CAPÍTULO 1 PROBABILIDADE

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3 CAPÍTULO PROBABILIDADE. Coceto O coceto de probabldade está sempre presete em osso da a da: qual é a probabldade de que o meu tme seja campeão? Qual é a probabldade de que eu passe aquela dscpla? Qual é a probabldade de que eu gahe a lotera? Probabldade é uma espéce de medda assocada a um eveto. No caso específco da prmera perguta do parágrafo ateror o eveto em questão é meu tme será campeão. Se este eveto é mpossível de ocorrer, dzemos que a sua probabldade é zero. Se, etretato, ele ocorrerá com certeza, a sua probabldade é gual a um (ou cem por ceto). Chamado este eveto smplesmete de A, etão dzemos que: Se A é mpossível de ocorrer, etão P(A) =. Se A ocorre com certeza, etão P(A) =. Ode a expressão P(A) é lda como probabldade de A ocorrer, ou smplesmete probabldade de A. como: A probabldade de um eveto A qualquer pode ser defda, de uma maera smplfcada P(A) = úmero de vezes em que A ocorre úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem Esta defção desse ser vsta com ressalvas: ão se trata do úmero de vezes que de fato ocorreram em um expermeto, mas sua proporção teórca. Assm, se jogássemos uma moeda comum três vezes e as três ela desse cara, sto ão sgfca que a probabldade de dar cara é gual a, o que os levara a coclur que com certeza esta moeda dará cara sempre, o que é um absurdo. O cojuto de todos os evetos possíves deste expermeto (cojuto este que chamamos de espaço amostral) é composto de dos possíves resultados: cara ou coroa. Cosderado que estes dos evetos têm a mesma chace de ocorrer (o que vale dzer que a moeda ão está vcada), teremos: P( cara ) = úmero de vezes em que ocorre"cara" úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem = =,5 Todos os evetos, este caso, são dos: cara ou coroa. Destes dos, um deles é o eveto em questão ( cara ). Portato a probabldade de dar cara é gual a,5 (ou 5%). E, de maera dêtca, temos para o eveto coroa : P( coroa ) = úmero de vezes em que ocorre"coroa" úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem = =,5 No apêdce.b deste capítulo é dada uma defção formal de probabldade.

4 Repare que a soma das duas probabldades é gual a. E tha que ser mesmo. A soma das probabldades (este caso específco) represeta a probabldade do eveto dar cara ou coroa, ou geeralzado ocorrer qualquer eveto possível, que é algo que ocorrerá com certeza. Se mudarmos o jogo, de cara ou coroa para dados, se jogarmos o dado uma úca vez, temos ses possbldades, que correspodem aos úmeros teros de a 6. A probabldade de car um úmero qualquer (dgamos, o 3) será dada por: P( car 3 ) = úmero de vezes em que ocorre"3" = úmero de vezes em que todos os evetos ocorrem 6 Uma outra maera de ecotrarmos estas probabldades sera se fzéssemos um expermeto (por exemplo, jogar a moeda) um úmero muto grade de vezes (a verdade, deveram ser ftas vezes) e ecotrássemos a proporção etre caras e coroas. Este expermeto fo feto e os resultados são mostrados a tabela abaxo: o de jogadas o de caras o de coroas proporção de caras proporção de coroas 6 4,6, ,47, ,59, ,4957, ,4994,56 O expermeto evdeca que, à medda que o úmero de jogadas aumeta, a proporção de caras e de coroas se aproxma do valor,5. Chamado de o úmero de vezes que o expermeto é feto, uma maera de defr probabldade é: P(A) = lm úmero de vezes em que A ocorre Que é chamada de defção de probabldade pela freqüêca relatva ou ada, defção freqüetsta de probabldade. Exemplo.. Qual a probabldade de, jogado um úco cartão, acertar a sea (ses dezeas em um total de 6)? O acerto exato das ses dezeas é uma úca possbldade etre todas as combações possíves (combações mesmo 3, já que a ordem em que os úmeros são sorteados ão é relevate): P( gahar a sea ) = = C 6,6 = 6! 54! 6!, Na verdade a moeda ão fo realmete jogada 5 vezes, mas os resultados foram obtdos através de uma smulação por computador. 3 Para uma revsão de aálse combatóra veja o apêdce.a.

5 Portato, a probabldade de acertar a sea com apeas um cartão é de uma para cada ou aproxmadamete,%. Exemplo.. Sedo o cojuto X defdo por X = {x ú < x < }, qual a probabldade de, ao sortearmos um úmero qualquer deste cojuto este úmero perteça ao tervalo [,5;,5]? E qual a probabldade deste úmero ser exatamete gual a? O cojuto X é um cojuto cotíuo, já que cotém todos os úmeros reas que sejam maores do que e meores do que. Tem, por exemplo, o úmero ; o úmero,5; o úmero,4; mas também tem o,45; o,475; o,46. Dados dos elemetos deste cojuto, sempre é possível ecotrar um úmero que esteja etre estes dos. Não há saltos ou buracos, daí a déa de cotudade. Ao cotráro do dado em que os valores possíves são,, 3, 4, 5 e 6 (ão exste,5 ou,), que é um cojuto dscreto 4. Neste caso, a probabldade de sortearmos qualquer úmero etre,5 e,5 (clusve), que é um tervalo de comprmeto gual a (=,5,5), de um tervalo possível que tem comprmeto gual a (= ) será dada por: P(,5 x,5) = 3 E a probabldade de ser exatamete? Ou seja, de sortear um úco úmero etre um total de úmeros presete o cojuto X de... ftos! A probabldade será dada, etão por: P(x = ) = lm = Portato, embora seja possível de ocorrer, a probabldade de ser gual a (ou gual a qualquer úmero) é gual a zero, se estvermos falado de um cojuto cotíuo. A probabldade só será dferete de zero se estvermos falado de um tervalo cotdo este cojuto. Como coseqüêca dsso, ão fará dfereça se o tervalo para o qual ecotramos calmete a probabldade (etre,5 e,5) fosse fechado ou aberto (sto é, cluísse ou ão os extremos), pos a probabldade de ser exatamete,5 ou,5 é zero. Portato, como X é um cojuto cotíuo: P(,5 x,5) = P(,5 < x <,5) =. Probabldade subjetva Nos casos exemplfcados acma, assumdo que os dados e as moedas utlzadas ão sejam vcados, as probabldades calculadas são exatas. Nem sempre sto é possível. Image o eveto meu tme será campeão. Não é possível repetr este expermeto (o campeoato) um úmero muto grade de vezes. Na verdade, este campeoato, com estes tmes, com os mesmos jogadores as mesmas codções só é jogado uma úca vez. Etretato, é possível atrbur um valor que represete as chaces do tme gahar o campeoato mas, evdetemete, este 4 Não há ecessdade de que um cojuto dscreto seja composto apeas por úmeros teros, etretato. Uma prova com questões de múltpla escolha, cada uma delas valedo meo poto terá otas varado este tervalo, sto é, poderá haver ota 7, ou 7,5, mas uca 7, ou 7,3. É um cojuto dscreto, portato.

