PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL

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1 PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA. (PUC-MG) Três úmeros turis,, b e c, estão ess ordem, em progressão ritmétic de rzão. Se ² + b² - c² = 0, som + b + c é igul : ) b) 8 c) 4 d) 3 e) 36. (FAAP-SP) As medids dos âgulos iteros de um triâgulo, em ordem crescete, formm um progressão ritmétic. A medid do mior desses âgulos é o dobro d medid do meor. O mior âgulo itero desse triâgulo mede: ) 68 b) 7 c) 76 d) 80 e) 8 3. (VUNESP) Num lbortório foi feito um estudo sobre evolução de um populção de vírus. Ao fil de um miuto do iício ds observções, existi elemeto populção; o fil de dois miutos, existim 5, e ssim por dite. A seguite sequêci de figurs preset s populções do vírus (represetdo por um círculo) o fil de cd um dos qutro primeiros miutos. Supodo que se mteve costte o ritmo de desevolvimeto d populção, o úmero de vírus o fil de hor er de: ) 4. b) 38. c) 37. d) 33. e) Em cd região especificd pel Agêci Nciol de Telecomuicções (Atel), s frequêcis ds emissors de rádio FM devem vrir de 87,9 07,9 MHz, e difereç etre dus frequêcis cosecutivs deve ser 0, MHz. O umero máximo de emissors FM que podem fucior em um mesm região pel Atel é: ) 99 b) 00 c) 0 d) 0 e) 03 proeem.com.br

2 PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 5. Cosidere que é o termo gerl de um progressão ritmétic de rzão 5 e primeiro termo 8. Podemos firmr que represetção gráfic dos potos (, ) o plo crtesio, com N*, está cotid o gráfico d fução fim: ) y = 3 + 5x b) y = 8 + 5x c) y = 3 + 5x d) y = 8. 5 x e) y = 8. log (x + 9) 6. O termo médio d PA (,, 3,..., 49 ) é: ) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 7. (UFAM) N PA ( ), o -ésimo termo é igul : ) b) c) d) e) 8. (UFSCr-SP) Um fução é defiid recurisivmete como ( ) ( ) Sedo ()=5, o vlor de (0) é ) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 65 proeem.com.br

3 PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 9. Existem ifiitos úmeros iteiros que resultm d som de tres úmeros iteiros cosecutivos; por exemplo, o umero 99 é resultdo d som de Cosidere todos os úmeros iteiros, com 3 < 000, que resultm d som de tres úmeros iteiros cosecutivos. Qutos são esses úmeros? ) 333 b) 334 c) 335 d) 336 e) O termo médio d PA (,, 3,..., ), com ímpr, é k. Etão: ) b) c) d) e). (VUNESP) Em 05 de juho de 008, foi iugurd um pizzri que só bre os sábdos. No di d iugurção, pizzri recebeu 40 fregueses. A prtir di, o úmero de fregueses que pssrm frequetr pizzri cresceu em progressão ritmétic de rzão 6, te que tigiu cot máxim de 36 pessos, qul tem se mtido. O umero de sábdos que se pssrm, excluido-se o sábdo d iugurção, pr que cot máxim de fregueses fosse tigid pel primeir vez, foi: ) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 6 proeem.com.br

4 PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA. (UFAL) Um tlet fez vários lçmetos de drdo e um fto iteresste foi que cd vez distâci lcçd pelo drdo umetou cm. Se ele fez 30 lçmetos e o lcce do último deles foi 5 m, qutos metros form lcçdos o terceiro lçmeto? ) 4,40 b) 4,44 c) 4,46 d) 4,5 e) 4,54 3. (UNIRIO-RJ) A figur bixo foi publicd em jorl de grde circulção, terç-feir, 5 de setembro. Trt d previsão d ltur ds ods o Rio de Jeiro pr os três próximos dis, que represet um progressão ritmétic decrescete. Alisdo est figur, um surfist ficou imgido possibilidde de ocorrêci de ods gigtescs. Se isso fosse possível, cosiderdo est mesm progressão, qul teri sido ltur ds ods o di 0 de setembro do mesmo o? ) 4,5 m b) 5,0 m c) 5,5 m d) 6,0 m e) 6,5 m 4. (UFG-GO) Um idústri cosome meslmete 50 m 3 de um certo regete. Um uidde dess idústri pssou produzir esse regete e, o primeiro mês de produção, produziu 0% do seu cosumo mesl. Se uidde umet produção do regete em 3 m3 por mês, qutos meses serão ecessários, prtir do iício d produção, pr que uidde produz, em um úico mês, 70% do volume mesl desse regete cosumido pel idústri? ) b) 4 c) 8 d) 3 e) 36 proeem.com.br

