Universidade Federal de Alfenas - Unifal-MG Departamento de Ciências Exatas

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1 Uversdade Federal de Alfeas - Ufal-MG Departameto de Cêcas Exatas Apostla Laboratóro de Físca I Prof. Dr. Célo Wsewsk Alfeas 05. oções geras sobre meddas de gradezas e avalação de certezas.. Medção (measuremet)..... Mesurado (measurad) Valor verdadero ou valor do mesurado Erro (error) Icerteza (ucertaty) pos de Icerteza Lmte de operação (LO) e lmte de detecção (LD) Icertezas combadas Icerteza relatva (Xr) e Icerteza percetual (X%) Acuráca ou exatdão ( accuracy ) Precsão ( precso) Medção de gradezas pos de meddas Algarsmos sgfcatvos Propagação de certezas ratameto estatístco e cálculo dos desvos 0.. Peso ou méda poderada..... Comparação etre duas meddas Método Cetífco (Galleu) Gráfcos Regras para costrução de um gráfco Crtéros para traçar a reta mas provável Método dos Mímos Quadrados (MMQ) Qualdade do auste...

2 . oções geras sobre meddas de gradezas e avalação de certezas Os trabalhos de laboratóro ormalmete são realzados com o obetvo de detfcar, quatfcar e estabelecer possíves relações etre duas ou mas gradezas, que tervêm em um feômeo ou processo... Medção (measuremet) A palavra medção é a recomedada para o ato de medr, coforme dcoáro. A palavra medda tem mutos sgfcados o cotdao, como por exemplo, medda sóco-educatva e deve ser evtada... Mesurado (measurad) Mesurado é defdo como a gradeza específca submetda à medção, tas como volume, área, tempo, comprmeto, temperatura, etc. O mesurado pode ser úco ou depeder de outras gradezas correlacoadas. Por exemplo, o volume de um paralelepípedo depederá da medção do comprmeto, da largura e da altura do obeto..3. Valor verdadero ou valor do mesurado É o valor mas próxmo da realdade. ormalmete é o valor da lteratura para um determado mesurado. Por exemplo, se fzermos a medção da carga do elétro (mesurado), para fs ddátcos o valor verdadero será o valor cohecdo da lteratura. a maor parte dos expermetos, o valor verdadero é descohecdo e é o obetvo do expermeto. Em algus expermetos o obetvo é ustamete melhorar o valor cohecdo da gradeza. este caso o que dfereca a medção do valor verdadero é a acuráca ou exatdão do resultado obtdo..4. Erro (error) O erro η é a dfereça etre o resultado y da medção e o valor do mesurado y v (valor verdadero). η = y y v Se o valor do mesurado é uma quatdade descohecda, etão o erro de medção também é uma quatdade descohecda..5. Icerteza (ucertaty) Icerteza é um coceto qualtatvo defdo como parâmetro assocado ao resultado de uma medção que caracterza a dspersão de valores que pode ser fudametadamete atrbuídos ao mesurado. Por

3 exemplo, quado fazemos a medção de tempo utlzado um relógo de poteros, a medção possurá uma certeza de o mímo 0,5 segudos, sto é, a metade da meor escala. Por exemplo: 35,0(5) segudos, ode o úmero etre parêtess dca a certeza assocada de 0,5 s à medção de 35,0 s. Expressões tas como erro aleatóro, erro sstemátco, certeza aleatóra e certeza sstemátca são tradcoalmete usados em físca. Etretato, esta omeclatura ão é recomedada, exceto para fs ddátcos. A ustfcatva para sto é o caráter relatvo do que sea efeto sstemátco ou efeto aleatóro. Um exemplo smples é a certeza cometda o auste de zero de um strumeto, que pode ser sstemátco (quado mprecsamete executado ou esquecdo) para uma sére de medções. Etretato, se o zero é austado para cada medção, a certeza se tora aleatóra. Etretato, deve sempre fcar claro o caráter relatvo da dstção etre certeza aleatóra e certeza sstemátca..5.. pos de Icerteza Icerteza é um coceto qualtatvo defdo como parâmetro assocado ao resultado de uma medção que caracterza a dspersão de valores que pode ser fudametadamete atrbuídos ao mesurado. Como pode ser vsto, erro e certeza são cocetos bastate dferetes. Exstem dos tpos báscos de certeza, a certeza do tpo A e do tpo B. Icerteza tpo A A certeza tpo A é a certeza erete a qualquer expermeto, ão cotrolável, mas que pode ser mmzada. Pode ser avalada a partr da aálse de uma sére de observações, realzada coforme os métodos da estatístca clássca. A certeza padrão (μ A ) pode ser detfcada com o desvo padrão expermetal que é uma estmatva ão-tedecosa da medção. o caso mas smples, a medção é repetda vezes obtedo-se os resultados y, y,..., y. A melhor estmatva para o valor do mesurado é a méda: y = y = A estmatva ão-tedecosa para a certeza tpo A é: µ A = = ( y y ) Icerteza tpo B A certeza tpo B é a certeza avalada por quasquer outros métodos, que ão os métodos estatístcos clásscos. Em geral, para estmar a certeza tpo B, os métodos empregados correspodem á estatístca bayesaa. 3

