Matemática Computacional. Carlos Alberto Alonso Sanches Juliana de Melo Bezerra

Transcrição

1 CCI- Mteátic Coputciol Crlos Alberto Aloso Sches Juli de Melo Bezerr

2 CCI- Rízes de Sistes ieres Eliição de Guss Guss-Jord Decoposição U Guss-Jcobi Guss-Seidel

3 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

4 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

5 Métodos de resolução Pr resolução de u siste lier de equções há dois grupos de étodos: Métodos diretos: solução é obtid trvés d plicção de u úero fiito de operções ritétics Regr de Crer Eliição de Guss e de Guss-Jord Decoposição U Métodos itertivos: solução é obtid trvés de u sequêci de proições sucessivs té se lcçr u respost que stisfç precisão eigid Guss-Jcobi Guss-Seidel

6 Sistes de Equções ieres For gerl: b b b b b b ode: ij são os coeficietes i são s icógits b i são os teros idepedetes é orde do siste For tricil: A = b A = b A A b b b b b b b b ode: ode:

7 Eeplo For tricil:. For gerl:

8 Cálculo ds forçs e u treliç U eeplo: F F e F são dds Codições de equilíbrio: F F F y f cos f f f f f f f f cos F F F N jução : N jução : Gerrá u siste de orde 7 F F y f F f 6 f Ide pr deis juções

9 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

10 Regr de Crer A plicção d regr de Crer e u siste de orde eige o cálculo de qutos deterites? pr os uerdores e pr o deoidor

11 Tepo de processeto Sej o tepo gsto pr relizr u ultiplicção Sej det o úero de ultiplicções presetes o cálculo do deterite de u triz de orde Podeos clculr o tepo T gsto pes co ultiplicções o cso de 7 equções: T =.8.det 7 T = det 6 T = det T = det T = ebrdo:

12 Tepo de processeto T = T = : : T =.8!. +! +! ! T. 96.

13 Tepo de processeto Qutidde de ultiplicções: 96. Utilizdo u supercoputdor tul: ultiplicções por segudo Tepo gsto: 96. s di Se o siste fosse de orde eigiri cerc de 8 os de processeto esse eso coputdor! U lgorito be is eficiete é o Método d Eliição de Guss que gst tepo O

14 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

15 Método d Eliição de Guss Objetivo: Trsforção do siste lier ser resolvido e u siste lier trigulr Operções válids: Troc d orde ds lihs Troc d orde ds colus co eceção dos teros idepedetes Multiplicção de u equção por u úero rel ão ulo Substituição de u equção por u cobição lier etre el es e outr equção

16 Sistes lieres trigulres Trigulr iferior: Trigulr superior: A A A A

17 Resolução de u siste trigulr Eeplo: Pssos d resolução:

18 Pssos Cosidere triz uetd [Ab]: Ab b b b ih ih ih Psso : ulr os coeficietes de s lihs Substituir lih pel cobição lier: ode Se = trocr co k ode k Se k ão eistir etão o siste ão te solução Cotiur logete pr lihs j < j Psso i < i < : ulr os coeficietes de i s lihs i+ Cohecido coo pivô

19 Eeplo Ab Ab Ab

20 Eeplo Ab Ab Ab 7 Ab 6 7 7

21 Algorito Siste lier A = b de orde : EliiçãodeGuss { pr k= té - pr i=k+ té { = ik kk kk ik = pr j=k+ té ij = ij. kj b i = b i.b k } Eliição } = b pr k=- té { s = pr j=k+ té s = s + kj. j k = b k s kk } Copleidde de tepo: O Siste trigulr

