Aula 1 Conceituação das equações diferenciais parciais

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1 Uiersidde Federl do AC Al Coceitção ds eqções diereciis prciis EN34 Diâmic de Flidos Comptciol EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

2 Porqê? Eqções de Nier-Stokes pr m lido compressíel e iscoso t t E t p g Coserção d mss Coserção do mometo lier (ª Lei de Newto) E kt q p : g Coserção d eergi (ª Lei d Termodiâmic) EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

3 Nier & Stokes Clde-Lois Nier Sir George Stokes ( ) (89-93) Egeheiro e Mtemático. Memro d Acdemi de Ciêcis d Frç. Cridor d teori d elsticidde. Um dos pricipis teóricos d mecâic dos lidos. Se ome está grdo gleri de heróis d Torre Eiel. Físico e Mtemático. Proessor de mtemátic em Cmridge. Um dos pricipis teóricos d mecâic dos lidos. Tmém plico trlhos sore lz, polrizção e eômeos qímicos. Há m crter L com se ome. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

4 Clssiicção de EDPs Lier A riáel depedete e ss derids mtém relções lieres. Não há prodtos etre riáel depedete e ss derids. Solções idepedetes podem ser somds pr gerr m otr solção. Eemplo: Od idimesiol t EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

5 Clssiicção de EDPs Não-lier Há prodtos etre riáel depedete e ss derids. Solções idepedetes ão podem ser somds pr gerr m otr solção. Eemplo: Eqção de rgers pr lidos iíscidos t EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

6 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol EDPs de segd ordem Dd m ção (,), orm mis complet de m EDP de segd ordem é G F E D C A Isoldo os termos de segd ordem, temos G F E D C A H C A

7 EDPs de segd ordem Assim, strimos os termos de ordem, e podemos scr relções etre A,, C e s derids segds. Primeirmete, deiimos d d d d d d EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

8 EDPs de segd ordem A sc de m solção pr cd m dos termos os le : H d d A d d d d C d C A d H d d A d d C d C A H d d d d d A C d d d d d d d d (regr de Crmer) EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

9 EDPs de segd ordem Pr grtir qe A d d d C d deemos resoler Ad dd Cd d d Diidido por d A C EN34 Diâmic de Flidos Comptciol d d As solções dest eqção são s crs crcterístics do espço ísico (,): d d, 4AC A

10 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol EDPs de segd ordem O sistem de EDPs é, portto, clssiicdo segdo o lor de ( - 4AC): ( - 4AC) < elíptico ( - 4AC) = prólico ( - 4AC) > hiperólico G F E D C A

11 Eqções elíptics ( - 4AC) < em todos os potos do espço. Um EDP elíptic ão tem crs crcterístics reis. Um pertrção se propg isttemete em tods s direções. Eemplos: Eqção de Lplce Eqção de Poisso (, ) Espço de solções Codições de cotoro EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

12 Eqções prólics ( - 4AC) = em todos os potos do espço. O domíio de solções é m espço erto. Apes m solção (m cr crcterístic). Eemplos: Codção de clor T T em m dimesão t Disão iscos t EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Codições de cotoro Codições Iiciis Espço de solções

13 Eqções hiperólics ( - 4AC) > em todos os potos do espço. Um EDP hiperólic tem ds crs crcterístics reis. Trdiciolmete resolid pelo método ds crcterístics. Eemplo: Eqção de od de segd ordem t Codições de cotoro Espço de solções Codições Iiciis EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

14 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo Clssiicr EDP ) ( M Potecil de elocidde em ds dimesões Solção: ) ( C M A G F E D C A ) 4( 4 M AC

15 Iterpretção ísic Um corpo se moedo em m lido. 4AC 4( M ) M < M = M > elíptic prólic hiperólic ssôico trssôico spersôico EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

16 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol EDPs típics em CFD Eqção de Lplce Eqção de Poisso Codção de clor Disão iscos Eqção de od Eqção de rgers ), ( T T t T t t t