4 Avalação da certeza tpo B A certeza padrão tpo B também deve ser dada a forma de desvo padrão. Etretato, ão exste a estatístca covecoal para fazer sto, smplesmete porque ão exstem váras observações: Se uma quatdade de etrada X ão é determada por meo de observações repetdas, a certeza tpo B é avalada pelo ulgameto cetífco baseado em toda formação dspoível sobre a varabldade da quatdade de etrada. O couto de formações pode clur dados de experêcas prévas, experêca ou cohecmeto geral do comportameto e propredades dos materas e strumetos relevates, especfcações de fabrcates, dados forecdos em certfcados de calbração e outros certfcados e certezas atrbuídas a dados de referêca obtdos em mauas. Um dos problemas é que a avalação da certeza tpo B é bastate subetva, pos depede, em grade parte, o grau de cohecmeto do avalador sobre o mesurado e a medção. O procedmeto para determação da certeza tpo B cosste em admtr, para os valores possíves de X, uma dstrbução de probabldades que estea de acordo com todo cohecmeto e formação dspoíves sobre a varabldade desta quatdade. O termo varabldade se refere a valores possíves de X, que tem valor úco. A avalação de certeza tpo B correspode ao prcípo cal da estatístca bayesaa, que cosste em admtr uma dstrbução de probabldades a pror para a varável aleatóra. A segur, são dscutdos algus exemplos. etre Dstrbução retagular Como exemplo, uma quatdade de etrada Y está um tervalo Y a Y Y + a, sedo que sto é tudo o que se sabe sobre a varabldade de Y. A úca alteratva acetável é admtr que Y pode estar em qualquer poto do tervalo com gual probabldade. Assm, a melhor estmatva para Y é a méda padrão: ( Y + a) + ( Y a) Y = = Y E a certeza padrão é o desvo padrão da dstrbução retagular: ( + ) ( ) Y a Y a a a = = = 58% da área a partr do valor médo 3 3 Por exemplo: ao fazer uma medda com uma régua de um corpo que tem aproxmadamete 5 mm, o valor pode estar etre 4 e 6 (um traço a dreta ou a esquerda de 5 mm). O tervalo é 5 < Y < 5 +, o valor da medda será 5 (valor médo) e a certeza é 4

5 meddas. = 0,58 (ou 0,58 m) 3 Portato cosdera-se o valor meddo Y = 5, 0 0(0,5 8). Esta certeza estará presete em todas as Dstrbução de Laplace-Gauss (ormal) A dstrbução de Laplace-Gauss, também chamada de gaussaa ou ormal, é bastate usada para represetar a dspersão de valores possíves de uma quatdade. Dferete da dstrbução retagular, os lmtes do tervalo tedem a fto, com a probabldade tededo a zero. Portato, devemos tegrar a fução de probabldade F(k) de x-k até x+k, ode k é a quatdade de desvos padrões a partr do valor médo. a fgura, para o tervalo (x-, x+), sto é k = correspoderá a 95,44% de certeza que a próxma medda está este tervalo, este caso se k = a, a certeza é: a a = =, para uma probabldade de 95% k Este é a abordagem clássca de que a certeza etre duas escalas cosecutvas (como a régua mlmetrada) é gual à metade da escala. Depededo do strumeto, sto ão é verdade. Os strumetos dgtas podem apresetar uma certeza maor, pos além da escala, os equpametos tem o auste de zero e este auste também é uma fote de certeza. Para fs ddátcos, adotaremos essa abordagem de que a certeza é metade da meor escala (95%, de acordo com a dstrbução ormal)..5.. Icertezas combadas será: a maora das vezes um mesurado possurá certezas do tpo A e do tpo B combadas. A certeza X = X + X A B ote que as certezas são sempre em módulo e somadas. ão exste subtração de certezas!!! Quado se faz uma úca medção, X A = 0. 5

