RESOLUÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO DE SISTEMAS LINEARES DETERMINADOS ATRAVÉS DOS MÉTODOS DIRETOS

Transcrição

1 RESOUÇÃO E IMPEMENTAÇÃO DE SISTEMAS INEARES DETERMINADOS ATRAVÉS DOS MÉTODOS DIRETOS Slete Mri Chlu Bdeir Simoe Mri Chlu Bdeir Bezerr 2 RESUMO: Este trlho preset o resultdo de um pesquis relizd os últimos 5 os, desevolvid em cojuto com discetes dos Cursos de Bchreldo em Sistems de iformção, icecitur em Mtemátic e Bchreldo em Egehri Civil, d Uiversidde Federl do Acre, qul verificou-se importâci de se crir um Softwre Mtemático pr uxilir Resolução de Sistems de Equções ieres Determidos, plicdo os Métodos Diretos: Elimição de Guss, Elimição de Guss-Jord e Ftorção U, ssuto trlhdo discipli de Cálculo Numérico/ Métodos Numéricos. Plvrs-chve: sistems de equções lieres, métodos diretos, softwre mtemático. ABSTRACT: This work presets the result of reserch doe i the lst five yers, developed together with the studets of the Bchelorship courses of Iformtio Systems, licetiteship i Mthemtics d Bchelorship i Civil Egieerig, of the Federl Uiversity of Acre, i which verified the importce to crite mthemtic softwre to uxilite i the Resolutio of Systems of ier Equtios Determied, pplyig the Direct Methods: Elimitio of Guss, Elimitio of Guss-Jord d Ftortio U, suject worked i the Numeric Clculus/Numeric Methods. Key words: lier equtios system, direct methods, mthemtic softwre. Mestre em Ciêci d Computção: Mtemátic Aplicd. Professor do Deprtmeto de Mtemátic e Esttístic d Uiversidde Federl do Acre. Edereço eletrôico pr correspodêci: sletechlu@gmil.com 2 Especilist em Mtemátic. Professor do Deprtmeto de Mtemátic e Esttístic d Uiversidde Federl do Acre. Edereço eletrôico pr correspodêci: simoechlu@hotmil.com

2 INTRODUÇÃO Os prolems de mtemátic surgem o se tetr explicr feômeos d turez e prever o seu comportmeto futuro, procurdo um relção etre cus e efeito. Busc-se iicilmete, um explicção pr um feômeo por meio de um modelo que esteleç um relção etre cuss e efeitos, modelo esse que dá origem os prolems de mtemátic como, por exemplo, sistems de equções lieres. Pr ecotrr solução de um ddo prolem de mtemátic, existem vários métodos:. Método Dedutivo: qudo se quer provr lgum verdde mtemátic. 2. Método Alítico: procur-se oter um relção etre s vriáveis idepedetes e vriáveis depedetes stisfzedo lgum(s) codições. 3. Método umérico: procur-se oter vlores solução (vriável depedete) de um prolem pr vlores discretos ds vriáveis idepedetes, qudo solução procurd for um fução ou os vlores uméricos de vriáveis que stisfzem lgum codição. 4. Método Gráfico: pr exiir grficmete o comportmeto de um prolem ou mesmo de su solução, cuj ispeção pode forecer iformções importtes sore o prolem e su solução. (HATTORI, 992). De iício, um prolem de mtemátic pode ser resolvido liticmete, ou sej, existe um método mtemático pr se oter solução, ms esse método pode se torr imprticável qudo o tmho do prolem umet. Um exemplo é solução de sistems de equções lieres, tedo mtemátic coseguido estelecer s codições pr existêci d solução e métodos que permitem clculr ess solução. Um desses métodos é cohecido como Regr de Crmer, cujo procedimeto é descrito seguir. Sej Ax em que A é um mtriz, x [ ] T e [ ] T x x são vetores colus, um sistem de equções lieres em que mtriz A dos coeficietes é ão sigulr, ou sej, det A. Sej A k mtriz otid sustituido-se em A colu k pelo vetor det Ak idepedete. Etão, pel Regr de Crmer xk, k, 2,,. det A Portto, solução de um sistem de equções requer o cálculo de + determites de um mtriz de tmho. Mulmete, um > tor est regr imprticável, porque o úmero de operções é proporciol!. E o pior, mesmo com o uso do computdor, plicção é iviável pelo tempo stroômico de processmeto ecessário. Por exemplo, com 2, requer 2! operções de multiplicção. Supodo que um computdor hipotético gste osegudos um operção de multiplicção, o tempo

