Algoritmos de partição e geração de colunas para dimensionamento de lotes de produção

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1 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) Algortos de partção e geração de coluas para desoaeto de lotes de produção Cara Mara Olvera Petel Flpe Perera e Alvelos José Mauel Valéro de Carvalho Cetro Algort, Uversdade do Mho Departaeto de Produção e Ssteas, Uversdade do Mho Abstract I ths paper, we preset two algorths for the ult-te capactated lot-szg proble wth setup tes. I ths proble we a at fdg a producto pla for several tes over a uber of te perods that zes the producto, vetory ad setup costs ad satsfes all dead requreets wthout exceedg capacty lts. Both of the algorths are based o the applcato of the Datzg-Wolfe prcple to a classcal odel of Mxed Iteger Prograg. I oe case, we apply te decoposto ad the other case we apply a perod decoposto. I both cases the reforulated odels are stroger tha the orgal oe. These reforulated odels are solved by brach-ad-prce, whch s a cobato of colu geerato ad brachad-boud ethods. We preset coputatoal results for a set of staces wth dfferet characterstcs, to establsh coparsos betwee the two decoposto odels. These results are the copared wth the classc Mxed Iteger Prograg forulato solved by the coercal solver Cplex 8.1. Resuo Neste artgo apreseta-se dos algortos para o problea de lotes de produção ult-artgo capactado co tepos de preparação. Neste problea pretede-se deterar u plao de produção para város artgos ao logo de u deterado horzote teporal, que ze os custos de produção, de arazeage e de preparação e respete restrções de procura e de capacdade. Os algortos basea-se a aplcação do prcípo de decoposção de Datzg- Wolfe a u odelo clássco de Prograação Itera Msta. Nu dos casos é efectuada ua decoposção por artgo e o outro ua decoposção por período. E abos os casos os odelos reforulados são as fortes do que o odelo orgal. Os odelos reforulados são resolvdos através do étodo de partção e geração de coluas, que resulta da cobação do étodo de geração de coluas co o étodo de partção e avalação ("brach-ad-boud") Assocação Portuguesa de Ivestgação Operacoal

2 130 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) São apresetados resultados de testes coputacoas para u couto de stâcas co dferetes característcas, que perte estabelecer coparações etre os dos odelos de decoposção. Esses resultados coputacoas são ada coparados co a forulação clássca resolvda através do Cplex 8.1, u software coercal para Prograação Itera Msta. Keywords: Producto Plag, Mxed Iteger Prograg, Brach ad Prce Ttle: Brach ad Prce Algorths for Producto Lot Szg 1 Itrodução Neste artgo aborda-se o problea de lotes de produção ult-artgo capactado co tepos de preparação (LPMAC). Este problea ocorre o âbto do plaeaeto da produção de édo prazo, e te coo obectvo a deteração de u plao de produção para város artgos, habtualete produtos acabados, ao logo de u deterado horzote teporal. O plao resultate deverá satsfazer a procura dos cletes e respetar os ltes de capacdade e por outro lado zar os custos evolvdos. Vsto a perspectva dos ssteas de plaeaeto da produção, este problea correspode ao plao estre de produção (Pochet, 2001) e pertece à classe de probleas de lotes de produção de ível úco, ult-artgo, capactado e co procura deterístca e dâca. Neste trabalho apreseta-se dos étodos de resolução exacta do problea LPMAC baseados e duas decoposções. E abas, parte-se de u odelo clássco de Prograação Itera Msta (PIM) e aplca-se o prcípo de decoposção de Datzg-Wolfe (Datzg ad Wolfe, 1960), defdo de dferetes foras os subprobleas. Na prera decoposção as restrções de capacdade são atdas o problea estre, estado cada subproblea assocado a u artgo. Para esta decoposção fo á desevolvdo u algorto de partção e geração de coluas (Jas, 2002). O osso trabalho dfere a fora coo as regras de partção são copatblzadas co o subproblea. Na seguda decoposção as restrções de equlíbro de stocks são atdas o problea estre, estado cada subproblea assocado a u período. Ua cotrbução fudaetal deste trabalho é o desevolveto de u algorto de partção e geração de coluas baseado esta decoposção. Para resolver a relaxação lear dos odelos reforulados utlza-se o étodo de geração de coluas ( colu geerato ) e para resolver o problea tero aplca-se o étodo de partção e geração de coluas ( brach ad prce ). A otvação para a utlzação de étodos de decoposção este trabalho está relacoada co a potecal vatage destes étodos e teros da qualdade dos ltes ferores que produze, coparatvaete co os ltes que se obtê resolvedo drectaete a forulação clássca de PIM para o LPMAC. Do aueto da qualdade das soluções, resulta potecalete a redução dos tepos de resolução do problea. Ua outra cotrbução deste trabalho está assocada à coparação experetal etre dos odelos de decoposção alteratvos e etre estes e a forulação clássca resolvda pelo software coercal Cplex 8.1 (ILOG, 2002). No que respeta à orgazação do artgo, a Secção 2 apreseta-se ua revsão de bblografa relatva aos odelos e étodos de resolução para o problea. Na Secção 3 descreve-se o problea LPMAC e apreseta-se ua forulação clássca de PIM para este