6 valor será dferete para cada pessoa que opar a respeto: um torcedor faátco tederá atrbur um valor maor do que um aalsta fro e mparcal (se é que sto exste). Qualquer que seja este valor, etretato, deve segur as mesmas regras que a probabldade objetva, sto é, tem que estar etre e, sedo correspodedo à mpossbldade e à certeza de que o tme será campeão. E assm vale para uma sére de stuações: a probabldade de que o govero mude a polítca ecoômca (é certamete maor em períodos de crse); a probabldade de chover ou ão (é maor ou meor quado a prevsão do tempo afrma que va chover?); a probabldade de ser assaltado quado se passa por determada rua, etc. Exemplo.. Qual a probabldade de se acertar os treze potos a lotera esportva? Aí é mas complcado porque depede da avalação subjetva que se faz dos tmes em cada um dos jogos. É de se magar que um teste da lotera esportva em que predomem jogos equlbrados será mas dfícl de acertar e tederá a ter meos acertadores do que um teste que teha mas barbadas. Por exemplo, Flamego x Olara (um jogo teorcamete fácl): P(Flamego) = 7% P(empate) = % P(Olara) = % Já Corthas x São Paulo (jogo equlbrado): P(Corthas) = 3% P(empate) = 4% P(São Paulo) = 3% Todos estes úmeros, evdetemete, sujetos à dscussão. Esta avalação tera que ser feta jogo a jogo para se computar a probabldade de gahar a lotera esportva..3 Probabldade do e e do ou No íco do capítulo chamamos de espaço amostral o cojuto de todos os evetos possíves. O uso do termo cojuto, ão fo por acaso. De fato, há uma assocação muto grade etre a teora dos cojutos (e a sua lguagem) e a de probabldade. Chamado de S o espaço amostral (que equvale a todos os evetos, portato P(S)=) e sedo A um eveto deste espaço amostral (sto é, A é um subcojuto de S), uma represetação gráfca da probabldade de A é mostrada a fgura abaxo: 4

7 5 Em que a regão em que o cojuto A está represetado represeta a sua probabldade em relação ao espaço amostral S. Esta represetação gráfca de probabldade é cohecda como Dagrama de Ve. Um caso partcular mportate é um eveto que ão está em S (mpossível de ocorrer), como o dado car o úmero 7 ou a moeda ão dar em cara, em coroa, represetado pelo cojuto vazo ( ), em que, evdetemete 5 P( ) =. Pelo dagrama de Ve podemos verfcar uma relação mportate: a probabldade de ão- A, ou seja, o complemetar de A, represetado 6 por A. O cojuto A é represetado por todos os potos que pertecem a S, mas ão pertecem a A, o que o Dagrama de Ve abaxo é represetado pela regão sombreada: A probabldade de A será dada etão por: P(A ) = P(S) P(A) Mas como P(S) =, etão: P( A ) = P(A) Ou: 5 A recíproca ão é verdadera. Pelo exemplo.., vmos que P(A) pode ser gual a zero mesmo que A ão seja um cojuto vazo. No exemplo P(x=) = ão porque x ão pudesse ser gual a, mas por fazer parte de um cojuto cotíuo. 6 Há quem prefra a otação A C.

8 6 P(A) + P( A ) =. Isto é, a soma da probabldade de um eveto com a do seu complemetar é sempre gual a Supohamos agora dos evetos quasquer de S, A e B. A represetação o Dagrama de Ve será: Dados dos evetos poderemos ter a probabldade de ocorrer A e B, sto é, ocorrer A e também B. Por exemplo, jogar dos dados e dar 6 o prmero e o segudo; ser aprovado em Estatístca e em Cálculo. Em lguagem de cojutos, a ocorrêca de um eveto e também outro é represetada pela tersecção dos dos cojutos (A B). No Dagrama de Ve é represetada pela área sombreada abaxo: P(A e B) = P(A B) Há ada a probabldade de ocorrêca de A ou B. Isto equvale a ocorrer A, ou B, ou ambos 7. Em lguagem de cojutos equvale a uão de A e B (A B), represetada abaxo: 7 Não cofudr com o chamado ou exclusvo, em que ocorre A, ocorre B, mas ão ambos.

9 7 P(A ou B) = P(A B) Podemos verfcar que, se somarmos as probabldades de A e B, a regão comum a ambos (a tersecção) será somada duas vezes. Para retrarmos este efeto, basta subtrarmos a tersecção (uma vez). Portato: P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Um caso partcular desta regra é aquele em que A e B jamas ocorrem jutos, são evetos dtos mutuamete exclusvos (ocorrer um mplca em ão ocorrer outro).os cojutos ão terão potos em comum, portato (a tersecção é o cojuto vazo) e A e B etão são dtos dsjutos, como mostrado abaxo: Neste caso, ão há dúvda: P(A ou B) = P(A B) = P(A) + P(B) Portato, a chamada regra do ou pode ser resumda assm: Se A e B são evetos quasquer: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Se A e B são evetos mutuamete exclusvos (dsjutos): P(A B) = P(A) + P(B)

10 8 Exemplo.3. Qual a probabldade de, ao jogar um dado, obter-se um úmero maor que 4? Número maor do que 4 o dado temos o 5 e o 6, portato: P(maor que 4) = P(5 ou 6) Que são evetos dsjutos, já que, se der 5, é mpossível dar 6 e vce-versa. P(5 ou 6) = P(5) + P(6) = = 3 Exemplo.3. (desespero dos pas de gêmeos) Duas craças gêmeas têm o segute comportameto: uma delas (a mas choroa) chora 65% do da; a outra chora 45% do da e ambas choram, ao mesmo tempo, 3% do da. Qual a probabldade (qual o percetual do da) de que pelo meos uma chore? E qual a probabldade de que ehuma chore? A probabldade de que pelo meos uma chore é a probabldade de que a prmera chore ou a seguda chore. Chamado de C o eveto a prmera craça chora e C a seguda craça chora, temos: P (C ou C) = P(C) + P(C) P(C e C) =,65 +,45,3 =,8 Portato, pelo meos uma craça estará chorado 8% do tempo. Nehuma das craças chora é o eveto complemetar: P(ehuma chora) = P(C ou C) =,8 =, Assm sedo, os pas destas craças terão paz em apeas % do tempo..4 Probabldade Codcoal Qual a probabldade de que o Baco Cetral aumete a taxa de juros? Qual a probabldade de que ele aumete a taxa sabedo-se que ocorreu uma crse que pode ter mpacto sobre a flação? Qual a probabldade do seu tme gahar o próxmo jogo? E se já é sabdo que o adversáro jogará desfalcado de seu prcpal jogador? Qual a probabldade de, jogado dos dados em seqüêca, obter-se um total superor a 7? E se, a prmera jogada, já se trou um 6? Você acorda de mahã e o céu está azul e sem uves. Você pega o guarda-chuva ou ão? É claro que, de posse dessa formação, a probabldade estmada para o eveto chover dmu. E assm vale para os três exemplos aterores. O acotecmeto de um eveto afeta a probabldade de ocorrêca do outro. Um casal que tem três flhos homes va para o quarto flho. Qual a probabldade de ser (afal!) uma mea? Ifelzmete para o casal, ão é dferete daquela que sera caso fosse o prmero. Não façamos cofusão: é claro que, para um casal que va ter quatro flhos, a

