5.1 Métodos Iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Siedel Estudo da Convergência... 46

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1 Mteri sujeito correções ÍNDIC RROS NS PROXIMÇÕS NUMÉRICS.. rros soutos. rros Retivos.. rro de rredodmeto..5. Ordem decim de um grismo:.5.5 grismos sigifictivos corretos..5.6 Cácuo dos erros souto e retivo:..6.7 rro de Trucmeto.9.8 Seqüêcis Covergêcis9.9 Propgção de erros MTRIZS.. Proprieddes dos Determites 5. Meor Compemetr. 6. Compemeto gérico de um eemeto COFTOR 6. Mtriz djut 7.5 Mtriz Ivers 7.6 Cácuo do Determite VLORS VTORS CRCTRÍSTICOS SISTMS D QUÇÕS LINRS..6. Métodos Diretos ou de imição. 6.. Método de Guss. 6.. Método de Guss-Jord.... Codesção Pivot.... Refimeto d Soução 7..5 Iversão de Mtrizes.. 5 SISTMS D QUÇÕS LINRS.. 5. Métodos Itertivos 5. Método de Jcoi.. 5. Método de Guss-Siede studo d Covergêci. 6 6 Decomposição LU Teorem LU 7 6. squem prático pr decomposição LU.. 9 Pági de 55

2 Mteri sujeito correções RROS NS PROXIMÇÕS NUMÉRICS Cuss: Divisões Iets; Números Irrciois; doo de Css Decimis e tc. ste útimo specto é de prticur iteresse o cso de computdores digitis. O processo de soução de um proem físico trvés de métodos uméricos pode ser represetdo como se segue: Figur Ns fses de modegem e resoução podem ocorrer erros..: rro fse de modegem: vrição o comprimeto de um rr de met sujeit cert vrição de tempertur é ddo por: α. t β. t ode: vr ição do comprimeto comprimeto iici t tempertur α e β coeficietes de ditção de cd mteri. empo: Ccur vrição o comprimeto de um rr sujeit º C de vrição e que teh: m Logo α 5 ep erimetis β Os vores de α e β form otidos eperimetmete com precisão de -6. Pági de 55

3 Mteri sujeito correções Logo: tão: Logo: >. <. 5 < α < 5 67 < β < < < 9 ou 9 ± tão vemos que um imprecisão set cs decim de α e β impicou um imprecisão qurt cs decim de. precisão do resutdo ão é só fução do modeo mtemático ms tmém dos ddos de etrd.. rros soutos Qudo se sustitui um vor por outro proimdo defie-se como erro souto: ' Normmete como ão cohecemos o vor de o erro souto é idetermido. Trhmos etão com cot superior ε do erro souto isto é: ssim podemos dizer que: ε ' ε ou ' - ε ' ε e que é vor proimdo de com erro souto ão superior ε..: Se.8767 e só desejmos prte iteir o erro souto é: ' 7 Pági de 55

4 Mteri sujeito correções. rros Retivos Chm-se erro retivo cometido sore um vor qudo este é proimdo por o quociete positivo: δ Como ormmete o vor de ão é cohecido e é próimo de costum-se ccur tmém um cot superior pr o erro retivo t que: δ Ode ε é um dequd cot superior de erro souto. sustituição de por o deomidor é justificáve se: ε ' ' que é o cso ormmete ecotrdo prátic. rro retivo tem por ojetivo dr um idéi o gru de um ifuêci do erro o vor desejdo. O erro souto ão trduz d se ão souermos ordem de grdez do vor ccudo..: Como vemos o efeito d proimção de é muito mior do que de. Cosiderdo o erro retivo teremos um mehor visão deste efeito. Pr : δ < Pr : δ 7 <. 7 Pági de 55

