ANAIS O JOGO DA LOGÍSTICA E SUAS VARIANTES NO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE INSTALAÇÕES

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1 O JOGO DA LOGÍSTICA E SUAS VARIANTES NO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE INSTALAÇÕES MARCOS RICARDO ROSA GEORGES ( marcos.georges@puc-campas.edu.br, marcos_georges@yahoo.com.br ) PUC-CAMPINAS Resumo Este artgo apreseta os resultados obtdos a aplcação do Jogo da Logístca, especalmete o que se refere ao problema da localzação de stalações. O Jogo da Logístca é um ogo de tabulero, com cartas, dados e peças que smula o plaeameto e a operação da dstrbução de um produto para os cletes. Permte o eso da logístca de forma lúdca e com grade profuddade, oferece grade repertóro de problemas de atureza logístca aos quas os ogadores são submetdos e devem resolvê-los. Neste artgo, serão detalhadas as varações do problema de localzação que o Jogo da Logístca permte explorar, bem como suas soluções através de plalhas eletrôcas, comprovado que o uso deste artfíco o eso da logístca possblta atgr elevados íves de complexdade. Uma rápda apresetação dos elemetos do Jogo da Logístca completa este artgo. Palavras chave: Jogo da Logístca; Logístca Empresaral; Estratéga de Operações; Eso e Pesqusa em Admstração, Jogos de Empresas.. INTRODUÇÃO O Jogo da Logístca é um ogo de tabulero, cartas e dados que compõe um ceáro complexo e detalhado para se realzar o plaeameto e a operação de dstrbução semaal de produtos dos cetros de dstrbução para seus cletes, exgdo dos partcpates a aplcação de dversos cocetos e ferrametas da logístca, como: localzação e dmesoameto das stalações, dmesoameto e seleção de modal, gestão de estoques e estoque de seguraça, roterzação e programação de veículos, cálculo do frete, e demas decsões da logístca. Dferetemete dos tradcoas ogos baseados em computador, o Jogo da Logístca ão forece ehum sstema computacoal de apoo às decsões, porque um de seus obetvos é desevolver a capacdade de costrur soluções para os problemas utlzado plalhas eletrôcas, equato que, os ogos tradcoas baseados em computador, pouco se sabe sobre os cálculos que são executados quado se almeta um formuláro e aperta-se o botão. É ustamete esta capacdade de desevolver soluções em plalhas eletrôcas que motvou a redação deste artgo, que apreseta as varates do problema de localzação e suas soluções utlzado-se plalhas eletrôcas, mostrado a grade complexdade que os problemas podem assumr o Jogo da Logístca. Ates de detalhar estas varates o problema de localzação e suas soluções, uma breve apresetação do Jogo da Logístca é feto. 2. O JOGO DA LOGÍSTICA O ogo fo crado por Georges (2009) como um strumeto ddátco para eso da logístca e é formado por um tabulero e algumas cartas que estão detalhados a segur. /6

2 2.. O TABULEIRO ANAIS O tabulero fo sprado o mapa rodováro do estado de São Paulo e mostra somete 44 cdades que estão cluídas o ogo e as prcpas rodovas que lgam estas cdades. Tem dmesão de 0,80 x 0,60 metros, escala de : e possu um sstema de coordeadas cartesaas e há algumas fguras que detalham a seqüêca do ogo. As cdades são colordas por três toaldades de azul, dcado a categora desta cdade (que pode ser A, B ou C), cada categora tem um padrão de demada dferete. A fgura exbe o tabulero do ogo AS CARTAS Fgura Tabulero do Jogo da Logístca (fote: Georges, 2009) As cartas represetam dversas etdades do ogo, como: cletes, produtos, veículos, codções de etrega e evetos aleatóros. Cada carta cotém um couto de formações para a realzação das etapas do ogo e estas cartas estão detalhadas a segur Cartas dos Cletes Cada cdade do tabulero é represetada por uma carta que, por meo de sorteo, formarão a base dos cletes cua demada deverá ser atedda semaalmete. São 44 cartas que trazem formações vtas para o ogo, como o úmero de dados a serem ogados que determarão a demada semaal deste clete. Cletes da categora A ogam três dados para determar sua demada semaal, cletes B ogam dos dados e cletes C ogam apeas um dado para determar sua demada semaal em udades de produto paletzado. Outra formação é o tempo de tráfego urbao gasto pelo veículo que fará 2/6

