CÓDIGO DE BARRAS. Eduardo Marques Dias Universidade Católica de Brasília Departamento de Matemática Orientador: Prof. Sinval Braga de Freitas

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1 CÓDIGO DE BARRAS Edurdo Mrques Ds Uversdde Ctólc de Brsíl Deprtmeto de Mtemátc Oretdor: Prof. Svl Brg de Frets RESUMO Este trblho tem como obetvo presetr um vsão gerl dos Códgos de Brrs, presetdo lgus cocetos mtemátcos como ferrmet pr o surgmeto de tl tecolog. Plvrs-chve: códgos de brrs, detecção de erros.. INTRODUÇÃO Ach que perde muto tempo s cxs do supermercdo? Com certez você á perdeu ou d v perder lgum tempo de su vd fl de um cx, se bcáro ou em um smples supermercdo, esperdo sus comprs serem processds. Lembre-se de que tempos houve em que ão exstm códgos de brrs e tod formção th de ser serd mulmete. Fo grçs esse problem de logístc que um doo de supermercdo sugeru um uversdde que resolvesse esse problem. Ele estv queredo ms rpdez e gldde o d d dos supermercdos, surgdo ssm, ess busc, o códgo de brrs. É otóro o surgmeto de várs cotrbuções tecológcs em dverss áres de cohecmeto humo, prcplmete dssemção de formção. Nesses vços tecológcos formção lgums preocupções são mprescdíves como à rpdez trsmssão d formção e cofbldde, tordo ssm o uso do códgo de brrs muto útl em qulquer processo que evolv cotíu formção de códgos os computdores. Devdo sus crcterístcs de bxo custo, fcldde de mpltção, utlzção e prcplmete quldde de formção e redução de tempo de operção dos sstems, o códgo de brrs tem sdo usdo utomção desde peques tvddes que ecesstm de detfcção de documetos té comerclzção e cotrole de produtos. Este rtgo mostr um pouco dess tecolog demostrdo o fucometo e segurç de um códgo de brrs. E como tecolog tet elmr qulquer e possbldde erros humos.. HISTÓRICO Um dos crtéros pr determr o crescmeto de um pís está o desevolvmeto de meos eletrôcos; ou se, máqus que os udem o d d. Um ds grdes buscs desse desevolvmeto fo à procur pr ecotrr máqus que relzssem cálculos. Como um exemplo dess procur fo costruíd em 64, por Blse

2 Pscl, prmer máqu de clculr de que se tem otíc, cpz de relzr pes soms. Em 694, Wlhelm Lebz prmorou o veto de Pscl e crou um máqu cpz de relzr tmbém multplcções. A mor mportâc dess descobert fo à form com que os ddos (úmeros) erm trsmtdos. Esss trsmssões fets trvés de crtões perfurdos ser o começo do desevolvmeto dos códgos de brrs. Com Joseph-Mre Jcqurd (7-834), em 80, relmete começou um mudç pr o resto d hstór, pos ele costruu um ter que er comddo por crtões perfurdos e que fo, tlvez, prmer máqu progrmável. Ess máqu deu um grde mpulso pr revolução tecológc d er dustrl. Em 87 um cetst Brtâco, vetor de lgums ovções cetfc époc chmdo de Sr Chrles Whetstoe deu outro psso mportte cêc, pos utlzou fts de ppés pr rmzer ddos, segudo os mesmos prcípos dos crtões perfurdos com o dferecl postvo de poder rmzerem ddos de form cotu, sedo muto útl pr o surgmeto de um tecolog futur. Outro propulsor d evolução tecológc fo o fuddor de um grupo de professores Iglterr que modfcrm o eso d mtemátc, tedo bstte fluêc crção d álgebr bstrt, o Alytcl Socety. Chrles P. Bbbge, em 833 vetou um strumeto de cálculo bstte sofstcdo pr époc chmd de Máqu Alítc, cpz de relzr tods s operções rtmétcs lém de comprr, lsr seus própros resultdos e ser progrmável por crtões perfurdos. Ele é cosderdo o p do computdor dgtl, tão comum em osso d d. O prcpl desse feto fo perceber que su máqu ser lmetd por dus séres de crtões perfurdos, tedo ele percepção de que um máqu de computdor ter um dspostvo de etrd um memór. Herm Hollerth (860-9) teve um mportâc cosderável pr o desevolvmeto dess tecolog, pos em 890 empregou seu tempo proetdo um máqu que pudesse tbulr ddos utomtcmete. Pr sso, ele prmorou e utlzou ovmete dé dos crtões perfurdos de Jcqurd, escrevedo ddos em oto colus que utlzvm o sstem de umerção bár. Esses crtões erm etão ldos por um máqu que ele mesmo desevolveu utlzdo sesores elétrcos. Em 948, o presdete de um cde de supermercdos orte-merc bordou um dos retores do Isttuto de Tecolog Drexel, Fldélf, solctdo o desevolvmeto de um sstem que permtsse extrr rpdmete formção reltv determdo produto o to de compr, com o tuto de teur o pesdelo logístco que estv efretdo (demor o tedmeto de clete). O retor do sttuto reetou o peddo. Porém, Berrd Slver, um smples estudte do sttuto ouvu covers e repssou o que th escutdo pr o seu mgo Norm Joseph Woodld, que utos decdrm levr à frete tl pesqus. A prmer dé fo à utlzção de pdrões de tt que brlhm sob luz ultrvolet. Os dos costruírm etão um prelho pr testr o coceto. Fucoou, porém logo ecotrrm