5 PA DEFINIÇÃO E TERMO GERAL EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 5. (UFSCr-SP) Um determido corpo celeste é visível d Terr olho u de 63 em 63 os, tedo sido visto pel últim vez o o de 968. De cordo com o cledário tulmete em uso, o primeiro o d Er Cristã em que esse corpo celeste esteve visível olho u d Terr foi o o: ) 5 b) 9 c) 3 d) 7 e) 3 6. (UNIFAL-MG) Um empres de etreg de mercdoris possui váris filiis em um cidde. A fim de mximizr distribuição, empres dividiu cidde em 305 setores, desigdo um úmero turl cd setor. A tbel bixo mostr prte do qudro de distribuição de um ds filiis dest empres, sedo que os demis setores seguem form de distribuição presetd. O di d sem em que ess filil tederá o setor 75 é: ) sábdo. b) quit. c) segud. d) sext. e) qurt. 7. (PUC-PR) Há dois tipos de os bissextos: os que são múltiplos de 4, ms ão de 00, e os que são múltiplos de 400. O úmero de os bissextos que o século XXI irá ter é: ) 3. b) 4. c) 5. d) 6. e) 7. proeem.com.br

6 PROPRIEDADES E SOMA DOS TERMOS DE UMA PA EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA 8. Com o objetivo de melhorr ilumição de um mbiete, um rquiteto projetou prte de um prede com 80 tijolos de vidro. Esses tijolos devem ser dispostos form de um triâgulo, de modo que, prtir d segud fileir, cd tijolo se poie sobre dois tijolos d fileir iferior té últim, que terá pes um tijolo, coforme figur que preset s três últims fileirs. O úmero de tijolos d primeir fileir deve ser: ) 35 b) 38 c) 40 d) 45 e) (FGV) A som de todos os iteiros etre 50 e 350 que possuem o lgrismo ds uiddes igul é: ) b) c) 5.08 d) e) (UFC-CE) A som dos 5 primeiros termos de um progressão ritmétic é 50. O 8º termo dess PA é: ) 0 b) 5 c) 0 d) 5 e) 30. (UNIFESP) Números trigulres são úmeros que podem ser represetdos por potos rrjdos form de triâgulos equiláteros. É coveiete defiir como o primeiro úmero trigulr. Apresetmos seguir os primeiros úmeros trigulres. Se T represet o -ésimo úmero trigulr, etão T =, T = 3, T 3 = 6, T 4 = 0, e ssim por dite. Ddo que T stisfz relção T = T - +, pr =, 3, 4,..., pode-se deduzir que T 00 é igul : proeem.com.br

7 PROPRIEDADES E SOMA DOS TERMOS DE UMA PA EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA ) b) c).87 d).458 e) 79. (OBM) O triâgulo equilátero T seguir tem ldo. Jutdo triâgulos cogruetes esse, podemos formr outros triâgulos equiláteros miores, coforme idicdo o deseho bixo. Qul é medid do ldo do triâgulo equilátero formdo por 49 dos triâgulos T. ) 7 b) 49 c) 3 d) e) É impossível formr um triâgulo equilátero com esse úmero de triâgulos T. 3. (UESPI) Do di primeiro o di vite e um de juho do o pssdo, o úmero de pessos com gripe socorrids um posto médico umetou segudo um progressão ritmétic. Só os 0 primeiros dis do mês, 90 pessos gripds form tedids e, o di vite e um, o úmero de tedimetos diário lcçou seu vlor máximo de 9 pcietes gripdos. Etretto, o di vite e dois, o úmero de tedimetos dimiuiu de 0 pcietes gripdos em relção o di terior e, dess form, prosseguiu dimiuição diári dos tedimetos de pcietes gripdos, té o fil de juho. Nesss codições, é correto firmr que o totl de pcietes com gripe que form tedidos esse posto médico, durte todo o mês de juho, foi de: ).0 b).440 c).50 d).560 e) (UNIFESP) Um pesso resolveu fzer su cmihd mtil pssdo percorrer, cd di, 00 metros mis do que o di terior. Ao completr o di de cmihd, observou ter percorrido, esse di, metros. A distâci totl percorrid os dis foi de: ) m b) m c) m d) m e) m proeem.com.br