3 ANAIS a etrega esta cdade. A fgura 2 a segur lustra a carta da cdade de Araraquara, cua demada semaal é dado pelo sorteo de 3 dados e o tempo urbao é :0h Cartas dos Produtos O produto a ser dstrbuído para os cletes também é defdo por meo de sorteo de uma carta (fgura 2) detre ses opções de produtos que o Jogo da Logístca oferece. As formações cotdas esta carta dzem respeto as suas característcas físcas, característcas de mercado, característcas do forecedor e algumas formações adcoas sobre codções de emplhameto, armazeagem e ível de seguraça exgdo. As característcas físcas cotêm formações sobre: dmesão, peso, úmero de udades o pallet e forma de apresetação, que são usadas para determar o úmero máxmo de produtos trasportados e emplhados. As característcas de mercado formam o preço de cada tem, o custo de mauteção de estoque e o custo da falta. As característcas do forecedor formam o custo fxo do peddo, quatdade míma e sobre o padrão de etrega do forecedor. Estas formações são usadas para determar os parâmetros do sstema de reposção de estoque (lote ecoômco, poto de peddo e período de reposção) e também são usados para calcular o estoque de seguraça, o dmesoameto da área de estocagem e o úmero de prateleras Cartas dos Veículos O produto sorteado deverá ser etregue por um veículo. O veículo ão é sorteado, mas escolhdo detre cco opções: furgão, toco, truck, sem-reboque e duplo sem-reboque, cada qual com característcas téccas/desempeho e característcas de mercado dferetes, que exgrá grade capacdade de aálse para selecoar a melhor opção e o úmero de veículos adequado. A fgura 2 a segur apreseta a carta do veículo tpo truck. Fgura 2 - Exemplos de Carta de Clete, Carta de Produto e Carta de Veículo (fote: Georges, 2009) As característcas téccas/desempeho agrupam formações como: capacdade útl (peso e cubagem), capacdade o taque de combustível, redmeto, quatdade de óleo ecessára, tervalo de troca de óleo, úmero e tpo de peus, tervalo de troca de peu, velocdade méda, tervalo para revsão mecâca, lubrfcação, recapages e tempo de deprecação. As característcas de mercado formam: preço do veículo ovo e usado, valor do seguro, dos mpostos, do saláro do motorsta, do preço do peu ovo e da recapagem, do 3/6

4 ltro de óleo lubrfcate e do óleo combustível, da orada de trabalho do motorsta, o percetual de ecargos trabalhstas e taxa de uro pratcado o mercado. Estas formações são usadas para calcular o custo por qulômetro rodado e a por hora de uso dos veículos Cartas das Codções de Etrega A carta de codção de etrega forecerá os das e horáros para se fazer a etrega o clete. É uma varável que gradatvamete perde-se o domío. No íco, os partcpates têm a lberdade de escolher o da e horáro que farão as etregas segudo a coveêca do etregador, mas, a cada semaa, um ovo clete passa a ter sua codção de etrega defda pelo sorteo, até que todos os cletes teham seus das e horáros defdos segudo estas cartas. A fgura 3 exbe uma das 6 cartas de codções de etrega do Jogo da Logístca. Fgura 3 - Exemplo de uma Carta de Codção de Etrega e de Eveto Aleatóro (fote: Georges, 2009) Cartas de Evetos Aleatóros As cartas de evetos aleatóros são perturbações exteras que afetam a operação logístca. Ao fal de cada semaa é sorteada uma carta de eveto aleatóro que mporá, durate a semaa segute, uma codção partcular, tal como: uma quebra do veículo, uma rodova terdtada e outros mprevstos. Ao todo são 20 cartas de evetos aleatóros e a fgura 3 apreseta um exemplo deste tpo de carta. 3. A DINÂMICA DO JOGO DA LOGÍSTICA O Jogo da Logístca é dvdo em duas fases dsttas: Plaeameto e Operação. O plaeameto cotém as etapas de co, localzação, estoques/armazeagem e trasportes, e a fase da operação cotém a etapa das etregas semaas que se repete até o fm do ogo. A seqüêca das fases e das etapas está lustrada a fgura 4 a segur. Fgura 4 - Seqüêca do ogo da Logístca (fote: Georges, 2009) Cabe ressaltar que a aplcação do ogo é feta segudo os precetos das metodologas atvas de eso, em especal o Apredzado Baseado em Problemas (PBL), uma metodologa de eso-apredzagem que tem como uma de suas característcas prcpas a exposção cal de um problema para depos apresetar a teora. Assm, todas as etapas do ogo que 4/6

