SÉRIES DE FOURIER Prof. Me. Ayrton Barboni

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1 SUMÁRIO SÉRIES DE FOURIER Prof. Me. Arto Brboi. INTRODUÇÃO.... SÉRIES DE FOURIER..... Fuções Periódics..... Fuções secciolmete difereciáveis..... Fuções de rcos múltiplos..... Coeficietes de Fourier A EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO f EM SÉRIE DE FOURIER Itegrção de lgums fuções trigoométrics O cálculo dos coeficietes d série de Fourier Cálculo de Cálculo de Cálculo de b Eercícios Resolvidos..... Eercícios Propostos FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Eercícios Resolvidos Eercícios Propostos FUNÇÕES PERIÓDICAS DE PERÍODO SIMÉTRICO p = Eercícios Resolvidos Eercícios Propostos FUNÇÕES PERIÓDICAS EM INTERVALOS NÃO SIMÉTRICOS Eemplo Resolvido Eercícios Propostos FUNÇÕES NÃO-PERIÓDICAS EM QUALQUER INTERVALO Eemplos Resolvidos Eercícios Propostos RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS Eercícios propostos em Eercícios propostos em Eercícios propostos em Eercícios propostos em Eercícios propostos em GRÁFICOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: TABELA DE INTEGRAIS MAIS UTILIZADAS Bibliogrfi:... 67

2 Prof. Me. Arto Brboi SÉRIES DE FOURIER. INTRODUÇÃO Je Bptiste Joseph Fourier (768-8), estuddo propgção de clor em corpos sólidos e dmitido que tl propgção devesse ocorrer por ods, cbou por descobrir s Séries de Fourier, coforme coceito itroduzido o livro Theorie Altique de l Chleur, escrito em 8. A propost de Fourier é de escrever um fução periódic em série trigoométric cujos termos são formdos pes por seos e cosseos de rcos múltiplos. As séries de Fourier têm plicções em estudos de mtemátic, vibrções, siis digitis, eletricidde, etc. Diferetemete ds séries de Tlor, em que s fuções ecessitm serem deriváveis té cert ordem um itervlo pr que os poliômios de Tlor, de gru cd vez mior, possm se proimr d fução prtir de um dos potos do itervlo de covergêci d série (Fudmetos de Mtemátic - Cálculo e Aálise Cálculo Diferecil e Itegrl Dus Vriáveis LTC), os poliômios trigoométricos, formdos por som de lgus termos de seos ou cosseos d série de Fourier, proimm fução periódic de modo globl, como veremos.. SÉRIES DE FOURIER As séries de Fourier podem epressr um fução secciolmete difereciável e periódic em um série trigoométric de seos e cosseos de rcos múltiplos: cos( ) cos( )... cos( )... b se( ) b se( )... bse( )... (I) Se (I) for covergete, etão represetrá fução f, periódic, com período, visto que s fuções seo e cosseo evolvids têm período comum. O estudo será estedido pr outrs fuções com períodos diferetes de. A série de Fourier de f é série trigoométric: * ( ) ( cos( ) se( )),. (II) f b Se f é -periódic com f e f cotius por prtes (ver. Fuções secciolmete difereciáveis) em [-, ], etão série (I) coverge em cd poto do itervlo pr médi ritmétic dos limites lteris de f. As hipóteses dest proposição são pes suficietes pr covergêci d série.

3 Prof. Me. Arto Brboi Vmos eteder o que sigificm: Fução periódic, fução secciolmete difereciável e, tmbém, efeitos dos rcos múltiplos (rgumetos),,,... e dos coeficietes de Fourier,,,..., b, b, b,... s fuções seos e cosseos d série trigoométric... Fuções Periódics * Um fução f :, f ( ), é periódic de período p se eiste p tl que f ( p) f ( ),. Isto é, os vlores de f () se repetem cd escolh de ( p),. Apresetmos fução f :, f ( ) se( ), que é periódic de período p (Fig ), visto que se( ) se( ),. Fig p = p = p = p = Devemos eteder que p=π é pes um dos muitos períodos de f, pois, o eemplo cim, p é tmbém período d fução seo, pois é fto que se( ) se( ),. OBSERVAÇÃO : ) Tod fução rel de vriável rel costte é periódic de período p, p *. b) O meor vlor de p de um fução periódic ão costte é chmdo de período fudmetl.

4 Prof. Me. Arto Brboi.. Fuções secciolmete difereciáveis Um fução f :, f ( ), é secciolmete difereciável se : º) f é secciolmete cotíu Um fução f é secciolmete cotíu se, restrit cd itervlo I, possuir um úmero fiito de descotiuiddes com sltos fiitos. Isto é, os limites lteris os potos de descotiuidde são fiitos. Fig b Foi escolhido Fig um itervlo [, b] do domíio de f e, ele, vemos um qutidde fiit de potos de descotiuidde. Os limites lteris em cd um destes potos têm vlor fiito. Etedemos que s fuções secciolmete cotíus são limitds e itegráveis em [, b]. º) A derivd de f tmbém é secciolmete cotíu (Fig ) Fig b

5 Prof. Me. Arto Brboi Outros eemplos de fução f :, f ( ), secciolmete difereciável de período p = : ) f ( ) =, e f ( ) f ( ), se ) f ( ) = e f ( ) f ( ), se, se ) f ( ) = e f ( ) f ( ), se ) f ( ) =, e f ( ) f ( ).. Fuções de rcos múltiplos Se f :, f ( ), é periódic de período p, etão fução g :, * p g( ) f ( ),, é periódic de período. Vej o eemplo ode se tem f () = se() e g() = se(), com. Fig p = g f - p = O período fudmetl d fução g é metde do período fudmetl d fução f. Se o rgumeto d fução g fosse (/), verímos que o período de g seri o dobro do período de f. Fç o gráfico e cofir! OBSERVAÇÃO : ) As equções de od mostrm que su frequêci e período estão relciodos com o úmero rel positivo k que multiplic os rgumetos: Sedo k >, ov fução terá seu período reduzido e frequêci umetd k vezes em relção fução origil e sedo < k <, veremos situção ivers.

