APOSTILA DE ESTATÍSTICA

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1 APOSTILA DE ESTATÍSTICA PROF MSC LUIZ HENRIQUE MORAIS DA SILVA INTRUDUÇÃO: - Cocetos báscos de esttístc: Porm Hstórco, Rmos d Esttístc, Processos e estudos de um esttístco; - Poulções esttístc e mostrs; -Tos de mostrs; - Tos de vráves; 5 - Reresetção gráfc de ddos DISTRIBUIÇÃO DE FREQUENCIA: -Tos de frequêcs; -Rol, Amltude e tervlos em um tbel de dstrbução de Frequêc; - Hstogrms e olígoos de frequêcs; - Curvs de frequêc cumuld (ogvs); 5 - Descrção de ddos mostrs, mod; 6 - Medds de tedêc cetrl: méd rtmétc, med; 7 - Medds de dsersão: desvo médo, vrâc, desvo drão; 8 - Outrs medds reresettvs: qurts e ercets TEORIA DA PROBABLIDADE: - Esço mostrl e Evetos, Esço Amostrl Equrovável; - Aoms de robblddes e roreddes; - Uão de Evetos; - Probbldde Codcol e Evetos deedetes; 5 - Esços mostrs ão- equrováves e eermetos reetdos; 6 - Teorem de Byes DISTRIBUIÇÕES ESPECIAIS: - Vráves letórs e fução de dstrbução de robbldde; - Eserç Mtemátc; - Vrâc e Desvo Pdrão; Dstrbuções Dscrets: Beroull, Boml e Posso; 5 - Dstrbução cotíu: Norml; 5 INTERVALOS DE CONFIANÇA SISTEMAS DE INFORMAÇÃO Cetro Uverstáro d Fudção Educcol de Brretos UNIFEB

2 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Poulção Esttístc e Amostrs 7 Tos de mostrs Tos de vráves 5 Reresetções gráfcs 5 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 6 Tos de frequêcs 6 Rol, Amltude e Itervlos de um Tbel de dstrbução de frequêc 8 Atvdde - Elborção de um tbel de dstrbução de frequêc 8 Hstogrm e olígoos de frequêc 9 Atvdde : Costrução do Hstogrm e olígoo de frequêc 9 5 Descrção de ddos mostrs 6 Medds de Tedêc Cetrl (Posção) Atvdde : Lst de Eercícos 5 7 Medds de Dsersão 7 Atvdde : Lst de Eercícos 9 TEORIA DA PROBABILIDADE 0 Esço mostrl e Eveto, Esço Amostrl Equrovável 0 Esço Amostrl 0 Atvdde 5: Lst de eercícos Atvdde 6: Lst de eercícos Atvdde 7: Lst de eercícos 5 (Lst Comlemetr) Uão de evetos Atvdde 8: Lst de eercícos 6 Probbldde Codcol e Evetos Ideedetes Atvdde 9: Lst de eercícos Esços mostrs ão - equrováves e eermetos reetdos 6 Atvdde 0: Lst de eercícos Teorem de Byes 8 Atvdde : Lst de eercícos 9 9 DISTRIBUIÇÔES ESPECIAIS 9 Vráves letórs e fução de dstrbução de robblddes 9 Atvdde : Lst de eercícos 0 Eserç Mtemátc Atvdde : Lst de eercícos Vrâc e desvo Pdrão Atvdde : Lst de eercícos 6 Dstrbuções teórcs de robblddes de vráves letórs dscrets 6 Atvdde 5: Lst de eercícos 50 5 Dstrbuções teórcs de robblddes de vráves letórs cotus 50 Atvdde 6: Lst de eercícos 56 Aoms de Probblddes e Proreddes

3 INTRODUÇÃO A Nturez d Esttístc - Porm Hstórco, rmos d esttístc, rocessos e estudos de um esttístco Porm Hstórco A orgem d lvr Esttístc está ssocd à lvr lt STATUS (Estdo) Há dícos de que 000 os AC já se fzm cesos Bblô, Ch e Egto e té mesmo o o lvro do Velho Testmeto fz referêc um strução dd Mosés, r que fzesse um levtmeto dos homes de Isrel que estvessem tos r guerrer Usulmete, ests formções erm utlzds r tção de mostos ou r o lstmeto mltr O Imerdor Césr Augusto, or eemlo, ordeou que se fzesse o Ceso de todo o Iméro Romo Cotudo, mesmo que rátc de coletr ddos sobre colhets, comosção oulção hum ou de ms, mostos, etc, fosse cohecd elos egícos, hebreus, cldeus e gregos, e se trbum Arstóteles ceto e otet descrções de Estdos, es o século VII Esttístc ssou ser cosderd dscl utôom, tedo como objetvo básco à descrção dos BENS do Estdo A lvr Esttístc fo cuhd elo cdêmco lemão Gottfred Achewll (79-77), que fo um otável cotudor dos estudos de Herm Corg (606-68) Gottfred determou os objetvos d Esttístc e sus relções com s dems cêcs Com Escol Alemã s tbels torrm-se ms comlets, surgrm s reresetções gráfcs e o cálculo ds robblddes, e Esttístc deou de ser smles ctlogção de ddos umércos coletvos r se torr o estudo de como chegr coclusões sobre o todo ( oulção ), rtdo d observção de rtes desse todo ( mostrs ) Atulmete, os estudos esttístcos têm vçdo rdmete e, com seus rocessos e téccs, Têm cotrbuído r orgzção dos egócos e recursos do mudo modero O que é Esttístc? A Esttístc é um rte d Mtemátc Alcd que forece métodos r colet, orgzção, descrção, álse e terretção de ddos e r utlzção dos mesmos tomd de decsões A Esttístc ode ser ecrd como um cêc ou como um método de estudo

4 Dus coceção r lvr ESTATÍSTICA: No lurl (esttístc), dc qulquer coleção cosstete de ddos umércos, reudos com fldde de forecer formções cerc de um tvdde qulquer Pôr eemlo, s esttístc demográfcs referem-se s ddos umércos sobre scmetos, flecmetos, mtrmôos, desqutes, etc No sgulr, dc um coro de téccs, ou d um metodolog técc desevolvd r colet, clssfcção, resetção, álse e terretção de ddos qutttvos e utlzção desses ddos r tomd de decsões Qulquer cêc eermetl ão ode rescdr ds téccs roorcods el Esttístc, como ôr eemlo, Físc, Bolog, Admstrção, Ecoom, s Egehrs, curós áre de sstems d formção e formátc; etc Todos esses rmos de tvdde rofssol têm ecessdde de um strumetl que se reocu com o trtmeto qutttvo dos feômeos de mss ou coletvos, cuj mesurção e álse requerem um cojuto de observções de feômeo ou rtculres A utlzção de téccs, destds à álse de stuções comles ou ão, tem umetdo e fz rte do osso cotdo Tome-se, or eemlo, s trsmssões esortvs Em um jogo de futebol, o úmero de escteos, o úmero de flts cometds e o temo de osse de bol são ddos forecdos o telesectdor e fzem com que coclusão sobre qul tme fo melhor em cmo se tore objetv (ão que sso mlque que teh sdo o vecedor) O que tem levdo ess qulfcção de osss vds o d d? Um ftor mortte é oulrzção dos comutdores No ssdo, trtr um grde mss de úmeros er um tref custos e cstv, que eg hors de trblho tedoso Recetemete, o etto, grdes qutddes de formções odem ser lsds rdmete com um comutdor essol e rogrms dequdos Dest form o comutdor cotrbu, ostvmete, dfusão e uso de métodos esttístcos Por outro ldo, o comutdor ossblt um utomção que ode levr um dvíduo sem rero esecífco utlzr téccs dequds r resolver um ddo roblem Assm, é ecessár comreesão dos cocetos báscos d Esttístc, bem como s suosções ecessárs r o seu uso de form crteros

5 5 Rmos d Esttístc A grosso modo ode-se dvdr Esttístc em três áres: Esttístc Descrtv Teor d Probblddes Teor d Iferêc Esttístc Vmos crcterzr ests três áres Esttístc Descrtv A Esttístc Descrtv ode ser defd como um cojuto de téccs destds descrever e resumr ddos, fm de que ossmos trr coclusões reseto de crcterístcs de teresse Em gerl utlzmos Esttístc Descrtv et cl d álse qudo tommos cotto com os ddos el rmer vez Objetvdo trr coclusões de modo forml e dreto, mer ms smles ser observção dos vlores colhdos Etretto o derrmos com um grde mss de ddos ercebemos, medtmete, que tref ode ão ser smlespr tetr retrr dos ddos formções reseto do feômeo sob estudo, é recso lcr lgums téccs que os ermtm smlfcr formção dquele rtculr cojuto de vlores A fldde d Esttístc Descrtv é torr s coss ms fáces de eteder, de reltr e dscutr A méd dustrl Dow-Joes, t de desemrego, o custo de vd, o ídce luvométrco, qulometrgem méd or ltro de combustível, s méds de estudtes são eemlos de ddos trtdos el Esttístc Descrtv Teor d Probbldde A Teor ds Probbldde ode ser esd como o teor mtemátc utlzd r estudr certez orud de feômeos que evolvem o cso Jogos de ddos e de crts, ou o lçmeto de um moed r o r equdrm-se ctegor do cso A mor dos jogos esortvos tmbém é fluecd elo cso té certo oto A decsão de um fbrcte de col de emreeder um grde cmh de rogd vsdo umetr su rtcção o mercdo, decsão de rr de muzr essos com meos de vte os cotr determd doeç, decsão de rrscr-se trvessr um ru o meo do qurterão, tods utlzm robbldde coscete ou coscetemete