5 serão detalhadas a segur, sempre se cam com a apresetação do problema, exgdo uma solução cal por parte dos partcpates e, somete depos, há uma oretação do professor para que os partcpates desevolvam as soluções dos problemas. No etato, o ogo pode ser aplcado com outras metodologas de esoapredzagem, só que tas aplcações ada ão foram fetas pelo presete autor. 3.. INÍCIO Esta etapa desta-se a formação das equpes e aos sorteos da base de cletes e do produto a ser dstrbuído. Na dscpla de logístca empresaral de curso de graduação em admstração foram formadas equpes de quatro tegrates e sorteados 20 cletes e um produto para cada equpe. Porém, o tamaho das equpes, da base de cletes e do úmero de produtos pode dferr em fução do ível do curso, do tamaho da sala e do cohecmeto prévo dos partcpates PLANEJAMENTO DA LOCALIZAÇÃO Esta etapa do plaeameto desta-se em determar a localzação dos CD s que atederão a demada semaal dos cletes. Este problema da localzação dos CD s pode ser eucado de dferetes formas, exgdo o uso de dferetes métodos e ferrametas da logístca, podedo ser proposto com um problema smples (para cates em logístca) ou adqurr elevada complexdade e exgr a aplcação de sofstcados métodos para resolvê-lo (para partcpates com cohecmetos avaçados em logístca). As formações essecas para se determar a localzação dos CD s são extraídas da dsposção geográfca dos cletes (retrada das coordeadas do tabulero) e da demada semaal de cada clete. Iformações adcoas para cofgurar ceáros mas complexos podem ser dadas pelo professor ou defdas pelos partcpates. A seção 4 deste artgo apreseta em detalhes algus problemas de localzação que foram eucados as aplcações do Jogo da Logístca, desde problemas smples até problemas de grade complexdade, e também apreseta suas soluções, algumas sugerdas pelos aluos e outras desevolvdas pelo presete autor PLANEJAMENTO DOS ESTOQUES E ARMAZENAGEM Esta etapa do plaeameto tem por obetvo defr a sstemátca de cotrole e reposção dos estoques e também dmesoar a área destada à armazeagem. É exgda a determação dos parâmetros do sstema de revsão cotíua e do sstema de revsão peródca, sedo ecessáro o cálculo do tamaho do lote ecoômco, o tervalo etre peddos, o poto de peddo, a quatdade máxma de refereca e outros parâmetros que defem a dâmca dos estoques para cada sstemátca adotada. Já o cálculo do estoque de seguraça utlza o teorema cetral do lmte para aproxmar a dstrbução da demada do CD de uma dstrbução ormal, pos a dstrbução de demada do CD é a soma das dstrbuções de probabldade de cada clete. Após determado os parâmetros que defem a sstemátca de reposção dos estoques é feto um esboço do layout do armazém em fução das característcas de emplhameto forecdo pela carta do produto. Neste esboço de layout é exgdo o dmesoameto do úmero de prateleras, das docas de recebmeto e expedção e do úmero de emplhaderas PLANEJAMENTO DO TRANSPORTE Esta etapa tem a faldade de selecoar o tpo de veículo e determar o tamaho da frota a ser utlzada a operação de dstrbução semaal. Até o mometo ão se coseguu 5/6

6 aplcar ehuma metodologa estruturada para se escolher o tpo de veículo e o tamaho da frota. Esta decsão acaba por fcar sueto a crtéros subetvos das equpes que avalam o tpo de produto a ser dstrbuído, o ível de servço exgdo e os custos do trasporte rodováro. O cálculo do custo do trasporte rodováro, por sua vez, é uma atvdade bem estruturada, segudo a metodologa proposta por Lma (200), que utlza todas as formações cotdas a carta do veículo para se chegar a um custo por qulometro rodado (custo varável) e um custo por hora de uso (custo fxo) para cada veículo. Ao fm desta etapa, as equpes têm um ceáro detalhado para car a operação de etrega semaal. Este ceáro cotempla: uma base de cletes, Cetros de Dstrbução localzados com sstemátca de cotrole de estoques defdas e uma frota dmesoada, resta aguardar os peddos dos cletes para plaear e efetuar as etregas semaas ENTREGAS SEMANAIS Esta etapa se ca com o sorteo da demada semaal de cada clete que smbolza os peddos fetos aos CD s. De posse dos peddos, ca-se o plaeameto das etregas com a determação das rotas, o que pode ser feto por dferetes métodos de roterzação, como o método da varredura, o método das ecoomas ou outro método, mas sempre observado a capacdade máxma do veículo. Defdas as rotas, calculam-se o tempo total de cada rota somado os tempos de carregameto, descarregameto, tempos urbaos e o tempo rodováro. Depos de calculado o tempo total de cada rota é feta a programação das rotas os veículos, desgado qual veículo fará quas rotas e determar a seqüêca das rotas durate a semaa. Chama-se a ateção para a ecessdade de respetar as codções de etrega e os evetos aleatóros que foram sorteados para a semaa em questão. À medda que os veículos dexam o CD para car uma etrega é feto a atualzação do ível de estoque este CD. Ao fal da semaa, quado todas as etregas foram efetuadas, é feto o sorteo de uma carta de eveto aleatóro e das cartas de codção de etrega para a semaa segute e o cclo das etregas semaas se reca. 4. VARIANTES NO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO DE INSTALAÇÕES Nesta seção serão detalhados os problemas de localzação de stalações que são eucados o Jogo da Logístca e suas propostas de solução. Fo possível eucar quatro tpos de problemas com complexdade crescete. Estes problemas são eucados através de cartas de desafo logístco que estão exbdos a fgura 5 a segur. Fgura 5 - Problemas de Localzação Eucados as Cartas de Desafos Logístcos As soluções destes problemas são detalhadas a segur. Algumas das soluções (as heurístcas) foram propostas pelos partcpates do ogo e, por serem teressates, são ctadas 6/6

