Fundamentos de Matemática I CÁLCULO INTEGRAL. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 6 ÁLULO INTEGRAL Gil d ost Mrques Fudmetos de Mtemátic I 6. Itrodução 6. álculo de Áres 6. O cálculo de um áre por meio de um processo limite 6.4 Som de Riem 6.5 Atiderivds 6.6 O Teorem Fudmetl do álculo 6.7 Itegrl Idefiid 6.8 Itegris defiido fuções Licecitur em iêcis USP/ Uivesp

2 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Itrodução Eistem problems cujs soluções miimmete stisftóris só form ecotrds lgus milêios pós os primeiros estudos sobre eles. Esse é o cso do álculo Itegrl, cujs origes remotm os tempos iiciis d grimesur, etedid como técic pr determição de áres superfície terrestre. A êfse iicil d mtemátic os impérios mis vçdos Atiguidde, do Egito e d Bbilôi, ocorreu ritmétic e mesurção. No último cso, hvi iteresse especil mesurção de áres de terrs e de volumes de espços destidos brigr cereis. Documetos comprovm que, cerc de dois mil os tes de risto, os bbilôios já se preocupvm com determição de áres de polígoos regulres, bem como d áre do círculo. A solução defiitiv do problem d determição de áres veio com o álculo, proposto quse simultemete por Newto e Leibiz o fil do século XVII. O álculo Itegrl, especificmete, é mis do que solução do problem d determição de áres e volumes. Vi lém, portto, do seu uso geometri pl e espcil. A seguir, defiiremos formlmete itegrl de um fução por meio de um processo limite. Ess é defiição de itegrl defiid formulção de Riem. De grde relevâci esse coteto é o teorem fudmetl do cálculo. Ele estbelece, pr efeitos práticos, que o álculo Itegrl pode ser etedido como o problem iverso do álculo Diferecil, ou sej, determir itegrl de um fução é equivlete determir fução cuj derivd é igul o itegrdo. 6. álculo de Áres É bem provável que idei fudmetl do álculo, de que um grdez poss ser subdividid idefiidmete, sej de Atífoo (cerc de 49.). Propuh ele que, umetdo-se o úmero de ldos de polígoos iscritos um círculo, se poderi eurir difereç etre região delimitd pelo polígoo, com um úmero idefiidmete grde de ldos, e o círculo. Lçou bse de um método que se torou fmoso Atiguidde, deomido Método d Eustão. Eudóio de ido (cerc de 5.), quem usulmete se tribui o método, formulou-o de um form mis gerl, o firmr que Fudmetos de Mtemátic I

3 58 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Se de um todo (um grdez físic) se subtri um prte ão meor que su metde e se d mesm se subtri um prte ão meor do que su metde e ssim idefiidmete, se chegrá fil um prte meor do que qulquer outr predetermid. Assim, ele ecotrou um método pr determir áre de um superfície pl rbitrári iscrevedo o iterior del um sequêci de polígoos, de tl form que som ds áres dess sequêci, ou sequêci ds áres em si, viesse covergir pr áre d região delimitd pel curv dd iicilmete. Arquimedes empregou o Método d Eustão pr determir proimções pr o úmero π ssim como pr determir outrs áres. Em su obr, O Método, desevolveu outr estrtégi pr ecotrr áres. Pr tto, idei er de recortr tirihs de um figur, de meor tmho possível, e em seguid pesá-ls. Nesse método ecotrmos s rízes do coceito de ifiitésimos ou regiões ifiitesimis qui represetds pels tirihs. osideremos um questão bordd por Arquimedes, utilizdo o método d eustão. Trt-se de dois modos pr eurir, por meio de polígoos regulres, região delimitd por um círculo. Podemos promover eustão do círculo cosiderdo um polígoo regulr de ldos circuscrito. A eustão se refere o processo medite o qul s áres ds dus figurs se torm rbitrrimete próims um d outr, que, o cso, cosiste em tomr o úmero de ldos do polígoo cd vez mior. Nesse cso, áre A do círculo será clculd por ecesso e escrevemos: A ( + ) A 6. Figur 6.: Polígoos circuscritos um dd circuferêci. (+) ode A é áre do polígoo (em ecesso) o qul circuferêci está iscrit. Outr ltertiv é eustão por flt. Nesse cso, cosidermos polígoos iscritos circuferêci e escrevemos pr áre A do círculo: A ( ) A 6. Figur 6.: Polígoo iscrito um circuferêci. ode, gor A ( ) é áre do polígoo (em flt) iscrito circuferêci. 6 álculo Itegrl

