NOTAS DE AULA. Cálculo Numérico. Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR - Professores: Lauro Cesar Galvão Luiz Fernando Nunes

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1 NOTAS DE AULA Cálculo Numérico Uiversidde Tecolóic Federl do Prá - UTFPR - Professores: Luro Cesr Glvão Luiz Ferdo Nues

2 Ídice Cálculo Numérico Luro / Nues ii Noções ásics sore Erros Erros Erros Asolutos e Reltivos Erro Asoluto Erro Reltivo ou T de Erro Erros de Arredodmeto e Trucmeto Erro de Arredodmeto Erro de Trucmeto Aritmétic de Poto Flutute Coversão de Bses Coversão d Bse pr Deciml Coversão d Bse Deciml pr Eercícios: Coversão de Bses Operções de Potos Flututes Represetções Eercícios Eercícios complemetres Zeros reis de fuções reis Itrodução Fse I: Isolmeto ds rízes Fse II: Refimeto - Critérios de Prd Método d Bissecção ou Método d Dicotomi Método do Poto Fio ou Método d Iterção Lier ou Método ds Aproimções sucessivs -8.. Método de Newto, Newto-Rphso ou Método ds Tetes Método d Secte Comprção etre os métodos... - Resolução de sistems de equções lieres Itrodução Form Aléric de S Form Mtricil de S Mtriz Aumetd ou Mtriz Complet do Sistem Solução do Sistem Clssificção de um Sistem Lier Clssificção quto o Determite de A Métodos diretos Método de Elimição de Guss Estrtéi de Pivotemeto Completo Ftorção LU Refimeto de Soluções Métodos itertivos Testes de prd Método de Guss-Jcoi Método de Guss-Seidel Comprção etre os métodos Critério de Sssefeld... -5

3 Luro / Nues iii 4 Iterpolção Iterpolção poliomil Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P Form de Lre Form de Newto Estudo de erro iterpolção Estimtiv pr o Erro Iterpolção ivers: csos eistetes P Ecotrr tl que 4.. Iterpolção ivers Fuções splie em iterpolção Fução Splie Splie lier iterpolte Splie cúic iterpolte Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos Itrodução Cso Discreto Cso Cotíuo Fmíli de Fuções Não Lieres os Prâmetros Iterção Numéric Fórmuls de Newto-Cotes Rer dos Trpézios Rer dos Trpézios repetid Rer / de Simpso Rer / de Simpso repetid Solução uméric de equções difereciis ordiáris Itrodução Prolem de vlor iicil PVI Solução uméric de um PVI de primeir ordem Método de Euler Métodos de Rue-Kutt Método de Euler Aprimordo Método de Rue-Kutt de Seud Ordem Fórmuls de Rue-Kutt de Qurt Ordem Referêcis Bilioráfics

4 Noções ásics sore Erros - Noções ásics sore Erros Feômeos d turez podem ser descritos trvés do uso de modelos mtemáticos. PROBLEMA MODELAGEM: é fse de oteção de um modelo mtemático que descreve o comportmeto do prolem que se quer estudr. RESOLUÇÃO: é fse de oteção d solução do modelo mtemático trvés d plicção de métodos uméricos.. Erros Pr se oter solução do prolem trvés do modelo mtemático, erros são cometidos s fses: MODELAGEM e RESOLUÇÃO.. Clculr áre d superfície terrestre usdo formulção A = 4πr. Aproimções ERROS: MODELAGEM: RESOLUÇÃO: MODELAGEM MODELO MATEMÁTICO RESOLUÇÃO SOLUÇÃO OBS. : Crcterístics do plet Terr. Crcterístics Físics: Diâmetro Equtoril: 756Km; Diâmetro Polr: 7Km; Mss: 5,98 4 K; Perímetro de Rotção Siderl: h 56mi 4se; Iclição do Equdor Sore Órit: o 7. Crcterístics Oritis: Rio d Órit, isto é, U.A. uidde stroômic: Km; Distâci Máim do Sol: 5Km; Distâci Míim do Sol: 47Km; Período de Revolução Siderl: 65dis 6h 9mi 9,5se; Velocidde Oritl Médi: 9,79Km/se.. Erros Asolutos e Reltivos.. Erro Asoluto É o módulo d difereç etre um vlor eto de um úmero e seu vlor proimdo. EA =, ode é o vlor eto e é o vlor proimdo. Gerlmete ão se cohece o vlor eto. Assim, o que se fz é oter um limitte superior mjorte ou um estimtiv pr o módulo do erro soluto. EA. Luro / Nues

5 Noções ásics sore Erros.. Erro Reltivo ou T de Erro Erro reltivo de é o módulo do quociete etre o erro soluto EA e o vlor eto ou o vlor proimdo, se ou. ER = EA = ou ER = EA =.. Clculr os erros soluto e reltivo, os ites e. =,5 e =,49; y = 5,4 e y = 5,9. -. Erros de Arredodmeto e Trucmeto.. Erro de Arredodmeto Arredodr um úmero cs d i é descosiderr s css d i+j j =,, de tl form que: d i sej últim cs se d i+ < 5; d i + sej últim cs se d i+ 5.. Arredodr π qurt cs deciml, sedo que π =, Erro de Trucmeto Trucr um úmero cs d i é descosiderr s css d i+j j =,,. 4. Aproimr trucdo qurt cs deciml, sedo que π =, Sedo-se que e pode ser escrito trvés d fórmul io, fç proimção de e trvés de um trucmeto pós qutro termos d somtóri. e = i i! i= = +! +! + +, < <!.4 Aritmétic de Poto Flutute Um úmero é represetdo, itermete, máqui de clculr ou o computdor trvés de um seqüêci de impulsos elétricos que idicm dois estdos: ou, ou sej, os úmeros são represetdos se ou iári. De meir erl, um úmero é represetdo se por: Luro / Nues

6 Noções ásics sore Erros - Ode: = ± [ d β + d β + d β + + d t βt] βep d i são úmeros iteiros cotidos o itervlo d i < β; i =,,, t; ep represet o epoete de e ssume vlores etre I ep S; I, S limite iferior e limite superior, respectivmete, pr vrição do epoete; [ d + d + d + + d t β β β βt] é chmd de mtiss e é prte do úmero que represet seus díitos siifictivos; t úmero de díitos do sistem de represetção. 6. Cosiderdo o sistem de se,, represete os seuites úmeros, em ritmétic de poto flutute:,45;,45. OBS. : Os úmeros ssim represetdos estão NORMALIZADOS, isto é, mtiss é um úmero etre e. 7. Cosiderdo o sistem iário,, represete o úmero em ritmétic de poto flutute..5 Coversão de Bses.5. Coversão d Bse pr Deciml m i i i Um úmero se pode ser escrito, se deciml, como: m m Ode: i i ; m m., m úmeros iteiros, com e m. Pr coversão, fz-se operção etre mtiss do úmero ormlizdo e se ep. Nos eercícios seuir, fç coversão d se idicd pr deciml, determido o vlor d vriável. 8.. Luro / Nues

7 Noções ásics sore Erros -4 9.,.. 4,5..5. Coversão d Bse Deciml pr Aplic-se um processo pr prte iteir e um outro pr prte frcioári. PARTE INTEIRA N :. N N N.. N N r q r q q r q Até que q N q r r r r r. Covert 59 pr se.. Covert 59 pr se. Luro / Nues