7 aqu. As demas soluções foram elaboradas pelo presete autor. Estas soluções são apresetadas aos partcpates somete após a etrega das soluções por eles propostas, pos a costrução das soluções é um dos prcpas obetvos deste ogo. 4.. SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO ÚNICA Este é cosderado o mas smples e elemetar dos problemas de localzação de stalações e, o Jogo da Logístca, pode ser cosderado um aquecmeto para os outros problemas de localzação. Sua proposção é feto logo após o sorteo da base de cletes e do produto, sedo eucado sob a forma de desafo e após o auco do problema, as equpes têm cerca de semaa para pesqusar e propor uma solução para este problema. O problema de localzação úca é cohecdo como Problema de Weber (DREZNER et al., 2004) e pode ser formulado como mostra a equação a segur. m W ( x, y) x, y = = wd ( x, y) Equação - Formulação do problema de localzação úca Nesta equação, w é um peso assocado ao poto e d é a dstâca eucldaa o plao cartesao etre o poto, de coordeadas (a, b ) e as varáves (x, y). As soluções deste problema desevolvdas o Jogo da Logístca estão detalhadas a segur Solução por Métodos Heurístcos Fo observada a proposção de dversas heurístcas como solução cal deste problema (pode-se cosderar um eufemsmo chamar algumas das propostas como heurístcas). Foram selecoadas 4 heurístcas que merecem ser mecoadas, sedo 3 baseadas em cálculos estatístcos e uma baseada em um procedmeto geométrco. As heurístcas estatístcas são demasadamete smples, determado a localzação das coordeadas tomado-se a méda, a medaa e o poto médo das coordeadas x e y dos cletes. A heurístca baseada em geometra foreceu uma coordeada através da terseção de duas retas, a prmera reta lga o clete mas ao orte com o clete mas ao sul, a seguda reta lga o clete mas ao leste com o clete mas a oeste. Os resultados destes procedmetos heurístcos podem ser vsualzados a fgura 6 a segur, ode também se vê a base dos 20 cletes sorteados para o exemplo desevolvdo este artgo. ales araçatuba barretos são osé do ro preto fraca rberão preto dracea pres. Prudete asss araraquara Méda Medaa Iterseção Poto Médo praccaba lmera ourhos botucatu sorocaba são oão da boa vsta taubaté caraguatatuba satos regstro Fgura 6 - Soluções heurístcas para o problema de uma localzação 7/6

8 As soluções obtdas através das heurístcas baseadas em cálculos estatístcos foram próxmas etre s e também próxmas da solução ótma (calculada adate). Já a solução baseada o procedmeto geométrco ão fo tão boa quato às demas. A proxmdade da solução heurístca com solução ótma pode ter sdo uma obra do acaso, um golpe de sorte, ecesstado mas estudo para cohecer melhor as soluções geradas por tas heurístcas Solução Ótma pelo Algortmo Weszfeld O algortmo de Weszfeld fo proposto em 936 e cosste o método mas smples e utlzado para resolver o problema de Weber (DREZNER et al., 2004) e cosste um procedmeto teratvo que calcula, va método umérco, as raízes das equações obtdas a partr da dervada parcal da equação de Weber (equação ) em relação às varáves x e y. A solução da equação orgada pela prmera dervada de qualquer fução forece o poto ótmo desta fução, este método é cohecdo como método dreto. Porém, a equação obtda a partr da dervada de prmera ordem em sempre tem solução algébrca fácl, como o caso da equação de Weber para mas de 3 cletes, sedo ecessáro recorrer a métodos umércos para se obter a solução desta dervada. A equação 2 forece a dervada parcal das equações de Weber, cuo poto ótmo (x *, y * ) é obtdo quado esta dervada se guala a zero. W ( x, y) = x W ( x, y) = y = = w ( x a ) = 0 d ( x, y) w ( y b ) = 0 d ( x, y) Equação 2 - Dervadas parcas da equação de Weber O algortmo de Weszfeld obtém a solução ótma através de sucessvas aproxmações, ode a solução segute (x (k+), y (k+) ) é obtda a partr da solução ateror (x (k), y (k) ) através da relação exbda pela equação 3 a segur. ( k+ ) ( k+ ) ( x, y ) = = = wa k k d ( x, y ), w k k d ( x, y ) = = wb k d ( x, y w k d ( x, y k k ) ) Equação 3 - Relação etre a solução ateror e a solução segute Para se obter a solução da equação de Weber basta se ter uma solução cal (x 0, y 0 ) para car o procedmeto teratvo. Ballou (2006) e Sule (200) sugerem uma solução cal baseada o cetro de gravdade, tal como lustra a equação 4 a segur. 0 0 ( x, y ) = = = w x w = = w y Equação 4 - Solução cal sugerda por Ballou (2006) e Sule (200). A mplatação do algortmo de Weszfeld fo feta em plalha eletrôca (exbda a fgura 8 a segur). A colua C e D cotêm, respectvamete, as coordeadas a e b de cada clete. A colua E cotém a demada aual de cada clete, que correspode ao peso w a equação de Weber. Utlzado as fuções somarproduto e soma fo possível obter a solução cal sugerda por Ballou, tal como a tabela apreseta a segur., w 8/6