6 Por exemplo, se forem fetas medções com uma régua mlmetrada, o resultado será Y = Y ± ( + ) = Y ± ( + 0,5), ode A é a certeza do tpo A (estatístca) e 0,5 a certeza da régua (0,5 A A mm) Icerteza relatva (Xr) e Icerteza percetual (X%) São úmeros puros, admesoas, que caracterzam a exatdão do mesurado: X X X r = X % = 00 = 00 X X X r v 0,5 Exemplo: v = 4,3 ± 0,5 m / s vr = = = 0, e v% = % v 4,3 Em geral, depededo da dfculdade de medção, as certezas acetáves do poto de vsta cetífcos são aquelas abaxo de %..6. Acuráca ou exatdão ( accuracy ) A acuráca (ou exatdão) dca a qualdade do resultado da medção o que se refere á certeza fal, sto é, quado á se sabe o resultado obtdo e qual a certeza deste resultado..7. Precsão ( precso) A precsão é uma dcação parcal da qualdade da medção, que se refere apeas a flutuações aleatóras. Além de boa precsão, é ecessáro que os efetos sstemátcos (certezas costates em todas as medções) seam pequeos para se ter boa acuráca. A palavra precsão (precso) é uversalmete aceta com este sgfcado. Por sso, embora exsta cotrovérsa etre os termos acuráca e exatdão, é admssível traduzr accuracy como precsão ou usar esta palavra para dcar a qualdade da certeza fal de um resultado, o que felzmete tem ocorrdo com freqüêca em mauas téccos e até mesmo em textos cetífcos. Um exemplo é um atrador usado um rfle em dsparos em um alvo. o prmero alvo temos baxa exatdão e baxa precsão, sto é, o rfle é rum e há muta dspersão dos tros. a seguda fgura o rfle é excelete porém as codções de tro e do atrador ão são boas. o caso 3, o rfle ão é muto bom, porém o atrador compesa o tro. o últmo, o atrador é bom e o rfle também. O mesmo ocorre com um strumeto. Se utlzarmos um 6

7 paquímetro (alta precsão) para medr um bloco rregular, o valor do volume terá baxa exatdão devdo ustamete a rregulardade do bloco. Se utlzarmos uma régua para medr um cubo perfeto, teremos baxa precsão do strumeto, porém exatdão o valor do volume. Agora, utlzado um paquímetro para medr este cubo teremos alta precsão e excelete exatdão a medda do volume..7.. Lmte de operação (LO) e lmte de quatzação (LQ) Além da certeza do strumeto de medção, temos ada dos outros lmtes para o strumeto: Lmte de Quatzação (LQ) = é a meor quatdade que pode ser detectada. Lmte de Operação (LO) são os valores máxmos e mímos que o equpameto cosegue medr detro de um tervalo lear. Por exemplo, a balaça do laboratóro tem as segutes especfcações: P máxmo : 400 g P mímo : 0,5 g d: 0,00 g e: 0, g Isto é, o lmte de uso ou operação (LO) da balaça é para massas etre 0,5 e 400 g. O lmte de detecção é de 0, g, que este caso cocde com a certeza (e) da medção, embora a balaça possua 3 dígtos (d: 0,00 g) após a vírgula e capaz de forecer 0,00 g o vsor..7.. Medção de gradezas Medr é comparar com uma udade padrão. Desta forma ao represetar uma gradeza escalar ou vetoral ecesstamos especfcar:. um símbolo ou ome para a gradeza. um úmero (ou módulo) que especfca a quatdade em termos do padrão; 3. dreção e setdo, quado se tratar de uma gradeza vetoral. 4. uma udade padrão; Por exemplo, ao se medr a velocdade de um obeto v = 0ι( ˆ m / s), devemos ter um ome ou símbolo (velocdade ou v ), um úmero (0), uma udade (m/s) e dreção e setdo ( ˆ +ι ). 7

