4- Método de Diferenças Finitas Aplicado às Equações Diferenciais Parciais.

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1 MÉTODOS NM ÉRICOS PARA E QAÇÕES DIFEREN CIAIS PARCIAIS 4- Método de Dfereçs Fts Aplcdo às Eqções Dferecs Prcs. 4.- Apromção de Fções Apromção por Polômos Ajste de Ddos: M ímos Qdrdos. 4.- Dervds e Itegrs Nmércs Apromção de Dervds por Df ereçs Fts Apromção de Itegrs por Regrs de Itegrção Nmérc. 4.- Solção de Eqções Dferecs Ordárs Prolem de Vl or Icl Prolem de Vl or de Cotoro Solção de Eqções Dferecs Prcs.

2 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Prolem Eqção do Clor: Cosdere m rr fet de m mterl codtor de clor sjet lgm f ote eter de clor e codções de cotoro os etremos d rr. Spoh qe s propreddes do mterl, dstr ção de tempertr cl e fote eter depedem pes de ão ds dre ções seção trsversl e em do tempo. e O feômeo de cod ção do clor est rr pode ser modeldo pel segte eq ção: d d k { g ], [ EDO d d Fote Eter Dfsão k g ode é o coefcete de cod ção do clor e é fote eter de clor Eqção d Dfsão Estcoár dmesol.

3 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Se o mterl é homogêeo, etão k ão depede de e EDO se trsform em: d k { g ], [ EDO 44 d Fote Eter Dfsão Codções de Cotoro : Destcmos três tpos de cod ções de cotoro Tpo - A tempertr é cohecd os etremos do tervlor, Codção de Drchlet { Tpo - O flo de clor é cohecdo em lgm etremo do tervlo d d d q o q Codção de Nem d Tpo - Se cohece em lgm etremo do tervlo m comção ds ds cod ções terores d d k α r o k α r { Codção de Ro d d {

4 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Eemplo : Resolv o segte PVC d k { g ], [ EDO 44 d Fote Eter Dfsão, Codção de Drchlet { Este prolem é tão smples qe pode ser resolvdo de form et: d d k d g d o k g d C { Prmer Itegrção d d 44 G Prmtv d k d G d C d o k G d C C { Segd Itegrção d 44 { { G Prmtv k G C C Prmer Codção de Cotoro k G C C Segd Codção de Cotoro k[ ] [ G G ] k[ ] [ G G ] C e C k G

5 Se prommos dervd segd pel forml de dfereç cetrd: Etão prom ção pelo MDF pr o PVC teror cosste em ecotrr qe stsf z ode mlh sd pr dscretzr o prolem é: Est eqção pode ser reescrt f orm: 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. D d d { Cotoro Codçõesde, EDO g k < <,,,,, L

6 Note qe sto é m sstem ler de - eqções com - cógts qe pode ser resolvdo pelos m étodos já estddos Prolem de Vlor de Cotoro PVC. { ode C.C.,, EDO ] [ g g g k < < { C. C., ] [ ] [ ] [ ] [ 4 g k g k g k g k LLLLLLLLLLLLL k g g g k g F, M M ode A F, A O O O k

7 O erro em cd poto: d e k d e, Já qe L, etão o erro glol pode ser d otdo tegrdo ds vezes EDO teror: e O sej, E 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. E L ], [ Aplcdo e 4 d E k 4 d k d e C o MDF Logo pr este prolem o erro glol tmém é de ordem o gl qe o erro locl. Isto grte Estldde e Cosstêc do método e coseqüetemete Covergêc. A d d d d d d T [ L ] [ L ] e,, e C,, C G T E G E L

8 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. m cso do Eemplo : Resolv o segte PVC d { ], [ EDO 44 d Fote Eter Dfsão k {, Codção de Drchlet Este prolem é tão smples qe pode ser resolvdo de form et: C C ode C e C o Costrímos mlh form,,,, L, d e k E L ], [ d e, e ke C C 4 d { e E L k e, e d 4 4 d como E L 4 d smos 5 e