9 Tabela - Solução cal para o algortmo de Weszfeld x0 =SOMARPRODUTO(C2:C2;E2:E2)/SOMA(E2:E2) 47, y0 =SOMARPRODUTO(D2:D2;E2:E2)/SOMA(E2:E2) 29, De posse da solução cal é feto o calculo da colua F, que cotém as dstâcas d etre a solução cal e o poto. Também é feto o cálculo da colua G que cotém os custos de trasporte (w udades a uma dstâca d ). As coluas H, I e J foram calculadas a partr da equação 3. A soma da colua H é o deomador da equação 3, a soma da colua I é o umerador da coordeada x a equação 3 e a soma da colua J é o umerador da coordeada y da equação 3. Logo, a partr da solução cal é possível calcular a solução segute, tal como lustra a lha 24 a fgura 7. De posse da solução segute é feto o cálculo das dstâcas d de cada clete até esta ova solução (colua K) e também se calcula o custo de trasporte até este ovo poto (colua L). Fgura 7 - Plalha eletrôca com o algortmo de Weszfeld A obteção da próxma solução k=2 a partr da solução ateror k= é feto exatamete gual a obteção da solução k= a partr da solução cal k=0. Para mplemetar este procedmeto teratvo utlzou-se o recurso macro, que copa os valores da solução segute e cola o lugar da solução cal, atualzado todos os campos que eram calculados em fução da solução k=0 e que agora é calculado em fução da solução k=, gerado a próxma solução (k=2). A macro repete este passo de copar e colar gerado as soluções segutes. A fgura 8 exbe algumas terações obtdas através desta macro, e a fgura 9 exbe a qüquagésma teração deste algortmo que forece uma solução cua dfereça é observada somete a sétma casa decmal para as coordeadas x e y. Fgura 8 - Iterações do algortmo de Weszfeld Fgura 9 - Qüquagésma teração 9/6

10 4..3. Solução por Programação Não Lear A próxma resolução para o problema de localzação de stalação úca que fo explorada o Jogo da Logístca fo como um problema de programação ão lear. A equação de Weber (equação ) é um problema de mmzação com duas varáves, as coordeadas x e y, cua fução é de atureza ão lear devdo ao cálculo das dstâcas eucldaas. Este é um problema de programação ão lear rrestrto. Sua solução pode ser faclmete obtda com auxílo da ferrameta solver do MS Excel. Nesta plalha (fgura 0) as coluas H e I calculam as dstâcas horzotas (x-a ) 2 e dstâcas vertcas (y-b ) 2 etre as varáves e as coordeadas de cada clete, a colua J soma estes termos e extra a raz quadrada calculado a dstâca e depos a multplca pela demada. A soma da colua J forece o custo total que se desea mmzar. Fgura 0 - Resolução do problema de localzação úca por Programação Não Lear 4.2. SOLUÇÕES DO PROBLEMA DE LOCALIZAÇÃO MÚLTIPLA O próxmo problema eucado o Jogo da Logístca é o problema de localzação de stalações múltplas ode se estabeleceu o úmero de dos Cetros de Dstrbução cua localzação deve ser determada Solução por Métodos Heurístcos Uma solução heurístca para o problema de localzação múltpla que fo explorada fo batzada de Cetro de Gravdade Recursvo. A déa desta heurístca é resolvê-lo como um problema de localzação úca e, a parr desta solução, dvdr a área em duas regões ode se aplca ovamete o problema de localzação de stalações úca em cada regão (fgura ). solução solução 2 Fgura - Solução para o problema de duas localdades usado heurístca 0/6