8 Noções ásics sore Erros -5 PARTE FRACIONÁRIA F : Multiplic-se F por e tom-se prte iteir do produto como o primeiro díito do úmero se. Repete-se o processo com prte frcioári do produto tomdo su prte iteir. Cotiu-se té que prte frcioári sej iul zero. Nos eercícios seuir, determir o vlor de :., ,6. 5.,5. Luro / Nues

9 .5. Eercícios: Coversão de Bses Trsforme pr se que se pede determie o vlor de. Noções ásics sore Erros -6 6.,. 7. 9, Trsforme medid 5 h 48 mi 8 se pr miutos. DICA: 5:48,86 mi. 9. Trsforme 5,85 hors pr hors, miutos e seudos. DICA: 5,85 6. Luro / Nues

10 Noções ásics sore Erros -7.6 Operções de Potos Flututes.6. Represetções Precisão dupl: dor mtiss t ; O zero em poto flutute é em erl represetdo com o meor epoete ep I possível máqui; Ao coverter um úmero pr determid ritmétic de poto flutute, empre-se sempre o rredodmeto; Não é possível represetr todos os úmeros reis em determid ritmétic de poto flutute ret furd. OBS. : Um eemplo d ret furd é: Cosidere ritmétic de potos flututes com prâmetros e t. Tome os úmeros cosecutivos,57 e,58. Eistem ifiitos úmeros reis etre,57 e,58 que ão podem ser represetdos est ritmétic de potos flututes. Por eemplo:,57 ou, Eercícios. Preecher tel seuir, com se os prâmetros: t,, I 5, S 5 e 5 ep 5. Número Trucmeto Arredodmeto 6,48,75 498,, ,5 OBS. 4: Deve-se coverter os vlores pr ritmétic de poto flutute com lrismos siifictivos. Nos eercícios seuites, clculr o vlor ds epressões utilizdo ritmétic de poto flutute com lrismos siifictivos.. 4,6 9,4 5,4 Luro / Nues

11 . 4,6 9,4 5,4. 4 4,99, ,99, Noções ásics sore Erros ,7 6,6 7 4, 7 66, 6. 7 OBS. 5: distriutivs. Em ritmétic de poto flutute ão vlem s proprieddes ssocitivs em 7. Sedo, t 4 e ep[5,5], clcule: 445 ; i i Eercícios complemetres Nos eercícios seuites, coverter os úmeros pr se deciml, determido o vlor d vriável : Luro / Nues

12 .. Noções ásics sore Erros -9.,..,..,. Nos eercícios seuites, coverter os úmeros pr se iári, determido o vlor d vriável : Luro / Nues

13 Noções ásics sore Erros - 6. Determie com 6 díitos:,7. 7. Determie com 8 díitos:,47. Luro / Nues

14 Zeros reis de fuções reis Zeros reis de fuções reis -. Itrodução Dd um fução rel f defiid e cotíu em um itervlo erto I, chm-se de zero dest fução em I, todo I, tl que f. Neste cpítulo são presetdos lus processos itertivos pr clculr de form proimd os zeros reis de um fução rel f dd. Por um processo itertivo etede-se um processo que clcul um seqüêci de proimções,,, d solução desejd. O cálculo de um ov proimção é feito utilizdo proimções teriores. Dizemos que seqüêci,,, covere pr, se ddo, N N N úmeros turis, tl que qulquer que sej N,. Neste cso tem-se que lim, o que tmém poderá ser idicdo por. Nos processos itertivos que serão presetdos, determição dos zeros de um fução rel de vriável rel será feit em dus etps: Fse I: Isolr cd zero que se desej determir d fução f em um itervlo [, ], sedo que cd itervlo deverá coter um e somete um zero d fução f. Fse II: Cálculo dos zeros proimdos utilizdo um método itertivo, com precisão prefid ou ão.. Fse I: Isolmeto ds rízes Teorem Sej f um fução cotíu um itervlo [, ]. Se f f <, etão eiste pelo meos um zero de f etre e. y y =f OBS. : So s hipóteses do teorem, o zero será defiido e úico em [, ] se derivd f ' eistir e preservr o sil detro do itervlo ], [, isto é se f ', ], [ ou f ', ], [. Isto siific dizer que fução f é estritmete crescete ou estritmete decrescete, respectivmete, o itervlo ], [. y y =f Luro / Nues

15 Zeros reis de fuções reis N pesquis dos zeros reis de fuções reis é muito útil o uso do Teorem que forece codições de eistêci de zeros em um itervlo, em como d OBS. que rte uicidde, isto é, rte que o itervlo cosiderdo eiste um e somete um zero d fução f. Outro recurso stte empredo é: prtir d equção f =, oter equção equivlete h e esoçr os ráficos dests fuções otedo os potos ode s mesms se itersectm, pois f h. 8. Isolr os zeros d fução f 9. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: 4 f - y y =f y h Luro / Nues

16 Zeros reis de fuções reis - y y =f Isolr os zeros d fução f l,. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: 4 f y y =f,,, -, -, -, -,4 -,5 -,6 -,7 -,8 -,9 -,,6,8,,,4 Luro / Nues

17 y Zeros reis de fuções reis f Isolr os zeros d fução f 5 lo, 4. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f y h 4. Isolr os zeros d fução f 5e. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f Luro / Nues

18 y Zeros reis de fuções reis -5 h. Fse II: Refimeto - Critérios de Prd.. Método d Bissecção ou Método d Dicotomi Este método é ormlmete utilizdo pr dimiuir o itervlo que cotém o zero d fução, pr plicção de outro método, pois o esforço computciol cresce demsidmete qudo se umet precisão eiid. O processo cosiste em dividir o itervlo que cotém o zero o meio e por plicção do Teorem, plicdo os suitervlos resulttes, determir qul deles cotém o zero.,,, O processo é repetido pr o ovo suitervlo té que se oteh um precisão prefid. Dest form, em cd iterção o zero d fução é proimdo pelo poto médio de cd suitervlo que cotém. y f m m m Assim, fiur terior tem-se: m m m m, m, m, Dest form, o mior erro que se pode cometer : iterção : é iterção : é Luro / Nues

19 iterção : é Zeros reis de fuções reis iterção: é Se o prolem eie que o erro cometido sej iferior um prâmetro, determi-se qutidde de iterções ecotrdo o mior iteiro que stisfz iequção: que se resolve d seuite meir: lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo lo 4. Determir um vlor proimdo pr 5, com erro iferior. Determir 5 é equivlete oter o zero positivo d fução f = f f f / Portto 5 4. Um tque de comprimeto L tem um secção trsversl o formto de um semicírculo com rio r vej fiur. Qudo cheio de áu té um distâci h do h topo, o volume V d áu é: V L, 5r r rcse h r h. Supodo r que L ft, r ft e V,4 ft, ecotre profudidde d áu o tque com precisão de, ft. Luro / Nues

20 Zeros reis de fuções reis -7 h r h Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: h f h Pr se cofirmr uicidde deste zero este itervlo, pode-se utilizr OBS., isto é,, clcul-se derivd f h de f h pr verificr que mesm preserv o sil o itervlo ],[. h f f h f / Assim, h Luro / Nues

