Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Tecnologia Dept. de Engenharia de Computação e Automação

Transcrição

1 Uiversidde Federl do Rio Grde do Norte Cetro de Tecologi Dept. de Egehri de Comptção e Atomção COPUTAÇÃO NUÉRICA Nots de Al Prof. Fábio eeghetti Uglio de Arújo Fevereiro de 7 Ntl - RN

2 Ídice COPUTAÇÃO NUÉRICA... NOTAS DE AUAÍNDICE... ÍNDICE... INTRODUÇÃO AO SCIAB.... GERAÇÃO DE ATRIZES.... VARIÁVEIS.... COANDOS EEENTARES.... NÚEROS E EXPRESSÕES ARITÉTICAS.... FORATO DE SAÍDA.... OUTROS COANDOS....7 OPERAÇÕES CO ATRIZES....8 OPERAÇÕES EEENTO A EEENTO OPERADORES REACIONAIS...8. OPERADORES ÓGICOS...8. FUNÇÕES EEENTARES...8. VETORES E SUBSCRITOS...8. GERAÇÃO DE TABEAS DE VAORES...8. ANIPUAÇÃO DE INHAS E COUNAS DE ATRIZES...9. POINÔIOS...9. RECURSOS GRÁFICOS....7 COANDOS PARA CONTROE DE FUXO....8 PROGRAANDO NO SCIAB....9 FUNÇÕES NO SCIAB... REPRESENTAÇÃO NUÉRICA E ERROS.... INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES.... UDANÇA DE BASE.... REPRESENTAÇÃO NUÉRICA.... ARREDONDAENTO.... PRECISÃO... SISTEA DE EQUAÇÕES AGÉBRICAS INEARES...8. INTRODUÇÃO...8. FORUAÇÃO...8. CASSIFICAÇÃO DOS SISTEAS...8. ÉTODOS DE SOUÇÃO...8. ÉTODO DE GAUSS Pricipio do método: Trsformções Elemetres Sbstitição Revers Triglção..... Técics pr Aprimorr Solção.... ÉTODO DE JORDAN..... Cálclo de Determites....7 ÉTODO DA FATORAÇÃO U Aplicção d ftorção U solção de sistems de eqções lieres:....8 ÉTODOS ITERATIVOS Itrodção Form Gerl....9 ÉTODO DE JACOBI.... ÉTODO DE GAUSS-SEIDE.... CONVERGÊNCIA DOS ÉTODOS ITERATIVOS...7 Comptção Nméric

3 INTRODUÇÃO AO SCIAB O progrm SCIAB é m mbiete proprido o desevolvimeto de softwre pr comptção méric. Esse progrm foi cocebido e é mtido pelo Istitt de Recherche e Iformtiqe et e Atomtiqe INRIA). O objetivo dest etp do crso é presetr os comdos básicos ecessários o desevolvimeto de progrms simples, reltivos os lgoritmos dos métodos méricos estddos s demis etps dest discipli. As pricipis crcterístics qe fzem o Scilb m ferrmet de grde tilidde o predizdo dos métodos méricos, são: ) Itertividde com o sário; b) Grde hbilidde em operções com mtrizes e vetores; c) Simplicidde de progrmção; d) Eistêci de toolboes, com diversos métodos já progrmdos, permitido m vlidção dos resltdos obtidos com os progrms desevolvidos pelos estdtes; e) Distribição grtit.. Gerção de trizes A gerção de mtrizes pode ser feit trvés de: ist de elemetos Eemplo: A[ ; ;7 8 9] A!!!!!7 8 9! Gerção por comdos e fções Eemplos: [-. sqrt) )*/]! ! ) bs)), obtedo-se:! ! Comptção Nméric

4 . Vriáveis Vriável epressão./.9 s.797 s -//-//-//7... -/8/9-/;...? Coti m epressão em otr lih ;? Ao fil de m epressão o cálclo é feito ms o resltdo ão é presetdo O ome de m vriável pode ter o máimo crcteres e o primeiro crcter tem qe ser m letr. O SCIAB form orml é cse-setive vriável A é diferete de.. Comdos Elemetres whos ) ist e dimesio s vriáveis cler Remove tods s vriáveis do espço de trblho who ist s vriáveis predef Predefie e protege vriáveis, evitdo de ser eclíds com cler.. Números e Epressões Aritmétics Represetção:, -,.,.e-,.e Números compleos: %i sqrt-): z *%i; Os cálclos são feitos itermete com dígitos sigifictivos dpl precisão). Operdores Aritméticos? Adição -? Sbtrção *? ltiplicção /? Divisão à direit \? Divisão à esqerd ^? Potecição Comptção Nméric

