolvedo: l lb l l e Etão l b b e Eemplo : Astr os ddos bo m fção epoecl do tpo Y b. l l Y Y Os gráfcos segr lstrm o efeto d lerzção dos ddos. 5

54 5 - Aste de Fções b e e.9885 Y AJUSTE POR FUNÇÃO POTÊNCIA Se Y b fção de ste. Lerzdo fção Y, temos : l l bl. Resolve-se o sstem de eqções leres e ecotr-se e b: l l b l l l b l l l b l l l l e e b. etão Eercíco : Os ddos bo dão drção de m broc em fção d velocdde de corte. Pede-se pr fzer m tbel de DDv pr 8. V m / s D seg Dv.897e*/^

55 E.B.Hser Cálclo Nmérco Efeto d lerzção dos ddoss AJUSTE POR FUNÇÃO HIPERBÓLICA : Y. Lerzdo, temos : / / Y OUTROS TIPOS DE FUNÇÕES DE AJUSTE Y. Lerzdo, temos: / / Y Y. Lerzdo, temos : / / / Y { { c b c b l ly e Y l c b l l c b l l c b l e l. 55

56 5 - Aste de Fções Eercícos: Cosderdo: Mostrr qe o ste por m prábol é deqdo. b Astr os ddos m prábol. Respost: 7, b p, 5976, 7698, 857 Segdo o crtéro dos Mímos Qdrdos, ql ds ds fções Y,,558,5 e e Y,7 melhor st os ddos d tbel? -,,,,5, Respost: Y, pos Y < Y Y,9 e Y, R, Um flme vem sedo ebdo m determd sl de cem por cco sems e freqêc seml, promd à cete ms próm está dd tbel bo. Utlzr ste ler pr determr freqêc esperd set sem. sem 5 freqêc Respost: Y 58-6 e 6 56

57 E.B.Hser Cálclo Nmérco O úmero de bctérs, por dde de volme, estete em m cltr depos de hors é presetdo pel tbel. Aste os ddos tbldos m crv epoecl d form b e vlr pr Respost:, 8, 69 e 7 87, 56 5 Utlzdo o crtéro dos Mímos Qdrdos, str m ret os ddos tbldos: Respost: -,8,785 6 A tbel bo forece m relção etre tempertr d ág e pressão brométrc. Astr os ddos m fção potêc. pmm de Hg T o C ,5 99, , , ,5 5,76,8 R A tbel bo forece m relção etre resstêc à trção do ço em fção d t o C tempertr. Astr os ddos m polômo de σ g / cm gr. 7 6 E-6, -,89 66, R

58 5 - Aste de Fções 8 Os ddos bo referem-se vrção do coefcete de trto µ,etre rod e o trlho seco, com velocdde. V m / h µ.5..5 Astr os ddos m polômo de gr ,5,5,,5,,5,,5,,5, -9E- 5 E-7 E-5 -,7 -,96,5 R Os ddos bo relcom vscosdde η em fção d tempertr t. t o C η Relzr o ste sgerdo pelo gráfco o ldo. Resp: η t t

59 E.B.Hser Cálclo Nmérco Verfcr ql ds fções Y o Y melhor se st à tbel dd Resposts: Aplcção: Yd /.9898e-*d^-.89e-*d.6659 Aplcção: Yp 5.779/.96p 59

60 6. Itegrção Nmérc Obetvo : Clclr b lítc o por m tbel de vlores, f f d, ode fção tegrdo f o é cohecd por s epressão,,,...,. Aplcção: Pr cotrolr polção térmc de m ro, tempertr o F fo regstrd, reprodzdo os ddos: hor tempertr Ecotrr tempertr méd d ág etre 9h d mhã e 5h d trde e estmr o erro cometdo esse cálclo OBS : f é b fm f d b cotí em [,b ] é o vlor médo de f em [,b ], se f.f b > e 6. -Fórmls de Newto-Cotes Cosderemos, f,,,...,., h A tegrl d fção f o tervlo [ ] f d h P d Se R, etão h Assm:!h, h, f. ; é dd por : R... Rh d hdr e...!h R. d 6

