UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO SUL INSTITUTO DE MATEMÁTICA CADERNOS DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA SÉRIE B: TRABALHO DE APOIO DIDÁTICO

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1 UVERDADE FEDERAL DO RO GRADE DO UL UO DE AEÁCA CADERO DE AEÁCA E EAÍCA ÉRE B: RABALHO DE APOO DDÁCO AORAGE Elsa Crsta de udstock ÉRE B, º 53 Porto Alegre, agosto de 006.

2 Aostrage ÍDCE. AORAGE EÁCA DECRÇÃO, VAAGE E PROBLEA... 4 DECRÇÃO... 4 VAAGE DA AORAGE EÁCA... 4 PROBLEA DA AORAGE EÁCA ELEÇÃO DA AORA EADOR DE... 5 a) QUADO k... 5 Quado k:... 6 b) QUADO k+r VARÂCA DA ÉDA AORAL CORRELAÇÃO RACLAE... 9 a) DEFÇÃO... 9 b) FÓRULA ALERAVA PARA O CÁLCULO DO COEFCEE DE CORRELAÇÃO RACLAE... c) RELAÇÃO ERE ρ e... 3 s d) VALORE EREO QUE ρ PODE OAR EAÇÃO DA VARÂCA DA ÉDA AORAL PO DE POPULAÇÃO... 5 a) POPULAÇÕE E ORDE ALEAÓRA... 5 b) POPULAÇÕE CO EDÊCA LEAR... 5 c) POPULAÇÕE CO VARAÇÕE PERÓDCA EFCÊCA RELAVA E EFEO DO DELEAEO EFEO DO DELEAEO A AORAGE EÁCA AORAGE EÁCA E DEÕE CODERAÇÕE GERA.... REUO AORAGE EÁCA.... AORAGE POR COGLOERADO DECRÇÃO E EEPLO COGLOERADO CO EAPA ÚCA... 5 a) PROBABLDADE DE ELEÇÃO... 5 b) PARÂERO E EADORE... 5 c) COGLOERADO CO EAPA ÚCA DO EO AAHO ( ) UB-AORAGE (AORAGE BEÁPCA) a) EAÇÃO DO OAL POPULACOAL b) EAÇÃO DA ÉDA DA POPULAÇÃO... 3 c) COGLOERADO DO EO AAHO E AORA DO EO AAHO O COGLOERADO ( e ) EFCÊCA RELAVA DA AORAGE POR COGLOERADO COPARADA CO A AORAGE ALEAÓRA PLE COEFCEE DE CORRELAÇÃO RACLAE VARÂCA DA ÉDA E FUÇÃO DE ρ EFCÊCA E FUÇÃO DE ρ FUÇÃO DE CUO APECO PORAE DA AORAGE POR COGLOERADO REUO AORAGE POR COGLOERADO.... 4

3 Aostrage 3 3. AORAGE CO PROBABLDADE VARÁVE PROCEDEO PARA ELEÇÃO DE AORA AORAGE ALEAÓRA CO PROBABLDADE VARÁVE a) PROBABLDADE DE ELEÇÃO b) EAÇÃO A AORAGE CO REPOÇÃO ELEÇÃO CO PROBABLDADE VARÁVE A AORAGE POR COGLOERADO48 a) AORAGE POR COGLOERADO CO EAPA ÚCA b) AORAGE B-EÁPCA CO PROBABLDADE VARÁVE c) AORAGE B-EÁPCA CO PROBABLDADE PROPORCOAL AO AAHO (PP) COPARAÇÃO DA ELEÇÃO CO PP E ELEÇÃO CO PROBABLDADE GUA A AORAGE POR COGLOERADO REUO AORAGE CO PROBABLDADE VARÁVE BBLOGRAFA... 57

4 Aostrage 4. AORAGE EÁCA. DECRÇÃO, VAAGE E PROBLEA DECRÇÃO ea o taaho de ua população, e o taaho da aostra. ea k o tervalo de aostrage. O étodo de aostrage ssteátca cosste e selecoar, aleatoraete, ua udade aostral etre as k preras udades da população e, a partr daí, selecoar as restates a tervalos fos cada k udades. o caso e que k, o tervalo k dvde a população e grupos, cada grupo co k udades. Pelo étodo ssteátco, selecoa-se ua udade de cada grupo e cada udade selecoada te a esa localzação detro do grupo. 4 E.: ea 4 e 4. O tervalo de aostrage é k 6. A prera será 4 selecoada por aostrage aleatóra sples etre as udades e 6 do cadastro. upodo que teha sdo a 5 a, etão as outras udades são:, 7 e 3. A aostra ssteátca é de utldade e casos coo a seleção de cada k-éso regstro u arquvo, a seleção de ua e cada k cdades de ua lsta, etc. A aplcação de aostrage ssteátca é fácl e uto pouco sueta a erros. sto é vataoso quado o própro etrevstador é o ecarregado de selecoar a udade a capo. Ele pode ser struído a selecoar ua e cada k casas de ua rua, ou aluos de ua aula, ou págas de u lvro, ou fchas de u arquvo. VAAGE DA AORAGE EÁCA - Facldade para selecoar a aostra. - Geralete é as represetatva por dstrbur-se de ua aera as hoogêea sobre toda a população. Este pode ão ser o caso para populações co certas característcas (tedêcas, perodcdade, etc). - ob certas codções, a aostrage ssteátca pode substtur a aostrage aleatóra sples. - Pode proporcoar ua aostra estratfcada proporcoal, se a população estver arraada e orde e fução da varável a ser estudada. PROBLEA DA AORAGE EÁCA os casos e que o taaho da população ão é últplo do tervalo de aostrage os estadores são vesados, poré, o víco e geral é pequeo. ão pode ser defdo u estador para a varâca dos estadores baseado e ua úca aostra ssteátca.. ELEÇÃO DA AORA