21 Zeros reis de fuções reis Aloritmo do Método d Bissecção Sej f um fução cotíu em um itervlo [,], com f. f f isold em [, ]. -8 < e riz de Ddos de Etrd: Potos etremos e do itervlo; precisão ou tolerâci e o úmero máimo de iterções ITMAX. Síd: Solução proimd ou mesem de "solução ão ecotrd" com precisão desejd o úmero máimo de iterções. PASSO Fç i FA= f PASSO Equto i ITMAX eecute os pssos de 6 PASSO Fç PASSO 4 Se FX ou e FX f <, etão Síd Procedimeto eecutdo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i i PASSO 6 Se FA FX > etão fç e FA FX Cso cotrário fç PASSO 7 Síd Solução ão ecotrd com precisão eiid FIM.. Método do Poto Fio ou Método d Iterção Lier ou Método ds Aproimções sucessivs Neste método seqüêci de proimções do zero de um fução f fα = é otid trvés de um relção de recorrêci d form:,,,, O poto será cosiderdo um proimção iicil do zero d fução f e é um fução que tem como poto fio, isto é,. A primeir perut ser respodid é: dd um fução f com zero, como ecotrr um fução que teh como poto fio? Isto pode ser feito trvés de um série de mipulções lérics sore equção f, trsformdo- em um equção equivlete d form. Nests trsformções devem-se tomr os devidos cuiddos pr que estej defiid em e pr que perteç à imem de. Como o zero é descohecido, é ecessário determir um itervlo I que coteh e que estej cotido tto o domíio quto imem de. É ecessário que o zero de f sej úico o itervlo I, cso cotrário ão será possível discerir qul o zero determido. Luro / Nues

22 y y = Zeros reis de fuções reis -9 Poto fio de Zero de f 44. Oter lums fuções de poto fio pr fução f 6. Efetudo diferetes mipulções lérics sore equção f ou 6, podem-se oter diferetes fuções de poto fio, como por eemplo: No próimo psso lums dests fuções serão utilizds tettiv de err seqüêcis proimdors dos zeros de f. 45. Aproimr o mior zero d fução f 6 6, e,5., utilizdo fução Neste cso fórmul de recorrêci,,,, será: 6, e pode-se costruir seuite tel: 6 4 Luro / Nues

23 y y = Zeros reis de fuções reis - 6 = Aproimr o mior zero d fução f 6 6, e,5., utilizdo fução Neste cso fórmul de recorrêci,,,, será: 6, e pode-se costruir seuite tel: 6 6 y y = = Luro / Nues

24 Zeros reis de fuções reis Assim, os dois eercícios teriores mostrm que depededo d trsformção escolhid, relção de recorrêci pode ou ão forecer um seqüêci { } coverete. Dest form, como determir priori, quis trsformções forecerão seqüêcis coveretes? As fiurs que seuem ilustrm lus csos ode ocorrem coverêci e lus csos ode ão ocorre coverêci. A seqüêci y covere pr o zero Coverêci do tipo escd. y = - A seqüêci y covere pr o zero Coverêci do tipo crcol. y = 4 A seqüêci ão covere pr o zero. y y = Luro / Nues

25 A seqüêci ão covere pr o zero. y y = Zeros reis de fuções reis - O Teorem que seue estelece codições suficietes pr rtir coverêci do processo itertivo. OBS. : Como s codições que o teorem que seue são pes suficietes, dd um fução que ão stisfç ests codições, ão se pode rtir que seqüêci erd,, divere., Coverêci do Método ds Aproimções Sucessivs Teorem um fução tl que i Sej um zero de um fução f, isold em um itervlo I[,], e sej. Se: ' e são fuções cotíus em I; ii m I ' iii I e I, pr =,,, Etão seqüêci covere pr o zero. OBS. : Pr se resolver um prolem com o método ds proimções sucessivs, utiliz-se o teorem terior d seuite form: iicilmete determi-se um itervlo I ode o zero de f estej isoldo, e um fução que teh como poto fio. Alisdo e ', pode-se verificr se s codições i e ii do Teorem estão stisfeits. Ests codições podem ão estr stisfeits pelo fto do itervlo I ter sido superdimesiodo. Neste cso procur-se por um itervlo I stisfzedo s codições do teorem. N demostrção do Teorem, que pode ser vist em HUMES, A Flor C., et l. Noções de Cálculo Numérico. São Pulo: McGrw-Hill, p. 6, 984, tem-se que s codições i e ii rtem que se I etão <. Etretto, isto ão implic que I, é tomr I. Um meir simples pr rtir que como vlor iicil o etremo de I mis próimo do zero. N seqüêci, será mostrdo que este cso I : Supodo que sej o etremo de I mis próimo de, temse: <, loo I. A demostrção é álo pr o cso em que o etremo de I mis próimo de. OBS. 4: A codição iii do Teorem pode ser sustituíd por: iii o zero é o poto,, estão stisfeits s codições médio do itervlo I. N verdde, se pr o itervlo I Luro / Nues

26 Zeros reis de fuções reis i e ii do Teorem, e se estiver mis próimo de do que de etão, deotdo por r, tem-se que pr qulquer, r hipótese iii do teorem é verificd. Mis id, pr todo I, s codições do teorem, eiste I I tl que qulquer que sej I tem-se que I,. OBS. 5: A determição do etremo de I, mis próimo do zero pode ser feito d seuite meir: Supohmos stisfeits s hipóteses i e ii do Teorem. Nests codições, sej ˆ poto médio do itervlo I. Se-se que ˆ está mis próimo de do que ˆ. Se ˆ < ˆ, etão está etre ˆ e, ou sej, é o etremo de I mis próimo de. Alomete, se ˆ > ˆ, etão é o etremo de I mis próimo de. Se ˆ ˆ, etão ˆ é o zero procurdo. - Este é o cso em que é o etremo mis próimo de. ' OBS. 6: Sejm ddos, e m I stisfzedo s hipóteses do teorem terior. Se, etão. Dest form, otém-se um limitte superior pr o erro cometido -ésim iterção. 47. Verificr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d fução 6 o eercício úmero 45. Verificção d codição i: Verificção d codição ii: Loo, 48. Verificr s codições i e ii do teorem terior qudo do uso d fução. 6 Verificção d codição i: Luro / Nues

27 Verificção d codição ii: Zeros reis de fuções reis -4 Loo, Aloritmo do Método ds proimções sucessivs p Pr ecotrr um solução pr p dd um proimção iicil p. Ddos de Etrd: Aproimção iicil p, precisão ou tolerâci e o úmero máimo de iterções ITMAX. Síd: Solução proimd p ou mesem de solução ão ecotrd. PASSO Fç i PASSO Equto i ITMAX, eecute os pssos 6 PASSO Fç p p clculr p i PASSO 4 Se p p < etão OBS. 7: p Síd p procedimeto efetudo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i i + PASSO 6 Fç p p tulize p PASSO 7 Síd solução ão ecotrd pós ITMAX iterções FIM p Outros critérios de prd podem ser utilizdos: p p p f p 49. Ecotrr o zero de f 4 com precisão poto fio. e 6, utilizdo o método do Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f Luro / Nues

28 Zeros reis de fuções reis y h = e = Procurdo um fução de poto fio dequd pode-se fzer: Verificdo s hipóteses i e ii do Teorem : Luro / Nues

29 Zeros reis de fuções reis -6 4 Portto, =.. Método de Newto, Newto-Rphso ou Método ds Tetes Este método é um prticulridde do método ds proimções sucessivs. A idéi é costruir um fução pr qul eist um itervlo cotedo o zero, ode φ <. Est costrução é feit impodo '. Como ' deve ser um fução cotíu, eiste sempre um vizihç I de ode m' <. Oteção d fução : A form mis erl de equivlete f é dd por: + A f ode A é um fução cotíu tl que A. Escolhe-se A de form que '. Derivdo-se equção terior, otém-se ' A f ' A' f. Clculdo est derivd o poto, otém-se: ' A f '. Supodo que f α, pr que ', deve-se ter A =. Assim, um escolh stisftóri pr f ' A será portto: A = f ', um vez que. Sustituido A equção iicil, tem-se: f f ' Assim, o processo itertivo de Newto é defiido por: f,,,, f ' OBS. 8: A é válid mesmo que f ', um vez que. I Luro / Nues