3 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) problea. Na Secção 4 aplca-se duas decoposções de Datzg-Wolfe ao problea e defe-se os probleas estres e subprobleas assocados, be coo a estratéga usada para a obteção de soluções teras. Na Secção 5 apreseta-se resultados coputacoas para u couto de stâcas co dferetes característcas, que perte estabelecer coparações etre os dos odelos de decoposção e u software coercal de PIM e por últo, a Secção 6 apreseta-se as coclusões deste trabalho. 2 Revsão Bblográfca O prero odelo de Prograação Itera para probleas de lotes de produção deve-se a Wager e Wht (Wager ad Wht, 1958), que apresetara para o problea de lotes de produção de artgo úco ão capactado, cohecdo a lteratura por ULS - Ucapactated Lot Szg Proble, ua forulação de prograação ateátca e u algorto de prograação dâca, cohecdo coo algorto de Wager-Wht. Exste a lteratura (ver, por exeplo, (Drexl ad Ks, 1997) e (Kuk et al., 1994)) quatro odelos prcpas de PIM para a classe de probleas de lotes de produção de ível úco, ult-artgo, co procura deterístca e dâca e capactado: o odelo CLSP Capactated Lot Szg Proble, o odelo DLSP Dscrete Lot Szg ad Schedulg Proble, o odelo CSLP Cotuous Setup Lot Szg Proble e o odelo PLSP Proportoal Lot Szg ad Schedulg Proble. Nos probleas de lotes de produção ult-artgo capactados é habtual estabelecer-se a dstção etre sall bucket probles (SBP) e bg bucket probles (BBP). Nos BBP perte-se a produção de város artgos e cada período de plaeaeto equato que os SBP cosdera-se que e cada período de plaeaeto apeas u artgo pode ser produzdo. Os SBP perte odelar as decsões de escaloaeto e são adequados para stuações e que exste a ecessdade de cotrolar co rgor a capacdade cosuda a preparação equato que os BBP utlza-se ao ível do desoaeto de lotes, ode oralete se toa decsões co base e recursos agregados. O problea CLSP é ua extesão do problea ULS para o caso capactado e cosequeteete ult-artgo e é u BBP. Os odelos DLSP e CSLP são abos SBP e tegra as decsões de desoaeto de lotes co as decsões de escaloaeto. Equato que o CSLP, a produção realzada e cada período pode varar, as é ltada pela restrção de capacdade, o DLSP, a quatdade produzda e cada período ou é ula, ou te de ser gual à capacdade total desse período. O PLSP é tabé u SBP e surgu a sequêca do CSLP. Neste odelo perte-se a produção de dos artgos e cada período co o obectvo de se utlzar toda a capacdade dspoível e cada período. O problea abordado este artgo (LPMAC) é u CLSP co tepos de preparação. Os trabalhos poeros, sobre étodos de resolução para o problea LPMAC deve-se a Mae (Mae, 1958), a Dzelsk e Goory (Dzelsk ad Goory, 1965) e a Lasdo e Terug (Lasdo ad Terug, 1971). E (Mae, 1958) apreseta-se u odelo aproxado de prograação lear para o problea. E (Dzelsk ad Goory, 1965) é aplcada a decoposção de Datzg-Wolfe ao problea e detera-se o lte feror do problea reforulado pelo étodo de geração de coluas. E (Lasdo ad Terug, 1971) reforula-se o odelo de prograação lear proposto por (Mae, 1958) e resolvese esse ovo problea pelo étodo de geração de coluas. Estas abordages estão drectaete relacoadas co a decoposção por artgo a apresetar a subsecção 4.1, sedo de saletar que, tal coo a geeraldade das abordages baseadas e relaxação Lagrageaa ((Che ad Thzy, 1990), (Daby et al., 1992b), (Merle et al., 1999), (Thzy

4 132 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) ad Wassehove, 1985) e (Trgero et al., 1989)), apeas coduze à obteção de ltes ferores e ão a ua solução ópta tera. Ua excepção é o trabalho de (Jas, 2002) que aplca a decoposção de Datzg-Wolfe e o étodo de geração de coluas para resolver a relaxação lear do problea LPMAC e aplca o étodo de partção e geração de coluas para deterar a sua solução ópta tera. Este trabalho está relacoado co o trabalho aqu apresetado o âbto da decoposção por artgo. Aqulo que o dstgue do algorto baseado a decoposção por artgo aqu desevolvdo é a utlzação de regras de partção dferetes. Daby et al. (Daby et al., 1992a) aborda o problea LPMAC através de ua relaxação Lagrageaa alteratva, baseada a relaxação das restrções de equlíbro de stocks. Essa abordage está relacoada co a decoposção por período apresetada a subsecção 4.2. Ebora aqu tabé se aborde ua decoposção e que os subprobleas estão assocados a períodos, os étodos aplcados a resolução do problea reforulado, são dferetes. Neste trabalho utlza-se a decoposção de Datzg-Wolfe e téccas de partção e geração de coluas. Outros étodos específcos, ão drectaete relacoados co os apresetados este artgo, tê sdo aplcados o LPMAC, sedo de saletar étodos de plaos de corte ((Baray et al., 1984), (Belvaux ad Wolsey, 2000), (Mller et al., 2000) e (Pochet ad Wolsey, 1991)), redefção de varáves (Eppe ad Mart, 1987) e étodos heurístcos (Kar et al., 2003). 3 O problea de lotes de produção ult-artgo capactado co tepos de preparação O plaeaeto da produção é ua portate área e qualquer orgazação dustral, pos perte-lhe ldar de ua fora as efcete co as decsões assocadas ao fluxo de ateras e co a utlzação de pessoas e equpaetos, etre outros. E qualquer sstea de produção exste oralete u úero extreaete elevado de artgos (ou ecoedas) a produzr u couto ltado de recursos, aos quas estão assocadas datas de etrega acordadas co os cletes que se pode sobrepor e que deve ser cuprdas. O plaeaeto da produção ecarrega-se de plaear os recursos e actvdades ecessáras de odo a pertr a etrega atepada daqulo que é peddo. É este cotexto que o problea LPMAC se tora relevate. Este problea dz respeto às decsões toadas ao ível do plao estre de produção, o sstea de plaeaeto da produção. E lhas geras, este problea procura-se deterar u plao de produção para u couto de artgos fas, faseado o tepo, através da cosderação de u couto de períodos de plaeaeto. Esse plao dca para cada artgo fal as quatdades a produzr desse artgo (que defe u lote) e os períodos e que essas quatdades deve ser produzdas, atededo a u couto de restrções. Assocado a cada plao de produção, exste u custo que egloba três copoetes: custos de produção, custos de arazeage e custos de preparação. O custo de produção pode varar co o artgo e co o período e represeta o custo corrdo por cada udade produzda. O custo de arazeage represeta o custo que se corre por udade arazeada e por período de arazeage, sepre que a decsão é a de produzr atecpadaete para satsfazer procuras de períodos posterores. Por últo, o custo de preparação represeta u custo fxo do lote. No odelo as estudado do problea de lotes de produção ult-artgo capactado apeas se cosdera os custos de preparação, sedo a preparação cotablzada apeas a fução obectvo. Coo o tepo de preparação (de áquas, pessoas, ateras, etc.)