9 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC E t D F C E t D F C e [,] Erro glol zero pr todos os potos. O sej, solção do método mérco correspode o terpolte. Neste cso, sto é possível por dos motvos: - porqe o método é estável e cosstete, logo covergete - porqe solção et é m polômo ler e oss promção é de segd ordem de prec são. Se solção et fosse m polômo de gr mor qe o erro s er peqeo, ms ão zero. e C [,]

10 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Prolem Eqção do Clor: Cosdere o mesmo prolem teror. O sej, o feômeo de cod ção do clor m rr mesol : d d k { g ], [ EDO d d Fote Eter Dfsão Ms gor com codções de cotoro de Drchlet tpo e de Nem tpo : - A tempertr é cohecd m etremo do tervlo { Codção de Drchlet - O flo de clor é cohecdo em lgm etremo do tervlo d d q { Codção de Nem Impodo codção de Nem os dos etremos do tervlo o prolem é ml posto: fts sol ções o ehm!

11 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. k g d { ], [ EDO 44 d Fote Eter Eemplo.: Spoh, logo Dfsão k d d, Este prolem é tão smples qe pode ser resolvdo de form et: C C ode C e C o,,,, L, d e E L ], [ d e de, e e C C d 4 de { e d, e E L 4 d d 4 d como E L Novmete o erro glol é zero! Iterpolte 4 d Costrímos mlh form

12 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Pr resolver mercmete este prolem precsmos determr o etremo esqerdo do tervlo porqe codção este poto é de Nem. Etre s várs forms de fzer sto destcmos ds: Prmer Form: Aprommos dervd este poto por m forml dtd d D d Otemos o segte s stem qe dfere do cso de codção de cotoro de Drchlet pes prmer lh. [ ] g < < EDO [ ], { C. C.

13 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. N form mtrcl A F, ode A O O O A solção deste sstem é de prmer ordem de precsão porqe o erro locl o estremo esqerdo é EL A F A F EL EL [ ] pr epddo em sere de Tylor etoro do poto pr e ssttdo eq ção teror otemos E L Depos de ssttr codção de cotoro g g, F M M k g de prmer ordem este poto se propg pr os otros potos d d d O O d d d d. Este erro d

14 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Segd Form: Aprommos dervd o cotoro por m forml de d fereç dtd de segd ordem : d 4 d Otemos o segte s stem qe dfere do cso teror pes prmer lh. [ ] g < < EDO g [ 4 ], { C. C. g, F M M k g A F, ode A O O O

15 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. A solção deste sstem é de segd ordem de precsão porqe o erro locl o estremo esqerdo é EL A F A F EL EL [ ] pr 4 epddo em sere de Tylor etoro do poto pr e e ssttdo eq ção teror otemos E L Depos de ssttr codção de cotoro este poto é d mesm ordem qe pr o restte dos potos d mlh. Logo, devemos esperr qe o erro glol sej de segd ordem. Dferetemete d prmer prom ção d CC ode o erro glol fo de prmer ordem, já qe o erro locl o prmero poto er de prmer ordem e est ordem se propgo pr os otros potos d mlh. d d d O O d d d d. O erro d

16 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Prolem Eqção dmesol d Dfsão-Adveção Ler e Estcor : Cosdere o feômeo d dstr ção de tempertr m to dmesol por ode esco m f ldo com velocdde r ω e com coef cete de dfsão do clor k. A eqção qe descreve mtemtcmete este f eômeo é: d d k ω d { g ], [ EDO d d d Fote Eter Dfsão Adveção, Codção. de Drchlet ode g é fote eter de clor e cod ções de cotoro os etremos de Drchlet. Spoh pr smplf cr qe os coef cetes d eq ção são costtes ão depedem d pos ção.