3 problems como tt pr mpressão e, o prcpl, er fcermete vável, pos fcr muto cro. Após meses de pesqus, sprrm-se em lgo á bem cohecdo, o códgo Morse. A dé fo bstte smples. Como dz o própro Woodld: "lmte-me prologr vertclmete os potos e trços, lterdo os espços e espessur etre eles". Em Outubro de 949, surgu ssm o prmero códgo de brrs, formdo por qutro lhs brcs sobre um fudo preto, depos covertdo em círculos cocêtrcos pr fcltr letur, prtr de qulquer âgulo. Quto ms lhs se dcossem, ms formção pod ser codfcd. Assm, em 9 prmer ptete de um códgo de brrs fo regstrd por Berrd Slver e Norm Joseph Woodld. Ms esse feto só fo relmete vsto com su mportâc merecd várs décds depos, qudo mturzção dos compoetes eletrôcos e vços tecolog lser permtrm produção de sstems de letur de bxo custo. Em toro de 970, um frm de ssessor, McKsey & Co., uto com Uform Grocery Product Code Coucl defu um formto umérco pr detfcr produtos e pedu dverss comphs que elborssem um códgo dequdo e vável, que pudesse ser utlzdo o d d. Detre s dverss frms solctds quem cbou presetdo o resultdo ms vável fo Gerge J. Lurer, egehero do Itertol Busess Mches ms cohecd por ós brsleros como IBM. Em 3 de brl 974, um clete do supermercdo Mrsh's em Troy, o Estdo de Oho, fez prmer compr de um produto com códgo de brrs. O códgo fo deomdo de Códgo Uversl de Produtos, com sgl UPC (Uversl Product Code). Este códgo é dotdo tulmete os Estdos Udos e Cdá. Ele cosst de um seqüêc de dígtos, trduzdos pr brrs d form que estmos costumdos ver em város obetos ou tes. Com o grde sucesso do códgo UPC, fbrctes e dstrbudores de város píses d Europ formrm um coselho pr estudr possbldde de desevolver um sstem que pdrozsse umerção de produtos, precdo o sstem do UPC (Códgo Uversl de Produtos), que é regulmetdo pelo UCC (Uform Code Coucl). Coseqüetemete, em 977, formou-se um etdde sem fs lucrtvos, EAN (Europe Artcle Numberg Assocto). Pr elborção do códgo EAN logo surgu um problem bstte delcdo, o de ser ecessáro dcor um dgto cd códgo com fldde de detfcr o pís de orgem á que tl tecolog ser expdd por todo o mudo. O problem er fzer sto de form que mesm máqu letor pudesse ler dsttmete os códgos UPC e EAN. A solução ecotrd fo à segute. Os píses que utlzvm o códgo UPC tgo, EUA e Cdá, são detfcdos com um 0 (zero), frete, resultdo o ovo códgo UPC-A (o 3

4 mesmo códgo UPC, pes com um zero tes pr detfcr os píses que á utlzvm o códgo UPC, Estdos Udos e Cdá), e o resto d codfcção é fet utlzdo o sstem teror. Pr outros píses, os prmeros dos ou três dígtos (d esquerd pr dret), detfcm o pís. No Brsl, em 9 de ovembro de 984, o etão Presdete João Btst de Olver Fgueredo ssou decreto-le sttudo o códgo de brrs o Pís. O Mstéro d Idústr e do Comérco fcou resposável por su mpltção, devedo pdrozr procedmetos, orms e emblges. O códgo utlzdo o Brsl é o EAN (Europe Artcle Number), que possu os prmeros três dígtos detfcdo o pís. Todos os produtos produzdos o Brsl começm com seqüêc 789. Algus píses dotm este mesmo sstem, ddo-lhe outro ome. Por exemplo, o Jpão o sstem é cohecdo como JAN (Jpese Artcle Numberg system) 3. O QUE É O CÓDIGO DE BARRAS Um códgo de brrs é um represetção gráfc de ddos que podem ser umércos ou lfumércos depededo do tpo de códgo de brrs empregdo. As lhs prlels e vertcs escurs e os espços etre els têm dferetes lrgurs em fução ds várs téccs de codfcção de ddos empregd. O códgo verdde é um texto qulquer escrto em um fote que s máqus etedem de um eto ms fácl. É como se fosse pr ós, seres humos, ler qulquer texto usdo fote Tmes New Rom, Arl, Thom, etc. Já pr um scer ão; pr um scer é ms fácl ler lhs vertcs e decodfcr de cordo com su espessur. Um códgo de brrs cosste um úc seqüêc de brrs e espços vrdo em ltur e espessur, mpressos pr represetrem de um form uívoc um determdo produto. Ests smbologs se presetm em dus vreddes: o códgo bdmesol ou de dus dmesões, que possu s formções cotds em dus dreções, sedo letur fet em dos setdos, com símbolos gerlmete qudrdos ou retgulres e que possuem elevd cpcdde de rmzemeto ( crcteres) e os códgos leres, que têm su represetção smbólc de formções em pes um dreção (este segudo clusve será o que bordremos este rtgo; os códgos leres). Códgo bdmesol Códgo ler Fgur 3.. Composção de um códgo de brrs ler Qudo os deprmos com um códgo de brrs ler logo observmos várs brrs exposts vertclmete e úmeros bxo desss brrs. Ests brrs como á fo mecodo 4