8 O valor umérco em uma medda expermetal será sempre um valor aproxmado, pos é evtável a ocorrêca de certezas, seam aleatóras, devdo ao expermetador, ao strumeto utlzado ou de gradezas que ão podem ser efcetemete cotroladas durate o expermeto. Por exemplo: ao medr a velocdade precsamos medr o tempo, com um croômetro acoado por um observador, para percorrer uma dstâca medda com um metro, trea ou régua. eremos mprecsão o acoameto do croômetro, a medda da dstâca, o strumeto utlzado, e em outras gradezas que ão podem ser dretamete avaladas como a ação das forças de atrto, resstêca do ar, etc. Portato, além da apresetação do valor e padrões, devemos especfcar a cofabldade ou precsão da medda. A apresetação da certeza ão sgfca ecessaramete que o expermetador ão fo cudadoso, mas que a strumetação tem uma precsão tríseca assocada e é uma garata ou margem de seguraça que deve ser respetada ao se utlzar este úmero. Portato, deve-se apresetar o valor da gradeza medda a forma: v = ( 0, 0 ± 0,03) ˆι m / s (valor ± certeza) dreção udade v = (00 ± 3)x0 ˆι m / s v = 0, 0(0, 03)ι ˆ m / s v = 0, 0(3)ι ˆ m / s formato mas compacto, padrão da dscpla odas estas formas são adequadas e a escolha depede das ormas do edtor ou ormas padrão (AB) pos de medção Medda dreta: aquela obtda dretamete do vsor do equpameto ou observação da escala. Ex.: comprmeto, tempo, massa, temperatura. Medda dreta: aquela obtda através de cálculos matemátcos a partr de outras gradezas. Ex.: velocdade (tempo e dstâca), volume (comprmeto, altura, largura), desdade (massa e volume), etc..8. Algarsmos sgfcatvos São cosderados algarsmos sgfcatvos de uma medção todos aqueles que dvdualmete tem algum sgfcado. ão exste uma regra geral para o úmero de úmeros sgfcatvos, mas, em geral adota se algarsmos sgfcatvos, va de regra. a) X = 3, 456 X =,345 X = 3,5 ±,4 ou X = 3,5 (,4) b) X = 0, 48 X = 0,3 X = 0, 48 ± 0, 3 ou X = 0, 48( 3) ( ) c) X = 03,45 X = 67, X =, 0 ± 0, 7 0 ou X =, 0( 3)

9 ote que o úmero prcpal acompaha a mesma estrutura da certeza, sto é, o tem a, a certeza tem uma casa decmal e úmeros sgfcatvos, logo o valor de X possurá casa decmal, como a certeza. Quato ao arredodameto, deve se observar as segutes regras: A certeza (ΔX) deve ser arredodada para cma O valor médo (X) deve ser arredodado para o úmero mas próxmo. Exste uma dscussão sobre a valdade destas regras, porém em ível ddátco atedem as expectatvas..9. Propagação de certezas Ao realzar uma medda dreta, devemos levar em cota a certeza de cada gradeza medda. Esta certeza rá se propagar em todos os cálculos matemátcos. Se uma gradeza dreta Q depeder de váras varáves meddas a ± a, b ± b, c ± c,..., com suas respectvas certezas, podemos escrever: Q = f ( a ± a, b ± b, c ± c,...) Por exemplo, a área de um retâgulo de lados a = a ± a e b = b ± b é A = ab, qual a certeza A assocada a medda da área?? Para calcular, cosderemos que a certeza Q assocada à gradeza Q pode ser calculado a partr do cálculo dferecal, sto é, calculado-se a dervada parcal de Q em relação a cada uma das varáves. Q Q Q dq = da + db + dc +... a b c Q Q Q Ode,,,... são as dervadas parcas de Q em relação a cada uma das varáves. a b c Se as certezas forem sufcetemete pequeas, podemos substtur a dervada de cada varável pelas respectvas certezas, sto é, dq Q, da a, db b, dc c,... E como as certezas sempre se somam, tomamos o módulo de cada termo Q Q Q Q = a + b + c +... a b c Por exemplo: 9

