n i i Adotando o polinômio interpolador de Lagrange para representar p n (x):

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1 EQE-58 MÉTODOS UMÉRICOS EM EGEHARIA QUÍMICA PROFS. EVARISTO E ARGIMIRO Cpítulo 6 Itegrção uméric Vimos os cpítulos e que etre os motivos pr o uso de poliômios proimção de fuções está fcilidde de cálculos de derivds e itegris. este cpítulo plicremos s proimções poliomiis pr itegrção uméric de fuções, ou sej: Est proimção, qudo escrit form: é cmd de qudrtur uméric. I f ( ) d p ( ) d I f( ) d f( ) i i i 6. Método tipo ewto-cotes Adotdo o poliômio iterpoldor de Lgrge pr represetr p (): p ( ) ( ) f( ) i i i E sedo que o erro de trucmeto d proimção de f() = p () + R () é ddo por: ( ) f ( ) R( ) ( i) com [, ]. ( )! Etão itegrl de f() o itervlo [, ] pode ser escrit d seguite form: i ( ) f [ ( )] I f( ) d ( ) f( ) d ( ) d i i i ( )! i i E um proimção pr o cálculo dest itegrl é:

2 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA I f( ) d i( ) df( i) i f( i) i i ode i i( ) d e o erro dest proimção d itegrl é: ( ) Erro f [ ( )] ( i) d ( )! i Qudo os potos i, i =,,...,, estão igulmete espçdos, ou sej, i = + i, temos s fórmuls de ewto-cotes. Ests fórmuls são dits fecds qudo = e =, com = ( ) /, e erts qudo e estão detro do itervlo [, ], com = ( ) / ( + ). As fórmuls fecds pr = e = tmém são coecids como regr do trpézio e regr de Simpso, respectivmete. Pr = temos =, =, = e o poliômio iterpoldor p (): ( ) ( ) p ( ) f( ) f( ) ( ) ( ) Aplicdo mudç de vriável:, pois = e podemos escrever p () em termos de : p ( ) ( ) f( ) f( ) Como = equivle = e pr = temos =, itegrção de f() o itervlo [, ] em termos dest ov vriável result em: I f( ) d f( ) d p ( ) d f ( ) f( ) que é igul à áre do trpézio de se e ltur médi [f( ) + f( )] /. O erro dest proimção é ddo por: Erro f[ ( )]( )( ) d f[ ( )] ( ) d! Como ( ) ão mud de sil o itervlo (, ), o teorem do vlor médio d itegrl pode ser plicdo: f Erro d f, com (, ). p (): ( ) f ( ) ( ),8 ( ) Pr = temos =, = +, =, = ( ) / e o poliômio iterpoldor ( )( ) ( )( ) ( )( ) p ( ) f( ) f( ) f( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )

3 6. MÉTODO TIPO EWTO-COATES Em termos d vriável : ( )( ) ( ) p( ) f( ) ( ) f( ) f( ) este cso, = equivle = e = equivle = e itegrção de f() o itervlo [, ] result em: I f( ) d f( ) d p ( ) d f( ) f( ) f( ) que é regr de Simpso pr o cálculo de itegris. O erro dest proimção é ddo por: Erro f[ ( )]( )( )( ) d f[ ( )] ( ) ( ) d,! 6 porém como ( )( ) d, é ecessário utilizr o próimo termo do resíduo d proimção de f() pr o cálculo do erro (este efeito ocorre sempre quto for pr): 5 () ()! i i! Erro f [ ( )] ( ) d f [ ( )] ( )( )( ) d Oserve que este cso ( )( )( ) mud de sil o itervlo (, ), etão o teorem do vlor médio d itegrl ão poderi ser plicdo. Cotudo, pode-se mostrr que proimdo f() por série de Tylor em toro de té o termo de qurt ordem e itegrdo o mesmo itervlo [, ], otém-se resultdo equivlete : 5 () 5 () ( ) f ( ) 5 () ( )( )( ), ( )! 9 f Erro d f A tel io mostr s fórmuls fecds de itegrção de ewto-cotes pr diferetes ordes. C C ( ) () () () () C C C C 5 () o () C6 Erro d Itegrção Erro d Itegrção,8 f Trpézio,8 f 5 IV 6 Simpso,7 f 5 IV, f 8 5 IV,5 f 5 IV,7 f VI 5,67 f 7 VI,85 f VI,9 f 7 VI, f VIII 9 VIII 6,79 f,6 f f ( ) d C f C f ( ) ( ) j j j j j j