6 Prof. Me. Arto Brboi b) Se s fuções f e g são periódics de período p, etão fução produto f.g é tmbém periódic, ms ão ecessrimete de mesmo período fudmetl de f e g. ( f. g)( p) f ( p). g( p) f ( ). g( ) ( f. g)( ) Eemplo: As fuções de seteçs f() = se() e g() = cos() têm período fudmetl p =, ms fução de seteç ( f. g)( )=se( ).cos( )= se( ) tem período fudmetl... Coeficietes de Fourier É importte, pr etedermos o propósito dos coeficietes de Fourier, que se observem os seguites ftos: ) Se um fução periódic, de período p e vlor máimo igul M multiplicd por * k, etão ov fução terá vlor máimo (k M ) e o mesmo período p. Eemplo : Sejm f ( ) se( ), p e g( ) se( ), p. *, for Má Fig 5 Má g f - - p = 5

7 Eemplo : Sejm i( ) cos( ), p e Prof. Me. Arto Brboi h( ) cos( ), p. Fig 6 / Má Má i h - / - p = O vlor máimo de cd fução é chmdo de AMPLITUDE. Vemos s Fig 5 e Fig 6 que s fuções f e i têm mplitudes iguis, fução g tem mplitude e h tem mplitude /. As figurs mostrm tmbém que s fuções f e i diferem em FASE. A difereç de fse etre els é /. b) Sedo s fuções f e g periódics de mesmo período p, etão tod fução h, h() = f () + b g (), e b reis (combição lier de f e g), é periódic de período p. Fig 7 h - f g p = O eemplo cim (Fig 7) mostr s fuções f, g e h reis de vriável rel, tis que : f () = se(), g () = cos() e h() = se() + cos() 6

8 Prof. Me. Arto Brboi E, Fig 8, o gráfico de h tl que h() = cos() + se() + / cos() é: Fig 8 h f g - - p = Note que o gráfico do poliômio trigoométrico h, Fig 8, prece se proimr dos segmetos de rets em form de V. Etedemos do eposto, que os poliômios trigoométricos são combições lieres formds de lgums fuções seos ou cosseos de rcos múltiplos, que coveietemete escolhids e multiplicds por coeficietes dequdos, são cpzes de proimrem fortemete dos vlores de um fução periódic (p/eemplo: V ) cd rel do seu domíio. Vejmos, bio, como se obtém os coeficietes d série de Fourier.. A EXPANSÃO DE UMA FUNÇÃO f EM SÉRIE DE FOURIER Supohmos que f sej um fução periódic, com período, e que poss ser represetd por um série de Fourier. Assim, pr fcilitr o trblho, cosideremos seteç (II) form: f ( ) cos( ) cos( )... cos( )... b se( ) b se( )... bse( )... Queremos obter os coeficietes:,,,,..., b, b, b,... dos termos d série trigoométric pr que el represete fução f. 7

9 Prof. Me. Arto Brboi É coveiete, pr este propósito, que os lembremos ds itegris evolvedo s fuções seos e cosseos:.. Itegrção de lgums fuções trigoométrics A obteção ds itegris de seos e cosseos de rcos múltiplos, bem como ds itegris com produtos de combições dests fuções, serão fcilitdos se os seus períodos forem etedidos prtir do itervlo [ π, π]. Assim,, k, teremos: ) se( ) d cos( ) d b) se( )cos( k) d c) d) se k se( ) se( k) d se k se k cos( ) cos( k) d se k * Utilize s seguites idetiddes pr s comprovções de b), c) e d): p + q p q se( p)+se( q)= se.cos p q p + q se( p) se( q)= se.cos p + q p q cos( p)+cos( q)= cos.cos p +q p q cos( p) cos( q)= se.se Covidmos o obre leitor comprovr vercidde dos resultdos cim... O cálculo dos coeficietes d série de Fourier Tomemos seteç (II) : f ( ) cos( ) cos( )... cos( )... b se( ) b se( )... bse( )... e cosideremos os csos:... Cálculo de Itegrdo (II), membro membro, em [, ] teremos: f ( ) d cos( ) d cos( ) d... b se( ) d b se( ) d... Sbemos de.() que s itegris evolvedo seos e cosseos de rcos múltiplos em [, ] são iguis zero. Logo, f d ( ) d e, di, 8

10 Prof. Me. Arto Brboi f ( ) d d ( ) d Logo, f ( ) d... Cálculo de Multiplicdo (II) por cos(k ), obter k, teremos: * k um vlor escolhido com o propósito de f ( )cos( k ) cos( k ) cos( )cos( k ) cos( )cos( k )... cos( )cos( k ) b se( )cos( k ) b se( )cos( k )... b se( )cos( k )... Itegrdo, membro membro, segue que: f ( ) cos( k) d cos( k) d cos( ) cos( k) d cos( ) cos( k) d... cos( ) cos( k) d... se( ) cos( k) d se( ) cos( k) d se( ) cos( k) d... b b... b... Sbemos de..() que cos( k ) d, de..(b) que tods s itegris de coeficietes b i (i =,,,... ) são iguis zero e de..(d) que pes itegrl com = k tem vlor igul π. Logo, f ( )cos( ) d b. b.... Dí, f ( )cos( ) d... Cálculo de b * Multiplicdo (II) por se(k ), k um vlor escolhido pr se obter b k, e itegrdo, membro membro, teremos logmete o.. que : Resumido: b f ( )se( ) d 9

11 Prof. Me. Arto Brboi Se f é um fução secciolmete difereciável e periódic, com período, e que pode ser represetd por um série de Fourier, etão * f ( ) ( cos( ) bse( )), sedo, f ( ) d, f ( )cos( ) d e b f ( )se( ) d Euler. As fórmuls que clculm, e b são cohecids como Fórmuls de.. Eercícios Resolvidos Obteh epsão em série trigoométric ds fuções reis de vriável idicds bio : ) se f ( ) e f ( ) f ( ) se f ( ) d = d d d se( ) f ( )cos( ) d cos( ) d cos( ) d.. b f ( )se( ) d.se( ) d.se( ) d [ cos( )] Sedo se = impr cos( ), etão se = pr b se impr se pr Assim, teremos: f() se[() ] se( ) se( ) se(5 )