5 Mteri sujeito correções. rro de rredodmeto Diz-se que um vor foi rredoddo posição de ordem se todos os grismos sigifictivos de ordem em dite forem dodos de form que o grismos de ordem é umetdo de um uidde se e somete se o de ordem for superior. O rredodmeto é feito por eempo em computdores digitis que trhm com um úmero d fio de grismos sigifictivos. Se por eempo d 5 e tivermos com um vor igu : 7589 grismos sigifictivos. difereç etre estes vores é o erro de rredodmeto. stes erros podem se propgr cumutivmete podedo fetr o resutdo fi.. Ordem decim de um grismo: Diz-se que ordem decim de um grismo sigifictivo i de um úmero é m se o resutdo qudo sustituímos i por e todos os outros grismos sigifictivos por zeros é..: No úmero 7878 ordem decim do grismo sigifictivo de ordem 6 é -5 pois: 5 Qudo um úmero está represetdo form ormizd ordem decim do grismo sigifictivo de ordem i é i t. Form Normizd de um úmero é su represetção: d. t Ode d é o úmero de grismos sigifictivos e i i d são os grismos..5 grismos sigifictivos corretos Diz-se que um grismo sigifictivo de ordem de um proimção de um úmero é grismo sigifictivo correto se o erro souto de for iferior 5. m ode m é ordem decim desse grismo. Com est defiição é possíve firmr que se o úmero e su proimção tem grismos sigifictivos coicidido prtir d esquerd té o de ordem i etão o úmero de grismos sigifictivos corretos é peo meos i. De fto com ordem decim do grismo sigifictivo de ordem i é i t etão com ess coicidêci o erro souto deve ser meor que -it t se refere form ormizd e por isso meor do que 5. -it- como eempo temos s proimções 5 e de. Pági 5 de 55

6 Mteri sujeito correções Pr ms eiste coicidêci té o grismo sigifictivo de ordem o etto só segud proimção tem um grismo correto..: 9999 e 5 proimção 6685 de O grismo 8 d proimção ão é correto pois: > 5. - O úmero 6685 só possui dois grismos sigifictivos corretos..: Sej o úmero 55. Por um processo umérico foi determido pr o mesmo vor 57. picdo defiição cocuímos que só tem dois grismos sigifictivos corretos. Pssdo pr form ormizd vem e Cácuo dos erros souto e retivo: souto: ' < 5.. Retivo: δ 5. < Se cosiderrmos o erro souto d ordem de -6 podemos ter um idéi errôe do úmero de grismos sigifictivos. No etto com precição do erro retivo podemos perceer porque su precisão ão vi ém dos dois primeiros grismos sigifictivos. Teorem Se o erro retivo d proimção de for mior que 5 -s etão tem peo meos s grismos sigifictivos corretos. Demostrção Sej µ. t ode µ é mtiss d form ormizd de. Supohmos que o grismo sigifictivo s correspodete s proimção ão é correto. Pági 6 de 55

7 Mteri sujeito correções Devemos ter etão pe fórmu ' > 5 s t Como t µ < devemos ter: t ' δ > 5 t o que por hipótese é surdo. tão o grismo sigifictivo s é correto e portto todos os de ordem iferior. C.Q.D. Regrs serem oservds:. Fir o úmero d de grismos sigifictivos pr o cácuo.. Se os ddos iiciis têm mis que d grismos sigifictivos rredodá-os posição do grismo de ordem d; cso cotrário preecher s posições resttes com zero. s operções de dição e sutrção deverão ser reizds sempre com dois úmeros de cd vez. tes de iiciá- rredodr o úmero de meor vor souto de modo que mis i ordem decim deste útimo poss ser mesm do outro.. fetur s operções de mutipicção ormmete e rredodr o produto de form que ee psse ter d grismos sigifictivos. 5. fetur s operções de divisão té que o quociete teh d grismos sigifictivos. 6. Potecições com epoetes iteiros deverão ser reizds como mutipicções de úmeros dois dois. 7. Vores irrciois como π e vores de fuções eemetres como se cos e etc. usdos como ddos deverão ser tomdos com d grismos corretos. 8. Potecições com epoetes ão iteiros deverão ser reizds por meio de ogritmos com d grismos sigifictivos. X.: Ccur o vor de: sigifictivos π retedo grismos s operções ordem em que devem ser efetuds são: Pági 7 de 55

8 Mteri sujeito correções mutipicmos iicimete rredodmos o resutdo pr mutipicmos gor 8 rredodmos pr rredodmos iicimete os ftores pr: 5 e 7 efetumos: rredodmos o resutdo pr: 59 etrido riz qudrd vem: rredodr o produto ordem decim - : dicior: rredodr potêci ordem decim -: efetur sutrção: - chr o ogritmo decim de Log - mutipicá-o peo epoete rredodr o resutdo pr grismos sigifictivos. 698 Pági 8 de 55