4 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Arquimedes cocluiu que o úmero π deveri estr limitdo por dois vlores: A R ( ) ( + ) A π R e, usdo um polígoo de 96 ldos, obteve: 7 < π < Veremos seguir que o cálculo itegrl, formulção de Riem, tem rízes o procedimeto terior. 6. O cálculo de um áre por meio de um processo limite A título de ilustrção do método gerl, cosideremos áre d região compreedid etre o eio e curv, gráfico de y =, qudo vri o itervlo [, ], coforme Figur 6.. No método ser empregdo seguir, o primeiro psso cosiste em dividir o itervlo [, ] em prtes iguis. Esquemticmete, temos seguite divisão de itervlo [, ]: Figur 6.: Áre d região delimitd pels curvs y = e y = (eio ).... Figur 6.4: Divisão do itervlo [, ] em prtes. ( ) = Dess form, cd subitervlo dess divisão tem comprimeto igul /. osideremos o i-ésimo subitervlo, ode i. Em qulquer dos subitervlos, fução dd vri. No etto, dmitido que, em cd um deles, fução ssume um vlor costte, reduzimos o problem o de determir som de áres de retâgulos. Nesse cso, cd retâgulo tem um bse que mede / e ltur igul o vlor d fução, dmitid gor costte, o itervlo. Fudmetos de Mtemátic I

5 6 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Se cosiderrmos o vlor d fução o subitervlo como igul o seu vlor míimo esse itervlo, isto é, y( i )= ymi ()= i ( i ) 6.5 o cálculo d áre será, esse cso, proimdo por flt, já que tommos pr o vlor costte o vlor míimo. Dess form, áre proimd por flt é dd pel som: S mi = ( ) = = Levdo-se em cot idetidde: ( ) ( ) = Figur 6.5: Áre determid por flt. obtemos, de 6.6 e 6.7, que áre determid de form proimd, por flt, é dd pel epressão osideremos, gor, o vlor costte em cd subitervlo como o vlor máimo d fução esse itervlo, isto é, escolhemos: S mi = ( ) y i ym i i = ()= 6.9 O i-ésimo subitervlo, pr i, determi um retâgulo cuj bse mede / e cuj ltur é, esse cso, i 6. 6 álculo Itegrl

6 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo 6 Nesss circustâcis, áre d região compreedid etre o eio e curv y =, pr vrido o itervlo [, ], é proimd por ecesso e seu vlor é ddo pel som S m = ( ) + = = Utilizdo em 6. idetidde ( + ) = Figur 6.6: Áre determid por ecesso. o vlor proimdo d áre, esse cso, será: S = ( + ) + m 6 6. Assim, vemos que, em mbos os csos, áre d região depede do úmero de divisões do itervlo [, ]. ertmete, seu vlor estrá compreedido etre os vlores míimo e máimo já clculdos. Ou sej, podemos escrever que áre stisfz: ( ) 6 + A Notmos gor que fzedo o úmero de divisões do itervlo [, ] crescer idefiidmete, isto é, o limite em que tede ifiito, obtemos os seguites resultdos: ( ) ( ) + lim lim = = e ( + ) ( + ) + + lim lim = = Fudmetos de Mtemátic I

7 6 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo E, portto, como os resultdos são iguis, podemos escrever com segurç que áre é dd por: S = lim S = 6.7 Esse é o resultdo eto pr áre d região cosiderd. 6.4 Som de Riem Vmos gor esteder o procedimeto terior pr um fução rbitrári. om isso, chegremos um defiição forml, rigoros e precis d itegrl defiid. O teto seguir é dptdo do site eclculo.if.usp.br. Figur 6.7: Região compreedid etre s curvs y = f() e y = o itervlo [, b]. Sej f um fução cotíu um itervlo [, b] e tl que f() pr todo [, b]. Nosso iteresse é o de determir áre d região compreedid etre o gráfico de f e o eio, qudo vri o itervlo [, b]. Pr tto, vmos cosiderr um prtição do itervlo [, b], costituíd pelo cojuto de + potos, P = { =,,,..., = b}. om ess prtição, ficm determidos subitervlos, cd um deles d form [ i, i ]. omo o cso terior, o ídice i vri de té, isto é, i. Se tomrmos s divisões do itervlo [, b] tods do mesmo tmho, cd um dos subitervlos terá um comprimeto desigdo por Δ, ode Δ = i i, pr i. Tl simplificção ão é ecessári, ms será muito útil. Em cd um dos subitervlos [ i, i ], teremos um vlor de = m i, pr o qul fução tige um vlor míimo. Assim um vlor proimdo, por flt, pr áre d região, é ddo por: = = S P f f m f m f m f m f m mi, i= i 6.8 que é deomid som iferior reltiv à prtição P e à fução f. 6 álculo Itegrl