12 Prof. Me. Arto Brboi Gráfico de f : Fig 9 Gráfico de f é proimdo pelo poliômio: P ( ) se( ) se( ) Fig Gráfico de f é proimdo por: P ( ) se( ) se( ) se(5 ) 5

13 Prof. Me. Arto Brboi Fig Not: ) A medid que umet qutidde de termos dos poliômios trigoométricos d série de Fourier que represet fução, vemos os gráficos (dos poliômios) se proimrem cd vez mis do gráfico d fução. b) O vlor dos poliômios covergem pr médi ritmétic dos limites lteris d fução em seus potos de descotiuidde. No cso, /. c) O vlor d série lterd + + (-) é /. = Cosiderdo série obtid cim, temos, em /, que: 5 7 f ( ) se( ) se( ) se( ) se( ) Logo, , dí, Portto, ) se f ( ) e f ( ) f ( ) se f ( ) d = d d f ( )cos( ) d.cos( ) d.cos( ) d

14 Prof. Me. Arto Brboi b f ( )se( ) d.se( ) d.se( ) d cos( ) cos( ) [ cos( )] se = impr Se cos( ), etão se = pr b se impr se pr Assim, teremos: f() se[( ) ] se( ) se( ) se(5 ) se(7 ) O gráfico de f Fig é proimdo pelo poliômio: P 5( ) se( ) se( ) se(5 ) se(7 ) se(9 ) Fig Vemos que o gráfico do poliômio P 5 se proim dos vlores de f e coverge pr médi ritmétic dos limites lteris d fução em seus potos de descotiuidde, No cso, ) se f ( ) e f ( ) f ( ) se f ( ) d = ( ) d d

15 Prof. Me. Arto Brboi f ( )cos( ) d ( ).cos( ) d.cos( ) d cos( ) [ cos( )] se( ) cos( ) cos( ) d se =impr se impr cos( ), etão se = pr se pr b f ( )se( ) d ( )se( ) d.se( ) d se( ) d cos( ) se( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) se =impr se impr cos( ), etão b se = pr se pr Temos que f() cos( ) b se( ) Assim, () cos se. cos( ) se( ) cos( ) se( )... () cos se se( ) cos( ) se( ) se( )... 9 Agrupdo os termos em cosseos e em seos, segue: f f () cos ( ) f ( ) se( ) () O gráfico de f Fig é proimdo pelo poliômio: P 7( ) cos se cos( ) se( ) cos(5 ) 9 5 se( ) cos(7 ) se( ) cos(9 ) se(5 ) cos( ) se(6 ) cos( ) se(7 )

16 Prof. Me. Arto Brboi Fig Eercícios Propostos Determir s séries de Fourier ds fuções dds por: ) f () = + π, com π << π e f ( + π) = f () Resp: f() se( ) se( ) se( ) se( )... ) se f( ) se f ( + π) = f () se( ) cos( ) se( ) Resp: f() cos( ) se( )... ) f() =, com π < π e f( + π) = f() Obter, tmbém, som d série: ) ( ) b) 5

17 Prof. Me. Arto Brboi Resp: () cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) ) ( ) Utilize: f () f b) Utilize: f ( ) 6 Obs: Vej o prágrfo 9 os gráficos dos eercícios propostos cim.. FUNÇÕES PARES E ÍMPARES Cosideremos s fuções f e g reis de vriável rel. A fução f é pr se, pr todo de seu domíio, eistir (-) tl que f(-) = f() A fução g é ímpr se, pr todo de seu domíio, eistir (-) tl que g(-) = -g() Eemplos: f() = cos() Fig g() = se() Fig 5 f(-) f() g() - g(-) - - A itegrl defiid de um fução ímpr um itervlo simétrico [-, ] é zero,. * + Vemos que simetri de g ocorre prtir d origem do sistem crtesio, ssumido vlores positivos direit de e, de mesmo módulo, egtivos esquerd de (isto é, g( ) = g()) em π, π]. E, este cso, itegrl defiid d região limitd por g, eio e o itervlo π, π] é dd pel som ds itegris defiids de π, ] e de [, π], isto é, s regiões ode g é egtiv e ode é positiv. Vemos, tmbém, que itegrl defiid de g é igul zero em qulquer itervlo simétrico [-, ], ode é rel positivo. Temos, o eemplo d Fig 5, que g() = se() é ímpr. A simetri d fução pr ocorre em relção o eio do sistem crtesio, pois ssume iguis vlores pr cd e. A itegrl defiid de um fução pr um itervlo simétrico [-, ] será zero somete pr determidos vlores de. Vej, o 6

18 Prof. Me. Arto Brboi eemplo d Fig, que f() = cos() é fução pr e tem itegrl igul zero pes os * itervlos,,. Neste cso, = π. O cálculo dos coeficietes f ( ) d, f ( )cos( ) d e b f ( )se( ) d pode ser fcilitdo se soubermos que f é pr ou é ímpr: º) Se f é ímpr, etão será zero e, tmbém, o será, pois o produto de um fução ímpr por outr pr (como se tor o itegrdo de ) result em fução ímpr. º) Se f é pr, etão b será zero, pois o produto de um fução pr por outr ímpr (como se tor o itegrdo de b ) result em fução ímpr. OBSERVAÇÃO : ) O produto de dus fuções ímpres é pr. Sejm f e g fuções ímpres, sedo I = D( f) D( g) ), etão I, ( ) I tem-se ( f. g)( ) f ( ). g( ) f ( ). g( ) f ( ). g( ) ( f. g)( ). Dí, ( f.g ) é pr. b) O produto de dus fuções pres é pr. Sejm f e g fuções pres, sedo I = D( f) D( g) ), etão I, ( ) I tem-se ( f. g)( ) f ( ). g( ) f ( ). g( ) ( f. g)( ). Dí, (f.g) é pr. c) O produto de dus fuções um pr e outr ímpr é ímpr. Sejm f pr e g ímpr, sedo I = D( f) D( g) ), etão I, ( ) I tem-se ( f. g)( ) f ( ). g( ) f ( ). g( ) [ f ( ). g( )] ( f. g)( ) Dí, ( f.g ) é ímpr. Not: Se o itegrdo s fórmuls que clculm os coeficietes, ou b for um fução pr o itervlo [-π, π], etão estes coeficietes poderão ser obtidos pelo dobro de sus itegris clculds o itervlo [, π]. Este procedimeto é icorreto se o itegrdo é fução ímpr. Neste cso, o coeficiete deve ser obtido pel som ds itegris os itervlos [-π, ] e [, π]. A som obtid será igul zero... Eercícios Resolvidos Obteh epsão em série trigoométric ds fuções reis, de vriável rel, idicds bio: ) f () =, com π < π e f ( + π) = f () 7