3 ecessário pr resolver um sistem de 2 2 será t,5 3 segudos. Como um di tem 86.4 segudos, o tempo gsto em os será de os. Pr um sistem de 5 equções lieres ( 5), requer 6! operções de multiplicção. Supodo que cd operção leve osegudos, o tempo gsto será de 24 dis ou,66 o. A Regr de Crmer é um exemplo de que simples utilizção de um implemetção diret de um método mtemático o computdor pode ser iviável. Com isso, verific-se que em sempre os métodos líticos têm sus implemetções viáveis. Buscm-se etão, ovs meirs de resolver sistems lieres, surgido, ssim, ecessidde de desevolver métodos uméricos. Segudo Httori (992), ddo um prolem e dispodo de um progrm pr resolvê-lo, st preder usr o progrm e forecer ddos do prolem. N verdde, ão é tão simples ssim. Em computção uméric 3 ão st pes ser utilizr um progrm, é ecessário verificr se os resultdos otidos são válidos e se o progrm em si ão preset dificulddes. Exemplo : O sistem lier x 46992y foi resolvido por um progrm x y que sidmete é de o qulidde. Usdo um computdor comptível com IBM PC, respost ecotrd foi x , e y , 7532 corret sej x e y Emor solução Será que o progrm cotém erros? N verdde, o que há de excepciol é o prolem e ão erros o progrm. No cso, o sistem lier é quse idetermido, levdo um solução que tem pouc cofiilidde. O termo softwre mtemático (mthemticl softwre) foi cuhdo por Joh Rice o covidr pesquisdores pr prticiprem de um simpósio que hveri Prdue Uiversity em ril de 97 (RICE, 969). Nesse covite, Rice defiiu um softwre mtemático como sedo progrms de computdor que implemetm procedimetos mtemáticos mplmete plicáveis. Nos is do simpósio pulicdos em 97, Rice defiiu o softwre mtemático como um cojuto de lgoritmos áre de mtemátic. Esss dus defiições ilustrm cofusão iicil que se fzi etre progrms de computdor e lgoritmos. A ple compreesão de que um implemetção é diferete do lgoritmo ásico mrc o recohecimeto de softwre mtemático como um discipli (ssuto de esio e pesquis). 3 Computção Numéric: É resolução uméric de prolems de mtemátic utilizdo o computdor.

4 Portto, o cotrário d idéi de produto que Rice deu eteder os primórdios d históri do softwre mtemático, hoje ele é cosiderdo um discipli, um tividde que evolve implemetção dos métodos computciois, preocup-se com pdrões de qulidde, com melhori d produtividde do processo de desevolvimeto de softwre de métodos uméricos e com o recohecimeto do hrdwre e do softwre do computdor em que os progrms são executdos. A termiologi utilizd é itroduzid seguir: Defiição.: Softwre mtemático é um rmo d egehri de softwre que cocee, implemet, test e mtém softwre pr solução de prolems de mtemátic. Defiição.2: Softwre umérico é um softwre cuj filidde é solução uméric de prolems de mtemátic. Defiição.3: Algoritmo ásico é quele defiido mtemticmete. Defiição.4: Algoritmo computciol (umérico, lgérico ou gráfico) é quele otido de um lgoritmo ásico ou de um comição deles, levdo em cot s crcterístics do computdor com filidde de executr um seqüêci de operções pr resolver um prolem. Um Softwre mtemático pode se presetr como: Um pcote, que é um coleção de progrms pr resolver os prolems de um áre, por exemplo, sistems de equções lieres. Um iliotec, um coleção de progrms pr resolver diverss clsses de prolems de mtemátic. Um sistem de softwre, costituído de um pcote ou um iliotec com um iterfce de comuicção com o usuário. (HATTORI, 995). Os sistems de equções lieres surgem em prticmete tods s áres d físic, iologi, egehri, álger lier, ciêcis sociis, s soluções umérics de prolems em equções difereciis ordiáris, equções difereciis prciis, equções iteirs, prolems de otimizção e de vários outros prolems que precism d solução de sistems de equções lieres. Existem dus forms de resolver sistems de equções lieres: por métodos diretos e por métodos itertivos. Defiição.5: Diz-se que o método é direto qudo é possível chegr um solução ext pós um umero fiito de operções ritmétics. Defiição.6: Diz-se que o método é itertivo qudo, prtido de um proximção iicil, é possível se chegr proximções mis preciss que depedem, sempre, de vlores teriormete clculdos. Roque (2) defie os métodos diretos como queles que determim solução de um sistem lier por meio de um úmero fiito de pssos (operções), e métodos itertivos