8 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo 6 Podemos, o etto, cosiderr outr situção. osideremos gor, em cd um dos subitervlos [ i, i ], outro vlor de = M i, pr o qul fução tige, esse itervlo, o vlor máimo. Sej f(m i ) pr cd i, i, esse vlor máimo. Obtemos ssim um vlor, gor proimdo por ecesso, pr áre d região. Escrevemos: = = S P f f M f M f M f M f M m, i= i 6.9 que é som superior reltiv à prtição P e à fução f. Evidetemete, poderímos cosiderr um outro poto em cd um dos subitervlos [ i, i ], diferete de m i e de M i. Desigmos esse poto por i*. osiderdo o vlor d fução esse poto como o vlor costte d fução esse subitervlo, obtemos outro vlor proimdo pr áre d região: * * * i i= = + + = Spro P, f. f f. f 6. Por hipótese, podemos prever que som cim stisfz: S P, f S P, f S P, f mi pro m 6. Qudo fzemos crescer idefiidmete o úmero de potos d prtição, isto é, fzemos, obtemos: lim S P, f = pro A 6. Pode-se provr que pr qulquer escolh dos potos i * em cd um dos subitervlos [ i, i ], pr i, vle o resultdo: * lim S P, f = A 6. ode S*(P, f) idic som obtid pr prticulr escolh de i*. Fudmetos de Mtemátic I

9 64 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo osiderdo gor os potos d prtição defiido subitervlos ão ecessrimete do mesmo tmho, qulquer um ds soms i= ( i ) f *. * é deomid som de Riem pr fução f, reltiv à prtição P e os úmeros i pr i. Observe que escolh d prtição determi o tmho de Δ i, pr i. Por isso mesmo, um som de Riem é idicd por i 6.4 = ( i ) i= * * S P, f f. i 6.5 sem recorrermos gor à simplificção de tomr os subitervlos iguis, discutid cim. Ess som depede d prtição P e d fução f. Vle observr que, ssumido que os subitervlos d prtição possm ser diferetes, o clculr o limite ão bst fzer teder o ifiito, ms é preciso que o comprimeto do mior subitervlo ted zero; codição ess que eglob terior. Defiimos itegrl defiid como b * f d lim S P, f = A = 6.6 que forece áre d região cim cosiderd, um vez que fução f foi supost ão egtiv o itervlo cosiderdo. 6.5 Atiderivds A tiderivd de um fução g() é outr fução, y(), cuj derivd é fução g(). D defiição segue-se que: d y = g ( ) y é tiderivd de g ( ) d 6.7 De cordo com o coceito de tiderivd, tl fução é defiid com eceção de um costte, isto é fução tiderivd ão é, rigor, úic, pois qulquer outr que difir dess por um costte é, igulmete, um tiderivd d mesm fução. 6 álculo Itegrl

10 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo 65 Eemplo A tiderivd d fução g() = é fução y() = +, ode é um costte qulquer. Assim, tiderivd d fução propost pode ser qulquer um ds fuções bio: y() = + 4 y() = + y() = + Portto, tiderivd se refere um fmíli de fuções que diferem etre si pes por um costte. Isso ocorre porque derivd de um costte é zero. Abio presetmos um tbel de tiderivds. Tbel 6.: Tbel de tiderivds. Fução Atiderivd f() = k k + f() = e e + f() = pr f = = f() = se f() = cos f() = sec f() = cossec f() = sec.tg f() = cossec.cotg l + cos + se + tg + cotg + sec + cossec + f = + rctg + Pr verificr cd um dos ddos d Tbel 6., devemos recorrer os resultdos de Derivds ds Fuções Simples e Técics de Diferecição. Fudmetos de Mtemátic I

11 66 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo 6.6 O Teorem Fudmetl do álculo O Teorem Fudmetl do álculo estbelece coeão etre o álculo Diferecil e o álculo Itegrl. O primeiro surgiu prtir do problem de determir ret tgete um curv em um poto, equto o segudo surgiu prtir do problem de ecotrr áre de um figur pl. Apretemete, ms pes pretemete, etre os dois problems prece ão eistir ehum relção. Isc Brrow, professor de Newto em mbridge, descobriu que os dois problems estão itimmete relciodos o perceber que os processos de diferecição e itegrção são processos iversos. Etedeu, ssim, o coteúdo do Teorem Fudmetl do álculo. Etretto, form Newto e Leibiz, idepedetemete, que eplorrm ess coeão e desevolverm o álculo. Em prticulr, eles perceberm que o Teorem Fudmetl permiti ecotrr áre et de um figur pl de um form muito fácil, sem ecessidde de se clculr som de áres de um úmero idefiidmete grde de retâgulos, prtir d tiderivd d fução evolvid. A seguir, presetmos o Teorem Fudmetl do álculo, cujo eucido é: Sej g um fução cotíu o itervlo [,b]. A itegrl defiid dess fução esse itervlo, e dd pelo limite d som de Riem observd em 6.6, ou sej, pel epressão: b = g y b y 6.8 ode fução y() é um fução terivd de g(). Utilizremos otção: b b = = g y y b y 6.9 Assim, itegrl defiid é igul à difereç etre os vlores de qulquer um ds tiderivds tmbém chmds primitivs clculd os etremos d itegrl. ocluímos, por eemplo, que b b d = = b 6. 6 álculo Itegrl