5 ão é ms do que um úmero escrto de form permtr um letur rápd de um máqu. Coseqüetemete observmos bxo ds brrs que prece o mesmo úmero escrto em lgrsmos corretes, de form que o letor humo tmbém poss ler o úmero Brrs Fgur As brrs vertcl são legíves pes por máqus. Cd brr represet um sére de úmeros composts por sete dígtos. Ests várs lstrs brcs e prets lterds de grossurs e tmhos vrdos são clssfcds em relção à espessur. Ess clssfcção é fet d segute form: f, méd, gross e muto gross. As brrs são s prtes escurs do códgo (ormlmete prets) que servem pr bsorver luz do scer e os espços (brrs ão mpresss) cosstem prte clr do códgo (gerlmete cor de fudo ode o códgo é mpresso) e refletem luz do scer. Observmos lgums brrs mores que outrs. Ests são chmds de seprdores e servem pr dcr extremdde do códgo. Um ds prcps fuções desses delmtdores (seprdores) é determr de qul ldo o scer est começdo letur, se é do ldo esquerdo ou ldo dreto e tem como poto de referêc o delmtdor cetrl do códgo. N frete de cd códgo observmos Zo de slêco ou Qutes Zos que são mrges ou espços tes do crctere cl e fl (começo e fm). Muto mportte, pos se forem excluídos poderão mpossbltr terpretção do códgo gerdo um letur ul. Espço Brr Seprdores Seprdores Zo de slêco Ldo Esquerdo Ldo Dreto Zo de slêco Seprdores Fgur 3 A prte ms estret do códgo é o módulo, se ele brr ou espço. Todos os elemetos que compõem o códgo de brr são múltplos do módulo quto à lrgur. Assm sedo, o

6 tmho é defdo dretmete pel desdde do módulo. Desdde é determd pel relção etre qutdde de módulos ou crcteres e o espço ocupdo pelo mesmo um vez mpresso; ou se; de cordo com o tmho do códgo Números Fgur 4 Os úmeros bxo ds brrs vrm su qutdde de lgrsmos de cordo com vredde do códgo que é utlzdo e cd úmero tem su posção e su sgfcção, sedo que o últmo úmero tem um fução dferecd de segurç pr possíves erros chmdo de dgto corretor ou verfcdor. Ests posções são determds por um ONG chmd (GS-Brsl) que orgz e pdroz todos os códgos. Os úmeros d empres que utlz os códgos vrm de empres pr empres, os úmeros que detfcm o tem vrm de tem pr tem tedo que o dígto verfcdor deve ser reclculdo cd vrção umerção. O pdrão, por exemplo, dotdo o Brsl é o EAN (Europe Artcle Number), udde resposável é GS-Brsl, que tem como obetvo orgzção dssemção de pdrões globs pr o gerecmeto d cde de suprmetos e de demd. Dest form, codção de 6º pís fldo, o Brsl recebeu seu úmero códgo, que é 789, em mo de 98. Assm sedo, Pr utlzr códgo de brrs em um produto o Brsl empres deve obter regstro uto GS-Brsl. 3. Os códgos UPC-A e EAN-3 O códgo UPC é composto por lgrsmos. Alsdo d esquerd pr dret (fgur ) temos o prmero dígto, que represet ctegor do produto, cco dígtos pr detfcção do fbrcte, cco dígtos pr detfcção do produto e um últmo dígto que é chmdo de úmero verfcdor ou cotroldor. Fgur 6

7 O códgo EAN-3 é composto por 3 lgrsmos que obedecem um lgortmo sttucol tercol, chmdo EAN-3. A estrutur umérc do códgo de brrs EAN-3 é utlzd pr detfcr produtos e bes de cosumo. A posção de cd úmero é d segute form (fgur 6): Fgur 6 A: os três dígtos ceddos pel EAN dcm o Pís, por exemplo, (789 = Brsl); B: os três, qutro ou cco dígtos, ceddos pel EAN dcm o fbrcte ( 3 4 = Empres); C: os qutro, cco ou ses dígtos, de cotrole seqüecl do fbrcte dcm o produto ( = produto); D: um dígto verfcdor obtdo pelo lgortmo pdrão do códgo ( = DV) Letur do códgo de brrs O códgo de brrs é ldo trvés de equpmeto proprdo chmdo scer que pode decodfcr; ou se, trduzr o códgo de brr um velocdde de té 00 vezes por segudo. Tl prelho mede luz refletd, e terpret o códgo (brrs prets e espços brcos) em úmeros e letrs. Ele fz vrredur de um pequeo poto de luz trvés do símbolo do códgo de brrs mpresso. Nossos olhos vêem pes um f lh vermelh emtd pelo letor lser (scer). Porém, o que está cotecedo é que fote de luz do letor está sedo bsorvd pels brrs escurs e refletd pelos espços clros. O lser do letor (fote de luz) começ vrredur do códgo de brrs em um espço em brco ( zo de slêco) tes d prmer brr e cotu pssdo té últm brr, ecerrdo em um espço em brco que segue (outr zo de slêco). Atrvés d luz refletd pelos módulos que compõem o espço, ou pel su usêc s brrs, o letor terpret o códgo. A terpretção cotece trvés do uso de um coversor lógco-dgtl que trsform os ss elétrcos lógcos produzdo pel luz recebd por meo de um sesor fotoelétrco, em um sl dgtl (sucessão de 0 e em form de pulso) e que usêc d luz refletd ger um outro sl dgtl que crcterz brr, ssm, cd crctere do códgo é terpretdo como um úmero báro, ode cd módulo reproduz um dígto 0 (reflexão d luz pelo códgo, ou se, espço o códgo), ou um dígto (bsorção d luz pelo códgo, ou se, brr o códgo). 7