5 . Formto de Síd %pi %pi.97 formt [type], [log]) type: e epoecil) o v vriável deflt) log: º máimo de dígitos deflt: 8). Otros Comdos help: Iform sobre os comdos e fções do SCIAB. E.: help iv, help help qit: sve: Ecerr o Scilb. qit o eit) Grv vriáveis em m rqivo E.: sve vrslv, )? Grv vriável o rqivo vrslv lod: Crreg s vriáveis do rqivo. E. lod vrslv.7 Operções com trizes Trspost de m mtriz: B A' Adição e Sbtrção: C A B ltiplicção: C A* B, C α * A Divisão: o Divisão à esqerd: X A\ B solção de A * X B o Divisão à direit: X A/B solção de X * A B Obs.: A mtriz deve ser qdrd com deta) Comptção Nméric

6 .8 Operções Elemeto Elemeto ltiplicção: z.*y E. : c/ [ ]; y [ ]; z.*y z! 8! E. : [ ]; s oes size ) [ ] s * [ ] [ ], s [ ] ' 8 8 Divisão: z.\y o z y./ E.: c/ [ ]; y [ ]; z.\y z!...! Potêci: z.^y E.: c/ [ ]; y [ ]; z.^y z! 79! z.^ z! 9! z.^[ y] z! 8! Comptção Nméric 7

7 .9 Operdores Relciois < eor qe < eor o igl > ior qe > ior o igl Igl ~ Diferete. Operdores ógicos & d or ~ ot. Fções Elemetres Atrvés do comdo HEP do Scilb temse cesso m list de fções elemetres Elemetry Fctios), cd m comphd de m breve descrição E.: si, cos, bs, log, ep, etc.. Vetores e Sbscritos Gerção tomátic: i : d : f E.: : [ ] E.: :-: [ ] E.: :.:. [..]. Gerção de Tbels de Vlores Ddos dois vetores cols e y ger-se m mtriz [ y] E.: [:.:.] ; y [.*si)]; [ y] s!..!!..998!!..979!!..88!!..77!!..978! Comptção Nméric 8

8 . iplção de ihs e Cols de trizes O SCIAB preset grde fcilidde miplção de vetores e mtrizes, como mostr os eemplos bio: Sejm A e B mtrizes qdrds de ordem, etão: A:,) Apreset elemetos d ª col de A. A:,) Apreset ª col de A. A:,:) Apreset s primeirs lihs de A. A:,7:) Apreset s primeirs lihs e s últims cols de A, o sej, preset m sb-mtriz de A cotedo os últimos elemetos de cd m ds primeirs lihs. A:,[ ])B:,:) Sbstiti ª, ª e ª cols de A pels primeirs cols de B. b A:) [ ] A:,[ ]) [ ] sizea) Coloc todos os elemetos d mtriz A em m vetor col. Represet m mtriz vzi dimesão zero). Apg s cols e.a [ ] pg tod mtriz). Forece dimesão d mtriz; E.: [m ] sizea). A [ ; ; 7 8 9;]; B [A:,) A:,)] B!..!!..!!7. 9.! A [A;[ ]] A!!!!!7 8 9!!!. Poliômios poly, ) Defie como vriável. p polyv,, flg ) Defie p como m poliômio em. ode: flg coeff o roots v é m vetor cotedo os coeficietes o s rízes do poliômio Comptção Nméric 9