19 Prof. Me. Arto Brboi A fução f é ímpr, pois f ( ) = ( ) = = f (), π < π. Temos,. pel ot d Observção, que Cálculo de b : (o seu itegrdo é fução pr) b f ( ) se( ) d ( ).se( ) d ( ).se( ) d cos( ) se( ) se( ) cos( ) cos( ) cos( ) Vej de outro modo: (ver ot d OBSERVAÇÃO ) b f ( ) se( ) d ( ).se( ) d ( ).se( ) d cos( ) se( ) se( ) cos( ) cos( ) cos( ) Se se =impr cos( ), etão se = pr se impr b se pr Portto, série de Fourier de f é dd por: se( ) f ( ) [ se( ) se( ) se( )...] ( ) O gráfico de f Fig 6 bio é proimdo por P ( ) se( ) se( ) se( ) se( ) 8

20 Prof. Me. Arto Brboi Fig ) f () = com π < π e f ( + π) = f () A fução f é pr, pois f ( ) = ( ) = = f (), π < π. Temos,, e b discutidos em., que b. pelo item º) do cálculo dos coeficietes Sedo s regiões limitds pelo gráfico de f, eio e itervlos [ -, ] e [, ] de mesm áre, etão podemos obter os coeficietes d série de Fourier do seguite modo: Cálculo de e : (os itegrdos são fuções pres) f ( ) d = d f ( )cos( ) d.cos( ) d.cos( ) d se( ) cos( ) se( ) cos( ) cos( ) 9

21 Prof. Me. Arto Brboi se impr se =impr cos( ), etão se = pr se pr Portto, cos( ) f ( ) [cos( ) cos( ) cos( )...] ( ) O gráfico de f Fig 7 é proimdo por P ( ) cos( ) cos( ) cos( ) Fig 7 f() = - Not: Se f ão for pr e em ímpr, etão deveremos clculr todos os coeficietes de Fourier utilizdo s fórmuls de Euler se ) f ( ) e f ( ) f ( ) se Sedo s regiões limitds pelo gráfico de f, eio e itervlos [ -, ] e [, ] de mesm áre, etão podemos obter os coeficietes d série de Fourier do seguite modo:

22 Prof. Me. Arto Brboi f ( ) d = ( ) d ( )cos( ) ( ).cos( ) ( )se( ) cos( ) cos( ) [ cos( )] se =impr se impr cos( ), etão f d d se = pr se pr b f ( )se( ) d. ( itegrdo impr) Assim, teremos: cos[() ] f() cos( ) cos( ) cos(5 ) ( ) O gráfico de f Fig 7ª é proimdo pelo poliômio: P ( ) cos( ) Fig 7 Vemos, este eemplo, que proimção de f pelos poliômios trigoométricos ocorre mis rpidmete. Isto é, ão ecessitmos de poliômios com muitos termos pr obtermos um bo proimção de f. Tete você o gráfico: P ( ) cos( ) cos( ) cos(5 )

23 Prof. Me. Arto Brboi.. Eercícios Propostos Determir s séries de Fourier ds fuções dds por ) f ( ),, f ( ) f ( ) Resp : f( ) ( ) se( ) ), f ( ), f ( ) f ( ), ( ) se( ) Resp : f( ) se[( ) ] ) f ( ),, f ( ) f ( ) 6 Resp : ( ) ( ) f se( ) ) ( ), f, f ( ) f ( ), Resp : cos[() ] f( ) ( ) 5) ( ), f, f ( ) f ( ), Resp : cos[() ] f( ) ( ) Obs: Vej o prágrfo 9 os gráficos dos eercícios propostos cim.

24 Prof. Me. Arto Brboi 5. FUNÇÕES PERIÓDICAS DE PERÍODO SIMÉTRICO p = A série de Fourier que represet fuções de período p = pode ser geerlizd pr represetr fuções periódics de período p =, simétrico em relção origem do sistem crtesio, fzedo um simples mudç de escl de vriável. Se imgirmos que f (t) possui período, etão t poderá ser ddo por: t = (ode é vriável d fução de período π) e Not: Vemos, s seteçs cim, que sedo = t. tem-se que t =. A série de Fourier que represet um fução f de período é dd por: ode t t * ( ) ( cos( ) se( ) ),. (III) f t b f ( t) dt, t f ( t)cos( ) dt e t b f ( t)se( ) dt OBSERVAÇÃO : ) Fzedo veremos retorr s fórmuls deduzids pr o itervlo [ π, π]. b) A série de Fourier de um fução pr, que possui período fudmetl de, terá o cálculo de b igul zero. E, sedo ímpr, terá os cálculos de e iguis zero. 5.. Eercícios Resolvidos Obteh epsão em série trigoométric ds fuções reis de vriável idicds bio : ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ). Temos p = = e =. Vemos que fução f é pr. Logo, b =. Devemos obter: e. Utilizremos letr, o ivés de t, obteção d série de Fourier d fução dd (de período p = ), pr ser coerete com vriável presetd em f.

