Universidade Presbiteriana Mackenzie. Processamento Digital de Sinais

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1 Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia Elétrica Processameto Digital de Siais Notas de Aula Prof. Marcio Eisecraft Segudo semestre de 7

2 Uiversidade Presbiteriaa Mackezie Curso de Egeharia Elétrica Processameto Digital de Siais TEORIA Prof. Marcio Eisecraft Segudo semestre de 7

3 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Aula T - Siais de tempo discreto Operações com seqüêcias Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias MITRA, Sajit K. Digital sigal processig: a computer-based approach. d ed. Bosto: McGraw-Hill, c. 866 p. : il. ; 4 cm ISBN Págias Siais de tempo discreto Um sial de tempo discreto é basicamete um sial que está defiido apeas em istates isolados de tempo. Coseqüetemete, um sial de tempo discreto pode ser descrito por uma seqüêcia de úmeros. Nesta aula, aprederemos um pouco mais sobre a represetação deste tipo de sial e como realizar operações com eles. Os siais de tempo discreto são represetados pela otação x[] em que só está defiido para úmeros iteiros. Cada um dos elemetos do sial chamado de amostra. Vejamos algus exemplos: x é (a) x[ ] =, 6 6 Este sial é costituído das seguites amostras [] } {36,5,6,9,4,,,,4,9,6,5,36} { x = sial: stem(-6:6, (-6:6).^);. A figura a seguir mostra um gráfico deste

4 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 A seguda amostra deste sial é x [ 5] = 5. Este sial tem 6 ( 6) + = 3 amostras. (b) y[ ] = (,9), N As amostras deste sial são { y [ ]] = {;,9;,8;,79;,656;...}. A figura a seguir mostra as 5 primeiras amostras deste sial. Repare que este é um sial com ifiitas amostras e, por exemplo, y[ ] =. stem (:5, (.9).^(:5)) Os exemplos acima mostram que um sial de tempo discreto pode ser uma seqüêcia de comprimeto fiito ou ifiito. Além disso, um sial de comprimeto fiito defiido o itervalo N N tem comprimeto ou duração: N = N N. + Detre as seqüêcias de comprimeto ifiito, destacamos as seqüêcias chamadas causais defiidas somete para e as seqüêcias aticausais defiidas para <. Por exemplo, a seqüêcia do exemplo aterior é causal. Exercício. (CARLSON, 998; p. 44) Um sial é chamado de simplesmete defiido ( simply-defied ) se ele é represetado por uma úica equação e é chamado

5 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 de defiido por partes ( piecewise defied ) se é represetado por um cojuto de equações cada uma válida um itervalo de tempo diferete. Sedo assim, esboce os siais de tempo discreto defiidos pelas seguites equações. Idique também se eles são defiidos por partes.,5 (a) x[] = e, (b) x [], < 3 = 3, 3 < 6 5, 6 3 (c) [] ( ) + x =, +, (d) x[] =, < ( + ), (e) x [] = ( ), <.. Operações com seqüêcias Sistemas de tempo discreto são etidades que trasformam uma ou mais seqüêcias de etrada em uma ou mais seqüêcias de saída. A figura a seguir mostra esquematicamete um sistema de tempo discreto cuja etrada é a seqüêcia x [] e a saída é a seqüêcia y[]. O coceito de sistemas é um dos mais importates o curso de Egeharia Elétrica e é explorado em várias disciplias. Aqui, os preocuparemos pricipalmete com a parte operacioal de sistemas de tempo discreto, ou, em outras palavras, em como eles operam. 3

6 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Quase todo sistema de tempo discreto pode ser decomposto em um cojuto de operações básicas etre seqüêcias que serão estudadas a seguir.... Produto A operação produto etre duas seqüêcias x [] e y[], represetada por [] ] w [ ] = x y[, cosiste em multiplicar, para cada valor de as amostras das seqüêcias x [] e y[]. Esquematicamete, esta operação é represetada pelo símbolo mostrado a seguir. Esta operação também é chamada de modulação a área de telecomuicações.... Soma A operação soma etre duas seqüêcias x [] e y[], represetada por [] ] w [ ] = x + y[, cosiste em somar, para cada valor de as amostras das seqüêcias x [] e y[]. Esquematicamete, esta operação é represetada pelo símbolo mostrado a seguir que é chamado de somador. 4

7 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro Multiplicação por escalar Nesta operação, um ovo sial é gerado multiplicado-se cada amostra da seqüêcia [] x pelo escalar A : w [ ] = Ax[ ] Esquematicamete temos: 3. Esta operação também é chamada de gaho. Exercício. (MITRA, ; p. 6) Cosidere as seguites seqüêcias de comprimeto 7 defiidas para 3 3 : x y [] = { 3; ; ; ; 4; 5; } [] = { ; 7; ; 3; 4; 9; }. [] = { 5; 4; 3; 6; 5; ; } w Determie as seguites seqüêcias: (a) u [] = x[] + y[] (b) v [ ] x[ ] + w[ ] [] [] (d) r = 4, 5y. = (c) s[] = y[] w[ ]..4. Deslocameto o tempo A última operação de que trataremos por equato é o deslocameto o tempo ( time-shiftig ). A relação etre a saída e a etrada esta operação é w [ ] = x[ ] 4 N em que N é um iteiro. Se N > esta é uma operação de atraso e se N < esta é uma operação de avaço. O dispositivo que implemeta a operação de atraso de uma amostra é chamado de atraso uitário e seu símbolo é mostrado a seguir. 5

8 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 A explicação do por que deste símbolo será dada mais tarde quado estudarmos Trasformadas z. Exercícios 3. Um sial de tempo discreto x[], defiido para todo iteiro é dado por x [] = +. Ele é passado por um atrasador, obtedo-se o sial [] = x[ ] w. Descreva as amostras para dos siais x [] e w[] e escreva uma fórmula fechada para as amostras do sial w[]. 4. Desehe um diagrama de blocos que programe a seguite operação sobre o [] sial x : y [ ] = x[ ] +,5x[ ] +,75x[ ] 5. (MITRA, ; p. 47) Descreva uma formula para o sial y[] obtido do filtro mostrado em diagrama de blocos a figura a seguir: 6

9 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Aula T - Classificação de siais Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias OPPENHEIM, Ala V.; WILLSKY, Ala S.; NAWAB, S. Hamid. Sigals & systems. d. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Pretice-Hall, c p. ISBN Págias -4. Classificação de siais Nas aulas ateriores, vimos que um sial, de forma geral é uma fução (cotíua ou discreta) do tempo. Veremos agora como podemos classificar os siais segudo algus critérios como simetria, periodicidade e eergia. Em cada caso, veremos as defiições para siais de tempo cotíuo e discreto... Classificação baseada a simetria... Siais de tempo cotíuo Um sial de tempo cotíuo é dito par se ele satisfizer a codição ( t) x( t) para todo t x = Um sial de tempo cotíuo é dito impar se ele satisfizer a codição x ( t) = x( t) para todo t Assim, os siais pares são simétricos com relação ao eixo vertical ou origem dos tempos equato que os siais ímpares são atisimétricos em relação à o- rigem dos tempos. 3 Os siais x () t = t e x () t = t são exemplos de sial par e ímpar respectivamete. O gráfico destes siais está mostrado a seguir.