5 como queles que requerem um úmero ifiito de pssos: clcul-se um seqüêci de soluções X (), X (2),..., X (k) otids com se em um solução iicil X (). 2 MATERIA E MÉTODOS Neste rtigo, pretede-se lisr prolems de mtemátic, em prticulr solução de sistems de equções lieres, em que teção especil será dd um clsse de prolem, Sistems de equções lieres determidos, em que se quer ecotrr um vetor x que stisfç Ax, em que A é um mtriz, ão sigulr, x e são vetores colus com compoetes. Pr tl, seguir-se-á os seguites pssos: Amostr d resolução e d implemetção dos métodos diretos: Elimição de Guss, Elimição de Guss-Jord e Ftorção U. Costrução dos lgoritmos e escolh d ligugem de progrmção ser utilizd pr implemetr os métodos diretos. Escolh d estrtégi de pivotemeto pr evitr mplição dos erros de rredodmeto. Do poto de vist d su turez pesquis é do tipo plicd, visdo gerr cohecimetos que tehm plicção prátic dirigidos à solução do prolem. A form de ordgem do prolem será qulittiv, procurdo um relção diâmic etre o sistem ser desevolvido e su utilizção por prte de seus usuários, de form que sej possível repssr pr o sistem os cálculos relizdos de form mul, pr um melhor etedimeto e utilizção por prte dos iteressdos em utilizr o softwre desevolvido. Sej o sistem lier solução úic, {(, ) } S. x + y 2, clssificdo como possível e determido, cuj 2x y Oserve-se, coforme Figur, clsse de prolem ser trtd:

6 (, ) Figur : Sistem possível e determido (solução úic) Softwre utilizdo: Wigrph (shrewre) 3 RESUTADOS E DISCUSSÕES Coforme cim meciodo, serão presetdos os Métodos Diretos: Elimição de Guss, Elimição de Guss-Jord e Ftorção U, com seus respectivos lgoritmos e tels do protótipo (softwre implemetdo em miete Delphi 7.), descritos s uls de cálculo umérico dos cursos de Mtemátic, Sistems de Iformção e Egehri Civil d Uiversidde Federl do Acre - UFAC. 3. Elimição de Guss Já cohecido d Aálise Numéric, o método de Elimição de Guss, trigulriz mtriz A dos coeficietes, ou sej, reduz mtriz A um mtriz trigulr superior ( ij, i > j ), coforme processo seguir: Sej o sistem lier Ax, em que A é um mtriz x, trigulr superior, com elemetos d digol pricipl diferetes de zero. Escrevedo s equções deste sistem, tem-se:

7 S x x x O 3 33 x3 x3 x x 2 x x 3 x M 2 3 D últim equção: x x - pode etão ser otido d peúltim equção: x e, ssim sucessivmete otém-se x -2,..., x 2, e x :,, 2 x2 3 x3 x x. Um mtriz que pode ser ssocid o sistem S, é mtriz mplid, deotd por x [A ] M , M M M 2 (3.) em que,,,. + + ( ) 2 2( + ) ( ) O primeiro psso é elimição de todos os elemetos d primeir colu de [A ], exceto (pivô). Supoh-se o pivô. Defim-se os multiplicdores por m i pr i 2,3, K,. Multiplic-se primeir lih por m i, e sutri-se d i-ésim lih, pr i 2,3, K,, otedo i