6 6 Teor d Iferêc Esttístc Iferêc Esttístc é o estudo de téccs que ossbltm etrolção, um grde cojuto de ddos, ds formções e coclusões obtds rtr de subcojutos de vlores, usulmete de dmesões muto meores Deve-se otr que se tvermos cesso todos os elemetos que desejmos estudr, ão é ecessáro o uso ds téccs de ferêc esttístc; etretto, els são dsesáves qudo este mossbldde de cesso todo o cojuto de ddos, or rzões de turez ecoômc, étc ou físc Estudos comleos que evolvem o trtmeto esttístco dos ddos, usulmete cluem s três áres ctds cm Fses do Trblho Esttístco O trblho esttístco é um método cetífco, que cosste ds cco ets báscs segutes: Colet e crítc de ddos Trtmeto dos ddos Aresetção dos ddos Aálse e terretção dos resultdos Coclusão Colet e crítc dos ddos Aós defrmos cuddosmete o roblem que se quer esqusr, dmos íco à colet dos ddos umércos ecessáros à su descrção A colet ode ser dret ou dret A colet é dret qudo fet sobre elemetos formtvos de regstro obrgtóro (scmetos, csmetos e óbtos, mortção e eortção de mercdors), elemetos ertetes os rotuáros dos luos de um escol ou, d, qudo os ddos são coletdos elo róro esqusdor trvés de quértos questoáros A colet se dz dret qudo é ferd de elemetos cohecdos (colet dret) e/ou do cohecmeto de outros

7 7 feômeos relcodos com o feômeo estuddo Como or eemlo, odemos ctr esqus sobre mortldde ftl, que é fet trvés de ddos colhdos or um colet dret Obtdos os ddos, eles devem ser cuddosmete crtcdos, à rocur de ossíves flhs e merfeções, fm de ão corrermos em erros grosseros ou certo vulto, que ossm flur sesvelmete os resultdos A crítc é eter qudo vs às cuss dos erros or rte do formte, or dstrção ou má terretção ds erguts que lhe form fets; è ter qudo vs observr os elemetos orgs dos ddos d colet Trtmeto dos ddos Nd ms é do que som e o rocessmeto dos ddos obtdos e dsosção medte crtéros de clssfcção Pode ser mul ou eletrôc Aresetção dos ddos Por ms dvers que sej fldde que se teh em vst, os ddos devem ser resetdos sob form dequd tbels e gráfcos tordo ms fácl o eme dqulo que está sedo objeto de trtmeto esttístco Aálse dos resultdos Aós resetção dos ddos devemos clculr s medds tícs coveetes r fzermos um álse dos resultdos obtdos, trvés dos métodos d Esttístc Idutv ou Iferecl, e trrmos desses resultdos coclusões e revsões Coclusão É de resosbldde de um eseclst o ssuto que está sedo esqusdo, que ão é ecessrmete um esttístco, reltr s coclusões de mer que sejm fclmete etedds or quem s for usr tomd de decsões Poulção Esttístc e Amostrs Ao cojuto de etes ortdores de, elo meos, um crcterístc comum deommos Poulção esttístc ou uverso esttístco Esse termo refere-se ão somete um coleção de dvíduos, ms tmbém o lvo sobre o qul resde osso teresse Assm, oss oulção ode ser tto todos os hbttes de Vl Velh, como tods s lâmds roduzds or um fábrc em um certo eríodo de temo, ou todo o sgue o coro de um esso

8 8 Como em qulquer estudo esttístco temos em mete esqusr um ou ms crcterístcs dos elemetos de lgum oulção, est crcterístc deve estr erfetmete defd E sso se dá qudo, cosderdo um elemeto qulquer, odemos frmr, sem mbgüdde, se esse elemeto ertece ou ão à oulção Vmos eteder que, em Esttístc, lvr oulção tem sgfcdo muto ms mlo do que o vocbuláro lego Pr o esttístco, todos os vlores que um vrável ode ssumr, os elemetos de um cojuto, costtu um oulção Algums vezes odemos cessr tod oulção r estudrmos crcterístcs de teresse, ms em muts stuções, tl rocedmeto ão ode ser relzdo, or mossbldde ou vbldde ecoômc ou temorl Por eemlo, um emres ão dsõe de verb sufcete r sber o que es todos os cosumdores de seus rodutos Há d rzões étcs, qudo, or eemlo, os eermetos de lbortóro evolvem o uso de seres vvos Além dsso, estem csos em que mossbldde de cessr tod oulção de teresse é cotorável como o cso d álse do sgue de um esso ou em um eermeto r determr o temo de fucometo ds lâmds roduzds or um dústr Tedo em vst s dfculddes de várs turezs r observr todos os elemetos d oulção, tomremos lgus deles r formr um gruo ser estuddo A ess rte roveete d oulção em estudo deommos mostr Um mostr é um subcojuto fto de um oulção Ets d álse Esttístc Os esqusdores trblhm com mostrs Prmero, orque s oulções fts só odem ser estudds trvés de mostrs As oulções fts muto grdes tmbém só odem ser estudds trvés de mostrs Flmete, o estudo

9 9 cuddoso de um mostr tem ms vlor cetfco do que o estudo rádo de tod oulção Eemlos: Poulção ft: A rodução futur de um máqu As etrções, com reetção ds bols de um ur Os scmetos de bebês O úmero de ees do mr costtu um oulção ft muto grde, os esse úmero é, em ddo mometo, mtemtcmete fto, ms tão grde que ode ser cosderdo fto r fldde rtc Os luos de um sl de ul, os rodutos de um suermercdo, os lvros de um bblotec, os utomóves de vl velh, são eemlos de oulções fts A dstção etre oulção e mostr é fudmetl orque é com bse os ddos de um mostr que os esttístcos ferem sobre oulção Eemlo: Um esqus de oão r sber o resultdo ds eleções r o govero do estdo de São Pulo em 988, oulção cosderd form todos os eletores do estdo e r costtur mostr o IBOPE coletou oão de cerc de 600 eletores As medds esttístcs obtds com bse oulção são deomds râmetros As medds obtds com bse em mostrs são deomds estmtvs Tto râmetros quto estmtvs são umércos úc dfereç é o fto de os râmetros serem obtdos com bse oulção e s estmtvs com bse s mostrs Os râmetros são em gerl descohecdos orque, rtc, ão é ossível observr tod oulção Ms, como já dsse lguém, ão é recso beber todo o vho r sber que gosto ele tem Etão o esqusdor obtém um mostr r ter um de do vlor do râmetro Embor ehum lo de mostrgem oss grtr que mostr sej etmete semelhte à oulção d qul fo etríd, se mostr for sufcetemete grde e obtd com técc corret, mor ds vezes, oderemos estmr o vlor do erro ossível, sto é dzer quão róm est mostr d oulção, em termos de reresettvdde Ms d, mostrs sucessvs d mesm oulção tedem forecer estmtvs smlres etre s e com vlores em toro do verddero, ou sej, o vlor do râmetro

10 0 Assm, vmos que, mostrs dferetes dão estmtvs dferetes do râmetro É o que os esttístcos chmm de flutução mostrl Ds estmtvs ossíves desse râmetro, com bse em um mostr de tmho, que é mutíssmo eque, es um cso cocde com o vlor verddero do râmetro e s outrs são muto rus Se mostr fosse de tmho 000, um roorção muto mor de estmtvs estr em toro do vlor verddero do râmetro Este um técc esecl, mostrgem, r recolher mostrs, que grtm, tto quto ossível, o cráter de reresettvdde do todo, que ossm ser usds r ermtr fzer ferêcs cerc d oulção de que orgou Quto ms comle for mostrgem, mores cuddos deverão ser tomdos s álses esttístcs utlzds; em cotrrtd, o uso de um esquem de mostrgem ms elbordo ode levr um dmução o tmho d mostr ecessáro r um dd recsão Ates de escolher mostr, é recso defr técc de mostrgem, sto é, os crtéros que serão usdos r escolher os elemetos d oulção que costturão mostr De cordo com técc usd, tem-se um to de mostr Amostrgem versus Ceso Um mostr usulmete evolve o estudo de um rcel dos tes de um oulção, equto que um ceso requer o eme de todos os tes Embor cocetremos oss teção s mostrs, é coveete cosderr tmbém ltertv do ceso A rmer vst ode recer que seção comlet ou totl de todos os tes de um oulção sej ms coveete do que seção de es um mostr deles N rátc, o cotráro é que é quse váldo Frms comercs e etddes govermets recorrem á mostrgem or várs rzões O custo é usulmete um ftor relevte Colher ddos e lsr resultdos custm dhero e, em gerl quto mor o úmero de ddos colhdos, mor o custo Outr rzão r o emrego de mostrgem é que o vlor d formção dur ouco Pr ser útl, formção deve ser obtd e usd rdmete A mostrgem é úc mer de se fzer sso Por vezes, o eme de determdo rtgo o destró Testr cders quto su resstêc o eso obvmete s destró; se fôssemos testr tods s cders, ão sobrrm cders r ved

