2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES

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Geovane Mangueira Terra
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1 SISEMAS E EQAÇÕES INEARES. Iroção A soção e ssems eres é m ferrme memác mo mpore egehr. Normmee os proems ão-eres são socoos por ferrmes eres. As foes ms coms e proems e eqções eres gércs pcos à egehr cem: ) promção e eqções ferecs o egrs coís rés e ssems scres e fos; ) erzção oc e ssems e eqções ão eres; c) se e crs em os.. Represeção o Ssem er m ssem er é m coo e eqções eres o po: Ese ssem poe ser represeo rés e m represeção mrc form: = oe: A mrz e coefcees e orem eor e cógs e orem eor epeee e orem Os pos e soção o ssem epeem mrz A: A ão-sgr soção úc A sgr f s soções ssem compíe

2 . Méoos e Soção.. Méoos reos Forece soção e pós m úmero fo e operções. Soção ssegr pr mrz e coefcees ão-sgr. Méoos reos Re gr e Crmer Iersão Mrz A E mção e Gss Forção.. Méoos Ieros Processo e promção er soção. A coergêc é ssegr so cers coções. Méoos Ieros Gss Jco Escoáros Gss See Sorereção Gree Cogo Gree Bcogo Não Escoáros GreeBcogoEszo ec.... Regr Crmer A soção e c compoee o eor e cógs é o pe reção e os eermes: oe: = eerme mrz A = eerme mrz A com ésm co ssí peo eor epeee.

3 Eempo orem e grez o empo e soção pr m ssem e orem. Operções ecessárs: ) Cáco e eermes c m e orem. O eerme e m mrz é efo como m som e ermos... oe o símoo represe sscros e permções e. No eempo som em! ermos c q reqereo 9 mpcções. Assm soções o ssem reqer! 9 mpcções ém e m úmero! e soms qe será escosero. Se m compor com cpce e Mfops.... operções por sego. empo e Soção:! = 6 os Srg 99 - If or e czy o soe eqo hs y. O méoo e Crmer mém poss poc ese mérc. [Hgh]. (erros e rreomeo ecessos). (forr esy).. Iersão Mrz A A soção o ssem er poe ser por: = A Ereo gre mor e proems prácos é esecessáro e mesmo escoseháes o cáco mrz ers A. Ve o qe coece ese eempo smpes com m eqção: 7 A mehor mer e oer soção é por são 7 O so mrz ers er (precsão 6 ígos) :

4 A ers reqer ms rméc (m são e m mpcção em ez e m só são) ém e prozr m respos meos e... Emção e Gss Compos e s eps áscs:. Emção re e ráes. Ssção ers A = A = Emção e ráes (rgrzções) = = Números e operções ecessárs pr oer soções cosero mrz A che. ) Soção por Iersão = A. Oeção mrz ers zo m gormo efcee e mrz che operções (proo). Oeção e peo proo e com operção (proo) ) Soção por emção e Grss

5 . Reção râgos = = ~ operções e proção. Ssção Iers. operções e proo Eempo Nmérco = Eságo pô Mpcores. = Eságo Pô

6 Mpcor = 8 Ssção Iers Esrég e Poemeo () Er pôs os () Er pôs prómos e zero (mpcores eeo mpção e erros e rreomeo) Eempo: so rméc e ígos =.6 pô. mpcores =. 6

7 Não ssfz o ssem Com poemeo =. pô.. m.. = = Soção e ssem Resmo: Poemeo prc cosse em or como pô o psso (K) emção e Grss o mor eemeo (em or soo) pre ão rezo co. As hs coeo esses eemeos eem ser ercms. OBS: Se * soção cc e A= e soção e (eórc). Como os eemeos e ão são úmeros represeos m rméc e poo fe ee her fereç com reção *. Normmee z-se s seges mes pr ferr es fereç. Erro: e = - * Resío: r = A * (epeee e esc mpco-se A e por m cose o resío mém ser mpo por ) Resío reo: A A * * eor e mrzes semos qe seo A ão sgr e se m me cm é or mém o será ms mos ão são ecessrmee gmee peqeo. 7

8 8..7 Forção A = A = rgr feror rgr speror Vmos oserr o eempo roóro. m Po. m po 8 Osere qe mrz poe ser o e pré-mpco- por m mrz coeee o cso: = mesm form mrz é o pré-mpco- por:

9 9 eror é m mrz râgr Assm () () () () () () () () () () () (). sp

10 A mrz é m mrz rgr feror pos é rese o proo e mrzes rgres ferores eemeres. A ecomposção ão é úc.. Se m mrz go ão-sgr qqer eão: = é rgr feror = é rgr speror A = = = e moo qe mém é m ecomposção. Iso sgere posse e se ormzr s ecomposções. Se rsformção A= Oe: é rgr feror áro (go) é go rgr speror ár (go) Poe-se mosrr qe ecomposção e m mrz A é úc se ss smrzes prcps gs... são os ão-sgres so gre pôs ão os. =

11 eroráro rg áro rg Speror áro eror rg ese ese ese.sp..f Proo e mrzes rg. sp. áro res mrz rg sp. áro. Iso forç o sego memro eqção ser go á qe é rgr feror Iee. I mesm form poe-se chegr. e ferees ecomposções : oe: é râgr speror áro ecomposção e Cro oe: é râgr speror áro ecomposção e ooe Se A for smérc: ecomposção e Choesky A se Agormo pr ecomposção e Cro A é rgr speror com go ár k mm k k...