10 Área A = ab A A A A da = da + db A = a + b a b a b Fazedo a dervada da área em relação a a e b : A A = b e = a A = b a + ab a b Portato: A = ab ± b a + ab [ ] A certeza relatva da área é: A a b Arel = = + A a b Se a gradeza Q depeder de váras varáves a forma: m k Q( a, b, c,...) = Aa b c... Q a b c a b c = m + + k +... ou Q = m k... Q Q a b c a b c Exemplo: calcule o volume de uma esfera de rao R = 34,5 ± 0, O volume da esfera é V = π R = 5475,5π V = AR V = V R 0, V = 3 V = ,5π = 95,5π V = 9, 6π 0 R 34,5 ( ) V = 547, 9,6 π 0 R R. ratameto estatístco e cálculo dos desvos Em um expermeto, do poto de vsta estatístco, todas as meddas tem a mesma mportâca. O tratameto estatístco mas comum é a determação da méda artmétca dos dados. Se meddas são fetas, etão o valor médo de uma gradeza X é: X X = = Ex.: X = ( ) = 4, para 3 valores de x (5,3 e 4) 3 O desvo estatístco (certeza) assocado a cada medda é: X = X X ( est) o exemplo acma: X ( ) = X X { } est ; ; 0 para os valores 5, 3 e 4 0

11 O desvo médo absoluto é: X = X = X X ( ) est est = = Ex.: para o exemplo ateror, X = , = 3 A certeza é obtda a partr do desvo padrão X A = X X ( ) = para o exemplo ateror, X A = ( 5 4) + ( 3 4) + ( 4 4) 3 ote que o valor é meor que o desvo médo absoluto. Portato a gradeza X podera ser represetada como X = 4± ou X = 4().. Peso ou méda poderada Em algumas stuações, o valor da certeza assocado a medções dvduas é dferete para cada medda, por exemplo, meddas fetas com equpametos dferetes ou expermetadores. este caso utlzamos a méda poderada com a qual podemos atrbur um grau de mportâca a cada medda. A méda poderada e o desvo absoluto de uma gradeza X serão calculados pelas expressões: p X p X + p X p X X = = e X = ode, p = p + p + + p p X =... p = = X ( X ) = ou X = e X = ( X ) ( X ) = = ( ) X = X ± X ote que o peso p é versamete proporcoal ao desvo ao quadrado de cada medda, sto é, quato mas precsa a medda, maor o peso. Ex.: supoha que o comprmeto de um láps teha sdo obtdo por uma régua mlmetrada e por uma trea cetmetrada. A certeza da régua é 0,5 mm equato que a medção com trea é de 0,5 cm = 5 mm. Os dos valores meddos, portato, são: Régua c = 50,5 ± 0,5 e rea c = 50 ± 5 mm (ou 5,0 ± 0,5 cm).

12 Portato, a méda poderada é: p = = 4 p = = 0,04 rea ( 0,5) ( 5) R égua prégua X Régua + prea X rea 4.50,5 + 0,04.50 X = = 50, 495 p + p 4 + 0,04 Régua rea A certeza da medção é : X = = 0, 498 p + p 4 + 0,04 Régua rea Como X r 0, 0033 < 0, 0 etão : X = 50,50 ± 0,50.. Comparação etre duas medções ou valores Quado queremos comparar um resultado expermetal X com um valor da lteratura L (valor verdadero), devemos calcular o desvo relatvo ou percetual, sto é: D r X L X L = D% = 00 L L X L A cocordâca etre os dos valores é dado por: C = 00 D% = 00 L.3. Método Cetífco (Galleu??) O Método Cetífco, para um sstema com varáves, cosste em fxar (-) varáves e determar o comportameto das duas varáves restates. Por exemplo, se uma gradeza dreta a ser determada F depeder explctamete de x, y e z, a forma: L M K F( x, y, z) = Ax y z A = Cte Podemos fxar as varáves y e z e determar F em fução de X. Faz-se o mesmo para as demas varáves. Para learzar os dados e determar o valor da potêca, podemos calcular o l da fução e obter uma equação de reta. L M K F = Bx B = Ay z = Cte l F = l B + L l x y = ax + b ode y = l F, a = L, b = l B E assm obter, a partr do gráfco da reta y = ax + b, os valores das potêcas de cada varável.