5 Aostrage 5 E geral, ão é u últplo de k, portato, dferetes aostras ssteátcas selecoadas da esa população fta pode ter ua dfereça de ua udade o taaho da aostra. Eeplo: Co 3, k 5 as dferetes aostras ssteátcas são: Aostra As preras 3 aostras são de taaho 5 e as últas duas são de 4. Quado k a seleção da aostra pode ser realzada de dferetes aeras, por eeplo: a) Pertr que, depededo do íco aleatóro, o taaho da aostra sea ou +. b) Cosderar a lsta crcular de aera que, após o fal do cadastro, volta-se à prera udade da lsta. c) Usar tervalos fracoáros co ua casa decal. Por eeplo, supoha a seleção de ua aostra de 00 udades de ua população de 90. O tervalo de aostrage é k90/009,. elecoe u úero aleatóro etre e 9 e soe 9 sucessvaete até obter 00, depos, arredode esses úeros trucado as casas decas..3 EADOR DE a) QUADO k o caso e que k as k aostras possíves são: Aostra... k k + k + k + k k 3 + k + k + k 3k ( - )k + (-)k + ( - )k k.....

6 Aostrage 6 + (-)k + (-)k + (-)k k ea a observação da udade +(-)k a população (,,, k ;,,, ). upodo que o uero aleatóro selecoado etre e k é, etão a aostra selecoada cosste todas as udades da colua. Quado k: éda da aostra. k k k éda populacoal k EPERAÇA DE A probabldade de selecoar a colua a aostrage ssteátca é k. Portato, E( ) k k k k. Etão, a éda aostral é u estador ão tedecoso de a aostrage ssteátca quado k. b) QUADO k+r e k + r ode r < k, o taaho de aostra vara, depededo do uero selecoado calete. As aostras possíves são: Aostra r r +... k r r+ k +k +k +k r+k r++k k 3 +k +k +k r+k r++k 3k (-)k +(-)k +(-)k r+(-)k r++(-)k k + +k +k +k r+k Este r aostras de taaho + e k-r aostras de taaho.

7 Aostrage 7 A éda da população é: k + r k + r r + k + r+ ( ) r k + + r+ A éda aostra é: + se r + se > r EPERAÇA DE r E ( ss ) P ( r) + P ( > r) P ( r ) k r k r+ P ( > r ) k r k r E ( ss ) r k k r + k k r+ A éda aostral é u estador tedecoso da éda da população quado k+r..4 VARÂCA DA ÉDA AORAL ea k. Este k aostras possíves e cada ua te probabldade k de ser selecoada. egudo a fórula básca da varâca, sabeos que: k k ( )

8 Aostrage 8 Por trasforações algébrcas pode-se chegar à epressão: _ _ ss edo ( ) as, _ _ ss Veos que ( ss ) fca dvdda e duas partes: O prero eleeto é a varâca da população ( ). O segudo eleeto, - ( ) represeta a varâca poderada das k aostras ssteatcas. Quato aor for a varâca detro das aostras ssteátcas, eor será. Ua grade varação detro de ua aostra ssteátca é obtda quado a aostra é heterogêea. Portato, quado as aostras possíves são heterogêeas, a precsão da aostra ssteátca aueta. Eeplo de cálculo de s : ea a população,, 3 4, 5, 6 7, 8, 9 k 3, 3. As aostras possíves são: aostra aostra aostra _ _ ss Calculado o prero tero, a varâca da população: ( ) 5 85

9 Aostrage 9 9 [ 85 ( 9 5) ] 60 9 O segudo tero é: ( ) ( ) 9 9 ( ) ( ) 9 (5 ) 93-3 (8 ) ubsttudo e s 60 9 ss a prátca, para calcular ss é ecessáro cohecer todas as k aostras ssteátcas. Coseqüeteete, ão há possbldade de estar a varâca da éda a aostrage ssteátca tedo só ua aostra selecoada. era ecessáro ter, pelo eos, duas aostras para poder estar a varâca detro de estratos. o etato, cohecedo a fórula geral da varâca da éda a aostrage ssteátca, podeos estabelecer quas os casos e que a aostrage ssteátca forece aor precsão que a aostrage aleatóra sples. esses casos pode ser utlzada ua seleção ssteátca ao vés de ua aleatóra sples. a aostrage estratfcada pode-se utlzar aostrage ssteátca para selecoar as aostras detro de estratos se as codções ecessáras fore preechdas..5 CORRELAÇÃO RACLAE a) DEFÇÃO A fluêca da varação detro da aostra e s pode ser vsta através do segute eeplo: ea a população: As udades da população apreseta perodcdade. e k 5 e a seleção aleatóra do 0 eleeto for, por eeplo, a aostra será,,, que é ua aostra hoogêea e ão represetatva da população. A varação detro é zero, e este caso. será grade.