9 Mteri sujeito correções ecotrr o úmero que tem este vor por ogritmo decim. 5 - rredoddo pr grismos sigifictivos vem: somdo diretmete vem:.7 rro de Trucmeto π π Cácuo fi São erros proveietes d utiizção de processo que deverim ser ifiitos ou muito grdes pr determição de um vor e que por rzões prátics são trucdos. m outrs pvrs erro de trucmeto de um processo ifiito é o erro souto do resutdo otido com um úmero fiito de operções..8 Seqüêcis Covergêcis Um seqüêci de úmeros reis d mis é do que um cojuto fiito ou ifiito de vores ordedos represetdo por { } ode é chmdo termo ger. Dizemos que seqüêci é ifiit se cotiver um úmero ifiito de eemetos. Neste cso podemos dizer que e coverge ou ão pr um imite de cordo com defiição. Defiição: Um seqüêci ifiit de úmeros { } coverge pr um vor se: Lim esse cso é o imite d seqüêci. Qudo seqüêci é trucd em o erro de trucmeto é ddo por: e Pági 9 de 55

10 Mteri sujeito correções.: seqüêci { } com coverge pr o imite porque: Lim empo: Ddo 5 ccur o vor de e. mpregdo um processo umérico que cosiste em sustituir fução e poiômio. por um Usdo seqüêci: e!!. Limitdo té termos temos: e e 68 ± 5 Sedo-se que isto é os grismos té 8ª cs decim são etos e comprdo este vor com o ccudo peo processo umérico verificmos que pes 5 grismos sigifictivos são etos. Neste cso temos o erro screvemos etão: rro de trucmeto Que represetmos por: 5 e.9 Propgção de erros !! e 68 ± 75 empos de como os erros vistos podem ifuecir o desevovimeto de um cácuo. Supodo-se que s operções io sejm processds em um máqui com dígitos sigifictivos e fzedo-se: 9 e 5 Pági de 55

11 Mteri sujeito correções Temos: dígitos Os dois resutdos são diferetes qudo ão deverim ser. cus foi o rredodmeto feito dição cujo resutdo tem 8 dígitos e máqui pes. Pági de 55

12 Mteri sujeito correções MTRIZS Defiimos como mtriz de ordem m o cojuto de úmeros ij i m j dispostos em m ihs e cous..: m. m.. m Os eemetos ij podem ser úmeros fuções ou mesmo mtrizes. Qudo m temos um mtriz qudrd. Qudo temos um mtriz cou:. m ou m Qudo m temos um mtriz ih: Defiições [ ] [ ] Um mtriz é um cojuto de úmeros fução ou mtrizes. Um determite é um represetção simóic de um poiômio perfeitmete defiido. Mtriz Digo é que em que ij pr i j. Pági de 55

13 Mteri sujeito correções Mtriz Uitári é um mtriz qudrd qu todos os eemetos são uos eceto os d digo pricip que são todos iguis. mtriz uitári de ordem é represetd por I. I Mtriz Trigur é mtriz qu ij pr i < j trigur iferior ou ij pr i > j trigur superior..: trigur iferior trigur superior Mtriz Simétric é tod mtriz qudrd ode ij Ji. Os eemetos são iguis simetricmete à digo pricip. T Mtriz ti-simétric é tod mtriz em que se tem ij - ji. - T Mtriz Trspost de um mtriz de ordem m é mtriz t de ordem m otid permutdo-se s ihs pes cous. Mtriz Zero é que em que todos os seus eemetos são uos. Pági de 55

14 Mteri sujeito correções Igudde de Mtrizes Dus mtrizes ij e B ij de ordem mm são iguis se e somete se ij ij. dição Tedo-se s mtrizes ij e B ij de ordem m dição de com B será:.: C B ij ij c ij Sutrção C B ij - ij c ij.: Produto de um Mtriz por um úmero Se ij é um mtriz m e c um úmero temos: c..c B c.. c. m.. c. c.. m s seguites eis são váids: B C B C ssocitividde. c B c cb distriutividde B B comuttividde Pági de 55