17 SISTEMA DE EDPS DE PRIMEIRA ORDEM EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

18 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clssiicção de m sistem de EDPs de primeir ordem Cosidere o sistem t t Chmdo ] [ ] [ A Teremos ] [ ] [ A t É em mis simples, ms s riáeis são mtrizes e etores

19 t Iterpretdo [ A] [ ] Se [A] tier tolores reis e distitos, o sistem é hiperólico em t e. Se [A] tier tolores compleos, o sistem é elíptico em t e. Se [] tier tolores reis e distitos, o sistem é hiperólico em t e. Se [] tier tolores compleos, o sistem é elíptico em t e. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

20 Sistem em regime t [ A] [ ] Chmdo P A Q R O sil de H=R -4PQ determirá trez do sistem: H< elíptico H= prólico H> hiperólico EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

21 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo Clssiiqe o sistem de EDPs Solção: Reescreemos o sistem orm ode A q q A q

22 Eemplo Recohecedo qe o sistem está e regime (d/dt=) Clcl-se P Q R H=R -4PQ H=-4 O sistem é elíptico. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

23 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo Mesmo prolem, com otr solção... Solção: Deiimos A T ] [ ] [ ] [ T ] [ T ] [

24 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo O determite de [T] le Desejmos qe [T]=, etão T [T] O qe sigiic qe é imgiário. O sistem é elíptico.

25 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo 3 Clssiiqe o sistem de EDPs p p Solção: Reescreemos o sistem orm ode A q q A p q

26 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clclmos Eemplo 3 A T ] [ ] [ ] [ T ] [ T ] [ Assim, T T

27 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo 3 Qeremos qe T Diidido por 3 De ode otemos ds codições: O sistem é elíptico. O sistem é hiperólico. O sistem é misto hiperólico/elíptico.

28 SISTEMA DE EDPS DE SEGUNDA ORDEM EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

29 Sistems de segd ordem Em mits ocsiões s eqções de Nier-Stokes podem resltr em EDPs de segd ordem: Termos iscosos d eqção do mometo Termo de codção de clor d eqção de eergi O método mis ácil de clssiicção cosiste em redzir ordem ds eqções e trlhr como se ossem EDPs de primeir ordem. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

30 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem Um lido icompressíel idimesiol em regime: Re Re p p

31 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem Chmdo Temos qe Temos id qe c c D mesm meir:

32 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem O oo sistem de EDPs ic: p c p c c c Re Re Tem mis eqções, ms é de primeir ordem

33 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem Este sistem pode ser escrito orm etoril como ode C Q Q A c c C Re Re Re Re A p c Q

34 Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem Com este sistem, teremos EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

35 Clssiicção de m sistem de EDPs de segd ordem Agor podemos clclr T : T Re O sistem é elíptico. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

36 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo 4 As eqções qe goerm o moimeto de m escometo iiscido e idimesiol são cohecids como eqções de Eler. Assmido-se qe o lido é m gs pereito, o sistem de EDPs é Clssiiqe este sistem de EDPs. p t p p t t

37 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo 4 O sistem pode ser reescrito como ode A p Q Q A t Q

38 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Eemplo 4 Os tolores deste sistem são otidos de (ej l ) ) ( 3 O sistem é hiperólico.

39 CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

40 Codições iiciis e de cotoro As codições iidiis e/o de cotoro permitem qe s solções de EDPs se trsormem em solções úics, cotrpodo-se ções geérics. Um codição iicil é qel ql riáel depedete tem m determido lor em lgm estdo iicil. Um codição de cotoro é qel ql riáel depedete o s derid deem stiszer em lgm poto do domíio d EDP. EN34 Diâmic de Flidos Comptciol

41 EN34 Diâmic de Flidos Comptciol Sej X() m ção o iterlo. As qtro codições de cotoro possíeis são: Codições de cotoro Em iglês: odr coditios Dirichlet Nem Mist Roi (periódic) ) ( ) ( X X ) / ( ) / ( X X ) ( ) / ( X X ) / ( ) ( X X X X X X ) / ( ) / ( ) ( ) (

42 Eercícios Prolems.3 do Hom Compttiol Flid Dmics Vol.I EN34 Diâmic de Flidos Comptciol