5 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) cosoe parte da capacdade de produção dspoível, esse odelo a capacdade realete utlzada é ecessaraete subestada. Para utos dos autores que cosdera a forulação do problea apeas o custo de preparação, a clusão deste tepo o odelo é vsta coo ua extesão sples. Esta posção é cotrarada e (Trgero et al., 1989), ode se ostra que o problea co a cosderação dos tepos de preparação se tora u problea uto as dfícl de resolver. Co vsta à odelação as precsa do problea, é este últo odelo que é abordado este artgo, cosderado-se drectaete o odelo a capacdade gasta co a preparação, ao vés de esta ser cosderada plctaete o custo de preparação. Nos parágrafos que se segue, apreseta-se a forulação clássca de PIM para o problea LPMAC. Cosdere-se os segutes coutos e parâetros: I que represeta o couto de artgos, dexados por =1,...,; J que represeta o couto de períodos de produção, dexados por =1,...,; p que represeta o custo utáro de produção do artgo o período ; q que represeta o custo fxo de preparação do artgo o período ; h que represeta o custo utáro de arazeage do artgo o fal do período ; d que represeta a procura do artgo o período ; c que represeta a capacdade de produção o período ; a que represeta a capacdade cosuda a produção de ua udade do artgo o período e b que represeta a capacdade cosuda a preparação do artgo o período. Cosdere-se ada as segutes varáves de decsão: x que represeta a quatdade a produzr do artgo o período ; y que é ua varável bára que assue o valor 1 se o artgo é produzdo o período, e assue o valor 0 caso cotráro e s que represeta o ível de vetáro do artgo o fal do período. Para u deterado horzote teporal o obectvo é o de deterar as quatdades a produzr de cada artgo e cada período e as quatdades a arazear de cada artgo para períodos posterores, que za os custos de produção, de preparação e de arazeage e que garate a etrega atepada dos artgos, a ocorrêca de ua preparação sepre que se produza e que a capacdade dspoível ão é ultrapassada. Mateatcaete podeos cocretzar este obectvo através da forulação de PIM que se apreseta de seguda, que se desga por forulação clássca. Z C Mp x q y h s (C) sueto a: x1 d1 s1, I 1 s x d s, I, J \ (2) 1 a x 1 x s x y b y 1 c b a c,, dt y t 0, I, J 0, I, J 0 1,, I, J J, I, J (1) (3) (4) (5) (6). (7)

6 134 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) A fução obectvo za o custo total. As restrções (1) e (2) são as restrções de equlíbro de stocks, que garate que a procura dos cletes e cada período é satsfeta e que relacoa os íves de vetáro de u deterado período co os íves de vetáro do período edataete ateror. As restrções (3) são as restrções de capacdade, que força o cosuo do recurso co a produção e a preparação a ão exceder a capacdade dspoível o período. As restrções (4) garate que ua preparação ocorre se o artgo for produzdo o período. Estas restrções podera ser substtuídas por x My, sedo M u valor costate elevado. Deste odo garatr-se-a que, sepre que se decdsse produzr o artgo o período, devera ocorrer ua preparação. Para torar a forulação as forte, o coefcete M pode ser substtuído por c b u lado por, ou sea, pela quatdade áxa que é possível produzr do artgo a o período, e por outro lado por d t t, ou sea, pela soa da procura desde o período e aálse (período ) até ao últo período de plaeaeto. Etre os dos coefcetes referdos, deve escolher-se aquele que tver eor valor, ua vez que a quatdade a produzr do artgo o período será ltada por esse valor. As restrções (5) e (6) põe a codção de ão egatvdade das varáves e as restrções (7) força as varáves de preparação a assur valores báros. A forulação clássca é costtuída por 2 varáves cotíuas, varáves báras e +2 restrções, se cosderar as codções de tegraldade e de ão egatvdade. Relebra-se que represeta o úero de artgos e o úero de períodos de plaeaeto. 4 Decoposções para o problea LPMAC A qualdade dos ltes ferores de u odelo é u aspecto crucal a resolução de odelos de PIM. É esse setdo que se aplca aqu a decoposção de Datzg-Wolfe (Datzg ad Wolfe, 1960), á que esta perte a obteção de forulações as fortes para o problea. Do aueto da qualdade do odelo pode resultar elhores tervalos de tegraldade e elhores tepos de resolução dos probleas. A u problea de PIM pode aplcar-se dferetes decoposções de Datzg-Wolfe, de acordo co as restrções que se cosdere a defção do subproblea e do problea estre. Após a aálse da estrutura da forulação clássca do problea LPMAC, detfcara-se duas decoposções de Datzg-Wolfe alteratvas, que se estudara co o obectvo de aferr a sua efcêca e de estabelecer alguas coparações etre abas, be coo copará-las co a forulação clássca resolvda através de u software coercal de PIM. Nas subsecções segutes apreseta-se as duas decoposções. 4.1 Decoposção por Artgo Na forulação clássca do problea LPMAC apresetada a secção ateror, apeas as restrções de capacdade (3) terlga os artgos a produzr. Se se dexar de cosderar estas restrções, o problea decopõe-se u couto de (sub)probleas depedetes, cada u correspodedo a u problea de lotes de produção de artgo úco ão capactado (ULS). Para trar partdo desta estrutura, esta decoposção, as restrções (3) defe as restrções de lgação, que fca o problea estre. O

7 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) subproblea é coposto pelas restrções (1)-(2) e (4)-(7) e cada subproblea está assocado ao problea ULS, exstdo subprobleas dferetes Problea Mestre Para a defção do problea estre, cosdere-se o couto H que represeta o couto de plaos de produção dexados por k=1,...,t e os parâetros: k, k e k. k assue o valor 1 caso exsta ua preparação do artgo o período o plao de produção k, e assue o valor 0 caso cotráro; =1,..., ; =1,..., ; k=1,...t. k represeta a quatdade a produzr do artgo o período, o plao de produção k; =1,..., ; =1,..., ; k=1,...t e k represeta o ível de vetáro do artgo o fal do período, o plao de produção k; =1,..., ; =1,..., ; k=1,...t. Cosdere-se ada a varável z k que represeta o peso do plao de produção k do artgo ; =1,..., ; k=1,...t e os parâetros e varáves de decsão defdas a Secção 3, relatvas à forulação clássca. Da aplcação da decoposção de Datzg-Wolfe à forulação clássca, resulta u ovo problea, que se desga por problea estre, que te assocadas varáves de decsão que represeta o peso dos potos extreos dos subprobleas (coo o poledro defdo pelas restrções que defe o subproblea é ltado, o problea estre exstrão apeas potos extreos). Qualquer solução do problea estre pode etão ser expressa através de ua cobação covexa e ão egatva dos potos extreos dos subprobleas. O problea estre, da decoposção por artgo é do tpo: Z PMI t Mq k p k h k z k (PMI) 1 k1 1 sueto a: t z k 1 k 1, I ( ) (8) t 1 k 1 ( b k a k )zk c, J ( ) (9) z k 0, I, k H. (10) Nesta decoposção, a solução dos subprobleas (varáves de decsão do problea estre) correspode a plaos de produção. Para u deterado artgo, cada plao de produção dca e que períodos se deve produzr e e que quatdades. As varáves de decsão z k represeta ass a proporção da procura do artgo que é satsfeta através do plao de produção k. A fução obectvo za a soa dos custos totas. As restrções (8) são as restrções de covexdade. Exste ua restrção de covexdade para cada artgo, a qual se força a escolha de ua cobação de plaos de produção. Assocada a cada restrção de covexdade está ua varável dual. O segudo couto de restrções, couto (9), dz respeto às restrções de capacdade. Neste couto forçase a que a cobação de plaos de produção escolhda respete a capacdade dspoível e cada período. Este segudo couto te assocadas as varáves duas. As restrções (10) força as varáves de decsão a toare valores ão egatvos. E teros de desão, o problea PMI, coparatvaete co o problea C, te u úero as reduzdo de restrções. Equato que a forulação clássca exste coo vos aterorete +2 restrções, o problea estre PMI, este úero reduz-se para +. Já e teros de varáves, o problea PMI, coparatvaete co o