22 Eeplo [Ab] [Ab] 86 7 [Ab] Nos cálculos seguir cosiderreos F-:

23 Eeplo [Ab] Apes lgrisos são represetdos [Ab] = = = [- -] = = [7 - - ] = No etto solução et é: = = =

24 Pivoteetos prcil e copleto Pivôs pequeos ger ultiplicdores grdes que uet os erros de rredodeto... U siples lterção Eliição de Guss é escolher coo pivô o eleeto de ior ódulo : e cd colu pivoteeto prcil detre todos os eleetos possíveis o processo pivoteeto copleto: eige u ior esforço coputciol tepo totl d Eliição de Guss será O Volteos resolver o eeplo terior co precisão de css deciis s co pivoteeto prcil:

25 Eeplo co pivoteeto prcil 7] [ ] [7 7 8] [ ] 7 [ ] [7 7 7] [ 7] [ ] [7 7 8] [ ] 7 [ ] [7 7 7] [ ] [ 7] [ ] 7 [ = = = [-7-6]-876 = 999 = [ - 999]7 =

26 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

27 Método de Guss-Jord Cosiste e efetur operções sobre s equções do siste co filidde de trsforá-lo e u siste digol equivlete isto é são ulos todos os coeficietes ik qudo i k A A

28 Eeplo Ab Ab Ab Pivoteeto

29 Eeplo 69 Ab Ab

30 Eeplo Ab Ab Ab A solução é: = -6 = -8 = 78

31 Outr plicção U vrição do étodo de Guss-Jord pode ser utilizd pr se ecotrr ivers de u triz A qudrd de orde Bst trsforr triz A correspodete triz idetidde plicdo esss ess operções e u triz idetidde de orde Guss-Jord [A I] [I A - ]

32 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

33 Refieto por resíduos Se for ecotrdo coo solução do siste A = b etão o erro dess solução é Multiplicdo esse erro por A: A - = b A = r resíduo O resíduo pode ser utilizdo pr se ecotrr u solução elhord : = + δ ode δ é u vetor de correção A = b A + δ = b Aδ = b - A = r δ é ecotrdo resolvedo-se o siste Aδ = r Esses cálculos perite u processo de refieto d solução do siste A = b

34 Eeplo Cosidere o siste bio que será resolvido e u áqui que trblh co pes dois dígitos deciis sigifictivos : 6 Atrvés d Eliição de Guss podeos ecotrr solução bio: Cálculo do resíduo: r 9 b A Não está bo...

35 Eeplo Cálculo do vetor de correção δ : 6 δ δ Vetor de correção: 6 8 δ Arredodeto qui Solução elhord: δ Novo resíduo: r b A Portto é solução et

36 Melhor proição Ddo u siste A = b sej y e z dus proições d solução et. Coo sber qul dels é elhor? A estrtégi is lógic prece ser coprr os respectivos resíduos: o eor seri d elhor solução Ifelizete isso e sepre é verdde... Eeplo es áqui de dígitos deciis: y z r y 8 r z Coclusão: e sepre proição de eor resíduo é is et Se busc por resíduos eores ão grte elhores soluções coo sber se o processo de refieto por resíduos fucio?

37 Codicioeto de sistes U siste lier é dito l codiciodo se peques lterções os ddos de etrd A ou b ocsio grdes erros o resultdo fil Eeplo e outr áqui de dígitos deciis: 96 8y 9 8 y 6 Solução: = e y=-998 Supoh que os vlores desse siste sej obtidos eperietlete e por isso os teros idepedetes poss vrir de ±: Vlor perturbdo 96 8y 8 y 6 Solução: = e y= Erro etrd: 9-9 8% Erro o resultdo: % Qudo há l codicioeto lt precisão os cálculos ão sigific quse d pois os resultdos obtidos ão são cofiáveis...

38 Iterpretção geoétric Cosidere os seguites sistes: y y 6 b y y 6 c Solução: = e y= Solução: =8 e y= y b c

39 U étric de codicioeto E áquis co grde precisão gerlete ão fz setido refir os resultdos... No etto epiricete os refietos jud idetificr o codicioeto de u siste lier: Se s correções δ δ... δ fore grdes etão o siste será l codiciodo E sistes be codiciodos bst dois refietos: δ... δ serão próios do épsilo d áqui Iportte: esse processo de verificção o vetor b ão pode ser ulo Cso cotrário eso e u siste l codiciodo solução et será ul co correções tbé uls...