11 probabldade de serem quatro meas é pequea. Mas se ele já teve três meas, sto ão afeta a probabldade do próxmo flho ser meo ou mea (afal, os pobres espermatozódes ão têm a meor déa do hstórco famlar). A perguta que se faz, seja em um caso ou em outro é: qual a probabldade de um eveto sabedo-se que um outro eveto já ocorreu (ou va ocorrer)? Qual probabldade de A dado que B já é um fato da vda. 9 No Dagrama de Ve acma, B já ocorreu! A probabldade de A ocorrer etão só pode ser aquele pedaço em que A e B têm em comum (a tersecção). Mas a probabldade deve ser calculada ão mas em relação a S, mas em relação a B, já que os potos fora de B sabdamete ão podem acotecer (já que B ocorreu). Portato, a probabldade de A tedo em vsta que B ocorreu (ou ocorrerá), represetada por P(A B) (lê-se probabldade de A dado B), será dada por: P(A B) = P(AeB) P(B) (.4.) A regra do e, já apresetada a seção ateror, gaha uma ova forma: P(A e B) = P(A B) P(B) P(A e B) = P(B A) PA) ou Se o eveto B ão tver qualquer efeto sobre a probabldade do eveto A, etão teremos: P(A B) = P(A) P(B A) = P(B) e E A e B são dtos evetos depedetes (a probabldade codcoal é gual à ão codcoal). Serão evetos depedetes em caso cotráro, sto é: P(A B) P(A) e P(B A) P(B) Etão, se A e B forem evetos depedetes, vale: P(A e B) = P(A) P(B)

12 Não cofuda: o fato de dos evetos serem depedetes ão quer dzer que eles sejam mutuamete exclusvos. Pelo cotráro: se dos evetos (ão vazos) são mutuamete exclusvos (dsjutos) eles são, ecessaramete, depedetes, já que a ocorrêca de um mplca a ão ocorrêca de outro. Resumdo: para dos evetos depedetes temos: P(A e B) = P(A) P(B) P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B) Para dos evetos dsjutos (mutuamete exclusvos): P(A e B) = P(A ou B) = P(A) + P(B) Para dos evetos quasquer: P(A e B) = P(A) P(B A) = P(B) P(A B) P(A ou B) = P(A) + P(B) P(A e B) Exemplo.4. Qual a probabldade de que, jogado dos dados em seqüêca, obtehamos exatamete 7? E se a prmera jogada já obtvemos um 6? Para obtermos um total de 7 temos os segutes resultados possíves: e 6, e 5, 3 e 4, 4 e 3, 5 e, 6 e. O resultado de cada dado é depedete do resultado do outro, de modo que: P( e 6) = P( e 5) = P(3 e 4) = P(4 e 3) = P(5 e ) = P(6 e ) = = A probabldade de que ocorra qualquer um desses resultados, tedo em vsta que eles são mutuamete exclusvos é: P[( e 6) ou ( e 5) ou (3 e 4) ou (4 e 3) ou (5 e ) ou (6 e )] = = Se já deu 6 o prmero dado o úco resultado possível para somar 7 é que dê o segudo dado. A probabldade é 6, portato. De fato, usado a defção 3.4.: P(soma=7 o dado=6) = P(soma = 7 eo dado = 6) P(o dado = eo dado = 6) = P(o dado = 6) P(o dado = 6) = 36 = 6 6 Note que: P(soma=7 o dado=6) = P(soma=7)

13 Portato os evetos a soma dar exatamete 7 e o resultado 8 do o dado são depedetes. Exemplo.4. No exemplo.3. os evetos são depedetes? Caso ão sejam, qual é a probabldade de que a prmera craça chore dado que a seguda chora? E qual a probabldade de que a seguda craça chore dado que a prmera chora? Os evetos C e C ão são depedetes (são depedetes) dado que: P(C) P(C) =,65,45 =, 95 é dferete de: P(C e C) =,3 Para calcularmos as probabldades codcoas, temos: P(C e C) = P(C) P(C C),3 =,65 P(C C),3 P(C C) =,465,65 P(C e C) = P(C) P(C C),3 =,45 P(C C),45 P(C C) =,693,65 Portato, se a prmera craça chorar, há uma probabldade de 46,5% de que a seguda craça chore e, se a seguda craça chorar, a probabldade que a prmera chore é de 69,3%. Como as probabldades codcoas eram de 45% e 65%, respectvamete, percebe-se que o fato de uma craça chorar aumeta a chace da outra chorar também. Exemplo.4.3 Através do Dagrama de Ve abaxo (ode os valores marcados correspodem às probabldades das áreas delmtadas), verfque que, apesar de que P(A B C) = P(A) P(B) P(C), A e B e C ão são evetos depedetes. Do dagrama, temos: 8 Verfque que a coclusão é válda para qualquer resultado o o dado.

14 P(A) =, +,5 +, +,5 =,4 P(B) =,5 +,5 +, +, =,5 P(C) =,5 +,5 +, +, =,5 P(A B) =, +,5 =,5 P(A C) =, +,5 =,5 P(B C) =, +, =, P(A B C) =, De fato, P(A B C) = P(A) P(B) P(C), mas: P(A B) P(A) P(B) P(B C) P(B) P(C) P(A C) P(A) P(C) Portato, A, B e C são depedetes. Exemplo.4.4 Fo feta uma pesqusa com pessoas sobre as preferêcas a respeto de programas a televsão. Os resultados obtdos foram os segutes: homes mulheres total futebol 4 6 ovela total Etre o grupo de etrevstados, qual a probabldade de preferr ovela? E futebol? 4 P(ovela) = =,4 = 4% 6 P(futebol) = =,6 = 6% Qual a probabldade de ser mulher e preferr futebol? P(mulher e futebol) = =, = % Qual a probabldade de, em sedo homem, preferr futebol? Podemos resolver dretamete já que, pela tabela, dos 45 homes, 4 preferem futebol: 4 P(futebol homem) = =, ,8% 45 Ou pela defção de probabldade codcoal: P(futebol homem) = P(homem e futebol) P(homem) = 4 45 =, ,8% Qual a probabldade de que, se preferr ovela, for mulher? De ovo é possível resolver dretamete pela tabela, tedo em vsta que, dos 4 que preferem ovela, 35 são mulheres: 35 P(mulher ovela) = =,875 = 87,5% 4 Ou pela defção de probabldade codcoal:

15 P(mulher ovela) = P(mulher e ovela) P(ovela) = 35 4 =,875 = 87,5% Note que a preferêca por um tpo de programa ou outro e o sexo ão são evetos depedetes, já que: P(mulher ovela) P(mulher) P(futebol homem) P(futebol).5 Regra de Bayes Exeplo.5. Supoha que, uma eleção para goverador em um estado orte amercao, temos um caddato democrata e um republcao. Etre os eletores bracos, 3% votam o democrata, esta proporção sobe para 6% etre os eletores egros e é de 5% etre os eletores de outras etas. Sabedo-se que há 7% de eletores bracos, % de egros e % de outras etas, se um voto democrata é retrado ao acaso, qual a probabldade de que ele teha sdo dado por um eletor egro? Utlzaremos as segutes abrevações: B- braco D- democrata N- egro R- republcao O- outras etas Pelo eucado sabemos que: P(B) =,7 P(N) =, P(O) =, P(D N) =,6 P(D B) =,3 P(D O) =,5 E pede-se qual probabldade do voto ser de um eletor egro dado que o voto é para o caddato democrata, sto é: P(N D) =? P(N D) = P(N e D) P(D) A probabldade de ser egro e democrata é dada por: P(N e D) = P(N) P(D N) =,,6 =, E a probabldade de ser democrata será dada pela soma dos votos bracos e democratas, egros e democratas e outras e democratas: P(D) = P(D e B) + P(D e N) + P(D e O) =,7,3 +,,6 +,,5 =,38 Assm sedo: P(N D) =,,358 = 3,58%,38 3

16 Portato, 3,58% dos votos democratas são de eletores egros. 4 O exemplo ateror partu de probabldades codcoas para calcular uma probabldade com a codção vertda. A geeralzação do resultado obtdo é cohecda como Regra de Bayes, que é eucada abaxo: Se temos as probabldades codcoas de um eveto B dados todos os evetos do tpo A, ( =,,..., ) e queremos ecotrar a probabldade codcoal de um certo eveto A j dado B, esta será dada por 9 : P(A j B) = P(B A ) P(A ) = j P(B A ) P(A ) j 9 Evdetemete esta expressão ão precsa ser memorzada se for repetdo o racocío do exemplo.5..