9 E.: Ddo p y -y -7y-7; pr ecotrr s rízes de p fzemos: p poly[ ], y, coeff ) r rootsp) Pr ecotrr o poliômio prtir ds rízes fz-se: q polyr, y, roots ) q - 7-7y - y y Pr clclr o vlor do poliômio pr m determido vlor de y, fz-se: horerp, m), c/ m vlor desejdo pr y. Pr clclr os vlores do poliômio pr diversos vlores de y, fz-se: horerp, ms) c/ ms vetor com os diversos vlores desejdos pr y.. Recrsos Gráficos O SCIAB dispõe de eceletes recrsos gráficos permitido gerção de gráficos D e D, lém de m série de otros recrsos. ploty) Plot o vetor y em fção dos ídices dos elemetos de y. plot,y) Plot o vetor y em fção do vetor plot,y,[cp, ycp, cptio]) ode: cp Títlo do eio ; y cp Títlo do eio y; cptio Títlo do gráfico Comptção Nméric

10 .7 Comdos pr Cotrole de Flo comdo for E.: m; ; for i:m for j: Ai,j)/ij-); ed ed comdo while E.: ; while sqrt)< ; ed comdo if E.: if < -; else ; ed.8 Progrmdo o SCIAB O SCIAB possi m liggem própri de progrmção sedo os progrms rmzedos em rqivos.sci o.sce. Os progrms são escritos, tilizdo m editor de tetos ASCII qlqer, como, por eemplo, o bloco de ots. Ns versões mis recetes, o SCIAB trz se próprio editor ASCII, o SciPd, bst clicr sobre opção EDITOR, d brr de me do SCIAB. Comptção Nméric

11 E.: Progrm pr trçr crv do seo de *t. plotseo.sci // Este progrm trç o gráfico d fção y seo*t) // A vriável deve estr defiid o espço de trblho t [:.:*%pi]; y si*t); plott,y, t, y, Gráfico do Seo de * t ) No mbiete SCIAB digitm-se os comdos: - - > ; eec plotseo.sci ) O SCIAB bre m jel gráfic ql é mostrd vrição de y com t..9 Fções o SCIAB O SCIAB dispõe de m grde úmero de fções, qe d mis são do qe progrms com etrd de ddos vi rgmetos. E.: si). Comptção Nméric

12 É possível crir ovs fções, bst editr m rqivo e escrever m progrm como mostr o eemplo bio. E.: Fção pr clclo d médi medi.sce fctio y medi) // Est fção clcl médi dos elemetos de m vetor // o o vlor médio dos elemetos de cd col // de m mtriz [m,] size); if m m ; ed y sm)/m; edfctio Pode-se, em segid, tilizr ess fção: --> getf medi.sce -->z :99; mediz) s. Comptção Nméric

13 REPRESENTAÇÃO NUÉRICA E ERROS. Itrodção e Defiições Fses do processo de solção de m problem rel: Problem Rel odelo temático odelo Nmérico Algoritmo Solção Implemetção Comptciol N pssgem de cd fse pr fse segite é ievitável qe erros sejm icorpordos. Por eemplo, trsformção do problem rel em m modelo mtemático itrodz erros devido à descosiderção de feômeos com gr de icertez elevdo resistêci do r, velocidde do veto). Já s trsformções etre s etps desigds por b), c), d) e e) eiste m otro tipo de erro ssocido: O erro mérico. Esse erro depede fdmetlmete do tipo de represetção méric, bem como do volme de cálclos efetdo. O erro mérico pode ser formlmete defiido como: Ev Vlor verddeiro Vlor proimdo. Podedo ser clssificdo como: Erro de trcmeto: é decorrete d represetção de m processo ifiito trvés de m processo fiito. E.: A vlição de fções implícits em comptdores, tis como: epoecil, fções trigoométrics, etc., é relizd trvés do se desevolvimeto em série de Tylor: f h h h ) f ) f )h f ) f )!! f ) h )! Erro de rredodmeto: é proveiete d represetção fiit de m úmero em m comptdor. O rredodmeto pode ser efetdo de ds forms: descrte, o, ssmido o úmero sigifictivo mis próimo. A represetção cietífic de m úmero é feit form: m b ode: e m? mtiss b? bse e? epoete Comptção Nméric

14 . dç de Bse )? b),?,, c),,,,,,, 8,,. Represetção Nméric Represetção Gerl: ode: d i? iteiros / β t? º de dígitos sigifictivos e? epoete ; e i i d d ± β β β d t t d ; i,,, e e s β e E: Pr β,,, E: A represetção biári do deciml é:. De cordo com represetção gerl, tem-se: o epoete pode id ser escrito form biári:.,, ode Comptção Nméric