11 A mostrgem é referível o ceso qudo: I A oulção ode ser ft, e obvmete ão ser ossível emr todos os tes d oulção o que torr etão o ceso mossível II Um mostr ode ser ms tulzd do que o ceso Se se ecesst de m formção rdmete, um estudo de tod oulção ode cosumr demsdo temo e erder utldde Além dsso, se oulção tede modfcr-se com o temo, um ceso oderá, reldde, combr várs oulções III Os testes odem resetr cráter destrutvo, ou sej, os tes emdos são destruídos o róro to do eermeto Etão o ceso os dr o orm recso de um oulção que ão este ms IV O custo de um ceso ode ser robtvo, ormlmete se o custo dvdul é elevdo e se estem mutos tes oulção A recsão ode sofrer o cso de um ceso de um grde oulção A mostrgem evolve meor úmero de observções e, coseqüetemete, meor úmero de coletores de ddos Com grde úmero de getes, há meor coordeção e cotrole, umetdo chce de erros A mostrgem ode revelr mor uformdde os métodos de colet de ddos, e mor comrbldde etre os ddos, do que um ceso O to de formção ode deeder d utlzção de um mostr ou de um ceso Freqüetemete s desess com colet de ddos sofrem restrções orçmetárs Este tmbém remêc do temo Se os decdrmos or um ceso, os roblems de custo e de temo odem coduzr um lmtção do ceso es um ou oucs crcterístcs or tem Um mostr com o mesmo custo e mesmo temo, oder roorcor resultdos ms rofuddos sobre um meor úmero de tes Etretto, há certs stuções em que é ms vtjoso fzer um ceso Etre esss stuções destcmos: I A oulção ode ser tão eque que o custo e o temo de um ceso sejm ouco mores que r um mostr II Se o tmho d mostr é grde em relção o d oulção, o esforço dcol requerdo or um ceso ode ser equeo, lém dsso, o ceso elmrá vrbldde mostrl III Se ege recsão comlet, etão o ceso é o úco método cetável Em fce d vrbldde mostrl, uc odemos ter certez de qus são os râmetros verdderos d oulção Um ceso os drá ess formção, embor erros

12 colet dos ddos e outros tos de tedecosdde ossm fetr recsão dos resultdos Ocsolmete, já se dsõe d formção comlet, de modo que ão há ecessdde de mostr Tos de mostrs Amostrgem Probblístc Um mostrgem será robblístc se todos os elemetos d oulção tverem robbldde cohecd, e dferete de zero, de ertecer à mostr Dest form, mostrgem robblístc mlc um sorteo com regrs bem determds, cuj relzção só será ossível se oulção for ft e totlmete cessível Cosderremos qu os segutes los de mostrgem robblístc: Amostrgem Aletór Smles Amostrgem Proorcol Estrtfcd Amostrgem Sstemátc Amostrgem Aletór Smles Este to de mostrgem é equvlete um sorteo lotérco A Amostrgem Aletór Smles é costtuíd de elemetos retrdos o cso d oulção Etão todo elemeto d oulção tem robbldde f de ser mostrdo Por sso é que esse to de mostrgem tede roduzr mostrs reresettvs Eemlo: Gerlmete são cosderdos letóros os segutes rocessos: A chegd de crros um osto de edágo As chmds telefôcs um grde mes de oerção A chegd de cletes os cs de um suermercdo A rodução de qulquer rocesso mecâco Sucessvos lces de moed ou de ddo Temo de servço em estções de edágo Amostrgem Sstemátc Qudo os elemetos d oulção já se chm ordedos, ão há ecessdde de costrur um sstem de referêc São eemlos os rotuáros médcos de um hostl, os rédos de um ru, s lhs de rodução etc Nestes csos, seleção dos elemetos que costturão mostr ode ser fet or um sstem mosto elo esqusdor

13 A Amostrgem Sstemátc é costtuíd de elemetos retrdos d oulção segudo um sstem reestbelecdo Amostrgem Proorcol Estrtfcd Muts vezes oulção se dvde em suboulções, deomds de Estrtos Como é rovável que crcterístc em estudo dess oulção resete, de estrto em estrto, um comortmeto heterogêeo e, detro de cd estrto, um comortmeto homogêeo, covém que o sorteo dos elemetos d mostr leve em cosderção ts estrtos A mostr roorcol estrtfcd é comost or elemetos roveete de todos os estrtos Amostrgem Não Probblístc Qudo em todos os elemetos d oulção tverem um robbldde dferete de zero de ertecerem à mostr, dzemos que mostrgem é ão robblístc Este rocesso de mostrgem é subjetvo e seu regmeto deede do cohecmeto que ossu o esqusdor reseto d estrutur d oulção É emregd, muts vezes, or smlcdde ou el mossbldde de se obter mostrges robblístcs Se os efetos ds mostrges ão-roblístcs odem ser cosderdos equvletes os ds mostrges robblístcs, etão os rocessos de mostrges ão-robblístcs tmbém odem ser cosderdos váldos Cosderremos qu os segutes los de mostrgem ão robblístc: Amostrgem Esmo e Amostrgem or Julgmeto Amostrgem Esmo É o cso em que o esqusdor rocur ser letóro, sem, o etto, utlzr um sorteo letóro rgoroso Os resultdos de um mostrgem esmo são os mesmos de um mostrgem robblístc se oulção é homogêe e se ão este ossbldde de o mostrdos ser fluecdo (mesmo que coscetemete) or lgum crcterístc dos elemetos d oulção Amostrgem or Julgmeto Neste to de mostrgem, mostr é colhd rte d oulção que é cessível Etão se fz um dstção etre oulção-objeto (quel que se tem em mete o relzr o estudo) e oulção-mostrd ( rte d oulção que é cessível) Se esss dus oulções tverem s mesms crcterístcs, este to de mostrgem v ser equvlete um mostrgem robblístc

14 Se o tmho d mostr é bem equeo, dgmos, de um cco tes, mostrgem letór ode dr totlmete ãoreresettvos, o sso que um esso fmlrzd com oulção ode esecfcr qus os tes ms reresettvos d oulção Tos de vráves Orgzção de Ddos Vráves Os ddos esttístcos se obtêm medte um rocesso que evolve observção ou outr mesurção de crcterístcs de um oulção ou mostr ts como red ul um comudde, seo dos dvíduos de um trbo díge, ercetgem de çúcr em ceres, etc Cd um desss crcterístcs é chmd de vrável, orque orgm vlores que tedem ebr certo gru de vrbldde qudo se fzem mesurções sucessvs qutttvs dscrets e qutttvs cotíus As vráves dscrets odem ser vsts como resulttes de cotges, ssumdo ssm, vlores teros Já s vráves cotíus gerlmete rovêm de um mesurção e odem ssumr qulquer vlor em tervlos dos úmeros res Qulttvs (ão umércs): São s vráves cujos ossíves vlores que ssumem reresetm trbutos e/ou qutddes Se ts vráves têm um ordeção turl, dcdo tesddes crescetes de relzção, etão els serão clssfcds como qulttvs ords ou or ostos Cso cotráro, qudo ão é ossível estbelecer um ordem turl etre seus vlores defdo es um ctegor, els são clssfcds como qulttvs oms Clssfcção ds vráves Vmos cosderr dos grdes tos de vráves: Qutttvs (umércs): São s vráves cujos vlores são eressos em úmeros Els odem ser subdvdds em

15 5 5 Reresetções gráfcs Tbels e Gráfcos Os ddos deos de trtdos odem ser resetdos em tbels Estem orms cos r orgzção de tbels, dtds el ABNT Esss orms ão serão trtds qu, ms covém sber que s tbels devem ter os segutes comoetes: Título: Precede tbel e elc, em oucs lvrs, o ddo em estudo Se for o cso, dc o temo e o lugr que os ddos se referem Cbeçlho: Esecfc o coteúdo de cd colu Colu Idcdor: Esecfc em cd lh os vlores que os ddos odem ssumr Coro d tbel: Areset frequêc dos ddos Fote: Esecfc etdde, o esqusdor ou esqusdores que forecerm os ddos, qudo esses ão form coletdos or você A orgzção dos ddos em tbels de frequêc roorco um meo efcz de estudo do comortmeto de crcterístcs de teresse Muts vezes, formção cotd s tbels ode ser ms fclmete vsulzd trvés de gráfcos Meos de comucção resetm, drmete, gráfcos ds ms vrds forms r ulr resetção ds formções Órgãos úblcos e emress se mucm de gráfcos e tbels em documetos teros e reltóros de tvddes e desemeho Grçs à rolferção de recursos gráfcos, cuj costrução tem sdo cd vez ms smlfcd em rogrms comutcos, este hoje um fdde de tos de gráfcos que odem ser utlzdos Deve ser otdo, etretto, que utlzção de recursos vsus crção de gráfcos deve ser fet cuddosmete; um gráfco desroorcol em sus medds ode dr fls mressão de desemeho e coduzr coclusões equvocds Obvmete, questões de mulção corret d formção odem ocorrer em qulquer áre e ão cbe culr Esttístc O uso e dvulgção étc e crteros de ddos devem ser ré-requstos dsesáves e egocáves Eemlos: Vmos defr qutro tos báscos de gráfcos: Gráfco de dsco: É usdo r mostrr mortâc reltv ds roorções Esse to de gráfco se dt melhor às vráves qulttvs oms