8 GABARITO. C PA (,b,c) como rzão é, podemos escrever progressão em fução de qulquer um dos termos. Pr fcilitr os cálculos escolh o termo cetrl e escrev sequêci de form simétric (b, b, b + ). Como ver relção b c 0. Bst substituir. b b b 0 b b b b b b 4 b 4 b b 4 b 4 0 b 8 b 0 b b 8 0 b b 0 8 Note que temos dus possibiliddes:. (-, 0, ). (6, 8, 0) Como o eucido firm que sequêci é de úmeros turis, devemos excluir ª sequêci. Dess form: = 6, b= 8 e c = 0. + b + c = = 4.. D Cosidere três vlores em P.A. ( x R, x, x + R) Utilizdo ess form simétric, otimizremos ossos cálculos. Por se trtr de âgulos de um triâgulo cohecemos som. x R x x R 80 3 x 80 x 60 A medid do mior âgulo é o dobro d medid do meor. x R R 60 R 60 R 60 R 0 R 3 R 60 R 0 Os âgulos desse triâgulo são: 40, 60 e 80. Portto o mior âgulo mede 80. proeem.com.br

9 3. C, 5, 9, 3... Fácil otr que trt-se de um P.A de rzão 4. Ao fil de um hor, como temos termos que represetm populção cd miuto, clculremos o termo de posição 60. Aplicdo o termo gerl, temos: 59R C 5. A O primeiro termo é 87,9. O último termo é 07,9. A rzão d P.A é R 0,. Precismos descobrir o vlor de. Pr isso usremos o termo gerl: 07,9 87,9 0, 07,9 87,9. 0, 0. 0, Cosidere que é o termo. Represetção gráfic dos potos,. Sequêci: 8, 3, 8, 3, 8... Potos perdidos: (, 8) ; (, 3) ; (3, 8) ; (4, 3)... Observe que relção pedid é etre e. Podemos utilizr o termo gerl.. R como 8 e R 5, temos: R Como o poto é d form,, temos que substituir por x e por y. Dess form vem: y 3 5 x 6. C Termo médio é o termo que ocup posição cetrl. N sequêci, temos 49 termos. Note que retirdo o termo cetrl restm 48 termos, 4 tecedem o termo cetrl. Logo o termo cetrl é o 5º. Um form simples de ecotrr posição cetrl etre os termos e 49 é: proeem.com.br

10 7. B Pr ecotrr o milésimo termo bst plicrmos formul do termo gerl:. 3 R. Note que. Precismos descobrir rzão, pr isso devemos subtrir dois termos cosecutivos: R R Aplicdo o termo gerl, temos: A f 5 f ( ). f() 5 5 Substituido =, temos: 5 f () f f() Substituido =, temos: 5 f () f f(3) Substituido = 3, temos: 5 f (3) f3 f(4) Note que ess sequêci é um P.A, ode o primeiro termo é o 5 e rzão é 5. Pr ecotrr o 0º termo, utilizmos o termo gerl. k R f 0 f f f 45 0 proeem.com.br