17 Etão o PVC se trsform em: Este prolem pode ser dscretzdo sdo prom ção já estdd de dfereçs fts cetrds de segd ordem: Qdo est prom ção é ESTÁVEL e CONSISTENTE. O sej, qdo dfsão é domte perte dvecção covecção solção mérc otd trv és do MDF 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. g d d d d k, [, ] ω D d d,,,,, L D d d << k ω r

18 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. CONVERGE pr solção et do PVC. Note qe se, etão este prolem se trsform o prolem prmete dfsvo qe poss segd ordem de prec são pr est promção: d k d g ], [, r ω Note tmém qe se efetos dvectvos desprezíves solção do PVC deve ser mto pr óm d solção do prolem prmete dfsvo. Etretto, qdo >> k est prom ção é INESTÁVEL. O sej, qdo dvecção é domte perte dfsão solção mérc otd trvés deste MDF preset osclções espúrs ão correspodem à solção et. Em termos físcos é dmíd possldde do clor se d fdr em dreções dferetes d dre ção de escometo do f ldo r ω. Lemre qe o clor se dfde dre ção do grdete. ω r ω r

19 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Este prolem pode ser escrto m f orm ms proprd. O sej, em termos de m prâmetro dmesol qe dqe rzão etre velocdde de dvecção e velocdde de trsporte devdo d fsão. O Número de Péclet h r ω P e k h r ω h é sdo pr def r este prâmetro P, ode tem e dmesão espcl. Etão o PVC pode ser escrto como: d d d d g ], [ k ω g ], [ d d d d g,, ode g ω r Note qe se ω >> k P e >> << dvecção domte e pr r dfsão domte temos ω << << >>. r k P e Qdo ω << k P e << >> dfsão domte solção mérc deste prolem é próm d solção do prolem prmete dfsvo. Ams EDO são de segd ordem e k

20 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. reqerem d mesm qtdde de cod ções de cotoro ds pr possr m úc solção. Neste cso se dz qe pertrção trodzd pel dvecção é m pertrção reglr. r Qdo ω >> k P e >> << dvecção domte se dz qe pertrção trodzd pel dvecção é m pertrção sglr ão reglr. Neste cso devemos esperr d fclddes pr o método mérco qdo. Note qe o lmte EDO se trsform em m EDO de prmer ordem: d d d d g d d ], [ g ], [ qe precs pes de m cod ção de cotoro flow odry pr possr m úc solção prolem prmete dvectvo. O sej, qdo f lec de m ds codções de cotoro o PVC se tor desprez ível. Isto dc qe solção et deve ter m comportmeto precdo com

21 solção do prolem prmete dvectvo e qe perto deste cotoro otflow odry solção et pode presetr dervd grde. Em otr plvrs, est regão perto do cotoro ode o f ldo está sdo otflow odry solção et pode teder ter slto dscotddes o dervd grde. As regões ode dervd d sol ção é mto grde são chmds de regões com cmds lmtes eter odry lyer. Pode ser mostrdo qe pr este tpo de prolem espessr dest cmd lmte eter é d ordem de qdo. Por eemplo, sol ção do PVC 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. O ] [ ] [ ] [, ] [ ] [,, e C e C e C C d d d d

22 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Cosdere pr este eemplo C C C [ [ e e ], ] C [ [ e,,, C Ce ] C, ] [ e ] C [ e. Logo ] o e e e e / / e / / / Espessr d cmd lmte eter é d O ordem de qdo.

23 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Este prolem pode ser dscretzdo sdo prom ção já estdd de dfereçs fts cetrds : / d d C Ce ], [ d d [ ] [ ] C, C / /, e e,,,, L, E prommos s der vds por d D d d d D Otemos o segte sstem ler lg érco de eq ções

24 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Advectvo Dfsvo A A A e ode, A M M A Advectvo O O O A Dfsvo O O O [ ] [ ] { C. C., ADVECÇÃO DIFSÃO < < Note qe mtrz Advectv ão é smétrc!