16 6 Gráfco de brrs: Utlz o lo crteso com os vlores d vrável o eo ds bscsss e s frequêcs ou orcetges o eo ds ordeds Esse to de gráfco se dt melhor às vráves dscrets ou qulttvs ords DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Um dstrbução de frequêc é um método de grumeto de ddos em clsses, ou tervlos, de tl form que se oss determr o úmero ou ercetgem de observções em cd clsse O úmero ou ercetgem um clsse chm-se freqüêc de clsse Um dstrbução de freqüêc ode ser resetd sob form gráfc ou tbulr Tos de frequêcs Frequêc smles ou bsolut (f): São os vlores que relmete reresetm o úmero de ddos de cd clsse Frequêc reltv (fr): São os vlores ds rzões etre s freqüêcs smles e freqüêc totl Normlmete clcul-se frequêc reltv r efeto de comrção com outros gruos ou cojuto de ddos Covém otr que, qudo estvermos comrdo dos gruos com relção às freqüêcs de ocorrêc dos vlores de um dd vrável, gruos com um úmero totl de ddos mor tedem ter mores freqüêcs de ocorrêc dos vlores d vrável Dess form, o uso de freqüêc reltv vem resolver este roblem Frequêc cumuld (F): É o totl ds freqüêcs de todos os vlores ferores o lmte sueror do tervlo de um dd clsse Normlmete utlzmos esse to de freqüêc qudo trtmos de vráves qulttvs ords ou qutttvs em gerl Frequêc cumuld reltv (Fr): É o totl ds freqüêcs reltvs de todos os vlores ferores o lmte sueror do tervlo de um dd clsse Como o cso teror utlzmos esse to de freqüêc qudo trtmos de vráves qulttvs ords ou qutttvs em gerl O rocesso de costrução de um dstrbução de freqüêc r determdo cojuto de ddos deede do to de ddos em estudo, sto é, cotíuos, dscretos, oms ou ords Vmos estudr cd cso

17 7 Os ddos coletdos são regstrdos em fchs que cotêm, lém dos ddos de teresse, dverss outrs formções Portto, termd fse de colet dos ddos, é recso retrr os ddos ds fchs e orgzá-los Est fse do trblho é deomd, teccmete, de trtmeto dos ddos Dstrbução de Frequêc r Vráves Qutttvs Cotíus Os rcs estágos costrução de um dstrbução de frequêc r ddos cotíuos são: Orgzr os ddos brutos em um rol de ordem crescete ou decrescete Determr mltude totl dos ddos que é dfereç etre o mor e meor dos ddos Determr quto o úmero de clsses usr (k) É coselhável usr etre 5 e5 clsses Meos que cco clsses ode ocultr detlhes morttes dos ddos, e ms que quze tor resetção demsdo detlhd Um regr rátc cosste em tomr rz qudrd do úmero totl de ddos ( ) e justá-l, se ecessáro, os lmtes de 5 5 Determr mltude de cd clsse dvddo mltude totl or k Se ecessáro o vlor ecotrdo deve ser romdo r cm com o mesmo úmero ou ms css decms que os vlores ds vráves 5 Estbelecer os tervlos ds clsses começdo com um tero logo bo do meor vlor observdo e somdo mltude ds clsses Os tervlos de clsse devem ser escrtos, de cordo com Resolução 866/66 do IBGE em termos de dest qutdde té meos quel, emregdo, r sso, o símbolo (clusão or lmte feror e eclusão do lmte sueror) 6 Relcor os tervlos e fzer cotgem dos otos or clsse A cotgem totl deve ser gul 7 costrur um tbel de freqüêc ou um gráfco de frequêc

18 8 Rol, Amltude e Itervlos de um Tbel de dstrbução de frequêc º Obteh o rol dos ddos coletdos cm: Atvdde - Elborção de um tbel de dstrbução de frequêc Eemlo: Tomemos como ddos brutos s ots de um rov de Mtemátc r um clsse de 50 luos O rofessor que corrgu rov, tem um lst em ordem lfbétc, com s segutes ots º Clcule Amltude deste Rol,0 8,0,7 5, 6, 0,7,,7,8,,9,5, 0,9,5 7,5,8,9,8 0,0,6 5,7 6,,9 8,5 0,0 7, 0,0,6 5, 0,0,7, 7,8 8, 9,,,9,6 5, 5,5 6,5 6,, 5,8,6, 7,7 8,,5 Tbel de ots º Escolh do tervlo ou Clsse de estudo r costrução de um tbel de frequêc

19 9 º Costru um tbel de dstrbução de Frequêc Nots (Clsses ou tervlos) Aluos (Frequêc bsolut) (F) Frequêc reltv (Fr) Frequêc Reltv cumuld (Fr) Hstogrm e olígoos de frequêc Hstogrm: É reresetção gráfc de um dstrbução de frequêc or meo de retâgulos justostos Esse to de gráfco se dt melhor às vráves qutttvs cotíus Polígoo de frequêc: É um ltertv o hstogrm costruído medte coeão dos otos médos dos tervlos do hstogrm com lhs rets Atvdde : Costrução do Hstogrm e olígoo de frequêc 5º Costru um Hstogrm Frequêc Totl

20 0 6º Costru um olígoo de frequêc,9 um redmeto stsftóro, os luos d f,0 59 obtverm um redmeto stsftóro, os d f 6,0 7,9 muto bom e os d f de 8,0 0,0 chegm o redmeto Ecelete Obteh um gráfco de dsco (ou setores) elctdo orcetgem de luos em cd um destes redmetos 7º Cosderdo que os luos que estão f de 0,0,9 tverm um redmeto sufcete, e os luos f de,0

21 5 Descrção de ddos mostrs A Mod A mod é o vlor que ocorre com mor frequêc um cojuto A mod de um mostr será dcd or Mo Eemlo: Determe mod dos ddos: 0,0,,5,,7,,7,8,7,9,6 A mod é 7, orque é o vlor que ocorre o mor úmero de vezes Um cojuto de ddos ode ão ter mod orque ehum vlor se reete o mor úmero de vezes é o cso do cojuto:,5,8,0,, Dzemos que esse cojuto é modl Em outros csos, o cotráro, ode hver dos ou ms vlores de cocetrção Dzemos, etão, que o cojuto tem dos ou ms vlores mods No cojuto:,,,,,5,6,7,7,7,8,9 Temos dus mods: e 7 Esse cojuto se dz bmodl A mod fuco como medd descrtv qudo se trt de cotr ddos Ess medd ão se rest mulções mtemátcs De um oto de vst urmete descrtvo, mod dc o vlor tíco em termos de mor ocorrêc Além dsso, se s frequêcs são rzovelmete uformes, mod erde muto de su mortâc como medd descrtv Por outro ldo, utldde d mod se cetu qudo um ou dos vlores, ou um gruo de vlores, ocorre com muto ms frequêc que os outros N mor rte ds vezes, méd rtmétc e med forecem melhor descrção d tedêc cetrl dos ddos Qudo este um grde qutdde de ddos e, rclmete, os ddos estão dsostos em um tbel de frequêcs, de d mod é útl A mod de um dstrbução de frequêc dc qul orção d dstrbução tem mor frequêc de ocorrêcs Em gerl é bstte smles detfcr mod de ddos que estão grudos em um tbel de frequêcs Eemlo: Cosdere tbel de dstrbução de frequêcs reltvs o ercetul de vezes que 50 luos formulm questões durte um lestr A mod este cso é os mor rte dos luos (5%) formulrm erguts r o lestrte

22 6 Medds de Tedêc Cetrl (Posção) Méd Artmétc (smles ou oderd) Ddo um cojuto de ddos (vlores umércos),,,, -, ; defe-se méd rtmétc smles deste cojuto de ddos or: Eemlo: Clcule méd rtmétc ds ots de um luo de Educção Básc, referete os qutro bmestres do o:,5; 5,5; 7,0; 6,0 5,9,5 6,5 7 5,5,5 Agor, ddo um cojuto de ddos (vlores umércos),,,, ; suodo que eles sejm dsttos dos dos e que um lst reç vezes, reç vezes, reç vezes, e ssm or dte; este cso méd é chmd de méd rtmétc oderd, defd or: Eemlo: Clcule méd rtmétc ds ots de um luo de Educção Básc, referete os qutro bmestres do o:,5; 5,5; 7,0; 6,0 Sbedo que s ots ossuem esos referetes os bmestres, ou sej: º bmestre eso, ºbmestre eso, º bmestre eso e ºbmestre eso 6, , ,5,5 Qudo temos um tbel de dstrbução de frequêc, odemos clculr um romção d méd rtmétc usdo os otos médos ds clsses Sedo o oto médo e f frequêc d clsse, temos: f f f f f f f f f f f f