8 M 22 2 M 2 m m 2 Reescreve-se ov mtriz como: 2 2 O 2 m M m 2 2 m m 2 M [A ] ( ) M M ( ) ( ) ( ), O M M ( ) ( ) ( ) 2 em que () idic que um elimição foi relizd com: i, j 2,3,, e ( ) i m pr i 2,3,,. i i Repetido este procedimeto ( ) vezes, otém-se: [A ] ( ) o qul i-ésim etp os pivôs ( k ) ( k ) ( k ) m, ij ij ik kj M M ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) M M 22 O, (3.) ( ) iii ( ), pr i,2, K,, em que; ( k ) ( k ) ( k ) m e i ( ) i, j k +, k + 2, K, e ij ij i ik k ( k ) ik ik k kk ( ) ij ij mi j pr m, pr k,2, K, e ( ), pr i, j,2, K, e i i pr i,2, K,. De (3.), i, 2, K,. ( ) ( ), x se ( ) i e xi ( ) i i ii j i+ ( ) ( i ) ij x j, pr (3.). O sistem lier ( ) A x ( ), (3.) é equivlete o sistem lier origil, Ax

9 O método de Elimição de Guss descrito teriormete, foi implemetdo coforme o Algoritmo, sem estrtégi de pivotemeto prcil e plicdo estrtégi de pivotemeto. Algoritmo : Elimição de Guss. for cot: util NrC 2 do 2. if Mt[cot, cot]<> the 3. for i: cot + util NrC do 4. mult: Mt[i, cot] / Mt[cot, cot]; 5. for j: util NrC do 6. if Mt[i, j]<> the 7. Mt[i,j]: Mt[i, j] Mt[cot,j]*mult); 8. ed_for 9. ed_if. ed_for. if Mt[NrC, NrC ]<> the 2. X[NrC ]: Mt[NrC, NrC]/ Mt[NrC, NrC ]; 3. else 4. X[NrC ]:; 5. for i: NrC 2 dowto util do 6. ux:; 7. for j: i+ util NrC do 8. ux: ux + (Mt[i,j]*X[j]); 9. ed_for Vriáveis: NrC: Número de lihs e colus; cot: cotrol o úmero de etps; i e j: ídices utilizdos pr cessr posições tto os vetores, como mtriz; Mt[i, j]: Mtriz ode está rmzedo os vlores do sistem; X[j]: vetor que rmze solução do sistem. ux: vriável uxilir. Gurd resultdos que poderão ser utilizdos posteriormete. O método de Elimição de Guss-Jord, digoliz A ( ij, i j ), isto é, pes os elemetos d digol pricipl são ão ulos. Cso ão queirmos fzer ehum

10 sustituição, reduzimos os elemetos d digol à uidde (trsformmos A em um mtriz idetidde). O processo requer etps de elimição, semelhte à Elimição de Guss, em que idéi é reduzir todos os elemetos ds colus pr zero, exceto os elemetos d digol. A mtriz mplid, [A, ] ( ), com etps de elimição, terá o formto como segue: [A ] ( ) M M ( ) ( ) ( ) 22 2 O M M ( ) ( ), (3.2) O método de Elimição de Guss-Jord descrito teriormete, foi implemetdo coforme o Algoritmo 2, com opção de plicr ou ão estrtégi de pivotemeto prcil. Algoritmo 2: Elimição de Guss-Jord. for cot: util NrC do 2. if Mt[cot, cot]<> the 3. for i: util NrC fç 4. if i<>cot the 5. mult:; 6. mult: Mt[i, cot] / Mt[cot, cot]; 7. for j:cot util NrC do 8. if (Mt[cot, j]<>) e (i<>cot) the 9. Mt[i,j]: Mt[i, j] Mt[cot,j]*mult);. ed_if. ed_for 2. ed_if 3. ed_for 4. for i: util NrC do 5. if Mt[i, i]<> the 6. X[i]: Mt[i, NrC]/ Mt[i, i]; 7. else 8. X[i]:; 9. ed_for