10 Aostrage 0 Para obter ua edda da heterogeedade de ua aostra ssteátca utlza-se o coefcete de correlação traclasse. ρ E [( - )( - ) ] E ( - ) ; ' A fórula para calcular ρ é : ρ ( ) ( ' ) < ' - ( ) taaho da aostra Eeplo : ea a população, 7,, 8, 3 e 9, dvdda e duas aostras possíves (grupos). Calcular ρ. 6 3 k Este duas aostras ssteátcas possíves, de taaho 3 Aostra ( 5) + ( 8 5) + ( 9 5) + ( 5) + ( 5) + ( 3 5) Para calcular ( )( ' ) < ' < ' procede-se a forar os pares detro de cada aostra Aostra ( ) Aostra ( ) - ) ( - ) : - ) ( - ) : ( ' ( ' ( - 5 ) ( - 5 ) ( 7-5) ( 8-5 ) 6 ( - 5 ) ( 3-5 ) 8 ( 7-5 ) ( 9 5 ) 8 ( - 5 ) ( 3-5 ) 6 ( 8-5 ) ( 9 5 ) ( ) ( ' ) 6 ( ) ( ' ) 6 < '

11 Aostrage ρ ( )( ' ) < ' 5 5 ρ ( ) - 0, A característca do ρ é que os desvos das udades aostras são calculados e fução da éda da população () e ão das respectvas édas aostras. Observe que, o grupo, todas as udades apreseta desvos co sal egatvo a respeto de, e os produtos de desvos são postvos - ) ( - ) > 0. Por outro ( ' lado todas as udades do grupo apreseta desvos postvos e os produtos serão sepre postvos. Podeos dzer que, para abas as aostras, as udades aostras são hoogêeas e relação a. O valor de ρ 0,896 é ua edda desta hoogeedade. Eeplo : Ua população de 9 é dvdda e 3 aostras possíves. Calcular ρ Aostra Para esta população, 5 ( - ) ( ) (- 5 ) (4-5) + ( 5)(7-5) + (4-5) (7-5) -6 < ' ' ( - ) ( ) - 9 < ' ' 3 ( - ) ( ) - 6 < ' 3 3 ' (- 5) + ( - 5) + (3-5) + (4-5) + (5-5) (6-5) + (7-5) + (8-5) + (9-5) 60 8 ρ ( ) - 0, /8 60 As aostras possíves são heterogêeas, produzdo u ρ egatvo.

12 Aostrage b) FÓRULA ALERAVA PARA O CÁLCULO DO COEFCEE DE CORRELAÇÃO RACLAE Para o caso geral de k grupos co udades o grupo, a fórula a segur forece u étodo as efcete para calcular ρ se precsar lstar todos os pares de observações. ode: ρ k k ( - V) ( ) k ( ( V ) k º de aostras possíves (grupos) º de udades da aostra k V ( -) G - V) G k ( -) Eeplo: Calcular ρ para os dados do eeplo ( 3 ( ) ) G 3 V ( ) 5 ( -5) ( -5) ( 3-5)

13 Aostrage 3 ( ( -) V ) ( ( - V) V) ρ ,35 c) RELAÇÃO ERE ρ e s Pode-se epressar ss s e fução de ρ, da segute aera: - [ +(-) ρ ] ode ( ) esta equação pode-se observar que: a) quado ρ é grade e postvo, é grade, b) quado ρ é pequeo e postvo ou é egatvo, é pequea, c) se ρ 0, s é gual a varâca de a a.a.s. d) VALORE EREO QUE ρ PODE OAR e aostra ssteátca é hoogêea ρ terá o áo valor. o caso etreo, todas as udades da aostra tere gual valor. Etão, para ρ E ( E ( - )( ' ) ) ereos e portato ρ O ío valor de ρ será obtdo para E chegaos a: ρ - Etão, Fazeos 0 [ + ( - ) ρ ] ρ

14 Aostrage 4 U coefcete de correlação traclasse grade postvo é obtdo quado as udades a aostra ssteátca são hoogêeas; ρ será pequeo e postvo, ou egatvo, quado as udades são heterogêeas..6 EAÇÃO DA VARÂCA DA ÉDA AORAL A varâca da éda de ua aostra ssteátca ão pode ser calculada e base a ua aostra só. o etato, usa-se certas aproações a prátca para estar a varâca. a) Ua aproação cosste e tratar a aostra ssteátca coo ua aostra aleatóra sples de taaho e calcular a varâca usado a fórula. s s k s ( ) s O valor esperado deste estador é: E( ) k $ ( ρ ss ) - k k Quer dzer, este estador é tedecoso, a eos que ρ - k - eos que a aostra ssteátca sea equvalete à aostra aleatóra sples. ou sea, a b) Outro estador às vezes utlzado é ) - (, -, + ) s - k ( -) que tabé é tedecoso. c) Co duas ou as aostras aleatóras ssteátcas é possível estar a varâca da éda se tedecosdade.,,... ea, as édas de aostras ssteátcas depedetes, cada ua de taaho. O estador é u estador ão vcado da éda da população. U estador ão vcado da varâca da população é: ( ) ( -)

15 Aostrage 5.7 PO DE POPULAÇÃO o plaeaeto de ua aostrage ssteátca a questão se cocetra e saber se as aostras possíves são hoogêeas ou ão. sto leva a pergutar sob quas codções a aostra ssteátca é hoogêea ou heterogêea. Para sso precsaos cohecer as característcas da população. a) POPULAÇÕE E ORDE ALEAÓRA A aostrage ssteátca é utlzada, e certas ocasões, e populações as quas a ordeação das udades é aleatóra. sto é váldo para lstas, se a característca a ser observada ão está relacoada co a ordeação co a lsta. Eeplo: Lsta de estudates e orde alfabétca para observar peso destes estudates. upõese que o peso e os oes ão estão relacoados e sto sera equvalete a que os pesos estvesse e orde aleatóra. esse caso, as udades a aostra ssteátca tabé estão e orde aleatóra e a aostra ssteátca pode ser tratada coo se fosse ua aostra aleatóra sples. Esta aostra é heterogêea e o valor de ρ será pequeo. Quado ρ é pequeo, e são aproadaete guas. s A.. b) POPULAÇÕE CO EDÊCA LEAR Eeplo: As fchas de cletes de credáro para casa própra estão arraadas de acordo co a data e que fo coceddo o facaeto, durate os últos 5 aos. Este certa tedêca para estes facaetos auetare de valor porque o custo da costrução aueta. Para u estudo de valores de facaetos, ua aostra ssteátca e 00 produzrá ua éda cuo valor depede uto do valor aleatóro selecoado para car a seleção. e o valor selecoado é bao (, 0,0, ) a éda aostral será uto eor que se o valor for alto (00, 00, 300, ). A tedêca ootôca duz varação etre as 00 édas aostras possíves. Cosdere a aostra ssteátca equvalete a ua aostra estratfcada co ua udade selecoada e cada estrato, toado coo estrato o tervalo de seleção. e a população ostra ua tedêca lear, coo o gráfco, as udades selecoadas estão localzadas a esa posção e cada estrato, ou sea, se o prero estrato a udade da

16 Aostrage 6 aostra é uto baa tabé será baa e todos os estratos. Já a estratfcada a posção da udade e cada estrato é aleatóra, dado ua chace para os erros detro de estrato cacelare. esse caso, pode ser aor que. s Para este tpo de população, e geral a aostra aleatóra sples e a aostra estratfcada serão as precsas que a ssteátca. Poré, a aostra ssteátca pode ser elhorada e populações co tedêca lear usado ua aostra dos potos cetras dos estratos (aostra cetrada). este caso a aostra ssteátca é superor. Outra aera de elhorar a estação baseada ua aostra ssteátca quado este ua tedêca lear é utlzar ua éda poderada para estar utlzado coo peso / para todos os valores aostras eceto o prero e o ulto, que receberão pesos - k - + e -)k - - k -, ( ( -)k respectvaete, sedo o º selecoado aleatoraete de a k. este caso a éda poderada da aostra ssteátca é gual a, se k. c) POPULAÇÕE CO VARAÇÕE PERÓDCA. Quado este varações peródcas de período k a população, u tervalo aostral de taaho k ou últplo de k ão deve ser utlzado. e houvere codções de estudar a estrutura peródca da população, pode ser plaeada ua aostra ssteátca para toar vatage desta característca. Caso cotráro é preferível ua aostra aleatóra sples ou estratfcada quado se descofa de ua perodcdade, as ão se cohece a sua atureza. E casos de perodcdade pode-se trocar a posção da udade aostral cada vez. ea a população hpotétca:,, 3, 4, 5,,, 3, 4, 5,,, 3, 4, 5 elecoado ua aostra ssteátca, de k 5, se a ª udade sorteada é, por eeplo,, a aostra será (,, ). este caso, os grupos forados são hoogêeos e ρ grade. Claro que este caso é etreo, as este utas stuações reas de perodcdade a população. Eeplo : Edfíco co 6 apartaetos por adar, sedo apartaetos de quartos e 4 de u quarto. elecoado ua aostra ssteátca co tervalo 6 ua aostra possível sera 0, 30, etc., todos do eso o de quartos. Eeplo : As vedas dos superercados são altas e setas e sábados, e baas as segudas e terças-feras, ou sea, tê perodcdade seaal. Para estar ua éda durate u certo período ( ês, por eeplo), ua aostra ssteátca todas as quartas-feras ou todos das ás 6h ão é coveete. A estratéga é dstrbur a aostra ao logo da curva peródca, cudado para que cada da estea represetado. Est