40 Eeplo Cosidere o siste bio e F-98: Prieiro refieto e F-98: r b A Resíduos pequeos Resolução de Aδ = r : Correções reltivete peques Solução elhord = + δ :

41 Outr étric de codicioeto Mostrreos gor outr eir de idetificr o l codicioeto de u siste lier ão sigulr A = b Vos supor que os ddos estão sujeitos certs perturbções e lisreos seus efeitos solução Iicilete sej b + b u perturbção o vetor de teros idepedetes Desse odo solução tbé será perturbd ou sej tereos A + = b + b Desejos ecotrr u relção etre e b pois cohecedo o tho d perturbção b podereos estir e verificr etão se o siste é ou ão l codiciodo Pr isso tereos que rever o coceito de ors

42 Nors de vetores Ddo u vetor do espço vetoril E ch-se or de deotd por qulquer fução defiid e E co vlores e R que stisfz s seguites codições: = se e soete se for o vetor ulo λ = λ. pr todo esclr λ +y + y ode y є E Eeplos de ors de vetores e E = R : = á i i = Σ i i E = Σ i i

43 Nors de trizes Dd u triz A do espço vetoril E de trizes qudrds de orde ch-se or de A deotd por A qulquer fução defiid e E co vlores e R que stisfz s seguites codições: A A = se e soete se A for triz ul λa = λ. A pr todo esclr λ A+B A + B ode B є E Eeplos de ors de trizes ode A = ij : Nor lih: A = á i Σ j ij Nor colu: A = á j Σ i ij Nor euclidi: A E = Σ ij ij

44 Usdo ors Desevolvedo equção A + = b + b : A + A = b + b Coo A = b etão A = b Desde que A é ão sigulr etão = A - b Se u or de triz e u or de vetor estão relciods de tl odo que stisfç desiguldde A A. pr qulquer vetor de orde etão dizeos que s dus ors são cosistetes Usdo ors cosistetes: A -. b De A = b tbé teos b A. Multiplicdo s iequções ebro ebro:. b A. A -. b.

45 Núero de codição. b A. A -. b. A. A -. b b coda. b b Observções: Núero de codição de A: coda = A. A - A.A - = I = b b é u edid do erro reltivo e b O erro e depederá de coda que é ior ou igul Se coda for grde etão peques perturbções reltivs e b produzirão grdes perturbções reltivs e e o siste A = b será l codiciodo Gerlete sistes co coda são cosiderdos l codiciodos

46 Outro cso possível Cosidereos gor outro cso possível: o vetor b é cohecido etete s ocorre u perturbção triz A. Tereos portto A + A + = b Desevolvedo: + = A + A - b Equção * Coo = A - b teos: = A + A - b - A - b = [A + A - - A - ]b = [B - A - ]b ode A + A = B B - A - = A - AB - A - BB - = A - A BB - = B - - A - b = [A - A BB - ]b = [A - A A + AA + A - ]b = -A - AA + A - b Utilizdo equção *: = -A - A + Aplicdo ors cosistetes e bos os ebros: A -. A. + + coda. A A : seelhte o terior

47 Eeplo Alisr o siste lier bio: Atrvés de Guss-Jord podeos clculr A - : A Usdo or lih que é cosistete: A = 67 A - =. 8 coda = A. A -. 8 Coclusão: siste l codiciodo

48 Algus coetários U siste é l codiciodo se for ecessivete sesível perturbções e seus ddos de etrd A solução de u siste l codiciodo eso clculd co grde precisão pode ser pouco et Gerlete ess situção pode ser detectd qudo: o processo de refieto s correções perece grdes o úero de codição d triz A for uito ior que uidde Iportte: Resíduos pequeos ão grte qulidde de u solução A precisão d áqui iflui o codicioeto do siste Há sistes lieres e que o processo de refieto coverge pr u solução s triz A te u úero de codição grde por eeplo d orde de ou. Nestes csos o siste está próio de ser l codiciodo ou sej solução ecotrd pode ão ser cofiável...