10 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Qualquer sial x () t pode ser decomposto uma soma de dois outros siais, um par x p () t e outro ímpar () t, ou seja, x i x () t x ( t) x ( t) com x ( t) x ( t) p = =, () p p + e x ( t) = x ( t) Trocado t por t a expressão (), temos: x ( t) = x ( t) + x ( t) = x ( t) x ( t) () Resolvedo o sistema ()-() para x p ( t) e x i ( t), chega-se a: p i x t = x t + x t x t = x t x t p( ) ( ( ) ( )) i ( ) ( ( ) ( )) i i p i i... Siais de tempo discreto De forma aáloga ao que foi feito em tempo cotíuo, defiimos siais de tempo discreto par e ímpar como: Sial par: Sial ímpar: [ ] x[ ] x = para todo. x [ ] = x[ ] para todo. Demostra-se também, de forma aáloga ao que foi feito ates, que qualquer sial pode ser decomposto em uma compoete par e uma compoete ímpar. x x i p [] = ( x[] + x[ ] ) [] = ( x[] x[ ] ) A figura seguite mostra exemplos de siais de tempo discreto par e ímpar.

11 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Exercícios. (4) (MITRA, ; p.6) Determie a compoete par e ímpar das seqüêcias a seguir defiidas o itervalo 3 3 (a) x [] = { 3; ; ; ; 4; 5; } (b) y [] = { ; 7; ; 3; 4; 9; } (c) w [] = { 5; 4; 3; 6; 5; ; } :.. Classificação quato à periodicidade... Siais de tempo cotíuo Um sial x () t é dito periódico quado satisfizer a codição x () t = x( t + T ) para todo t e T é uma costate positiva. O meor valor de T que satisfaz esta codição é chamado de período fudametal de x () t. O iverso do período fudametal é a freqüêcia fudametal, que, quado o período é medido em segudos, é dada em Hertz (Hz). f = T Também defiimos a freqüêcia agular do sial, medida em radiaos por segudo como: ω = π T 3

12 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Quado o sial ão apreseta um período míimo T é chamado de aperiódico. Exercício. (HAYKIN, ; p. 37) A figura a seguir mostra uma oda triagular. Qual é a freqüêcia fudametal desta oda? Expresse a freqüêcia fudametal em uidades de Hz ou rad/s.... Siais de tempo discreto A classificação de siais em siais periódicos e aperiódicos apresetada até agora se aplica a siais de tempo cotíuo. Cosideraremos a seguir o caso de siais de tempo discreto. Diz-se que um sial de tempo discreto x [ ] é periódico se ele satisfizer a codição [ ] x[ N] x = + para todos os úmeros iteiros, em que N é um úmero iteiro positivo. O meor valor de N que satisfaz a defiição aterior é chamado de período fudametal do sial de tempo discreto x [ ]. A freqüêcia agular fudametal ou, simplesmete, freqüêcia fudametal de x [ ] é defiida por: π = N Ω, 4

13 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 a qual é medida em radiaos. Lembre-se: O período de um sial de tempo discreto é obrigatoriamete um úmero iteiro. Assim, sua freqüêcia agular fudametal Ω ão pode assumir qualquer valor. Exercício 3. (HAYKIN, ; p. 78) Determie se os seguites siais são periódicos. Se forem periódicos, ecotre o período fudametal. (a) x[] = ( ) (b) x [] descrito a figura a seguir...3 Siais de eergia e potêcia..3. Siais de tempo cotíuo Em sistemas elétricos, um sial pode represetar uma tesão ou uma correte. Cosidere uma tesão v () t aplicada a um resistor de resistêcia R, produzido uma correte i ( t). A potêcia istatâea dissipada o resistor é defiida por p v () ( t) t = ou p( t) = Ri ( t) R Vemos assim que a potêcia istatâea p ( t) é proporcioal à amplitude do sial elevada ao quadrado. Além do mais, para p () t é exatamete igual à amplitude ao quadrado do sial. 5 R = Ω, vemos que a potêcia

14 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Baseado isso, em aálise de siais, costuma-se defiir a potêcia istatâea de um sial x () t como: p ( t) = x ( t) Lembrado que a eergia é o produto da potêcia pelo tempo, costuma-se defiir a eergia total do sial x ( t) como: E = T lim T T x () t dt = x () t dt. Também defiimos a potêcia média de um sial como = lim T T P T x () t dt T. Para siais periódicos, podemos calcular a potêcia média tomado a média apeas um período ao ivés de tomar todo o eixo dos tempos. Para um sial periódico de período fudametal T, temos: P = T T T A raiz quadrada da potêcia média P é chamada de valor médio quadrático (rms root-mea-square) do sial x ( t). x () t dt...3. Siais de tempo discreto No caso de um sial de tempo discreto x [ ], as itegrais ateriores são substituídas pelas somas correspodetes. Dessa forma, a eergia total de x [ ] é defiida por: E e sua potêcia média é defiida por: = = x [] 6

15 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 P = N lim x []. N N + = N Novamete, para um sial periódico, basta tomarmos a média de um período para o cálculo da potêcia média. Assim, para o caso de um sial x [] com período fudametal N, N N = [] P = x. Um sial é chamado de sial de eergia se e somete se a eergia total do sial satisfizer a codição < E <. Um sial é chamado de sial de potêcia se e somete se a potêcia média do sial satisfizer a codição < P <. Pode-se mostrar que as classificações de eergia e potêcia de siais são mutuamete exclusivas. Em especial, um sial de eergia tem potêcia média zero equato que um sial de potêcia tem eergia ifiita. Exercícios 4. (HAYKIN, ; p. 39) Qual a eergia total do pulso retagular mostrado a figura a seguir? Resposta: A T 5. (HAYKIN, ; p. 39) Qual é a potêcia média da oda quadrada mostrada a figura a seguir? 7

16 Processameto Digital de Siais Aula T Professor Marcio Eisecraft fevereiro 7 Resposta: 6. (HAYKIN, ; p. 4) Qual é a potêcia média da oda triagular mostrada a seguir? Resposta: /3 7. (HAYKIN, ; p. 4) Qual a eergia total do sial de tempo discreto mostrado a seguir? 8. (HAYKIN, ; p. 4) Qual a potêcia média do sial periódico de tempo discreto mostrado a figura a seguir? 8

17 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Aula 3T - Seqüêcias Típicas Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias OPPENHEIM, Ala V.; WILLSKY, Ala S.; NAWAB, S. Hamid. Sigals & systems. d. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Pretice-Hall, c p. ISBN Págias Algumas seqüêcias básicas Nesta aula serão defiidos e estudados algus siais básicos em tempo discreto. Estes siais serão utilizados durate todo o restate do curso para costruir siais mais complicados e estudar a resposta de sistemas a eles. Estudaremos os siais de tempo discreto impulsivo, degrau, expoecial e seoidal..3. Sial impulso A versão de tempo discreto do impulso, comumete otada por δ [] é defiida por:, = δ [] =., A figura a seguir mostra um gráfico do sial δ [ ].