25 Prof. Me. Arto Brboi Cálculo dos coeficietes: se Temos que f ( ) e. se () f ( t) dt d d () f ( t)cos( ) dt cos( ) d cos( ) d t se( ) cos( ) cos( ) d cos( ) 8 se =impr se impr cos( ), etão se = pr se pr Logo, () cos f ( ) cos( ) cos( ) cos( )... 5 ( ) O gráfico de f Fig 8 é proimdo por: 8 8 P ( ) cos cos 9 ( ) ( ) Fig

26 Prof. Me. Arto Brboi ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ). Temos p = = e =. Vemos que fução f é ímpr. Logo, = =. Devemos obter: b. Utilizremos letr, o ivés de t, obteção d série de Fourier pr fução dd (de período p = ), pr ser coerete com vriável presetd em f. Cálculo dos coeficietes: () b f ( t)se( ) dt se( ) d se( ) d t cos( ) se( ) se( ) d cos( ) se impr se =impr cos( ), etão b se = pr se pr Logo, se f ( ) se( ) se( ) se( )... ( ) O gráfico de f Fig 9 é proimdo por: P ( ) se( ) se( ) Fig

27 Prof. Me. Arto Brboi 5.. Eercícios Propostos Determir s séries de Fourier ds fuções dds por: ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ) Resp: () f cos( ) cos( ) cos(5 )... 5 ou cos[() ] f( ) ( ) se * ) f ( ) k se, f ( ) f ( ), k se k k 5 Resp: f() cos( ) cos( ) cos( )... 5 ou f( ) () cos k k ( ) ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ) Resp: () f cos( ) cos( ) cos( )... ou cos[ ] f( ) ( ) se ) f ( ), f ( ) f ( ) se Sugestão: Reduzir o itervlo [, ] Fzer: f ( ), ( ) e f ( ), ( ) Resp: () f cos( ) cos( ) cos(5 )... 5 se( ) se( ) cos(5 )... 5 ou cos[( ) ] se[( ) ] f( ) () 6

28 Prof. Me. Arto Brboi se 5) f ( ), f ( ) f ( ) se Sugestão: Reduzir o itervlo [, ] Fzer: f() =, (- < < -), f() =, (- < < ) e f() =, (< < ) Resp: f() 5 cos( ) cos( ) cos( )... 5 ou () cos ( ) f( ) Obs: Vej o prágrfo 9 os gráficos dos eercícios propostos cim. 6. FUNÇÕES PERIÓDICAS EM INTERVALOS NÃO SIMÉTRICOS Supohmos que f sej um fução periódic de período p = itervlo ão simétrico ], + [,., defiid o ode Se f é um fução que pode ser represetd por um série de Fourier, etão: t t * f ( t) ( cos( ) bse( ) ),. (IV) f ( t) dt, t f ( t)cos( ) dt e t b f ( t)se( ) dt 6.. Eemplo Resolvido. Obteh epsão em série trigoométric d fução f rel de vriável rel: f ( ), sedo 5, f ( ) f ( ) A fução f é periódic, defiid o itervlo [, + [, com p =, logo, Solução: 5 f ( ) d ( ) d () 7

29 Prof. Me. Arto Brboi b f ( )cos( ) d ( )cos( ) d () () ( )se( ) cos( ) se( ) cos( ) cos( ) f ( )se( ) d ( ) se( ) d () () ( )cos( ) se( ) cos( ) se( ) se( ) Substituido =,,,,... s forms de estes resultdos pr (IV), teremos: e b e, depois, trsferido = = = = =5 =6... / /( ) /(5 ) b /( ) /( ) f ( ) cos( ) se( ) cos( ) se( )... Vej o gráfico de f e do poliômio trigoométrico P bio represetdos: Fig Eercícios Propostos Determir s séries de Fourier ds fuções dds por ) f ( ) =, sedo, f ( ) = f ( ) 8

30 Prof. Me. Arto Brboi Resp: f ( ) = cos se( ) cos se( ).... () cos se[ ] f( ) ( ) ( ) ) f ( ) =, sedo, f ( ) = f ( ) Resp: f ( ) = cos se. cos se( ) cos se( )... cos[ ] se[ ] f( ) ( ) ( ) ) f ( ) =, sedo, f ( ) = f ( ) Resp: + cos se( )... f ( ) = cos se( ) cos 6 se 6 cos[ ] se[ ] f( ) Obs: Vej o prágrfo 9 os gráficos dos eercícios propostos cim. 7. FUNÇÕES NÃO-PERIÓDICAS EM QUALQUER INTERVALO Supohmos que f sej um fução rel de vriável rel, NÃO-periódic e defiid o itervlo ], + [,. A oss pretesão é escrevê-l em Série de Fourier... Se =, etão estrtégi que será utilizd é de costruir um fução h, periódic, de em, que sej ímpr (ou pr) e coicid com os vlores de f em ], [ ) Se h for ímpr, etão su epsão em série de Fourier (formd por seos de rcos múltiplos) coicidirá com f pes o itervlo ], [. b) Se h for pr, etão su epsão em série de Fourier (formd por cosseos de rcos múltiplos) coicidirá com f pes o itervlo ], [. 9

31 Prof. Me. Arto Brboi Se, etão costruiremos um fução h, de em, periódic de itervlo ão-simétrico (ver prágrfo 6.) tl que coicid com os vlores de f em ], + [. Assim, teremos f ( ) h( ), ], [. Observção: Cso e ], [, etão é possível costruir h, de em, periódic de itervlo simétrico que sej pr ou ímpr e que coicid com os vlores de f em ], + [. Ver 7. - Eercícios Propostos (5). 7.. Eemplos Resolvidos ) Vmos epdir fução f :],[, f ( ), em um série de Fourier, cujos termos são formdos de seos de rcos múltiplos ou, tmbém, podedo ser formdos de cosseos de rcos múltiplos, coforme costrução de h sej ímpr ou pr. ) Costruir um fução h pr e periódic de período p = 6 : Fzer h( ) f ( ), ],[ e h( ) f ( ) ( ), ],[. Assim, se h ( ), ode se ot que h é pr: h( ) h( ). se Visto que p 6, etão. Clculdo os coeficietes d série de Fourier: t t h( t) ( cos( ) bse( ) ), *. (III) temos que b = e () 5 f ( t) dt ( ) d 5 t () f ( t)cos( ) dt ( )cos( ) d ( )se 9cos 6 cos( ) se =impr se impr cos( ), etão se = pr se pr Portto,