15 Assim, o úmero pode ser crcterizdo, form biári, pelo vetor: ± ± mtiss ep oete O sil o pode ser crcterizdo por mis m dígito bit); dot-se pr e pr -. Assim: mtiss epoete E: Um clcldor possi m sistem de represetção méric de bse β, com t lgrismos sigifictivos d mtiss e epoetes iferior e sperior e i - e e s, respectivmete. Verificr o º de bits ecessários à represetção de m úmero, p. e.,. mt 78 } ep,, O máimo vlor bsolto de epoete ser represetdo é. Portto, pr o epoete, devem ser reservdos bits e mis pr o se sil. Cotdo com o bit do sil d mtiss e com os lgrismos sigifictivos, tem-se m totl de bits. A represetção do úmero ficri: { { si l si l, O mior úmero com represetção possível ess máqi é:, 7.. Arredodmeto É importte observr qe, em todos os úmeros reis podem ser represetdos trvés do sistem cim. Por eemplo, o úmero 7 pode ser represetdo segite form: 7, O úmero, imeditmete sperior 7, qe pode ser represetdo, esse sistem, é:, qe correspode 7 7,. Portto, o úmero 7, ão pode ser represetdo de form et este sistem. Nesse cso represetção é feit ssmido-se o úmero sigifictivo mis próimo: 7.. Precisão Defie o úmero de css decimis ets d mtiss. É determid pelo último bit d mtiss. No cso cim, tem-se: precisão β t Comptção Nméric

16 Comptção Nméric 7 Eercício: Um máqi de bits possi β e t. Determir: ) O mior úmero qe pode ser represetdo máqi; b) A s precisão. c) Represetr o úmero, ess máqi. Solção: bits t ogo, como β β ), os vlores máimo e míimo pr o epoete serão, respectivmete: e e, o mior úmero qe pode ser represetdo est máqi é: qe eqivle: e má [ ] e má [ ] e e má.8.7 e má ode: [ ] e e logo:, má A precisão d máqi em qestão é dd por: -7 9,7 precisão t β O úmero, é represetdo ess máqi, por: ; e,,,, logo: ),,,

17 SISTEA DE EQUAÇÕES AGÉBRICAS INEARES. Itrodção São iúmeros os problems de egehri qe recem solção de m sistem de eqções lieres. Como eemplos, podemos citr: O cálclo de esforços em problems de estátic; O cálclo de tesões e corretes em m circito elétrico composto por elemetos lieres; O blço de mss em sistems físicos lieres; A solção de eqções difereciis lieres por métodos méricos como elemetos fiitos e difereçs fiits, etc.. Formlção Form gerl: b b b b ; ode e b são costtes e é o úmero de eqções. Represetção tricil: b b b ; o: A b. Clssificção dos Sistems Icomptível. E.: 8 Comptível: Determido - solção úic Idetermido - diverss solções. Homogêeo b ). étodos de Solção Clssificm-se, mericmete, em Diretos e Itertivos. Os métodos mis coms são: Comptção Nméric 8

18 Comptção Nméric 9 Ftorção U Elimição de Jord étodo d étodo de Gss Diretos Seidel étodode Gss étodode Jcobi Itertivos. étodo de Gss.. Pricipio do método: Ddo m sistem lier A b, obter, trvés de trsformções elemetres m sistem eqivlete, T c, ode T é m mtriz triglr sperior. Em segid clclm-se os elemetos do vetor trvés de m processo de sbstitição revers... Trsformções Elemetres Troc d ordem ds eqções; ltiplicção de m eqção por m rel ão lo; Sbstitição de m eqção por m combição lier del mesm com m otr;.. Sbstitição Revers Ddo m sistem form triglr sperior: ) ) b b O O A últim eqção permite determir diretmete: ) b A peúltim eqção fic: ) ), b b ), ) Geerlizdo, tem-se: j k k ) jk ) j j b