8 3.4. Codfcção do códgo de brrs UPC-A e EAN-3 Nos códgos smbolog utlzd é o códgo báro, ou se, um seqüêc de (um) e 0 (zero). Nesse sstem é utlzdo o símbolo 0 pr dcr um lstr brc f, o símbolo 00 pr um lstr brc méd, 000 pr um lstr brc gross e 0000 pr um muto gross. D mesm form, represetmos por,, e, um lstr pret f, méd, gross ou muto gross, respectvmete. Cd dígto 0 ou é equvlete um módulo de espço vzo ou brr respectvmete. Não cotdo com s lstrs que servem de lmte, os seprdores. Como á fo cometdo, o códgo de brrs represet um sére de úmeros. A cd úmero lhe é ddo um espço de espessur fx, que correspode sempre um seqüêc de sete dígtos gus ou 0. Por exemplo, seqüêc 0000 represet o úmero 0 (zero), seqüêc 00 o úmero 7 (sete) e ssm por dte. É trsecmete teresste observrmos como letor fz letur tto d dret pr esquerd ou vce-vers e sso sbedo que o códgo de brrs ão são plídromos. Isto ocorre de mer dferete vrdo o tpo do códgo. No códgo UPC os dígtos são codfcdos de me dferete qudo estão do ldo dreto ou esquerdo do códgo de brrs. Isto é feto coforme segute tbel: Dígto Ldo esquerdo Ldo dreto Tbel A codfcção de um ddo úmero, à dret, se obtém d su codfcção à esquerd, trocdo cd zero por um e recprocmete. O mecsmo de recohecmeto fc clro se observrmos que cd seqüêc do ldo esquerdo tem um úmero ímpr de dígtos gus um e, coseqüetemete, cd um dos que estão à dret tem um úmero pr. Assm, verfcdo prdde de cd seqüêc de sete dígtos, máqu recohece medtmete de que ldo está ledo o códgo. Nos códgos EAN como se tem um lgrsmo ms, o que detfc o pís, precsvm tmbém mter o mesmo pdrão de tmho do códgo de brrs pr ão ter que modfcr 8

9 tods s letors. A dé utlzd fo fzer com que o ovo dígto estvesse mplícto form de escrt de todos os outros. Pr sso, ão fo modfcd codfcção do ldo dreto (permtdo ssm que s letors cotussem detfcr o ldo correspodete), ms à codfcção do ldo esquerdo vr, depededo do dígto cl. Um dígto do ldo esquerdo pode ser gor codfcdo com um úmero pr ou ímpr de dígtos gus, de cordo com segute tbel: Dígto Ldo esquerdo ímpr Ldo esquerdo pr Ldo dreto Tbel Sedo ssm, flmete, pr cd dígto cl escolhe-se um lterâc dferete de pres e ímpres de cordo com o segute crtéro: Dgto cl º º 3º 4º º 6º 0 ímpr ímpr ímpr ímpr ímpr Ímpr ímpr ímpr pr ímpr pr Pr ímpr ímpr pr pr ímpr Pr 3 ímpr ímpr pr pr pr Ímpr 4 ímpr pr ímpr ímpr pr Pr ímpr pr pr ímpr ímpr Pr 6 ímpr pr pr pr ímpr Ímpr 7 ímpr pr ímpr pr ímpr Pr 8 ímpr Pr ímpr pr pr Ímpr 9 ímpr Pr pr ímpr pr Ímpr Tbel 3 9