32 Prof. Me. Arto Brboi () cos h ( ) cos( ) cos( ) cos( )... 5 ( ) A fução f estrá defiid estbelecedo-se : () cos 5 f ( ) h( ), ( ) Fig - 6 b) Costruir um fução h ímpr e periódic de período p = 6 : Fzer h() = f() =, ], [ e h( ) = f( ) = [ ( )] =, ], [ Assim, se h ( ), ode se vê que h é ímpr: h( ) h( ) se Visto que p 6, etão. Clculdo os coeficietes d série de Fourier: Temos que: e t () b f ( t)se( ) dt ( )se( ) d ( ) cos( ) 9se( ) cos( )

33 Prof. Me. Arto Brboi se =impr cos( ), etão se = pr b 6 se se impr pr Portto, h 6 6 ( ) se( ) se( ) se( ) se( )... ( ) ( ) se se 6 () A fução f estrá defiid estbelecedo-se : f ( ) h( ) se( ) se( ) se( )..., Fig ) Vmos epdir fução f :[, [, f ( ), em um série de Fourier. A fução f ão é periódic! Devemos costruir um fução h periódic, com período ão simétrico, que coteh f. Isto é, h() = +, sedo h() = h( + p), p =. Obtid série de Fourier de h, fução f será defiid por restrição o domíio de h o itervlo [, [.

34 Prof. Me. Arto Brboi ( ) ( cos( ) se( ) ), Temos que h b ode p = = e =. Determição dos coeficietes de Fourier: h( t) dt ( ) d () t h( t) cos dt ( )cos( ) d () ( ) se( ) cos( ) cos( ) cos( ) ( ) ( ) t b h( t) se dt ( ) se( ) d () ( ) ( ) ( ) cos( ) se( ) cos( ) cos( ) Tem-se que: b, impr e b, pr Assim, h ( ) se( ) se( ) se( ) se( ).... se( ) h( ) ( ),. se( ) Portto, f ( ) ( ), [, [ Fig.

35 Prof. Me. Arto Brboi 7.. Eercícios Propostos Dd fução f com domíio restrito um itervlo, costruir um fução g pr ou ímpr que coteh fução f e obter com el um série de Fourier pr fução f. ) f ( ), Rep f ( ) cos cos cos..., 5 é pr ou 8 f ( ) se se cos..., é ímpr. Ou, tmbém, f( ) () cos (pr) 6..., ( ) ( ) se se, f( ) (ímpr) ) f ( ), Resp. f ( ) se se cos..., 5 (ímpr) ou ( ) se 8, f( ). ) f() se se Resp. (pr) f ( ) cos cos cos cos..., ],[ ou 5, 5 se se se se..., ], [ 6, 5, 5 f ( ) ) f ( ),

36 Prof. Me. Arto Brboi Resp: Cosiderdo f pr f ( ) cos cos cos cos..., ],[ cos f( ) ( ), Cosiderdo f ímpr 7 7 f ( ) se( ) se( ) se( )..., ],[ 5) f ( ), (Refere-se os itervlos ], + [, sedo ) Vemos que ], [. Assim, prtido de h ímpr, vmos obter f h( ) f ( ) se se se..., ],[. Obs: Vej o prágrfo 9 os gráficos dos eercícios propostos cim. 8. RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS 8.. Eercícios propostos em. ) f ( ),, f ( ) f ( ) f ( ) d ( ) d ( )se( ) cos( ) f ( )cos( ) d ( )cos( ) d b ( )cos( ) se( ) f ( )se( ) d ( )se( ) d ( )cos( ) cos( ) p/ = ímpr, Temos que: b e p/ = pr, b se( ) f ( ) se se se se( )... ( ) 5

37 Prof. Me. Arto Brboi ), se f( ),, se f ( ) f ( ) f ( ) d ( ) d () d ( )se( ) cos( ) f ( )cos( ) d ( )cos( ) d b cos( ) [ cos( )] Se = ímpr, e se = pr,. ( )cos( ) se( ) f ( )se( ) d ( )se( ) d. Temos que: f ( ) cos se se cos( ) se( ) se( )... se cos( ) se( ) se( ) f ( ) cos se.... ) f ( ),, f ( ) f ( ) f ( ) d d se( ) cos( ) se( ) f ( )cos( ) d cos( ) d cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) p/ = ímpr, e p/ = pr, 6

38 Prof. Me. Arto Brboi b cos( ) se( ) cos( ) f ( )se( ) d se( ) d cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) Temos que: cos cos cos cos ( ) cos( ) f ( )... Not: ) P/ = tem-se e, dí, ( ) f ()... ( ) 9 6 b) P/ = π tem-se dí,. 6 f ( ) e, 8.. Eercícios propostos em. ) f ( ),, f ( ) f ( ) Temos que f é ímpr: f( ) = = f() b () () () ( )cos( ) se( ) f ( )se( ) d ( )se( ) d () cos( ) cos( ) Se = ímpr, b e se = pr, b. se( ) se se se( ) se( ) f ( )... ( ) ), f ( ), f ( ) f ( ), 7

39 Prof. Me. Arto Brboi Temos que f é ímpr: f( ) = ( ) = = f() e, dí, ( )se( ) ( )se( ) () () b f d d () ( )cos( ) se( ) cos( ) = () cos( ) cos( ) Se = ímpr, b e se = pr, b. f( ) se( ) se( ) se( ) se( )... f( ) se[( ) ] ( ) se( ) ( ) ) f ( ),, f ( ) f ( ) Temos que f é ímpr: f( ) = ( ) = = f() e, dí, ( )se( ) ( )se( ) () () b f d d () ( )cos( ) se( ) 6cos( ) 6se( ) = = () 6 6 cos( ) ( ) f ( ) se( ) se( ) se( )... 6 f( ) ( ) se( ), ) f ( ), f ( ) f ( ), Temos que f é pr: f( ) = ( ) = f() e, dí, b 8