30 Zeros reis de fuções reis Iterpretção Geométric do Método de Newto O poto é otido trçdo-se tete o ráfico d fução f o poto, f. A itersecção d ret tete com o eio ds scisss forece ov proimção. Est iterpretção justific o ome de método ds tetes. y f -7 f + t f f ' f f ' Coverêci do Método de Newto Teorem Sej f,, dus vezes difereciável, com f " cotíu. Supoh que: i f f ii iii f ', [, ] f '' ão troc de sil em, Etão, seqüêci erd pels iterções do método de Newto-Rphso utilizdo f fução f que equivle covere pr o úico zero de f ' f ' f, isoldo em, se, for escolhido coveietemete. OBS. 9: Pr se escolher o poto iicil, pode-se, por eemplo, fzer se, ou cso cotrário. Aloritmo do Método de Newto Pr ecotrr um solução pr f =, dd derivd de f e um proimção iicil. Ddos de Etrd: Aproimção iicil máimo de iterções ITMAX. :, p, precisão ou tolerâci e o úmero Síd: Solução proimd p ou mesem de solução ão ecotrd. PASSO Fç i = PASSO : Equto i ITMAX, eecute os pssos 6 PASSO Fç p p f p/ f ' p clculr pi PASSO 4 p Luro / Nues

31 OBS. : Se p p < etão Síd p procedimeto efetudo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i = i PASSO 6 Fç p =p tulize p Psso 7: Síd solução ão ecotrd pós ITMAX iterções FIM p p Outros critérios de prd podem ser utilizdos: Zeros reis de fuções reis -8 p p p f p OBS. : O Método de Newto irá flhr se pr lum, f. 5. Ecotrr solução pr equção = cos com precisão ' p 6. Pode-se costruir um tel de vlores pr f e lisr os siis: f Luro / Nues

32 y = Zeros reis de fuções reis -9 h =cos - 4 Portto, =..4 Método d Secte Um rde desvtem do método de Newto é ecessidde de se oter derivd f e clculr o seu vlor umérico cd iterção. Pr cotorr este prolem podemos sustituir o cálculo d primeir derivd f pelo quociete ds difereçs, usdo ssim, um modelo lier sedo os dois vlores clculdos mis recetemete: f = f f ode e são dus proimções pr riz. Sustituido o vlor proimdo d derivd cim fórmul e Newto, otém-se: + = f f + = f f f Assim, o processo itertivo do Método d Secte é defiido por: + = f ou f f + = f f, f f com =,,, Luro / Nues

33 Zeros reis de fuções reis Iterpretção Geométric do Método d Secte Os vlores e são proimções iiciis que determim ret pelos potos, f e, f. A itersecção d ret secte com o eio ds scisss forece ov proimção. Etão, de dois vlores e é determid ret pelos potos, f e, f. A itersecção dest ret com o eio ds scisss forece proimção +. y f f f - f 4 f 4 L ur o Cesr Glvão f Pr o deseho cim, tome =. Dest form, = e + =. Assim, os dois triâulos io são semelhtes e form tirdos d fiur cim. L ur o Cesr Glvão f f Etão, por semelhç de triâulos, temos: f f = + + Isoldo +, temos: f + = f + f f + = f f + + f f = f f + = f f f f Coverêci do Método d Secte Como o método d secte é um proimção pr o método de Newto, s codições de coverêci são próims. OBS. : O método d secte pode diverir se f f. - Luro / Nues

34 Aloritmo do Método d Secte f Zeros reis de fuções reis Pr ecotrr um solução pr =, dds dus proimções iicil p e p. Ddos de Etrd: Aproimções iicil p e p, precisão ou tolerâci e o úmero máimo de iterções ITMAX. Síd: Solução proimd p ou mesem de solução ão ecotrd. PASSO Fç i = PASSO : Equto i ITMAX, eecute os pssos 6 PASSO OBS. : Fç p = p fp p fp fp fp clculr p i PASSO 4 Se p p < etão Síd p procedimeto efetudo com sucesso FIM PASSO 5 Fç i = i PASSO 6 Fç p = p e p = p tulize p e p Psso 7: Síd solução ão ecotrd pós ITMAX iterções FIM p p Outros critérios de prd podem ser utilizdos: - p p p f p 5. Cosiderdo o mesmo eercício terior, ecotrr solução pr equção = cos com precisão 6, usdo o método d secte. Cosidere = e =, como proimções iiciis. f = cos = Assim, fórmul recursiv do método d secte pr este cso fic: + = f f f f Portto, = Luro / Nues

35 Zeros reis de fuções reis..5 Comprção etre os métodos Nos eercícios seuites, cosiderdo cd método especificdo, determie um proimção pr o zero d fução. 5. Pelo método d Bissecção, determie um proimção pr, d fução f = e 4 cos com proimção tl que /. f f f / Loo, 5. Pelo método do Poto Fio ou Aproimções Sucessivs, determie um proimção pr, d fução f = e cos com proimção ε = ε = 4 tl que f < ε ou + < ε. Utilize, Loo, f Prd Luro / Nues

36 Zeros reis de fuções reis 54. Pelo método de Newto-Rphso, determie um proimção 4 pr, d fução f = e f cos com proimção tl que ou + < ε. Utilize,5. - Loo, f Prd 55. Pelo método d secte, determie um proimção pr, d fução f = e 4 cos com proimção tl que f ou + < ε. Utilize =,5 e =,, como proimções iiciis. + = f f f f ,5, Loo, Luro / Nues

37 Resolução de sistems de equções lieres -4 Resolução de sistems de equções lieres. Itrodução Vários prolems, como cálculo de estruturs de redes elétrics e solução de equções difereciis, recorrem resolução uméric de um sistem lier S de equções com icóits... Form Aléric de S S ou S j ij j i, i,,,... Form Mtricil de S A Ode: A mtriz dos coeficietes;. vetor ds icóits ou vetor solução; vetor dos termos idepedetes... Mtriz Aumetd ou Mtriz Complet do Sistem B [ A ]..4 Solução do Sistem,,, T....5 Clssificção de um Sistem Lier COMPATÍVEL: preset soluções; INCOMPATÍVEL: cso cotrário. Luro / Nues

38 ..6 Clssificção quto o Determite de A Resolução de sistems de equções lieres det A SPD sistem lier possível e determido SOLUÇÃO ÚNICA; det A SPI ou SI: mtriz A é SINGULAR. SPI Sistem possível e idetermido, SI Sistem impossível. OBS. : Se i, i,,,, isto é, se, o sistem é dito HOMOGÊNEO. Todo sistem homoêeo é comptível, pois dmite sempre solução. A solução é chmd TRIVIAL.. Métodos diretos São métodos que determim solução de um sistem lier com um úmero fiito de operções. Defiição: Dois sistems lieres são equivletes qudo possuem mesm solução... Método de Elimição de Guss A superior equivlete. Tome det A como hipótese. A U c, o que se resolve por sustituição. [ A ] [U c ] u u u c u u c u c -5 Com pssos, o sistem lier é trsformdo um sistem triulr. 56. Resolver o sistem S, com S Etp : em B, tome clculm-se os multiplicdores L i, com i,,, como s lihs de B e m i i,. como pivô e Luro / Nues