11 O problema desta heurístca é que se pode traçar a reta que dvdrá a regão em duas em mutos setdos gerado dferetes soluções. A fgura mostra uma das possíves soluções usado esta heurístca. No cetro, em vermelho está a solução para a equação de Weber cosderado toda a regão e uma reta é traçada sobre este poto dvddo a área em duas, cada qual com sua solução também em vermelho Solução por Programação Não Lear com Varáves Báras A formulação matemátca para o problema de localzação múltpla é dada pela equação 5, que os mostra um problema de programação matemátca cua fução obetvo é ão lear e com um couto de restrções que pode ser terpretado como a soma das quatdades evadas por todos os CD a um clete deve ser gual a demada deste clete. Esta terpretação da restrção é possível pos, o Jogo da Logístca, o cálculo da localzação ada ão evolve custos e o peso w pode ser assocada somete a demada dos cletes. m ( x, y ), =,..., m sueto a W ( x, y ) = m = w w = w, para =,..., 0, para, m = = w ( x a ) 2 + ( y 2 b ) Equação 5 - Formulação matemátca para o problema de localzação multplo Observe que a equação 5 poderá ter como solução um clete que sea ateddo por mas de um CD, desde que a soma das quatdades de todos os CD (w ) sea gual a demada do clete (w ). Porém, esta stuação só acotecerá a solução ótma se os CD s fossem restrgdos em relação a sua capacdade máxma, o que ão é o caso o Jogo da Logístca. Assumdo que os CD s teham capacdade lmtada, a solução ótma ão terá um clete sedo ateddo por mas de um CD, pos, o clete será ateddo tegralmete pelo CD mas perto. Logo, ao vés de um couto de restrções, a equação 5 poderá ser substtuída um modelo de programação ão lear rrestrto com varáves báras (k ), ode o valor de k defe se o clete será ateddo pelo CD (k =) ou pelo CD2 (k =0). Reescrevedo a equação 5 para o caso de 2 CD s (=2) e substtudo as restrções pela varável bára k, se tem a equação 6 a segur. m W ( x 2 2, y ) = kw ( x a ) + ( y b ) + ( k ) w ( x, y ), =,2 = = ( x 2 a ) 2 + ( y Equação 6 - Problema de Programação Não Lear com varáves báras para 2 localzações 2 b ) A solução da equação 6 fo obtda através do uso do solver o MS Excel, e a fgura 2 a segur lustra a plalha eletrôca com o modelo mplemetado. 2 /6

12 Fgura 2 - Solução para o problema de programação ão lear rrestrto com varáves báras Solução por Problema de Cobertura Este problema é eucado pela carta de desafo logístco º 3 apresetada aterormete e tem como obetvo exerctar a solução para o problema de localzação de stalações utlzado a programação lear tera bára através do problema de cobertura, cua formulação matemátca está a equação 7. m N = sueto a para todo, = J X X, ode J é o couto das cdades a meos de 300km de X {0,}, para Equação 7 - Formulação do Problema de Cobertura A codção do problema de cobertura eucado é que ehum clete poderá estar a meos de 300 km de um CD, e o CD, por sua vez, deverá ser localzado em uma das cdades costates o tabulero.a prmera tarefa para mplemetar o problema de cobertura é determar, para cada cdade da base de clete, quas cletes estaram a meos de 300km se esta cdade fosse um CD. A fgura 3 a segur lustra para a cdade de Ourho quas cdades estão a meos de 300km de dstâca demarcado pelo círculo azul. Fgura 3 - Determado as cdades cotdas um rao de 300km de Ourhos. 2/6

13 A seguda tarefa é motar a matrz bára exbda pela fgura 4 a segur, o qual, para uma determada cdade, as demas cdades que estão cotdas um rao de 300km são marcadas com e 0 o caso cotráro. Def-se como fução obetvo a soma das varáves báras X (lha 2). As restrções (colua AA) são defdas a soma do úmero de cdades detro de rao de 300km multplcada pelo vetor das varáves báras. Utlzado o solver obtêm a solução para o problema que, este caso, determou 3 cdades como sedo sufcetes para ateder os cletes de modo que ehum fque a meos de 300km. As cdades escolhdas para sedar os CD s foram: Araraquara, Presdete Prudete e Satos. Fgura 4 - Implemetação do Problema de Cobertura em Plalha Eletrôca Solução por Problema de P-Meda O problema eucado pela carta de desafo logístco º4 apresetada o maor grau de dfculdade etre os problemas de localzação propostos pelo Jogo da Logístca. Trata-se de um problema cuo obetvo é determar quatos CD s e aode estes CD s deverão ser stalados de modo a mmzar o custo total aual, dado pela soma dos custos de trasporte e dos custos fxos de mauteção dos CD s. A carta do desafo logístco forece o valor de $5.000,00 como sedo o custo fxo de mauteção aual de um CD. O custo de trasporte etre um CD e um clete é proporcoal a demada do clete e a dstâca etre o CD e o clete, ão havedo ehuma correção em fução da escala do mapa e, assm como o problema eucado pela carta º3, restrge-se os locas de stalação dos CD s ao couto de cdades que compõe a base de cletes. Além de exgr uma formulação matemátca mas complexa que os problemas aterores, este problema também evoca um trade-off bem cohecdo sobre a decsão do úmero de potos de armazeagem, este trade-off está exbdo a fgura 5 a segur. CUSTO Custo Total Receta Custo de estocagem Número de Cetros de Dstrbução Custo de trasportes Fgura 5 - Trade-off etre os custos a decsão do úmero de CD s (fote: Ballou, 2006). 3/6