61 E.B.Hser Cálclo Nmérco R R R R... R f d h P R dr h R... dr!! h dr RdR R R dr... R R... R dr!! N prátc ão é sl promr f por m polômo de gr elevdo devdo o erro de rredodmeto qe ocorre o processo. 6. Regr dos Trpézos Cosderdo fórml de Newto-Cotes temos : d h P R dr h dr RdR h [ R ] [ R / ] f [ ] h h [ ], o pr o tervlo [ ; ] f d h Geerlzmos pr sbtervlos: Erro de Trcmetopr sbtervlos: o : h P R dr [ ] [ o L ] h f d E T h m f '' o ET m [ o, ] Vê-se qe fórml dos Trpézos é et pr polômos do o gr. Eemplo: Determr h de tl form qe regr trpezodl foreç o vlor de erro de trcmeto meor qe. h h ET má f '' < h <.5 [ ;] e d com m / h, h /, / <. 5, >.8, h. 9 6

62 6 -Itegrção Nmérc 6. Fórml de Smpso Fzedo fórml de Newto-Cotes, temos, f h d h dr RdR R R dr! [ ] Geerlzmos pr sbtervlos, pr: [ o L L ] h f d 5 6 o ERRO DE TRUNCAMENTO PARA A FÓRMULA DE SIMPSON h '''' ES m f o ES m 8 [ o, ] 8 Eercícos.Aplcção:.Pr cotrolr polção térmc de m ro, tempertr o F fo regstrd, reprodzdo os ddos: hor tempertr Ecotrr tempertr méd d ág etre 9h d mhã e 5h d trde e estmr o erro cometdo esse cálclo.. Estmr áre d regão hchrd pel regr dos Trpézos e pel de Smpso, sdo oto sbtervlos

63 E.B.Hser Cálclo Nmérco. Clclr tegrl bo pel regr dos Trpézos e pel de Smpso, sdo qtro, ses e dez sbtervlos. Comprr os resltdos. π / se cos se d. Clclr por Trpézos: e d e b e tgd com h.5 com h. 5. Clclr por Smpso:. e d com h. e b d com h.5 π / c cos d com. 6. O gráfco d fgr fo regstrdo por m strmeto sdo pr medr m qtdde físc. Estmr s coordeds- dos potos do gráfco e promr áre d regão fechd sdo ses sbtervlos 6

64 6 -Itegrção Nmérc 7 A fção de Bessel é solção de m eqção qe srge com grde freqüêc, em egehr e/ o físc mtemátc, resolção ds eqções dferecs prcs pelo método d seprção de vráves. As eqções de Bessel srgem qdo plcmos técc de seprção de vráves problems de vlor de cotoro, por eemplo, em coordeds polres, clídrcs e esfércs. Costt eemplos mporttes dest modelgem o estdo d evolção d tempertr e reções qímcs em cldros e esfers. Ao ldo represetção gráfc de J t Tref: Cosderr represetção tegrl d Fção de Bessel de prmero tpo π J m t cos m tse d, m,,,,... π Estmr J com cco sbtervlos e o erro cometdo este cálclo. Resposts:. tempertr méd 8,58 o F por Trpézos. Trpézos:.767 Smpso: Trpézo,885,9696,586 Smpso,568,5866,585. I,6657 b I,6 5. I, b I,8865 c I, J -,65 6

65 7 - Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Ordárs Obetvo: Resolver mercmetee geerlzr pr problems de ordem ms elevd o problem de vlor cl de prmer ordem ' f, PVI, o o e o problem de vlor de cotoro de segd ordem, ler: '' P ' Q f PVC,. o Os métodos mércos são processos qe forecem vlores promdos d solção em potos prtclres, sdo operções lgébrcs. Os métodos qe estdremos determrão estmtvs d solção os potos o,,, K, ode o h,,,...,. A escolh do vlor de h é rbtrár e, em gerl, qto meor h, melhor estmtv d solção obtd. Sem, o h,,,..., e h o /. Método de ElerPVI: hf,,,,...,-. Método de Rge-Ktt de ordempvi : h, f, e f h, h,,,...,-. Dfereçs Ftsp/dfereçs cetrspvc: Pr,...,-, é gerdo m sstem de - eqções leres: h h P h Q P h f Sstems de Eqções Dferecs de prmer ordem com codções cs ' f,,z z' g,,z o o, z o zo Pr obtermos s solção é possível plcr os métodos de Eler e Rge-Ktt de segd ordem. Por eemplo, por Eler s estmtvs são obtds plcdo. h f,, z e z z h g,, z. Mdç de Vrável pr problems de vlor cl de segd ordem: '' f,,z Pr, fzemos mdç de vrável ', com o o., ' z o o o o Etão devemos resolver o sstem de ds eqções dferecs ordárs, coplds ' pels codções cs: ' f,,z. o o, o zo o 65

66 E.B.Hser Cálclo Nmérco Dervd Dfereç Ft h, tmho do psso dreção e dreção o t vçd, cetrd, trsd h h h h cetrd ''' h cetrd IV 6 h cetrd t,t,, cetrd,t,, h, cetrd,,,, cetrd Eemplos: 66

67 7 -Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Ordárs Método de Eler Problem: ' ; h. h.5 h. h.5 Solção et Y e Método de Rge-Ktt de segd ordem Problem: ' ; h. h.5 h. Solção et Y e

68 E.B.Hser Cálclo Nmérco Método de Eler Problem: ' ; Solção et Y e h. h.5 h. h Método de Rge-Ktt de segd ordem Problem: ' ; h. h.5 h. Solção et Y e

69 7 -Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Ordárs Método de Eler Problem: ' ; Solção et Y h. h.5 h Método de Rge-Ktt de segd ordem Problem: ' ; Solção et Y h. h.5 h

70 E.B.Hser Cálclo Nmérco Eercícos:. Utlzdo o método de Eler, determr X, se : `, h,5, X,75 `, > b ` c,, h,, X,, h,, X, ` e d, h,, X, ``` 8 e.5, `,5, h,, X, f `` `,5, `, h,, X,.Utlzdo o Método de He Rge-Ktt de ª ordem, determr X, se:, h,, X, b, h,, X, c, h,, X,.Utlzdo o Método ds dfereçs fts, e o vlor dcdo de, resolver o PVC. '' 9,, '' ' 5 b, 5, '' ' c, 8 5, '' ' d,, 7

71 7 -Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Ordárs. PVI -Cosderr m sstem mss-mol-mortecedor descrto pel eqção dferecl ordár de segd ordem: m c L s. Utlzdo Eler com h.5, estmr o deslocmeto pr o tempo.5, pr mss m, mortecedor c.5, rgdez, mpltde d forç L.5, com deslocmeto cl, velocdde cl. 5. PVC - Cosderr o problem de defleão de m vg de seção trsversl retglr set m crg forme, tedo ses etremos podos de modo ão sofrer defleão lgm. O problem de vlor de cotoro qe rege ess stção físc é d w S q w, d EI EI < < L, Como ão ocorre defleão s etremddes d vg, s codções de cotoro são w, wl. Cosderdo: Comprmeto L pol; Itesdde de crg forme q lb/pé; Módlo de elstcdde E. 7 lb/pol ; Esforço s etremddes S lb; Mometo cetrl de Iérc I65 pol ; promr defleão w d vg cd pol, tlzdo dfereçs fts. Resposts :.,75,8.,,89 b,,558 b,,98 c,,7778 c,,9 d,-5,6 e,, 67 f,,99. 5,677,587 6, b,59,56,8,67 c 5 6 7,88,96,6,586,68,6,9 d,66,597, 757,97 5,65 6,5 7,59 8,6855 9,87 7

72 8. -Itrodção 8 Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Prcs Eqção dferecl prcl EDP é m eqção qe evolve ds o ms vráves depedetes,,z,t, K e dervds prcs de m fção cógtvrável depedete qe qeremos determr,,z,t, K. Um corpo é sotrópco se codtvdde térmc em cd m de ses potos é depedete d dreção do flo de clor trvés do poto. Em m corpo sotrópco, tempertr,,, z, t, é obtd resolvedo-se eqção dferecl prcl EDP cp z z t ode, c e p são fções de,,z, e represetm respectvmete, codtvdde térmc, o clor específco e desdde do corpo o poto,,z. Qdo, c e p são costtes, ess eqção é deomd eqção smples trdmesol do clor, e é epress como z cp t. Se o domío do problem é reltvmete smples, solção dess eqção é obtd tlzdo sére de Forer. N mor ds stções ode, c e p ão são costtes o qdo o domío é rreglr, solção d eqção dferecl prcl deve ser obtd por meo de métodos de promção. Pr trodzr métodos mércos de resolção de EDP, tlzremos s eqções de Posso, do Clor e d Od, s qs represetm protótpos ds EDP s elíptcs, prbólcs e hperbólcs. Será dotdo m procedmeto gerl, segdo os pssos: Costrr m mlh prtr do domío do problem; Pr os potos terores d mlh, escolher dscretzção ds dervds prcs; Costrr o sstem de eqções leres sdo dscretzção dos potos terores, f, e s codcções de cotoro. Resolver o sstem de eqções leresescolher o método ms efcete, c solção fore s promções d solção os potos terores d mlh. 8..-Eqção Do Potecl o de PossoEDP Elíptc Cosderemos eqção de Posso:,, f,. 7

73 E.B.Hser Cálclo Nmérco Ness eqção spomos qe fção f descreve os ddos do problem em m regão pl R com froter S. Eqções desse tpo precem drte o estdo de dversos problems físcos depedetes do tempo; por eemplo, dstrbção de clor pr m estdo estável em m regão pl, eerg potecl de m poto em m plo sobre o ql tm forçs grvtcos e os problems bdmesos do estdo de eqlíbro qe clem fldos ão comprmíves. Pr se obter m solção úc pr eqção de Posso é ecessáro mpor otrs restrções. Por eemplo, o estdo d dstrbção de clor o estdo de eqlíbro em m regão pl reqer qe f, qe é eqção de Lplce,,, Se tempertr regão é determd por s dstrbção o lmte d regão, s restrções são deomds Codções de lmte de Drchlet, dds por, g,, pr todo, em S, froter d regão R ver fgr. Fgr 8..- Eqção de Clor o d Dfsão EDP Prbólc A eqção do clor o de dfsão qe é m eqção dferecl prcl prbólc,t,t, t model mtemtcmete o problem físco referete o flo de clor o logo de m brr de comprmeto l fgr, ql tem m tempertr forme detro de cd elemeto trsversl. Ess codção reqer qe sperfíce lterl d brr este perfetmete sold. A costte α é determd pels propreddes de codção de clor do mterl de qe brr é fet e é depedete d posção d brr. Fgr 7

74 8 - Resolção Nmérc de Eqções Dferecs Prcs Um dos cotos típcos de restrções pr m problem de flo de clor desse tpo cosste em especfcr dstrbção cl de clor brr:,f e em descrever o comportmeto s etremddes d brr. Por eemplo, se s etremddes são mtds em tempertrs costtes U e U, s codções de cotoro têm form:,t U e l,t U, e dstrbção de clor se prom d dstrbção lmte de tempertr U, U lm t U t l. Se, brr estver sold de modo qe ão fl clor por ss etremddes, s codções de cotoro serão:, t e l, t, o qe reslt em m tempertr costte brr como cso lmte. A eqção dferecl prcl prbólc tmbém é mportte pr o estdo d dfsão dos gses Eqção d Od EDP Hperbólc Cosderemos eqção d Od dmesol, m eemplo de m eqção dferecl prcl hperbólc. Spomos qe m cord elástc,de comprmeto l, se estcd etre dos sportes o mesmo ível horzotlfgr Fgr Se psermos cord em movmeto de modo qe el vbre em m plo vertcl, o deslocmeto vertcl, t de m poto o tempo t stsfrá eqção dferecl prcl α,t,t, pr < < l, < t, t se os efetos de mortzção forem descosderdos e mpltde ão for mto grde. Pr mpor restrções esse problem, vmos spor qe posção e velocdde cs d cord sem dds por 7