25 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Se resolvemos este PVC com dfereçs fts cetrds de segd ordem de precsão otemos: E t.5,, DFC.5.5.,, Et DFC ,, h,. P e Et DFC..5.5 h,. P e. Et DFC Et DFC h,. P e ,, h,. r hω P e k h r e Pe ω P e k -6-8.,, h,. P e, L,

26 Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Se refmos mlh pr dfereçs fts cetrds de segd ordem de precsão otemos:.5,,.,.5.5 h 5,. P e. E t DFC.5.5 h 5,. P e, Et DFC.5.5.5,, h 5,..,, h 5,. Et DFC P e P e k h r e Pe ω P e.5 5 k.5 r hω Et.5 DFC ,, h 5,. P e 5 Et DFC , L,

27 Se refmos mlh ms d pr dfereçs fts cetrds de segd ordem de precsão otemos: E t DFC.5, 4,.5.5., 4,.5.5.5, 4, h 5, Prolem de Vlor de Cotoro PVC. P e.5 Et DFC h 5,. P e.5 Et DFC h 5,. P e Et DFC.5 Et DFC.5.5 r hω , 4, h 5,. k h r e Pe ω P e P e.5 k , 4, h 5,. P e , L,

28 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Em gerl, dzemos qe estmos em prese ç de m prolem sglrmete pertrdo qdo o coefcete d dervd de ordem mor d EDO é m prâmetro peqeo <<: d d d g g g g ], [ EDO L d d d Prolems Sglrmete Pertrdos presetm desfos mércos já qe solção pode vrr rpdmete m peqeo tervlo cmds lmtes eters e/o ters. Nests regões ode dervd é mto grde o erro pr promção por dfereçs fts cetrds pode ser mto grde. Lemrdo qe pr dfereçs fts cetrds de segd 4 d ordem o erro locl é proporcol E L 4 se ão é d o sfcetemete peqeo, etão o erro ser á grde regão ode estem cmds lmtes. E mesmo qe o erro locl sej grde pes ests regões o erro glol pode ser grde.

29 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Pr qe o erro glol recpere covergêc com segd ordem de precsão é ecessáro refr mlh. N mor dos csos o refmeto ecess áro pr recperr s propreddes de covergêc ege qe se mete mto os grs de lerdde do prolem úmero de cógts. Isto mplc m meto do csto comptcol memór, tempo de clclo e rod-off error. Refr qto mlh? r h ω Refr mlh t é qe hpermt oter P << >>. e Além ds cmds eters solção do prolem pode ter cmds ters. Atlmete, desevol ver os prom ções pr resolver Prolems Sglrmete Pertrdos é s dos tems cetrs em mtemátc plcd Téccs de Estl zção. k

30 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Prolem Eqção dmesol d Dfsão-Adveção- Reção Ler e Estcor : Cosdere o feômeo d dstrção de tempertr m to dmesol por ode esco m fldo com velocdde r ω, com coef cete de dfsão do clor k e com coef cete retvo σ. A eq ção qe descreve mtemtcmete este f eômeo é: d d d k ω σ d d d Reção Dfsão g Advecção { g FoteEter ], [, Codção. de Drchlet EDO ode é fote eter de clor e cod ções de cotoro os etremos de Drchlet. O termo retvo model m fote o smdoro tero de clor devdo lgm re ção, por eemplo, q ímc.

31 4..- Prolem de Vlor de Cotoro PVC. Est eqção ão model pes trsf erêc de clor dmesol, ler e estcor. A Eqção d dfsãodvecção-reção tmém é cohecd como Eqção de Trsporte e model o trsporte de m grdez f ísc. Est grdez pode ser, por eemplo, cocetr ção, clor, etc. d d d k ω σ d d d Reção Dfsão Advecção { g FoteEter ], [ EDO Qdo k e k >>σ o feômeo dfsvo é domte. Neste cso o MDF cetrd de segd ordem de precsão é ESTÁVEL e CONSIST ENTE. >> ω r Qdo >> k e/o σ >> k dfsão ão é domte. Neste cso teremos m prolem sglrmete pertrdo e o MDF cetrd de segd ordem de precsão é INSTÁVEL. Pr qe o erro glol recpere covergêc com segd ordem de precsão é ecessáro refr mlh. ω r

32 Frse do D Althogh to peetrte to the tmte mysteres of tre d thece to l er the tre cses of pheome s ot llowed to s, evertheless t c hppe tht cert fctve hypothess my sffce for eplg my pheome. Leohrd Eler A mesm ds Al 9,,,... the stdy of Elers works wll rem the est for dfferet felds of mthemtcs d othg else c replce t. Fredrch Gss