49 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

50 Outr for de ver... Cosidereos o siste de equções A = b: A A A A b b b b b b b b Após prieir fse d Eliição de Guss: M ode A M A. M ode A M A. Após segud fse d Eliição de Guss: M ode A M A. M ode A M A.

51 Outr for de ver... Resuido: A = A A = M.A = M.A A = M.A = M.M.A A = M.M -.A A = M -.M -.A É fácil coprovr que: M M M M Portto: U A. U A.

52 Decoposição U A coprovção terior pode ser geerlizd e u teore: A. U u Dd u triz qudrd de orde sej A k triz costituíd ds prieirs k lihs e colus de A. Supoh que deta k k. Etão: Eiste u úic triz trigulr iferior = ij co ii = i. Os deis são os ultiplicdores d Eliição de Guss Eiste u úic triz trigulr superior U=u ij tis que.u = A deta = u.u.....u u u u u u u u u u

53 Decoposição U Portto ddos o siste lier A = b e decoposição ou ftorção U d triz A teos: A = b.u = b Chdo U = y o siste origil pss ser y = b ou sej surge dois sistes trigulres Por outro ldo é fácil verificr que y = -.b é o vetor b cuuldo s operções d Eliição de Guss Por eeplo o cso de u siste co equções: Coo = M -.M - etão - = M.M Portto y = M.M.b Vtge d decoposição A =.U: u vez clculds s trizes e U e tepo cúbico resolveos is rpidete e tepo qudrático outros sistes co es triz A. Isso é útil por eeplo o refieto por resíduos

54 Eeplo A U ultiplicdores Tepo cúbico

55 Eeplo U y y y y y y y A = b U = b y = b U = y Tepo qudrático

56 Outr plicção A decoposição U tbé é útil o cálculo d triz ivers Resolver o siste AX = B ode A X e B são trizes de orde é o eso que resolver sistes A = b ode e b são vetores de tho A ivers A - d triz A pode ser ecotrd trvés d resolução do siste AX = I ode I é triz idetidde Nesse cso bst relizr u úic vez decoposição U d triz A e depois utilizá-l resolução de sistes

57 Decoposição U co pivoteeto É possível icorporr s estrtégis de pivoteeto prcil ou copleto à decoposição U U triz qudrd P de orde é u triz de perutção se for obtid d correspodete triz idetidde trvés de perutções e sus lihs ou colus As evetuis perutções de lihs ou colus triz A k obtid e u psso iterediário d Eliição de Guss pode ser relizds trvés d ultiplicção por u triz de perutção Eeplo: P A k A k

58 Eeplo co pivoteeto prcil 9 A A P.A P A ' P A P A. '

59 Eeplo co pivoteeto prcil 8 A 8 U.U = A = P.A ode P = P.P : P A A.. ' A = b PA = Pb U = Pb

60 Eeplo co pivoteeto prcil y 9 8 U 9 y y y.. 8. A = b U = Pb y = Pb U = y

61 Algorito Decoposição U co pivoteeto prcil e u siste de orde Síd: triz D = +U-I e triz de perutção P UPivotPrcil { D = A P = I triz de orde idetidde de orde pr j= té - { q = j = d jj pr k=j+ té { se d kj > etão { = d kj q = k } Escolh do pivô \\ cotiu...