4 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA Sedo e j j pr j,,, j ( ) ( ) C j ( i ) d j!( j)! i, i j Eemplo: = ; =,, = 6 e f() = e,,,, Assim:, e j, j pr j,,,,, 5, 6 resultdo em:,6 6,8,, D tel:, 6, 6, 7, 7,6 7,8 6,,,699 e d e e e e e e e 8 Vlor eto:, e, d e,69 [ER(%) = -,6-7 %, EA = -6,55-9 ] A fórmul ert pr = é coecid como regr do poto médio (ou regr do retâgulo). este cso, os potos odis i = + i (i =,,..., e = ( ) / ( + )), são iteros o itervlo [, ] e defie-se - = e + =. Pr =, o poliômio iterpoldor p () = f( ) e = ( ) /. Aplicdo mudç de vriável : I f( ) d f( ) d p ( ) d f( ) O erro dest proimção é ddo por:!, ms como Erro f [ ( )]( ) d f [ ( )] d d é ecessário utilizr o próimo termo do resíduo d proimção de f() pr o cálculo do erro (como s fórmuls fecds, este efeito ocorre sempre quto for pr): f( ) Erro f[ ( )]( )( ) d f[ ( )] ( ) d ( ) d Erro! f( ), f ( ), com (, ).

5 6. MÉTODO TIPO EWTO-COATES 5 Algoritmo do Método de Simpso em Suitervlos (Regr de Simpso Compost) ETAPA : Especificção pelo usuário de,, (úmero iicil de práols, > ), (critério de covergêci) e (meor vlor do psso de itegrção, mi ). ETAPA : Cálculo d primeir itegrl uméric (com práols): S f( ) f( ) j S f ( j) impr Se > etão Spr f( j), seão S pr j I S Simpr S ETAPA : Processo Recursivo: Fç I velo I + S pr S pr + S ímpr j pr Simpr f j I S Simpr S Equto I I velo > e > ETAPA : Cálculo fil d itegrl uméric (etrpolção de Ricrdso): 6I I I velo 5 Imprim o vlor de I. FIM Como o erro em cd suitervlo é ddo por pr 5 () f ( i ) Erro () i, o erro totl é: 9 ( ) ( ) Erro f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) () () () () i i com (, ), segudo o teorem do vlor itermediário.

6 6 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA Ilustrção do método de Simpso recursivo Cômputo de, f d com precisão de -6. Assim = ; =,, f() = e e = -6. Começdo com = (dus práols) e estelecedo o mi = -6 = -6. ETAPA : Clculm-se: S = f() + f() = e + e, = +,7 =,7 e = ( ) / ( ) =, Processo Recursivo S ímpr S pr I velo I I I velo,,896,89,,5 7,7798 5,658,, 9,68-5 8,75 5,5955,678,,7 6, -6 6,75,976 8,789,7,698,8-7 I eto =,69 I eto I =,55-8 Etrpolção de Ricrdso: I etrpoldo 6I Ivelo,69 I eto I etrpoldo =,6-5 ots sore etrpolção de Ricrdso Se I e E são, respectivmete, itegrl uméric com suitervlos e o seu erro, etão o vlor eto d itegrl é ddo por: I I E I E Como m ( m ) ( m) ( m) E f ( ), se cosiderrmos que f ( ) f ( ), etão: m E E e, deste modo, pode-se oter um o estimtiv pr E em fução ds itegris umérics I e I : E I I Resultdo fórmul de etrpolção de Ricrdso: m m I I I I m m I I 6 I I Por eemplo, pr = e m = : I. 5

7 6. MÉTODOS TIPO QUADRATURA DE GAUSS 7 6. Métodos tipo qudrtur de Guss Cosiderdo itegrção: por: um Método de qudrtur de Guss com potos iteros I f( ) f( ) I f d ser computd com mior precisão possível Est epressão é fórmul de qudrtur de Guss de I sedo,, e, respectivmete, os pesos e s scisss do método de qudrtur. Pr clculr esses prâmetros, fução k k teste f ( ) é utilizd, cujo vlor eto d itegrl é: I d e o k k k correspodete vlor umérico é: Ium. Costruido-se tel: k I I um 5 Pr ssegurr mior precisão possível do método umérico proposto, impõem-se s equções: () () () () Pr resolver o sistem lgérico ão-lier cim se cosider que s scisss d qudrtur [ < ] são s rízes do poliômio: p c, ssim:, c, p c, c p. Sutrido d equção () equção () multiplicd por e somdo o resultdo equção () multiplicd por c, otém-se:

8 8 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA c c c, porém: c e c, ssim: c 6 c. Sutrido d equção () equção () multiplicd por e somdo o resultdo equção () multiplicd por c, otém-se: c c c, porém: c c e c, ssim: 6 c. Ddo origem o sistem lgérico lier: p 6 Cujs rízes são:,5., Os vlores de e 6 c, deste modo: 6 c c 6 são seguir clculdos de () e (), ssim: e Ddo origem, filmete, o método de qudrtur de Guss com dois potos iteros: f d f,5 f, Que é et pr fuções poliomiis em de gru ão superior. Em vist dest propriedde é tmém possível cocluir que: (i) p p p( ) d ; (ii) p p p d e p d p d p d (iii) 6 65 p d d

9 6. MÉTODOS TIPO QUADRATURA DE GAUSS 9 As proprieddes (i) e (ii) revelm que o poliômio p () é ortogol o itervlo [, ] com relção à fução peso w() =, isto é: k w ( ) p d k =,,,...,, O poliômio que tem est propriedde é o Poliômio de Jcoi, P( ) ( ), que é ortogol o itervlo [, ] com relção à fução peso w ( ) ( ). este cso = =. Por (,) eemplo, s rízes de P ( ) são =,5 e =,788675, que são s rízes otids pr p () qudrtur de Guss, por isto el tmém é referecid como qudrtur de Guss-Jcoi. Tmém eistem s qudrturs de Guss-Legedre, Guss-Hermite, Guss- Ceysev, Guss-Lguerre, etc., em fução d escol do itervlo de itegrção e d fução peso pr o cálculo d itegrl. Qudo fução peso é diferete de w() =, s fórmuls de qudrtur devem ser plicds d seguite form: I f ( ) d w( ) g( ) d ig( i) ode f() = w() g(), i são os pesos d qudrtur e i são s rízes do poliômio ortogol de gru o itervlo [, ] e fução peso w(). Os pesos d qudrtur podem ser otidos d form como descrito seção terior, com o uso do poliômio iterpoldor de Lgrge p ( ) ( ) g( ), ou sej: w( ) ( ) d. Porém, tto os pesos d qudrtur i i i i i quto s rízes dos poliômios ortogois ecotrm-se teldos. Ests qudrturs são ets qudo g() é um poliômio de gru iferior, que é o úmero de prâmetros determir (pesos e scisss) do método de qudrtur. Além disto, qudo os dois potos etremos do itervlo tmém são usdos como scisss, qudrtur é do tipo Lotto: I f ( ) d w( ) g( ) d g( ) g( ) g( ) i i i i sedo et qudo g() é um poliômio de gru iferior + ; e qudo pes um dos etremos, iferior ou superior, é usdo como sciss, qudrtur é do tipo Rdu: I f ( ) d w( ) g( ) d g( ) g( ) i I f ( ) d w( ) g( ) d g( ) g( ) i i i sedo et qudo g() é um poliômio de gru iferior +. i i

10 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA Cálculo d epressão do erro do método de qudrtur de Guss com potos Como itegrção é et té terceir potêci em, pode-se iferir o resíduo (pr um itervlo de itegrção ) o cômputo de um fução qulquer f(t), o itervlo etre e, pelo cálculo d itegrl: d f t d f t t tt tt dt t tt tt dt! dt! dt t t Epressdo est últim itegrl em termos de t t, result: t t t t t dt d p t Filmete: 5 d f Erro dt Eemplo: Clcule itegrl t t d. 8 Sedo: Erro f t dt f f I e se( ) d por qudrtur de Guss-Jcoi com dois potos iteros. Aplicdo mudç de vriável: t = /, d = dt, pr ormlizr o itervlo: t t I e se( t) dt f () t e se( t) I = [ f(t ) + f(t )] = [,5 f(,5) +,5 f(,788675)] =,57956 Ieto e =,567 Erro =,567,57956 =,57956 d f t Erro, dt t d f t t e se( t) dt, cujo mio vlor soluto ocorre em 5 t = rctg() / = /, isto é: Erro e se =, Itegris múltipls Método de Simpso pr cômputo de itegris dupls yd Cosiderdo itegrção: f y computdo segudo o procedimeto: I, dy d o vlor umérico dest itegrl é yc

