CONSTRUÇÃO DE UM ESTIMADOR PESSIMISTA PARA O PROBLEMA DA SEQUÊNCIA MAIS PRÓXIMA

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1 CONSTRUÇÃO DE UM ESTIMADOR PESSIMISTA PARA O PROBLEMA DA SEQUÊNCIA MAIS PRÓXIMA Kety Yaaoto, Carlos A. Martho, Helea C. G. Letão Isttuto de Coputação, Uversdade Federal Fluese Rua Passo da Pátra 56, Bloco E, Sala 303, São Dogos, 40-30, Nteró, RJ, Brasl {kyaa@acol.co.br, art@dcc.c.uff.br,hcgl@c.uff.br} Resuo No oblea da Seqüêca Mas óxa-psmp (Closest Strg oble) desejaos ecotrar ua seqüêca de caracteres que as se aproxe, segudo ua dada étrca, de u dado cojuto S de seqüêcas de eso taaho. E outras palavras, desejaos zar a aor dstâca desta seqüêca às deas seqüêcas do cojuto. Este artgo dscute ua estratéga de deradozação para o PSMP baseada o étodo das probabldades codcoas. Apresetaos calete u algorto radôco aproxado para o problea, já proposto a lteratura, e ostraos coo gerar ua solução deterístca utlzado-se o étodo dos estadores pessstas. Esta estratéga é utlzada oralete e stuações ode as probabldades codcoas ecessáras a deradozação ão pode ser deteradas dretaete. Palavras-chave Método obablístco, Bologa Coputacoal, Deradozação. Algortos Radôcos Aproxatvos. Abstract I the Closest Strg oble CSP the objectve s to fd a sequece of characters that s closer, accordg to a gve etrc, to a set S of sequeces of the sae sze. I aother words, the objectve s to ze the ajor dstace betwee ths sequece ad the other sequeces of S. I ths paper we dscuss a deradozato strategy for the CSP based o the ethod of codtoal probabltes. We frst preset a radozed approxato algorth for the CSP already proposed the lterature, ad we show how to produce a deterstc soluto through the ethod of pessstc estators. Ths approach s orally used whe the codtoal probabltes ecessares the deradozato process caot be drectly detered. Keywords obablstc Method, Coputatoal Bology, Deradozato, Radozed Approxato Algorths. INTRODUÇÃO E utos probleas da bologa olecular deseja-se coparar e ecotrar regões cous ou que seja próxas a u cojuto de seqüêcas de DNA, RNA ou proteías. Estes probleas são ecotrados e váras aplcações portates coo: busca de regões coservadas e seqüêcas ão alhadas, detfcação de drogas geétcas, forulação de sodas (probes) geétcas, etre outras [HS95, LR90, PBPR89, LBMM9, Stor90, SH9, WAG84, WG86, WP84]. No oblea da Seqüêca Mas óxa PSMP (Closest Strg oble) desejaos deterar ua seqüêca que as se aproxe, segudo algua étrca, de u dado cojuto de seqüêcas. E outras palavras, desejaos zar a aor dstâca desta seqüêca às deas seqüêcas do cojuto. O PSMP te sdo bastate estudado a lteratura. Fraces e Lta [FL97] ostrara que o problea é NP-dfícl. Bera et al. [BGHMS97] apresetara u algorto exato poloal de ua versão paraetrzada. Neste caso, a dstâca etre a seqüêca a ser deterada e o cojuto dado de seqüêcas será o áxo ua costate. Be-Dor et al. [BLPR97] e Gaseec et al. [GJL99] apresetara u algorto aproxatvo, co razão de perforace próxa do valor óto quado este é sufceteete grade. Lactot et al. [LLMWZ99] obtvera u algorto (4/3+ε)-aproxado (para ε >0) e L et al. [LMW0] apresetara u esquea de aproxação poloal para o problea. Falete, Pardalos et al. [PMLO04] propusera étodos exatos baseados e brach-ad-boud e três ovas forulações de prograação lear tera para o problea.

2 Na Seção, defos foralete o PSMP e apresetaos algus cocetos báscos portates. Posterorete, as Seções 3 e 4, dscutos de aera sucta as téccas de arredodaeto radôco (Radozed Roudg) e ua estratéga de deradozação presete a lteratura cohecda coo étodo das obabldades Codcoas. Na Seção 5, apresetaos o algorto radôco aproxatvo proposto por Be-Dor et. al. [BLPR97] para o PSMP e ostraos, a Seção 6, coo aplcar o étodo da probabldades codcoas a costrução de u algorto deterístco co a esa razão de perforace. E osso caso, as probabldades codcoas ecessáras para a aplcação deste étodo ão pode ser deteradas dretaete, apresetaos etão estadores pessstas (defdos coveeteete) vsado a deteração de ua ova solução aproxada deterístca para o PSMP. Ebora o algorto proposto e [BLPR97] possua razão de perforace feror aos algortos radôcos apresetados e [LLMWZ99] e [LMW0], a técca de deradozação aqu apresetada pode ser adaptada slarete para estes dos últos casos. DEFINIÇÃO DO PROBLEMA E CONCEITOS BÁSICOS Váras eddas tê sdo propostas para edr a dstâca (ou dfereça) etre duas seqüêcas de caracteres de eso taaho. A dstâca de Hag, por exeplo, é calculada splesete cotado-se o úero de posções correspodetes dos caracteres ode estas seqüêcas dfere. Ua justfcatva as técca para o uso freqüete da dstâca de Hag a coparação de seqüêcas e bologa olecular, pode ser ecotrada e [LLMWZ99]. De aera geral, dado u alfabeto fto de síbolos, represetareos a dstâca etre duas seqüêcas de taaho k por ua fução d : k x k [a,b], ode a e b são reas postvos. A dstâca etre dos caracteres será represetada fazedo-se k=. Cosdere agora u cojuto S={s,s,...,s } de seqüêcas (todas de taaho ) sobre Σ e seja s [j], o j-éso caractere de s S. No PSMP deseja-se ecotrar ua seqüêca s=s H de taaho que ze d de fora que, para cada s S, tehaos d (s H, s ) d, para =... Salvo dcação e cotráro, cosdere d (s [j],s H [j]) [a,b] (ode j {,..,}), a dstâca etre o j-éso caractere de s e s H respectvaete. Foralete, teos: d d s. a s H ( s, s ) H Σ d, =,..., ode Σ represeta o cojuto de todas as seqüêcas co caracteres. Apresetaos agora algus resultados auxlares (Cheroff-Hoeffdg bouds), que serão utlzados a aálse da razão de aproxação do algorto proposto por Be-Dor et. al. [BLPR97]. Lea : Seja X, X,..., X, varáves 0- aleatóras depedetes, ode X = co probabldade p e 0 < p <. Cosdere ada X = = X e μ = E[X]. Etão, ε (0,], teos: ( ) exp X > μ + ε < ε. 3 Lea : Seja X, X,..., X, varáves aleatóras depedetes, ode X (p/ =,..,) assue valores o tervalo real [a,b]. Alé dsso, seja X = = X e δ > 0. Etão: ( ) ( X ( + ) E[ X ]) exp E[ X ] δ 3( b a) δ. Defção : (Algorto Radôco α-aproxado) 687

3 Dzeos que u algorto radôco poloal A para u problea de zação π é α- aproxado se, e soete se, E(Z H ) α.opt, ode α, Z H represeta o valor da solução heurístca obtda por A e opt represeta o valor óto de π. Equvaleteete, dzeos que A será α- aproxado para π se, e soete se, (Z H α.opt) ½. 3 ARREDONDAMENTO RANDÔMICO (Radozed Roudg) Na técca de arredodaeto radôco, troduzda calete por Raghava&Thopso [RT87], forula-se preraete u odelo de ograação Lear Itera PLI para o problea orgal. A solução da relaxação lear assocada defrá etão probabldades a sere utlzadas a etapa radôca, buscado-se, dessa fora, a deteração de soluções váves de boa qualdade para o problea orgal (solução aproxada). Se perda de geeraldade, cosdere o segute odelo de og. Lear Itera 0-: opt = c x s. a T Ax b x {0,} ( PLI) ode A R x, c R x e b R x. A Relaxação Lear RL do PLI aca é obtda substtudose splesete x {0,} por x [0,]. Ua solução óta poloal para RL pode ser obtda co a utlzação de étodos de potos terores [Wrg97]. Ass, se y [0,] represeta ua solução óta fracoára de RL, tereos etão os segutes passos o procedeto de Arredodaeto Radôco:. Forule o problea orgal coo u odelo de ograação Lear Itera (PLI),. y Retore ua solução de RL (e tepo poloal); 3. Repta 3. Utlze y para calcular (através de ua fução de arredodaeto radôco lear ou ão-lear) ua solução tera para o PLI 3. x H Salva elhor solução vável (de eor custo) do PLI Até (codção de parada) 4. Retora x H e custo Z H =c T x H. Trata-se a verdade, de ua aplcação do étodo de Mote Carlo [MR95]. Note que a solução co coordeadas teras obtda o Passo 3. pode ser vável. Ass, se B é u eveto represetado a probabldade de fracasso (solução vável para o PLI) deveos repetr o processo até que a probabldade de vabldade seja arbtraraete pequea (codção de parada). E outras palavras, se ε >0 e k represeta o úero de repetções, a probabldade de fracasso, deverá ser tal que (B) k <ε. Para sso, obvaete, deveos garatr que (B)< e ua teração qualquer do algorto. No caso dos algortos radôcos α-aproxados, esperaos ada que B C (eveto copleetar de B) represete ua solução vável co razão de perforace α. Para aores detalhes sobre a aplcação do étodo de Mote Carlo vde [MR95]. 4 PROBABILIDADES CONDICIONAIS E ESTIMADORES PESSIMISTAS E deteradas stuações será possível costrur algortos puraete deterístcos a partr de algortos radôcos utlzado-se téccas ou ferraetas probablístcas. E outras palavras, deseja-se costrur u algorto deterístco se que se sacrfque uto a qualdade da solução e/ou tepo de processaeto obtdos o procedeto radôco. Ifelzete, ão se cohece u ecaso uversal de coversão que seja aplcável a todas as stuações. Apesar de ão exstr u tero aproprado e português para esta técca, reos chaá-la splesete de deradozação (seelhate ao tero glês deradozato). Etre os étodos de deradozação as cohecdos a lteratura podeos ctar: o étodo das probabldades codcoas, étodo das expectâcas codcoas, étodo dos estadores pessstas, k-wse 688

4 depedece etre outros [AS9]. Neste artgo, utlzaos o étodo das probabldades codcoas e o étodo dos estadores pessstas troduzdo calete por Raghava [Ragh88]. E seu trabalho, Raghava ostra que, ua vez garatda ua solução vável co probabldade de sucesso estrtaete postva a etapa de arredodaeto radôco, ua ova solução vável x {0,} do PLI poderá, e utos casos, ser obtda de aera deterístca. No étodo das probabldades codcoas é feta ua aaloga co árvores de decsão, costrudo-se, deterstcaete, u vetor x {0,} correspodete ao caho de descda da raz da árvore de decsão até ua folha represetado u bo eveto. Fgura : Árvore de decsão para busca de ua solução vável A Fgura lustra ua árvore bára copleta T co íves. O j-éso ível de T (ode j {..}) rá represetar ua atrbução de valores 0- à varável aleatóra x j. Cada folha da árvore rá correspoder a u bo ou au eveto. No caso dos algortos radôcos α-aproxados, u eveto B C será bo, se a solução x obtda for vável e seu custo assocado estver detro da razão de aproxação α, caso cotráro, dreos que o eveto B é au eveto. E outras palavras, u au eveto B represeta ua solução vável ou ua solução que ão satsfaz à razão de perforace pretedda. Ass, osso objetvo será percorrer a árvore T da raz até ua folha boa de T e tepo deterístco poloal. A cahada a árvore de decsão é realzada da segute fora. Se à varável aleatóra x é atrbuído o valor, percorre-se da raz para seu flho à dreta. Se x =0, percorre-se para o flho à esquerda, e ass sucessvaete até que se chegue a ua folha da árvore T. Note que, cada folha de T, correspode a ua etre seqüêcas possíves de x=(x,x,...,x ) (represetada a Fgura por x, ode {.. }). No étodo probablístco, deveos garatr calete que (B)< (probabldade de u au eveto), ou equvaleteete, (B C )>0. A questão atural que se coloca agora é: coo percorrer da raz até ua folha boa de T? Cosdere etão P =(B) e y=(y, y,..., y ) ua solução da Relaxação Lear do RL dscutda a seção precedete. Da expressão de probabldade absoluta [Mey83] te-se que: P = (x =).P (B x =) + (x =0).P (B x =0). 689

5 No arredodaeto radôco, se fazeos (x =) = y e (x =0) = - y (arredodaeto lear) tereos etão que: P y.{p (B x =); P (B x =0)} + (-y ).{P (B x =); P (B x =0)} = P (B X ), ode X = se, e soete se, P (B x =) P (B x =0), e X = 0, caso cotráro. De aero geral, seja j u ível de T, para algu j {..}, e P j (B X,..., X j- ) a probabldade codcoal de ocorrêca de u au eveto, dado que os valores X,..., X j- já teha sdo deterados. Te-se etão que: Pj P j ( B X X ) y P ( B X,..., X, x = ) + ( y ) P ( B X,..., X, x 0),..., j = j j+ j j j j + j j = ( B X X ) { P ( B X,..., X, x = ), P ( B X,..., X, x = 0) } P ( B X,..., X ),..., j j + j j j + j j = j + Observe falete que, se P = (B) < etão: ( B X )... P ( B X,..., X ) ( ) > P P + = folha Coo (folha) <, garatos etão que a solução deterístca será ua folha boa de T, vsto que P + (B X,...,X ) = (folha) = 0. E outras palavras, ua solução deterístca será obtda co probabldade de erro gual a zero. Coo as probabldades codcoas e sepre são deteradas faclete, outras téccas de deradozação poderão ser utlzadas [AS9]. No étodo dos Estadores Pessstas por exeplo, troduzdo por Raghava [Ragh88], as probabldades codcoas são ltadas superorete por ua fução U:[0,] [0,) (deoada estador pesssta) e satsfazedo às segutes codções: ) U (y,..., y ) <, ode y é ua solução da relaxação lear do PLI. ) U j+ (X,..., X j, y j+,..., y ) P j+ (B X,..., X j ) ode j {,...,} e X k (para k=,...,j) é ua atrbução dada às varáves x k {0,}. 3) U j (X,..., X j-, y j,..., y ) {U j+ (X,..., X j-, x j =, y j+,..., y ), U j+ (X,..., X j-, x j =0, y j+,..., y )}. A estratéga de deradozação será dêtca àquela descrta aca, bastado substtur agora as probabldades codcoas pelos estadores pessstas correspodetes. Obvaete, este caso, a fução U :[0,] [0,) deverá ser deterada e coputada faclete. j 5 ALGORITMO RANDÔMICO APROXIMATIVO DE Be-dor et al. [BLPR97] Descreveos esta seção o algorto radôco aproxado desevolvdo por [BLPR97] para o PSMP. Apresetaos calete seu odelo de ograação Lear Itera 0- e o arredodaeto radôco utlzado. Seja Σ={σ,σ,...,σ P } u alfabeto fto co p síbolos, S={s,s,...,s } u cojuto de seqüêcas de Σ e s opt, ua seqüêca óta co caracteres. São defdos para cada caracter σ Σ e cada caracter s opt [j] (para j =,..,), ua varável bára x j,σ, ode x j,σ = se, e soete se, s opt [j]=σ, e x j,σ =0, caso cotráro. Cosdere etão o segute odelo de ograação Lear Itera 0-: d opt = d x j, σ =, j =.. σ s. a x j, σ d( σ, s[ j] ) d, =.. j= σ x { 0, }, =.. ; j, σ j σ () () (3) (4) No odelo apresetado, () represeta a fução objetvo que se deseja zar. As restrções () assegura que soete u síbolo σ Σ será selecoado e cada posção da solução óta s opt. 690

6 As desgualdades (3) especfca que a dstâca etre cada seqüêca de S e s opt, deve ser eor ou gual a u valor d. As desgualdades (4) dca que soete valores 0 ou pode ser atrbuídos às varáves x j,σ. A segur apresetaos ua descrção detalhada do algorto radôco aproxado de [BLPR97]. Etrada: s,s,...,s Σ Saída: seqüêca s H Σ e a dstâca d H. Iíco. Resolver o odelo de relaxação lear, retorado os valores relaxados y jσ e d y. Costrur a seqüêca s H a partr dos valores relaxados y jσ Para j=,..., faça (s H [j]= σ) = y jσ, ode σ Σ 3. Calcular a dstâca d = ax d ( s, s ) = d ( s [] j, s [] j ) H H j 4. Retorar seqüêca s H e dstâca d H. F Algorto : Algorto aproxatvo de [BLPR97] H No passo (), resolve-se o odelo de relaxação lear obtedo-se valores fracoáros para y j,σ, ode j e σ Σ. Co os valores de y j,σ o passo (), costró-se a solução co coordeadas teras s H através do processo de arredodaeto radôco. Falete, o passo (3), calcula-se a aor dstâca d H, coparado a solução s H co todas as seqüêcas do cojuto S. 5. Aálse de Aproxação de Be-Dor et al. [BLPR97] Coo observado o Algorto, o vetor y co coordeadas fracoáras y j,σ (defdo probabldades a etapa de arredodaeto radôco), represeta ua solução da relaxação de ()- (4) e d y represeta seu valor óto assocado. Note ada que ua solução tera s H obtda após o arredodaeto radôco, será sepre vável já que seu valor assocado d H é calculado posterorete à obteção de s H. Logo, a aálse de aproxação, devereos verfcar apeas se o valor da solução tera d H satsfaz ou ão à razão de perforace pretedda. Supoha que s H seja ua solução tera (+δ)-aproxada do PSMP para algu δ >0. Da Defção, deveos provar etão que E(d H ) (+δ)d opt para algu δ>0, ode d H =ax{d (s H,s ) =,..,}. Equvaleteete, podeos provar que (B)< ode B (d H >(+δ)d opt ), represeta a probabldade de falha (ou de u au eveto). Cosdere agora X =d (s, s H ), varáves aleatóras represetado a dstâca etre as seqüêcas s e s H (para =,...,). Teos etão, o segute resultado prelar deostrado e [BLPR97]: Lea 3: E[X ] d y, para =... Note que o au eveto B ocorre se, e soete se, B (X > (+δ)d opt ) ocorre para pelo eos u ídce {..}. Ass, dado 0<ε<, deveos provar que: U B = ( B ) = ε < Coo d y d opt teos do Lea 3 que: E[X ] d opt, {,..,}. Alé dsso, coo δ>0, esperase etão que: (B ) = (X >(+δ)d opt ) (X > (+δ)e(x )) ε/, =,..,. Por outro lado, da desgualdade de Cheroff-Hoeffdg (Lea ), te-se que: ( δ ) 3D ( X ( + δ ) E[ X ]) exp E[ X ], =... (5) 69

7 ode X = j= X j, X j = d (s [j],s H [j]) para j=,.., e D = ax α,β Σ {d (α, β)}. Note da desgualdade (5) que as varáves aleatóras X j (para j=..) são depedetes e assue valores o tervalo real [0,D], ode D represeta a aor dstâca etre dos caracteres do alfabeto Σ (este caso, a = 0 e b = D). Falete, esperaos escolher δ e ε de aera que: exp ( E[ X ] δ D ) 3 ε, =... Novaete do Lea 3, coo E[X ] d opt, teos: (B ) = ε ( X > ( + δ ) d ), =... (6) opt exp d / Portato, de (6) deveos ter δ D( l( / ε) d ) 3 opt optδ 3D exp E[ X ] δ, =... Note que a qualdade da razão de aproxação elhora (pequeos valores de δ) para aquelas stâcas ode o valor da solução óta d opt é aor. Note ada que, coo ão coheceos d opt e coo d y d opt, ao fazeros δ =D(3l(/ε)/d y ) / obteos u algorto radôco (+δ)-aproxado, co probabldade de sucesso aor ou gual a -ε. Equvaleteete, (B)=(d H >(+δ)d opt ) ε <. Maores detalhes sobre este assuto pode ser ecotrados e [BLPR97]. 3D 6 DERANDOMIZAÇÃO Vejaos agora coo costrur ua solução deterístca s Σ satsfazedo a esa razão de aproxação obtda a Seção 5.. Etretato, ates de desevolveros u algorto deradozado pelo étodo das probabldades codcoas, cosdere a segute otação auxlar (defda a partr de ()-(4)). Represetareos por x j = ( x jσ, x,..., ) jσ x jσ p ode j {,...,} e Σ =p, o vetor de varáves báras assocado à j-ésa posção de ua seqüêca s Σ. Se todas as copoetes de x j já fore cohecdas tereos etão xˆ j = ( xˆ jσ, xˆ,..., ˆ ) jσ x jσ. Note este caso, que cada vetor xˆ p j rá represetar ua seqüêca de valores ode apeas ua coordeada é e as deas são 0. Para costrução de ua solução deterístca através da técca de deradozação (coo a Seção 4), é fudaetal que se calcule as probabldades codcoas (B A k ()), ode A ( ) ( x, xˆ,..., xˆ, x = e x = 0 σ ) k ˆ k k kσ e k=,..,. Dessa fora, o caracter Σ escolhdo a k-ésa etapa deverá ser tal que: { B Ak ( )} B xˆ,..., xˆ k, xˆ k ( ),..., xˆ k = Σ B xˆ O processo deverá ser repetdo até que tehaos ua solução deterístca x = ( xˆ,..., ˆ ) ode ( xˆ,..., ˆ ) = 0 B. x (7) ˆ Vejaos agora o segute odelo de ograação Lear PL() auxlar assocado a u ídce k {,..,} e u síbolo Σ: x 69

8 d = d s. a x jσ =, j =.., σ x (, [ ]) ˆ jσ d σ s j d d, k j= k σ, =,.., xk =, para a lg u xkσ = 0, σ x jσ [0,], j =.., e σ (8) (9) (0) () () (3) ode: d 0 e dˆ = k xˆ, k ( []) σ jσ d σ, s j, para =,..., e k=,..,. ˆ, 0 = j= Σ Este odelo é bastate seelhate àquele apresetado e ()-(4). Neste caso etretato, deve ser observado que as costates d ˆ, k são obtdas e fução das atrbuções dadas aos k- preros caracteres de ua solução s Σ. As restrções () e () assegura que soete o síbolo Σ será selecoado a k-ésa posção s. Note ada que resolvedo-se a relaxação PL() tereos ua solução do tpo ( x ˆ xˆ k xˆ,...,, k, xk +,..., x ) ode xˆ k = e x ˆ kσ = 0, para todo σ. Alé dsso, para cada ídce k {,...,} cosdere p probleas de prograação lear, ou seja, fareos x k = para cada síbolo e Σ. Agora, seja dados os valores por: X xˆ para j=,..,k- e x ˆ = para algu Σ. Represetareos jσ k + = d ( s[] j s [] j ),, para cada =,..., e k=,..,-, j = k + as varáves aleatóras assocadas a ua solução heurístca s P Σ -k (ode P={k+,..,}) obtda radôcaete através da solução relaxada de PL(). Cosdere etão o segute resultado prelar: Lea 4: E[ X ] d dˆ d ( s [ k] ), k +, k, ova: Coo X, k d( s[] j, s [] j ), teos que: + = j= k +, =,...,; k {,...,-} e Σ. k [ ] = E d ( s[ j] s [ j] ) E X, k +, j = k + Das desgualdades (0)-(3) e da leardade do valor esperado teos: [ ] = ( s[ j] ) d ( σ, s [ j] ) = x d ( σ, s [ j] ) d dˆ d ( s [ k] ) E X = σ j, σ k, k., k +, j = k + σ Σ j = k + σ Σ Cofore dscutdo aterorete, para aplcação do étodo das probabldades codcoas é fudaetal que se garata calete (B) <, ode B represeta u au eveto. Ass, se +δ é razão de aproxação para o PSMP (ode δ =D(3l(/ε)/d y ) / ), u au eveto assocado ao Algorto ocorre, sepre que B (d H >(+δ)d opt ), sedo d H varável aleatóra represetado o valor da solução heurístca s H (Seção 5.). Se perda de geeraldade, podereos assur que u au eveto B ocorre sepre que B (d H >(+δ)d y ) ode d y d opt é o valor da relaxação lear de ()-(4). Segudo-se o eso racocío desevolvdo a Seção 5., obteos u algorto (+δ)-aproxado para o PSMP fazedo-se δ=d(3l(/ε)/d y ) /, ou seja, tereos (B)=(d H >(+δ)d y )<. 693

9 Observe que u au eveto (B A k ()) ocorre para k {,..,} e, se e soete se, (B A k ()) ocorre para pelo eos u ídce {,..,} ode: ( B Ak ( ) dˆ + d ( [ k] ) + X + > + d X + > + d dˆ, k,, k ( δ ), k ( δ ), k d, [ k] Teos etão que: s ( B Ak ( ) = X + > + d dˆ, k ( δ ), k d, s [ k] ( ), p/ =,..., e k {,...,}. Logo do Lea 4, teos para =,...,: ( s ) ( B ( ) = > ˆ Ak X, k d d, k d(, s [ k] ) + δ d X, k + > E[ X, k + ] + δ d + Note que as probabldades codcoas aca ão são deteradas explctaete. Etretato, ltes superores pode ser obtdos utlzado-se, por exeplo, a desgualdade de Cheroff- Hoeffdg coo descrta o Lea. Cotudo, este caso, observe que as expectâcas codcoas ão são cohecdas explctaete, sgfcado portato que os estadores pessstas ão pode ser deterados dretaete. Para cotorar esse problea, cosderareos calete o caso báro ode d (α,β) {0,}, α,β Σ (dstâca de Hag). Neste caso, tereos: ( s[ j] [ j] ) = X, k+ = d, s Yj (5) j= k+ Note que X,k+ represeta ua soa de varáves aleatóras depedetes Y j {0,} para j=k+,..,. Ass Y j = sepre que s[j] s [j] e, Y j = 0 caso cotráro. Portato, da desgualdade de Cheroff-Hoeffdg cofore descrto o Lea, teos: ( B Ak ( ) X, k + > E[ X, k + ] j= k+ ε + δ dk, exp dk δ 3,, para =,...,. = Segue etão que: ( B A ( ) = ( ) k U B Ak B Ak ( ) ( ) < ε < = = exp d δ 3 ode, δ = D 3l( ε ) d y. (6) Logo, u estador pesssta U:[0,] p [0,) pode ser obtdo dretaete para as probabldades codcoas fazedo-se splesete: ( ( ) U A k ˆ ˆ = U x = =,..., xk, xk e xkσ 0 σ = exp d δ 3, k {,...,} e Σ. Da aálse de aproxação da Seção 5., é fácl ver que: ( x,..., x ) = exp( d y δ 3) ε < portato, a codção da defção de estador pesssta é satsfeta (Seção 4). A codção tabé pode ser verfcada dretaete pos: U e, 694

10 Falete, deveos provar que: ( B A k ( ) U ( Ak ( ), k {,...,} e Σ. U De fato, ote que: U xˆ,..., xˆ { U ( A ( )} xˆ xk xk x,..., ˆ,,..., k, ode k {,...,}. Σ x x U ( A ( ), para a lgu Σ) k, k,..., = k = exp d δ k, 3 Coo d k, d Σ, teos e partcular que d k, ax{ d Σ} = d. Segue etão que: { U ( ), Σ} ( ) ˆ ˆ U x,..., x, x,..., x A k. exp d δ 3 k k = = exp dk, δ 3 Observe portato que a fução U:[0,] p [0,) defe u estador pesssta para ossas probabldades codcoas. Observe ada que, dado k {,..,}, para calcular {U(A k (), Σ} basta calcularos ax{ d Σ }, ou seja, resolveos Σ probleas de ograação Lear a cada passo. Logo, teos o segute algorto de deradozação stetzado a segur. Etrada: s,s,...,s Σ Saída: seqüêca s H Σ e a dstâca d H. Iíco Para k=,..., faça. Para cada Σ faça a. x ) k = b. x ) kσ = 0, para todo σ c. Resolver RL() e retorar d f para. Retora tal que = ax{ d : } 3. s H [k] f para F d k, k Algorto : Algorto Deterístco (Deradozado) Coo cada problea de prograação lear te coplexdade O( 3 L) o algorto aca terá coplexdade total gual a O( 4 L Σ ) ode L represeta o úero total de bts utlzado a etrada do problea de prograação lear [Wrg97]. Observe agora que, o caso geral ode d (α,β) [0,D], α,β Σ e D Ζ +, ão podereos cosderar o Lea utlzado para costrução do estador pesssta U:[0,] p [0,), coo descrto aca. Note que, as hpóteses do Lea, devereos cosderar apeas varáves 0-, aleatóras e depedetes etre s. O caso geral pode ser covertdo e báro utlzado-se as varáves x j,σ {0,}, para j=,..., e σ Σ. Etretato, as varáves x j,σ para j fxo ão são depedetes etre s, o que vablza, este caso, a aplcação do Lea. Outra alteratva sera a utlzação do Lea, ode teos: 695

11 ( X ( + δ ) E( X ) exp E( X ) δ 3D ode X = X j e X j = d( sh [] j, s[] j = ), para j=,...,. j Ebora tehaos X j depedetes etre s (ode X j [0,D]) ão coheceos explctaete E[X ] e ão obteos portato u estador pesssta para o PMSP (o Lea 4 ão se aplca este caso). Coo trabalho futuro ua outra alteratva é pesqusar o caso geral utlzado-se outras desgualdades (ajorações) dsttas daquelas apresetadas por Cheroff-Hoeffdg. 7 CONCLUSÕES Neste trabalho, fazeos calete ua descrção das téccas de arredodaeto radôco e deradozação e estudaos o étodo das probabldades codcoas aplcado ao PSMP. Mostraos coo pleetar a deradozação sugerda por Be-Dor et. al [BLPR97]. Utlzaos o étodo dos estadores pessstas deterado ltates superores para as probabldades codcoas assocadas. Esta abordage pertu a costrução de u ovo algorto puraete deterístco para o problea co a esa razão de perforace obtda e [BLPR97]. Coo sugestão para trabalhos futuros para o PSMP, podeos ctar a deteração de estadores pessstas para stâcas co dstâcas (etre caracteres) o tervalo [0,D] ode D=ax α,β Σ {d (α,β)}. Neste caso, outras desgualdades (tal equaltes) deverão ser utlzadas vsado-se a deteração de ltates superores para as probabldades codcoas assocadas. Outra possbldade, é trabalhar a costrução de algortos deradozados de elhor qualdade (co a esa razão de perforace) utlzado-se, por exeplo, o algorto radôco (4/3+ε)-aproxado de Lactot et al. [LLMWZ99] ou o Esquea de Aproxação Radôco Poloal proposto por L et. al. [LMW0]. 8 REFERÊNCIAS [AS9] Alo, N. ad Specer, J.; The obablstc Method. Wley, New Yor 99. [BLPR97] Be-Dor, A., Laca, G., Peroe, J. ad Rav, R.; Bashg Bas fro Cosesus Sequeces, Cobatoral Patter Matchg, 8th Aual Syposu, Sprger-Verlag, Berl, 997. [BGHMS97] Bera, P., Guuco, D., Hardso, R., Mler, W. ad Stojaovc, N.; A lear-te algorth for the -satch proble, Workshops o Algorths ad Data Structures, pp. 6-35, 997. [FL97] Fraces, M. ad Lta, A.; O Coverg obles of Codes. Theory of Coputg Systes, vol. 30, pp. 3-9, 997. [GJL99] Gaseec, L., Jasso, J. ad Lgas, A.; Effcet approxato algorths for the Hag ceter proble, oc. 0 th ACM-SIAM Syposu o Dscrete Algorths, pp. S905-S906, 999. [HS95] Hertz, G. ad Storo, G.; Idetfcato of Cosesus Patters U-alged DNA ad ote Sequeces: A Large-Devato Statstcal Bass for Pealzg Gaps, oceedgs of the 3rd Iteratoal Coferece o Boforatcs ad Geoe Research, pp. 0-6, 995. [LLMWZ99] Lactot, K., L, M., Ma, B., Wag, S. ad Zhag, L.; Dstgushg strg selecto probles. oc. 0 th ACM-SIAM Syp. O Dscrete Algorths, pp , 999. [LR90] Lawrece, C. ad Relly, A.; A expectato axzato (EM) algorth for the detfcato ad characterzato of coo stes ualged bopolyer sequeces. otes, 7, pp. 4-5, 990. [LMW0] L, M., Ma, B. ad Wag, L.; O the closest strg ad substrg probles. Joural of the ACM, 49 (): pp. 57-7, 00. [LBMM9] Lucas, K., Busch, M., Mossger, S. ad Thopso, J.A.; A proved crocoputer progra for fdg gee or gee faly-specfc Abd-Elsala 95 olgoucleotdes sutable as 696

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