39 Resolução de sistems de equções lieres -6 Etp : Repete-se o processo pr o próimo pivô, situdo diol d mtriz B. Em B, tome L i, com i, e como pivô. Método compcto pr TRIANGULAÇÃO U c : Lih Multiplicdor m Mtriz Aumetd Trsformção B - 5 m = m = - - B m = B As lihs cotedo os pivôs formm o sistem U c. Luro / Nues

40 Resolução de sistems de equções lieres 57. Resolver o sistem S 4 com rredodmeto em dus css decimis, mtriz umetd. 8, 7, 9,, 4 6, 4 45, 8, 8 5, 45, 4 49, 7 S4 A 5, 84, 5, 4, 4 88,, 8,, 5, 4 6, Lih Multiplicdor m Mtriz Aumetd B 8,7, 9,, 6,4 4 4 m = 4,5-8,8,5-45, -49,7 m = 5, -84, -,5,4-8,8 m =, -8, -,,5-6, B 4 4 m = m = B 4 m 4 = 4 B Etão A U c [ A ] [U c ]. -7 U c Loo: Cálculo do Resíduo Um medid pr vlir precisão dos cálculos é o resíduo, que é ddo por: r A. 58. Com se o eercício terior, clculr o resíduo r do sistem A. r A. r Luro / Nues

41 Aloritmo de Elimição de Guss Sej o sistem A, com A, e. Sempre supor que etp. TRIANGULARIZAÇÃO: A U c. Pr,,, Pr i,, m i i Pr j,, ij ij m j i i m FIM FIM FIM RESOLUÇÃO DO SISTEMA U c. Pr,,, s Pr j,, s s j j FIM FIM s Resolução de sistems de equções lieres -8.. Estrtéi de Pivotemeto Completo No mometo de se clculr o multiplicdor m i, se o pivô estiver próimo de zero, o método pode mplir os erros de rredodmeto. Pr se cotorr estes prolems, escolhese como pivô MAX, com i, j,,,. multiplicdor ij Ddo A, tome B [ A ]. q q B. p p pq p p q Sej MAX ij, i, j,,, o pivô d lih p. Etão, clcul-se o pq iq miq elemetos ij d colu q trvés d operção: pq, em cd lih, i p com i,,,. Assim, ulm-se os Luro / Nues

42 L m L i iq p i L. Resolução de sistems de equções lieres Elimido-se lih pivotl p, repete-se o processo té que se oteh cojutos de operções elemetres plicds sore B, ode,,,. -9 L i com 59. Resolv S 4 com rredodmeto em dus css decimis, utilizdo elimição de Guss com pivotemeto completo. 8, 7, 9,, 4 6, 4 45, 8, 8 5, 45, 4 49, 7 S4 A. 5, 84, 5, 4, 4 88,, 8,, 5, 4 6, Lih Multiplicdor m Mtriz Aumetd m = 8,7, 9,, 6,4 m = 4,5-8,8,5-45, -49,7 B 5, -84, -,5,4-8,8 4 m =, -8, -,,5-6, 4 m 4 = B 4 44 m = m = 4 B B Etão A U c [ A ] [U c ]. U c Luro / Nues

43 Resolução de sistems de equções lieres.. Ftorção LU Tod mtriz ão siulr dmite um decomposição em dus mtrizes triulres, um superior e outr iferior. Quem rte esse resultdo é o teorem io. Teorem de Guss Sej A um mtriz qudrd de ordem tl que det A. Sejm U um mtriz triulr superior, U = { u ij, se i j, se i > j e L um mtriz triulr iferior com diol uitári,, se i < j L = {, se i = j l ij, se i > j Etão eiste e é úic decomposição A = LU, ode U é mtriz resultte do processo de elimição ussi e l ij = m ij, multiplicdores de lihs, sem troc de sil. Apresetmos como eemplo: A = 4 4 = A se do método de Decomposição LU, tmém cohecido como método Ftorção, cosiste resolução de sistems triulres. Sej o sistem lier A = Supor que sej possível ftorr mtriz A dos coeficietes: A = LU Nests codições, o sistem A = pode ser reescrito form LU =, o que permite o desmemrmeto em dois sistems triulres: Ly = e U = y Resolvedo o primeiro sistem, clculmos y que, usdo o seudo sistem, forecerá o vetor procurdo. Dess meir, cohecids L e U, o sistem será resolvido com operções dois sistems triulres, o que represet um ho sustcil comprdo com s operções do método d elimição de Guss. Cálculo dos Ftores L e U: Os ftores L e U podem ser otidos trvés de fórmuls pr os elemetos l ij e u ij, ou etão, podem ser costruídos usdo idei ásic do método d Elimição de Guss. Veremos seuir, trvés de um eemplo, como oter L e U trvés do processo de Guss. 6. Decompor mtriz A, usdo Decomposição LU. A = Clculdo o m ij e u ij, usdo o processo de Guss m ij sem troc de sil, temos: Pr Colu d mtriz A : A=A = Pivô = = L U -4 Multiplicdores: m = m = Luro / Nues

44 Resolução de sistems de equções lieres Etão: L L ; L m L + L L m L + L -4 A = Pivô = = Multiplicdores: m = Etão: L L ; L L L m L + L A = Os ftores L e U são: A = L U = = Vmos proveitr o Eercício cim pr resolver um sistem de equções lieres trvés d Decomposição LU. 6. Resolv o sistem lier seuir usdo Decomposição LU Ftorção. + = { + = + = Loo, = =. Luro / Nues

45 Resolução de sistems de equções lieres 6. Resolv o sistem lier seuir usdo ftorção LU: = { + + = = 5-4 = 6. Resolv o sistem lier seuir usdo ftorção LU:,y,z =, {, + 7y,z = 7,8,,y + z =,5 Luro / Nues

46 Resolução de sistems de equções lieres -4 = 64. Cosidere mtriz. A = Clcule ftorção LU de A. 5 Usdo ftorção LU, clcule o determite de A. Luro / Nues

47 Resolução de sistems de equções lieres Aplicdo-se o método d decomposição LU mtriz:??? A = 4 8? 5 Otiverm-se s mtrizes:????? 5 L =??? e U =???? 4??? Preech os espços potilhdos com vlores dequdos. Luro / Nues

48 Resolução de sistems de equções lieres -45 A = U = L = Luro / Nues

49 ..4 Refimeto de Soluções Resolução de sistems de equções lieres Sej solução proimd pr A. Otém-se solução melhord plicdo-se correção em. Se A, etão A A A A A A r. Assim, vem de [ A r ]. Otido o, clcul-se. Repete-se o processo pr se oter,,,, té que se teh precisão desejd. Loo, otém-se o refimeto de form itertiv pel seuite equção: i i i, com i,,. 66. Cosiderdo respost do eercício, fç o refimeto de té que se oteh 4 o resíduo r =, cosiderdo precisão dupl,, qutro css decimis. 8, 7 45, A 5,,, 8, 8 84, 8, T,,,, r A REFINAMENTO: 9, 5, 5,,, 45, 4, 5, r T, 4, 4, 8, 468 A r [ A r 6, 4 49, 7 88, 6, ] [ A r ] Lih Multiplicdor m Mtriz Aumetd B 8,7, 9,, -,4 4 4 m = 4,5-8,8,5-45, -,4 m = 5, -84, -,5,4,8 m =, -8, -,,5,468 B 4 4 m = m = B 4 m 4 = 4 B Cosiderdo 4 css decimis: -46 Luro / Nues