14 Segudo Ballou (2006) os custos de trasporte dmuem com o aumeto do úmero de CD s, pos a dstâca méda etre os CD s e os cletes tora-se meor com um maor úmero de CD s. Por outro lado, quato maor o úmero de CD s maor serão os custos de estocagem, pos, além dos custos fxos de mauteção de cada CD há, também, os custos de mauteção dos estoques que ão dmuem a mesma razão do aumeto do úmero de CD s. Somado-se os custos de trasporte e custo de estocagem têm-se o custo total, cuo valor mímo é obeto de teresse de qualquer sstema logístco. Este comportameto apresetado pelo trade-off da fgura 5 é claramete observado a solução do problema eucado pela carta do desafo logístco º4, mas ates de apresetálo, faz-se ecessára a sua resolução. A formulação matemátca do problema de localzação de múltplas stalações com custo fxo é apresetada a segur a partr da obra de Dask et al. (2005) com pequeas adaptações. Nesta formulação matemátca, a varável f represeta o custo fxo do caddato a sedar um CD. As varáves w e d são a demada do clete e a dstâca etre o clete e o caddato a sedar um CD. X é uma varável bára que assume quado o caddato seda o CD e 0 caso cotráro, e a varável Y é a fração da demada do clete atedda pelo caddato (caso este recebe um CD). A equação 8 a segur mostra este formulação. m TC = sueto a Y X X = = m = Y =, para 0, para, {0,}, para Y 0, para, m w d Y + Equação 8 - Formulação matemátca do problema de localzação com custos fxos Esta formulação é uma pequea adaptação do bem cohecdo problema p-medaa para clur o termo do custo fxo a fução obetvo. O problema de p-medaas é um problema clássco de localzação e cosste em localzar p cetros (medaas) em uma rede de modo a mmzar a soma das dstâcas de cada vértce ao cetro mas próxmo (LORENA et al., 200). Segudo Gomes & See (2008) o problema de p-medaas pertece à classe de problemas NP-dfíces. A solução exata de problemas da classe NP-dfícl exge algortmos eumeratvos. A solução de grades exemplares de tas problemas por um algortmo eumeratvo pode requerer um tempo computacoal excessvo, torado mpratcável a aplcação de métodos exatos. Portato, o modelo matemátco apresetado a equação 8 ão fo mplemetado em plalha eletrôca como os demas. Como alteratva fo utlzado o software educacoal LogWare que acompaha a obra de Ballou (2006). O LogWare é um software educacoal que cotém dversos módulos para resolver problemas específcos de logístca, etre eles o problema da p-medaa. A fgura 6 a segur apreseta a tela cal e a solução gerada pelo módulo P-meda do LogWare, ode os omes das cdades, as coordeadas, a demada e o custo fxo foram serdos. A taxa de trasporte e os fatores de escala foram atrbuídos valores utáros para comparar os resultados com os problemas resolvdos aterormete. Este módulo P-meda m = f X 4/6