12 Como :... o se prmer co mrz A é g prmer co mrz. Aém sso:... Assm eermmos h e. Spoh qe s prmers (p ) cos e e s prmers (p ) hs e ehm so ccs e como. p poro p p p k k esm p p mesm form kp kk ( p p ) co e é por: p k k p k kp p p... p pp p p k p... oe p p p k p pp p.. k Osere qe ão há ecesse e ccr-se pr = p pos. OBS: Poe-se erfcr qe pós er so zo pr ccr o ee ão é ms zo ssm os eemeos ão os e e poem ser escros sore os eemeos correspoees e A. Agormo pr Reção e Cro: pr p =...: p k p p p pp p k p k k.... p p p k k p p.... p - Os eemeos pp são pôs reção e Grss e são se s smrzes prcps gs e A são ão sgres. - Proos eros eem ser cmos em precsão p. pp

13 A zção e pôs peqeos poem proocr erros e rreomeo qe comm sgfcmee soção. m soção é zr o poemeo prc so é fzer m pesqs co o pô e form ecorr o eemeo e mor or soo. O eemeo com mor or soo é zo como pô pr o perm-se h o eemeo com h o pô. É mpore oserr qe qo forem eecs s eps e ssção re e ers s permções rez o poemmeo eem ser rezos o eor epeee o ssem e eqção er. ef. Mrz e Permção Mrz qr e orem o mrz ee e orem pe permção e ss hs. A pré-mpcção e m mrz A por m mrz e permção P res em m mrz A o e A com mesm seqüêc e permções e hs rezs mrz P. Se o ssem er A e sem os fores oos por reção e Cro com poemeo prc. Poro são fores e A. Oe: A = PA As mesms permções eem ser efeos sore. ' P Agormo reção e Cro com permção e hs. Pr p=... k k p. p... p p p. Achr qe p... p.... p p kp p p p p p pp p k pk k... p. k OBS: O gormo e Cro com poemeo prc poe ser cosero m gormo esáe.

14 ecomposção e Choesky Cosero: em-se A Smérc e ef pos A eorem: Se A é smérc pos ef eão ese m úc mrz com eemeos gos posos qe A. OBS : A mrz A é pos ef se A pr qqer eor feree e zero. OBS : Os eemeos gos e m mrz ef pos são sempre posos. e A e e eor com eemeo g posção e o rese g zero. A pro o eorem é fe por ção. A H oe: escr pos e H smrz e orem A mrz prco poe ser escro como o proo: I H I H H oe H é smérc e mém pos ef pos pr qqer eor e comprmeo - em-se: H H H H pos mrz org é pos ef por efção.

15 Por ção H poe ser foro como H H com eemeos gos posos. Poro A poe ser por: H H H H I o o I Pr pror ce em-se: H A A e () e () em-se: o Como poemos er os fores são úcos pr poso. Ese procemeo poe ser eseo por ção os fores seges. Compção os fores Spoh mrz prcoo como s M A oe os fores M M smrz prcp M á form oos. Os fores mrz A poem se o por: s M M M M ( ) s s

16 6 Eempo: A M A

17 Compo e cesso K Eemeos serem ccos Eemeos ão Ccos Pe smer e A pes é ecessáro se rhr com s mee feror. Aém sso os eemeos e poem ser escros sore os e A. Agormo Pr k =.... Pr... K. K KK K KK K K KK k K OBS: A ecomposção e Choesky reqer mpcções so é mee s 6 egs pe reção e Cro. Os proos eros eem ser cmos em precsão p pr se oer eão co. O gormo e Choesky é cocomee esáe. Como A é pos ef ão há ecesse e poemeo pos ese cso e sempre é go ome...8 Soção e Ssems eres A prr s ecomposções e Cro e Choesky ss erormee poe-se resoer os ssems eres rés e ssções. Se o ssem er: A..8. ecomposção PA P 7

18 8 Ssção re ' P y Azção por hs y y... / Ssção Iers y Azção por hs... y Ssção re Azção por cos: ' ' ' ' ' ' ' ' '. Co Co y y y

19 Co ' ' No f y ' osere qe s zções form fes por cos. Agormo pr zção por cos Pr ' Pr ' ' K ' ' Coe Coe ' y '... / k K ' k As ssções re e ers reqerem mpcções...8. ecomposção e Choesky Nese cso ão há ecesse e se zr permções pos mrz e coefcees é ef pos. Ssções re Y Ssções Iers y 9

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L triangular inferior U triangular superior 69 Forção Ax A rgr feror rgr speror Vmos oserr o exempo roóro m Po () m po 8 Osere qe mrz () poe ser o e pré-mpco- por m mrz coeee o cso: mesm form mrz é o pré-mpco- por: 7 eror é m mrz râgr Assm sp A