62 Algorito cotiução UPivotPrcil { cotiução } se q j etão { pr k= té { t = d jk d jk = d qk d qk = t } trocr lihs q e j e P se d jj = etão prr A é sigulr seão { r = djj pr i=j+ té { = d ij.r d ij = pr k=j+ té d ik = d ik.d jk } } } retur D P Troc ds lihs q e j Eliição Copleidde de tepo: O

63 Mtb No Mtb os úeros reis são rzedos e 6 bits precisão dupl d IEEE ou sej possue 6 dígitos deciis A\b iva Vetor colu co solução do siste lier A = b Ivers d triz A [U] = lua Mtrizes e U recebe decoposição U d triz A usdo pivoteeto prcil ode cuul perutção [UP] = lua Ide retordo tbé triz de perutção P tl que P.A =.U lisolveab Vetor colu co solução de A = b usdo U co pivoteeto prcil coda Núero de codição d triz A =: or colu ; = If: or lih

64 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

65 Métodos itertivos Coo foi iicilete coetdo os étodos itertivos pr resolução de sistes lieres cosiste e ecotrr u sequêci de proições sucessivs Dd u estitiv iicil clcul-se sequêci... té que deterido critério de prd sej stisfeito O siste A = b é trsfordo e k = C k- + g k> ode C é u triz e g u vetor Possíveis critérios de prd: áio erro bsoluto ou reltivo úero de iterções Pricipis étodos: Guss-Jcobi e Guss-Seidel

66 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

67 Método de Guss-Jcobi Cosidere o siste lier e su for iicil:... b... b... b Isoldo i-ési icógit i-ési equção: = b = b = b

68 Método de Guss-Jcobi iterção clculd iterção terior Dess for sej k = C k- + g ode k>: C g b b b Eeplos de critérios de prd: Erro bsoluto: d k = á i i k i k- < ε Erro reltivo: d r k = d k á i i k < ε

69 Eeplo C g ε = g escolh rbitrári C g = 6 = 6 d r = á i = 88 > ε =

70 Eeplo C g g C d r = 98 = 66 > ε d r = 9888 = 6 < ε g C

71 Critério ds lihs E u étodo itertivo covergêci pr solução et ão é grtid: é preciso que o siste stisfç lgus requisitos Há u codição suficiete pr covergêci do Método de Guss-Jcobi cohecido coo o critério ds lihs : j ji ij ii pr i...

72 Eeplos Cosidere o eeplo terior: < + < + < Grti de covergêci Cosidere o eeplo bio: = < Não há grti de covergêci No etto o étodo de Guss-Jcobi coverge este siste pr solução et = =. Verifique! Isso ostr que o critério ds lihs é suficiete s ão ecessário

73 Deostrção Sej: * = [... ] T : solução et de A = b k = [ k k... k ] T : k-ési proição de * e k = k *: erro k-ési proição Quereos grtir que li k e k i = i Sbeos que: * = b - * + * * k = b - k- + k k- Clculdo e k = k * teos: e k = - e k- + e k e k- Alogete: e k = - e k- + e k e k- e k = - e k- + e k e k- -

74 Deostrção cotiução Sej: E k = á i { e k i } i = i ii- + ii i ii i Qudo o critério ds lihs é stisfeito i < Qudo k k * é equivlete E k Deostrreos que E k.e k- ode = á i { i } Pr i : e k i = - i e k ii- e k- i- + ii+ e k- i i e k- ii e k i i. e k ii-. e k- i- + ii+. e k- i i. e k- ii e k i i ii- + ii i.e k- ii e k i i.e k- Portto E k.e k- Cosequeteete E k E k- Coo < etão E k qudo k : há covergêci!