11 Vriáveis: NrC: Número de lihs e colus; cot: cotrol o úmero de etps; i e j: ídices utilizdos pr cessr posições tto os vetores, como mtriz; Mt[i, j]: Mtriz ode está rmzedo os vlores do sistem; X[j]: vetor que rmze solução do sistem. ux: vriável uxilir. Gurd resultdos que poderão ser utilizdos posteriormete. O método d Ftorção U cosiste em decompor mtriz A dos coeficietes, em um produto de dus mtrizes trigulres, isto é, A U, coforme teorem descrito ixo. Segudo Ruggiero (996): Dd um mtriz qudrd A de ordem, sej A k mtriz costituíd ds primeirs k lihs e colus de A. Supoh que det A pr k,2, K,( ). Etão, existe um úic mtriz trigulr iferior ( ) m ii k m ij, com, i e um úic mtriz trigulr superior U ( ) tis que U A. Aid u ij mis, det A u u Ku. 22 Pr resolver o sistem lier, Ax, como Ax ( U ) x, sej y Ux U A, tem-se, Assim, solução do sistem lier pode ser otid d resolução dos sistems lieres trigulres, isto é, sistem lier Ax ). y (ecotr-se o vetor y) e emux y (otém-se o vetor x, solução do A ftorção.u cosiste em esclor mtriz A, trsformdo A em um mtriz trigulr superior, isto é, decompomos AU, o qul é um mtriz trigulr iferior, cujos termos ixo d digol pricipl são os multiplicdores ecotrdos s etps de Elimição de Guss e U é um mtriz trigulr superior, coforme descrito em Guss. Vide Algoritmo 3. Algoritmo 3: Ftorção U. for cot: util NrC 2 do 2. if Mt[cot, cot]<> the 3. for i: cot + util NrC do 4. [i, cot]: Mt[i, cot] / Mt[cot, cot]; 5. for j: util NrC do 6. if Mt[i, j]<> the

12 7. Mt[i,j]: Mt[i, j] Mt[cot,j]*[i, cot]); 8. else 9. Mt[i, j]. ed_for. ed_if 2. ed_for 3. for i: util NrC do 4. for j: util NrC do 5. if j>i the 6. [i,j]: ; 7. if ij the 8. [i,j]:; 9. ef_for 2. ed_for 2. Y[]: Mt[, NrC] / [,]; 22. for i: util NrC do 23. ux:; 24. for j: util i do 25. ux: ux + ([i,j]*y[j]); 26. ed_for 27. if Mt[NrC, NrC ]<> the 28. X[NrC ]: Y[NrC ]/Mt[NrC, NrC]; 29. else 3. X[NrC-]:; 3. for i: NrC 2 dowto do 32. ux:; 33. for j: i+ util NrC do 34. ux: ux + (Mt[i,j]*X[j]); 35. if Mt[i,i]<> the 36. X[i]: (Y[i] ux)/mt[i,i]; 37. else 38. X:[]; 39. ed_for

13 Vriáveis: : Mtriz dos Multiplicdores; Y: Vetor pr rmzer o vetor y d fórmul de decomposição d Mtriz A. NrC: Número de lihs e colus; cot: cotrol o úmero de etps; i e j: ídices utilizdos pr cessr posições tto os vetores, como mtriz; Mt[i, j]: Mtriz ode está rmzedo os vlores do sistem; X[j]: vetor que rmze solução do sistem. ux: vriável uxilir. Gurd resultdos que poderão ser utilizdos posteriormete. Pr meizr os erros de rredodmeto resolução e implemetção dos sistems de equções lieres dotou-se Estrtégi de Pivotemeto Prcil, coforme Algoritmo 4. Algoritmo 4: Estrtégi de Pivotemeto Prcil. if Pivotemeto the 2. pivot: flse; 4. for i: cot + util NrC - do 5. if (Mt[cot,cot]< Mt[i,cot]) or (Mt[cot, cot] < (-Mt[i,cot])) the 6. for j: util NrC do 7. ux: Mt[cot,j]; 8. Mt[cot,j]: Mt[i,j]; 9. Mt[i,j]: ux;. pivot: true. ed_for; 2. ed_if 3. ed_for; 4. ed_if. Pr os métodos diretos: etre Elimição de Guss e Guss-Jord o primeiro é mis em plicdo; st verificr su complexidde pr chegr-se est coclusão. N tel ixo, temos o úmero de operções relizds com mos os métodos:

14 Elimição de Guss Elimição de Guss-Jord N Divisões Multiplicções Adições/ Adições/ Divisões Multiplicções Sutrções Sutrções Tel : Número de operções relizds com os Métodos de Elimição de Guss e Guss-Jord. Segudo Bdeir (998), Elimição de Guss é mis recomedd, um vez que pr o grde, o úmero de operções é proporciol 2 3 / 3 e pr Guss-Jord, Miores detlhes são descritos em Ptel (994). Em relção à Ftorção U, iicilmete ão se trlh com os termos idepedetes d mtriz mplid relciod o sistem, e decompõe-se mtriz A em dus mtrizes trigulres, superior e iferior; pode-se dizer que, detre os três métodos diretos, é o mis recomeddo CONCUSÕES O estudo dos Métodos Diretos Resolução de Sistems de Equções ieres é de sum importâci pr s áres de cohecimeto s quis podem surgir prolems modeldos form de sistems de equções. Coforme já meciodo, ojetiv-se, este estudo, costruir um softwre mtemático que resolv Sistem de Equções ieres Determidos, plicdo os métodos diretos descritos teriormete, coforme lgoritmos costruídos pr este fim. Em relção à covergêci, os métodos diretos são processos diretos fiitos, portto, teoricmete otêm solução de qulquer sistem ão sigulr de equções. Não são em plicdos pr mtrizes esprss. Em relção os erros de rredodmeto, utilizção d estrtégi de pivotemeto prcil costitui-se um form de meizr o prolem. Oservese seguir s tels do softwre desevolvido, resultdo dest pesquis.

15 Tel : Método de Guss - I Tel 4: Método de Guss-Jord - II Tel 2: Método de Guss - II Tel 5: Método de Guss-Jord - III Tel 3: Método de Guss-Jord - I Tel 6: Ftorção U - I

16 Tel 7: Ftorção U - II Tel 8: Ftorção U - III REFERÊNCIAS BANDEIRA, S. M. C. Solução Ext de Sistems de Equções ieres Utilizdo Aritmétic Residul. Cmpi Grde: UFPB, 998. HATTORI, Mário T. & QUEIROZ, Bruo C. N. Métodos e Softwres Numéricos. Prí: Uiversidde Federl d Prí, 995. HATTORI, Mário Toyotro. Softwre pr Computção Numéric. Reltório Técico, Deprtmeto de Sistems e Computção. Cmpi Grde: Uiversidde Federl d Prí, CmpusII,992.. Mário Toyotro. Solução de Prolems de Mtemátic usdo o Computdor. Reltório Técico, Deprtmeto de Sistems e Computção. Uiversidde Federl d Prí, CmpusII, Cmpi Grde, 992. RICE, J. R. Aoucemet d Cll for Ppers. Mthemticl Sofwre. SIGNUM Newsletter. v. 4, p. 7, J. R. (ed.). Mthemticl Sofwre. Acdemic Press, New York, 97. ROQUE, Vldir. Itrodução o Cálculo Numérico Um texto itegrdo com DERIVE. São Pulo: Editor Atls, 2. RUGGIERO, Márci A. Gomes & OPES, Ver úci d Roch. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computciois. 2. edição. São Pulo: Perso Eductio do Brsil, 996. SOFTWARE Wigrph Versio. (Shrewre). De Dieeil d XWre, Ic. Copyright(c) 992. Dispoível em: Acesso em: 2 go. 26.