13 3. Gráfcos A melhor maera de vsualzar o comportameto de uma gradeza e se obter o seu valor é através da costrução de uma gráfco. uma fgura mostra mas do que palavras Para se costrur um gráfco devemos prmero verfcar o tpo de gráfco que melhor represeta uma medda. Em geral, um gráfco de lhas é utlzado, mas podemos utlzar coluas, pzza, etc. Além dsso, devemos destacar sempre as meddas e ão a fgura como um todo. Por exemplo: velocdade (m/s). 0.9 Sére tempo (s) Velocdade (m/s) Velocdade do Carrho x empo empo (s) A fgura da dreta evdeca a curva. O gráfco é lmpo, sem efetes e sem chamar ateção para detalhes rrelevates. O gráfco da esquerda, por outro lado, abusa de cores, peca por usar legeda muto destacada, lhas de grade que escodem a curva e as escalas do gráfco (valores umércos) são apresetados em excesso. 3.. Regras para costrução de um gráfco Prmeramete devemos escolher os exos: ormalmete colocamos a varável o exo horzotal (abscssas) e a gradeza medda o exo vertcal (ordeada), como mostrado a fgura acma. A escala do gráfco deve ser escolhda de forma que os valores colocados em cada exo teham poucos algarsmos e seam, sempre que possível, arredodados. Por exemplo: dada a tabela abaxo, empo (s) Velocdade (m/s) 0,34,54 0,3 3 30,3 4 56,7 5 0,3 6 -, 7-0,54 3

14 O tempo (varável) será colocado o exo das abscssas. Devemos colocar 4 ou 5 valores as escalas do gráfco. Se dvdrmos 7 por 4 ou 5 ão coseguremos úmeros redodos, logo procuramos um úmero maor que 7 que possa ser dvddo por 4 ou 5. este caso, o úmero 8 é o deal e dvddo por 4 é gual a. Já o valor da velocdade vara de -0 a 56,7, sto é, uma varação de 66,7. arredodar para 80, sto é, -0 a 70. O gráfco etão é: este caso devemos o gráfco acma temos duas costates mportates:. Degrau: a dfereça etre dos valores cosecutvos a escala. O degrau da escala y é 0 e da escala x é Passo: a dstâca em escala de comprmeto. O passo as duas escalas é de,5 cm. Os dados expermetas devem ser colocados o gráfco com as marcas, ou outros tpos de marcas. O tamaho da marca pode especfcar a certeza assocada àquela medda, como o gráfco abaxo. 5 Velocdade x empo 0 Velocdade (m/s) empo (s) 4

15 A barra colocada sobre o poto expermetal dca a certeza cometda a medção. ote que a certeza aumeta, este caso, com o aumeto da velocdade. O últmo poto possu valor de velocdade gual a m/s, mas a certeza assocada é de aproxmadamete 5 m/s, sto é, v = ± 5 m/s. o gráfco abaxo é mostrado um outro tpo de escala. A escala logarítmca. Ambos os exo apresetam a escalas em múltplos de Quado a somete uma escala é logarítmca, dzemos que o gráfco é moo-log, mas se ambas forem logarítmcas, o gráfco é chamado de d-log. Este tpo de gráfco é útl para demostrar uma gradeza que cresce expoecalmete. O equvalete do gráfco acma em escala lear é: ote que o uso da escala logarítmca torou a lha de dados uma reta. A colocação do valores se faz utlzado a segute dstrbução. O valor x =,3 e y = 7 é mostrado através da bolha preta. ote que a escala logarítmca ão começa em zero!! Porquê? 5