18 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Para represetar um impulso o istate exemplo, a figura a seguir represeta o sial δ [ 3]. = k, basta escrevermos δ [ k]. Por Exercício. Esboce os seguites siais: (a) a[ ] = δ [] (b) [ ] δ[ ] 3δ[ ],5δ[ b = + + ] Um sial de tempo discreto arbitrário pode ser represetado como uma soma poderada de impulsos. Por exemplo, o sial a seguir: pode ser expresso por x [] =,5 [ + ] +,5δ [ ] δ [ ] + δ [ 4] +,75δ [ 6 δ ].

19 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Exercício. Expresse os seguites siais como somas poderadas de fuções impulsivas..3. Sial degrau A versão em tempo discreto da fução degrau, comumete deotada por u [ ] é defiida por: u [], =, < A figura a seguir mostra um gráfico do sial u [ ]. 3

20 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Exercícios 3. () Esboce o seguite sial: w [ ] = u[ ] u[ 3] 4. (HAYKIN; VEEN, ; p. 56) Um sial de tempo discreto x é defiido por: u [] [] x [], 9 =, caso cotrário Usado descreva x como a superposição de duas fuções degrau. [].3.3 Siais expoeciais Em tempo discreto, um sial expoecial real é dado por: [ ] Br x =, com B e r costates reais. A figura a seguir mostra exemplos de siais expoeciais de tempo discreto. 4

21 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Se < r < o sial é decrescete. Se r > o sial é crescete. Vemos também que se r <, um sial expoecial de tempo discreto assume valores (+,-) que se alteram. Exercícios 5. () Calcule a eergia e a potêcia do sial x[ ] (,8) u[] ele é um sial de eergia ou de potêcia. = e verifique se.3.4 Siais seoidais A versão de tempo discreto de um sial seoidal é escrita como [ ] = A ( Ω + φ) x cos () O período de um sial de tempo discreto é medido em amostras. Desta forma, [] [] [ ] para que x seja periódico com um período de N amostras, ele deve satisfazer a codição x = x + N para todo e para algum N iteiro. Calculado x [ + N], temos [ + N] = A ( Ω + ΩN + φ) x cos () Assim, a codição para que x [ ] x[ + N] ou = é: Ω N = πm radiaos πm Ω = radiaos/amostra m, N iteiros. (3) N Assim, um sial seoidal de tempo discreto será periódico se e somete se sua freqüêcia agular Ω puder ser escrito a forma da Equação 3, com m, N iteiros. É importate otar que, diferetemete dos siais seoidais de tempo cotíuo, em todos os siais seoidais de tempo discreto com valores arbitrários de Ω são periódicos. Especificamete, para que o sial seoidal de tempo dis- 5

22 Processameto Digital de Siais - Aula 3T Professor Marcio Eisecraft julho 6 creto descrito a Eq. () seja periódico, a freqüêcia agular múltiplo a forma de razão de π, como idica a Eq. (3). Ω deve ser um A figura a seguir ilustra o sial seoidal x[]. Tete calcular o período deste sial e cofira com a figura. = cos π 6 Exercícios 6. () Determie se os seguites siais de tempo discreto são periódicos. Se o forem, determie o seu período fudametal: 3 x = 3cos π + 45 (a) [] (b) x[] = cos( π) o 6

23 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7 Aula 4T - Sistemas de tempo discreto Classificação Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias LATHI, Bhagwadas Paalal. Sigal processig ad liear systems. Califoria: Berkeley, c p. ISBN Págias Sistemas de tempo discreto o domíio do tempo Em aulas passadas já foi discutido o coceito de sistema. Foi visto que um sistema é uma itercoexão de operações que trasforma um sial de etrada em um sial de saída. Neste curso, abordam-se particularmete os sistemas em que os siais são de tempo discreto. Estes sistemas são chamados de sistemas de tempo discreto. Matematicamete, se expressa um sistema por um operador. Por exemplo, para dizer que um sial y[] é a saída de um sistema H cuja etrada é x [ ] escreve-se: Em diagrama de blocos: [ ] H[ x[ ] y = x [] y[ ] H Exercícios. (LATHI, 998; p. 57) Uma média móvel é usada para detectar a tedêcia de uma variável que flutua muito rapidamete como as médias do mercado de ações. Uma variável pode flutuar (para cima ou para baixo) diariamete, mascarado a sua tedêcia de logo prazo.

24 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7 Podemos obter a tedêcia de logo prazo suavizado ou tomado a média dos N últimos valores da variável. Para o mercado de ações, podemos cosiderar uma média móvel de 3 dias y[] como sedo a média dos valores de fechameto do mercado de ações dos últimos três dias, [ ] x [ ] [ ] x, e x. (a) Escreva a equação de difereças relacioado [] com a etrada x. y [] (b) Usado elemetos de atraso, faça um diagrama de blocos deste filtro de média móvel.. (LATHI, 998; p. 6) Resolva a seguite equação iterativamete (primeiros três termos apeas): y [],6y[ ],6y[ ] = com [ ] = 5 [ ] y, y =. 3. (LATHI, 998; p. 6) Resolva a seguite equação iterativamete (primeiros três termos apeas): y[ + ] + 3y[ + ] + y[ ] = x[ + ] + 3x[ + ] + 3x[] com x[] = 3 u[], y[-] = 3 e y[-] =. 4. (LATHI, 998; p. 57) A saída de uma caixa registradora y[] represeta o preço total de ites passados pela caixa. A etrada x é o preço do - ésimo item. [] (a) Escreva a equação de difereças relacioado y [] a x [ ]. (b) Esquematize a realização deste sistema usado APENAS UM elemeto de atraso.