17 Exercícos 5. Em uma caxa há 7 lâmpadas, sedo 4 boas e 3 quemadas. Retrado três lâmpadas ao acaso, sem reposção, qual é a probabldade de que: a) todas sejam boas. b) todas estejam quemadas. c) exatamete sejam boas. d) pelo meos sejam boas.. Calcule a probabldade de que, o laçameto de um dado, o úmero que der seja: a) ímpar b) prmo c) o mímo 4. d) o máxmo Ao laçar dos dados em seqüêca, quer-se atgr um total de potos. a) Qual a probabldade que sto ocorra? b) Qual a probabldade que sto ocorra supodo que o prmero dado deu 4? c) Qual a probabldade que sto ocorra supodo que o prmero dado deu 6? d) O eveto total de potos é depedete do resultado do prmero dado? Justfque. 4. Um apostador aposta o laçameto de um dado em um úco úmero. Qual a probabldade de: a) em três jogadas, gahar as três b) em quatro jogadas, gahar exatamete as duas prmeras. c) em quatro jogadas, gahar exatamete duas (quasquer). d) em quatro jogadas, gahar pelo meos duas. e) em quatro jogadas, gahar duas segudas. 5. Na prmera lotera de úmeros laçada o país, o apostador devera acertar cco dezeas em um total de possíves, apostado para sso em 5, 6, 7, 8, 9 ou dezeas. a) Qual a probabldade de acertar as 5 dezeas em cada uma das stuações? b) Se a aposta em 5 dezeas custasse $,, qual devera ser o preço dos demas tpos de apostas levado-se em cosderação a probabldade de acerto? 6. Cosderado que, em jogos de futebol, a probabldade de cada resultado (vtóra de um tme, de outro ou empate) é gual, qual a probabldade de fazer os treze potos a lotera os segutes casos: a) sem duplos ou trplos. b) com um úco duplo. c) com um úco trplo. d) com dos duplos e três trplos. 7. Represete o dagrama de Ve: a) A B b) A B c) A B d) A B 8. Verfque que a probabldade do ou exclusvo é dada por: P (A ou exclusvo B) = P[( A B) (A B)] (Sugestão: utlze o dagrama de Ve)

18 6 9. Foram selecoados protuáros de motorstas e o resultado fo o segute: homes mulheres total com multa sem multa Total 9 a) Qual a probabldade de que um motorsta deste grupo teha sdo multado? b) Qual a probabldade de que um motorsta (homem) deste grupo teha sdo multado? c) Qual a probabldade de que uma motorsta deste grupo teha sdo multada? d) Qual a probabldade de que, sedo o motorsta homem, ele teha sdo multado? e) Qual a probabldade de que, sedo mulher, a motorsta teha sdo multada? f) Qual a probabldade de, em sedo multado, o motorsta seja homem? g) A probabldade de ser multado é depedete do sexo? Justfque.. Pergutou-se para 3 estudates o que faram após a faculdade: procuraram emprego ou cursaram pós-graduação (ou ambos). As respostas foram: homes mulheres Emprego 9 pós-grad. 9 8 Total 6 4 Calcule a probabldade de um estudate, escolhdo ao acaso: a) ser homem e procurar emprego. b) ser mulher e cotuar estudado. c) ser homem e ão cotuar estudado. d) ser mulher ou ão procurar emprego. e) em sedo homem, querer cotuar apeas estudado. f) se quer apeas trabalhar, ser mulher.. Um cubo de madera é ptado e a segur é dvddo em 5 cubhos de mesmo tamaho. Qual a probabldade de que, se pegarmos um destes cubhos aos acaso, ele: a) teha apeas uma face ptada. b) teha duas faces ptadas. c) teha pelo meos duas faces ptadas. d) teha três faces ptadas.. Dado um cojuto X = {x ù < x < 8}, ode ù represeta o cojuto dos úmeros aturas. Se escolhermos ao acaso um úmero deste tervalo, calcule as probabldades peddas: a) P(x = ) b) P(x > ) c) P(x < 5) d) P(x = 8) 3. Dado um cojuto X = {x ú < x < 8}, ode ú represeta o cojuto dos úmeros reas. Se escolhermos ao acaso um úmero deste tervalo, calcule as probabldades peddas: a) P(x = ) b) P(x > ) c) P(x < 5) d) P( x 8)

19 4. Em um colégo de eso médo há aluos o o ao, o o ao e 8 o 3 o ao. Se dos aluos são escolhdos ao acaso e o prmero está mas adatado do que o segudo, qual a probabldade de que ele esteja o 3 o ao? 5. Verfque se são verdaderas ou falsas as afrmações abaxo e justfque. a) Sedo S o espaço amostral, etão P(S) =. b) Se P(A) = etão A = S. c) Se P(A) = etão A =. d) Se A e B são mutuamete exclusvos, etão P(A B) = e) Se P(A B) =, etão A e B são dsjutos. f) Se A e B são depedetes, etão P(A B) = P(A) + P(B). g) Se P(A B) =, etão A e B são depedetes. h) Se P(A B) =, etão A = B = S. ) Se P(A B) =, etão A = S ou B = S. j) Se A, B e C são depedetes, etão P(A B C) = P(A).P(B).P(C). k) Se P(A B C) = P(A).P(B).P(C), etão A, B e C são depedetes. l) Se P( A ) = etão A =. m) Se A e B são depedetes, etão A e B são depedetes. 6. Há 6% de probabldade que haja desvalorzação cambal. Se a desvalorzação ocorrer, há 7% de chaces do govero laçar um pacote emergecal de meddas. Se ão ocorrer, as chaces deste pacote ser laçado caem para 4%. Se o pacote fo laçado, qual a probabldade que teha ocorrdo desvalorzação cambal? 7. Num jogo de domó uma peça com dos valores guas é trada. Qual a probabldade de que a peça segute se ecaxe? 8. Num jogo de pôquer cada jogador tem cco cartas. Cosderado que seja utlzado o baralho completo, qual a probabldade do jogador obter: a) um par. b) uma trca. c) dos pares. d) um par e uma trca (full house). e) uma quadra. f) todas as cartas do mesmo ape, mas ão em seqüêca (flush). g) uma seqüêca (por exemplo: 7, 8, 9, e J), mas ão do mesmo ape. h) uma seqüêca (exceto a maor) com o mesmo ape (straght flush). ) a maor seqüêca (, J, Q, K e A) com o mesmo ape (royal straght flush). 9. Num dado vcado a probabldade de car um certo úmero é proporcoal a este úmero. a) Qual a probabldade de cada úmero? b) Qual a probabldade de, em uma jogada, o úmero ser o mímo 4? c) Qual a probabldade de, em duas jogadas, a soma ser o máxmo 9?. Cosdere que a probabldade de um recém ascdo ser meo é gual a de ser mea. Neste caso, qual a probabldade de um casal com quatro flhos: a) ter exatamete meas. b) ter, o máxmo, meos. c) ter pelo meos mea. d) o mas velho ser um meo. 7