75 Mis u eeplo Cosidere o siste seguir: > + > 6 < 8 Não há grti de covergêci No etto u perutção etre s dus prieirs lihs grte covergêci: 6 + < < 6 < 8 Grti de covergêci Qudo o critério ds lihs ão for stisfeito cové tetr u perutção de lihs eou colus

76 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

77 Método de Guss-Seidel Alogete o Método de Guss-Jcobi clcul-se k = C k- + g: C g b b b k No etto utiliz-se o cálculo de : vlores d iterção terior: k i... vlores clculdos es iterção: i k k k... i

78 Eeplo ε = 6 6 Processo itertivo: k k k k k k k k k 7 7 C g

79 Eeplo k k k Prieir iterção: k k 7 k k k k = = 7 d r = á i = > ε = 87

80 Eeplo k k k Segud iterção: k k 7 k k k k = = d r = á i = 9 > ε =

81 Eeplo k k k Terceir iterção: k k 7 k k k k = 7 = d r = á i = 9 < ε = 8

82 Critério de Sssefeld Sej os seguites vlores: i ii j j i j ij j ji ij pr < i β = á {β j } j Se β < etão o Método de Guss-Seidel ger u sequêci covergete qulquer que sej Quto eor for β is rápid será covergêci

83 Eeplo β = + + = 7 β = = β = = 8 β = = 76 β = 7 <

84 Deostrção Sej: * = [... ] T : solução et de A = b k = [ k k... k ] T : k-ési proição de * e k = k *: erro k-ési proição Quereos grtir que li k e k i = i No étodo de Guss-Seidel podeos costtr que: e k = - e k- + e k e k- e k = - e k + e k e k- e k = - e k + e k e k - Sej: E k = á i { e k i } β = β i = β. i β i-. ii- + ii i ii <i

85 Deostrção cotiução Qudo k k * é equivlete E k Deostrreos por idução o ídice i i que E k β.e k- ode β = á i {β i } Bse i=: e k. e k- +. e k e k- e k [ ].á i { e k- i } e k β.e k- β.e k- Hipótese <i : e k i- β i-.e k- β.e k- Psso <i : e k i i. e k ii-. e k i- + ii+. e k- i i. e k- ii e k i i.β ii-.β i- + ii i.e k- ii e k i β i.e k- β.e k- Portto E k E k- β Coo β< etão E k qudo k : há covergêci!

86 Eeplos Cosidere o siste bio teriorete visto:. No etto o Método de Guss-Seidel coverge este siste pr solução et = =. Verifique! Isso ostr que o critério de Sssefeld coo o critério ds lihs é suficiete s ão ecessário Cosidere outro siste: Não há grti de covergêci Neste cso o critério de Sssefeld grte covergêci s o critério ds lihs ão...

87 Relção etre os critérios Se u siste stisfz o critério ds lihs etão tbé stisfrá o critério de Sssefeld Deostrção: Sej = á i { i } < ode i = i ii- + ii i ii Vos provr por idução e i que β i i < i Bse i=: β = = < Hipótese <i : β i- i- < Psso <i : β i = β. i β i-. ii- + ii i ii β i i ii- + ii i ii = i < Portto < β < A volt e sepre é verddeir...

88 CCI- Itrodução Métodos diretos Regr de Crer Eliição de Guss Guss-Jord Resíduos e Codicioeto de Sistes Decoposição U Métodos itertivos Guss-Jcobi Guss-Seidel Cosiderções fiis

89 Cosiderções fiis Tto o critério ds lihs coo o critério de Sssefeld são codições suficietes pr covergêci s ão ecessáris E sistes esprsos co grde úero de coeficietes ulos o Método d Eliição de Guss ão é proprido pois ão preserv est vtjos qulidde. Nesses csos cové utilizr étodos itertivos Os étodos itertivos são eos suscetíveis o cúulo de erros de rredodeto

90 Métodos diretos versus itertivos Covergêci Diretos: ão fz setido cosiderr ess questão pois clcul solução et Itertivos: ocorre sob deterids codições Esprsidde d triz de coeficietes Diretos: lter estrutur d triz Itertivos: utiliz sepre triz iicil Erros de rredodeto Diretos: ocorre cd etp e cuul-se Itertivos: soete os erros d últi etp fet solução