16 odos os dados que cuo gráfco é uma reta, podemos assocar uma equação de reta a forma y = ax + b, ode a é o coefcete agular da reta e b o coefcete lear. O coefcete lear é obtdo fazedo x = 0 o gráfco (e a equação) e aotado-se o valor de y = b. Já o coefcete agular é obtdo pegado-se a tagete do trâgulo formado etre a abscssa e dos potos o gráfco. oda fução que possua varáves com expoete dferete de zero, podem ser covertdos em uma reta tomado-se o logartmo da fução. Por exemplo: Q = Cz y = l Q = l z + l C = ax + b sto é x = l z, a =, b = l C Desta forma, podemos calcular o valor de colocado os dados em um gráfco d-log, a partr da reta obtda. 3.. Crtéros para traçar a reta mas provável Exstem dos métodos prcpas, o Vsual e o Método dos Mímos Quadrados.. Vsual: traçamos uma reta que mas se aproxme dos dados expermetas. este método, podemos observar se um poto está muto fora do comportameto dos demas e podemos descosderá-lo ao traçar a reta. 6

17 4. Método dos Mímos Quadrados (MMQ) a fgura abaxo, temos duas curvas, uma represetada por potos (bolhas) e outra por uma lha cotíua. As bolhas são os dados expermetas e a lha é o auste de uma curva aos dados expermetas. Yexpermetal, Yauste 8 7,5 7 6,5 6 Chamamos o dado expermetal de Y, ode = até, o úmero de potos ou de medções. A curva austada é uma fução da varável medda, sto é, Y Y ( x) =. Mas como obter essa fução a partr dos dados expermetas? Para determar a curva, prmeramete defmos o tpo de curva. o exemplo da fgura, é uma reta a forma Y ( x) = ax + b. Como temos x e y, as coordeadas de cada poto, temos que calcular os coefcetes a (coefcete agular) e b (coefcete lear). Para obter os coefcetes, utlzamos o Método dos Mímos Quadrados (MMQ). Este método cosste em fazer o quadrado da dfereça etre o valor expermetal e o valor obtdo pela curva austada mímo. Portato a determação dos coefcetes da curva deve ser tal que o quadrado da dfereça, ou a certeza sea míma. Portato, somado todos os quadrados das certezas = Y = dado expermetal Y Y ( x ) sea mímo Y ( x ) = valor calculado pela fução austada Para calcular o valor de máxmo ou mímo devemos dervar esta expressão e gualar a zero. ( ) Y Y x = 0, ode a é o coefcete a ser calculado. a = Portato, ao dervar em relação à varável a e gualar a zero, ecotramos o valor de a para que a dfereça das certezas ao quadrado sea míma ou a fução que mas se aproxma aos dados expermetas. Para smplfcar, vamos cosderar o caso mas smples ou uma reta. este caso Y ( x ) = ax + b. Logo, temos dos valores a serem determados, a e b. Portato: Dados Expermetas Curva Austada 5, ( ) ( ) y y x = y ax + b = = X Esta equação possu duas varáves, logo temos duas dervadas: 7

18 a y ( ax + b) = 0 e y ( ax + b) = 0 = b = Quado dervamos em relação a a, b é uma costate, e em relação a b, a é uma costate. d d formulas: para f ( x) f = f f dx dx d d e ( ax) = a x = a dx dx em relação a a a = ( ) y ax + b = 0 y ( ax + b) = y ( ax + b) y ( ax + b) = 0 = a = a ( ) ( ) ( ) y ax + b x = x y + x ax + b = 0 = = = + = = = = a x b x x y em relação a b b = ( ) y ax + b = 0 () = b = b = y a x b = 0, mas = = = = = y ( ax + b) = y ( ax + b) y ( ax + b) = y ( ax + b) = 0 a x + b = y = = () De () e de () solamos a e b x y x y x y x y x a = = = = = = = = = e b x x x x = = = = a = e b = x y x y x y x y x = = = = = = = = = = x x 8

19 Através de tratametos estatístcos, podemos obter as cetezas. O desvo padrão de cada coefcete pode ser escrto como: ( y y) =, mas ( ) desvo padrão, a b a = y e b = y y = y = = = y y = = a b e, portato a = ( a), b = ( b) ou ( a) = e ( b) = y y Somado os desvos de todos os potos temos: a ( a) = e ( b) = y b y Como = x x ão depede explctamete de y, etão é uma costate e: = = a b y y y y Porém y = 0 para e y =, y y = x y x y e = x y x y x = = = = = = = Etão x y = x pos para as demas dervadas são ulas, e portato: y a b = x x = x x x y ( a) = = e, e: = y = = x x e ( b) = x, x x = = = = = sabedo que x = x, () = e x x = = = = = = ( a) = x x x + x = = = ( a) = x x ( ) x x b x x x x + = + x = = = = = = = = = ( a) = x x = = ( a) = a = ( b) = x x x = = = x ( b) = x x x = = = ( b) = x = b = x = a = 9