8 136 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) problea C, te u úero ggatesco de varáves, pelo que se utlza o étodo de geração de coluas para o resolver. A dea subacete à geração de coluas pode defrse do segute odo: e vez de cosderaros todos os plaos de produção dos subprobleas o problea estre PMI, vaos cosderar apeas u couto restrto desses plaos, defdo u problea estre restrto (PMR) e avalar se exste plaos que ão estão actualete o problea PMI, que caso fosse cluídos o problea podera elhorar o valor da fução obectvo. Os plaos de produção que se revelare atractvos deve ser adcoados ao problea estre. Para car o processo teratvo de geração de coluas, o PMR te de ser u problea váldo, vsto ter de forecer varáves duas aos subprobleas, para fazer a avalação dos plaos de produção atractvos. Para garatr a adssbldade do PMR cluu-se as restrções (8) u couto de varáves artfcas, v, assocadas a cada artgo e a fução obectvo o tero f v, ode f represeta ua pealdade elevada, 1 que tora qualquer solução co varáves artfcas postvas de por qualdade que ua solução ópta e teros das varáves z k. Fora ada cluídos o prero PMR u subcouto de plaos de produção do couto de todos os plaos de produção dos subprobleas. Para recuperar a solução do problea C, a partr de ua solução do problea PMI basta aplcar as expressões: x kzk (11) t k 1 y kzk (12) t k 1 Cohecdo o valor das varáves x, através das equações (1) e (2), é edata a deteração do valor das varáves de decsão auxlares s Subprobleas Se represetar o vector de varáves duas assocado ao couto de restrções de capacdade (9) e a varável dual assocada à restrção do couto de restrções de covexdade (8), os subprobleas a resolver são defdos por: Z SPI M p x q y h s (b y ) (a x ) (SPI) sueto a: x1 d1 s1, (13) 1 s 1 x d s, J \ (14) x c b, dt y, a t J (15) x 0, J (16)

9 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) y 0 1,, J (17) s 0, J. (18) Para resolver os subprobleas da decoposção por artgo, pode utlzar-se o algorto de prograação dâca proposto por (Wager ad Wht, 1958), que resolve e tepo poloal o problea. Cada subproblea te assocados 2-1 plaos de produção e a solução ópta de cada u dos subprobleas represeta u plao de produção relatvo ao artgo. Coo o subproblea ão exste restrções de capacdade, e todos os plaos de produção, quado se toa a decsão de produzr u deterado período, produz-se para satsfazer a procura de u úero tero de períodos. Estes plaos são cohecdos por plaos de Wager-Wht. Durate o processo de geração de coluas, equato o valor ópto da fução obectvo do subproblea (custo reduzdo assocado a u plao de produção) for eor do que zero, deverá adcoar-se ao problea estre ua ova colua ou varável, que correspode à solução do subproblea (plao de produção). E cada teração, pode portato ser adcoadas ao problea estre ovas coluas, caso cada subproblea cotrbua co ua colua atractva. 4.2 Decoposção por Período Nesta subsecção aborda-se ua decoposção alteratva à decoposção por artgo, que cosste e dexar o problea estre as restrções de equlíbro de stocks (1) e (2) e e passar para o subproblea as restrções (3), (4), (6) e (7). Co esta decoposção os subprobleas passa a estar assocados aos períodos de plaeaeto. No osso elhor coheceto, esta decoposção fo apeas estudada por (Daby et al., 1992a), que utlzara a relaxação Lagrageaa e resolvera o problea reforulado pelo étodo do subgradete. Neste trabalho, aplca-se a decoposção de Datzg-Wolfe e a resolução do problea reforulado é feta pelo étodo de geração de coluas, que quado cobado co o étodo de partção e avalação, perte ada a obteção de soluções óptas teras Problea Mestre Para defr o problea estre da decoposção por período, cosdere-se os parâetros e varáves da forulação clássca apresetada a Secção 3, o couto H que represeta o couto de padrões de produção dexados por k=1,...,t e os parâetros: k e k. k assue o valor 1 caso exsta ua preparação o período do artgo, o padrão de produção k e assue o valor 0 caso cotráro; =1,..., ; =1,..., ; k=1,...t e k represeta a quatdade a produzr o período do artgo, o padrão de produção k; =1,..., ; =1,..., ; k=1,...t. Cosdere-se tabé a varável de decsão zk que represeta o peso do padrão de produção k do período ; =1,..., ; k=1,...t. O problea estre que a decoposção por período resulta da aplcação da decoposção de Datzg-Wolfe, é tal coo o da decoposção por artgo costtuído por varáves de decsão que represeta pesos de potos extreos dos subprobleas, pos este caso o poledro defdo pelas restrções do subproblea é tabé u couto ltado. A dfereça é que agora as varáves represeta padrões de produção que estão assocados a u período. Cada padrão de produção dca para u deterado período a quatdade que deve ser produzda do x de artgos a processar.