10 Pr um melhor etedmeto, vemos como exemplo um brr de cerel detfcdo pelo códgo Olhdo pr os três dígtos cs 789, logo percebemos que fo fbrcdo o Brsl, pos este é o códgo mudl do pís. Como um crcterístc do códgo EAN, tem-se que o prmero dgto mplícto codfcção é sete (7); ou se; ele dc qul seqüêc d tbel crd pel EAN rá segur. Coseqüetemete, este cso deve-se usr segute ordem de codfcção (obtd tbel 3): ímpr pr ímpr pr ímpr pr. Cosultdo tbel, de codfcção do EAN-3 obtemos: Pr os dígtos do ldo dreto ão temos que os preocupr com prdde, e obtemos dretmete d tbel, segute codfcção: Dígto verfcdor ou corretor Fgur 7 Todo códgo de brrs possu um dígto de verfcção, ou de correção, que fuco como processo de detecção de erros. Esse dígto ormlmete é o últmo lgrsmo d seqüêc. Pr descobrr qul é esse lgrsmo utlzmos um lgortmo de fácl compreesão. Este lgortmo é utlzdo em quse todos os tpos de códgos. Algortmo: Supohmos que um determdo produto está detfcdo, o sstem EAN-3, por um dd seqüêc de dígtos,..,,,, x, 0. Como os prmeros dígtos detfcm o pís de orgem, o fbrcte e o produto específco, os prmeros doze dígtos d seqüêc estão determdos turlmete por um método pdrão, crgo de um utordde clssfcdor em cd pís. Assm sedo, chmremos o décmo tercero dígto de verfcção, por x. Pr fcltr o etedmeto, escrevemos est seqüêc como um vetor: (,...,,, x) α =,, 0 0

11 O sstem EAN-3 se utlz de um vetor fxo, que chmremos vetor de pesos que é o vetor: ρ = (,3,,3,,3,,3,,3,,3, ) Clculdo-se, etão o produto esclr dos vetores temos:, 0. (,3,,3,,3,,3,,3,,3, ) α.ρ = (,...,,,, x) α.ρ = x Feto sso, ecotrmos o dgto verfcdor, pos ele é escolhdo de tl form que som cm se um múltplo de 0, sto é, ecotrmos x de form que tehmos cogruêc: ( mod 0) α.ρ 0. O dígto verfcdor é dfereç do próxmo múltplo de 0 pr som dos úmeros de posção pr, multplcdos por 3 (d esquerd pr dret), com os úmeros de posção ímpr. Assm sedo, o dgto verfcdor será o meor tero postvo cogruete módulo 0. Como exemplo de plcção do lgortmo descrto cm, se brr de cerel mecod terormete cuo códgo de brrs é N gerção deste códgo, depos de se trbur os doze prmeros úmeros, que dcm o pís de orgem, o fbrcte e o produto, tem-se seqüêc x e se quer clculr o vlor pr x. Sedo plcdo o lgortmo teremos: = (,...,,, x) e = (,3,,3,,3,,3,,3,,3, ) α,, 0 ρ, α.ρ = x = 99 x 0 ( mod0) Coseqüetemete o dgto verfcdor é x =, como á cohecdo. O uso do dígto verfcdor ou corretor pr detecção de erros será cometdo o próxmo tópco. 3.. Detecção de erros Qudo o scer ão fz letur e se é obrgdo dgtr o códgo de brrs, podem-se cometer erros. O dígto verfcdor dos códgos UPC e EAN é usdo como grt de dgtção corret, como será vsto. Porém pode vr pergut: Será que os dígtos verfcdores detectm todos os erros? A respost pr est pergut é ão. O dgto verfcdor detect té proxmdmete 88,9% dos erros obtdos. Algums vestgções em relção possíves erros os trouxerm freqüêc em que eles ocorrem, com mostrdo tbel segur:

12 Erro úco Trsposção dcete Trsposção lterd Erro gêmeo Erro gêmeo lterdo Tpo de Erro Freqüêc Reltv % K KKbK 79 Kb KKbK 0, Kbc KKcbK 0,8 K KKbbK 0,6 Kb KKcbcK 0,3 Outros 9, Tbel 4. Tpos de erros e sus freqüêcs segudo Verhoeff. A detecção de erro se dá qudo máqu fz o teste do dígto verfcr e obtém que α.ρ 0 ( mod 0) ( cogruêc ão se verfc). Imedtmete um sl sooro é emtdo vsdo do erro. Em relção ts erros podemos fzer lgums cosderções: Proposção. Um trsposção dcete do tpo K KK K é detectdo pelos sstems UPC e EAN-3 se e somete se. Demostrção. Cosdere que o códgo α (,,...,,, K,, 3 ) como α (,...,,,, x), K, = teh sdo dgtdo = e que, de lgum form, o erro ão teh sdo detectdo. Assm, temos como válds s dus cogruêcs bxo (outr possbldde ser, prmer equção K e segud, K): K3 K 3 α.ρ = K 3 K ( mod0 ), α.ρ = K 3 K ( mod0 ) Fzedo dfereç, terímos 0 (mod0), ou ( ) 0 (mod0) e ssm, (mod0). Em qulquer possbldde, devemos ter (mod0). Como esse procedmeto vle o setdo oposto, temos que um erro ão será detectdo se e somete se (mod0). De outro modo, um erro será detectdo se e somete se, dferetemete, (mod0) e cocluímos frmção. Aqu vemos mportâc do vetor de pesos β, pos se escolh do dígto de verfcção fosse fet de form que x (mod0),