25 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7. Classificação de sistemas.. Memória Diz-se que um sistema possui memória se sua saída depede de valores passados ou futuros do sial de etrada. A extesão temporal de valores passados dos quais a saída depede defie quão loge a memória se estede o passado. Em cotrapartida, diz-se que um sistema é sem memória se seu sial de saída depede somete do valor presete do sial de etrada. Por exemplo, o sistema de média móvel do Exercício descrito pela relação etrada-saída: y [ ] = 3 ( x[] + x[ ] + x[ ] ) tem memória, uma vez que o valor do sial de saída y[] o istate depede do valor atual e de dois valores passados do sial de etrada x. Por outro lado, um sistema descrito pela relação: y [ ] = x [ ] é sem memória uma vez que o valor do sial de saída y[] o tempo depede apeas do valor atual do sial de etrada x [ ]. [].. Causalidade Diz-se que um sistema é causal se o valor atual do sial de saída depeder somete dos valores presetes e/ou passados do sial de etrada. Em cotrapartida, o sial de saída de um sistema ão-causal depede de valores futuros do sial de etrada. Por exemplo, o sistema de média móvel já descrito, 3

26 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7 y [ ] = 3 ( x[] + x[ ] + x[ ] ) é causal. Por outro lado, o sistema de média móvel descrito por: y [ ] = ] 3 ( x[ + ] + x[ ] + x[ ) é ão-causal uma vez que o sial de saída y [ ] depede de um valor futuro do [ ] sial de etrada, a saber, x Ivariâcia o tempo Diz-se que um sistema é ivariate o tempo se um retardo de tempo ou a- vaço de tempo do sial de etrada levar a um deslocameto idêtico o sial de saída. Isto implica que um sistema ivariate o tempo reage de maeira idêtica, ão importa quado o sial de etrada seja aplicado. Dizedo com outras palavras, as características de um sistema ivariate o tempo ão se modificam com o tempo. Caso cotrário, diz-se que o sistema é variate o tempo. Por exemplo, o sistema [ ] = x[ ] y [] = r x( ) é variate o tempo. y é ivariate o tempo. Já o sistema..4 Liearidade Dizemos que um sistema é liear quado são válidos os pricípios da superposição e da homogeeidade explicados a seguir. Caso cotrário, o sistema é chamado ão-liear. 4

27 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7 A. Pricípio da superposição Seja um sistema resposta à etrada quado aplicamos a ele a etrada y [] = H[ x[] ] e sejam y [ ] a resposta à etrada [] e x [ ] y a x [] [ ] = x [ ] x [ ] sua saída é y [] y [ ]. Um sistema satisfaz o pricípio da superposição se, x S + y S + =. B. Pricípio da homogeeidade Seja um sistema y [] = H[ x[] ] e seja y [ ] a resposta à etrada []. Um sistema satisfaz ao pricípio da homogeeidade se quado aplicamos a ele a etrada [] = ax [] x H *, R, sua saída é a [ ] ay [ ] y H =. Assim, para verificar se um sistema é liear é ecessário testar as duas codições acima. x Exercícios 5. () Um sistema liear e ivariate o tempo tem a seguite resposta à etrada x[] δ [] = (resposta impulsiva): [] Faça um esboço da saída y deste sistema quado a etrada é: (a) x[] = 3δ [ ] (b) x[] = δ [ ] (c) x[] = δ [] +,5δ [ ] 5

28 Processameto Digital de Siais Aula 4T Professor Marcio Eisecraft março 7 6. (3) Um sistema de tempo discreto é defiido pela seguite equação de difereças: (a) Este sistema é causal? Justifique. y [ ] = x[ ] ( x[ ] ) (b) Este sistema tem memória? Justifique. (c) Este sistema é liear? Justifique. (d) Este sistema é ivariate o tempo? Justifique. (e) Determie iterativamete a resposta ao degrau deste sistema ( [] u[ ] 5. (f) Repita o item (e) para [] = u[ ]. x. (g) Repita o item (e) para x[] 3u[ ] =. Resp: (f) y [] = { ; ; ; ; ; }, 5; (g) y [ ] = { 3; 6; 6; 6; 6; 6}, 5 x = ) para 6

29 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 Aula 5T Represetação de sistemas LIT: A soma de covolução Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias OPPENHEIM, Ala V.; WILLSKY, Ala S.; NAWAB, S. Hamid. Sigals & systems. d. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Pretice-Hall, c p. ISBN Págias Sistemas LIT A soma de covolução Os sistemas mais utilizados em quase todas as áreas da Egeharia são os sistemas lieares ivariates o tempo (abreviadamete, LIT ou LTI em iglês). O pricipal motivo para esta preferêcia é que este tipo de sistema fica totalmete caracterizado pela sua resposta impulsiva, ou seja, pela saída do sistema quado colocamos em sua etrada o sial impulso uitário δ []. Em outras palavras, se soubermos a resposta de um sistema LIT a uma etrada impulsiva, saberemos calcular sua resposta para qualquer etrada. Veja, por exemplo, o exercício a seguir (Exercício 6 da aula 4T). Exercício. () Um sistema liear e ivariate o tempo tem a seguite resposta à etrada x[] δ [] = (resposta impulsiva): Faça um esboço da saída y [] deste sistema quado a etrada é: (a) x[] = 3δ [ ]

30 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 (b) x[] = δ [ ] (c) x[] = δ [] +,5δ [ ] Resumido, como qualquer sial x [ ] pode ser descrito como uma soma poderada de impulsos, sedo o sistema LIT e cohecedo a resposta a um impulso, poderemos determiar a saída devida a qualquer etrada x []. Se a etrada de um sistema liear for expressa como uma superposição poderada de impulsos deslocados o tempo, a saída será uma superposição poderada da resposta do sistema a cada impulso deslocado o tempo. Se o sistema for também ivariate o tempo, a resposta do sistema a um impulso deslocado o tempo será uma versão deslocada o tempo da resposta do sistema a um impulso. Por isso, a saída de um sistema LIT é dada por uma superposição poderada de respostas ao impulso deslocadas o tempo. Essa superposição é chamada de soma de covolução. Na aula de hoje aalisaremos este fato e suas coseqüêcias em detalhes... A soma de covolução Cosidere um sial qualquer x [ ]. Sabemos que x [ ] δ [ ] = x[ ] δ [ ] Ou seja, a multiplicação de um sial x [ ] por um impulso δ [] resulta um impulso de itesidade x[][] δ. A figura seguite ilustra este produto.

31 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 Geeralizado esta expressão podemos dizer que x [][ δ k] = x[ k] δ [ k] Ou seja, a multiplicação de um sial por um impulso deslocado o tempo resulta em um impulso deslocado o tempo com amplitude dada pelo valor o istate em que o impulso ocorre. Esta propriedade os permite expressar x [] como a seguite soma de impulsos deslocados o tempo: x [] = K + x[ ][ δ + ] + x[ ] δ [ + ] + x[ ] δ [ ] + x[ ] δ [ ] + x[ ] δ [ ] + K De forma mais cocisa, podemos escrever: k = [ k] δ [ k] x[ ] = x () Exercícios. Escreva o sial x [] da figura aterior como uma soma poderada de impulsos. 3. Esboce o seguite sial s[] = 5 [ + ] + δ [ + ] +,5δ [ ] + δ [ ] δ. Vamos aalisar agora a saída de um sistema LIT a uma etrada x [] descrita pela equação () acima. x[] H y[] Vamos chamar de H o operador que represeta a operação realizada por este sistema e de h [ ] a resposta deste sistema a um impulso, ou seja, y h [ ] = H[ x[ ] [] = H[ δ [] ] Sedo assim, para uma etrada qualquer x [ ] podemos escrever usado as Equações () e (): () 3

32 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 = y δ k = [] H[ x[] ] = H x[ k] [ k] Levado-se em cota que o sistema é liear, podemos aplicar a superposição e a homogeeidade para aplicar o operador a cada uma das parcelas da somatória. Obtemos assim: y [] = H[ x[][ k δ k ] = x[ k] H[ δ [ k ] k = k = Utilizado agora o fato de que o sistema é ivariate o tempo, temos que a resposta a um impulso atrasado de k amostras é a saída impulsiva atrasada de k amostras, ou seja, H[ δ [ k ] = h[ k] [] = x[][ k h k] k =. Assim, cocluímos que: y (3) Desta forma vemos realmete que a resposta de um sistema LIT qualquer é dada por uma soma poderada da resposta impulsiva deslocada o tempo. Ou seja, ela é totalmete descrita pela etrada e pela resposta impulsiva. A somatória da Eq. (3) é chamada de soma de covolução e represetada pelo símbolo *, ou seja, x [] h[] = x[][ k h k] k= A Figura a seguir do (HAYKIN; VEEN, ) ilustra o processo de covolução. A figura (a) descreve a resposta ao impulso de um sistema LIT arbitrário. Na figura (b) a etrada é represetada como uma soma de impulsos poderados e deslocados o tempo [ ] x[ k] [ k] = δ. A saída do sistema associada a cada pulso p k [] é v k p k [ ] = x[ k] h[ k] 4

33 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 Figura A soma de covolução (HAYKIN; VEEN, ). 5

34 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 Ou seja, v k [] é obtida deslocado-se, o tempo, a resposta impulsiva de k uidades e multiplicado-se por x [ k]. A saída y [ ] em resposta à etrada x [ ] é obtida somado-se todas as seqüêcias v k [ ] : y [] = v k [] k = Assim, somamos para cada valor de os valores ao logo do eixo k idicados o lado direito da figura (b). Exercício 4. (HAYKIN; VEEN, ; p. 88) Supoha que um sistema H LIT teha a resposta ao impulso: h [], =, = ± = caso cotrário Determie a resposta deste sistema em resposta à etrada x [], 3, =,, = = = caso cotrário No exercício acima, ecotramos todos os v k [ ] e depois somamos para todos os valores de k para determiarmos y [ ]. Esta abordagem é muito eficaz quado a etrada tem curta duração, de forma que somete um pequeo úmero de siais v k [] precisa ser determiado. Quado a etrada tem uma duração loga, um úmero muito grade, possivelmete ifiito de siais v k [ ] precisa ser avaliado ates que y [ ] possa ser ecotrado. Uma abordagem mais iteressate é olharmos ovamete para a equação y [] = x[][ k h k] k= 6

35 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 e imagiarmos que está fixo. Desta forma, para calcularmos a saída um certo istate precisaríamos calcular: [ ] = x[ k] h[ k] = x[ k] h[ k ] k = y ( ) (4) k = o que cosiste em somar todos os elemetos do sial [ k] = x[ k] h[ ( k )] ou w seja, do produto do sial de etrada pela resposta impulsiva do sistema ivertida o tempo e deslocada de uidades. Os exercícios seguites devem ilustrar este efoque. Exercícios 5. Ecotre a resposta os istates = e = para o sistema e para a etrada do Exercício 4 usado a abordagem discutida acima. 6. (HAYKIN; VEEN,, p. 9) Um sistema LIT tem resposta ao impulso: h 3 = 4 [] u[] Determie a saída do sistema os istates = 5, = 5 e = quado a etrada for [] u[] RESP: [ 5 ] = x =. y, y [ ] = 3, 83 y, [] 5 = 3, Escreva uma fórmula para w [ k] para o Exercício aterior e ecotre [ ] y para todo. RESP: w 3 4 k, k [] k =, y[], caso cotrário 3 4 = 4, +, caso cotrário Este último exercício sugere que, em geral, podemos determiar y [] para todo sem avaliarmos a Eq. (4) para um úmero ifiito de deslocametos distitos o tempo. Isto é realizado idetificado-se os itervalos de os quais w [] k tem a mesma forma fucioal. Depois, precisamos somete avaliar a Eq. (4) usado o w [ k] associado com cada itervalo. Muitas vezes é 7

36 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 muito útil traçarmos graficamete tato x [ k] como [ k] h quado determiamos w [] k e idetificamos os itervalos apropriados de deslocameto o tempo. Resumido:. Trace graficamete [] k x e [ k] h como uma fução da variável idepedete k. Para determiar h[ k], primeiramete reflita [ k] obter h[ k] e depois desloque h[ k] de o tempo.. Iicie com o deslocameto de tempo grade e egativo. 3. Escreva a forma fucioal para w [ k]. h em toro de k = para 4. Aumete o deslocameto o tempo até que a forma fucioal para w [ k] se modifique. O valor de o qual ocorre a modificação defie o fim do itervalo correte e o iício de um ovo itervalo. 5. Admitamos que esteja o ovo itervalo. Repita os passos 3 e 4 até que todos os itervalos de deslocameto o tempo e as formas fucioais para w [] k sejam idetificados. Isto usualmete implica em aumetar até um úmero positivo muito grade. 6. Para cada itervalo de deslocameto o tempo, some todos os valores de w [] k correspodete para obter [ ] y este itervalo. Exercícios 8. (HAYKIN; VEEN,, p. 93) Um sistema LIT tem a resposta ao impulso dada por: [ ] u[ ] h [ ] = u Determie a saída deste sistema quado a etrada for o pulso retagular defiido como x [ ] = u[ ] u[ 7] 8

37 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7 RESP: [] y,, = 5, 6,, < 6 6 < 6 > 6 9. (HAYKIN; VEEN,, p. 95) Admitamos que a etrada x [] para um sis- x = α { u u } e que a resposta ao tema H do tipo LIT seja dada por [ ] [ ] [ ] impulso do sistema seja dada por h[ ] β u[ ] saída deste sistema. = em que < β <. Ecotre a RESP: [] y, < + α - β = β, α - β α - β β, α - β 9 > 9. (HAYKIN; VEEN,, p. 96) Admitamos que a etrada de um sistema LIT com resposta ao impulso h[ ] = { u[ ] u[ 3] } x [] = { u[ + ] u[ ] }. Ecotre a saída [ ] y. α seja RESP: [] y, < α ( - α ), - - α - α ( - α ) =, - - α -4 α ( - α ), - - α,

38 Processameto Digital de Siais Aula 5T Professor Marcio Eisecraft agosto 7. (HAYKIN; VEEN,, p. 97) Supoha que a etrada x [] e a resposta ao impulso h [] de um sistema H do tipo LIT sejam dadas por: x[] = u[ ] + u[ 3] u[ 6] h[] = u[ + ] u[ ] Ecotre a saída deste sistema, y [ ]. RESP: [] y, -, - 4, =, 9 + 5, < - <. < 4 4 < 9 9 < 5 5. (HAYKIN; VEEN,, p. 97) Cosidere um sistema LIT com resposta ao impulso: h [], = 4, 3 caso cotrário Ecotre uma expressão que relacioe diretamete uma etrada arbitrária x [ ] à saída deste sistema, y []. RESP: y[ ] = ( x[ ] + x[ ] + x[ ] + x[ 3] ). 4

39 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Aula 7T Propriedades da resposta ao impulso Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias 8-. OPPENHEIM, Ala V.; WILLSKY, Ala S.; NAWAB, S. Hamid. Sigals & systems. d. ed. Upper Saddle River, New Jersey: Pretice-Hall, c p. ISBN Págias Propriedades da represetação da resposta ao impulso para sistemas LIT Vimos as últimas aulas que a resposta ao impulso de um sistema LIT o caracteriza completamete. Desta forma, apeas olhado a resposta impulsiva, deve ser possível descobrir se um sistema LIT é causal ou tem ou ão memória e o resultado da itercoexão desses sistemas. Esse será o assuto desta aula..3. Coexão paralela de sistemas LIT Cosideremos a seguite coexão paralela de sistemas LIT em que h [ ] e h [] são as respostas impulsivas de cada sistema: Figura Coexão paralela de sistemas A saída desta coexão de sistemas y [ ] é a soma das saídas de cada sistema: y[ ] = y [ ] + y[ ] = x[ ] h [ ] + x[ ] h[] Usado a represetação da covolução por somatórias, podemos escrever que

40 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 y y [] = x[] k h [ k] + x[] k h[ k] k= [] = x[] k ( h [ k] + h[ k] ) = x[][ k h k] k= sedo [] h [] h [] h + k= k= =. Ou seja, tudo se passa como se a resposta impulsiva do sistema equivalete ao da Figura fosse o da Figura a seguir: Figura Sistema equivalete ao da Figura A resposta ao impulso de dois sistemas coectados em paralelo é a soma das respostas idividuais ao impulso. Uma outra forma de exergar esse fato é dizer que a covolução possui a propriedade distributiva: [] h [] + x[ ] h [ ] = x[ ] ( h [ ] h [ ] ) x +.3. Coexão em cascata de sistemas Cosideremos agora a coexão em cascata de dois sistemas LIT ilustrada a Figura 3 a seguir. Figura 3 Coexão em cascata de sistemas LIT Chamamos de z[] a saída do primeiro sistema e a etrada para o segudo sistema da coexão em cascata. Podemos expressar a saída em termos de como z [ ]

41 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 [] = z[] h [] = z[] k h [ k] y k = () Porém, z[] k é a saída do primeiro sistema e é expressa em termos de x [ k] como: [ k] = x[ k] h [ k] = x[ l] h [ k l] z l= () Substituido () em (), temos: y k = l= [] = x[] l h [ k l] h [ k] Trocado a ordem das somatórias em (3) e fazedo y l= k= l= m= m = k l, temos: (3) [] = x[] l h [ k l] h [ k] = x[] l h [ m] h [ l m] A somatória itera é idetificada como a covolução de h [] com h [ ] avaliada em l. Ou seja, se defiirmos [ ] = h [ ] h [ ], etão, m= Substituido (4) em (3), obtemos: h [ m] h [ l m] = h[ l] h (4) y [] x[][ l h l] = x[] h[] = l= Coseqüetemete, a resposta ao impulso de dois sistemas LIT coectados em cascata é a covolução das respostas impulsivas idividuais. A coexão em cascata é equivalete em termos de etrada-saída ao sistema úico represetado pela resposta ao impulso h [ ], como mostra a Figura 4. Figura 4 Sistema equivalete ao da Figura 3 Matematicamete, este resultado sigifica que a soma de covolução satisfaz as propriedades associativa e comutativa: 3

42 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 { x[] h [] } h[ ] = x[ ] { h [ ] h [ ] } h [] h [] = h [] h [] Exercício. (HAYKIN; VEEN, ; p.) Cosidere a itercoexão de sistemas LIT descrita a figura a seguir. A resposta de cada sistema é dada por h h h h 3 [ ] = u[ ] [] = u[ + ] u[] [] = δ [ ] [] = α u[] Ecotre a resposta ao impulso do sistema global, h [ ] Sistemas sem memória Já vimos que a saída de um sistema sem memória depede somete da etrada atual. A perguta que tetaremos respoder agora é: como idetificar um sistema LIT sem memória apeas olhado sua resposta impulsiva? Ou como deve ser a resposta impulsiva de um sistema LIT sem memória? Explorado-se a propriedade comutativa da covolução, a saída de um sistema LIT pode ser expressa como [] = h[] x[] = h[][ k x k] k = y. Para que este sistema seja sem memória, y [ ] deve depeder somete de x [ ] e ão de x [ k] para k. Coseqüetemete, um sistema LIT de tempo 4

43 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 discreto é sem memória se, e somete se, h[ k] cδ [ k] =, em que c é uma costate arbitrária. Assim, a codição de ausêcia de memória impõe fortes restrições a forma da resposta ao impulso. Todos os sistemas LIT sem memória realizam multiplicação escalar com a etrada..3.4 Sistemas causais Já vimos que a saída de um sistema causal depede somete dos valores passados ou presetes da etrada. Vamos ver agora como isso se reflete a resposta impulsiva de sistemas LIT. Escrevemos a soma de covolução como: y [] = h[][ k x k] k = Os valores passados e atuais da etrada x [ ], x [ ], x [ ],..., são associados com ídices k x [ ] [ + ] a soma de covolução, equato que os valores futuros da etrada +, x,... são associados com ídices k <. Coseqüetemete, para um sistema causal, teremos [ k] = h para k <. Exercício. (HAYKIN; VEEN,, p. 3) Um sistema de tempo discreto tem a resposta ao impulso: h [ ] = a u[ + ] Este é um sistema causal? Tem memória?.3.5 Resposta ao degrau A resposta de um sistema LIT a um degrau caracteriza como o sistema respode a mudaças repetias a etrada. 5

44 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 A resposta ao degrau é facilmete expressa em termos da resposta ao impulso usado-se a covolução, supodo-se que a etrada seja uma fução degrau. Admitamos que um sistema teha a resposta ao impulso e deote a resposta ao degrau como Como [ k] = s s[]. Teremos: [] = h[] u[] = h[][ k u k] k = u para k > e u [ k] = para k, temos: s [] = h[] k k = h[] Ou seja, a resposta ao degrau é a soma correte da resposta ao impulso. Exercício 3. (HAYKIN; VEEN,, p. 6) Ecotre a resposta ao degrau de um sistema de tempo discreto com resposta ao impulso: h [ ] = ( a) u[ ].3.6 Sistemas ivertíveis e descovolução Um sistema é ivertível se a etrada do sistema puder ser recuperada a partir de sua saída. Isso implica a existêcia de um sistema iverso que toma a saída do sistema origial como sua etrada e produz a etrada do sistema origial. A Figura 5 a seguir descreve a cascata de um sistema LIT que tem resposta ao impulso h [ ]. h[] com um sistema iverso LIT que tem resposta ao impulso Figura 5 Cascata de um sistema LIT com seu sistema iverso. 6

45 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 O processo para recuperar x [ ] de [ ] x[ ] h é deomiado descovolução, uma vez que ele correspode a iverter ou desfazer a operação de covolução. Um sistema iverso tem saída x [ ] em resposta a etrada y[] h[] x[ ] desta forma resolve o problema da descovolução. = e A descovolução e os sistemas iversos desempeham um papel importate em muitos problemas de processameto de siais e sistemas. Um problema comum é o de iverter ou equalizar a distorção itroduzida por um sistema ão ideal. Por exemplo, cosidere o uso de um modem de alta velocidade para comuicar-se por meio de lihas telefôicas. A distorção causada pela rede telefôica impõe graves restrições à taxa em que as iformações podem ser trasmitidas; desta forma um equalizador é icorporado ao modem. O equalizador iverte a distorção da rede telefôica e permite que taxas de dados muito mais altas sejam atigidas. Neste caso, o equalizador represeta um sistema iverso para a rede telefôica. A relação etre a resposta ao impulso de um sistema e o sistema iverso correspodete Isto implica que h [ ] [ ] h[ ] h [ ] h h[] pode ser obtida otado-se que ( ) x[ ] x = [] h [ ] = δ [ ] (5) Em muitas aplicações de equalização, um sistema iverso exato pode ser difícil de ecotrar ou implemetar. A determiação de uma solução aproximada para a Equação (5) muitas vezes é suficiete esses casos. 7

46 Processameto Digital de Siais Aula 7T Professor Marcio Eisecraft julho 6 Exercício 4. (HAYKIN; VEEN,, p. 4) Cosidere projetar um sistema de tempo discreto para elimiar a distorção associada com um eco idesejável um problema de trasmissão de dados. Supoha que o eco seja represetado como ateuação por uma costate a e um retardo correspodete a uma uidade de tempo a seqüêcia de etrada. Daí, o sial recebido distorcido, y [ ], ser expresso em termos do sial trasmitido x [ ] como: y [ ] = x[ ] + ax[ ] Ecotre um sistema iverso causal que recupere x [ ] de y[]. RESP: h [] = ( a) u[] 8

47 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 Aula 8T Represetação por equações de difereças para sistemas LIT Bibliografia HAYKIN, Simo S.; VAN VEEN, Barry. Siais e sistemas. Porto Alegre: Bookma,. 668 p. ISBN Págias -3. LATHI, Bhagwadas Paalal. Sigal processig ad liear systems. Califoria: Berkeley, c p. ISBN Págias Represetação por equações de difereças para sistemas LIT Uma outra forma de represetar um sistema de tempo discreto liear e ivariate o tempo (LIT) é através de equações de difereças. De uma forma geral, temos: a y[] + a y[ ] + L + an + y[ N] = b x[ ] + b x[ ] + K+ bm + x[ M ] ou N ak+ y[ k] = bk+ x[ k] () M k= k= O úmero N, correspodete ao úmero máximo de valores da saída que devem ser guardados para o cálculo das futuras saídas do sistema é chamado de ordem da equação de difereças. Um exemplo de equação de difereças de seguda ordem é 4 y [] + y[ ] + y[ ] = x[ ] + x[ ] Esta equação poderia represetar a relação etre os siais de etrada e saída de um sistema que processa dados em um computador, por exemplo. Neste caso a ordem é N = porque a equação de difereças evolve y[, implicado uma memória máxima a saída do sistema igual a dois. As equações de difereças são facilmete reorgaizadas para se obter formulas para computar a saída correte do sistema a partir do sial de etrada e das saídas passadas. Por exemplo, a equação aterior pode ser reescrita como: y [] = x[] + x[ ] y[ ] y[ ] 4 ]

48 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 Iiciado com = podemos obter a saída avaliado a seqüêcia das equações y[] = x[] + x[ ] y[ ] y[ ] 4 y[] = x[] + x[] y[] y[ ] 4 y[] = x[] + x[] y[] y[] 4 y[3] = x[3] + x[] y[] y[] 4 M Em cada equação, a saída correte é computada a partir da etrada e dos valores passados da saída. Para começarmos este processo o istate =, devemos cohecer os dois valores passados mais recetes da saída y [ ] e y [ ]. Estes valores são cohecidos como codições iiciais. As codições iiciais reúem todas as codições sobre o passado do sistema que são ecessárias para se computar as saídas futuras. Note que, em geral, o úmero de codições iiciais ecessárias para determiar a saída é igual à ordem do sistema..4.. A otação operacioal Em equações de difereças é comum utilizar-se de uma otação operacioal parecida com a que foi vista em Circuitos Elétricos para equações difereciais (Trasformada de Laplace). Utilizaremos o operador z para deotar a operação de atrasar uma seqüêcia de uma uidade de tempo. Assim z z z L k f f f [ ] f [ ] [] f [ ] [] f [ k] Assim, uma equação de difereças da forma: pode ser escrita como [ ] ay[ ] x[ ] y =

49 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 ou A equação de seguda ordem pode ser expressa como ou Uma equação geral a y [ ] az y[ ] x[ ] y = ( az ) y[ ] = x[ ] y = 4 6 [ ] + y[ ] + y[ ] x[] y = 4 6 [] + z y[] + z y[] x[] + 4 z + z y = 6 [] x[] [] + a y[ ] + K an + y[ N] = b x[ ] + b x[ ] + KbM + x[ M ] Pode ser expressa como ou N M ( a a z + a z + K + a z ) y[ ] = ( b + b z + b z + + b z ) x[] + 3 N + 3 K M + em que Q [ z ] e [ z ] [ ] [ ] [ ] y = P z x[ ] Q z P são os operadores poliomiais de grau N e [ ] = a + a z + a3z + K+ an + z N [ ] = b + b z + b z + K+ b z Q z P z 3 N + N M Exercícios. (LATHI, 998, p. 6) Resolva iterativamete (apeas os primeiros três termos) e escreva as seguites equações com a otação operacioal: (a) y [],5y[ ] =, com y [ ] = (b) y [] + y[ ] = x[] com x[ ] = e u[ ] e [ ] = y. 3

50 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril A resposta à etrada zero ou resposta atural Vamos tetar ecotrar uma solução para a equação de difereças () quado a etrada é x [ ] =. Esta é cohecida como resposta à etrada ula ou resposta atural do sistema e será represetada por y [ ]. Assim, temos a Q [ z ] y [ ] = ou N ( a + a z + a z + K + a z ) y [ ] 3 N + = ou [] + a y [ ] + + a + y [ N] y N = K () Já vimos que podemos resolver esta equação de forma recursiva. Porém, o- lhado atetamete para a equação acima, podemos determiar maeira mais eficiete. y [] de uma Esta equação mostra que uma combiação liear de y [ ] e versões atrasadas dela resultam zero para todo. Isto só é possível se y [ ] e suas versões atrasadas tiverem a mesma forma. Uma fução expoecial γ tem essa propriedade: γ m = γ m γ Esta equação mostra que uma versão atrasada de γ é a própria γ multiplicada por uma costate. Assim, uma solução da equação () deve ser da forma: y [ ] = cγ (3) Para ecotrar c e γ substituímos esta solução a Equação (). A Equação (3) implica 4

51 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 z z z L N y y y [ ] = y[ ] [] = y [ ] = cγ = cγ N [] = y [ N ] = cγ Substituido estes resultados a Equação () temos: a [] + a y [ ] + K + a + y [ ] = y N N a cγ + a cγ + K + a N + cγ N = c N ( a + a + + γ ) γ a N + = γ K (4) Assumido γ e c (excluido as soluções triviais), a Eq. (4) é satisfeita quado a A solução proposta cγ N + aγ + K + a N + γ = [ γ ] = Q (5) (Eq. (3)) está correta desde que γ satisfaça a Equação (5). Para resolvê-la, multiplicamos os dois membros por N N a γ a γ + K + a (6) + N + = que é um poliômio de grau N que tem N soluções γ, γ,..., γ N. N γ c γ obtedo: c γ Desta forma a Eq. () também terá N soluções da forma,,..., c γ N N. Neste caso, pode-se mostrar que a solução geral é uma combiação liear das N soluções. Assim, y [] = c γ + c γ + L + c γ N N em que γ, γ,..., γ N são as soluções da Eq. (5) e c, c,..., cn são costates arbitrárias determiadas a partir de forma de codições iiciais. O poliômio [ γ ] equação [ γ ] = N codições auxiliares, geralmete dadas a Q é chamado de poliômio característico do sistema e a Q é chamada de equação característica do sistema. 5

52 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 Além disso, as raízes γ, γ,..., γ N da equação característica são chamadas de raízes características ou valores característicos (ou autovalores) do sistema. i As expoeciais γ ( i =,, KN ), são os modos aturais ou modos característicos do sistema. Na discussão, assumimos que o sistema tem raízes características diferetes γ, γ,..., γ com correspodetes modos característicos, N c γ c γ c γ N,...,. N Se duas ou mais raízes coicidirem (raízes repetidas), a forma dos modos característicos é modificada. Da mesma forma como em equações difereciais, se uma raiz γ se repete r vezes (raiz de multiplicidade r ), os modos característicos correspodete a estas raízes são γ, γ, γ,..., r γ. Assim, se um sistema tem raízes características γ, γ,..., γ N sedo que γ tem multiplicidade r, sua resposta atural é: y r [] c γ + c γ + c γ + + c γ + c γ + c γ + + c γ = 3 K r r r+ r+ r+ r+ K Outro problema que ão foi abordado é o que acotece quado as raízes características são complexas. Logicamete, se a equação de difereças tem coeficietes reais, as raízes complexas só podem aparecer em pares cojugados. As raízes complexas podem ser tratadas exatamete como raízes reais, o etato é possível elimiar os úmeros complexos trabalhado com soluções reais. Primeiramete, expressamos as raízes complexas γ e * γ a forma polar. Se γ é o módulo de γ e β sua fase, etão: γ jβ = γ e e * γ = γ β e j A resposta à etrada ula é etão dada por 6

53 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 y * [] = c γ + c ( γ ) = c γ e jβ + c γ e jβ Para um sistema real, e precisam ser cojugados de forma que c seja uma fução real de. Assim, seja c [ ] y Desta forma, y c c e c = e = jθ e jθ c j( β+ θ ) j( β+ θ ) [] = γ e + e = c γ c [ ] cos ( β + θ ) Nesta solução c e θ deverão ser obtidos das codições iiciais. Exercício. () Ecotre a resposta atural para a seguite equação de difereças: y [ + ],3 y[ + ] +,4y[ ] = x[ ] + x[ ] Cosidere como codições iiciais y [ ] 5 e [ ] 7 = y. = 3. () Calcule a resposta atural y [ ] do sistema de tempo discreto represetado pela equação de difereças y [] y[ ] + 5y[ ] = 5x[ ], [ ] 3 y, y. = [ ] = 4. () Calcule e esboce a resposta atural y [ ] do sistema de tempo discreto represetado pela equação de difereças y [] + 6y[ ] = 5x[ ], y [ ] =, [ ] y = Resposta forçada e resposta total de um sistema LIT Já vimos em aulas ateriores que a resposta de um sistema LIT a uma etrada x[] é dada por 7

54 Processameto Digital de Siais Aula 8T Professor Marcio Eisecraft abril 7 em que h[] y [] = x[] h[] = x[][ k h k] k = é a resposta impulsiva do sistema. Esta resposta, obtida quado as codições iiciais do sistema são ulas, é cohecida como resposta forçada do sistema à etrada x. No caso geral em que temos codições iicias e uma etrada ão ula, podemos usar sobreposição e escrever: y [] y [ ] + x[ ] h[ ] = [] Exercício 5. () Dado o sistema: com codição iicial [ ] y [ ],9 y[ ] = x[ ] x[ ] y. Pede-se para, = [] [] (a) Determie iterativamete os cico primeiros potos da resposta deste sis- tema à etrada x = u. (b) Determie a resposta atural deste sistema. (c) Determie a resposta impulsiva deste sistema (Dica: lembre-se, para calcular resposta impulsiva, cosideramos codições iiciais ulas). (d) Determie a resposta forçada deste sistema para x[ ] u[ = ]. (Dica: lembre-se, para calcular resposta forçada, cosideramos codições iiciais ulas). (e) Determie a resposta completa deste sistema para a etrada x[] u[ ] compare com os potos obtidos o item (a). = e 8