10 138 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) A solução da relaxação lear do problea LPMAC, quado se aplca a decoposção por período, pode ser obtda resolvedo o segute problea estre, aqu desgado por PMJ: Z PMJ sueto a: t Mh s q k p k z k k1 1 (PMJ) t z k k 1 1, J ( ) (19) t 1 kz1k d1 s1, I ( 1 ) (20) k 1 s kz 1 t 1 k d s, I, J \ ( ) k 1 (21) s 0, I, J (22) z k 0, J, k H. (23) As varáves de decsão zk pode ser vstas coo a proporção da procura do período que é satsfeta pelo padrão de produção k. A fução obectvo do problea estre za a soa dos custos totas. As restrções (19) represeta as restrções de covexdade. Exste ua restrção de covexdade assocada a cada período a qual se força a escolha de ua cobação de padrões de produção. Assocada a cada restrção de covexdade está ua varável dual. No caso da decoposção por período, as restrções de covexdade pode ser escrtas coo ua desgualdade do tpo, e vez da sua fora habtual, a qual estas restrções são escrtas coo ua gualdade. Esta alteração é possível, devdo ao espaço de soluções adssíves do subproblea SPJ (que será defdo a subsecção segute) clur a orge. Co esta odfcação, exclue-se do problea estre os padrões de produção que dque que para u deterado período ada deve ser produzdo. O couto de restrções (20) e (21), são as restrções de equlíbro de stocks. Neste couto força-se a que a cobação de padrões de produção escolhda respete a procura de cada artgo e cada período. Este couto te assocadas as varáves duas. As restrções (22) e (23) põe a codção de ão egatvdade das varáves de vetáro e das varáves de peso, respectvaete. Quato à desão, o problea PMJ te + restrções. Nesta decoposção o úero de varáves do problea estre é extreaete elevado, pelo que tabé se recorre ao étodo de geração de coluas para resolver o problea PMJ. Devdo ao couto de restrções de equlíbro de stocks do prero período de plaeaeto, restrções (20), o prero PMR pode ão ser váldo. Para o valdar, assocou-se ua varável artfcal, v, a cada restrção deste couto. Estas varáves pode ser terpretadas coo sedo o vetáro exstete o íco do prero período de plaeaeto. À fução obectvo, adcoou-se o tero f v, ode f é u escalar 1 co u valor uto elevado, para garatr que qualquer solução co varáves artfcas postvas é por que ua solução ópta e teros das varáves de peso zk. A solução do problea C, pode ser obtda por aplcação das segutes expressões:

11 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) x kz k (24) t k 1 y kz k (25) t k Subprobleas Cada u dos subprobleas da decoposção por período é defdo por: Z SPJ sueto a: M p x 1 q y 1 x 1 (SPJ) a x 1 b y 1 c, (26) x c b, dt y, a t I (27) x 0, I (28) y, 0,1 I, (29) ode represeta a varável dual assocada à restrção do couto de restrções de covexdade (19) e represeta o vector de varáves duas assocado ao couto de restrções de equlíbro de stocks (couto de restrções (20) e (21)). A fução obectvo de cada subproblea represeta o custo reduzdo assocado ao padrão de produção. No processo de geração de coluas, equato os custos reduzdos dos subprobleas fore eores do que zero, deverão adcoar-se ao problea estre restrto os padrões de produção correspodetes. Os subprobleas da decoposção por período estão assocados ao problea da ochla cotíuo co preparações ( cotuous kapsack proble wth setups ). Este problea fo receteete abordado e (Perrot ad Vaderbeck, 2004), ode é apresetado u algorto de prograação dâca e u algorto de partção e avalação para o problea. 4.3 Pesqusa de Soluções Iteras Ao resolver os probleas estres defdos as subsecções e por geração de coluas, estaos a deterar a solução ópta da relaxação lear dos odelos de decoposção. O valor da solução que se obté represeta portato u lte feror para o valor do ópto tero. Coo os subprobleas que resulta de abos os odelos de decoposção ão possue a propredade da tegraldade (Geoffro, 1974), o lte feror que se obté a resolução dos probleas estres é elhor ou gual que o obtdo pela solução da relaxação lear da forulação clássca.

12 140 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) Para recuperaros ua solução expressa e teros das varáves de peso para ua solução e teros das varáves orgas da forulação clássca, basta aplcaros as expressões (11) e (12) o caso da decoposção por artgo e as expressões (24) e (25) caso se trate da decoposção por período. Se, essa solução, exstre varáves de preparação, as varáves y, que ão sea báras, esta solução ão correspode à solução ópta do problea C. Para deterar a solução ópta tera do problea deverá etão recorrer-se ao étodo de partção e geração de coluas. Este étodo coba o étodo de partção e avalação co o étodo de geração de coluas (Barhart et al., 1998) e asseta a resolução de u problea estre e cada odo da árvore de pesqusa através do étodo de geração de coluas. A estratéga de partção usada este trabalho, cosste e adcoar ao problea estre restrções de partção que força as varáves orgas de preparação a assur valores báros. Esta estratéga te a vatage de ser geral, podedo ser aplcada a qualquer tpo de problea, garatdo a preservação da estrutura do subproblea os odos da árvore de pesqusa. Quado a solução da raz da árvore de pesqusa, ou a solução de u deterado odo ão é tera, e exste teresse e explorá-lo, deve adcoar-se dos ovos odos ao problea. Cada u destes odos passa a defr u ovo problea, o qual para alé de se cosderar o problea estre actual, se cosdera tabé ua das restrções de partção, a segur apresetadas: kzk 0 ou kzk 1 se decoposção por artgo kh kh kz k 0 ou kz k 1 se decoposção por período kh kh ode H represeta o couto de plaos de produção (se decoposção por artgo) ou de padrões de produção (se decoposção por período) que faze parte desse problea estre actual. Após a adção da restrção de partção, para que os custos reduzdos dos subprobleas a resolver o processo de geração de coluas sea correctaete deterados, deve alterar-se a fução obectvo desses subprobleas, a qual se deve passar a cosderar a varável dual assocada à restrção de partção que fo adcoada. No caso da decoposção por artgo, se represetar a varável dual assocada à restrção de partção que fo adcoada ao odo, a fução obectvo de cada u dos subprobleas, apresetada a subsecção 4.1.2, deve subtrar-se o tero segute: y. Se se tratar da decoposção por período e se for a varável dual assocada à 1 restrção de partção, a fução obectvo de cada u dos subprobleas apresetados a subsecção deve subtrar-se o tero: y. 1 5 Resultados Coputacoas Co o obectvo de avalar e coparar o desepeho de abos os algortos de partção e geração de coluas e de os coparar co a forulação clássca resolvda pelo software Cplex 8.1 realzara-se testes coputacoas, cuos resultados se apreseta este capítulo. Para edr o desepeho de cada u dos três étodos, utlzara-se os