20 . Em um mlhão de ascmetos foram regstrados meas e 49.8 meos. Cosderado esta proporção (aproxmadamete) uma estmatva mas realsta para a probabldade de ascmeto de meas e meos, refaça os cálculos do exercíco ateror.. Etre as mulheres solteras de uma cdade, 7% são moreas e 3% loras. Etre as moreas, 6% têm olhos castahos, 3% têm olhos verdes e % têm olhos azus. Já etre as loras, 4% têm olhos castahos, 3% verdes e 3% azus. Para um homem que va um ecotro às escuras, qual a probabldade de que a pessoa que va ecotrar: a) teha olhos azus. b) seja lora de olhos verdes. c) seja morea de olhos castahos. d) caso teha olhos castahos, seja lora. e) caso teha olhos verdes, seja morea. 3. Dado um espaço amostral defdo um plao cartesao: S = {(x,y) ú - x 3; y 4} e dado o cojuto A: A = {(x,y) ú x < ; 3 < y < 4} Calcule P(A). (Sugestão: ecotre grafcamete S e A). 4. Dados os cojutos A, B e C ão vazos cujas probabldades são dadas por P(A), P(B) e P(C). Determe P(A B C). (Sugestão: use um dagrama semelhate ao do exemplo.4.3) 5. Segudo as pesqusas eletoras, o caddato A tem 3% das preferêcas dos eletores. Admtdo que este valor esteja correto, se tomarmos 5 eletores ao acaso, qual a probabldade de: a) exatamete 3 deles votarem o caddato A. b) o máxmo deles votarem o caddato A. c) pelo meos um deles votar o caddato A. 6. Em uma ura há 6 bolas que podem ser bracas ou pretas. Se 3 bolas retradas ao acaso, com reposção, são bracas, qual a probabldade de ão haver bolas pretas? 7. A probabldade que um jogador de basquete acerte um arremesso é p. Determe o valor de p para que a probabldade de fazer pelo meos uma cesta a cada dos arremessos seja de 8%. 8. Mostre que, se é válda a expressão: P(A B) = P(A B ), etão A e B são depedetes. 8

21 APÊNDICE.A Revsão de Aálse Combatóra 9.A. Fatoral : Defe-se como o fatoral de um úmero (!), sedo este úmero um tero maor do que! = (-)... Assm sedo:! = = 3! = 3 = 6 4! = 4 3 = 4 5! = = 6! = = 7 E assm sucessvamete. Note que: 3! = 3! 4! = 4 3! 5! = 5 4! 6! = 6 5! Ou, geeralzado:! = (-)!, > Se estedermos esta propredade para =:! =!!! = = Etão, coveetemete defmos:! = Se cotuarmos para =:! =!!! = = Portato, temos:! = (-)..., >! =! =.A. Permutações Quatos aagramas são possíves a partr da palavra amor? AMOR MAOR OAMR RAMO

22 AMRO MARO OARM RAOM ARMO MORA OMRA RMOA AROM MOAR OMAR RMAO AOMR MRAO ORAM ROAM AORM MROA ORMA ROMA Portato, são possíves 4 aagramas. Os aagramas são as permutações ( trocas de lugar ) das letras da palavra. Temos etão, o caso P 4 (lê-se permutações de 4 elemetos) aagramas. Se a palavra fosse castelo, o exercíco acma sera muto mas trabalhoso. Como fazer, etão? Na palavra amor temos 4 espaços ode podemos colocar as 4 letras. No o espaço podemos colocar qualquer uma das 4 letras. Para cada letra colocada o o espaço, sobram 3 letras para preecher o o espaço; uma vez preechdo este espaço, sobram apeas para o 3 o ; falmete, sobrará uma últma letra o 4 o espaço. Assm P 4 = 4 3 = 4! = 4 Geeralzado: P =! Portato, o total de aagramas da palavra castelo é:.a.3 Arrajos P 7 = 7! = 54 Utlza-se um arrajo quado se quer formar grupos a partr de um cojuto maor em que a ordem é mportate. Por exemplo, de um grupo de 5 pessoas, deseja-se motar uma chapa para uma eleção composta por um presdete, um vce e um tesourero. Há 3 vagas. Para a vaga de presdete, temos 5 opções; escolhdo o presdete, temos 4 opções para vce, sobrado 3 opções para tesourero. Etão o úmero total de chapas será dado por A 5,3 (lê-se arrajos de 5 elemetos, 3 a 3) calculado assm: A 5,3 = = 6 Seram 6 chapas possíves, portato. Faltara, para completar o 5!, multplcar por e por. Multplcado e dvddo, temos: A 5,3 = = 5!! Geeralzado, temos A,k =! ( - k)!.a.4 Combações

23 Quado falamos em combações, como em arrajos, estamos queredo formar grupos a partr de um cojuto de elemetos, a dfereça é que a ordem ão mporta. Supohamos que, o exemplo ateror, a chapa ão teha cargos (é uma chapa para um coselho, por exemplo), etão ão mporta quem é escolhdo prmero. O total de chapas possíves será dado pelo úmero de arrajos, descotado-se uma vez escolhda a chapa, trocado-se as posções a mesma (sto é, fazedo permutações) teremos uma chapa dêtca. Portato, o úmero de chapas será dado por C 5,3 (lê-se combações de 5 elemetos, 3 a 3) calculado por: C 5,3 = A P 5,3 3 = 5!! 3! = Geeralzado: C,k =! k!( - k)!.a.5 Trâgulo de Pascal Uma maera smples de calcular combações é através do Trâgulo de Pascal: A costrução do Trâgulo é smples. Cada lha começa e terma com. Os outros úmeros de cada lha são obtdos através da soma do úmero acma com o úmero à sua esquerda. Por exemplo, o 3 o úmero da lha correspodete ao úmero 5 (que é ) pode ser obtdo pela soma do o e do 3 o úmeros da lha acma (4 + 6). E assm pode ser feto com qualquer úmero apresetado o Trâgulo, clusve para lhas que ão foram mostradas (8,9,, etc.). As combações podem ser obtdas medatamete. Poe exemplo, se qusermos combações de 6 elemetos, devemos utlzar os úmeros da lha correspodete, que são, 6, 5,, 5, 6 e. Temos que (verfque!): C 6, = C 6, = 6 C 6, = 5 C 6,3 = C 6,4 = 5 C 6,5 = 6 C 6,6 = E assm podemos obter quasquer combações que qusermos dretamete do Trâgulo. Adcoalmete, uma outra propredade (etre mutas) que pode ser obtda do Trâgulo é que a soma dos úmeros de uma lha é exatamete a potêca de do úmero correspodete. Por exemplo, se tomarmos a mesma lha, correspodete ao úmero 6:

24 = 64 = 6

25 APÊNDICE.B Defção Axomátca de Probabldade 3 A déa de se defr probabldade através de axomas vem do desejo de tratar o assuto de uma maera mas rgorosa. Estabelecer axomas sgfca estabelecer um cojuto de regras. Estas regras devem ser o meor úmero possível. O cojuto de axomas, etretato, deve ser completo, o setdo de que qualquer afrmação evolvedo probabldades possa ser demostrada utlzado apeas estes axomas. Façamos ates algumas defções: O cojuto S de todos os resultados possíves de um expermeto aleatóro é chamado de espaço amostral. Chamemos I um cojuto de subcojutos de S, para o qual a probabldade será defda. A este cojuto deomamos espaço de evetos. A defção de que subcojutos de S farão parte do espaço de evetos é smples se S for dscreto, pos, este caso, basta que defamos I como o cojuto de todos os subcojutos possíves de S (cludo o própro S e o vazo). No caso de um cojuto S cotíuo, ou mesmo o caso de um S muto grade devemos os cotetar com uma defção mas restrta para I. O espaço de evetos I deverá ter as segutes propredades : I ) S I II ) Se A I, etão A I. III) Se A e B I, etão A B I. IV) Se A, A,... I, etão A I. = A probabldade é etão uma fução que assoca um elemeto de I a um úmero real, sto é: P: I ú Obedecedo aos segutes axomas: Axoma : Para qualquer A I, P(A) Axoma P(S) = Axoma 3 Dados A, A,..., A I, dsjutos dos a dos, temos: P( = A ) = P(A = ) Isto é, a probabldade da uão dos evetos, em sedo dsjutos, é a soma das probabldades de cada um deles. Se I segue estas propredades é dto um σ feld (sgma feld).