19 Comptção Nméric.. Triglção E.: b A. Iicilmete, escreve-se mtriz metd do sistem B [A b] ): B ) Tomdo-se o elemeto d digol pricipl, ), como pivô, ecotr-se os mltiplicdores pr s lihs segites: ) ) ) ) ) ) m m Em segid, sbstitem-se s lihs origiis pel segite combição lier: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) m m 7 B ) Tom-se gor o elemeto d digol pricipl, lih segite, ), como pivô e ecotr-se o mltiplicdor pr s lihs qe se scedem est. ) ) ) m Em segid, sbstitem-se s lihs origiis pel segite combição lier: [ ] [ ] [ ] [ ] 7 ) ) ) ) ) ) ) ) m 7 B ) Sege-se este procedimeto té qe se chege o pivô d peúltim lih d mtriz, obtedo-se ssim m mtriz com pes elemetos los bio d digol pricipl. Um vez obtid m mtriz est form, procededo-se m sbstitição revers obtêm-se solção do sistem triglr sperior, represetdo, este eemplo, pel mtriz metd B ) : 7 7 B ) É importte relembrr qe, est é tmbém solção do sistem origil.

20 Um form prátic e compct de relizr triglção é trvés d costrção de tbels. ih ltiplicdor triz A triz B Vetor b Trsformção ) 7.. Técics pr Aprimorr Solção Esss técics são úteis ão pes pr o método de Gss, ms tmbém pr métodos similres.. Uso de mis dígitos sigifictivos dpl precisão);. Pivotmeto: Idetificr se eistem pivôs de peqeo vlor e trocr lihs e/o cols de form ter os elemetos d digol diferetes de zero e de mior vlor bsolto. Isto miimiz o erro de rredodmeto.. Esclometo: iimiz o erro de rredodmeto. Um mtriz triglr cjos elemetos d digol pricipl são diferetes d idde, pode ter cd m de ss lihs dividids pelo se respectivo elemeto digol pricipl. Obs.: Em lgs problems é ecessário m estdo de codiciometo d mtriz e m processo de otimizção d solção se fz ecessário.. étodo de Jord Ddo m sistem, o étodo de Jord cosiste em obter, trvés de trsformções elemetres, m sistem eqivlete cj mtriz de coeficietes sej digol. E.: A. b Comptção Nméric

21 Comptção Nméric triz B i ltiplicdor triz A Vet. b Trsformção ) ) Cálclo de Determites Um meir simples de clclr o determite de m mtriz A cosiste em ecotrr m mtriz B, triglr o digol, qe sej obtid prtir de A, trvés de trsformções elemetres. Demostr-se qe, se A e B são eqivletes, etão: ) B det A ) det E.: A A ) ) det ) det B A B.7 étodo d Ftorção U Sej mtriz A dd bio, qe deve ser ftord em ds mtrizes triglres, m sperior e otr, iferior. O.U A ;

22 sedo: l l l l l O l e U O Efetdo o prodto U e igldo os elemetos d mtriz prodto os elemetos correspodetes em A, obtém-se eqções, evolvedo os elemetos de e de U. Observ-se, etretto, qe cd m ds mtrizes triglres possi elemetos descohecidos, defiido-se m totl de ) icógits, úmero esse mior qe o úmero de eqções qe se precis resolver. Isso sigific qe ifiits mtrizes e U são solções do problem de ftorção. Pr cotorr o problem de qe o úmero de icógits é mior qe o úmero de eqções, costm-se tribir vlores os elemetos d digol de m ds mtrizes triglres. Apresetmos segir solção propost por Bchiwitcz. A fim de simplificr os cálclos, tribi-se o vlor os elemetos d digol pricipl de : l ii, i,,. Com isso, fic defiid ª lih d mtriz U, de cordo com s eqções bio: Um vez defiido o vlor de, pode-se etão clclr tod ª col d mtriz, trvés ds eqções defiids pelo prodto ds lihs de pel primeir col de U: l l l Agor, mltiplicdo-se ª lih de pel ª col de U, de cordo com: l l l Alogmete, mltiplicdo s lihs resttes de pel ª col de U, determim-se os elemetos resttes d ª col de, i. e., os elemetos sitdos bio de l, de cordo com: li i li ), i,, Notr qe os elemetos d ª col de ão depedem dos elemetos d ª lih de U, eceto do elemeto d digol,. Comptção Nméric