13 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) segutes crtéros: qualdade dos ltes ferores (edda através do cálculo dos tervalos de tegraldade) e efcêca. Os resultados coputacoas fora obtdos através da resolução de u couto de 180 stâcas usadas por (Trgero et al., 1989), as quas fora geradas co base a varação de quatro característcas: varabldade da procura, capacdade utlzada, perodcdade de ecoeda ( te betwee orders ) e tepo de preparação. Na esa referêca pode ecotrar-se forações poreorzadas acerca da fora coo estas stâcas fora obtdas. Todas as stâcas cosdera 10 artgos e 20 períodos de plaeaeto. E abos os odelos de decoposção, os probleas estres quer da raz da árvore de pesqusa quer de qualquer odo da árvore, são resolvdos até à optaldade pelo algorto dual do splex, através do Cplex. Os subprobleas da decoposção por artgo e da decoposção por período são tabé resolvdos até à optaldade, usado o Cplex. Os preros probleas estres restrtos são defdos através de u couto de varáves artfcas que assegura a adssbldade dos esos e de u subcouto de plaos de produção o caso da decoposção por artgo e e cada teração do étodo de geração de coluas resolve-se todos os subprobleas até optaldade e todas as coluas atractvas são adcoadas ao problea estre restrto. No étodo de partção e geração de coluas, quer a decoposção por artgo, quer a decoposção por período, fzera-se algus testes prelares ode se testara duas estratégas de pesqusa da árvore. Na prera estratéga utlzou-se a pesqusa prero e profuddade e deu-se prordade ao odo que te assocado a restrção de partção do tpo e a regra de partção utlzou-se ua estratéga baseada a escolha da varável co parte fraccoára as próxa de 1. Na seguda estratéga de pesqusa da árvore, tabé se utlzou a pesqusa prero e profuddade, as deu-se prordade ao odo de pesqusa que te assocada a restrção de partção do tpo e a regra de partção utlzou-se ua estratéga baseada a escolha da varável co parte fraccoára as próxa de 0. Coo a prera estratéga fo a que produzu elhores resultados, a realzação dos testes que aqu se apreseta fo esta a estratéga seguda. Os algortos de partção e geração de coluas fora pleetados e C++ utlzado a ferraeta ADDg Autoatc Datzg-Wolfe Decoposto for INteger colu Geerato (Alvelos, 2005). Os testes fora realzados u coputador pessoal co u processador Petu 4 a 2 GHz e co 1 GB de eóra. Na tabela 1 apreseta-se os tepos de resolução da relaxação lear dos dos odelos de decoposção e da forulação clássca resolvda pelo Cplex. Esses tepos estão expressos e segudos e refere-se aos tepos édos de resolução do couto de 180 stâcas. Tabela 1: Tepos Médos: Relaxação Lear Método Tepo Médo (segudos) Decoposção por Artgo 2.39 Decoposção por Período Forulação Clássca - Cplex 0.03 Na resolução do problea tero, ltou-se o tepo de resolução a 3600 segudos. Usado a decoposção por período, ão se cosegue atgr a solução ópta e ehua das 180 stâcas o tepo lte estabelecdo, ecotrado-se apeas

14 142 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) soluções cubetes. E 109 das 180 stâcas testadas ão se cosegue deterar a solução ópta usado quer a decoposção por artgo, quer o Cplex. Exste portato 71 stâcas que são resolvdas até à optaldade, cosderado o Cplex e/ou a decoposção por artgo. Desta aálse cocluí-se que e cerca de 40% das stâcas testadas se cosegue deterar a solução ópta do problea e eos de ua hora. Co o Cplex cosegue-se deterar a solução ópta de 61 stâcas u tepo édo de segudos equato que co a decoposção por artgo se cosegue deterar a solução ópta de 59 stâcas, u tepo édo de segudos. Já e teros de soluções cubetes, e 49 das 109 stâcas e que ão se cosegue deterar a solução ópta o Cplex apreseta elhores cubetes que os odelos de decoposção. Nas restates 60 stâcas, é a decoposção por artgo que apreseta as elhores soluções cubetes. As soluções cubetes da decoposção por período são sepre pores que as soluções cubetes da decoposção por artgo e do Cplex. Na tabela 2 suara-se estes resultados. A seguda colua da tabela refere-se ao úero de stâcas que são resolvdas até à optaldade por cada u dos étodos e a tercera colua apreseta-se os tepos édos de resolução dessas stâcas. Na quarta colua apreseta-se os tervalos édos de tegraldade ou GAP s édos de tegraldade e percetage. Os GAP s fora deterados através da segute Z PI Z LI expressão:, represetado ZPI o valor da solução ópta tera e ZLI o valor do Z PI lte feror (o valor da solução ópta do odo da raz da árvore) de cada u dos três étodos. Nesta aálse cosderara-se as 71 stâcas para as quas se obteve a solução ópta tera. Por últo, a quta colua quatfca-se o úero de stâcas, do couto das 109 que ão são resolvdas até à optaldade, e que cada étodo apreseta elhores soluções cubetes. Método Tabela 2: Resultados Coputacoas : Problea Itero Núero Istâcas Resolvdas Tepo Médo (segudos) GAP Médo (%) Núero Melhores Icubetes Decoposção por Artgo Decoposção por Período Forulação Clássca - Cplex Aalsado os resultados da tabela 1, coclu-se que a decoposção por artgo os tepos édos de resolução da relaxação lear são bastate ferores aos obtdos co a decoposção por período. Etre a decoposção por artgo e o Cplex, a dfereça ão é tão sgfcatva, as o Cplex cosegue resolver a relaxação as rapdaete. A dfereça de tepos édos etre a decoposção por artgo e a decoposção por período roda os segudos e etre a decoposção por artgo e o Cplex roda os 2 segudos. Da aálse da tabela 2 depreede-se que e teros do úero de stâcas resolvdas até à optaldade, a dfereça etre a decoposção por artgo e a decoposção por período é eore. Etre a decoposção por artgo e o Cplex cosderase que essa dfereça ão é sgfcatva. Quato aos tepos édos de resolução do problea tero, coo a decoposção por período ão se obté ehua solução ópta, esta aálse apeas se cosderara os tepos édos de resolução do couto de 59 stâcas da decoposção por artgo e do couto de 61 stâcas da decoposção por período. O Cplex é o étodo que e éda apreseta elhores tepos de resolução, ão sedo cotudo sgfcatva a dfereça etre os tepos édos deste étodo e os tepos édos da decoposção por artgo. Essa dfereça é de 74 segudos.