15 Mteri sujeito correções. Proprieddes dos Determites - Um determite ão se ter qudo se trocm s ihs pes cous e vice-vers. - Trocdo-se s posições de dus ihs ou cous o determite fic mutipicdo por -. - Trspodo-se um ih ou um cou pr primeir posição o determite fic mutipicdo por - - ode represet ordem d ih ou cou trspost. - Trspodo-se um eemeto pr primeir posição o determite fic mutipicdo por - m ode represet ordem d cou e m ordem d ih que se cruzm o eemeto trsposto. 5- O determite é uo se todos os eemetos de um ih ou um cou são uos. 6- O determite é uo se os eemetos de dus ihs ou cous são iguis etre si. 7- Se os eemetos de um ih ou cou são mutipicdos por um úmero o determite fic tmém mutipicdo por este úmero. 8- O determite ão se ter se somrmos os eemetos de um ih ou cou os respectivos eemetos de outr ih ou cou mutipicdos por um úmero. Cosideremos um determite e supohmos que o eemeto trspor sej m. Pssdo m-ésim ih pr primeir posição e desigdo o ovo determite temos: ' m. Pssdo -ésim cou pr primeir posição o determite e desigdo por o ovo determite temos: '' '. Sustituido o vor de vem: ''. m. m. e como - - vem : '' m. Tod mtriz que tem dus ihs ou cous iguis tem determite uo. Trocdo-se posição dests ihs ou cous o seu vor deveri trocr de si. Pági 5 de 55

16 Mteri sujeito correções Logo: -. Meor Compemetr Chm-se de meor compemetr do eemeto ij M ij o determite de ordem etrído de [] pe supressão d ih e d cou em que está situdo o eemeto ij..: O meor compemetr de é: M. Compemeto gérico de um eemeto COFTOR Ddo o determite... Chm-se compemeto gérico o eemeto determite otid pe epressão: e represet-se por j i i j o i j ij ij M Cosideremos mtriz qudrd: []... Pági 6 de 55

17 Mteri sujeito correções. Mtriz djut [ ] ' Defiimos como mtriz djut de [] e represetmos por mtriz cujo eemeto geérico é ij ji ode ji represet o compemeto gérico do eemeto ij do determite ssocido d mtriz []. Nests codições mtriz djut de [] será: [ ' ]... Como podemos oservr mtriz djut pode ser otid em outrs pvrs prtir d mtriz trspost [ t ] costruido-se um ov mtriz ode os eemetos são os correspodetes compemetos géricos dos eemetos do determite t..: chr mtriz djut de: [ ] [ ] t Logo djut de será: [ ' ].5 Mtriz Ivers Teorem: Pr ququer mtriz qudrd temos: [ ][ ] [ ][ ] [ I] qução Ode I é mtriz uitári. Defiimos como mtriz ivers [] e represetmos por [ - ] mtriz t que sej stisfeit epressão. Pági 7 de 55

18 Mteri sujeito correções Pr otermos [ - ] comecemos por ccur [].[ ]. Cosiderdo os teorem de Lpce e Cuchy resut: Peo que otivemos vmos em seguid efetur o produto: Supodo que φ temos: [ ][. ' ] I Dest utim igudde cocuímos que: [ - ] [ ] [ ] '. ou.: chr mtriz ivers de: Cácuo de [ ].. Pági 8 de 55

19 Mteri sujeito correções Cácuo de [ t ] [ ] t poderi ser trspost d djut Cácuo de [ ] Oteção de [ - ] [ ' ] [ ]. mtriz ivers desempeh importte ppe resoução de sistems de equções ieres. Sej o sistem: So form de produto mtrici: [ ][ X ] [ ] [ ][ ][ ] [ X ][ ] Dode: [ X ] [ ][ ] Pági 9 de 55

20 Mteri sujeito correções Pági de 55.: Resover o sistem: 6 z y z y z y So form mtrici temos: 6 z y - - Resutdo: z y Cácuo do Determite de : 7 7 og o Cácuo d trspost: [ ] - - t Cácuo d djut: [ ] '

21 Mteri sujeito correções Cácuo d Ivers: [ ] Dode soução do sistem será: y z Ou sej: y z Pági de 55

22 Mteri sujeito correções.6 Cácuo do Determite soução peo teorem de Lpce tor-se icoveiete o cácuo do determite de ordem superior qurt devido o grde úmero de operções evovids o processo. Pr cotorrmos est dificudde usmos um processo que utiiz 8ª propriedde teriormete citd que permite redução sucessiv d mtriz um mtriz trigur trvés de operções eemetres. Sej: Mutipicdo-se os eemetos d ª ih por dos eemetos ds ihs. resut:.. e sutrido estes resutdos Ode: Primeir cou io do eemeto pivô Demis eemetos ds ihs..... Pági de 55

23 Mteri sujeito correções empo: Ccur o determite d mtriz seguir: 5 6 Mutipicdo ª ih por e sutrido os resutdos ds mutipicções de todos os eemetos dos eemetos respectivos d ª ih vem: 5 6.etão etc Mutipicdo ª ih por ih vem: e sutrido os resutdos dos respectivos eemetos d ª Mutipicdo ª ih por Sutrido-se est segud ih otid d terceir ih teremos: Logo: 8 5 Pági de 55

24 Mteri sujeito correções VLORS VTORS CRCTRÍSTICOS quções homogêes do tipo: X.. λ.. λ.. λ São frequetemete ecotrds em certos tipos de proems físicos ode λ é um prâmetro idetermido. Represetdo mtricimete teremos: X λ [ X ] que tem soução ão trivi se o determite λi λ λ... λ que coduz à equção poiomi de gru em λ : λ C λ Cλ. C que é cohecid como equção crcterístic d mtriz. Os vores de λ que stisfzem equção crcterístic d mtriz rízes d equção são os vores crcterísticos de. Dos vores de λ otemos os vores dos vetores X cojutos de souções que são deomidos Vetores Crcterísticos de. empo: Determir os vores e vetores próprios do sistem: λ λ λ Pági de 55

25 Mteri sujeito correções Teremos: λ λ λ λ 7 λ 6 λ λ λ 9 λ 8 Pr λ Fzedo teremos e λ 9 Pr Fzedo teremos e λ Pr 8 Fzedo teremos e Pági 5 de 55

26 Mteri sujeito correções SISTMS D QUÇÕS LINRS O estudo é imitdo os sistems ão homogêeos de equções icógits.. Métodos Diretos ou de imição São métodos que determim soução de um sistem de equções ieres com um úmero fiito de operções. es tum diretmete sore s equções... Método de Guss Cosiste em trsformr mtriz dos coeficietes ds icógits em um mtriz trigur superior prtir de um mtriz estedid diciodo-se o vetor idepedete como útim cou trvés de operções eemetres... ode os ídices superiores dos coeficietes correspodem o úmero de modificções efetuds em cd eemeto. Neste cso soução do sistem é imedit medite sustituição regressiv. Formdo mtriz estedid justpodo-se o vetor idepedete teremos:.... ε.... Começmos s trsformções udo os eemetos d cou io do eemeto o qu chmremos de eemeto Pivô. Guss prevê dois pssos:. Dividir peo eemeto pivô o que os drá um ov ih e. Pr ur o eemeto é stte somr pré-mutipicd por. De um modo ger pr se ur o eemeto vetori: i i.. eecutmos operção Pági 6 de 55

27 Mteri sujeito correções i i i com i que zer todos os demis eemetos d cou io do eemeto pivô. Desevovid pr os eemetos de tods s ihs equive : ij ij ij j pr j i. o fim d ª eimição mtriz ε está trsformd em:.... ε.... segud eimição cosiste em ur os eemetos d segud cou io de deomido pivô dest eimição.. Dividimos peo pivô otedo. Pr ur o eemeto sommos ; pré-mutipicd por De um modo ger pr se ur o eemeto operção vetori: com i i i i i i que se desevovid pr os eemetos de tods s ihs equive :.. eecutmos ij ij i j pr j i. Podemos gor geerizr os procedimetos d ª e ª eimição pr um eimição geéric K que cosiste em ur os eemetos de deomido pivô d -ésim eimição. C io de Pági 7 de 55

28 Mteri sujeito correções Pági 8 de 55 Fzemos iicimete divisão: K que desevovid eemeto eemeto de equive : j j j. Se for meor fzemos s operções vetoriis: i i i i com Que desevovid eemeto eemeto é: i j j i ij ij pr empo: - 7 Otedo mtriz etedid vem: 7

29 Mteri sujeito correções Pági 9 de 55 ª imição: / ª eimição: / ª eimição: / / O sistem etão ficrá: Que sustituido regressivmete teremos: É importte oservr que ehum dos eemetos que servem de pivô um eimição

30 Mteri sujeito correções pode ser igu zero. Se isto ocorrer devemos trocr de posição s - ihs io de icusive de modo que tis eemetos ão sejm uos. É óvio que isto ão ter soução do sistem porque pes trocremos dus equções de posição. Qudo este procedimeto ão for possíve porque todos os eemetos io do pivô são uos i sistem é sigur. Pági de 55

31 Mteri sujeito correções.. Método de Guss-Jord Se trsformrmos mtriz do sistem em um mtriz idetidde soução do sistem se presetrá espotemete o ovo vetor dos temos idepedetes. O método cosiste em modifics s eimições do método de Guss pr ur em cd eimição eemetos io e cim do eemeto pivô eemeto d digo pricip. Com um procedimeto iteirmete áogo o que os evou às epressões teriores o método de Gusstemos pr o método de Guss-Jord: Fzemos iicimete divisão: que desevovid eemeto eemeto de K equive : j j j. Se for meor fzemos s operções vetoriis: i i i com i com i Que desevovid eemeto eemeto é: ij ij i j pr j i j i Pági de 55

32 Mteri sujeito correções Pági de 55 empo: Usemos o mesmo eercício terior: - 7 Otedo mtriz etedid vem: 7 ª imição: / ª imição: / ª imição: / 75 5

33 Mteri sujeito correções ª imição: Logo: / 8 Vem s mesms oservções feits pr o método terior referetes à troc ds ihs cso o pivô -ésim eimição for zero e se est troc ão for possíve o sistem é sigur. Pági de 55

34 Mteri sujeito correções.. Codesção Pivot Os métodos de eimição são etos eceto peos erros de rredodmeto que podem coduzir souções errôes. ste efeito pode ser dimiuído e mesmo evitdo medite codesção pivot. Pr isto rerrummos s equções coocdo ih d posição do pivô ih io d ih do pivô com o mior eemeto souto cou do pivô. codesção pivot tem por fiidde:. Miimizr o erro de rredodmeto;. vitr divisão por zero e. Testr siguridde do sistem. empo: Resover o sistem Sedo-se que soução é ;- e e resovedo sem codesção pivot vem: ª imição: / ª imição: / 76 5 Pági de 55

35 Mteri sujeito correções Pági 5 de 55 ª imição: / Dode: Fzedo codesção pivot: ª eimição / ª imição: ª imição: / Dividido por -98 vem: / /

36 Mteri sujeito correções Dode: Que é um soução mis dequd que terior. Pági 6 de 55

37 Mteri sujeito correções Pági 7 de 55.. Refimeto d Soução É ovio que mesmo com codesção pivot pode persistir gum erro devido os rredodmetos. Podemos etão fzer um refimeto d soução. Sej o vetor io soução otid:.. e soução et sej: ode é o vetor correção s soução. Portto devemos ter: quções Se sustituirmos o vor de o sistem origi teremos: quções

38 Mteri sujeito correções Pági 8 de 55 Sutrido s equções ds equções e defiido β vem: β β β Resovedo este útimo sistem ecotrmos um vetor proimção de e podemos ter: té que tehmos vores que stisfçm o erro requerido. empo: Fzer o refimeto do proem terior resovido sem codesção pivot e se tivéssemos ecotrdo rízes -595; 7785 e 9976: Ccumos o vetor residu β : tão: β β β O vetor será otido pe resoução do sistem: Trocdo-se s ª pe ª ihs codesção pivot vem:

39 Mteri sujeito correções / ª eimição: Fzedo codesção pivot vem: ª eimição: / Logo soução proimd é: Pági 9 de 55

40 Mteri sujeito correções..5 Iversão de Mtrizes Um goritmo de eecução etremmete simpes pr iverter um mtriz ser otido por um dptção do método de Guss-Jord. Sej mtriz : m pode Ode e su ivers B é: B Chmemos os vetores cou d mtriz ivers de e. Por defiição de ivers teremos: Qudo cosidermos formção d primeir cou d mtriz idetidde pe mutipicção de podemos dizer que: Logo pr determir primeir cou d mtriz ivers st resover o sistem: t e ode e O que veu pr primeir cou ve pr s outrs dus. ssim pr oter e resovemos os sistems: e e ode e ode e t t Os três sistems podem ser resovidos peo método de Guss-Jord. Como ees têm mesm mtriz poderemos resovê-os simutemete pois s eimições feits em serim etmete s mesms se s resouções fossem feits Pági de 55

41 Mteri sujeito correções Pági de 55 seprdmete. s úics modificções estrão os termos idepedetes ds icógits o que cotormos trhdo com um mtriz estedid 6. Fzemos etão s eimições de Guss-Jord mtriz o fim ds quis o vetor soução precerá ª cou 5ª e 6ª. empo: Sej mtriz iverter já crescid d mtriz idetidde: ª imição: / ª imição: / ª imição: / Logo mtriz ivers é: È óvi geerizção do processo.

42 Mteri sujeito correções 5 SISTMS D QUÇÕS LINRS O estudo é imitdo os sistems ão homogêeos de equções icógits. 5. Métodos Itertivos Métodos Itertivos cosistem em se escrever o sistem F d Ode F d R é um mtriz m e d é um vetor. X so form: Deste modo prtido de um proimção iici fzemos s iterções: F F d d.. e de um modo ger se fizermos K iterções oteremos soução proimd iterção pe fórmu de recorrêci: Se: F d Lim diremos que seqüêci de proimções que seqüêci diverge. coverge pr. Cso cotrário diremos Pági de 55

43 Mteri sujeito correções 5. Método de Jcoi O método de Jcoi cosiste escoh d seguite mtriz F :. empo: Sej o sistem: cuj soução é e Soução: Trsformdo de cordo com disposição terior teremos: Fzedo teremos: ª Iterção: 5 5 ª Iterção: Pági de 55

44 Mteri sujeito correções ª Iterção: ª Iterção: Pági de 55

45 Mteri sujeito correções Pági 5 de Método de Guss-Siede É áogo o método de Jcoi com um terção esperd em fução d seguite modificção: Qudo ª iterção ccumos já dispomos do vor de que pode portto ser usdo. ogmete podemos proceder ssim pr s demis iterções. Teremos etão ª iterção e geericmete té -ésim:.. empo: Sej o mesmo sistem teriormete visto peo método de Jcoi: Ode: ª Iterção: 5 5 5

46 Mteri sujeito correções ª Iterção: ª Iterção: ª Iterção: studo d Covergêci Os métodos itertivos covergem sejm quis forem os vores iiciis dotdos desde que em cd um ds equções som dos vores soutos dos ij sej meor que. ou: empo: j j i j j i ij ii < pr i.. ij < pr i.. 9 Pági 6 de 55

47 Mteri sujeito correções 6 Decomposição LU Iicimete veremos em que codições podemos decompor um mtriz qudrd ij o produto de um mtriz trigur iferior por um mtriz trigur superior. 6. Teorem LU Sej ij um mtriz qudrd de ordem e o meor pricip costituído ds primeirs ihs e primeirs cous de ssumimos que det pr. tão eiste um úic mtriz trigur superior U u ij t que LU. ém disso det u u u m. Prov Pr provr este teorem usremos idução sore.. Se temos que:..u uicmete e ssim LU ode L e U u. ém disso det u.. ssumimos que o teorem é verddeiro pr ou sej que tod mtriz de ordem é decompoíve o produto LU s codições do teorem.. Devemos mostrr que decomposição pode ser feit pr um mtriz de ordem sej etão um mtriz de. Prtimos est mtriz em su-mtrizes d r form: t s ode r e s são vetores cou mos com eemetos. Note que mtriz é de ordem e stisfz s hipóteses do teorem. Portto pe hipótese de idução est pode ser decompost form L U Utiizdo s mtrizes L - e U - formmos: L L m t U p ; U u Ode m e p são vetores cou mos com compoetes m t é trspost de m. m p e u são descohecidos. ssim impodo que mtriz sej decompoíve em LU vmos tetr determiá-os. Pági 7 de 55

48 Mteri sujeito correções fetudo o produto LU segue que: L L m t U p * U u LU L U t m U m L t p p u studemos gor equção LU isto é: U t m U L L p t t m p u s r D igudde cim cocuímos que: L U L p r ; m t U t m p u ; t s ;. Oserve que primeir equção é váid pr hipótese de idução e portto L - e U - são uivocmete determids. ém disso em L - e em U - são sigures ou - tmém seri sigur cotrrido hipótese. ssim de: L p r p L r ; m t U t s m s U t t t m p u u m p t Portto p m e u são determidos uivocmete. Fimete Det detl.detu Det.detU -.U Det u.u.u -.u Competdo prov. Pági 8 de 55

49 Mteri sujeito correções 6. squem prático pr decomposição LU Oserve que teoricmete pr otermos s mtrizes L e U devemos ccur s iversões de L - e U -. tretto prátic podemos ccur L e U simpesmete picdo defiição de produto e de igudde de mtrizes isto é impodo que LU. Sej etão :.... u : * u u : u u u.. u α u α u α : : u α α α α α α α α : : α : α α α α : Pr otermos os eemetos d mtriz L e d mtriz U devemos ccur os eemetos ds ihs de U e os eemetos ds cous de L. Isto pode ser feito efetudo o produto de L por U.. Produto d ª ih de L pes cous de U iguds os eemetos d ª cou de.u...u u.u u Geerizdo. u u u j j j. Produto de tods s ihs de L d ª té ª pe ª cou de U igud com os eemetos d ª cou de io d digo pricip: u u u u u u Pági 9 de 55

50 Mteri sujeito correções Geerizdo i i i u. Produto d ª ih de L por tods s cous de U d ª té ª iguds os eemetos de ª ih de d digo pricip em dite u. u * * u u u u u u u u u u u u Geerizdo u j j u j j. O produto de tods s ihs de L d ª té ª pe ª cou de U igudo os eemetos d ª cou de dd digo pricip em dite: U U U U U U U U U U U U i iu i i U Se cotiurmos ccudo ª ih de U ª cou de L ª ih de U ª cou de L etc teremos de fórmus geris: Pági 5 de 55

51 Mteri sujeito correções u ij ij ij ij i i u jj i i u u j j i i > j j picção à soução de proems Sej o sistem de ordem ode stisfz s codições d decomposição LU. tão o sistem pode ser escrito como: Logo: Fzedo LU U y soução se reduz : Ly Resovedo o sistem terior ecotrmos y e sustituido y e m U y ecotrmos. Pági 5 de 55

52 Mteri sujeito correções empo de decomposição LU Ddo o sistem: y y - - z z z Com esse sistem formmos dus mtrizes e B Temos fórmu B tão fzemos L*U Sedo: L Mtriz Trigur iferior ower de digo uitári U Mtriz Trigur Superior upper L e U u u u u u u Mutipicdo s mtrizes L e U e igudo à mtriz coseguimos oter tods s icógits ds mtrizes L e U: L * U u u u u u u Pági 5 de 55

53 Mteri sujeito correções # Primeir ih de L mutipicdo primeir cou de U: i j * u * * u u #Primeir ih de L mutipicdo segud cou de U: i j * u u * * u u #Primeir ih de L mutipicdo terceir cou de U: i j * u u * u * u - u - #Segud ih de L mutipicdo primeir cou de U: i > j * u * * / #Segud ih de L mutipicdo segud cou de U: i j * u u * * * ½ u /. u u -/ #Segud ih de L mutipicdo terceir cou de U: i j * u * u * u / *- u -/* u u / u u 5/ Pági 5 de 55

54 Mteri sujeito correções #Terceir ih de L mutipicdo primeir cou de U: i > j * u * * * #Terceir ih de L mutipicdo segud cou de U: i > j * u * u * / * - / -/. -. * - 6 6/ #Terceir ih de L mutipicdo terceir cou de U: i j * u * u * u / * - 5/ u - -/ u - u -5 u Mtriz Ftord: L / * U / 5 / Votdo à fórmu B como L* U otemos LU B gor sustituiremos U por Y e otemos fórmu LY B ode L / Y Y * Y B Y Fzedo mutipicção ds mtrizes L e Y e igudo à mtriz B otemos um Sistem Trigur Iferior de digo uitári. Pági 5 de 55

55 Mteri sujeito correções Resovedo-o teremos: Y Y e Y Como U Y e os vores de U e Y já são cohecidos utiizremos o mesmo método utiizdo pr chr Y Y Y. Fzedo mutipicção ds mtrizes U e X X X X e igudo à mtriz Y otemos um SISTM TRINGULR SUPRIOR. Resovedo-o teremos: U / 5 / X X * X X Y Y Y Y Dode: X X X Tirdo Prov Coforme fórmu B verificmos se os resutdos otidos X X e X stisfzem s codições d mesm pr isso mutipicremos s mtrizes e X e igumos à mtriz B. Comprdo os vores otidos do produto X com B seremos se ecotrmos soução corret. * X X X X B Pági 55 de 55