23 Med Ddo um cojuto de ddos (vlores umércos),,,, -, ; em rol (ordedos em ordem crescete), med M d é obtd or: Se é ímr (cojuto de ddos em úmero ímr), tomemos o termo cetrl d sequêc, ou sej: M d Eemlo: Obteh med d sequêc: 0,0,,,,,,,,,,,,,,5,6 Como sequêc ossu 7 termos (ímr), o termo cetrl é ddo or: M d 7 8 9, sedo ssm med é o oo termo d sequêc, ou sej, M d = Se é r (cojuto de ddos em úmero r), tomemos méd rtmétc smles dos termos cetrs d sequêc, ou sej: M d Eemlo: Obteh med d sequêc: 0,0,,,,,,,,,,,,,,5,6,7 Como sequêc ossu 8 termos (r), fremos méd rtmétc dos termos cetrs é ddo or: M d Cso tehmos um tbel de dstrbução de frequêc, odemos estmr med usdo segute relção: M L f m f c d L é o lmte feror d clsse med, que é clsse cotedo o termo cetrl ou termos cetrs d sére esttístc; é o úmero de termos d sére; f * recedem clsse med; é som ds frequêcs ds clsses que f m é frequêc d clsse med; c é mltude do tervlo d clsse med *

24 Comrção etre Méd Artmétc e Med A escolh d méd, ou d med, como medd de tedêc cetrl de um cojuto, deede de dversos ftores A méd é sesível (ou fluecd or) cd vlor do cojuto, clusve os etremos Por outro ldo, med é reltvmete sesível os vlores etremos A med descreve bem os grdes cojutos de ddos De qulquer form, em lgums crcustâcs, med descreve, melhor do que méd, tedêc cetrl dos ddos Eemlo: A med dos ddos 5,7,0,,65 é o úmero 0 Clculdo méd desses ddos temos que: Neste cojuto ão há dscreâc de vlores Um eemlo clássco em que med ode descrever melhor tedêc cetrl dos ddos do que méd é ddo elos sláros de um ctegor rofssol É o cso dos sláros dos jogdores de futebol o Brsl A estêc de lgus sláros muto ltos fet ms méd do que med Etão, med dá, melhor do que méd, de do sláro tíco dess ctegor de rofssos De modo gerl, méd ossu certs roreddes mtemátcs que torm trete Além dsso, ordeção dos ddos r determr med ode ser efdoh, e o cálculo d med ão ode ser feto com máqu de clculr, o cotráro do que ocorre com méd Neste cojuto há um ddo dscrete que é o 65 Esse vlor u méd r cm, ms ão fet med Por outro ldo, r o cojuto 5,7,0,,5, med d é o úmero 0, e su méd é dd or

25 5 Comrção etre Méd, Med e Mod Atvdde : Lst de Eercícos ) Durte um mhã, um ferte vedeu determdo roduto reços vrdos: uddes form vedds res; 0 uddes form vedds res e 8 uddes form vedds 6 res ) Coloque sequêc em rol b) Qul Mod dess sequêc? c) Qul med? d) Qul fo o reço médo de ved desse roduto quel mhã? e) Costru um m tbel de dstrbução de frequêc ) Form coletds 50 observções d vrável, reresetdo o úmero de vestbulres (um or o) que um mesmo estudte restou Os ddos estão tbel bo: ) Quts vezes, em méd, cd luo restou vestbulr? b) Qul med em relção qutdde de vezes que o luo restou o vestbulr?

26 6 ) Pode ser de teresse estudr o gsto dos luos ssocdo com s desess do vestbulr Pr smlfcr um ouco stução, vmos suor que se trbu, r cd luo, um deses f de R$ 00,00, reltvo à rerção e ms R$ 50,00 r cd vestbulr restdo De osse desss formções, vmos clculr méd d vrável D: Deses com vestbulr ) Imge que mrgem de lucro ved de um roduto é vrável, ms que, o logo de ses meses, form regstrdos os vlores resetdos tbel bo 5) Cosdere dstrbução reltv fmíls de qutro flhos, tomdo como vrável o úmero de flhos do seo msculo ) Determe med dest dstrbução b) Clcule méd rtmétc c) Qul mod dest dstrbução? 6) Cosdere dstrbução reltv 8 essos, tomdo r vrável o úmero de vezes que vão o cem or mês ) Clcule méd rtmétc d mrgem de lucro esse eríodo Mrgem de lucro, em termos de ercetul do vlor de comr, segudo clsse b) Clcule med d mrgem de lucro esse eríodo Mrgem de lucro, em termos de ercetul do vlor de comr, segudo clsse ) Determr med desse cojuto b) Clcule méd rtmétc c) Qul mod dest dstrbução?

27 7 7 Medds de Dsersão As medds de dsersão dcm se os vlores de um cojuto de ddos estão reltvmete rómos um dos outros ou serdos em toro de um medd de tedêc cetrl (osção) Desvo médo med O desvo médo ls méd dos desvos em toro d Defe-se o desvo médo como sedo méd rtmétc dos vlores bsolutos ds dfereçs etre cd vlor e med d sére: D m M d M d M d M d Eemlo: M Obteh o desvo médo d sequêc:0,0,,,,,,,,,,,,,,5,6,7 Como sequêc ossu 8 termos (r), fremos méd rtmétc dos termos cetrs r obter med: M d d D m 8 Agor temos que o desvo médo dest sequêc é: M d M d M d M d 8 M d D m D m,5 8 Vrâc A vrâc de um cojuto de ddos é méd dos qudrdos dos desvos dos vlores cotr d méd Eemlo: Clcule vrâc ds ots de um luo de Educção Básc, referete os qutro bmestres do o:,5; 5,5; 7,0; 6,0 Sbedo que s ots ossuem esos referetes os bmestres, ou sej: º bmestre eso, ºbmestre eso, º bmestre eso e ºbmestre eso

28 8 60, Agor fzedo vrâc, temos:,5 5,5 7 6,5 6,05 6 6,05, 0, 0,00 0,9,6 0,9 5,5 6,05 7 6,05 Nots: ) O desvo drão ão se lter qudo cd se dco um costte ) O desvo drão fc multlcdo or um costte se cd for multlcdo or est costte Eemlo: Clcule o desvo drão ds ots de um luo de Educção Básc, referete os qutro bmestres do o:,5; 5,5; 7,0; 6,0 Sbedo que s ots ossuem esos referetes os bmestres, ou sej: º bmestre eso, ºbmestre eso, º bmestre eso e ºbmestre eso Como já cohecemos méd rtmétc e vrâc d sére: 6, 05 e 0, 9, etão r o cálculo do desvo drão, temos: 0,9 0, 95 Desvo Pdrão É medd de dsersão ms utlzd em esttístc, o desvo drão é defdo como sedo rz qudrd d méd dos qudrdos dos desvos dos vlores cotr d méd, ou sej, rz qudrd d vrâc

29 9 Atvdde : Lst de Eercícos ) Em um determdo d fo regstrdo o úmero de veículos egocdos or um mostr de 0 vededores de um gec de utomóves como mostr tbel bo ) A tbel bo rereset os escores obtdos or um gruo de 58 luos mtrculdos em um determd dscl ) Clcule méd rtmétc b) Clcule med c) Clcule o desvo médo d) vrâc d sére de vlores e) o desvo drão d sére ) Clcule méd rtmétc b) Clcule med c) Clcule o desvo médo d) vrâc d sére de vlores e) o desvo drão d sére

30 0 TEORIA DA PROBABILIDADE Feômeos Determístcos Os feômeos determístcos são queles em que os resultdos são semre os mesmos, qulquer que sej o úmero de ocorrêcs verfcds Eemlo: Se tomrmos um determdo sóldo, sbemos que um cert temertur hverá ssgem r o estdo líqudo Este eemlo crcterz um feômeo determístco Feômeos Aletóros Os feômeos letóros são queles que os resultdos ão são revsíves, mesmo que hj um grde úmero de reetções do mesmo feômeo Eemlo: Se cosderrmos um omr com cetes de lrjers, s roduções de cd lt serão dferetes e ão revsíves, mesmo que s codções de temertur, ressão, umdde, solo, etc sejm s mesms r tods s árvores Esço mostrl e Eveto, Esço Amostrl Equrovável Esço Amostrl O Esço mostrl de um eermeto letóro é o cojuto de todos os resultdos ossíves deste eermeto chmdo de otos mostrs Os elemetos do esço mostrl odem ser Eemlos: No lçmeto de um moed ão vcd, temos que o esço mostrl é ddo or C, K, ode C(cr) e K(coro) No lçmeto de dus moeds ão vcds, temos o segute esço mostrl: C, C; C, K; K, C; K, K No lçmeto de um ddo ão vcdo, temos que o seu esço mostrl é ddo or,,,,5,6 Eveto (E) O eveto de um eermeto letóro é um subcojuto do esço mostrl Eemlos: ) No lçmeto de um moed ão vcd, o eveto de ocorrer fces gus é ddo or: E C, C; K, K C, C; C, K; K, C; K, K, etão, observe que como E No lçmeto de um ddo ão vcdo, temos os evetos cotecmetos de úmeros res E,,6 e cotecmeto de úmeros ímres E,,5 como,,,,5,6, etão E e E otr que E E, observe que, lém dsso odemos