23 .7. Aplicção d ftorção U solção de sistems de eqções lieres: Sej o sistem: A b. Ftordo-se mtriz A.U, tem-se:.u. b.u.) b. tem-se: Defiido-se: U. y.y b Ambos os sistems são triglr. Resolvedo-se.y b, por sbstitição diret, determi-se y. Em segid, resolve-se o otro sistem triglr, U y, trvés de sbstitição revers, pr filmete ecotrr-se o vetor solção,. E.: Resolver o sistem bio, trvés do método d ftorção U: Após o º psso, tem-se: 8 ) U e ) l l l Em segid, clclm-se: l 7 I) l e l l II) l [ [ l l ] ] 7 Com isso, tem-se: 8 7 U ) e ) 7 l Notr qe, esse estágio dos cálclos e, desde o pricípio), eiste m elemeto lo digol. Isso ão se costiti m obstáclo pr cotiidde do processo de ftorção. A determição d ª lih de U e d ª col de é feit trvés ds eqções: l l l l e l [ l l] 7 Comptção Nméric

24 Dess form, pós o º psso d ftorção, tem-se: 7 ) U e 8 ) 7 7 Filmete, o elemeto é determido: l l, obtedo-se: 7 8 ) U e ) 7 7 É importte otr qe, com eceção dos elemetos ds digois pricipis, os demis elemetos de cd m ds mtrizes ocpm o espço dos zeros otr mtriz. Além disso, como digol pricipl de é fid como tedo todos os ses elemetos igis m, podemos rmzer todos os vlores clcldos, pr mbs s mtrizes, em m úic mtriz com dimesão igl d mtriz A. Cso sej ecessário ecoomizr espço de memóri, s mtrizes e U poderão, iclsive, ser rmzeds o mesmo espço de memóri reservdo pr mtriz A. ) A Resolvedo.y b, trvés de sbstitição diret, obtém-se: y 7 Resolvedo gor U. y, trvés de sbstitição revers, determi-se:.8 étodos Itertivos.8. Itrodção Cosidere o sistem de eqções lieres A b, cj solção é o vetor *. Est solção deve ser ) t) obtid como o limite pr o ql coverge seqêci {,,,}. Tl seqêci é gerd prtir de m proimção iicil ) e obedece m regr preestbelecid. Esse procedimeto crcteriz os métodos itertivos. Comptção Nméric

25 .8. Form Gerl Os métodos itertivos pr solção de sistems lieres presetm segite form gerl: C d, ode C é m mtriz X ) e d m vetor X ). Assim, prtido de m proimção de, digmos t), pode-se obter m melhor proimção t), trvés de: C t ) t ) d.9 étodo de Jcobi Utilizdo eqção de iterção e s mtrizes C e d defiids teriormete, defie-se o método de Jcobi trvés dos segites pssos:. Estim-se m proimção iicil ) pr ;. Germ-se proimções scessivs t), prtir d eqção de iterção, té qe: t ) t ). Ode ε é tolerâci predefiid. m i i i < ε OBS.: Um critério diciol de prd pode ser id itrodzido, bsedo o estbelecimeto de m úmero máimo dmissível de iterções. Note qe: b d A b C d C b K b O. étodo de Gss-Seidel Esse método tiliz sempre s últims tlizções de cd vriável, eqção de iterção. i t ) di cik k c k k i t ) t) i ik k Em gerl, esse procedimeto celer covergêci do sistem. O método é deqdo pr sistems com m úmero elevdo de eqções desde qe ele ted codição d mtriz A ser digolmete domite. Isto se plic, por eemplo, sistems de eqções lieres gerdos qdo d plicção do método ds difereçs fiits o o cálclo de splies. Um ds vrições desse método é o chmdo método d sobre-relção, com eqção itertiv mostrd bio: k) λ k) G-S - λ ) k) ode λ < λ < ) é m ftor peso com filidde de celerr covergêci. Comptção Nméric

26 . Covergêci dos métodos itertivos Sej o sistem: C d t Sbtrido dess eqção eqção de iterção, tem-se: ) t C ) ) Defiido-se o erro d k-ésim iterção com: e t ) ) t, tem-se: e Ce t ) t ) Teorem: Prtido d eqção terior, demostr-se qe: A codição i C <, j, ij, coseqêci, o critério defiido por é sficiete pr qe ii > ij, i,, j j i t ) grte covergêci. t C d covirj. Como A desigldde presetd o teorem, defie o critério ds lihs. E, mtriz qe stisfz esse critério é cohecid como mtriz digolmete domite. Comptção Nméric 7