11 9. A Como vri de 3 té 999, temos s seguites soms: º) = 3 º) = 6 3º) = 9 º) = 999 A sequêci dos vlores de é (3, 6, 9,..., 999). Observe que trt-se de um P.A, com primeiro termo e rzão iguis A O termo cetrl ocup posição que pode ser clculd como médi ritmétic d posição dos extremos. Termo cetrl: k Posição cetrl: k. B A qutidde de pessos de frequetm pizzri cd sábdo form um P.A. Observe: (40, 46, ) Cosidere 46 pois o eucido pede-se exclusão do di d iugurção e 36.. R proeem.com.br

12 . C Sbemos que o último lçmeto lcçou 5 metros, id 500 cm. A rzão é cm. Aplicdo fórmul gerl, temos: ( 0,5) 6,5 ( ), ,5,,5,,5, ,,,...,, R ( )( 63) ,5 7 O último lçmeto é o de úmero 30. Logo, temos: 30. R Pssdo pr metros: 4,46 m. 3. A Cosideremos todos os dis do mês de setembro como termos d sequêci dd:,,,...,, Observe pel figur que :, ,5 Portto, rzão é 0,5. Utilizdo fórmul do termo gerl, temos: proeem.com.br

13 30. R 5 4 R 5,5 4. ( 0,5),5 ( ),5 4,5 4. D 0% de 50 = 5 70% de 50 = 05 R R A Note que trt-se de um P.A de rzão 63. Queremos ecotrr o primeiro o d er cristã ess sequêci: (968, 903,..., ) Sedo que. R 968 ( )( 63) deve ser positivo é o primeiro o d er cristã, que este corpo celeste foi visto d terr. 6. B A sem tem tedimeto 5 setores. Sem 5 Sem 30 Sem 3 45 Podemos observr um sequêci dos múltiplos de 5. O mior múltiplo de 5 que temos é o 300. Observe que té sem 0 temos tedimeto 300 setores. N sem terá tedimeto s 5 flttes. Bst olhr tbel que o tedimeto será um quit. proeem.com.br

14 7. B Século XXI (de 00 té 00) Neste século o primeiro o bissexto é 004. Note que umetdo 4 os ecotrremos os próximos os bissextos. = 004 = = 0 PA de rzão 4. =? Qul seri o último o bissexto? Observe que 00 ão é bissexto, portto usremos o o 096. = 096 = + (-).R 096 = (-).4 9 = (-)4 3 = - = 4 8. C Note que os 80 tijolos podem ser cotdos por fileirs, logo temos: = 80. Utilizdo fórmul d som dos primeiros termos de um P.A, vem: ( ). 80 ( ). 640 DICA: 40 Cso ão visulize o 40 como respost, resolv equção do º gru. 9. E A som pedid é som dos termos de um P.A de rzão 0. Observe: 5, 6, O primeiro psso é descobrirmos qutos termos formm ess sequêci. ( ) R 34 5 ( ) ( ) proeem.com.br

15 Após descobrirmos que sequêci possui 30 termos, podemos plicr fórmul d som. S S 30 ( ) ( 30 ) 30 (5 34) x x A Observe que o oitvo termo é o termo cetrl dess P.A. (Logo é médi ritmétic) S A8 0. A Observe que T, T, T3 3, T Queremos descobrir o vlor de T 00 que será ddo pel som: ( 00) A O triâgulo T é formdo pes por triâgulo. Observe que o T 3 4 e o T Qutos 3 triâgulos terímos o T 7? T ( 3) B ( ) Note que 9R, logo 0 ( 9 R) 58 9 R 58 Sbemos que 9, pelo termo gerl temos: 0R 9 0 R 9 0R Podemos clculr gor o vlor de R, vej:. (9 0 R) 9 R R 9 R 58 3 R 4 R 4 proeem.com.br

16 Vmos descobrir gor todos os pcietes que form clíic té o di ª 0R S S ( ). ( 9) A prtir do di temos um segud progressão, decrescete com rzão 0. b 8 (di ) b b R (di 30) b b S 9 ( b b ). 9 (8 ) B Somdo os dois mometos, temos: ,, 3..., ote que ess progressão rzão é 00. 0R Somdo tod distâci percorrid em cd di, temos: S S ( ). ( ) proeem.com.br