31 Esços mostrs Equrováves Dzemos que um esço mostrl é equrovável qudo são trbuíds robblddes gus cd um dos seus evetos utáros Eemlo: No lçmeto de um moed ão vcd, é fácl erceber que temos dos resultdos gulmete rováves de cotecer: Cr (C) e Coro (K), sedo ssm o cojuto S C, K é um esço mostrl equrovável Atvdde 5: Lst de eercícos ) No lçmeto de um moed e um ddo (ão vcdos) ) Qul o esço mostrl? b) Qus os evetos: E - Ocorrer cr e úmero r E - Ocorrer coro e úmero rmo ) Num ur estem 5 bols vermelhs (v, v, v, v, v 5 ) e um bol brc (b) ) Desej-se retrr um bol dest ur Qul o esço mostrl r este eermeto? b) Se retrmos dus bols dest ur, qul o eveto o qul semre rece um bol brc? Aoms de Probblddes e Proreddes Probbldde de um Eveto Sej S um esço mostrl equrovável de um certo eermeto letóro e sej E um eveto escolhdo de S Defe-se E), como sedo robbldde de ocorrer o eveto E, ddo or: ( E) E) ( S) Em que (E) é o úmero de elemetos do Eveto Escolhdo (E) e (S) é o úmero de elemetos do Esço mostrl equrovável (S) Cosequêcs d Defção Aoms e roreddes 0 P ( E) E) 0 E E) E S Proosção : Eveto Comlemetr Sej (E) um eveto de um esço mostrl equrovável S Sedo E o eveto comlemetr este eveto (E) de form que roredde: P ( E) PE ( S) ( S) E E S Prov: De fto, temos que P ( S) (I), ms como: Temos segute E E ( S) ( E) E E) P E ( S) ( E) (II)Substtudo (II) em (I), temos: ( E) ( S) ( S) ( S) ( S)

32 Atvdde 6: Lst de eercícos ) Um ddo hoesto é lçdo e observ-se o úmero d fce voltd r cm Qul robbldde desse úmero ser mor que? ) No lçmeto de um úco ddo hoesto: ) Qul robbldde de ocorrer fce 6? b) Qul robbldde de ocorrer fce r? c) Qul robbldde de ocorrer fce mr? ) De um brlho de 5 crts, retrdo-se um úc crt o cso ) Qul robbldde de se obter um dm? b) Qul robbldde de se obter um res reto? c) Qul robbldde de se obter um crt de cos? d) Qul robbldde de se obter um fgur de ouros? (Cosdere o As como fgur, juto dm, vlete e res) ) Um ur tem oto bols dêtcs umerds de 8 Qul robbldde, o retrmos um bol d ur, de ão obtermos bol de úmero? ) Um ur cotém 0 bols detfcds els letrs A, B, C, D,, J Um bol é etríd o cso d ur e su letr é observd Qul robbldde d bol sorted ser: ) vogl b) cosote Atvdde 7: Lst de eercícos 5 (Lst Comlemetr) ) Determe robbldde de que um csl com três flhos teh etmete meos ) Em um teste com três questões do to V/F, um estudte ml rerdo deve resoder cd um letormete (or lte) ) Relcoe os dferetes resultdos ossíves: b) Qul é robbldde de resoder corretmete tods s três questões? c) Qul é robbldde de ltr corretmete tods s três questões? d) Qul é robbldde de ssr o teste ltdo corretmete o meos dus questões?

33 ) Escolhe-se letormete dos objetos de um lote cotedo, dos qus são defetuosos Sejm os evetos: A = {mbos os objetos são defetuosos} B = { mbos os objetos ão são defetuosos} ) Clcule robbldde de ocorrer o eveto A b) Clcule robbldde de ocorrer o eveto B ) De um ur cotedo 5 bols umerds de 5 Retr-se bols o cso, qul robbldde de sírem s bols, e, ess ordem? 5) D mesm ur do eercíco teror, se retrmos bols, um ós outr, sem reosção, qul robbldde de sírem s bols, e, ess ordem? 6) Ad d mesm ur dos dos eercícos cm, se retrrmos bols, um ós outr, com reosção, qul robbldde de sírem s bols, e, ess ordem? 7) De um brlho de 5 crts, retrdo-se dus crts o cso, clcule: ) Qul robbldde de se obter dos vletes? b) Qul robbldde de se obter dus fgurs? (Cosderdo como fgur, As, vlete, Dm e Re) c) Qul robbldde de se obter crts de Pus? 8) Dus bols vão ser retrds o cso de um ur que cotém bols brcs, rets e verdes Qul robbldde de que mbs: ) sejm verdes? b) sejm d mesm cor? Uão de evetos Proosção : Sejm um esço mostrl equrovável S e os evetos A e B qusquer de S Temos etão: A B) P Prov: De fto, os B ( A ) A PB PA B ( A B) A B) (I), ms: ( S) ( A B) ( A) B (II)Substtudo (II) em (I), temos: ( A) ( B) ( A B) ( A) ( B) ( A B) A B) ( S) ( S) ( S) ( S) A) B) A B) Evetos Mutumete Eclusvos Dos eveto são mutumete eclusvos qudo ão odem ocorrer smultemete Assm, se A e B são evetos mutumete eclusvos, odemos escrever que A B Sedo ssm, ( A B PA PB PA B A B) PA PB P )

34 Atvdde 8: Lst de eercícos 6 ) Um gruo de 00 uverstáros é formdo or 5 estudtes de egehr, 7 de medc, 0 de flosof e os dems de sstems de formção Escolhdo o cso um elemeto do gruo, qul robbldde de ele ser estudte de Egehr ou Sstems de formção? ) Lç-se um dd hoesto, e verfc-se ocorrêc de lgus evetos ) Qul robbldde de ocorrer o eveto úmero r ou úmero rmo? b) Qul robbldde de ocorrer o eveto úmero ímr ou úmero rmo? c) Qul robbldde de ocorrer o eveto úmero r ou úmero erfeto? d) Qul robbldde de ocorrer o veto úmero ímr ou úmero erfeto? Probbldde Codcol e Evetos Ideedetes Proosção : Prtção de um esço mostrl Suohmos gor que tomemos subcojutos de um esço mostrl equrovável (S) mutumete eclusvos dos dos, ts que: A A A A A Dzemos que os cojutos A, A, A, A,, A, esss codções, costtuem um rtção do esço mostrl equrovável (S), etão temos que: P ( A ) A ) A ) A ) A ) ( S) Prov: De fto, os P ( S) (I) ( S) Como A, A, A, A,, A são dsjuto dos dos, etão: A ( A ) ( S) ( A ) (II) ( A ) ( A Substtudo (II) em (I), temos: ) ( A ( S) ) A ) A S ) A )

35 5 Proosção : Probbldde Codcol Num ddo esço mostrl equrovável S, cosdere os evetos A e B A robbldde de ocorrer o eveto B, já tedo ocorrdo o eveto A (ou sej, robbldde de B ddo A), é defd or: ( A B) A/ B) ( A) E, ortto: A B) B / A) (I) A) Proosção 5: Evetos Ideedetes Dzemos que o eveto A é deedete de um eveto B qudo B / A) A) Itutvmete oderímos dzer que ocorrêc do eveto A ão é fluecd elo eveto B Assm, se dos evetos A e B são deedetes, temos: A B) A) B) Prov: De fto, os A B) A) B / A), e como B / A) A), temos que A B) A) B) Cosequetemete: A B) A/ B) (II) B) Ds eressões I e II trmos um eressão muto mortte: A B) A) B / A) B) A/ B) Est eressão é cohecd como Iterseção de evetos Atvdde 9: Lst de eercícos 7 ) Lçm-se moeds ão vcds Ecotre robbldde de ocorrer cr em tods els, se: ) ocorrer cr rmer b) Ocorrer cr um ds moeds ) A robbldde de um trdor A certr um lvo é de / e de um trdor B é / Clcule: ) A B) b) A B)

36 6 ) Um ur cotém 7 bols vermelhs e bols brcs Três bols são retrds, um ós outr, sem reosção Ecotre robbldde P de s dus rmers serem vermelhs e tercer ser brc ) Um ur cotém 7 bols vermelhs e bols brcs Três bols são retrds, um ós outr, com reosção Ecotre robbldde P de s dus rmers serem vermelhs e tercer ser brc 5) Um homem recebe 5 crts, um ós outr, de um brlho comum de 5 crts Qul é robbldde de tods serem de esds? 6) lç-se um r de ddos ão vcdos Ache robbldde P de som ser gul ou mor que 0, se: ) ocorrer 5 o rmero ddo b) ocorrer 5, em elo meos um dos ddos 5 Esços mostrs ão - equrováves e eermetos reetdos Esços mostrs ão equrováves Dzemos que um esço mostrl (S ) é ão- equrovável qudo cd um de seus evetos utáros tem robblddes dferetes Eemlo: Três cvlos C,C e C dsutm um áreo o qul só se remr o vecedor Um cohecedor dos três cvlos frm que robbldde de C vecer é o dobro de C e que C tem o trlo d robbldde de C vecer Se é robbldde de C vecer, temos: Resolução: C ) = C ) e C ) = C ) Portto, C ) = 6, C ) = e C ) = Ou sej, evetos utáros tem robblddes dferetes de ocorrer, sedo, etão, o esço mostrl S = {C, C, C }, ão equrovável Proosção 6: Eermeto reetdos tehmos Cosderemos um eermeto que se reete vezes e que em qulquer um deles A) e P A) ( Nesss codções, robbldde de o eveto A ocorrer em k ds vezes que se reete o eermeto é: P k k k k ( ) Que é deomdo le boml de robbldde orque é eress elo termo de ordem K +(T k+) do desevolvmeto de [ + (-)]

37 7 Em que combções de k escolhs em!, úmero boml ou úmero de k ( k)! k! Eemlo: Lç-se um moed 0 vezes Qul robbldde de se obter crs e 7 coros? Resolução: Sej A o eveto obter cr Temos que P ( A), = 0 e k = ; etão: 0 0 k k P k ( ) 0 P P k 8 P P 8 7 ) um úmero r ou rmo ocorr ) um úmero ímr rmo ocorr ) A ocorr, ms B ão ) Um ddo de ses fces fo costruído de modo que, sedo ) robbldde de cr fce, temos: ) = ) 6) = ) ) = ) = 5) = ) Se lçrmos o ddo dus vezes, qul robbldde de obtermos um r de 6? Atvdde 0: Lst de eercícos 8 ) Sej um ddo vcdo de modo que robbldde de recer um úmero sej roorcol o úmero ddo (or eemlo, o úmero 6 é dus vezes ms rovável de recer que o ) Sejm A = {úmero r}, B = {úmero rmo} e C = {úmero ímr}; ) Descrev o esço de robbldde, sto é, ecotre robbldde de cd oto mostrl b) Ecotre robbldde de que: ) Jog-se um ddo qutro vezes Qul robbldde de se obter 5 otos dus vezes? ) Um tme A tem / de robbldde de vtór semre que jog Se A jog rtds, ecotrr robbldde de vecer: ) etmete dus rtds b) ms que metde ds rds

38 8 6 Teorem de Byes Proosção 7: Teorem d robbldde totl Sejm A, A, A,, A evetos que formm um rtção do esço mostrl Sej B um eveto desse esço Etão: P ( B) A ) P B / A Prov: Os evetos A ) ( B e B A ), r j ( j =,,,, e j =,,,, são mutumete eclusvos, os: ( B A ) ( B Aj ) = B( A Aj ) B O eveto B ocorre como se segue: B ( B A ) ( B A ) ( B A ) ( B A ) B) B A ) B A ) B A ) B A ) E usdo o teorem do roduto, vem: B) A ) B/ A ) A ) B/ A ) A )( B/ A ) Ou como se segue:, Proosção 8: Teorem de Byes Sejm A, A, A,,A evetos que formm um rtção do esço mostrl Sej B, e sejm cohecds A ) e B/A ), r =,,,,, etão teremos: Aj ) B / Aj ) Aj / B), j,,,, A ) B / A ) Prov: Sedo: A j Aj B) / B) B) Usdo-se o teorem do roduto e o teorem d robbldde totl, chegdo o teorem cm O Teorem de Byes tmbém é cohecdo como teorem d robbldde osteror, ele relco um ds rcels d robbldde totl com rór robbldde totl P ( B) A ) P B / A

39 9 Atvdde : Lst de eercícos 9 ) A ur A cotém fchs vermelhs e zus, e ur B cotém vermelhs e 8 zus Jog-se um moed hoest Se moed der cr, etr-se um fch d ur A; se der coro, etrse um fch d ur B Um fch vermelh é etríd Qul robbldde de ter sído cr o lçmeto? ) Um ur cotém 5 bols brcs, vermelhs e zus Etrem-se smultemete bols Achr robbldde de que: ) ehum sej vermelh; b) etmete um sej vermelh; c) tods sejm d mesm cor ) As robbldde de jogdores, A, B e C, mrcrem um gol 7 qudo cobrm um êlt são, e, resectvmete Se 5 0 cd um cobrr um úc vez, qul robbldde de que elo meos um mrque um gol? DISTRIBUIÇÔES ESPECIAIS Vráves letórs e fução de dstrbução de robblddes Vráves letórs Defção Um vrável letór é um fução que ssoc um úmero rel cd elemeto do esço mostrl Eemlo: Dus bols são retrds, sucessvmete de um ur que cotém qutro bol vermelhs e três bols rets, sem serem reosts Os resultdos ossíves e os vlores y d vrável letór Y, ode Y é o úmero de bols vermelhs são: ESPAÇO AMOSTRAL Y VV VP PV PP 0 Ode (V) dc bol de cor vermelh e(p) bol de cor ret Esço mostrl dscreto: Se o esço mostrl cotém um úmero fto de ossblddes ou um sequêc ft com ttos elemetos quto são os úmeros teros, ele é chmdo de esço mostrl dscreto

40 0 Um vrável letór é chmd de vrável letór dscret se seu cojuto de resultdos ossíves for eumerável Esço mostrl cotíuo: Se um esço mostrl cotém um úmero fto de ossblddes gul o úmero de otos em um segmeto de lh, ele é chmdo de esço mostrl cotíuo Se um vrável letór tver um cojuto de vlores ossíves um tervlo cotíuo de úmeros, etão el ão será dscret Qudo um vrável ode ssumr vlores em um escl cotíu, el é chmd de vrável letór cotíu Um vrável letór r ser dscret deve ssumr vlores em um cojuto fto, orém eumerável :,,,, Dstrbução de Probblddes Fução de Probbldde A Fução de robbldde é um fução que ssoc cd vlor ssumdo el vrável letór robbldde do eveto corresodete, sto é: ) PA,,,,, Ao cojuto {(, ( ),,,,, }, dmos o ome de dstrbução de robblddes d vrável letór É mortte verfcr que, r que hj um dstrbução de robblddes de um vrável letór, é ecessáro que: ( ) Eemlo: Lçm-se três moeds Sej o úmero de ocorrêcs de fce cr Determe dstrbução de robbldde de Resolução: O esço mostrl do eermeto é: C, C, C, C, C, K, C, K, C, C, K, K, K, C, CK, C, K, K, K, C, K, K, K Se é o úmero de crs, ssume os vlores 0,,,Podemos ssocr este úmero de evetos que corresodem à ocorrêc de ehum, um, dus ou três crs resectvmete, como se segue tbel bo: EVENTOS CORRESPONDENTES 0 A = {(K,K,K)} A = {(C,K,K),(K,C,K),(K,K,C)} A = {(C,C,K),(C,K,C),(K,C,C)} A = {(C,C,C)} Podemos tmbém ssocr, às robblddes de ssumr um dos vlores, s robblddes dos evetos corresodetes:

41 P ( 0) A ), 8 P ( ) A ), 8 Esquemtcmete: P ( ) A ) P ( ) A ) ) 0 /8 /8 /8 /8 TOTAL Grfcmete, temos: Reresetção or dgrm: 8 8 Atvdde : Lst de eercícos 0 ) Lçm se dos ddos Sej som ds fces ) determe dstrbução de robblddes de b) Eresse grfcmete est dstrbução de robblddes ) Um ur tem bols brcs e bols rets Retrm-se bols sem reosção Sej : o úmero de bols brcs, determr dstrbução de robblddes de ) Refzer o eercíco teror, cosderdo etrção com reosção

42 Eserç Mtemátc Estem crcterístcs umércs que são muto morttes em um dstrbução de robblddes de um vrável letór dscret São os râmetros ds dstrbuções Um rmero râmetro é eserç mtemátc (ou smlesmete méd) de um vrável letór Defção: Sej um vrável letór dscret com dstrbução de robblddes ) A méd ou vlor eserdo de é: E( ) ) ou E( ) ) ) ( Eemlo: Um emres segurdor g R$ 0000,00 em cso de cdete de crro e cobr um t de R$ 000, 00 Sbese que robbldde de que um crro sofr cdete é de % Quto eser segurdor ghr or crro segurdo? ) Resolução: lcdo defção, temos: ) ) 000,00 0,97 970, ,00 0,0-870,00 R$ 00,00 00,00 E( ) R$00,00 Portto, segurdor eser ghr or crro segurdo Cso vrável letór sej cotíu, defe-se: E ( ) f ( ) Eemlo: Sej vrável letór que deot vd, em hors, de certo equmeto eletrôco A fução de desdde d robbldde é : equmeto f d 0000, 00 ) 0, 00 ( Determe o vlor eserdo de vd desse to de

43 E( ) Resolução: d d E ( ) 0 ( 00) 00 E ( ) 00 d Portto, odemos eserr que tl to de equmeto dure, em méd, 00 hors Proreddes d Eserç Mtemátc P E(k) = k, ode k é um costte; P E (K) = KE(); P E( Y) = E() E(Y); P E = { E ( )}; P 5 E( b) = E() b; P 6 E( - ) = 0 Atvdde : Lst de eercícos ) Suohmos que um úmero sej sortedo de 0, teros ostvos Sej o úmero de dvsores do úmero sortedo Clculr o úmero médo dvsores (Eserç Mtemátc) do úmero sortedo ) Num jogo de ddos, A g R$ 0,00 B e lç ddos Se sr fce em um dos ddos es, A gh R$ 0,00 Se sr em dos ddos es, A gh R$ 50,00 e se sr os três ddos, A gh R$ 80,00 Clculr o lucro líqudo médo de A em um jogd ) Sej vrável letór com fução de desdde:,, f ( ) 0, cso cotráro Determe o vlor eserdo de g() = +