50 Resolução de sistems de equções lieres -47 [ A r ] Etão: [ A r Como: r Loo, ] A. Métodos itertivos A solução de um sistem de equções lieres A pode ser otido resolvedo, de form itertiv, o sistem equivlete d form F d, ode F é um mtriz, e d vetores. Isto pode ser feito tomdo F d, F é o vetor iicil... Testes de prd má i O processo itertivo i i d, ode,,, M, e M é o úmero máimo de iterções e er proimções té que:, sedo tolerâci; ou > M, sedo M o úmero máimo de iterções... Método de Guss-Jcoi Adptção de A pr F d : A F d OBS. : Pr o sistem F d, é ecessário que ii, i. Cso isto ão ocorr, o sistem A deve ser rerupdo. Luro / Nues

51 Resolução de sistems de equções lieres Luro / Nues -48 Assim, fórmul recursiv d F é dd form mtricil por: ou id F d o que é equivlete : Resolv o sistem seuir, utilizdo o método de Guss-Jcoi, com e,. A F d F e d Neste cso fórmul de recorrêci fic: F d

52 Resolução de sistems de equções lieres -49 m i i Com T Critério ds lihs i e,, o processo coveriu com... iterções pr: Um codição suficiete ms ão ecessári pr rtir coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo o sistem A, com, i, é ij j ji ii, i,,,,. Neste cso, mtriz dos coeficietes ds icóits A é dit estritmete diol domite. 68. Verificr se o critério ds lihs é stisfeito o sistem de equções A, que seue: 7 A A 5 ii Loo, mtriz dos coeficietes A é estritmete diol domite, o que rte coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icóits. Luro / Nues

53 Resolução de sistems de equções lieres Luro / Nues Verificr se o critério ds lihs é stisfeito o sistem de equções A, que seue: A A Loo mtriz dos coeficietes A ão é estritmete diol domite. Isto siific que ão é rtid coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ordem de equções e icóits. Ms permutdo dequdmete s equções do sistem, otém-se o sistem equivlete: A Loo, est ov mtriz dos coeficietes A é estritmete diol domite, o que rte coverêci do método de Guss-Jcoi plicdo este sistem com est ov ordem de equções e icóits... Método de Guss-Seidel É semelhte o método de Guss-Jcoi, com difereç de utilizr i, i < p, pr o cálculo de p. Dest form, s equções recursivs ficm:

54 Resolução de sistems de equções lieres e 7. Resolv o sistem seuir, utilizdo o método de Guss-Seidel, com,. A 5 Neste cso fórmul de recorrêci fic: m i i - 4 Com T i e,, o processo coveriu com... iterções pr:..4 Comprção etre os métodos 7. Resolv o sistem A, utilizdo o método de Guss-Jcoi, com,5. 5 A e -5 F e d F d Neste cso fórmul de recorrêci fic: Luro / Nues

55 Resolução de sistems de equções lieres -5 m i Com T i i e,5, o processo coveriu com... iterções pr: 7. Resolv o sistem A, utilizdo o método de Guss-Seidel, com, A Neste cso fórmul de recorrêci fic: m i - Com T i i e e,5, o processo coveriu com... iterções pr: Luro / Nues

56 ..5 Critério de Sssefeld Resolução de sistems de equções lieres Um codição suficiete pr rtir coverêci do método de Guss-Seidel plicdo o sistem A, com ii, i, é M, sedo M m i, ode: i OBS. : i stisfeito. j i j ij j ij ii j ji, i,,,. -5 Se o critério ds lihs é stisfeito, etão o critério de Sssefeld tmém será 7. Verificr se o critério de Sssefeld é stisfeito o sistem de equções A, que, 5,, 4,,,, 4, 6 seue: A,, 7, 4,,,, 4, 5, 5, A,,,, 7,,, [ 4 ] [ 4 ] [ 4 ],,, 4 [ ] Etão, 44 M m m {... ;... ;... ;... }... Loo o critério de i 4 i Sssefeld está stisfeito, o que rte coverêci do método de Guss-Seidel plicdo este sistem. Luro / Nues

57 Resolução de sistems de equções lieres 74. Verificr se o critério de Sssefeld é stisfeito o sistem de equções A, que 9 seue: A Com est disposição de lihs e colus, tem-se que: [ ] -54 [ ] [ ] [ ] Etão, M m i i Luro / Nues

58 4 Iterpolção Iterpolção Iterpolção poliomil Um fução f pode ser cohecid por um cojuto fiito e discreto de potos. y 4, y 4 f, y, y, y, y 5, y 5 P i y i y y y y 4 y 4 5 y 5 Pr se INTERPOLAR os potos otidos d tel, é utilizdo um poliômio de tl form que: P i f i pr i,,,. 4.. Eistêci e Uicidde do Poliômio Iterpoldor P Teorem Eiste um úico poliômio P, de ru, tl que: i =,,,, desde que i j, i j. Tome P i f i i i P P i f i, com f i pr i,,,. Desevolvedo o sistem i,,,, otém-se: f i f i f i Dí, retir-se mtriz dos coeficietes A pr se clculr s icóits,,,. A 4 5. Luro / Nues

59 Iterpolção A é um mtriz de VANDERMONDE e, sedo i com i,,,, potos distitos, o det A. Assim o sistem dmite solução úic. OBS. : 4-56 det A det A i j. ENTÃO: O poliômio P eiste e é úico. 4.. Form de Lre Sej f um fução teld em potos distitos,,, e sej poliômios de Lre de ru, ode L i é ddo por: j L i j i j ji de tl form que L i 75. Determie L i pr i,,,,, e. i L L.... L.... L.... i L L.... L.... L.... i L L.... L.... L.... Pr, com,,,,, temos: P i i i y i y L i i L i L y i i i y i, se, se i i i j L i Luro / Nues

60 A form de Lre pr o poliômio iterpoldor é: P i y i i yili ou P j j i j ji Iterpolção Iterpolr o poto,5 tel io, empredo o poliômio iterpoldor de Lre. i i y i é o ru máimo de P. P i L i j ji y ili P... L... L... L... L i j L L L L Loo: P P P,5 P P,5 j P,5 y P 8 - Luro / Nues

61 4.. Form de Newto A form de Newto pr o poliômio + potos distitos é seuite: Iterpolção 4-58 P que iterpol f em,,,, P f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ]. Ode ORDEM f [ ] f y f [ f [, ] ] f [ ] f f y y f [ f [,, ], ] f [, ] f [ f [,,, ],, ] f [,, ] f [ f [,,, ],,, ] f [,,, ] f [,,, ] é DIFERENÇA DIVIDIDA de ordem d fução f sore os potos,,,. Tel Prátic DIFERENÇAS DIVIDIDAS ordem ordem ordem ordem ordem f[ ] f[, ] f[ ] f[,, ] f[, ] f[,,, ] f[ ] f[,, ] f[, ] f[,,, 4 ] f[ ] f[,, 4 ] f[, 4 ] f[,, ] 4 f[ 4 ] f[,,, ] f[,, ] f[ ] f[, ] Luro / Nues

62 Iterpolção 77. Iterpolr o poto,5 tel io, empredo form de Newto. i i y i é o ru máimo de P. Tel de difereçs dividids: ordem ordem ordem ordem 4-59 P f [ ] f [, ] f [,, ] f [,,, ] P P P 4. Estudo de erro iterpolção Sejm, potos. Sej f com derivds té ordem pr pertecete o itervlo [, ]. Sej P o poliômio iterpoldor de f os potos,,,,. Etão, em qulquer poto pertecete o itervlo [, ], o erro é ddo por: E f P E ode,. f! Est fórmul tem uso limitdo, pois são rrs s situções em que cohecid e o poto uc é cohecido. f é Luro / Nues