12 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo e que, de form álog, áre sob prábol dd por 6., o itervlo [,b], é: b b d = = b Itegrl Idefiid Ecotrr um itegrl d form g d 6. é o mesmo que determir um fução y() deomid derivd ou primitiv d fução g(), tl que dy = g ( ) d 6. Tod fução cotíu g() tem um tiderivd y(), defiid pel epressão 6.. Tedo em vist que tiderivds são defiids meos de costtes, um itegrl d form 6. é um itegrl idefiid. Um itegrl idefiid defie um fmíli de fuções, que diferem etre si por um termo costte. Assim, se y() for um fução tiderivd de g(), y() + tmbém o será. Portto, epressão mis gerl de um itegrl idefiid é: g d = y+ 6.4 ode é um costte rbitrári. Isso os permite escrever, por eemplo, que itegrl idefiid d fução g() = pode ser, por eemplo, qulquer um ds fuções: d = + d = + 4 d = Fudmetos de Mtemátic I

13 68 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Ess rbitrriedde justific o ome itegrl idefiid. Em gerl, ão escrevemos eplicitmete o termo costte. A Tbel 6. preset lgums itegris idefiids. Pr coferir, bst derivr o termo do ldo direito com relção e comprr com o itegrdo do ldo esquerdo. Tbel 6.: Tbel de itegris idefiids. Fução Itegrdo Itegris idefiids f() = k kd = k+ f() = e ed = e + f() = pr + d= + + f = = d = l + f() = se sed = cos + f() = cos cosd = se + f() = sec sec d = tg + f() = cossec cossec d = cotg + f() = sec tg sec tgd = sec + f() = cossec cotg cossec cotgd = cossec + f = + = + + d rctg omo resultdo d epressão gerl pr o cso de um epoete rel diferete de, podemos escrever: d = álculo Itegrl

14 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Itegris defiido fuções osideremos um itegrl d form: It (, ) = g( d ) t 6.7 Tl itegrl depede d vriável t e d costte de tl modo que, se vrirmos o vlor de, obteremos diferetes vlores pr fução I, que diferem por costtes. Ademis, podemos escrever: Agor, como di(, t) dt d = dt t gd = gt () I (, ) = g( d ) = do teorem fudmetl do cálculo result que podemos escrever itegrl 6.7 como difereç de tiderivds: t It (, ) = g( d ) = y( t) y 6.4 ou yt () y gd = t 6.4 ode y é tiderivd d fução g(). Observe que itegrl cim é bem defiid,isto é, ão depede d costte rbitrári que difereci um tiderivd d outr. Fudmetos de Mtemátic I

15 7 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo O teorem fudmetl do cálculo pode ser escrito em termos de grdezs iifiitesimis. Pr tto, cosideremos o cso em que y é tiderivd d fução g(). Nesse cso, escrevemos: dy d = g 6.4 Assim, em termos de grdezs ifiitesimis, é válid idetidde: gd = dy 6.4 Efetudo som de Riem em mbos os ldos, levdo em cot o itervlo [,], e clculdo os respectivos limites, escrevemos: t gd = dy t 6.44 O segudo membro de 6.44 pode ser escrito como t dy = y t = y() t y 6.45 ombido epressão 6.44 com 6.45, obtemos 6.4. Eemplo A tiderivd d fução costte Eemplos g= k é fução y = k +. Dode iferimos que: = = = y y kdu ku k k Eemplo A tiderivd d fução cosseo, meos de um costte, é fução seo, pois d( se ) = cos d álculo Itegrl

16 Licecitur em iêcis USP/Uivesp Módulo Assim, de cordo com o teorem fudmetl do cálculo, podemos escrever seguite epressão: 7 cosudu = se u = se se 6.49 dode iferimos que: cosudu = se u = se se = se π cosudu = se u = se se se π/ = π Eemplo osideremos o cso d fução epoecil e. Tedo em vist que derivd dess fução é dd por: = d e d e 6.5 obtemos que itegrl idefiid dess fução é dd por: u u edu= e = e e 6.5 Em prticulr, u u edu e = = e e = e 6.54 Filmete, cosiderdo que d( rctg ) = d podemos costtr que itegrl dess últim fução é dd por: = = + u du u rctg rctg rctg 6.56 Fudmetos de Mtemátic I