26 O espaço de probabldade será a tera (S, I, P) ode S é o cojuto uverso (espaço amostral), I um cojuto de subcojutos de S e P uma fução que assoca as probabldades aos elemetos de I. Todas as propredades de probabldade podem ser estabelecdas a partr dos três axomas estabelecdos acma. Vejamos algumas delas: Teorema.B. Se A I, etão P(A) = - P( A ) Demostração: Pela própra defção de complemetar, temos: A A= S Pelo axoma : P(S) = P(A A ) = E como A e A são dsjutos, temos, pelo axoma 3: P(A A ) = P(A) + P( A) = Portato: P(A) = - P(A ) Teorema.B. P( ) = Demostração: Se A =, etão A = S. Lembrado que, P(S) = pelo axoma e utlzado o teorema.b.: P( ) = P(S) = = Teorema.B.3 Se A, B I, etão P(A) = P(A B) + P(A B) Demostração: A S = A Pela defção de complemetar: A (B B) = A Como a tersecção tem a propredade dstrbutva: (A B) (A B ) = A E sedo os cojutos A B e A B dsjutos temos, pelo axoma 3: P(A) = P[(A B) (A B)] = P(A B) + P(A B) Teorema.B.4 Se A, B I, etão P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Demostração: 4 Estes axomas foram estabelecdos por Adre Kolmogorov, matemátco russo cosderado o pa da modera teora de probabldade, em 933. Ates de Kolmogorov, o axoma 3 era lmtado ao caso de dos cojutos, sto é: se A e B são dsjutos, etão P(A B) = P(A) + P(B).

27 Temos que: (A B) S = A B 5 Pela defção de complemetar: (A B) (B B) = A B Como a uão também tem a propredade dstrbutva, colocado B em evdêca : B (A B) = A B Os evetos B e A B são dsjutos, pelo axoma 3 temos: P[B (A B )] = P(B) + P(A B ) E, pelo teorema.b.3 temos: P(A) = P(A B) + P(A B) P(A B ) = P(A) P(A B) Logo: P(A B) = P[B (A B )] = P(B) + P(A) P(A B)

28 6

29 CAPÍTULO - MEDIDAS DE POSIÇÃO E DISPERSÃO 7. Varável aleatóra Varável aleatóra (v.a.) é uma varável que está assocada a uma dstrbução de probabldade. Portato, é uma varável que ão tem um valor fxo, pode assumr város valores. O valor que ca ao se jogar um dado, por exemplo, pode ser,, 3, 4, 5 ou 6, com probabldade gual a 6 para cada um dos valores (se o dado ão estver vcado). É, portato, uma varável aleatóra. Assm como são varáves aleatóras: o valor de uma ação ao fal do da de amahã; o úmero de potos de um tme um campeoato que está começado esta semaa; a quatdade de chuva que va car o mês que vem; a altura de uma craça em fase de crescmeto daqu a ses meses; a taxa de flação o mês que vem. Todas estas varáves podem assumr dferetes valores e estes por sua vez estão assocados a probabldades E ão são varáves aleatóras: o valor de uma ação o fal do pregão de otem; o úmero de potos de um tme um campeoato que já acabou; a altura de uma pessoa a faxa dos 3 aos de dade daqu a ses meses; a área útl de um apartameto; a velocdade de processameto de um computador. Todas estas varáves têm valores fxos... Meddas de posção cetral.. Méda Há dferetes tpos de méda: a méda artmétca, a mas comum, é a soma dos elemetos de um cojuto dvddo pelo úmero de elemetos. Assm, um grupo de 5 pessoas, com dades de, 3, 5, 8 e 3, terá méda (artmétca) de dade dada por: X = = 5,6 aos 5 De um modo geral, a méda artmétca será dada por: X = X + X +...+X Ou, escrevedo de uma maera mas resumda: X= X = A méda artmétca também pode ser poderada sto ão é um tpo dferete de méda poderar sgfca atrbur pesos. Ter um peso maor sgfca smplesmete que aquele valor etrará mas vezes a méda. Dgamos, por exemplo, que em três provas um aluo teha trado 4, 6 e 8. Se a méda ão for poderada, é óbvo que será 6. Se, o etato, a méda for poderada da segute forma: a prmera prova com peso, a seguda com e a tercera 3. A méda será calculada como se as provas com maor peso tvessem ocorrdo mas vezes, ou seja X = Voltaremos ao coceto de dstrbução de probabldade o próxmo capítulo.

30 8 Ou, smplesmete: X = ,7 6 Os pesos podem ser o úmero de vezes que um valor aparece. Supohamos que uma classe de aluos haja 8 com dade de aos, 7 de 3, 3 de 5, um de 8 e um de 3. A quatdade que cada úmero aparece o cojuto é chamada de freqüêca (freqüêca absoluta este caso, pos se trata da quatdade de aluos com determada dade). A méda de dade etão será dada por: X= = 3,5 aos A freqüêca também pode ser expressa em proporções, sedo chamada este caso de freqüêca relatva. No exemplo ateror, há 8 aluos com aos de dade em um total de, portato esta classe há 8 =,4 = 4% dos aluos com esta dade. Da mesma forma, temos 35% com 3, 5% com 5 e 5% com 8 e 3, respectvamete. A méda de dade pode ser calculada da segute forma: X =,4 + 3,35 + 5,5 + 8,5 + 3,5 = 3,5 Repare que o segudo jeto de calcular (usado a freqüêca relatva) ada mas é do que o prmero (usado a freqüêca absoluta) smplfcado-se a fração (dvddo o valor dos pesos pelo úmero total). Um outro tpo de méda é a méda geométrca. A méda geométrca para o aluo que trou otas 4, 6 e 8 será: 3 G = ,8 Ou, geercamete: G = X X... X Ou ada, de uma maera mas resumda: G = X = Repare que a méda geométrca zera se um dos elemetos for zero. A méda geométrca também pode ser poderada: se os pesos das provas forem, e 3, ela será dada por: 6 3 G = ,5 Há ada um tercero tpo de méda, a méda harmôca. No exemplo das otas, ela será dada por: 3 H = = 5, De um modo geral: H = X X X