63 4.. Estimtiv pr o Erro Utilizdo equção terior, sedo escrever: E f P M E i, ode M m f.! I i Iterpolção 4-6 f cotíu em I [, ], pode-se Ao se costruir tel de difereçs dividids té ordem, pode-se usr o mior M vlor em módulo dest ordem como proimção pr o itervlo I [, ].! Etão: E i m Dd i sedo Dd os vlores d tel de difereçs dividids de ordem. 78. Sej f dd em form de tel de vlores, como seue:,,4,4,5,6,7 f,6,,7,9,,7 Oter f,47 usdo um poliômio de ru ; Dr um estimtiv pr o erro. Tel de difereçs dividids: ordem ordem ordem ordem,,4,4,5,6,7 Deve-se escolher potos próimos de,47 pr oteção de P. P f [ ] f [, ] f [,, ] P P P, f,47 E,47 Luro / Nues

64 E, Prove iuldde seuite. P f f ordem ordem f [ ] y f [, ] y y f [ ] f [, ] Iterpolção 4-6 f [ ] y P f [ ] f [, ] P P 4. Iterpolção ivers: csos eistetes O prolem d iterpolção ivers cosiste em: ddo y f, f, oter, tl que f y. São dus, s forms de se oter. A primeir é ecotrr tl que P y ; A seud é fzer própri iterpolção ivers, utilizdo pr isso, os vlores de y. 4.. Ecotrr tl que P Oter P que iterpol f em,,,, e em seuid ecotrr, tl que f y. OBS. : otido dest form ão permite se estimr o erro. Luro / Nues

65 8. Ecotre tl que f pel tel io: Iterpolção,5,6,7,8,9, f,65,8,,,46,7 Fzedo iterpolção lier por,6 e,7: P f P f Iterpolção ivers Se f for iversível um itervlo cotedo y, etão f y y. Codição pr iversão de f : f é cotíu e moóto crescete decrescete um itervlo [, ]. Ddo f cotíu em,, etão f será dmitid moóto crescete se f f f e moóto decrescete se f f f. Respeitds s codições dds cim, será otido o poliômio P y que iterpol y f y sore [ y, y ]. 8. Cosidere tel seuir:,,,,4,5 y e,5,4,499,498,6487 Oter, tl que e,65, usdo um processo de iterpolção qudrátic. Usr form de Newto pr oter P y. Costruir tel de difereçs dividids. y ordem ordem ordem ordem,5,4,499,498,6487 Luro / Nues

66 P y [ y ] y y [ y, y ] y y y y [ y, y, y ] P y P,65 Iterpolção Assim, e,65 N clculdor,659. Erro cometido: M E y y y y y y y! E,65 M m ''' y, y [ y, y ]. o M Cso: pode ser proimdo por... tel de difereçs dividids de ordem.! E, E y o Cso: f e y Loo: M E,65 f y l y 4.4 Fuções splie em iterpolção i Cosidere f teld o itervlo [,] os potos i, com 5 i,,,. No ráfico io, pode ser oservd fução f e o poliômio P que iterpol o cojuto discreto de potos pr.,,8,6,4,,,4,6,8, f,8,59,,,5,,5,,,59,8 y P f - - Luro / Nues

67 Iterpolção Em certos csos, proimção por P pode ser desstros. Um ltertiv é iterpolr f em rupos de poucos potos, otedo-se poliômios de rus meores, e impor codições pr que fução de proimção sej cotíu e teh derivds cotíus té um cert ordem Fução Splie Cosidere fução f teld os potos. Um fução S p é deomid SPLINE DE GRAU p com ós os potos com i,,,, se stisfz s seuites codições: Em cd suitervlo [ i, i], com i,,,, S p é um poliômio de ru p represetdo por s i. S p é cotíu e tem derivd cotíu té ordem p em [, ]. S p i f i, com i,,,. Nestes termos, S p é deomid SPLINE INTERPOLANTE Splie lier iterpolte É represetd por S. S pode ser escrit em cd suitervlo [ i s i f i i i i f i i i i, [ i S defiid dess form stisfz s codições, e., i ], com i,,, como: 4-64 i,, i ] 8. Achr fução splie lier que iterpol fução f teld seuir. 5 7 y f, Pel defiição, pode-se defiir splies lieres pr os 4 potos: s, s e s. s y,5 y y s s s f s s..., [...,... ]. Luro / Nues

68 s y y Iterpolção 4-65 s s , [...,... ]. s y y s s , [...,... ]. Etão, o itervlo [, ][,7], splie lier S é dd por: S 4.4. Splie cúic iterpolte É represetd por S. A splie lier tem derivd primeir descotíu os ós. A splie qudrátic S tem derivds cotíus té ordem, portto, pode ter picos ou troc rupt de curvtur os ós. A splie cúic S é mis utilizd por ter derivds primeir e seud cotíus, que fz S ser mis suve os ós. Defiição: Supoh f dd por i, com i,,,. Tome S como splie cúic de f os ós i, cso eistm poliômios de ru defiidos em cd suitervlo por s, com,,,. Etão splie cúic S deve stisfzer s 5 iulddes seuites: S s pr [ S i f i, com i,,,. s, s s s,,, s s,,,,,,.,,,,.,,,,. Em cd itervlo [, ],,,,., ], s será dd por: s c d, com,,, São 4 coeficietes pr cd à serem determidos. Tome otção h, pr. Codição : é stisfeit pel defiição de s. Pr codição, tem-se s equções: d f s,,,, Luro / Nues

69 Iterpolção 4-66 s f h h c h d f, 4 Codição pr,,,. s f, h h c h d Pr s codições e, tome s derivds: f 5 s c 6 s 6 7,, Pr,, s. Assim, o coeficiete é ddo por:,, s Pr s 6,,,, s s 6h,, Impodo codição,,, s 6h,, h.. s s,, otém-se:, 8,, s s 6h,,, com,, s ritrári 9 N oteção de c, utilizm-se s equções 4 e 5: c c c f h h f f h f f h h d h,, s Dí, c pode ser ddo por: s 6, d f h, sustituido,, h e otém-se:,, s h c c f f h,,,, s h s h N oteção dos coeficietes, tome y f e 6h y y h h h 6 6 s,., d y 4 Luro / Nues

70 que: y Impodo últim codição, Pr c c, s c, etão: +, s h h c s, c Iterpolção 4-67, com,,,, coclui-se c c h h. Fzedo-se lums sustituições, trvés ds equções, e : h y h h 6 Dí, che-se equção 5: y y h h h 6 6 h h h h h h 6 y y y y, com,,, 5 h h A equção 5 é um sistem de equções lieres A, ode,,,. A ordem do sistem é: A, e. Pel vrição de, o sistem A é idetermido. Pr se resolver o sistem, de form úic, é ecessário impor mis dus codições, presetds s três ltertivs seuir. Splie Nturl os etremos, S é proimdmete lier. " S " S Nos etremos, S é proimdmete práol. Nos etremos, é dd um iclição I e I pr S., S I s I h h ' ' S I, s I c I. c I Ns ltertivs e, são elimids dus vriáveis, e. Assim A é SPD, sedo que, o sistem é ddo ordem: A, e. N ltertiv, são crescetds dus equções. Assim A é SPD, sedo que, o sistem é ddo ordem: A, e. Luro / Nues

71 Iterpolção 8. Ecotrr um proimção pr f,5 por splie cúic turl, iterpoldo tel: 4,5,,5, y f,866,557 4,987 9,56 4, loo, procur-se s, s, s e s 4. Splie Nturl,,,,, Utilizdo 5, seue que: y y y h h h h 6 h y h 4-68 Desevolvedo o sistem A : 4... Splie Nturl. Etão, A Form erl de s i f,5 s,5 6h c d s i i i i i c i i d i, com i,,, y y h h c... h 6 y d... Loo, s,5... s, f,5. Luro / Nues

72 Iterpolção Cosiderdo os próimos 5 eercícios, ecotrr um proimção pr f por splie cúic turl, iterpoldo tel: 4,5,,5, y f,866,557 4,987 9,56 4, loo, procur-se s, s, s e s 4. Do eercício terior, form erl de s i é dd por: s i i i i i c i i d i, com i,,, f,8. f,8 s, h c d y y h h... h 6 c... y... d... Loo, s,8... s, f, f,. f, s, h c d y y h h... h 6 c... y... d... Loo, s,... s, f, Luro / Nues

73 Iterpolção f,. f, s, h c d y y h h... h 6 c... y... d... Loo, s,... s, f,. 87. f,. f, s, h c d y y h h... h 6 c... y... d... Loo, s,... s, f,. 88. f,7. f,7 s 4, c 4 d h y4 y h4 h... h 6 c 4... y... d 4... Loo, s 4,7... s 4, f,7. Luro / Nues

74 Iterção Numéric Ajuste de curvs pelo método dos míimos qudrdos 5. Itrodução Um form de se trlhr com um fução defiid por um tel de vlores é iterpolção. Cotudo, iterpolção pode ão ser coselhável qudo: É preciso oter um vlor proimdo d fução em lum poto for do itervlo de telmeto etrpolção. Os vlores teldos são resultdo de eperimetos físicos, pois estes vlores poderão coter erros ieretes que, em erl, ão são previsíveis. Sure etão ecessidde de se justr ests fuções telds um fução que sej um o proimção pr s mesms e que os permit etrpolr com cert mrem de seurç. Assim, o ojetivo deste processo é proimr um fução f por outr fução, escolhid de um fmíli de fuções em dus situções distits: Domíio discreto: qudo fução f é dd por um tel de vlores. y Domíio cotíuo: qudo fução f é dd por su form lític. y y =f Luro / Nues

75 5. Cso Discreto Iterção Numéric O prolem do juste de curvs o cso em que se tem um tel de potos: m f f f f m com,,,, m [, ], cosiste em: escolhids fuções cotíus,,,,, cotíus em [, ], oter costtes,,,, tis que fução se proime o máimo de f. Este modelo mtemático é lier pois os coeficietes que devem ser determidos,,,, precem liermete, emor s fuções,,,, possm ser ão lieres. Sure etão primeir perut: Como escolher s fuções cotíus,,,,? Est escolh pode ser feit oservdo o ráfico dos potos teldos dirm de dispersão ou sedo-se em fudmetos teóricos do eperimeto que foreceu tel. Sej d f o desvio em. O método dos míimos qudrdos cosiste em escolher os coeficietes,,,, de tl form que som dos qudrdos dos desvios sej míim, isto é: m d m [ f ] deve ser míimo. Assim, os coeficietes,,,, que fzem com que se proime o máimo de f, são os que miimizm fução: F,,,, m m [ f ] = [ f ]. y 5-7 f d Pr isto é ecessário que: F,,,,, j,,,,, isto é: j F,,,, j Luro / Nues

76 Iterção Numéric Luro / Nues 5-7 m j f ] [ ] [, j,,,, ou,,,,, Assim, tem-se o seuite sistem de equções lieres com icóits,,,, : Que é equivlete : As equções deste sistem lier são chmds de equções ormis. Este sistem pode ser escrito form mtricil : ode tl que, ou sej, é um mtriz simétric; e é tl que. Lemrdo que, ddos os vetores e o úmero rel é chmdo de produto esclr de por, e usdo est otção o sistem orml, tem-se: e ode: é o vetor e m j f ] [ ] [ j m m m f f f ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ m m m m m m m m m f f f A A ij ij m j i m ji i j A T ],,, [ T ],,, [ m i i f y m m y y, y A j i ij, f i i, l T m l l l l ] [

77 f é o vetor [ f f f f m ]. Dest form o sistem form mtricil fic: Iterção Numéric,,,, f,,,, f,,,, f Demostr-se que, se s fuções,,,, forem tis que os vetores,,,,, sejm liermete idepedetes LI, etão det A e o sistem de equções é possível e determido SPD. Demostr-se id que solução úic deste sistem,,,,, é o poto em que fução F,,,, tie seu vlor míimo. OBS. : Se os vetores,,,,, forem ortoois etre si, isto é, se i, j se i j e i, j se i j, mtriz dos coeficietes A será um mtriz diol, o que fcilit resolução do sistem A. 89. Reressão Lier Ajustr os ddos d tel io trvés de um ret. i 4 5,,4 5, 6,8 8, i f, 5,,8 6, 5,8 i Fzedo e cosiderdo... e..., tem-se: Assim, ret que melhor se just os vlores d tel terá coeficietes e, que são solução do seuite sistem form mtricil:,,, f,,, f [ ] T [ ] T f [ ] T, , , , , f , f Assim, T Loo equção d ret procurd é: Luro / Nues

78 9. Ajustr os ddos d tel trvés d práol : Iterção Numéric i ,75,6,5,,,4,5,7 i f,5,5,45,4,5,,6,5,,5 i y 5-75 Fzedo e cosiderdo, otém-se Assim, pr se oter práol que melhor se just os potos d tel, será ecessário ecotrr do sistem:, f, [ ] T f [ ] T, , f Assim, Loo equção d práol procurd é: Ajustr os ddos d tel io por um poliômio do seudo ru. i 4 i f 9 i - Neste cso tem-se que:...,... e...,,,,,,,,,, f, f, f Luro / Nues

79 [ ] T [ ] T [ ] T Iterção Numéric f [ ] T, , , , , , , , , , f , f , f Assim, 5-76 Loo equção d práol procurd é: Cso Cotíuo No cso cotíuo, o prolem de juste de curvs cosiste em: dd um fução f, cotíu em [, ] e escolhids s fuções,,,...,, tods cotíus em [, ], determir costtes,,,, de modo que fução = α + α + α + + α, se proime o máimo de f o itervlo [, ]. Seuido o critério dos míimos qudrdos pr o coceito de proimidde etre f e, os coeficietes,,,, serem otidos são tis que [ f ] d sej o meor possível. Pr chr tl que f, tome: [ f ] d F F,,,,. Ecotrm-se os potos críticos de F : F, j,,,. j Ms, F F f [ f ] d [ f f ] d d f d d. Luro / Nues

80 i Ao desevolver F j, j,,,, otém-se: d d d d d d Este é um sistem lier A de ordem. A ij tl que ij d ji ij ji. i j Iterção Numéric f d f d. f d A é SIMÉTRICA.,,,, e,,,,, tl que f d. i Usdo defiição de produto esclr de dus fuções p e q o itervlo [, ] por p, q p q d, o sistem A fic: 5-77 A ij i, j e i f, i. 9. Aproimr fução f 4 por um poliômio do primeiro ru, um ret, o itervlo [,]. =..., isto é,... e.... A,,,...,,...,... f,... f,...,, f, f, A Loo: f 4 em [,]. Luro / Nues

81 9. Aproimr fução f e o itervlo [,] por um ret. =... isto é,... e , Iterção Numéric 5-78 A,,,, f, f,,...,,...,... f,... f,... Usdo o método de iterção por prtes em : u dv u v vdu f e em [,]. Luro / Nues