11 6. ITEGRAIS IMPRÓPRIAS I um 9 y M i j f i, y j f i, y j f i, y j f i, y j f i, y j f i, y j f, y f, y f, y i j i j i j Sedo: y d c ; y M c k k y, pr k =,,..., M. ; k k pr k =,,..., e 6. Itegris imprópris Itegris imprópris são quels ode fução ão é limitd o itervlo de itegrção (preset sigulridde), ou pelo meos um dos limites de itegrção é ifiito. o primeiro cso, qudo fução ão é limitd o proimr-se dos etremos do itervlo, por eemplo, se ouver um sigulridde o etremo iferior: p d ( ) ( < p < ) p ( ) p g ( ) e f( ), com g() lític em =, etão o cômputo d itegrl I ( ) ( ) f d p pode ser relizdo d seguite form: g ( ) g ( ) p( ) p( ) d d d p p p ( ) ( ) ( ) ode p () é o poliômio de Tylor de gru resultte d epsão de g() em toro do poto =. A segud itegrl do ldo direito pode ser clculd etmete, resultdo em: p g d ( ) ( ) k!( k p) ( k ) ( ) ( ) p k k p Pr primeir itegrl do ldo direito, remove-se sigulridde defiido fução: g ( ) p ( ) se p G ( ) ( ) ` se Etão o cômputo d itegrl Gd ( ) pode ser proimdo por qudrtur. e Eemplo: Clculr itegrl I d com regr de Simpso Compost com = e um poliômio de Tylor de gru. este cso g() = e e =, cuj epsão em série de Tylor result em:

12 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA p( ) 6 Portto, p( ) d, e p( ) se A fução G() é defiid por: G ( ) se Que itegrd pel regr de Simpso Compost com = result em: e Gd ( ) [ G() G(, 5) G(,5) G(,75) G()],769 e p( ) ( ),95. O erro dest proimção Etão, itegrl I d G d d ( ) () está ssocido à primeir prcel e é ddo por: Erro G ( ). Como o mior vlor 8 de G () () ocorre em =, cujo vlor é,66, temos: Erro, 6. Qudo itegrl imprópri evolve limite ifiito: I f( ) d, plic-se mudç de vriável / I t f dt t primeiro cso. t t e d t dt, resultdo itegrl:, que preset sigulridde em t =, podedo ser trtdo como o Eemplo: Clculr itegrl / I se d = e um poliômio de Tylor de gru. com regr de Simpso Compost com / se( t) Aplicdo mudç de vriável t : I t se( t) dt dt t t sigulridde em t =. este cso g(t) = se(t) e =, cuj epsão em série de Tylor result em: Portto, 7 p() t dt t t t p( t) t, que preset t 6, 6976

13 6. ITEGRAIS IMPRÓPRIAS se( t) p( t) se t A fução G(t) é defiid por: Gt () t set Que itegrd pel regr de Simpso Compost com = result em: e Gtd ( ) [ G() G(, 5) G(,5) G(,75) G()],956 se( t) p( t) ( ),65. O erro dest Etão, itegrl I dt G t dt dt t t ( ) () proimção está ssocido à primeir prcel e é ddo por: Erro G ( ). Como 8 o mior vlor de G () (t) ocorre em t =, cujo vlor é,6, temos: Erro 7,86 7. As itegris imprópris tmém podem ser clculds por métodos tipo qudrtur de Guss, tis como qudrtur de Guss-Hermite: i I f( ) d e g( ) d g( ) ode f() = w() g(), i são os pesos d qudrtur e i são s rízes do poliômio ortogol de Hermite de gru o itervlo (,) e fução peso w ( ) e. Ou qudrtur de Guss-Lguerre: I f( ) d e g( ) d ig( i) ode f() = w() g(), i são os pesos d qudrtur e i são s rízes do poliômio ortogol de Lguerre de gru o itervlo [,) e fução peso w ( ) e. i i i List de eercícios. O fluo, q(,t)d, com que eergi rdite é emitid d superfície de um corpo egro com comprimeto de od etre e +d é dd pel equção de Plck: c q, Td d 5 c ep k T Sedo: c: velocidde d luz: =,99795 cm/s; : costte de Plck = 6,656-7 erg. s k: costte de Boltzm =,85-6 erg /K T: tempertur [K]; : comprimeto de od [cm]. Clcule o fluo totl d eergi emitid [em erg/cm /s] de um corpo egro etre os comprimetos de ode: = 9,666 Agstrom e = 5895,9 Agstrom às temperturs de e 6 K.

