SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CAOTICOS NO MICROMEDIA FLASC

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1 Aas do XXXIV COBENGE. Passo Fudo: Ed. Uversdade de Passo Fudo Setebro de 006. ISBN SIMULAÇÃO DE SISTEMAS CAOTICOS NO MICROMEDIA FLASC José Slvéro Edudo Gerao - slvero@ta.br ITA Isttuto Tecológco de Aeroáutca Departaeto de Físca IEFF Pç. Marecal Eduardo Goes 50 Capus do CTA São José dos Capos SP Leadro Resede de Pádua - leadrorpadua@yaoo.co.br ITA Isttuto Tecológco de Aeroáutca Departaeto de Físca IEFF Pç. Marecal Eduardo Goes 50 Capus do CTA São José dos Capos SP Resuo: O uso do crocoputador detro do abete da sala de aula pode ser utlzado co grade efcêca a sulação de feôeos físcos tato o eso da Físca básca quato os estudos as avaçados. U assuto dos as coplexos que será tea desse trabalo é a Teora do Caos. E váras áreas da físca be coo da egeara é ecessáro que sea fetas aálses de ssteas dâcos ão-leares. Devdo a ecessdade de se crar ovas ferraetas de vsualzação para estudar esse assuto este proeto cotepla a sulação de ssteas caótcos utlzado o softare Macroeda Flas. Na solução das equações evolvdas utlzaos téccas de cálculo uérco detro da lguague de prograação do Flas que é o actoscrpt. Palavras-cave: Cálculo uérco Flas Caos Obetos de apredzage. INTRODUÇÃO Detro da classe dos ssteas ateátcas as coecdos teos aqueles e que o prcípo da superposção é aplcável os quas são dtos ssteas leares e aqueles aos quas tal prcípo ão pode ser aplcado os ssteas ão-leares. Etretato esses dos tpos de ssteas estão relacoados de tal fora que se pode dzer que os ssteas leares fora u subcouto de u couto aor o dos ssteas ão-leares. Partdo dessa la de pesaeto fca clara a portâca da aálse desse últo para a copreesão de feôeos físcos. Para ssteas ão-leares a resposta a u dstúrbo ão é ecessaraete proporcoal à tesdade do eso e por esse otvo apesar de sere goverados por les exatas a evolução co o tepo desses ssteas é bastate sesível às codções cas. Esse estado de aparete desorde e rregulardade é o alvo de estudo da Teora do Caos. Esta teora estuda o coportaeto que à prera vsta parece ser aleatóro e prevsível dos ssteas ostrado ua faceta ode pode ocorrer rregulardades a ufordade da Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.

2 atureza coo u todo. Fruto dessa realdade cetífca essa teora estede suas rafcações os as dversos capos do coeceto cetífco cludo Físca Medca Ecooa Mateátca etc. Date da portâca e gual dfculdade assocada à copreesão dessa classe de feôeos teos ua tarefa ada as dfícl: repassar esse coeceto a aluos de graduação e egeara e físca. Detro desse cotexto este proeto ve apresetar ua ova ferraeta a ser utlzada o eso da Teora do Caos utlzado para tato o Macroeda Flas o desevolveto de alguas sulações. As facldades apresetadas por esse softare para a cração de recursos vsuas e ultída e geral são úeras e sulações físcas pode se torar uto ddátcas co u bo aprovetaeto de tas recursos. Cotudo a aor dfculdade aparete sera a resolução de probleas de físca que apreseta ua ateátca coplexa que é ua característca presete e ssteas ão-leares. Essa dfculdade deve-se ao fato do Flas ser preraete u prograa de aações gráfcas. Cotorado tal stuação este proeto apreseta ua solução para esse problea ostrado coo utlzar o cálculo uérco para resolução de ssteas caótcos e aplcações cradas co esse softare. Detro desse cotexto é descrto esse proeto coo fo feta a pleetação do étodo uérco de Ruge-Kutta o Flas para a resolução do sstea caótco do pêdulo duplo ostrado que co essa déa pode-se cotorar o problea da solução ateátca se perda de qualdade e teratvdade para o prograa de tal fora que o softare pode ser vsto coo ua ova ferraeta a cração de obetos de apredzage.. SIMULAÇÃO DO MOVIMENTO DO PÊNDULO DUPLO Nesse poto é portate que sea feta ua aálse ateátca do problea do pêdulo duplo aalsado. Cosdereos etão o pêdulo duplo ostrado a Fgura. Fgura. Pêdulo duplo e referecas adotados. Coo pode-se observar a Fgura teos: x posção orzotal das assas do pêdulo y posção vertcal das assas do pêdulo âgulo do pêdulo co a vertcal sedo postvo o setdo at-oráro. L copreto do braço rígdo e de assa desprezível. Ode teos que x y e L são referetes a e x y e L a. Aalsado a ceátca do problea pode-se deostrar que as equações de oveto do pêdulo são: Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.5

3 . Solucoado o problea x '' ' s '' L cos ) y '' ' L cos '' L s ) x '' x '' ' L s '' L cos ) y '' y '' ' L cos '' L s ) A estratéga escolda para solucoar as equações ) ) ) e ) fo a de utlzar étodos uércos. Fo feto dessa fora pos a pleetação do étodo o prograa dava ua aor lberdade de escola dos parâetros do problea para o usuáro. Supoa por exeplo que os prograas crados para sular os ssteas caótcos deva ter ua solução aalítca para cada couto de parâetros e valores cas. Sabe-se etretato que sso e sepre é possível e quado o é tora-se algo extreaete trabaloso pos obtése soluções totalete dferetes e cada caso e ua sples alteração dos parâetros do problea podera ocasoar soluções dferetes e para facltar ou até eso torar possível a pleetação da aplcação o prograador podera dar eor lberdade de escola para o usuáro. Métodos uércos evta esse tpo de trastoro crado ua solução úca aproxada para qualquer couto de valores colocados ao problea. Dessa fora o usuáro do prograa etra co os valores dos parâetros valores das assas e posção cal das esas que são dadas por e e aceleração da gravdade g) e para qualquer cobação desses valores o eso bloco de códgo gera a solução aproprada. Para a resolução das equações dferecas ) ) ) e ) fo utlzado o étodo uérco de Ruge-Kutta de orde quatro. Sua escola para o proeto fo devda à sua grade precsão establdade e covergêca do processo de solução e pelo fato de poder ser utlzado a resolução de equações dferecas ordáras ão-leares. Os étodos de Ruge-Kutta são ua faíla de étodos uércos para solucoar equações dferecas ordáras. São étodos que pode ser obtdos pela sére de Taylor se a ecessdade de calcular qualquer dervada. Esse étodo cosste e estar o valor da fução e város potos teredáros e o valor solução é ecotrado pela éda poderada etre esses potos. Por sua dedução bastate trabalosa ltao-os a eucar sua expressão utlzada a resolução do problea do pêdulo duplo. A partr das equações ) ) ) e ) pode-se obter a expressão de '' e '' e fução de ' e '' utlzado u prograa coo o Mateatca. Ass teos que: '' g )se g se ) se ) ' L cos )) L ' L cos )) 5) '' se ) ' L L ) g ) cos ) ' cos )) L cos )) 6) Fazedo que: ' t ) 7) Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.6

4 Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.7 ' t ) 8) '' t ) 9) '' t ) 0) e sedo o passo de dução e o valor de o state t aalogaete para e estaos etão as codções de aplcar o algorto de Ruge-Kutta o qual se ecotra a Lstage. ode ) 6 ) 6 ) 6 ) 6 ); ); ); ); t t t t Aalogaete a p teos para p p e p ode p. Lstage. expressão do étodo de Ruge-Kutta de quarta orde para resolução do sstea ão-lear descrto as equações 7) 8) 9) e 0).. Ipleetação da solução A solução fo pleetada o Flas co u passo de dução 0. de fora que para cada posção do pêdulo o algorto do Ruge-Kutta executa u passo e edataete depos ostra o resultado a tela ou sea o valor da posção do pêdulo é plotado ass que calculado se guardar valores e vetores. Fo feto dessa fora devdo ao úero relatvaete grade de cálculos que são fetos e cada passo do Ruge-Kutta tedo e vsta as equações 5) e 6) fcado vável calcular város valores para e calete para sere ostrados posterorete. A sulação feta dessa fora te tabé a vatage de poder ser executada pelo tepo que o usuáro desear dado a lberdade dele poder observar padrões apresetados pelo oveto do pêdulo após decorrdo u grade espaço de tepo. A sulação desevolvda ão apresetou atrasos perceptíves para o usuáro dcado que o étodo de Ruge-Kutta assocado a esse odelo de pleetação se adequou uto be ao problea do pêdulo duplo.

5 Co sso tabé fo possível testar a capacdade do Flas de suportar cálculos coo os do Ruge-Kutta tedo sdo obtdo esse resultado bastate satsfatóro e estulate utlzado a segute cofguração para o coputador durate o teste: AMD Atlo TM XP 00 79GHz 8MB de RAM que coo pode ser otado é ua cofguração que se ecaxa os padrões dos coputadores pessoas atuas. Na Lstage teos u treco splfcado do códgo utlzado o prograa. // Para a fução ruge x y e s // Essa fução executa o cálculo do ruge-utta fucto ruget:nuber x:nuber y:nuber :Nuber s:nuber):vod { t x y s); t x y s); t x y s); t x y s); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t / x /)* y /)* /)* s /)*); t x * y * * s *); t x * y * * s *); t x * y * * s *); t x * y * * s *); teta x /6)* * * ); teta y /6)* * * ); oega /6)* * * ); oega s /6)* * * ); // A fução aa é executada a cada lssegudos e é resposável por executar // o algorto do ruge-utta e atualzar a tela para os ovos valores. var daa:nuber setitervalaa ); fucto aa):vod { rugetepo teta teta oega oega); pedulo); // Acerta a posção do pêdulo // Plotar o gráfco cgrafco.letocgrafcomaor._x0*teta cgrafcomaor._y0*teta); } // Atualzação da tela updateafterevet); tepo; Lstage. Ipleetação do Ruge-Kutta utlzada o proeto. Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.8

6 . O PROGRAMA CONSTRUÍDO O prograa crado cosste e u pêdulo duplo o qual o usuáro pre as codções cas escoledo os valores das assas e posção cal do pêdulo que é dada por e e aceleração da gravdade g. Essa teração é feta pelo oveto do ouse que pode ser arrastado pelas barras que se ecotra a parte feror do prograa coo pode ser vsto a Fgura ou serdo os valores dretaete pelo teclado. Fgura. Obeto de apredzage sulado o oveto do pêdulo duplo Depos de acertados os parâetros supractados basta clcar o botão car que o pêdulo passa a executar o seu oveto sedo que paralelaete a esse fato é gerado u gráfco que ostra o coportaeto de e fução de durate a sulação. Alé dsso ecotra-se a terface do prograa u botão Auda que ao ser clcado ostra o fucoaeto do prograa e a físca que está por trás do feôeo represetado be coo u botão Recar que traz a sulação de volta para o íco.. MÉTODOS NUMÉRICOS E O ACTIONSCRIPT O Macroeda Flas é ua ferraeta de desevolveto co utos recursos possbltado clusve a etrega de ua varedade de coteúdos dâcos a eb. Ua pesqusa realzada pela Macroeda fora que o Flas Player está stalado e 98% dos brosers coectados à teret. Ao cotráro de u códgo HTML estátco ua aplcação feta o Macroeda Flas pode respoder rapdaete se a ecessdade de se fazer algu processaeto o servdor. Essa ferraeta atede aos requstos para os ossos estudos de caso para cração de Obetos de Apredzage e físca. É portate observar tabé que a lguage utlzada o Flas o ActoScrpt é de fácl utlzação e torou o abete do Flas uto as teressate de se trabalar pos faz co que se possa desevolver prograas be elaborados co abetação gráfca. Ua ovdade trazda por este proeto é a pleetação de étodos uércos e aplcações Flas que só fo possível devdo à evolução da lguage Actoscrpt que agora Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.9

7 se ecotra a sua versão.0. Na fgura teos ua coparação feta através de gráfcos gerados pelo própro Flas da solução dada pelo Ruge-Kutta co 500 terações e da solução aalítca para o problea do sstea assa-ola realzado u MHS que pode ser descrto pela equação ). d y y 0 dt ) Sedo y a coordeada vertcal e os parâetros: costate da ola 0 N/ e assa do bloco 5 g. Pode-se otar que a dfereça etre as soluções só passa a ser lgeraete perceptível a parte fal dos gráfcos ode o úero de terações á executadas pelo Ruge- Kutta está próxo de 500 sedo eso ass ua dfereça uto suave. Fgura. Coparação etre solução uérca e aalítca utlzado Actoscrpt Grades avaços pode ser alcaçados co essa técca tato a área de sulação quato a utlzação e tecologas de eso co a costrução de obetos de apredzage. Tedo e vsta que soete co a utlzação do Ruge-Kutta para a resolução das equações dferecas fo possível realzar o proeto pode-se otar ass a portâca da pleetação dos étodos uércos e Actoscrpt. Ua coseqüêca dreta dessa ovação tabé é que agora se a ecessdade de póteses splfcadoras o softare pode ser explorado ao áxo de fora a aprovetá-lo a cração de obetos de apredzage e suladores. 5. O USO PEDAGÓGICO Aplcações gráfcas coo a do oveto pêdulo duplo pode ser utlzadas tato detro do abete da sala co a utlzação de u proetor coo fora do abete da sala de aula pos outra grade vatage do Flas é a possbldade de executar as sulações va teret. 6. CONCLUSÃO Coo u resultado dessa aplcação podeos apresetar o fato de que prograas crados o Flas estão sedo utlzados as aulas de físca do prero e segudo ao de egeara do Isttuto Tecológco de Aeroáutca ovado o eso da atéra e colocado o aluo as próxo de ua vsão prátca acerca do assuto. Os resultados fora uto bos Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.0

8 despertado o teresse dos aluos e trado dúvdas sobre a represetação real daqulo que eles estudava e teora. A prcpal dfculdade ecotrada para a cofecção dos obetos de apredzage fo exataete a resolução das equações dferecas que represeta o feôeo físco. Dessa fora tveos a déa de utlzar étodos uércos detro do Flas para resolver esse probleas cuos resultados são bastate satsfatóros coo podeos perceber date da aálse de processaeto e precsão fetas e da proxdade co a realdade alcaçada pelos suladores. Estes resultados obtdos dca que o Ruge-Kutta cotorou uto be o problea ecotrado de fora que os obetos de apredzage crados utlzado tal étodo fcara perfetaete fucoas. Agradecetos Os autores agradece o cetvo do PIBIC o desevolveto de ovas tecologas de eso pos graças à bolsa de cação cetífca forecda fo possível ter íco o proeto be coo este oeto cotuar a desevolvê-lo. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS BOYCE W.E.; DPRIMA R.C. Equações Dferecas Eleetares e Probleas de Valores de Cotoro 6a. edção Lvros Téccos e Cetífcos Edtora S.A. Ro de Jaero 998. FIOLHAIS Carlos ad TRINDADE Jorge Físca o coputador: o coputador coo ua ferraeta o eso e a apredzage das cêcas físcas. Rev. Bras. Es. Fs. Set 00 vol.5 o. p ISSN 00-7 LAPIDUS L. ad PINDER G. F. Nuercal solutos of partal dfferetal equatos scece ad egeerg Jo Wley & Sos Ic Toroto 999;Coo Malus e Plesa 989; PIZZI M.. Doado Macroeda Flas MX. Ro de Jaero: Edtora Cêca Modera Ltda. 00. THOMPSON J. M. T. ad STEWART H. B. Nolear Dyacs ad Caos Jo Wley & Sos Ccester 00 ISBN: SIMULATION OF CHAOTIC SYSTEMS IN THE MACROMEDIA FLASH Abstract: Te use of te crocoputer te evroet of te classroo ca be used t great effcecy te sulato of pyscal peoea te basc Pyscs teacg as te ost advaced studes. Te Caos Teory tat s a ore coplex subect ll be tee of ts or. I several areas of te pyscs as ell as of te egeerg t s of great terest to develop aalyses of o-leal dyac systes. Wt te eed of te creato of e vsualzato tools to study ts subect ts proect coteplate te sulato of caotc systes usg te softare Macroeda Flas. I te soluto of te equatos tat e ll study used tecques of uerc calculato te prograg laguage actoscrpt of te Flas. Key-ords: Nuerc calculato Flas Caos Learg Obects Aas do XXXIV Cogresso Braslero de Eso de Egeara 7.