13 Nehum erro de trsposção ser detectdo. Tlvez pes erro de troc de úmeros de form que cogruêc ão se verfcsse. Pr um melhor etedmeto, supoh o códgo de brrs teh sdo erroemete dgtdo como Ao efetur verfcção, utlzdo o lgortmo, terímos: ( 9,7,8,3,,,4,0,4,,8,0 ).(,3,,3,,3,,3,,3,,3, ) = = 34 0 (mod0) Dest form, o erro ser fclmete detectdo. Proposção. Um erro de trsposção ão dcete do tpo K KK K ão é detectdo pelos sstems UPC-A e EAN-3. Demostrção. Aplcdo o lgortmo de verfcção terímos, pr dgtção corret (o outro cso possível ser K), α.ρ K K 3 K ( mod0 ) = e, pr dgtção errd α.ρ K 3 K ( mod0 ), = á que é mesm som d cogruêc pr dgtção corret. Assm, o erro ão ser percebdo e frmção está cocluíd. Como exemplo, mge que o códgo de brrs de um pcel mrc texto se e, por lgum descudo do dgtdor humo, teh sdo cometdo um erro do tpo trsposção ão dcete e o úmero dgtdo teh sdo Utlzdo o lgortmo de verfcção terímos: ( 7,8,9,7,4,,8,0,4,,,,7 ).(,3,,3,,3,,3,,3,,3, ) = = 00 0( mod0) α.ρ = É otável que esse cso o lgortmo ão se efcz, á que o erro ão ser detectdo.. Proposção 3. Um erro de trsposção em que dos dígtos ão dcetes trocdos ão pode ser detectdo pelo sstem se dfereç é pr. e são Demostrção. No produto tero α.ρ, cd dus posções o ftor de multplcção ou 3 se repete, portto se vrção de pr é pr, o ftor de multplcção ( ou 3 ) é o mesmo. Assm o resultdo fl ão se lter. 3

14 Proposção 4. Um erro de trsposção em que dos dígtos ão dcetes e são trocdos, se dfereç for ímpr etão o erro pode ser detectdo pelo sstem EAN- 3 se e somete se. Demostrção. Note que o vetor de pesos é tl que dstâc etre dos pesos gus é pr. Dí, é ímpr, etão e são multplcdos por pesos dferetes, ou é multplcdo por e por 3, ou vce-vers. Aplcdo o lgortmo de verfcção terímos, pr dgtção corret: α. ρ = K K 3 K 3 3 e pr dgtção errd 0 (mod0) α. ρ = K K K Supodo que o erro ão fosse detectdo, terímos α.ρ = 3 K K 3 K 3 0(mod0) Resultr 3 3 0(mod0), ou 0(mod0), Que vle se e somete se =. Dí, o erro será detectdo se e somete se. E frmção está provd. Podemos perceber que o sstem ão detect todos os erros de trsposções e possu lgums flhs de segurç, porém é muto efcete pr detectr os erros ms freqüetes. Exstem outros verfcdores que serão cometdos o próxmo tópco. 3.. Outros Detectores de erros Como á fo dto terormete remos descrever lgus dos métodos exstetes dtos ms seguros. Pr um melhor etedmeto, deotremos por A o couto dos vlores que podem ssumr os dígtos utlzdos codfcção. Por exemplo, o cso do códgo UPC d seção teror, esse couto é O vetor com os ddos ( K ) { x Ζ / 0 x } A = m. α =,, será o vetor de formção e o vetor á crescetdo o dígto de verfcção será chmdo de úmero ou vetor de detfcção. Defção: Sem w ( w,, ) = com A, um vetor de pesos e c A um K w w tero fxdo. Ddo dos teros postvos m e e um couto de úmeros K, ts, 4

15 que A,, defe-se o úmero de verfcção como o úco elemeto de A que verfc equção: = w c ( mod m) Um sstem de codfcção ssm defdo será deotdo por C ( A, m,, c, w) =. Em gerl, A = { 0,, K, m }. Nesse cso, tomdo clsses x módulo m, temos que é o úco elemeto de A que stsfz equção w K w K w = c, ou = w c w. = Como exemplo, temos o sstem utlzdo por bcos (em todos) pr codfcr o úmero d cot de seus cletes que é composto por 9 dígtos, sedo que o últmo é o dgto verfcdor. N otção ssumd temos C = ( A,0,9,0, w) ode A é o couto dos dígtos de 0 9 e w = ( 7,3,9,7,3,9,7,3,9 ). Se tomrmos o úmero de cert cot bcr como , usdo o lgortmo pr verfcção temos que: (,,0,0,,,4,,9 ).( 7,3,9,7,3,9,7,3,9 ) = = 0 0 mod0. ( ) Descreveremos gor cpcdde de detecção de erros ms freqüete por um sstem defdo dest form. Teorem. Sem m um tero postvo e w ( w, K, w ) que um vetor de detfcção = ( ) = um vetor de pesos. Supohmos α...,, ode ssummos 0 < m, pr todo ídce,, stsfz codção Etão, ( mod m) α.w = w K w c. ) Todo erro cosstete um úc lterção posção -ésm será detectdo se e somete, se mdc( w, m) = ; b) Todo erro de trsposção d form K K KK K K será detectdo se e somete se mdc( w w, m) =. Demostrção. () Supoh clmete que o dgto, posção fo trocdo por outro vlor b. Deotremos por β o vetor resultte desse erro. O erro ão será detectdo se, e α. w β. w 0 mod m. Ms α.w β.w = ( b ) w 0( mod m). De modo que somete, se ( ) o erro será detectdo se, e somete, se ( ) tero x em m m b Z, se e somete, se ( b ) w = 0 w, ou se deotrmos por x clsse de um em m Z, ou w = b w. Se