40 Prof. Me. Arto Brboi f ( ) d ( ) d ( ) d ( )cos( ) cos( ) ( )cos( ) ou = f d d d ( )se( ) cos( ) ( )cos( ) d ( cos( )) Se = ímpr, e se = pr,. cos cos cos 5 cos[() ] f( )... 5 ( ), 5) f ( ), f ( ) f ( ), Temos que f é pr: f( ) = ( ) π = π = f() e, dí, b f ( ) d ( ) d ( ) d ( )cos( ) ( )cos( ) ( )cos( ) f d d d ( )se( ) cos( ) ( )se( ) cos( ) [ cos( )] Se = ímpr, e se = pr,. cos( ) cos( ) cos(5 ) cos[( ) ] f( )... 5 ( ) 8.. Eercícios propostos em 5. ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ), Outro modo: f ( ), f ( ) f ( ),, com p = =, = Temos que f é pr: f( ) = ( ) = = f() e, dí, b 9

41 Prof. Me. Arto Brboi () d () se( ) cos( ) cos( ) d [cos( ) ] Se = ímpr, e se = pr,. f ( ) cos[() ] cos( ) cos( ) cos(5 )... 5 ( ), * ) f ( ) k,, f ( ) f ( ), k, com p = =, =, Temos que f é pr: f( ) = f() e, dí, b (). k d (). k k () k k cos( ) se( ) se( ) k d k k k 5 k 7 f( ) f() k k 5 7 cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) () cos k k ( ) ou ) ( ) ( ), com p = =, = f ( ),, f f Temos que f é pr: f( ) = ( ) = = f() e, dí, b

42 Prof. Me. Arto Brboi () d () se( ) cos( ) se( ) cos( ) cos( ) d Se = ímpr, e se = pr,. f( )... ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos[ ], ) f ( ), f ( ) f ( ),, Reduzir itervlo simétrico: f ( ), f ( ) f ( ), Temos que p = =, logo, =. ( ) d () () d ( )cos( ) d cos( ) d () () ( )se( ) cos( ) se( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) [cos( ) ] Se = ímpr, e se = pr,. b ( )se( ) d ( )se( ) d () ()

43 Prof. Me. Arto Brboi ( )cos( ) se( ) cos( ) se( ) cos( ) [ cos( )] Se = ímpr, b e se = pr, b. cos( ) cos(5 ) se( ) se(5 ) f ( ) cos( )... se( ) f( ) cos[( ) ] se[( ) ] () 5) f (, ), ( ) ( ), f f, Reduzir itervlo simétrico: f ( ),, f ( ) f ( ), A fução é pr de período p = =, logo, = e b (). d ().cos( ) d se( ) se( ) cos cos cos cos f( )

44 Prof. Me. Arto Brboi () cos f( ) ( ) 8.. Eercícios propostos em 6. ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ), com p = =, =. ( ) d. ( )se cos ( )cos( ) d b cos 8se cos ( ) cos se ( )se( ) d se 8cos se * Obter pr cd,, os vlores de e b : 5 5 b

45 Prof. Me. Arto Brboi 5 f( ) cos se cos se cos cos se cos se cos... 5 () cos se f( ) ( ) ( ) ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ), com p = =, =. ( ) () d ( )se cos( ) se ( )cos( ) d () b 6cos( ) cos( ) ( )cos se( ) cos ( )se( ) d () 8cos( ) cos( ) cos( ) 5... b cos( ) se( ) cos( ) se( ) cos( ) se( ) f( )... 9 cos se f( ) ( ) ( )

46 Prof. Me. Arto Brboi ) f ( ), sedo, f ( ) f ( ), com p = =, = /. ( ) (/ ) d (/ ) / / / ( )cos d ( )cos d ( )cos d se cos se cos se / / / / 8 /. ( )se ( ) se ( ) se b d d d ( / ) / / / cos se cos se cos / / / / 8 /. Logo, cos( ) se( ) cos( ) se( ) cos(6 ) se(6 ) f( )... se( ) cos f( ) 8.5. Eercícios propostos em 7. ) f ( ), sedo. º) Costruir um fução h, periódic de período p = 8 e que sej pr. Assumido h( ) f ( ), ],[ e h( ) f ( ), ],[, teremos que, h ( ), é pr e tem período p = = 8, =. 5

47 Prof. Me. Arto Brboi Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é pr, tem-se que b. () h() d ( ) d h d 6 () ( )cos ( ) cos ( +)se 6cos 8 [cos( ) ] Se = ímpr, 6 e se = pr,. Portto, 5 6cos 6cos 6cos 6 h( ) f ( )..., ],[ 5 () cos 6 f ( ), ], [ ( ) d º) Costruir um fução h, periódic de período p = 8 e que sej ímpr. Assumido h( ) f ( ), ],[ e h( ) f ( ) ( ), ],[, teremos que, h ( ), é ímpr e tem período p = = 8, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é ímpr, tem-se que. b d () h( ) se d ( )se 6

48 Prof. Me. Arto Brboi ( +)cos 6se cos( ) Se = ímpr, Portto, b e se = pr, b 8. se 8se se 8se h( ) f ( )..., ],[ ( ) se se f ( ), ], [ ) f ( ), sedo. º) Costruir um fução h, periódic de período p = 6 e que sej pr. que Assumido h( ) f ( ), ],[ e h( ) f ( ), ],[, teremos, h ( ), é pr e tem período p = = 6, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é pr, tem-se que b. () () () h d d h d () ( )cos () cos d se se( ) 7

49 Prof. Me. Arto Brboi Portto, h( ) f ( ), ],[ º) Costruir um fução h, periódic de período p = 6 e que sej ímpr. Assumido h( ) f ( ), ],[ e h( ) f ( ), ],[, teremos que, h ( ), é ímpr e tem período p = = 6, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é ímpr, tem-se que. b () h( ) se d ()se cos cos( ) d Se = ímpr, b 8 e se = pr, b. h( ) f ( ) 5 8se 8se 8se..., ],[ 5 f( ) () se 8, ], [, ) f( ), º) Costruir um fução h, periódic de período p = 6 e que sej pr. 8

