Variância estatística associada a métodos semi-empíricos para estimativa da capacidade de carga de estacas

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1 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 arâca estatístca assocada a métodos sem-empírcos para estmatva da capacdade de carga de estacas Statstcal varace assocated wth sem-emprcal methods for estmatg the earg capacty of ples Atôo Marcos de ma Alves Programa de Pós-Graduação em Egehara Oceâca versdade Federal do Ro Grade FRG, Ro Grade, RS e-mal: atooalves@furg.r Thago Amador Programa de Pós-Graduação em Egehara Oceâca versdade Federal do Ro Grade FRG, Ro Grade, RS e-mal: thagoamador@gmal.com RESMO: O presete traalho tem por oetvo a dedução de expressões para o cálculo da varâca estatístca assocada a dos dos prcpas métodos sem-empírcos utlzados o Brasl, para a estmatva da capacdade de carga de estacas. Estas expressões são útes a estmatva da dstrução de capacdade de carga a pror para um dado proeto de fudações. omo resultado secudáro, demostra-se matematcamete a possldade de cálculo da capacdade de carga por atrto lateral, através do método de Décourt e uaresma, de forma cumulatva, aos moldes do procedmeto adotado o método de Aok e elloso. ABSTRAT: Ths work deals wth the deducto of expressos for calculatg the statstcal varace assocated wth two sem-emprcal methods used Brazl to estmate the earg capacty of ples. These expressos are useful estmatg the "a pror" dstruto of earg capacty for a gve o. As a yproduct, t s demostrated mathematcally the posslty of calculatg the shaft earg capacty cumulatvely, usg the Décourt ad uaresma method, the same procedure adopted y the Aok ad elloso method.. ITRODÇÃO ofaldade, segudo Harr [8, é a avalação proalístca da possldade do desempeho adequado de um sstema, por um período específco de tempo, em codções operacoas pré-defdas. A cofaldade de um sstema pode ser medda pela relação etre a sua capacdade e a sua demada. Porém, em Egehara, todo proeto geralmete tem de ldar com certos graus de certeza, assocados tato à capacdade (reações) quato à demada (ações). Se a capacdade e a demada de um sstema forem tratadas como varáves aleatóras, corporado assm suas certezas assocadas, pode-se estmar, além dos tradcoas fatores de seguraça, o chamado ídce de cofaldade, relacoado a uma proaldade de falha (Ag e Tag [, Harr [8). A área de Geoteca e, mas especfcamete, de Egehara de Fudações, vem gradatvamete corporado o coceto de cofaldade a seus estudos. A proposta de Aok [ e os traalhos de Olvera [0, Slva [, Slva [, Satos [, aral [5 e Magalhães [9 são exemplos dos esforços atualmete empreeddos o setdo de tratar as certezas eretes ao proeto de fudações de uma maera mas racoal. A orma BR 6 [4 apota para a mportâca do cotrole executvo e da realzação de esaos as estacas, vsado a redução das certezas assocadas à capacdade de carga.

2 6 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 Detro deste cotexto, os traalhos específcos de Satos [, aral [5 e Magalhães [9 exploram metodologas para atualzação da dstrução de proaldade da capacdade de carga estmada a fase de proeto (capacdade a pror ), com ase em resultados de cotrole de execução, esaos de carregameto dâmco e provas de carga estátca realzados durate a fase executva da ora. A dstrução atualzada de capacdade de carga (capacdade a posteror ) é otda através da aplcação do teorema de Bayes (para uma revsão acerca deste teorema, ver, por exemplo, Harr [8). O presete traalho usca cotrur para o corpo de cohecmeto relacoado à cofaldade de fudações. O artgo tem por oetvo a dedução de expressões para o cálculo da varâca assocada a dos dos prcpas métodos sem-empírcos utlzados o Brasl, aseados o esao SPT ( Stadard Peetrato Test ), para a estmatva da capacdade de carga de estacas. Estas expressões são útes a estmatva da dstrução de capacdade de carga a pror para um dado proeto de fudações. omo resultado secudáro, demostra-se matematcamete a possldade de cálculo da capacdade de carga por atrto lateral, através do método de Décourt e uaresma [7, de forma cumulatva, aos moldes do procedmeto adotado o método de Aok e elloso [.. MÉTODO DO SEGDO MOMETO DE PRIMEIRA ORDEM oforme resumdo em Harr [8, exstem dversos métodos para a medda da dstrução de proaldade de fuções de varáves aleatóras, como, por exemplo, o método de Mote arlo, o método das estmatvas potuas, e o método do segudo mometo de prmera ordem (em glês, frst-order, secod-momet method ou FOSM method ). Este últmo método será aordado o presete traalho. Sea f(x,x,x,,x ) uma fução de varáves aleatóras ão correlacoadas. Se os dos prmeros mometos proalístcos das varáves (méda e varâca) são cohecdos, os dos prmeros mometos proalístcos de f podem ser estmados a partr da expasão da fução f em sére de Taylor, ao redor dos potos correspodetes às médas das varáves. Trucado a sére de Taylor após os termos de prmero grau (uma aproxmação de prmera ordem, portato), o valor esperado e a varâca de f podem ser estmados a partr do valor esperado e da varâca das varáves aleatóras, de acordo com as segutes expressões: ode E[ x [ f f ( x, x, x,, x ) E () f [ f x () x x é o valor esperado ou méda e x é a varâca da varável aleatóra x. Todas as dervadas são avaladas para os valores médos de todas as varáves aleatóras cotdas em suas expressões.. ESTIMATIA DA APAIDADE DE ARGA DE ESTAAS A capacdade (geotécca) de carga vertcal de uma estaca solada pode ser represetada pela soma de dos termos: () u ode u é a capacdade de carga vertcal, é parcela de resstêca oferecda pela pota da estaca, e s é a parcela de resstêca oferecda por atrto ao logo da superfíce lateral da estaca. ma forma smplfcada de aálse da capacdade de carga cosste em sudvdr a estaca em segmetos, tão pequeos quato se quera, e ão ecessaramete dêtcos (Fgura )., Fgura Dscretzação das forças resstvas atuates em uma estaca s, s, s, s, s

3 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 6 A parcela de resstêca oferecda pela pota da estaca será aquela gerada a ase do segmeto (, ). A parcela de resstêca oferecda por atrto lateral será gual ao somatóro das cotruções dvduas de cada segmeto ( s, ), desde o segmeto até o segmeto. Portato, a capacdade de carga da estaca, sudvdda em segmetos, será: (4) u,, s,, Admtdo-se por hpótese que, e s, são varáves aleatóras estatstcamete depedetes etre s, pode-se escrever: [ u, u,, E (5) s, [ u, [, [ s, (6) As parcelas de capacdade de carga e s podem ser estmadas por meo de métodos teórcos, sem-empírcos e umércos (elloso e opes [4). Serão aordados este traalho dos métodos sem-empírcos, aseados em resultados de esaos de prospecção geotécca do tpo SPT ( Stadard Peetrato Test ): o método de Aok e elloso [ e o método de Décourt e uaresma [7. Resumdamete, o esao SPT cosste a cravação de um amostrador padrão, utlzado-se um martelo cado de uma altura de queda especfcada. A cada metro de profuddade, mede-se um ídce de resstêca defdo pelo úmero de golpes ecessáros para a cravação do amostrador ao logo de 0 cm. Este ídce, chamado de SPT, pode estar assocado a varaldades de dversos tpos, prcpalmete relacoadas à mauteção e padrozação dos equpametos e ao correto atedmeto aos procedmetos ormatzados de esao. Tamém a heterogeedade espacal do solo tem fluêca a dspersão oservada em certas campahas de esaos SPT. s, 4. MÉTODO DE AOKI E EOSO Aok e elloso [ propõem que a capacdade de carga a pota de uma estaca possa ser estmada pela segute expressão:, A k, (7) F ode A é a área da ase da estaca, k é um fator relacoado ao tpo de solo ode a pota da estaca está mersa, F é um fator relacoado ao tpo de estaca, e, é a méda artmétca etre o valor do SPT meddo a profuddade ateror à posção da pota da estaca, a profuddade da pota e a profuddade posteror à posção da pota da estaca:, (8) Admtdo-se que as varáves aleatóras são os valores de SPT, e aplcado-se o método FOSM (Equações e ), podem-se oter as expressões para a méda e a varâca de, : E A k [,,, (9) F A k [ [,, (0) F Se -, e forem varáves aleatóras estatstcamete depedetes, pode-se escrever tamém: E,, (), [ [ [ [ () Para a estmatva da capacdade de carga por atrto lateral, Aok e elloso [ sugerem um procedmeto cumulatvo, ode a parcela de atrto lateral em cada trecho da estaca pode ser estmada a partr da segute expressão:

4 64 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 α k s, () F ode é o perímetro da estaca, α e k são fatores relacoados ao tpo de solo ode o trecho da estaca está merso, F é um fator relacoado ao tpo de estaca, e é o valor do SPT meddo a profuddade ode o trecho da estaca está localzado. Admtdo-se mas uma vez que as varáves aleatóras são os valores de SPT, e aplcado-se o método FOSM, podem-se oter as expressões para a méda e a varâca de s, : α k E s, s, (4) F k α [ s, (5) F O lmte superor para os valores de SPT, dcado por Aok e elloso [, é MÉTODO DE DÉORT E ARESMA As expressões expostas a segur, compoetes do método de Décourt e uaresma [7 (e tamém Décourt [6), são váldas quado adotam-se o kloewto como udade de força e o metro como udade de comprmeto. A capacdade de carga a pota de uma estaca é estmada da segute forma:, A (6) ode é um fator relacoado ao tpo de solo ode a pota da estaca está mersa, e é um fator relacoado ao tpo de solo e ao tpo de estaca. Os demas parâmetros (A e, ) á foram descrtos aterormete. Aplcado-se o método FOSM, podem-se oter as expressões para a méda e a varâca de, : E, [ A,, (7), [ ( A ) [, (8), Os resultados expressos em (7) e (8) cocdem com as expressões aterormete deduzdas por aral [5. Décourt e uaresma [7 e Décourt [6 sugerem o cálculo da capacdade de carga total por atrto lateral, coforme a segute expressão: s, s, 0 (9) ode é um fator relacoado ao tpo de solo e ao tpo de estaca (admtdo como costate ao logo da estaca), é o comprmeto total da estaca, é o perímetro da estaca, e s, é o valor médo de SPT ao logo do comprmeto da estaca, excluídos os valores de SPT utlzados o cálculo de,. Assm: s, ( ), para > (0) Devdo ao lmte feror para o valor de, mposto pela Equação (0), todas as equações susequetes são váldas para maor do que. Portato, os dos prmeros trechos da estaca, a parcela de capacdade por atrto lateral ão é calculada. m procedmeto de cálculo muto frequete cosste em sudvdr a estaca em segmetos de gual comprmeto (em geral gual a,0 metro, que é a dstâca etre as meddas de SPT ). Assm: Portato: () ( ) s, 0 () ( ) Ou: ( ) ( ) 0 s, ()

5 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 65 tlzado-se as regras dos somatóros, pode-se escrever: () (4) Susttudo-se (4) em (), otém-se: (), s 0 (5) Ou ada:, s 0 (6) A Equação (6) represeta a capacdade de carga total por atrto lateral de uma estaca a profuddade. É possível oter a capacdade de carga por atrto lateral caso a estaca tvesse um segmeto a meos, ou sea, se ela tvesse sua pota localzada a profuddade -:, s 0 (7) Assm, o acréscmo de capacdade de carga, por atrto lateral, ocorrdo etre as profuddades - e pode ser calculado: s, s,, s (8) E portato: s, 0 (9) Desevolvedo a expressão, vem: s, 0 (0) s, 0 () s, 0 () A Equação () pode ser geeralzada para qualquer segmeto da estaca (Fgura ), da segute forma: s, 0 () Os resultados expressos pelas Equações () e () demostram que o cálculo de capacdade por atrto lateral, através do método de Décourt e uaresma [7 e Décourt [6, pode ser realzado de forma cumulatva, aos moldes do procedmeto adotado por Aok e elloso [.

6 66 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 Admtdo-se que as varáves aleatóras são os valores de SPT, e aplcado-se o método FOSM, podem-se oter as expressões para a méda e a varâca de s, : E [ [ s, s, ( ) s, ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 ( ) ( ) ( ) (4) (5) O segudo termo da Equação (5), formado por um somatóro, tede a zero à medda que o valor de aumeta, ou sea, à medda que se tomam trechos mas profudos da estaca para o cálculo de s,. Se este termo for desprezado: [ s, 0 ( ) (6) Ressalte-se que os resultados expressos em (4), (5) e (6) são dferetes de expressões aálogas deduzdas aterormete por aral [5. Décourt e uaresma [7 e Décourt [6 dcam 50 como lmte superor para os valores de SPT, e como lmte feror. 6. OSÕES Foram deduzdas as expressões para o cálculo da varâca estatístca assocada aos métodos de Aok e elloso [ e Décourt e uaresma [7. Estes dos métodos sem-empírcos, aseados o esao SPT ( Stadard Peetrato Test ), são muto utlzados o Brasl para a estmatva da capacdade de carga de estacas. O cálculo da varâca é útl para a estmatva da dstrução de capacdade de carga a pror para um dado proeto de fudações, levado em cota a varaldade assocada aos resultados do esao SPT. omo resultado secudáro, fo demostrada matematcamete a possldade de cálculo da capacdade de carga por atrto lateral, através do método de Décourt e uaresma [7, de forma cumulatva, aos moldes do procedmeto adotado o método de Aok e elloso [. REFERÊIAS. Ag, A.H-S.; Tag, W.H. - Proalty cocepts egeerg plag ad desg: decso, rsk ad relalty. ew York, Joh Wley, ol., Aok,. Proaldade de falha e carga admssível de fudação por estacas. Revsta Mltar de êca e Tecologa, ol. XIX, p.48-64, 00.. Aok,.; elloso, D.A. A approxmate method to estmate the earg capacty of ples. Proceedgs, 5 th Pa-Amerca oferece o Sol Mechacs ad Foudato Egeerg, Bueos Ares, ol., p.67-76, Assocação Braslera de ormas Téccas. Proeto e Execução de Fudações. BR-6. Outuro, aral, E.. otrução à cofaldade de estacas cravadas através de um estudo de caso com aplcação da teora Bayesaa. Dssertação de mestrado, Programa de Pós-Graduação em Egehara vl, ERJ, Ro de Jaero, Décourt,. Predcto of the earg capacty of ples ased exclusvely o values of the SPT. Proceedgs, d Europea Symposum of Peetrato Testg, Amsterdam, Décourt,.; uaresma Flho, A.R. apacdade de carga de estacas a partr de valores de SPT. Aas, 6 o ogresso Braslero de Mecâca dos Solos e Egehara de Fudações, Ro de Jaero, ol., p.45-5, Harr, M.E. Relalty-ased desg cvl egeerg. ew York, McGraw-Hll, Magalhães, F.. Aálse das fudações da ora de moderzação do cas do Porto ovo de Ro Grade (RS) aplcado metodologa Bayesaa. Dssertação de mestrado, Programa

7 Teora e Prátca a Egehara vl,.0, p.6-67, ovemro, 0 67 de Pós-Graduação em Egehara Oceâca, FRG, Ro Grade, 0. 0.Olvera, S.K.F. otrução ao estudo da verfcação da seguraça das fudações profudas. Dssertação de mestrado, Programa de Pós-Graduação em Geoteca, EE-SP, São arlos, 998..Satos, M.S. Iferêca Bayesaa a avalação da seguraça de fudações em estacas de deslocameto. Dssertação de mestrado, Escola Poltécca, SP, São Paulo, 007..Slva, F.. Aálse de seguraça e cofaldade de fudações profudas em estacas. Dssertação de mestrado, Programa de Pós-Graduação em Geoteca, EE-SP, São arlos, 00..Slva, J.. Metodologa de proeto de fudações por estacas cludo proaldade de ruía. Dssertação de mestrado, Programa de Pós-Graduação em Geoteca, EE-SP, São arlos, elloso, D.A.; opes, F.R. Fudações. São Paulo, Ofca de Textos, ol., 00.