31 Ou ada: H = = X Também é possível que a méda harmôca seja poderada. Repetdo o exemplo ateror: 6 H = 4 6, Fo possível otar, tato para as médas smples (sem pesos) como para as poderadas que, em geral, a méda artmétca é maor do que a méda geométrca e esta por sua vez é maor do que a harmôca. Isto é verdade, exceto, obvamete, quado os valores são todos guas. Temos etão que: X G H Exemplo... Um aluo tra as segutes otas bmestras: 3; 4,5; 7 e 8,5. Determe qual sera sua méda fal se esta fosse calculada dos três modos (artmétca, geométrca e harmôca), em cada um dos casos: a) as otas dos bmestres têm os mesmos pesos Neste caso, a méda artmétca fal sera: 3 + 4, ,5 3 X = = 4 4 X = 5,75 A méda geométrca sera: G = 4 3 4,5 7 8, 5 = 4 83, 5 G 5,3 E a harmôca sera: H = 3 + H 4,9 4,5 b) Supodo que os pesos para as otas bmestras sejam,, 3 e ,5 Agora os pesos dos quatro bmestres totalzam, portato a méda artmétca fal será: 3 + 4, ,5 67 X= = X = 6,7 A geométrca será: G = ,5 7 8,5 G 6,36 E a harmôca: 9

32 H = 3 H 5, , ,5 3 c) Supodo que os pesos sejam, respectvamete, 3%, 5%, 5% e %. Agora os pesos são dados em termos relatvos (percetuas) e somam, portato,. O cálculo da méda artmétca será, etão: X =,3 3 +,5 4,5 +,5 7+, 8 X = 5,475 O da méda geométrca será: G = 3,3 4,5,5 7,5 8,5, G 5,5 E a harmôca: H =, ,5,5 + 7,5 + 8,5, H 4,66 Exemplo... (dados agrupados) Foram meddas as alturas de 3 pessoas que estão mostradas a tabela abaxo (as meddas são em cetímetros) Agrupe estas pessoas em classes de cm e faça o hstograma correspodete. Para agrupar em classes de cm, o mas lógco (mas ão obrgatóro) sera agrupar em: de 5 a 6; de 6 a 7, e assm sucessvamete. O problema é, ode clur aqueles que têm, por exemplo, exatamete 7 cm? Na classe de 6 a 7 ou a de 7 a 8? Há que se escolher uma, mas esta escolha é completamete arbtrára. Vamos optar por clur sempre o lmte feror, por exemplo, a classe de 7 a 8 clu todas as pessoas com 7 cm (clusve) até 8 cm (exclusve) 3, para o que utlzaremos a otação [7; 8[. Etão, para os valores da tabela acma, teremos: [5; 6[ [6; 7[ 8 [7; 8[ 4 [8; 9[ 4 [9; [ 3 Em lguagem de cojutos equvalera a dzer que o cojuto é fechado em 7 e aberto em 8.

33 [; [ 3 Um hstograma é uma maera gráfca de represetar este agrupameto, utlzado-se de retâgulos cuja altura é proporcoal ao úmero de elemetos em cada classe. O hstograma para o agrupameto realzado é mostrado a fgura abaxo: Exemplo...3 A partr dos dados agrupados do exemplo ateror, calcule a méda 4. Utlzaremos como dados os agrupametos, é como se (e freqüetemete sso acotece) ão tvéssemos cohecmeto dos dados que orgaram este agrupameto. Já que a ossa úca formação é o agrupameto (seja pela tabela, seja pelo hstograma), ão é possível saber como os dados se dstrbuem pelo agrupameto, etão a melhor cosa que podemos fazer (a falta de outra opção) é supormos que os dados se dstrbuem gualmete por cada agrupameto, de modo que, por exemplo, o agrupameto que va de 7 a 8 é como se tvéssemos 4 pessoas com altura de 75 cm. Em outras palavras, tomaremos a méda de cada classe para o cálculo da méda total. Obvamete, a ão ser por uma grade cocdêca, este ão será o valor correto da méda, mas é uma aproxmação e, de ovo, é o melhor que se pode fazer dada a lmtação da formação. Etão, temos: X = 3 X 75,33 cm Repare que, o valor correto da méda, tomado-se os 3 dados orgas, é de 74,5 cm... Moda Moda é o elemeto de maor freqüêca, ou seja, que aparece o maor úmero de vezes 5. No exemplo das dades a classe com aluos, a moda é aos, que é a dade mas freqüete este cojuto. Pode haver, etretato, mas de uma moda em um cojuto de valores. Se houver apeas uma moda, a dstrbução é chamada de umodal. Se houver duas, bmodal. 4 Quado se fala méda, sem especfcar, supõe-se estar se tratado da méda artmétca. 5 Assm como a lguagem cotdaa dzemos que uma roupa está a moda quado ela é usada pela maora das pessoas.

34 3..3 Medaa Medaa é o valor que dvde um cojuto ao meo. Por exemplo, um grupo de 5 pessoas com alturas de,6m,,65m,,68m,,7m e,73m, a medaa é,68m, pos há o mesmo úmero de pessoas mas altas e mas baxas (duas). A medaa apreseta uma vatagem em relação à méda: o grupo acma, a méda é,67m, etão, este caso, tato a méda como a medaa os dão uma déa razoável do grupo de pessoas que estamos cosderado. Se, o etato, retrarmos a pessoa de,73m, substtudo-a por outra de,m, a méda passará a ser,746m. Neste caso, a méda ão sera muto represetatva de um grupo que, afal de cotas, tem apeas uma pessoa acma de,7m. A medaa, etretato, fca alterada. A medaa, ao cotráro da méda, ão é sesível a valores extremos. Segudo a mesma lógca, os quarts são os elemetos que dvdem o cojuto em quatro partes guas. Assm, o prmero quartl é aquele elemeto que é maor do que 4 dos elemetos e, portato, meor do que 4 3 dos mesmos; o segudo quartl (que cocde com a medaa) é aquele que dvde, 4 para cma 4 para baxo; falmete o tercero quartl é aquele elemeto que tem 3 abaxo e acma. 4 4 Da mesma forma, se dvdrmos em 8 pedaços guas, teremos os octs, decs se dvdrmos em, e, mas geercamete os percets: o percetl de ordem é aquele que tem abaxo de s % dos elemetos, e 8% acma. Exemplo..3. A partr da tabela apresetada o exemplo..., determe: a) a moda O elemeto que aparece mas vezes (3) é 74 cm, portato: Mo = 74 cm E só há uma moda, o que ão é ecessáro que ocorra. No caso deste exemplo, bastara que houvesse mas uma pessoa com 68 cm de altura para que esta dstrbução se torasse bmodal. b) a medaa Há 3 dados. Do meor para o maor, o 5 o dado é, pela ordem, 73 cm, equato o 6 o é 74 cm. Como a medaa deve ter 5 elemetos abaxo e 5 acma, tomaremos o poto médo etre o 5 o e o 6 o dado: Md = Md = 73,5 cm c) o o e o quarts. Devemos dvdr o total de elemetos por 4, o que dá 7,5. Como o 7 o e o 8 o elemeto, do do meor para o maor, são guas, temos: o quartl = 68 cm