15 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) Quato aos GAP s de tegraldade, esta é para ós ua edda de desepeho fudaetal, pos perte-os aferr acerca da qualdade dos odelos desevolvdos, depedeteete da pleetação utlzada para os resolver. O odelo da decoposção por artgo é claraete as forte que o odelo da decoposção por período e que a forulação clássca. Coparado o GAP da decoposção por período co o do Cplex, cocluí-se que são abos seelhates, ebora o GAP da decoposção por período sea u pouco elhor. Para alé da aálse dos GAP s, a aálse das elhores soluções cubetes, perte-os tabé atestar a qualdade das soluções. Quato as baxo for o valor da solução cubete as próxo estaos do valor da solução ópta tera. Para o couto das 109 stâcas, para as quas ão se obté a solução ópta tera e 3600 segudos, coparara-se as soluções cubetes obtdas pelos três étodos a altura e que o tepo lte fo atgdo. Dessa aálse verfcou-se que a decoposção por artgo é a que apreseta para u aor úero de stâcas as elhores soluções cubetes. Depos de efectuada a aálse geral dos resultados obtdos a resolução do couto das 180 stâcas, fez-se a aálse dos resultados atededo à varação dos quatro parâetros das stâcas de teste. Nesta fase cosderara-se coo eddas de desepeho os tepos édos de resolução do problea tero e os GAP s édos de tegraldade. Para o cálculo dos GAP s de tegraldade cosderara-se as 71 stâcas para as quas se obteve a solução ópta e cosderara-se os três étodos de resolução. Para o cálculo dos tepos édos de resolução apeas se cosderou a decoposção por artgo e o Cplex, á que a decoposção por período ão se obteve a solução ópta tera de ehua das stâcas. No caso da decoposção por artgo utlzara-se as 59 stâcas para as quas se obteve a solução ópta e para o Cplex, utlzara-se as 61 stâcas que são resolvdas até à optaldade co este étodo. Os resultados que se apreseta a tabela 3 e a tabela 4 refere-se a esta aálse. Tabela 3: Resultados Coputacoas: co Varação de Parâetros das Istâcas Decoposção por Artgo GAP N.º Istâcas (%) Resolvdas Forulação Clássca - Cplex GAP N.º Istâcas (%) Resolvdas Decoposção por Período GAP N.º Istâcas (%) Resolvdas Utlzação Baxa de Méda Capacdade Alta Varabldade Méda da Procura Alta Perodcdade Baxa de Méda Ecoeda Alta Tepo de Baxo Preparação Alto Da aálse da tabela 3 verfca-se que quado a utlzação de capacdade é alta, há poucas stâcas que são resolvdas e que à edda que aueta a utlzação de capacdade o GAP quer da decoposção por período quer do Cplex baxa, sedo que e relação à decoposção por artgo à edda que aueta a utlzação de capacdade, tabé aueta o GAP. O efeto o GAP, quado se vara a procura e quado se vara o tepo de preparação, ão é sgfcatvo se se cosderar a decoposção por período e o

16 144 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) Cplex. Na decoposção por artgo as dfereças são as acetuadas, verfcado-se que a passage de u ível para o ível edataete superor, leva a u aueto do GAP. E relação à varação a perodcdade de ecoeda, pode dzer-se que à edda que aueta a perodcdade de ecoeda aueta sgfcatvaete a dfculdade do problea, sedo esse aueto as acetuado para a decoposção por período e para o Cplex. Esta aálse só pode ser baseada as stâcas co perodcdade baxa e éda, á que e ehua das stâcas co perodcdade alta se coseguu obter resultados. Por últo, saleta-se que relatvaete aos GAP s de tegraldade e teros geras o coportaeto da decoposção por período e do Cplex é uto dêtco, face às varações os parâetros. Tabela 4: Resultados Coputacoas: co Varação de Parâetros das Istâcas Decoposção por Artgo Tepo édo N.º Istâcas (segudos) Resolvdas Forulação Clássca - Cplex Tepo édo N.º Istâcas (segudos) Resolvdas Utlzação Baxa de Méda Capacdade Alta Varabldade Méda da Procura Alta Perodcdade Baxa de Méda Ecoeda Alta Tepo de Baxo Preparação Alto Na aálse dos tepos de resolução do problea tero, deverá otar-se que os resultados apresetados a tabela 4 ão dze respeto exactaete às esas stâcas, pelo que as coparações que se apreseta de seguda poderão estar evesadas. Idealete devera cosderar-se as esas stâcas, as esse caso a aostra sera relatvaete baxa. Quado a utlzação de capacdade é alta, há poucas stâcas que são resolvdas até à optaldade e quado a perodcdade de ecoeda é alta ehu dos étodos cosegue ecotrar soluções óptas teras. Verfca-se que os tepos édos de resolução aueta sgfcatvaete quado se passa de ua utlzação de capacdade baxa para éda, ass coo quado se passa da varabldade da procura éda para a alta e quado se passa da perodcdade de ecoeda baxa para a éda. E teros geras o desepeho da decoposção por artgo é dêtco ao do Cplex, sedo de realçar que as stâcas co varabldade da procura éda e co perodcdade de ecoeda éda, os tepos édos de resolução são as baxos a decoposção por artgo coparatvaete co os tepos do Cplex. 6 Coclusões Neste artgo apresetara-se e coparara-se dos algortos de partção e geração de coluas para a obteção de soluções óptas teras do problea de lotes de produção ult-artgo capactado co tepos de preparação. Abos os algortos basea-se a