20 ( y y) a b a = y e b = y y = y = = = y y =, mas ( ) desvo padrão, = = a b e, portato a = ( a), b = ( b) ou ( a) = e ( b) = y y Somado os desvos de todos os potos temos: a ( a) = e ( b) = y b y Como = x x ão depede explctamete de y, etão é uma costate e: = = a b y y y y Porém y = 0 para e y =, y y Etão x y = x pos para as demas dervadas são ulas, e portato: y a b = x x = x x x y ( a) = e, e: = y = = = x y x y e = x y x y x = = = = = = = = x x e ( b) = x, x x = = = = = sabedo que x = x, () = e x x = = = = = = ( a) = x x x + x ( b) = x = = = x = = = ( a) = x x x + x = = = = ( a) = x x = = ( a) = a = ( b) = x x x x + x x = = = = = ( b) = x x x = = = ( b) = x = b = x a x = = = x Se a equação de reta passar obrgatoramete pelo zero (orgem), sto é, b=0, etão podemos smplfcar para: 0

21 x y ( ax y ) = = e a x ( ) x = = a = = 4.. Qualdade do auste A qualdade do auste é obtda pelo coefcete de determação R : ( ax + b y ) = ( y y ) = R =, ode y é o valor médo y = y = ote que o cálculo é feto em toro do valor médo, o umerador em fução da equação calculada (ax +b) e o deomador em fução dos dados expermetas y. Sabedo que: ( ) = ( ) + ( + ) y y y ax b a x b y e = = = y y = y y y + y = y y y + y ( ) = = = = = = A equação para R pode ser escrta: R = = ( y ax b) y y = = O auste deal ocorre quado R =. Um bom auste R > 0,9 etre F e x? Por exemplo, fo feta a medda da força F para estcar uma mola de uma quatdade x. Qual a relação medda x (m) F () x F x ,0 0, 0,00 0, ,04 0,9 0,0076 0, ,06 0,3 0,09 0, ,08 0,38 0,0304 0, , 0,0594 0,0 =

22 Supodo que a relação é uma equação de reta, a fução é: F( x ) = ax com b = 0. ote que este caso a reta passa obrgatoramete pelo zero, etão: xf = 0,0594 a = = = 4,95 0,0 x = Portato, F( x) = 4,95x Comparado com a equação de restauração da mola F( x) elástca k=4,95. = kx, verfcamos que a mola possu uma costate O cálculo pode ser geeralzado para qualquer polômo, utlzado o cálculo matrcal, sto é: ( ) X X C = ode: X Y C é a matrz de coefcetes da equação a serem determados; X é a matrz da varável e potecas da var ável e X a matraz trasposta de X; Y é a matrz de valores da varável depedete. 0 0 Por exemplo, o caso do auste de uma reta a forma y = ax + b etão, y = ax + bx x = x x x y 0 0 a x x x y C =, X = = e Y = b 0 x x x y Desta forma, para determar C X Y C = = X Y( X X), ode ( X X) é a matrz versa de X X X X Por exemplo, se cosderarmos os dados da tabela ateror, temos: 0 0 0,0 0, a 0,04 C =, X = e 0,9 b Y = 0,06 0,3 0,08 0,38 0 x x

23 A matrz trasposta de X é a troca de lha por colua : X 0 0,0 0,04 0,06 0,08 = O produto X X é 0 0,0 0 0,0 0,04 0,06 0,08 0,0 0, X X = 0,04 = 0, 5 0,06 0,08 A matrz versa de X X é : ( X X) 50 0 = 0 0,6 O produto X Y é: 0 0, 0 0, 0 0, 04 0, 06 0, 08 0, , , , , 0594 X Y = 0,9 = 0,3 0,38 logo, a matrz dos coefcetes C é a , , , , , ,85 C = = ( X X) X Y = = b 0 0, 6 0, 006 ou y = 4,85x + 0, 006 3

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