O ESTUDO DAS FRAÇÕES CONTÍNUAS

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1 O ESTUDO DAS FRAÇÕES CONTÍNUAS José Crlos Rmos d Slv Oretdor: Jorge Ferdes Lm Neto RESUMO Esse rtgo tem omo objetvo resetr um estudo sobre frções otíus. Um frção otíu de um úmero rol ode ser reresetd or um seüê ft de teros e de um úmero rrol or um seüê ft de teros. Ts reresetções ermtem eotrr um romção de um úmero rrol or um úmero rol tão rómo uto desejrmos. Plvrs-hve: Frções Cotíus Mtemát Pur Aálse.. INTRODUÇÃO As frções otíus form objetos de estudo de grdes mtemátos os séulos XVII e XVIII omo Leord Euler e Hermte tulmete são de grdes teresses em várs áres o mo d mtemát omo em teor dos úmeros ê d omutção e outros... Pr obtermos um frção otíu de erto úmero rol bst lr o lgortmo d dvsão de Euldes suessvmete um dvsão de teros. Por eemlo tomemos um rol rredutível. Assm estem úos e r tl ue r om 0 r logo r r. ) r Pr e r obtemos úos e r tl ue r r om 0 r r logo Reetdo esse roesso suessvmete obtemos. ) r r O. ) Ledo em Mtemát d Uversdde Ctól de Brsíl Professor do Curso de Mtemát d Uversdde Ctól de Brsíl

2 Como o lgortmo d dvsão de Euldes é um roesso fto esse tmbém o é e est últm eressão é frção otíu ue rereset o rol e esreveremos;. ASPECTOS HISTÓRICOS [... ]. ) Fo eotrdo em medos de 06.C. um teto de mtemát ms bem sueddo de todos os temos Os Elemetos Stoh) de Euldes ele eotr-se um lgortmo Algortmo d dvsão de Euldes) ue odemos obter uluer úmero rol em termos de frção otíu. Durte os os de 60 à 670 um grde vredde de métodos ftos fo desevolvd lusve o método ds frções otíus fts r π ue for ddo or Wllm Brouker 60? 6) o rmero resdete d Royl Soety. Wlls [ ág. ] em 60 obteve uros eressão: 6 6 K π 7 7K ). Por mulção do roduto de Wlls r π Brouker [ ág 66] hegou de lgum modo à eressão π 9 9 K 6) Os rmeros ssos r frções otíus dtvm de muto tes Itál ode Petro Atoo Ctld -66) de Boloh esreveu rízes udrds ess form ts eressões são flmete obtds. Ctld obteve. 7) K

3 Leohrd Euler otrbuu demsdmete om mtemát ele fo um dos rmeros mtemátos desevolver teor ds frções otíus em 77 eotrdo o segute desevolvmeto r o úmero e. e ) K. FRAÇÃO CONTÍNUA DE UM NÚMERO RACIONAL Em Os Elemetos de Euldes o método r hr o m.d.. de dos úmeros é usdo r se overter um frção úmero rol) em frção otíu. Como eemlo o m.d.. etre ) ) Logo o m.d.. ) Eressmos d segute form: )

4 Este últmo é frção otíu eress do úmero rol [0]. e su otção é De um modo gerl um frção otíu de um úmero rol ode ser eress d segute form: O ) Os úmeros... são deomdos os uoetes rs e [ K ] rereset su frção otíu.. O PRIMEIRO QUOCIENTE No roesso de dvsões suessvs es o rmero uoete ode ser ostvo egtvo ou zero. Podemos dzer ue um úmero é rol udo é o uoete de um dvsão de dos úmeros teros om o dvsor ostvo > 0. Se > ; o rmero uoete rl d frção otíu é ostvo; se 0 o rmero uoete rl d frção otíu é zero; Se for egtvo o rmero uoete d frção otíu é egtvo. Eemlo: 0 [ ] ) 7 0 [0] )

5 TEOREMA 0 Todo úmero rol ode ser reresetdo de dus mers dstts sob form de frção otíu ft e tod frção otíu ft rereset um úmero rol. Pr etedermos melhor osderemos seüê [ ] reresetd d segute form: e su frção otíu é ) Num reresetção de um frção otíu de um úmero rol udo o termo for mor ue um) oderemos substtuí-lo or ssm reresetção m ode ssumr dus forms or eemlo: [ ] [] ). FRAÇÃO CONTÍNUA DE UM NÚMERO IRRACIONAL. APROXIMAÇÕES SUCESSIVAS Sej ϕ um úmero rrol e teremos: ϕ sto é o mor tero meor do ue ou gul ϕ ϕ 6) ode ϕ 7) Observe ue > e é rrol dess form reetdo o roesso oderemos esrever; ode e. Ver [ ág ]

6 6 Reetdo esse roesso teremos: M ϕ ) Ode todos os s ' são teros mores ou gus hum) e todos os s ' são rros mores do ue hum). Assm obtemos: O L ϕ 9) Defmos ] [ L omo frção otíu deϕ. Lgrge em 770 rterzou todos os rros ossudores de reresetção eród udo eressos sob form de frção otíu e ue frção otíu ft ue rereset um rrol é eród se e somete se este rrol for rz de um olômo de º gru ou sej d form b ode b e são teros. Pr etedermos melhor mostrremos o rrol form de frção otíu ft. ) ) ) ϕ 0)

7 7 A frção otíu de ree em form reettv om eeção do ssm deommos de frção otíu eród. Jutdo os termos m temos: ) e su otção será eress; ] [ K ou ] [ observemos ue odemos reverter o roesso m r obtermos ovmete o úmero rrol ue ele rereset... CONVERGENTES Quluer úmero rol ode ser reresetdo sob form de frção otíu. Se ]... [ logo [ ] [ ] [ ]; ; ; é seüê d esão d frção otíu de. Deomdos: rmero segudo terero... overgetes d frção otíu.

8 ]... [ sedo rór frção otíu o -ésmo overgete. Chmremos o -ésmo overgete de. Assm e ode ) e ode ) ) ) ode e TEOREMA Sej o -ésmo overgete d frção otíu [ ]... etão r o umerdor e o deomdor do overgete stsfzem s segutes relções. ) Demostrção: Observe os úmeros deedem es dos uoetes rs e ssumrmos omo hótese de dução vldde de um k. Assm oderemos obter smlesmete substtudo or. Logo O. 6) Etão teremos;

9 9 ) ) ) ) ) ) 7) oludo demostrção or dução. Ajustdo melhor os ídes vmos defr e ssm torremos verddero o teorem r. TEOREMA A relção ) se verf r todo 0 ode e são resetvmete o umerdor e o deomdor do -ésmo overgete. COROLÁRIO Todo overgete ) temos ue.. PROPRIEDADES DOS CONVERGENTES TEOREMA A seüê L dos overgetes de um frção otíu stsfz s segutes roreddes: )... ) 6... > > > > ) Demostrção: Pelo teorem temos ue ). Assm ) ) ) ) Ver demostrção em [ ág. 0] ou [ ág. ]

10 0 ) 9) Ds dus desgulddes m é fál ver ue o teorem é verddero.. OBSERVAÇÂO Pelo teorem seüê dos overgetes obedee desguldde ) Em álse em seüês moótos temos ue tod seüê resete e lmtd suerormete overge e tod seüê deresete e lmtd ferormete tmbém overge. Etão L e L. Como ) 0 etão L L. Assm seüê dos overgetes de um frção otíu ft overge. Nos teorems bo veremos ue ess seüê overge r o úmero rrol ue gerou. TEOREMA Pr todo úmero rel α temos ]... [ α α α ode todos os uoetes s ' são teros ostvos om eeção do s seüês dos s ' e s ' são dds el frção otíu de α ou sej e r todo. OBSERVAÇÃO. Sej ϕ um úmero rrol elo teorem temos ue ]... [ ϕ ) Assm ) ) ) ) ϕ ) Ver [ ág. ] ou [ ág. ]

11 Etão ϕ 0 ofrmdo ue seüê dos overgetes overge r o rrol ue gerou. CONSIDERAÇÕES FINAIS As frções otíus têm um vst tução o mo d mtemát esse trblho mostrmos omo obter um romção de um úmero rrol or um rol tão rómo uto desejmos ou sej omo frção otíu de todo úmero rrol é ft bst truá-l r obtermos um úmero rol bem rómo de um rrol ue estmos trblhdo. Como o eso médo o eemlo ms omum de úmero rrol é um rz udrd de um tero temos u um ótm mer de lulr um vlor romdo r tl rz. No eemlo rourd. [ K ] [] é um ótm romção r rz 9 As frções otíus e seu oteúdo meu ver odem fzer rte do eso fudmetl e médo elevdo ssm o gru do desevolvmeto e redzgem do luo em relção os úmeros ros e rros. BIBLIOGRAFIA. ANDRADE El Xver Lhres de; BRACCIALI Cleoe Fátm. Frções Cotíus: lgums roreddes e lções. Dsoível em: htt:// Aesso em: /06/007.. BOYER Crl Bejm. Hstór d Mtemát. ed. São Pulo: Edgrd Blüher LTDA EVES Howrd whtley. Itrodução à Hstór d Mtemát.. ed. Cms: Edtor d UNICAMP SANTOS José Plío dos Stos. Itrodução à teor dos úmeros. ed. Ro de Jero: IMPA 00.