17 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) aplcação da decoposção de Datzg-Wolfe a ua forulação de Prograação Itera Msta clássca para o problea. Nu deles, os subprobleas estão assocados a períodos e, o outro, os subprobleas estão assocados aos artgos. O odelo de decoposção por artgo perte obter tervalos de tegraldade uto baxos, o que os leva a cosderar que exstra vatages e vestr-se o aueto da efcêca deste odelo e abordages futuras, oeadaete ao ível do algorto de partção e geração de coluas. Certaete os tepos de resolução podera ser reduzdos através da pleetação do algorto de prograação dâca proposto por Wager-Wht, para resolver os subprobleas e através da pleetação de heurístcas para a obteção de soluções adssíves de elhor qualdade, quer a raz da árvore de pesqusa quer os odos da árvore. Para a pesqusa de soluções teras propôs-se u esquea de partção baseado as varáves orgas de preparação, o qual se adcoa restrções de partção ao problea estre, garatdo-se deste odo a preservação da estrutura do subproblea. Este esquea te a vatage de ser geral e de poder ser aplcado a qualquer tpo de problea de Prograação Itera ou de Prograação Itera Msta. Os testes coputacoas realzados ostrara que a decoposção por artgo te u desepeho claraete superor ao da decoposção por período e que etre a decoposção por artgo e a forulação clássca resolvda pelo Cplex a vatage da decoposção por artgo e teros de tervalos de tegraldade é sgfcatva. Já e teros de tepos de resolução abos os étodos tê u desepeho slar, ebora co o Cplex 8.1 se obteha e éda resultados u pouco elhores. 7 Agradecetos Este trabalho fo parcalete facado pela Fudação para a Cêca e a Tecologa, através do proecto POSI/SRI/48873/2002 e decorreu o Cetro Algort da Uversdade do Mho. 8 Referêcas Alvelos, F. (2005) Brach-ad-Prce ad Multcoodty Flows, PhD Thess, Uversdade do Mho. Baray, I., Roy, T. J. V. ad Wolsey, L. A. (1984) Strog Forulatos for Mult-Ite Capactated Lot Szg, Maageet Scece, Vol. 30, No. 10, pp Barhart, C., Johso, E. L., Nehauser, G. L., Savelsbergh, M. W. P. ad Vace, P. H. (1998) Brach-ad-Prce: Colu Geerato for Solvg Huge Iteger Progras, Operatos Research, Vol. 46, No. 3, pp Belvaux, G. ad Wolsey, L. A. (2000) bc-prod: A Specalzed Brach-ad-Cut Syste for Lot-Szg Probles, Maageet Scece, Vol. 46, pp Che, W. H. ad Thzy, J. M. (1990) Aalyss of Relaxatos for the Mult-Ite Capactated Lot-Szg Proble, Aals of Operatos Research, Vol. 26, pp Datzg, G. B. ad Wolfe, P. (1960) Decoposto Prcple for Lear Progras, Operatos Research, Vol. 8, pp Daby, M., Bahl, H. C., Karwa, M. H. ad Zots, S. (1992a) Capactated Lot-Szg ad Schedulg by Lagragea Relaxato, Europea Joural of Operatoal Research, Vol. 59, pp

18 146 C. Petel, F. Alvelos, J. Carvalho / Ivestgação Operacoal, 26 (2006) Daby, M., Bahl, H. C., Karwa, M. H. ad Zots, S. (1992b) A Lagragea Relaxato Approach for Very-Large-Scale Capactated Lot-Szg, Maageet Scece, Vol. 38, No. 9, pp Drexl, A. ad Ks, A. (1997) Lot Szg ad Schedulg - Survey ad Extesos, Europea Joural of Operatoal Research, Vol. 99, pp Dzelsk, B. P. ad Goory, R. E. (1965) Optal Prograg of Lot Szes, Ivetory ad Labor Allocatos, Maageet Scece, Seres A, Vol. 11, No. 9, pp Eppe, G. D. ad Mart, R. K. (1987) Solvg Mult-Ite Capactated Lot-Szg Probles usg Varable Redefto, Operatos Research, Vol. 35, No. 6, pp Geoffro, A. M. (1974) Lagragea Relaxato for Iteger Prograg, Matheatcal Prograg Study, Vol. 2, pp ILOG (2002) CPLEX 8.1, User's Maual. Jas, R. (2002) Capactated Lot Szg Probles: New Applcatos, Forulatos ad Algorths, PhD Thess, Katholeke Uverstet. Kar, B., Gho, S. ad Wlso, J. (2003) The Capactated Lot Szg Proble: a Revew of Models ad Algorths, Oega, Vol. 31, pp Kuk, R., Saloo, M. ad Wassehove, L. v. (1994) Batchg Decsos: Structure ad Models, Europea Joural of Operatoal Research, Vol. 75, pp Lasdo, L. S. ad Terug, R. C. (1971) A Effcet Algorth for Mult-Ite Schedulg, Operatos Research, Vol. 19, No. 4, pp Mae, A. S. (1958) Prograg of Ecooc Lot Szes, Maageet Scece, Vol. 4, No. 2, pp Merle, O. d., Goff, J.-L., Trouller, C. ad Val, J.-P. (1999) A Lagraga Relaxato of the Capactated Mult-Ite Lot Szg Proble Solved wth a Iteror Pot Cuttg Plae Algorth, Approxato ad Coplexty Nuercal Optzato: Cotuous ad Dscrete Probles, Pardalos, P. M. (eds.), Kluwer Acadec Publshers. Mller, A. J., Nehauser, G. L. ad Savelsbergh, M. W. P. (2000) Solvg Mult-Ite Capactated Lot-Szg Probles wth Setup Tes by Brach-ad-Cut, Techcal report CORE Dscusso Paper 2000/39. Perrot, N. ad Vaderbeck, F. (2004) Kapsack Probles wth Setups, Techcal report U Pochet, Y. (2001) Matheatcal Prograg Models ad Forulatos for Deterstc Producto Plag Probles, Coputatoal Cobatoral Optzato, Jüger, M. ad D. Naddef (eds.), Sprger-Verlag. Pochet, Y. ad Wolsey, L. A. (1991) Solvg Mult-Ite Lot-Szg Probles usg Strog Cuttg Plaes, Maageet Scece, Vol. 37, pp Thzy, J. M. ad Wassehove, L. N. V. (1985) Lagragea Relaxato for the Mult-Ite Capactated Lot Szg Proble: a Heurstc Ipleetato, IIE Trasactos, Vol. 17, pp Trgero, W. W., Thoas, L. J. ad McCla, J. O. (1989) Capactated Lot Szg wth Setup Tes, Maageet Scece, Vol. 35, No. 3, pp Wager, H. ad Wht, T. (1958) Dyac Verso of the Ecooc Lot Sze Model, Maageet Scece, Vol. 5, No. 1, pp

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