44 Vrâc e desvo Pdrão Vrâc O fto de cohecermos méd de um dstrbução de robblddes (Eserç Mtemátc) já os jud muto, orém ão temos um medd que os de o gru de dsersão de robbldde em toro dest méd Como o desvo médo, E é ulo, logo ão serve como medd de dsersão A medd que forecerá o gru de dsersão (ou de cocetrção) de robbldde em toro d méd é Vrâc Sej um vrável letór com dstrbução de robblddes () e méd (Eserç Mtemátc) A Vrâc de, cso sej um vrável letór dscret é: VAR( ) VAR( ) ( ) ou ) ( ) ( ) Eemlo: Pr efeturmos o estudo d vrâc de um vrável letór dscret, cosderemos dstrbução de vráves letórs com su resectv méd (Eserç Mtemátc) form: ) ) 0 /8 0 6/8 6/8 /8 /8 Resolução: Clculremos Vrâc VAR() d segute ) ) (- ) (- ) (- ) ) 0 /8 0 - /8 6/8 6/ /8 /8 /8 VAR()=0,5 Podemos deduzr um eressão ms smlfcd r vrâc que tlvez sej ms oortu que teror em mutos csos E ( VAR( ) E( ) ) Já Vrâc de, cso sej um vrável letór cotu é defd or: ( VAR ( ) ) f ( ) d

45 5 Eemlo: A demd seml d Pes, em mlhres de ltros, de um rede de lojs de coveêc locl é vrável letór cotíu, que tem como desdde de robbldde: ( ),, f ( ) 0, cso cotráro Determe méd e Vrâc de Resolução: A méd (Eserç Mtemátc) é obtd or: E( ) ( ) d ( ) d d d E( ) A vrâc ode ser obtd or: E( ) ( ) d ( ) d d d E( ) VAR ( ) E( Desvo drão ) 8 E( ) O desvo drão d vrável é defdo de mer semelhte estudd em Esttístc Descrtv, ou sej é rz qudrd d vrâc VAR( ) Proreddes d vrâc: P VAR(K) = 0, ode k é um costte; P VAR (k) = k VAR(); P VAR( Y) = VAR () + VAR(Y) COV(,Y); P VAR = VAR ) P 5 VAR ( b) = VAR() ( COV(, ) ; j Ode COV(,Y) é Covrâc etre e Y A Covrâc mede o gru de deedêc etre dus vráves e Y Pr vráves letórs dscrets: COV (, Y) E E( ) Y E( Y) Pr vráves letórs cotíus: ( )( y y ) f (, y) d j dy

46 6 Atvdde : Lst de eercícos ) Cosderemos dstrbução de vráves letórs Y com su resectv méd (Eserç Mtemátc) Y Y) YY) - /5 -/5 - /5 -/5 0 /5 0 /5 /5 5 /5 5/5 Clculremos Vrâc VAR() est dstrbução de vráves letórs dscrets ) Os emregdos A, B, C e D ghm,, e sláros mímos, resectvmete Retrm-se mostrs com reosção de dos dvíduos e mede-se o sláro médo d mostr retrd ) Qul méd (Eserç mtemátc) do sláro médo mostrl? b) Qul Vrâc do sláro médo mostrl? c) Qul o desvo drão deste sláro médo mostrl? Y ) Sej vrável letór com fução de desdde:,, f ( ) 0, cso cotráro ) Determe o vlor eserdo de g() = + b) Determe vrâc d vrável letór g() = + c) Clcule o desvo drão d vrável letór g() = + Dstrbuções teórcs de robblddes de vráves letórs dscrets Dstrbução de Beroull Cosderemos clmete um úc tettv de um eermeto letóro, ode odemos obter sucesso ou frcsso ess tettv Sej () robbldde de sucesso e (q) robbldde de frcsso, com + q =

47 7 Sej d úmero de sucessos em um úc tettv do de um eermeto letóro ssome o vlor 0 que corresode o frcsso, com robbldde q, ou vlor, que corresode o sucesso, com robbldde 0 frcsso; com P 0) q sucesso ( e ) Nesss codções, vrável letór dscret tem dstrbução de Beroull, e su fução de robbldde é dd or: ) q Eserç mtemátc e Vrâc Clculremos méd e vrâc d vrável com dstrbução de Beroull el tbel bo: ) E()=) ) 0 q 0 0 P Totl: Atrvés d tbel cm, odemos coclur que Eserç Mtemátc é: E( ) E Vrâc é dd or: VAR( ) ( ), s como: ) q etão: VAR ( ) q (, Eemlo: Um ur tem 0 bols brcs e 0 verdes Retr-se um bol dest ur Sej o úmero de bols verdes ) Determe ) b) Clcule eserç mtemátc c) Clcule vrâc Resolução: ) ) 0 frcsso; sucesso q b) E ( ) E( ) 0, 5 0 o q ) c) VAR ( ) q VAR( ) 0, 5 5

48 8 Dstrbução Boml Vmos cosderr gor tettvs deedetes e um mesmo eermeto letóro Cd tettv r dmtr ovmete es dos resultdos: frcsso com robbldde q e sucesso com robbldde, ode + q = As robblddes de sucesso e frcsso são s mesms r cd tettv Sej o úmero de sucesso em tettvs Iremos determr fução de robblddes d vrável, sto é = k) Alcdo le boml, temos: k) k k k q Ode eserç mtemátc e vrâc, odem ser obtds or: E ( ) e VAR ( ) q k) k k q k 0,0 0 8) ) Achr méd e vrâc d vrável letór Y = +, sedo :B(0, 0,) Resolução: Como :B(, ) e :B(0, 0,) => = 0 e = 0 I E( ) E( ) 00, 6 E( Y) E( ) ( E ) E ( Y) 6 0 II VAR( ) q VAR( ) 00,( 0,) 00,0,7, VAR( Y) VAR( ) VAR( ) 9 VAR( ) 9 7,8 Eemlos: ) um moed é lçd 0 vezes Qul robbldde de sírem 8 crs? Resolução: : úmero de sucessos (crs) Dstrbução de Posso Em mutos csos do uso d dstrbução boml, cotece do vlor de ser muto grde ( ) e é muto equeo ( 0) Nesses csos, ão ecotrmos o vlor em tbels, ou etão o cálculo mul se tor muto dfícl, sedo ecessáro o

49 9 uso de máqus de clculr muto sofstcds ou té mesmo recorrer o uso do comutdor Podemos etão, fzer um romção d dstrbução boml el dstrbução de Posso Cosderemos, que: ( 0) mor 0 ( 0) 0 E( ) 0 o vlor tbeldo Qudo este fto cm ocorre, etão méd (Eserç Mtemátc) será: Nesss codções, se : B( ),queremos clculr: k) k k k q A dstrbução de Posso, é um romção d dstrbução Boml, forecd el eressão: e k) k k! Demostrção: P Sej k! ( k)! k! k k k k k ( k) q q ( )( ) ( k ) Fzedo: e q Qudo ( ) k!, d: k k) lm [ ( )( ) ( ) k k! k k k) lm [ k! obtds or: k k k) e k! e k) k k! ] k Ode eserç mtemátc e vrâc odem ser E ( ) e VAR ( ) q k ] k ] Eemlo: Sej : (00; 00) Clculr = 0) ) usdo o método boml b) el romção de Posso

50 50 Resolução: ) P ( 0) (0,0) ( 0,0) (0,0) (0,09) 0, b) Sedo 000,0, etão: e k) k k! e 0) 0! 0 0,00008 Portto romção é muto bo, os o erro é de es 0, Atvdde 5: Lst de eercícos ) Um ur cotém 0 bols mrels e 0 bols zus Ao retrrmos um úc bol dest ur Sej o úmero de bols zus: ) Determe ) b) Clcule E() e VAR() ) A robbldde de um lâmd se quemr o ser lgd é de /00 Num stlção com 00 lâmds, qul robbldde de lâmds se quemrem o serem lgds? ) resolv el dstrbução boml b) resolv el dstrbução de Posso 5 Dstrbuções teórcs de robblddes de vráves letórs cotus Fução desdde de robbldde Cosderemos reresetção gráfc segur, qul se tomrmos os otos médos ds bses suerores dos retâgulos e os lgrmos or um curv, teremos, se cosderrmos um vrável letór cotíu, um fução cotíu f() ) Um rov to teste de 50 questões deedetes Cd questão tem 5 ltertvs Aes um ds ltertvs é corret Se o luo resolve rov resodedo esmo s questões, qul robbldde de trr ot 5? (Use dstrbução boml) Podemos, etão, defr um vrável letór cotíu: um vrável letór é cotíu em IR se estr um fução f(), tl que: f ( ) 0