14 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA. Em um trocdor de clor de csco e tuo, vpor sturdo é limetdo o csco visdo quecer um correte de um fluido que esco o tuo, de cordo com o digrm seguir: Vpor sturdo Fluido frio T etrd Fluido quecido T sid Vpor codesdo L O comprimeto do trocdor é otido trvés d itegrção do lço de eergi do sistem ddo origem : Tsid W cp T L dt D T T T etrd vpor T Sedo: L: comprimeto do trocdor; W: vzão mássic do fluido do tuo; D: diâmetro do tuo; c P : clor específico do fluido do tuo; : coeficiete de trsferêci de clor etre o tuo e o csco. O coeficiete é ddo trvés d correlção empíric:,8,, kt W TcP T T ( ) D DT kt Sedo: k: coeficiete de codutividde térmic do fluido do csco; : viscosidde do fluido do csco. Clculr o comprimeto do trocdor pr cd um dos csos teldos io: CASO A CASO B Fluido CO - em fse gsos Etileo glicol líquido W (l m /),5 5 T etrd ( o F) 6 T sid ( o F) 8 e 5 9 e 8 T vpor ( o F) 55 5 D (polegds),95, c P [BTU/l m / o F],5+,6-5 T/(T+6),5+,65T k[btu//ft/ o F] o, 85( F) o, 8(9 F),5 (costte) o, ( F) o, 8(57 F),95 o o o [l m /ft/] T 6 ( F),5( F) 5,57( F), o o 6 8,(5 F),6(5 F)

15 6. ITEGRAIS IMPRÓPRIAS 5. Um foguete é lçdo do solo sedo su celerção registrd os 8 primeiros segudos pós seu lçmeto. Estes vlores estão teldos seguir t (s) (m/s ),,6, 5,7 7,75,,9 6,69 5,67 Bsedo os vlores teldos clcule velocidde e ltur do foguete o co dos 8 s.. Determie e de modo que fórmul de qudrtur io presete mior ordem de precisão possível: f d f f f 5. Desej-se desevolver um fórmul de qudrtur do tipo: f d f f f Clcule costte e ordem do resíduo. f 6. Determie s scisss e pesos d fórmul de qudrtur tipo Guss: f d f f 7. Determie s scisss e pesos d fórmul de qudrtur tipo Guss: l f d f f 8. Determie os vlores de, e fórmul de qudrtur: f d f f f Sedo um úmero etre e +. 5 Teste seu resultdo pr fução f e = -,. 9. Desej-se desevolver um fórmul de qudrtur do tipo Lotto: f d f f f f f Clcule o vlor d costte e de, e de modo que o método presete mior ordem de precisão possível.. Determie s scisss e o peso d fórmul de qudrtur tipo Ceysev: f d f f f. Determie s scisss e os pesos ds fórmuls de qudrtur tipo Rdu:

16 6 6. ITEGRAÇÃO UMÉRICA (i) f d f f f (ii) f d f f f Cofrote s precisões ds fórmuls de qudrtur dos eercícios e.. Determie s scisss e pesos d fórmul de qudrtur tipo Guss pr o cômputo de itegris dupls: y f, y dy d f, y f, y f, y f, y. Clcule itegrl imprópri: sigifictivos.,. Clcule itegrl imprópri: sigifictivos., 5. Clcule itegrl imprópri: e l, e d com um precisão de qutro lgrismos d e com um precisão de qutro lgrismos d com um precisão de cico lgrismos sigifictivos. 6. Clcule umericmete s itegris imprópris: d e e d e. 7. Clcule itegrl imprópri: sigifictivos. e 8. A fução Si() é defiid por: Si sigifictivos, itegrl: d com um precisão de qutro lgrismos se Si se d. d. Clcule, com qutro lgrismos 9. O Método de Mote-Crlo pode ser plicdo pr clculr itegris defiids. Tl método plicdo o cômputo de: f d (sedo: pr f fm, ) cosiste em sorter simultemete pres de vlores de etre e e de y etre zero e f m. Após os sorteios clcul-se f, se f y fç k k (iicido-se com k ) e prt pr ovo sorteio; cso cotrário, isto é: f y d fç e prt pr ovo sorteio. Ao co dos sorteios clcule: f d fm k. Aplique o

17 6. ITEGRAIS IMPRÓPRIAS 7 procedimeto pr o cálculo d itegrl: eto d itegrl que é: e e d erf [ erf é fução erro]. d, compre o vlor otido com o vlor. Clcule o vlor d itegrl pelo método de Simpso e pel qudrtur do eercício : I e y y dy d

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