16 mdc( w, m) = tem-se que w é vertível em Z m e segue que = b, logo b ( mod m) e, sedo os dos úmeros meores que m, sto só cotecer se = b. Logo o erro será detectdo. Por outro ldo, se ( w, m) = d mdc, ddo tem-se que detre os úmeros b = m d e b = m d, um deles verfc codção 0 b < m e o erro que substtu / / por esse umero ão pode ser detectdo (esse cso, b ). (b) ( ) Supohmos que fo cometdo um erro de trsposção, sedo que dsto, do vetor cl α = (...,... ), teremos outro vetor deotdo de β (,...,... ),..., 0, Supodo por bsurdo que o erro ão se detectdo, terímos que: α w = w K w K w K w c (mod ),. 0 0 m. w = 0w0 K w K w K w c mod m β =,..., 0. ( ) Assm, ( w w ) ( w w ) 0( mod m) α. w α. β =. Segue que w w w w = w w w w = ( )( w w ) 0( mod m). Coseqüetemete, se o erro ão for detectdo é porque temos Seguem s possblddes: () = e w ( )( w w ) 0( mod m), ou ( )( w w ) = 0. w, sgfcdo que ão houve erro de dgtção, que ão é o cso, pos estmos ssumdo que houve um erro; () e w = w : esse cso w = 0 () e w w : w w e mdc( w w, m) ; w é dvsor de zero (é ão ulo tl que o produto por outro elemeto ão ulo result em zero) e mdc( w w, m) vertível ( codção pr que (v) = e w = w ( w w ) ( ) Z m, pos se fosse, teh verso é que mdc (, m) = ); : álogo os csos () e (). Supodo por bsurdo que mdc( w w, m), temos que ( w ) se, exste k Z com k = 0, tl que ( w w ) k = 0. w 0 mod m, bstdo pes tomrmos k ( ) de α ( ) k w w ser w é dvsor de zero; ou, podedo esss codções cotecer = sedo ssm teremos: ( b b ) = ( )( b b ) = 0 α. β 0( mod m), 6

17 que é um cotrdção. E o teorem está demostrdo. Teremos como coseqüêc do resultdo ecotrdo, que melhor form de ter certez que o sstem de codfcção será cpz de detectr os erros úcos e todos os erros de trsposções (do tpo cotígu ou ão) é tomrmos m um úmero prmo. Um exemplo dsso é o sstem uversl dotdo pr clssfcção de lvros ISBN (Itertol Stdrd Book Number). Ele trblh módulo, ms pr smplfcr otção, utlz como couto de vlores A os dígtos de 0 9 e os vetores de detfcção têm 0 compoetes. Este sstem descrto otção que estmos utlzdo este rtgo A,,0, 0, w com w = ( 0,9,8,7,6,,4,3,, ). será ( ) Tomemos como exemplo prátco do uso desse sstem o lvro que tem como detfcção ISBN Pr descobrremos qul será seu dígto de verfcção, que será deotdo por r A, fzemos: Desevolvedo s operções teremos que: ( 0,3,8,7,9,6,0,3,, )(. 0,9,8,7,6,,4,3,, ) 0( mod) r. ( mod) Como 43 ( mod) e 0( mod) 43 r 0, ou r 43(mod). temos que r = 0. É fácl perceber que o códgo ISBN os dígtos codfcdos pertecem o couto A = { 0,,,3,4,,6,7,8, 9} e logcmete ão se tem o represette 0. Devemos troduzr etão ms um símbolo pr represetr este úmero. A coveção tul utlzd é o símbolo X e ssm, o exemplo descrto, o códgo ISBN que prece o lvro é X. É percebível que, se tomrmos o úmero m de modo que se prmo e o couto A formdo por teros meores que m tedo todos os compoetes w do vetor de peso w prmos com m, multplcr por w, módulo m, result um permutção do couto A (um beção de A em s mesmo). Isto os lev um método ms gerl pr defr o vetor de pesos. α' K podemos escolher permutções δ, K,δ = K δ, fxr um umero c A e escolher um dgto de verfcção de form que stsfç: Ddo um vetor de formção = (,, ) do couto A e defr um vetor de pesos por λ ( δ,, ) λ ( α) = δ ( ) K δ ( ) c ( mod m) Fcdo defdo por: = = δ c δ = ( ). 7