35 33 O o quartl cocde com a medaa: o quartl = Md = 73,5 cm.3. Meddas de dspersão É muto comum ouvrmos: em estatístca, quado uma pessoa come dos fragos equato outra passa fome, a méda ambas comem um frago e estão, portato, bem almetadas; ou, se uma pessoa está com os pés em um foro e a cabeça em um freezer, a méda, expermeta uma temperatura agradável. É claro que estas stuações tem que ser percebdas (e são!) pela estatístca. Para sso que servem as meddas de dspersão, sto é, meddas de como os dados estão agrupados : mas ou meos próxmos etre s (meos ou mas dspersos)..3. Varâca Uma das meddas mas comus de dspersão é a varâca. Tomemos o exemplo dos fragos para três dvíduos. Na stuação há uma dvsão eqütatva equato a stuação, um dvíduo come demas e outro passa fome. Stuação Stuação dvíduo dvíduo dvíduo3 É claro que, em ambas as stuações, a méda é frago por dvíduo. Para ecotrar uma maera de dstgur umercamete as duas stuações, uma tetatva podera ser subtrar a méda de cada valor: Stuação Stuação dvíduo - = = dvíduo - = = dvíduo3 - = - = - MÉDIA O que ão resolveu muto, pos a méda dos desvos em relação à méda 6 (valor meos a méda) cotua gual. Mas precsamete, ambas são zero. Isto ocorre porque, a stuação, os valores abaxo da méda (que fcam egatvos) compesam os que fcam acma da méda (postvos). Para se lvrar deste coveete dos sas podemos elevar todos os valores ecotrados ao quadrado. Stuação Stuação dvíduo ( - ) = ( - ) = dvíduo ( - ) = ( - ) = 6 Alás, valera a pea lembrar que sempre a soma dos desvos em relação à méda é zero.

36 dvíduo3 ( - ) = ( - ) = 34 MÉDIA /3 E, desta forma, cosegumos ecotrar uma medda que dstgue a dspersão etre as duas stuações. Na stuação, ão há dspersão todos os dados são guas a varâca é zero. Na stuação, a dspersão é (obvamete) maor ecotramos uma varâca de /3,67. Bascamete, ecotramos a varâca subtrado todos os elemetos do cojuto pela méda, elevamos o resultado ao quadrado e tramos a méda dos valores ecotrados. Portato, a varâca de um cojuto de valores X, que chamaremos de var(x) ou σ X será dada por: Ou ada: var(x) σ X = var(x) = = (X - X) + (X - X) +...+(X - X) (X - X) Varâca é, portato, uma medda de dspersão, que lembra quadrados. Este últmo aspecto, alás, pode ser um problema a utlzação da varâca. Na stuação do exemplo ateror (que tratava de fragos), ecotramos uma varâca de,67... fragos ao quadrado? Sm, porque elevamos, por exemplo, frago ao quadrado. Da mesma forma que, a geometra, um quadrado de lado m tem área de (m) = 4m, temos que ( frago) = frago! E assm também valera para outras varáves: reda medda em reas ou dólares tera varâca medda em reas ao quadrado ou dólares ao quadrado. Além da estraheza que sto podera causar, dfculta, por exemplo uma comparação com a méda. Para elmar este efeto, utlza-se uma outra medda de dspersão que é, a verdade, uma pequea alteração da varâca. Exemplo.3.. (varâca a partr de dados agrupados) Utlzado o agrupameto do exemplo..., determe a varâca. A varâca é calculada com o mesmo prcípo utlzado para a méda, ou seja, tomado-se o valor médo de cada classe como represetatvo da mesma. Assm: var(x) = [(55-75,33) 3 +(65-75,33) 8+(75-75,33) 4+(85-75,33) 4+(95-75,33) +(5-75,33) ] var(x) 8,89 Mas uma vez, é uma aproxmação. Verfque que o valor correto da varâca (utlzado os dados cas) é de 86, Desvo padrão

37 35 Para elmar o efeto dos quadrados exstete a varâca basta extrarmos a raz quadrada. Chamaremos de desvo padrão da varável X (dp(x) ou σ X ): dp(x) σ X = var(x) Portato, o desvo padrão a stuação do exemplo dos fragos será dado por: dp(x) = 67,,8 fragos Estado a mesma udade dos dados (e da méda), o caso específco, fragos, é possível comparar o desvo padrão com a méda: este caso, o desvo padrão é 8% 7 da méda. Note-se que, se o objetvo é a comparação etre dos cojutos de dados, tato faz usar a varâca ou o desvo padrão. Se a varâca é maor, o desvo padrão também é maor (e vceversa) ecessaramete Outra maera de calcular a varâca Se, a partr da defção de varâca, desevolvermos algebrcamete, obteremos: var(x) = = (X - X) var (X) = = (X - X X + X ) var(x) = X = - X X + = X = var(x) = X = - X = X + X var(x) = X = - X + X var(x) = X - X = Ou, em outras palavras: var(x) = méda dos quadrados - quadrado da méda Utlzado este método para calcular a varâca da stuação do exemplo dos fragos: Stuação ao quadrado dvíduo 4 dvíduo dvíduo3 MÉDIA 5/3 var(x) = méda dos quadrados - quadrado da méda = 5/3 - = /3 7 Esta proporção, que é obtda através da dvsão do desvo padrão pela méda, é também chamada de coefcete de varação.

38 Ecotramos o mesmo valor. Tomemos agora o exemplo de um aluo muto fraco, que tem as segutes otas em três dscplas: aluo A otas ao quadrado ecooma 3 9 cotabldade 4 admstração 4 6 matemátca 36 MÉDIA,5 7,5 Para este aluo, temos: X =,5 var(x) = 7,5 -,5 =,5 dp(x) =, Supoha agora um aluo B, mas estudoso, cujas otas são exatamete o dobro: aluo B otas ao quadrado ecooma 6 36 cotabldade 4 6 admstração 8 64 matemátca 4 MÉDIA 5 3 Para o aluo B, os valores são: X = 5 Isto é, se os valores dobram, a méda dobra. var(x) = 3-5 = 5 = 4,5 Ou seja, se os valores dobram, a varâca quadruplca. Isto porque varâca lembra quadrados. Em outras palavras, vale a relação 8 : var(ax) = a var(x) (.3.3.) dp(x) =,4 Isto é, o desvo padrão dobra, assm como a méda. Vale, portato, a relação: dp(ax) = a.dp(x) (.3.3.) Agora tomemos um aluo C, ada mas estudoso, que tra 5 potos a mas do que o aluo A em todas as matéras: aluo C otas ao quadrado 8 Veja demostração o apêdce

39 ecooma 8 64 cotabldade 7 49 admstração 9 8 matemátca MÉDIA 7,5 57,5 Para este aluo teremos: X = 7,5 Se o aluo tra 5 potos a mas em cada dscpla, a méda também será de 5 potos a mas var(x) = 57,5-7,5 =,5 dp(x) =, A varâca e o desvo padrão são os mesmos do aluo A. Isto porque são meddas de dspersão se somarmos o mesmo valor a todas as otas de A elas cotuarão dspersas, espalhadas da mesma forma, apeas mudarão de posção. Valem portato as relações 9 : var(x+a) = var(x) (.3.3.3) dp(x+a) = dp(x) (.3.3.4).3.4. Relações etre varáves covarâca A covarâca pode ser etedda como uma varâca cojuta etre duas varáves. Equato a varâca sa de quadrados (da varável meos a méda), a covarâca é defda através de produtos: cov(x,y) = (X - X)(Y - Y) = Que, assm como a varâca, pode ser calculada de outra forma: cov(x,y) = méda dos produtos - produto da méda (.3.4.) Vejamos um exemplo do cosumo e da taxa de juros de um país: Ao cosumo (X) taxa de juros (Y) produto (XY) MÉDIA cov(x,y) = x = -75 E agora etre o cosumo e a reda: 9 Cujas demostrações também podem ser vstas o apêdce.