50 Prof. Me. Arto Brboi Assumido teremos que, h( ) f ( ) e,,, h ( ),,, h( ) f ( ), ( ), é pr e tem período p = = 6, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é pr, tem-se que b. () () ( ) h() d d d () ( )cos d ( ) cos h d ( ) se 9cos 6 cos( ) cos cos 9cos 9cos 9cos f..., ],[ 5 º) Costruir um fução h, periódic de período p = 6 e que sej ímpr. h( ) ( ), Assumido h( ) f ( ) e,,, teremos que h ( ),,, h( ) f ( ) [( ) ], é pr e tem período p = = 6, =. 9

51 Prof. Me. Arto Brboi Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é ímpr, tem-se que. b () h( )se d ( )se d ( ) cos 9.se 6cos( ) 9.se 5 b 6,5..,5.. 8,5.., ,5,5 f ( ) se se..., ],[ ) f ( ), sedo. º) Costruir um fução h, periódic de período p = e que sej pr. Assumido teremos que h ( ) h( ) f ( ), ],[ e,, h( ) f ( ) ( ), ],[, é pr e tem período p = =, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é pr, tem-se que b. () () ( ) h d d () 5

52 Prof. Me. Arto Brboi () () h( )cos d ( ) cos d () cos d ( )cos d se se cos se cos( ) ( ) () cos( ) Se = ímpr, e se = pr,. h( ) f ( ) cos cos cos cos..., ],[ cos( ) ( ), ],[ f( ) º) Costruir um fução h, periódic de período p = e que sej ímpr. Assumido h( ) f ( ), ],[ e teremos que, h ( ), h( ) f ( ) [ ( ) ], ],[, é ímpr e tem período p = =, =. Queremos série h ( ) cos bse Visto que h é ímpr, tem-se que. b () () h( ) se d ( )se d ( )se d ( )se d cos cos se cos 5

53 Prof. Me. Arto Brboi cos( ) cos( ) 7 Se = ímpr, b e se = pr, b. 5 b f ( ) se( ) se( ) se( )..., ],[ 5) f ( ), ],[ (Refere-se ], + [, sedo e ], [ ) Costruir um fução h, periódic de período p = 8, que sej ímpr. Vmos eteder fução f como prte de um fução g tl que: g :],[,, g ( ) f ( ),, isto é,, g ( ), Tedo em vist fução g, costruir um fução h ímpr e de período p = 8: Fzer, h( ) g( ), e, h( ) g( ) [( ) ], Portto,,, h ( ). Assim, p = 8 e l = p/ =,, e * ( ) ( cos( ) se( ) ),. h t b O fto d fução h ser ímpr os diz que. Queremos b!!! 5

54 Prof. Me. Arto Brboi b h( )se d h( )se d () () ( ) se d ( ) cos 6se 6se 8cos( ) se cos( ) cos( ) se Obter pr cd, *, os vlores de b : 5 b 5 5 Portto, h( ) f ( ) se se se..., ],[. Observção: ) Poderímos, tmbém, ter costruído um fução h, periódic de período p = 8, que sej pr, isto é,,, h( ) g( ) e h( ) g( ), ( ), depois de obtid série de Fourier de h, cosiderr h() = f(), ],[., e, ) Outro modo de resolver questão, é imgir costruíd um fução h periódic, de período p = o itervlo ão simétrico ], + p [, cotedo o gráfico de f e que, depois de obtid série de Fourier de h, cosiderr h() = f(), ],[. 5

55 Prof. Me. Arto Brboi 9.GRÁFICOS DOS EXERCÍCIOS PROPOSTOS: EProp.() EProp.() 5

56 Prof. Me. Arto Brboi EProp.() EProp. () 55

57 Prof. Me. Arto Brboi - EProp.() - - EProp.()

58 Prof. Me. Arto Brboi Eprop.() Eprop.(5) 57

59 Prof. Me. Arto Brboi EProp 5.() EProp 5.() k k/

60 Prof. Me. Arto Brboi EProp5.() - - EProp5.() / - - -/

61 Prof. Me. Arto Brboi 5 Eprop 6.() Eprop 6.()

62 Prof. Me. Arto Brboi Eprop 6.() 7 6 EProp 7.() pr

63 Prof. Me. Arto Brboi EProp 7.() impr EProp 7.() impr

64 Prof. Me. Arto Brboi EProp 7.() pr EProp 7..() impr

65 Prof. Me. Arto Brboi 6 5 EProp 7.() pr EProp 7.() impr

66 Prof. Me. Arto Brboi Eprop 7.(5) impr f() =

67 Prof. Me. Arto Brboi. TABELA DE INTEGRAIS MAIS UTILIZADAS Cosiderr * k, e,c m ) ) cos( k) se( k) d C k se( k) cos( k) d C k cos( ) se( ) ) se( ) d C se( ) cos( ) ) cos( ) d C 5) ( m)cos( ) se( ) ( m)se( ) d C 6) ( m)se( ) cos( ) ( m)cos( ) d C ( m )cos( ) se( ) 7) ( m )se( ) d C ( m )se( ) cos( ) 8) ( m )cos( ) d C 9) se( ) d cos( ) se( ) cos( ) C ) cos( ) d se( ) cos( ) se( ) C ) se( ) d cos( ) se( ) 6cos( ) 6se( ) C ) cos( ) d se( ) cos( ) 6se( ) 6cos( ) C ) k cos k se k k se d k C 66

68 Prof. Me. Arto Brboi ) k se k cos k k cos d k C 5) 6) 7) 8) k( m)cos k se k k ( m)se d k ( )se cos k m k k k ( m)cos d k k( m )cos k se k k ( m )se d k ( )se cos k m k k k ( m )cos d k C C C C 9) ) k cos k se k cos k k k se d C k se k k cos k se k k k cos d C k Bibliogrfi: [] KREYSZIG, Erwi Mtemátic Superior, V LTC 969 [] LORETO, A Céli d e LORETO JUNIOR, Armdo Pereir Cálculo Diferecil e Itegrl LCTE 6. [] [] SODRÉ, Ulsses Séries de Fourier ots de uls publicds em 6/5/ [5] FIGUEIREDO,Djiro Guedes Aálise de Fourier e Equções Difereciis Prciis, Coleção Euclides, IMPA/CNPq, Rio de Jeiro,