18 Como exemplo dess codfcção, se um códgo usdo pel IBM (Itertol Busess Mches) que utlz como couto A os úmeros de 0 9, m = 0, um vlor qulquer c A e permutção 0 δ = Nos csos em que o úmero de compoetes do vetor de detfcção é ímpr utlz-se o δ = I, δ, I, δ, K, δ, I. vetor de pesos ( ) Assm equção de verfcção será ( ) δ( ) ( mod0) δ c K. O dígto de verfcção é ddo pel fórmul ( δ( ) δ( ) ) ( mod0). = c 3 K Qudo o umero de verfcção é pr utlz-se o vetor de pesos δ ( δ, I, δ, K, δ, I ) =. Assm sedo, result um equção de verfcção álog com um fórmul smlr o feto tes pr o cálculo do dgto de verfcção. Este é o sstem utlzdo pr determr os úmeros os crtões de crédto. Tomemos como exemplo, um determdo crtão tem o úmero plcdo o sstem de verfcção IBM teremos: δ 7 I 7 4 δ 8 I δ I 9 δ 9 I 0 δ 0 4 I 4 3 δ 6 I δ 4 I 4 δ I Efetudo os cálculos teremos (mod0) Este sstem detect todo erro úco de dgtção e tod trsposção dcete exceto o cso em que e ssumem os vlores ( 0 e 9 ou 9 e 0 ), respectvmete com á fo demostrdo terormete o cptulo teror. Porém o sstem ão detect trsposções do tpo K K KK K K qudo dfereç for pr e qudo o erro for gêmeo do tpo K KKbbK De form gerl o códgo IBM geerlzdo utlz mesm permutção, com o vetor de pesos 8

19 ode 0 δ = I 0. A equção etão é λ = ( δ, δ, K, δ, δ ) δ ( ) c ( mod0) e c δ ( ) ( mod0) = =. Esse sstem detect todo erro úco de dgtção, trsposção dcete ou ão, com exceção é clro, qudo os dígtos evolvdos são 0 e 9, lém de todo erro gêmeo. Vmos cpcdde e efcêc de detecção de erros com códgo ISBN, logo poder surgr curosdde d possbldde de trblhr o modulo 0. A respost pr ess curosdde ser ão ustfctv ser Teorem. Se um sstem umérco de detecção de erros, com um módulo pr, detect todo erro úco de dgtção, etão pr todo pr de ídces, exste um erro de trsposção etre s posções e que ão é detectd pelo sstem. Demostrção. Como o módulo é pr, vmos trblhr com os úmeros de 0 m e cogruêc modulo m, cosderdo os dígtos como elemetos de Ζ m, (tedo como fldde smplfcção os rgumetos). Supoh que o sstem trsform o vetor (, K, ) um outro vetor, cu otção será ( σ ( ),, σ ( ) ) K. Tedo cpcdde de x σ x deve ser detecção do erro úco de dgtção, etão plcção posção -ésm ( ) um permutção de Ζ m. Pr que o sstem detecte todo erro de trsposção etre s posções e é ecessáro que σ ( ) σ ( b) σ ( ) σ ( b), pr todo pr de elemetos dferetes, b Ζ m, ou se, est plcção σ σ σ = é um permutção em m ( m ) Ζ. Ms como m [ 0, m-] m 0 K m = = m. m m m ( mod m)., temos que; Logo m = x Z m x = x Z m σ(x) = b ( σ ( x) σ ( x) ) = σ ( x) σ ( x) x Ζ x Ζ x Ζ m m m = m m = 0. Ms sto é um cotrdção. 9

20 4. CONCLUSÃO É otór preseç mtemátc em város segmetos d tecolog que surgu e que d rá surgr. O códgo de brrs é um desses exemplos de um mtemátc, que pode ser smples ou ms sofstcd, que tem su plcção ovs tecologs que os uxlm o d d. Como fo exposto este rtgo como o códgo de brrs se torou um tecolog dspesável os ds tus, o uxlo s empress o cotrole e detfcção de produtos e glzção do tedmeto cletes, em tedmeto bcáro e etre dversos setores. Buscmos bordr o ssuto em questão d form ms clr possível, explcdo o tem de modo tetr desvedr mtemátc que está por detrás dos códgos de brrs e de como possíves erros humos, que podem evetulmete ocorrer, precsm ser corrgdos detro de certos lmtes. O códgo de brrs d é obeto de pesqus pr mutos desevolvedores e há dverss mers de se trblhr com est tecolog que surgu os Estdos Udos, décd de 70, com o tuto de dmur s fls, processos de pgmeto, etc. dexdo-os ms rápdos. Códgo de brrs, hoe, torou-se um umdde mudl. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BARCODE ISLAND. Dspoível em: < Acesso em: 9 out GARCIA, A Crst dos Stos et l. Mtemátc dos códgos de brrs f. Ossco, SP: Cetro Uverstáro UNIFIEO. CÓDIGO DE BARRAS - CONCEITOS BÁSICOS E UTILIZAÇÃO NO VB. Dspoível em: < Acesso em: 30 set GS-BRASIL. Dspoível em: < Acesso em: 0 go GS-BRASIL. Dspoível em: < ult&temid=ff808080d384600d84686f08>. Acesso em: 9 go MEDIA IDENTIFICATION NUMBERS. < Acesso em: 7 go MILIES, Césr Polco. A mtemátc dos códgos de brrs. 9 f. São Pulo, SP. IME/USP - Deprtmeto de Mtemátc, SP. PONTOS & VÍRGULA. Dspoível em: < Acesso em: 9 set PORTAL DE SERIVÇOS DO GOVERNO DO PARANÁ. Dspoível em: < Acesso em: out TONON, Gesuel et l. Códgos de brrs f. Poços de Clds, MG: Potfc Uversdde Ctólc de Ms Gers. Edurdo Mrques Ds (edurdo.mrkes@hotml.com) Curso de Mtemátc, Uversdde Ctólc de Brsíl. EPCT QS 07 Lote 0 Águs Clrs Tgutg CEP.: