Solução de Equações de uma Variável

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1 Escol Náutic I.D.Herique MÉTODOS NUMÉRICOS Solução de Equções de um Vriável or Cheds Smio Éoc 2000/2001 (últ revisão Ar 2003) Escol Náutic I.D.Herique 1de 92 Sumário Itrodução Solução de equções Revisões de Aálise Mtemátic Limite e cotiuidde de fuções Zeros de fuções Fuções difereciáveis Estrtégi r determição de rízes Método d Bissecção Descrição Algoritmo Critérios de rgem Covergêci Vtges/Desvtges Escol Náutic I.D.Herique 2de 92 or Cheds Smio

2 Escol Náutic I.D.Herique Sumário Método de Newto-Rhso Descrição Algoritmo Critérios de rgem Covergêci Vtges/Desvtges Método d Secte Descrição Algoritmo Critérios de rgem Covergêci Vtges/Desvtges Escol Náutic I.D.Herique 3de 92 Sumário Método do Poto Fio Descrição Algoritmo Critérios de rgem Covergêci Vtges/Desvtges Fuções do MthCd r determição de rízes Rízes reis Rízes reis e/ou comles Referêcis iliográfics Escol Náutic I.D.Herique 4de 92 or Cheds Smio

3 Escol Náutic I.D.Herique Itrodução Escol Náutic I.D.Herique 5de 92 Itrodução Solução de equções Por solução de equções etede-se determição ds sus rízes ou os vlores de r os quis f()=0. y f() 1 2 Escol Náutic I.D.Herique 6de 92 or Cheds Smio

4 Escol Náutic I.D.Herique Itrodução Solução de equções Se há fuções r s quis eiste solução lític fácil, como é o cso ds fuções lieres, outrs há cuj solução é em mis difícil ou mesmo imossível. Neste gruo ecotrmos s fuções ão lieres, oliomiis ou trscedetes. O recurso métodos uméricos roimdos é muits vezes úic form r determirmos s sus rízes. Escol Náutic I.D.Herique 7de 92 Itrodução Solução de equções Eemlo: clculr o âgulo de iclição (θ) ds ers de um mes de iqueique, de esessur, cujo sseto deverá ficr h mm do chão e ter um comrimeto w mm. O âgulo de w iclição será o que h stisfizer equção As dimesões d er stisfzem: logo Escol Náutic I.D.Herique 8de 92 θ w si θ = h cosθ + f ( θ) = wsiθ hcosθ = 0 or Cheds Smio

5 Escol Náutic I.D.Herique Itrodução Solução de equções Eemlo: os vlores de θ que stisfzem equção serão os vlores que rocurmos f ( θ) = wsiθ hcosθ f( θ) θ rdios Escol Náutic I.D.Herique 9de 92 Itrodução Solução de equções Eemlo: clculr os vlores de que stisfzem equção cos = É semre ossível reescrever r cos = 0 e, ortto, queremos os zeros d fução f ( ) = cos Escol Náutic I.D.Herique 10 de 92 or Cheds Smio

6 Escol Náutic I.D.Herique Itrodução Solução de equções Eemlo: f ( ) = cos f ( ) rdios Escol Náutic I.D.Herique 11 de 92 Itrodução Solução de equções Este rocesso costum dividir-se em dus rtes: Determição de vlores roimdos ds rízes. Pressuõe um estudo d fução com vist à su crcterizção, o que resultrá o isolmeto de ossíveis rízes em itervlos em defiidos. Pr tl é ecessári determição de ssímtots, otos otáveis e roceder-se o trçdo do gráfico d fução. Aós oteção do cohecimeto roimdo ds rízes rocede-se o refimeto d roimção trvés de métodos uméricos do tio itertivo ou de roimções sucessivs. Escol Náutic I.D.Herique 12 de 92 or Cheds Smio

7 Escol Náutic I.D.Herique Itrodução Solução de equções Será este o ojectivo deste cítulo, ou sej determição ds rízes, ou zeros, de equções do tio f()=0 com recisão que se desejr, utilizdo r tl métodos uméricos itertivos. Escol Náutic I.D.Herique 13 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Escol Náutic I.D.Herique 14 de 92 or Cheds Smio

8 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Limite e cotiuidde de fuções Defiição: Sej f um fução defiid r um cojuto X de úmeros reis. Diz-se que f tem limite L em 0, escrevedo-se lim f ( ) = L 0 se, ddo um úmero rel ε>0, eiste um úmero rel δ>0 tl que f ( ) L < ε, X e 0 < < δ 0 Escol Náutic I.D.Herique 15 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Limite e cotiuidde de fuções Defiição: Sej f um fução defiid r um cojuto X de úmeros reis e 0 X; diz-se que f é cotíu em 0 se lim f ( ) = f ( 0) A fução f diz-se cotíu em X se for cotíu em todos os úmeros de X; C(X) rereset tods s fuções cotíus em X. O cojuto de fuções cotíus o itervlo [,] costum ser reresetdo or C[,]. 0 Escol Náutic I.D.Herique 16 de 92 or Cheds Smio

9 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Limite e cotiuidde de fuções Defiição: Sej{ } =1um sequêci ifiit de úmeros reis ou comleos. Diz-se que sequêci coverge r um úmero (chmdo limite) se, r qulquer ε>0, eiste um úmero iteiro ositivo N(ε) tl que >N(ε) imlic < ε A otção lim = sigific que sequêci coverge r. { } =1 Escol Náutic I.D.Herique 17 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Limite e cotiuidde de fuções Teorem: Se f é fução defiid r um cojuto X de úmeros reis e 0 X, etão são equivletes s firmções: 1) f é cotíu em 0 2) se { } é um sequêci em X =1 covergete r, etão lim f ( ) = f ( ) Escol Náutic I.D.Herique 18 de 92 or Cheds Smio

10 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Defiição: Se f()=0 etão diz-se que é um ríz d equção f()=0 ou que é um zero d fução f. y f() Escol Náutic I.D.Herique 19 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Defiição: A multilicidde de um zero d fução f é o suremo m dos vlores k tis que: y f() lim f ( ) f() k = c < (simles) (dulo) (trilo) f() Escol Náutic I.D.Herique 20 de 92 or Cheds Smio

11 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Defiição: A multilicidde de um zero d fução f é o suremo m dos vlores k tis que: Eemlo: =0.5 lim 2 1 = c < k lim f()=2-1 lim 0.5 f ( ) k k 0 = 2 logo multilicidde é 1 = c < se se se k = 0 k = 1 k > 1 Escol Náutic I.D.Herique 21 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Defiição: A multilicidde de um zero d fução f é o suremo m dos vlores k tis que: Eemlo: =0 f()= 2 lim k 0 0 = 1 lim se se se se f ( ) k k = 0 k = 1 k = 2 k > 2 e multilicidde é 2 = c < Escol Náutic I.D.Herique 22 de 92 or Cheds Smio

12 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Teorem (Teorem de Cuchy): Se f C[,] e se f() f()<0 (siis cotrários), etão eiste elo meos um úmero tl que << e f()=0. y f() 1 2 f() f() Escol Náutic I.D.Herique 23 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Corolário (Teorem de Cuchy): Se f eiste, se é cotíu o itervlo (,) e se mtém o sil esse itervlo etão ríz é úic. y f() f <0 f <0 f <0 f <0 Escol Náutic I.D.Herique 24 de 92 f() f() or Cheds Smio

13 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Zeros de fuções Corolário (Teorem de Cuchy): Se f eiste, se é cotíu o itervlo (,) e se mtém o sil esse itervlo etão ríz é úic. y f() f <0 f <0 f =0 f =0 f >0 f() f <0 f() Escol Náutic I.D.Herique 25 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Defiição: Se f é um fução defiid um itervlo erto cotedo 0, diz-se que f é difereciável em 0 se eistir o limite lim f ( ) f ( 0) 0 0 Qudo eiste este limite é deotdo or f ( 0 ) e é desigdo or derivd de f em 0. Um fução que teh derivd em cd úmero de X é dit difereciável em X. Escol Náutic I.D.Herique 26 de 92 or Cheds Smio

14 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem: Se for um zero d fução f e se f for m vezes difereciável o oto, etão multilicidde de é m sse f ( ) = f '( ) =... = f ( m 1) ( m) ( ) = 0 e f ( ) 0 Escol Náutic I.D.Herique 27 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem: Se f é um fução difereciável em 0, etão f é cotíu em 0. Teorem (Teorem de Rolle): Se f C[,] e é difereciável em (,), se f()=f()=0, etão eiste um úmero c tl que <c< e f (c)=0. Escol Náutic I.D.Herique 28 de 92 or Cheds Smio

15 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem (Teorem do vlor médio): Se f C[,] e é difereciável em (,), etão eiste um úmero c tl que <c< e f '( c) = f ( ) f ( ) Escol Náutic I.D.Herique 29 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem (Teorem do vlor etremo): Se f C[,] etão eistem c 1, c 2 [,] com f(c 1 ) f() f(c 2 ) r cd [,]. Se, lém disso, f é difereciável em (,), etão ou c i =, c i = ou f (c i )=0 r cd i=1,2. Escol Náutic I.D.Herique 30 de 92 or Cheds Smio

16 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem (Teorem do vlor médio oderdo r itegris): Se f C[,] e g éitegrávelem[,] e g() 0, etão eiste um úmero c, <c< tl que: f ( ) g( ) d = f ( c) g( ) d Escol Náutic I.D.Herique 31 de 92 Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem (Teorem de Rolle geerlizdo): Se f C[,] é vezes difereciável em (,) e f é zero r +1 úmeros distitos 0... [,] etão eiste um úmero c em (,) com f () (c)=0. Escol Náutic I.D.Herique 32 de 92 or Cheds Smio

17 Escol Náutic I.D.Herique Revisões de Aálise Mtemátic Fuções difereciáveis Teorem (Teorem do Vlor itermédio): Se f C[,] e K é qulquer úmero etre f() e f(), etão eiste um úmero c em (,) r o qul f(c)=k. Escol Náutic I.D.Herique 33 de 92 Estrtégi r determição ds rízes Escol Náutic I.D.Herique 34 de 92 or Cheds Smio

18 Escol Náutic I.D.Herique Estrtégi r determição ds rízes Estrtégi Visulizr o gráfico d fução Seleccior os itervlos ode eistem rízes Seleccior um método dequdo Seleccior um vlor iicil Escol Náutic I.D.Herique 35 de 92 Estrtégi r determição ds rízes Itervlos ode eistem rízes Os itervlos ode eistem rízes odem ser otidos utomticmete com um rogrm dequdo de esquis de mudçs de sil d fução (codição ecessári e suficiete r eistêci de elo meos um ríz). Escol Náutic I.D.Herique 36 de 92 or Cheds Smio

19 Escol Náutic I.D.Herique Estrtégi r determição ds rízes Itervlos ode eistem rízes Ddos de etrd ou iut:, etremos do itervlo de esquis de suitervlos com rízes N º de iterções máimo Ddos de síd ou outut: it mtriz de lihs (<=N) e dus colus est mtriz cotém os suitervlos com rízes Ler, Ler N Escol Náutic I.D.Herique 37 de 92 Estrtégi r determição ds rízes Itervlos ode eistem rízes Processmeto: h=(-)/n li= comrimeto dos suitervlos limite iferior do suitervlo =1 ídice dos suitervlos com rízes i=1 Do While i<=n ls=li+h If sil(f(li))<>sil(f(ls)) The =+1 Eddo Fim Edif li=ls i=i+1 it(,1)=li it(,2)=ls 1ª colu d mtriz it 2ª colu d mtriz it Escol Náutic I.D.Herique 38 de 92 or Cheds Smio

20 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Escol Náutic I.D.Herique 39 de 92 Método d Bissecção Descrição O Método d Bissecção sei-se o Teorem de Cuchy e o Teorem do vlor itermédio. Se escolhermos um itervlo [,] ode fução em estudo mude de sil os etremos, f()f()<0, etão eiste elo meos um zero etre e. Se de seguid dividirmos o itervlo em dus metdes e escolhermos r ovo itervlo quel metde cujos etremos grtm que fução mud de sil e se cotiurmos reetir este rocesso, estremos roimrmo-os do zero. Escol Náutic I.D.Herique 40 de 92 or Cheds Smio

21 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Descrição y f() f() f() f()f()>0 Poderá ão hver zeros Tetr outro itervlo Escol Náutic I.D.Herique 41 de 92 Método d Bissecção Descrição f() y f() f() f()f()>0 Poderá ão hver zeros Tetr outro itervlo Escol Náutic I.D.Herique 42 de 92 or Cheds Smio

22 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Descrição y f() f() f() f()f()<0 Eiste elo meos um zero Iicir s iterções Escol Náutic I.D.Herique 43 de 92 Método d Bissecção Descrição y = + 2 f() f() f() f() f()f()<0 Eiste elo meos um zero Fzer = Escol Náutic I.D.Herique 44 de 92 or Cheds Smio

23 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Descrição y f() = + 2 f() f() f() f()f()<0 Eiste elo meos um zero Fzer = Escol Náutic I.D.Herique 45 de 92 Método d Bissecção Descrição y f() = + 2 f() f() f() f()f()<0 Eiste elo meos um zero Fzer = Escol Náutic I.D.Herique 46 de 92 or Cheds Smio

24 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Descrição y = + 2 f() f() f() f() f()f()<0 Eiste elo meos um zero Fzer = Escol Náutic I.D.Herique 47 de 92 Método d Bissecção Descrição y f() f() f()...e ssim sucessivmete té que f() 0 (ou outro qulquer critério de rgem) Escol Náutic I.D.Herique 48 de 92 or Cheds Smio

25 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Algoritmo Ddos de etrd ou iut:, etremos do itervlo N º de iterções máimo erro erro máimo dmitido Ddos de síd ou outut: vlor roimdo do zero d fução Ler, Ler N Ler erro Escol Náutic I.D.Herique 49 de 92 Método d Bissecção Algoritmo Processmeto: =1 Do While N =(+)/2 If f() <erro or (-)/2<erro The Escrever o zero é, Sir do ciclo Edif If f()*f()<0 The = Else = Edif =+1 Mthcd Documet Eddo If >N The Escrever Método ão coverge o fim de, N, iterções Edif Fim Escol Náutic I.D.Herique 50 de 92 or Cheds Smio

26 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Algoritmo Processmeto: =1 Do While N =(+)/2 Qul será melhor form de clculr r reduzir os erros de rredodmeto? Será est =+(-)/2? (TPC) If f() <erro or (-)/2<erro The Escrever o zero é, Sir do ciclo Edif If f()*f()<0 The = Else = Edif =+1 Eddo If >N The Escrever Método ão coverge o fim de, N, iterções Edif Fim Escol Náutic I.D.Herique 51 de 92 Método d Bissecção Critérios de rgem Algus dos critérios de rgem deste lgoritmo odem ser: 1) 2) 3) 4) 5) f ( ) < erro < erro < erro < erro, < erro Escol Náutic I.D.Herique 52 de Not: -iterção ; erro-máimo erro dmitido or Cheds Smio

27 or Cheds Smio Métodos Numéricos - Solução de equções de um vriável Escol Náutic I.D.Herique Escol Náutic I.D.Herique 53 de 92 Covergêci Método d Bissecção Teorem: Sej f C[,] e se f() f()<0 (siis cotrários), etão o lgoritmo do método d issecção ger um sequêci { } que se roim de um zero com roriedde 1 2 r Escol Náutic I.D.Herique 54 de 92 Covergêci Método d Bissecção 1 2 r Demo: = = = = = = =

28 Escol Náutic I.D.Herique Método d Bissecção Covergêci 2 r 1 Podemos etão dizer que 2 é rzão de covergêci do método. Como um dos critérios de rgem é 1 erro logo erro = 2 odedo-se, ssim, estimr o úmero de iterções,, ecessáris r roimr ríz com um erro iferior erro: l( ) l( erro) > l(2) Mthcd Documet Escol Náutic I.D.Herique 55 de 92 Método d Bissecção Vtges/Desvtges Vtges: Simles Coverge semre Desvtges: Leto covergir Escol Náutic I.D.Herique 56 de 92 or Cheds Smio

29 Escol Náutic I.D.Herique Método de Newto-Rhso Escol Náutic I.D.Herique 57 de 92 Método de Newto-Rhso Descrição O Método de Newto-Rhso ou só Método de Newto sei-se roimção do zero d fução trvés de sucessivs tgetes. Prtido de um estimtiv iicil do zero determi-se tgete à fução esse oto. A tgete rovvelmete itersectrá o eio ds cisss e determirá o oto seguite r o qul se clcul ovmete tgete fução e ssim or dite roimdo-se d ríz. Escol Náutic I.D.Herique 58 de 92 or Cheds Smio

30 or Cheds Smio Métodos Numéricos - Solução de equções de um vriável Escol Náutic I.D.Herique Escol Náutic I.D.Herique 59 de 92 Descrição 0 f ( 0 ) y f() Método de Newto-Rhso ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 ) ( ) ( ) ( f f logo f f f f f f f y m y 1 = = + = + = + = + = 1 ) ( ) ( = f f geerlizdo : Escol Náutic I.D.Herique 60 de 92 Descrição 0 f ( 0 ) y f() Método de Newto-Rhso 1 f ( 1 )

31 Escol Náutic I.D.Herique Método de Newto-Rhso Descrição y f ( 0 ) f() 0 f ( 2 ) 2 1 f ( 1 ) Escol Náutic I.D.Herique 61 de 92 Método de Newto-Rhso Algoritmo Ddos de etrd ou iut: 0 estimtiviicil N º de iterções máimo erro erro máimo dmitido Ddos de síd ou outut: vlor roimdo do zero d fução Ler 0 Ler N Ler erro Escol Náutic I.D.Herique 62 de 92 or Cheds Smio

32 Escol Náutic I.D.Herique Método de Newto-Rhso Algoritmo Processmeto: =1 Do While N = 0 -f( 0 )/f ( 0 ) If - 0 <erro The Escrever o zero é, Sir do ciclo Edif 0 = =+1 Eddo If =N The Escrever Método ão coverge o fim de, N, iterções Edif Fim Escol Náutic I.D.Herique 63 de 92 Método de Newto-Rhso Critérios de rgem Algus dos critérios de rgem deste lgoritmo odem ser: 1) 2) 3) f < erro ( ) < erro 1 1 < erro 0 Not: -iterção ; erro-máimo erro dmitido Escol Náutic I.D.Herique 64 de 92 or Cheds Smio

33 Escol Náutic I.D.Herique Método de Newto-Rhso Vtges/Desvtges Vtges: Simles Ráido covergir Desvtges: Mthcd Documet Nem semre coverge Necessidde de se cohecer derivd d fução Muito sesível à estimtiv iicil Se derivd for ul o método flh Escol Náutic I.D.Herique 65 de 92 Método d Secte Escol Náutic I.D.Herique 66 de 92 or Cheds Smio

34 Escol Náutic I.D.Herique Método d Secte Descrição O Método d Secte é um eque vrição do método de Newto. É em tudo igul o método de Newto com eceção de que s derivds os otos ão são ects ms sim roimds. Est vrite é útil um vez que r fuções comles é or vezes muito difícil clculr su derivd. Escol Náutic I.D.Herique 67 de 92 Método d Secte Descrição Por defiição de derivd: se = -2 f ( 1 ) = lim 1 f ( ) f ( 1 1 ) f ( 1 ) f ( 2 2 ) f ( 1 1 ) Como r clculrmos derivd roimd ecessitmos de 2 otos ss ser ecessário que o método rrque com um estimtiv iicil de 2 otos. Escol Náutic I.D.Herique 68 de 92 or Cheds Smio

35 Escol Náutic I.D.Herique Método d Secte Algoritmo Ddos de etrd ou iut: 0, 1 estimtivs iiciis N º de iterções máimo erro erro máimo dmitido Ddos de síd ou outut: vlor roimdo do zero d fução Ler 0, 1 Ler N Ler erro Escol Náutic I.D.Herique 69 de 92 Método d Secte Algoritmo Processmeto: =2 Do While N = 1 -f( 1 )( 0-1 )/[f( 0 )- f( 1 )] If - 1 <erro The Escrever o zero é, Sir do ciclo Edif 0 = 1 1 = =+1 Eddo If =N The Escrever Método ão coverge o fim de, N, iterções Edif Fim Escol Náutic I.D.Herique 70 de 92 or Cheds Smio

36 Escol Náutic I.D.Herique Método d Secte Algoritmo Eercícios: Progrme em MthCd, Mle, MtL ou Fortr o Método d Secte. Teste-o com fução f ( ) = cos( ) e determie ríz eistete o itervlo [0,π/2]. Escol Náutic I.D.Herique 71 de 92 Método d Secte Critérios de rgem Algus dos critérios de rgem deste lgoritmo odem ser: 1) 2) 3) f < erro ( ) < erro 1 1 < erro 0 Not: -iterção ; erro-máimo erro dmitido Escol Náutic I.D.Herique 72 de 92 or Cheds Smio

37 Escol Náutic I.D.Herique Método d Secte Vtges/Desvtges Vtges: Simles Ráido covergir como o método de Newto e ão ecessit do cohecimeto d derivd d fução Desvtges: Nem semre coverge Muito sesível à estimtiv iicil Se derivd for ul o método flh Escol Náutic I.D.Herique 73 de 92 Método do Poto Fio Escol Náutic I.D.Herique 74 de 92 or Cheds Smio

38 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Descrição Este método sei-se solução d equção f()=0 rtir d su lterção r form g()=. Est lterção ode coseguir-se de diferetes forms como seguite: g( ) f ( ) Podemos vêr que qudo = de form que g()= etão é um ríz de f ou f()=0: se g( ) = etão = f ( ) logo f ( ) = 0 Escol Náutic I.D.Herique 75 de 92 Método do Poto Fio Descrição Defiição: Se g é defiid em [,] ese g()= r lgum [,], etão diz-se que fução g tem um otofioem [,]. y y= y=g() Escol Náutic I.D.Herique 76 de 92 or Cheds Smio

39 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Descrição Teorem: Sej g C[,] e g() [,] r todo o [,], etão g tem um oto fio em [,]. Se lém disso g () eiste em [,] e g () k<1 r todo o [,], etão g tem um otofioúicoem [,]. y y= y=g() Escol Náutic I.D.Herique 77 de 92 Método do Poto Fio Descrição f ( ) Fução f() 1 Escol Náutic I.D.Herique 78 de 92 or Cheds Smio

40 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Descrição g ( ) Fuções y=g() e y= 1 Escol Náutic I.D.Herique 79 de 92 Método do Poto Fio Descrição = 1 f ( 1) g ( ) g( 2 ) g( 1 ) g( 0 ) Fuções y=g() e y= 1 Escol Náutic I.D.Herique 80 de 92 or Cheds Smio

41 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Algoritmo Ddos de etrd ou iut: 0 estimtivs iiciis N º de iterções máimo erro erro máimo dmitido Ddos de síd ou outut: vlor roimdo do zero d fução Ler 0 Ler N Ler erro Escol Náutic I.D.Herique 81 de 92 Método do Poto Fio Algoritmo Processmeto: =1 Do While N = 0 -f( 0 ) If - 0 <erro The Escrever o zero é, Sir do ciclo Edif 0 = =+1 Eddo If =N The Escrever Método ão coverge o fim de, N, iterções Edif Fim Mthcd Documet Escol Náutic I.D.Herique 82 de 92 or Cheds Smio

42 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Critérios de rgem Algus dos critérios de rgem deste lgoritmo odem ser: 1) 2) 3) f < erro ( ) < erro 1 1 < erro 0 Not: -iterção ; erro-máimo erro dmitido Escol Náutic I.D.Herique 83 de 92 Método do Poto Fio Covergêci Teorem: Sej g C[,] e g() [,] r todo o [,]. Se lém disso g () eiste em [,], se g () k<1 r todo o [,] e se 0 é qulquer úmero em [,], etão sequêci defiid or =g( -1 ) r 1 coverge r o otofioúicoem [,]. Demo: r logo = g( c [, ] ) g( ) g ( c) dode k 1 kk 2... k 0 como k < 1 lim lim k = 0 { } coverge r = 0 1 k Escol Náutic I.D.Herique 84 de or Cheds Smio

43 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Covergêci Corolário: Se g stisfz s hióteses do teorem terior o erro do método do oto fio é limitdo or: k {, } r m 0 0 todo 1 Corolário: Se g stisfz s hióteses do teorem terior o erro do método do oto fio é limitdo or: r k 1 k todo 1 Escol Náutic I.D.Herique 85 de Método do Poto Fio Covergêci Podemos cocluir que rzão de covergêci deste método deede do fctor e que quto meor for k (limite k 1 k de g ) mis ráid é covergêci. Escol Náutic I.D.Herique 86 de 92 or Cheds Smio

44 Escol Náutic I.D.Herique Método do Poto Fio Vtges/Desvtges Vtges: Simles Ráido covergir Desvtges: Nem semre coverge Escol Náutic I.D.Herique 87 de 92 Fuções do MthCd r determição de rízes Escol Náutic I.D.Herique 88 de 92 or Cheds Smio

45 Escol Náutic I.D.Herique Fuções do MthCd r determição de rízes Rízes reis Pode usr-se o Método d Secte que é imlemetdo el fução root, ou solve do meu Symolics. Escol Náutic I.D.Herique 89 de 92 Fuções do MthCd r determição de rízes Rízes reis e/ou comles Us-se solve do meu Symolics ou, o cso de oliómios, fução olyroots. Escol Náutic I.D.Herique 90 de 92 or Cheds Smio

46 Escol Náutic I.D.Herique Referêcis iliográfics Numericl Alysis, Burde et l. Wdsworth Itertiol Studet Editio 1981 Métodos Numéricos, Heitor Pi Istituto Suerior Técico 1982 ME 352 Egieerig Numericl Methods htt:// Gerld W.Recktewld 2003 Aotmetos de Métodos Comutciois, Cheds Smio, ENIDH 1992 Escol Náutic I.D.Herique 91 de 92 FIM Escol Náutic I.D.Herique 92 de 92 or Cheds Smio