15 permte assalar o máxmo 5 cdades caddatas a sedar um CD. Logo, as cdades perfércas ão foram assaladas como caddatas. Fgura 6 - Tela cal e solução do módulo P-Meda do LogWare Varado-se o úmero de stalações de a 8 o módulo P-meda do LogWare, fo possível colecoar os custos totas, os custos de trasporte e os custos de estoque para cada solução. Estes valores permtram gerar um gráfco (fgura 7) que exbe exatamete o tradeoff ctado aterormete. Neste gráfco fca evdete que a solução de mímo custo para o problema eucado a carta de desafo logístco º4 ocorre para =3. Mlhares 60,00 Trade-off Custo de Trasporte x Custo Estocagem 20,00 Custo 80,00 40,00 0, Número de Cetros de Dstrbução Fgura 7 - Trade-off os custos assocados a decsão do úmero de stalações 5. CONCLUSÕES O Jogo da Logístca tem se mostrado um teressate strumeto de auxílo o eso da Logístca. Sua utlzação tem propcado uma mudaça sgfcatva a dâmca detro da sala de aula em relação as tradcoas aulas expostvas. O ogo permte um melhor desevolvedo de atrbutos comportametas e habldades, como: postura proatva, trabalho em equpe, decsão sob pressão, pesqusa e auto-apredzagem os aluos. Estes atrbutos são mas bem desevolvdos porque o Jogo da Logístca é aplcado segudo a metodologa de Apredzado Baseado em Problemas (PBL) e é mérto desta metodologa de eso-apredzagem, e ão do ogo em s, a melhora de tas atrbutos. No etato, os aspectos lúdcos do ogo permtem explorar stuações que toram evdete o desevolvmeto destes atrbutos. Etretato, hava um receo que o uso da metodologa do PBL provocasse uma perda de profuddade dos coteúdos dscutdos em sala de aula, á que parte do tempo que outrora 5/6

16 era destado à exposção do professor, esta metodologa é destada a pesqusa e autoapredzagem do aluo. O Jogo da Logístca provou que é possível coclar a prátca da metodologa PBL sem perda de profuddade de coteúdo. Os problemas de localzação abordados o Jogo da Logístca são cosderados de grade complexdade para aluos de graduação e de méda complexdade para o ível de especalzação. Icar um da de aula com a apresetação préva de um problema e exgr uma solução cal sem qualquer tpo de abordagem teórca se mostrou uma abordagem teressate para o eso. Embora as soluções cas sempre se mostraram satsfatóras e, ada assm, após a pesqusa sobre o assuto os aluos ão coseguam mplemetar os métodos pesqusados sem auda, a exposção préva do problema trgava-os de modo a elevar a motvação para o apredzado, torado mas efcaz a assmlação das soluções apresetadas posterormete pelo professor. A melhora a habldade de desevolver soluções em plalhas eletrôcas fo amplamete observada a maora das equpes, mesmo que o ogo teha sdo aplcado sem aulas em laboratóros de formátca, porém, cabe ressaltar que a dscpla de pesqusa operacoal era mstrada cocomtatemete a dscpla de logístca empresaral, cotrbudo sgfcatvamete para a assmlação dos modelos apresetados. Novas varates do problema de localzação de stalações têm sdo desevolvdas e espera aplcá-las para posterormete produzr ovos artgos para compartlhar estas experêcas com a comudade cetífca e com os professores da dscpla de logístca que, daramete, efretam as dfculdades de esar uma matéra dâmca, de elevada complexdade matemátca, com uso tesvo de recursos computacoas e que exge uma postura proatva e dos futuros profssoas. Coclar todos estes cohecmetos, habldades e attutes têm sdo o desafo que motvou o desevolvmeto do Jogo da Logístca e fca o covte a todos os professores que o aplque em suas salas de aula e compartlhem suas experêcas. 6. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BALLOU, R. Gerecameto da Cadea de Suprmetos/Logístca Empresaral. 5ed., edtora Bookma, Porto Alegre, DASKIN, M.S.; SNYDER, L. e R.T. BERGER Faclty Locato Supply Cha Desg, Lagev, A. & D. Ropel (org.), Logstcs Systems: desg ad optmzato, pp , Sprger, New York, DREZNER, Z.; KLAMROTH, K; SCHÖBEL, A. e G. WESOLOWSKY The Weber Problem, Drezer, Z & Hamacher, H.W. (org.), Faclty Locato: applcatos ad theory, pp. -24, Sprger, Berl, GEORGES, M.R.R. O Jogo da Logístca, XII Smpóso de Admstração de Produção, Logístca e operações Iteracoas, São Paulo, 26 a 28 de agosto de GOMES, N.M.; SENNE, E.L.F. Um Algortmo de Busca Tabu para Solução de Problemas de Localzação P- Medaas, XXVIII Ecotro Nacoal de Egehara de Produção, Ro de Jaero, 3 a 6 de outubro, LIMA, M.P. O custeo do trasporte rodováro de cargas, Fgueredo, K.F.; Fleury, P.F. e P. Wake (org), Logístca e Gerecameto da Cadea de Suprmetos, p , ed.atlas, São Paulo, LORENA, L.A.N.; SENNE, E.L.F.; PAIVA, A.C. e M.A. PEREIRA - Itegração de modelos de localzação a sstemas de formações geográfcas, Gestão & Produção, vol.8,.2, São Carlos, 200. SULE, D. R. Logstcs of Faclty Locato ad Allocato, Ed. Mchael Drekker, Ney York, /6