17 Aostrage 7 Eeplo 3: Fluo de carros u deterado poto durate as 4 horas do da. o caso da curva peródca, a efcêca da aostra ssteátca depede do valor de k. O caso as desfavorável acotece quado k é gual ao período da curva, ou últplo tero dele. sto é represetado pela aostra A o gráfco a qual, todas as observações são guas, portato, ua aostra ão é as precsa do que ua observação toada aleatoraete. O caso as favorável (aostra B) acotece quado k é ua fração do período. Cada aostra ssteátca te ua éda gual a, pos desvos para as e para eos se copesa 0 esse caso. (s ).8 EFCÊCA RELAVA E EFEO DO DELEAEO EFCÊCA RELAVA A efcêca relatva de u procedeto aostral B coparado co procedeto A é dada por: / A ER B / Eeplo : A A 875 B 6 B 875 ER 3,0 6 gfca que o procedeto B reduzu a varâca a aproadaete /3 do procedeto A, ou sea, o procedeto B é as efcete. ER > B as efcete que A ER < B eos efcete que A

18 Aostrage 8 Eeplo : e B coparado co A tver ER 0,35, (A elhor que B) e C coparado co A tver ER 0,6, (A elhor que C) A B 0,35 A C 0,6 B 0,6,77 0,35 C gfca que C é as efcete que B. EFEO DO DELEAEO O efeto do deleaeto (deff) é a razão etre a varâca do estador e u plao aostral e a varâca de ua aostra aleatóra sples do eso taaho. upoha, por eeplo, que ua aostra estratfcada de taaho é utlzada para estar µ. esse caso, ( deff est ) ( a. s ).9 EFEO DO DELEAEO A AORAGE EÁCA A.. - s k k [ + ( -) ρ ] deff s A.. ( k -)[ + ( -) ρ ] (k -) sedo k, ( ) + ( ) ρ deff [ ] + (-) O efeto do deleaeto depede do valor de ρ. ρ precsão. e ρ - k, etão e abos os étodos dão a esa s A..

19 Aostrage 9 e ρ > - k, etão > s A aostrage ssteátca é eos precsa que a A.. aleatóra sples. Prova: -+ ea ρ +, > 0 k k k - s A.. ( k -) ( -)( ) + k (k -) k +- + ( -) (k ) (k ) + ( -) (k ) > s A.. > o outro caso, se ρ <, < a aostrage ssteátca é elhor que a k s A.. aostrage aleatóra sples. E geral, é dfícl saber quas os valores que pode toar ρ e populações dstrbuídas o espaço ou o tepo, o que ão perte trar coclusões sobre a efcêca da aostrage ssteátca e relação à aostrage aleatóra sples. Por outro lado, e populações orgazadas ua deterada orde, por eeplo, alfabétca ou outra qualquer que ão estea relacoada co a varável a observar, pode-se cosderar que a aostrage ssteátca produz, e éda, precsão equvalete à aostrage aleatóra sples..0 AORAGE EÁCA E DEÕE ea ua população arraada, a fora de l lhas e k coluas. Quereos selecoar ua aostra ssteátca de udades. a) Aostra alhada. O procedeto as sples é selecoar u par de os aleatóros (, ) tas que e k detera a posção da prera udade selecoada. A partr daí, as lhas selecoadas são, + l, + l,, + ( -) l, equato que as coluas são, + k, + k,, + (-)k. Os potos de terseção das lhas e coluas selecoadas são as coordeadas das udades da aostra. Ua aostra ass selecoada é chaada alhada.

20 Aostrage 0 Eeplo: ea ua população co 9 lhas e coluas e desea-se selecoar ua aostra de taaho 9 co 3 lhas e 3 coluas. edo l9 e k, resulta l3 e k4. ea,, os úeros sorteados. A aostra está represetada o gráfco. b) Aostra ão alhada. U étodo alteratvo é o segute: elecoar depedeteete teros aleatóros,... l e teros aleatóros,,... k. As udades selecoadas a aostra tê as coordeadas: [ s + rl ; r+ +(s-)k] s,,,; r0,,,(-) Eeplo: a população ateror, sea, 3 3,,, 3 3 os úeros sorteados, 3, 3, l 3 e k4.as coordeadas das udades selecoadas fca: s r 0 + 0l, r + l, r +, s r 0 r r s 3 r 0 l + 0l +l + l 3 + 0l, 3,,, 3 (, ) ( 5,) ( 8, 3 ) + k ( 3, 6 ) + k ( 6, 5 ) + k ( 9, 7 ) + k (,0 ) r +, + k ( 4, 9 ) r 3 l 3 + l, 3 + k A aostra ão alhada fca: ( 7,)

21 Aostrage Estudos fetos tê ostrado que ua aostra ão alhada é geralete superor a ua aostra alhada e tabé a ua aostra estratfcada aleatóra.. CODERAÇÕE GERA Aostras ssteátcas são coveetes e fáces para selecoar. a aora dos casos, elas se copara favoravelete e precsão co aostras aleatóras estratfcadas. As suas desvatages são a de ser de pouca precsão quado estr perodcdade ão detectada a população e a de ão se ter u étodo para estar s a partr de ua aostra aleatóra. Quado k os estadores passa a ser tedecosos e este é o caso as cou de acotecer a prátca. Dfclete se te k u caso real. Os casos os quas é recoedada a aostrage ssteátca são: ) Quado a ordeação da população é aleatóra ou coté ua estratfcação que ão terfere co os obetvos do estudo. ) Quado se utlza ua estratfcação co uerosos estratos e selecoa-se ua aostra depedete para cada estrato. Os efetos de qualquer perodcdade ão cohecda tede a cacelar. O estador da éda esse caso é estador da varâca da éda é w s h h que é tedecoso. U estador ão tedecoso do erro pode-se obter co duas aostras ssteátcas depedetes e cada estrato, co ícos aleatóros depedetes e tervalos de seleção k. 3) o caso de sub-aostrage (aostrage por cogloerados). s. l h w h h e o

22 Aostrage. REUO AORAGE EÁCA k k +r k k k + r EAÇÃO DA ÉDA. Parâetro [( + ) + ] + + Estador, se, se r > r CORRELAÇÃO RACLAE. ρ ( ) ( ' ) ; - < ' ( ode taaho dos grupos Fórula alteratva k ( - V) ) ρ k ( ) ( V) Ode: k º de aostras (grupos) º de udades a aostra k V ( -) G k G ( -) k ( - V) ;

23 Aostrage 3 VARÂCA DA ÉDA AORAL. Parâetro ( ) k Estador a) Cosderado aostra ssteátca coo aostra aleatóra sples: s k ( ), + b) k ( ) c) Co duas ou as aostras ssteátcas: ( ) ; ( ) RELAÇÃO ERE ρ e s ss - [ +(-) ρ ] ode ( ) EFEO DO DELEAEO deff [ + ( ) ρ ] ( ) + (-) ρ

24 Aostrage 4. AORAGE POR COGLOERADO. DECRÇÃO E EEPLO O étodo de aostrage por cogloerados é aplcado da segute aera: A população é dvdda e grupos ou cogloerados que serve coo udades práras de aostrage, de aera que cada udade da população é assocada co u e soete u cogloerado. Cada cogloerado é forado por udades, chaadas udades secudáras. Das udades práras (cogloerados) a população é selecoada ua aostra de taaho pelo étodo aleatóro sples. Pode acotecer que: todas as udades do cogloerado selecoado sea cluídas a aostra. Este procedeto deoa-se aostrage co etapa úca. os cogloerados selecoados são etraídas aostras de udades secudáras. este caso, teos sub-aostrage ou aostrage co duas etapas (betápco). Este processo pode ser esteddo a váras etapas de aostrage (ultetápco). Chaa-se cogloerado fal (cogloerado últo) o couto das udades selecoadas a aostra. Eeplo: Pesqusa para estatva de safra a qual os ucípos são os cogloerados (udades práras), lavouras detro de ucípo são as udades da seguda etapa (udades secudáras) e parcelas detro da lavoura são as da tercera etapa. EEPLO DE FORAÇÃO DE COGLOERADO População Cogloerados Eleetos Varáves a observar oradas de ua Udades resdecas Blocos Característcas da orada cdade (casas, aptos., etc.) Habtates de ua oradas Pessoas Despesas co roupas cdade Passageros de u aeroporto Avão (todos os passageros de u vôo) Passageros que ebarca forações sobre vage Aluos de ua escola uras copletas Estudates Reda falar População de u país Cdades Adultos Attudes socas Veículos que trafega ua pote tervalo de 40 Autoóves Orge e desto Pacetes de u seguro Regstros dos Dados referetes a Grupos de 0 fchas édco assegurados atedetos édcos

25 Aostrage 5. COGLOERADO CO EAPA ÚCA a) PROBABLDADE DE ELEÇÃO Pode-se ostrar que, se os cogloerados selecoados são euerados copletaete, todas as udades da população tê gual probabldade de sere cluídas a aostra. Eeplo: Estar o úero total de fucoáros as loas de u uverso de 4 quarterões (udades práras) toado ua aostra de e euerado os fucoáros de todas as loas (udades secudáras) os dos quarterões selecoados. ea os quarterões:,, 3 e 4. As aostras possíves de quarterões são: (,) (,3) (,4) (,3) (,4) (3,4) 4 ou sea 6 aostras possíves. Co aostrage aleatóra sples, cada ua destas aostras terá a esa probabldade, (/0), de ser selecoada. Cada quarterão aparece e 3 das 6 aostras possíves de taaho, portato, a probabldade de u quarterão etrar a aostra é 0,5. A probabldade de ua loa o quarterão ser cluída a aostra é, tabé, 0,5, eso sedo dferete o uero de loas por quarterão. Portato, quado todos os eleetos de u cogloerado são cluídos a aostra, a probabldade de ua udade secudára ser cluída a aostra é a esa probabldade do cogloerado ser cluído. Essa probabldade é. b) PARÂERO E EADORE O processo de seleção a aostrage por cogloerados co etapa úca equvale à seleção de ua aostra aleatóra sples. a aostrage aleatóra sples é selecoada ua aostra de udades de ua população de taaho ; a aostrage por cogloerados co etapa úca é selecoada ua aostra aleatóra sples de cogloerados de ua população de taaho. A dfereça está e que, a aostrage por cogloerados, a varável observada é o total do cogloerado ( ). O processo de estação dos parâetros (éda, total, proporção) deverá se basear, etão, a teora da aostrage aleatóra sples. EDA E OAL POPULACOAL éda do cogloerado otal do cogloerado

26 Aostrage 6 éda geral otal geral. Eeplo: A Aeroáutca de u deterado país possu 0 aeroportos co avões cada u, sedo, e total, 30 avões. ão regstradas as lhas de cada avão e u deterado período. Aeroporto () Avões ( ) otal de.000 lhas ( ) otal 30 3,50 µ,4 µ EADOR DE Para estar, o otal de lhas os 0 aeroportos, selecoa-se ua aostra aleatóra sples de 4 aeroportos. A varável observada esta aostra aleatóra sples é. A estação é feta calculado a éda dos totas dos cogloerados da aostra e ultplcado essa éda pelo úero de cogloerados da população.

27 Aostrage 7 ea os aeroportos 3, 6, 8 e 9 selecoados a aostra ,75 4 (0)68,75 687,50 (.000 lhas os 0 aeroportos) EADOR DA ÉDA O estador da éda da população basea-se o estador de 687,50 5,88 (.000 lhas por avão) 588 lhas 30 VARÂCA POPULACOAL Este duas fotes de varação a aostrage por cogloerados: ua é varação devda a aostrage das UP, chaada de varação etre UP ( E, E ) e a outra é a varação devda a seleção das aostras aleatóras as UP, chaada varação detro das UP. (, ) Defções: ( - ) varâca da população ( - ) D varâca das U detro do cogloerado. varâca poderada detro dos cogloerados. D D

28 Aostrage 8 E ) - ( varâca etre os cogloerados Pode-se provar que. Ou sea, as duas fotes de varação são adtvas e copõe a varação total. E D + As varâcas corrgdas são: ) ( ) ( D ) ( ) ( E ) ( ) ( VARÂCA DA ÉDA A varâca da éda é obtda, tabé, aplcado a teora da aostrage aleatóra sples a ua aostra de cogloerados, obtda de ua população de cogloerados. ) ( EADOR DA VARÂCA DA ÉDA Ŝ ) ( o eeplo:

29 Aostrage 9 Ŝ 439,58 (0 4) 439,58 0 0, ,6950 0,6463 (.000 lhas) 65 lhas c) COGLOERADO CO EAPA ÚCA DO EO AAHO ( ) ÉDA DA POPULAÇÃO abeos que as etão, quado EADOR DA ÉDA VARÂCA DA ÉDA ( ) EADOR DA VARÂCA DA ÉDA Ŝ ( )

30 Aostrage 30.3 UB-AORAGE (AORAGE BEÁPCA) a) EAÇÃO DO OAL POPULACOAL EADOR DE A estação do total será realzada e duas etapas, da esa aera que a aostra é selecoada e duas etapas. Prero, são estados os totas dos cogloerados da aostra, depos, usa-se estes totas para estar o total dos cogloerados da população. Para chegar a fórula do estador de usareos u eeplo: ea ua população de 0 coutos resdecas (cogloerados ou UP), selecoa-se coutos, sedo o uero de faílas (udades ou U) dos cogloerados selecoados 40. E cada couto fo selecoada ua aostra de 0 faílas para observar o úero de pessoas. Os valores das édas dos cogloerados observados fora 5 e 7 pessoas por faíla. Os totas dos dos cogloerados são estados ass: pessoas o couto pessoas o couto Pela aostrage aleatóra sples sabe-se que é ão vcado para estar o total do cogloerado. A éda dos totas estados é: pessoas por couto A estatva do total dos 0 cogloerados é: pessoas a população, ou sea, A fórula copleta de fca: Este procedeto está, a realdade, utlzado o esquea de aostrage aleatóra sples para estar o total duas vezes, ua vez utlzado as faílas (U) para estar o total do couto resdecal (UP) e, depos, os coutos resdecas para estar o total da população.

31 Aostrage 3 EPERAÇA DE Pode-se provar que é u estador ão vcado de. VARÂCA DE A varâca de é: ode E E ( - ) ( ) - + e ( ) EADOR DA VARÂCA DE $ Para estar é ecessáro utlzar estadores de e. Ŝ ( ) edecoso Ŝ ( ) ão tedecoso ou sea, ( - ) Ŝ + Pode-se ostrar que E ( ) Ŝ b) EAÇÃO DA ÉDA DA POPULAÇÃO EADOR DA ÉDA O estador de éda populacoal por U é: otar que ão é a éda aostral sples, é o estador da éda da população obtdo dvddo o estador do total pelo úero de eleetos a população.

32 Aostrage 3 E( ) E Ou sea $ é u estador ão vcado de, a éda por U. VARÂCA DA ÉDA - + EADOR DA VARÂCA DA ÉDA O estador de $ tabé é obtdo do estador para o total - Ŝ Ŝ + Este estador, o etato, ão é fácl de ser calculado, porque geralete é descohecdo. Este alguas aeras de solucoar esta dfculdade. Ua é supor todas as UP de gual taaho e selecoar o eso úero de U das UP aostradas. Outro étodo é usar ua aproação, e o tercero é selecoar UP co probabldade proporcoal ao taaho. Eeplo: upoha que, o eeplo da Aeroáutca, e cada aeroporto selecoado a aostra são selecoados avões. Pretede-se estar o otal de lhas a população e a éda de lhas por avão. Os dados da aostra estão a segur. Varâca da aostra ( ) Ŝ , , , Estatva do total:

33 Aostrage ,50 (.000 lhas) 4 Estatva da éda: 687,50 5,88 (.000 lhas por avão) 30 Estatva da Varâca da éda: - Ŝ + Ŝ,875 Ŝ Ŝ ( 305,0777 ) 439,58 Erro padrão da éda: 7,466 (.000 lhas, por avão) c) COGLOERADO DO EO AAHO E AORA DO EO AAHO O COGLOERADO ( e ) upodo: ÉDA DA POPULAÇÃO, as etão,

34 Aostrage 34 EADOR DA ÉDA éda sples das édas da aostra este caso, ão há ecessdade de cohecer para estar a éda da população (). VARÂCA DE A varâca de para o caso geral era: + ubsttudo fca: + quado e EADOR DA VARÂCA DA ÉDA + Ŝ Ŝ quado e.4 EFCÊCA RELAVA DA AORAGE POR COGLOERADO COPARADA CO A AORAGE ALEAÓRA PLE Para splcdade das fórulas coparar-se-á o caso de cogloerados de gual taaho co aostrage aleatóra sples. ea o taaho dos cogloerados. abeos que: é u estador ão vcado da éda da população. E ) (

35 Aostrage 35 pode-se epressar ass ( ) ( ) A varâca da éda quado é: ( cog ) - E este caso, toou-se ua aostra de cogloerados co udades e cada cogloerado. Quer dzer, o taaho da aostra fal fo. e cosderaros ua aostra aleatóra sples de eleetos da população, a varâca da éda é: ( a. s) A efcêca relatva do cogloerado coo udade de aostrage coparada co o eleeto é dada por: ( a.s) E.R. ( cog) E E Essa efcêca é versaete proporcoal à varâca etre cogloerados. Ou sea, a efcêca relatva da aostrage por cogloerados aueta quado E du. Por outro lado, a relação ( ) ( ) ( ) + é equvalete a ( ) ( ) ( ) D + E e E [( ) ( ) D ] - Podeos ver que E du co o aueto de D ou sea, quato aor a varâca detro de cogloerados, eor a varâca etre cogloerados e aor a efcêca relatva da aostrage por cogloerados e relação à aostrage aleatóra sples. E

36 Aostrage 36 Esses resultados dca que, para a aostrage por cogloerados ser efcete, os cogloerados deve ser forados de tal aera que a varação ete édas de cogloerados sea tão pequea quato possível ( pequeo) equato que a varação detro de cogloerados sea tão grade quato possível ( D grade). e os cogloerados são forados agrupado aostras aleatóras de eleetos de ua população de eleetos, é de esperar que os eleetos de u eso cogloerados ão sea e as e eos parecdos que os eleetos e outro cogloerado. Coseqüeteete, varâcas etre e detro de cogloerados serão da esa agtude, sedo abas varáves aleatóras que esta. sto quer dzer que, se os cogloerados são forados de aostras aleatóras dos eleetos da população, eles serão, e éda, tão efcetes quato às udades dvduas. a prátca, u cogloerado ão pode ser cosderado coo forado por ua aostra aleatóra dos eleetos da população. Geralete, eleetos do eso cogloerado são as slares etre s que eleetos e cogloerados dferetes. Coseqüeteete, a varâca de ua aostra por cogloerados geralete será superor à da aostra aleatóra sples. e os cogloerados são de gual taaho, forados por aostras aleatóras da população de eleetos, teos: E (E ) e E ( ) D Quado os cogloerados são forados por aostras aleatóras da população, tato a varâca etre cogloerados coo a varâca detro de cogloerados estão estado a varâca total. E.5 COEFCEE DE CORRELAÇÃO RACLAE Cosdere-se duas aeras de forar os cogloerados,o caso de etapa úca, e ua população: ª) agrupado udades adacetes, ª) sorteado os eleetos. o prero étodo, os cogloerados tederão a ser as hoogêeos que o segudo, pos udades adacetes e geral tede a ser as parecdas etre s. a prátca, ão sedo os cogloerados forados por aostras aleatóras da população é teressate observar o coefcete de correlação traclasse. ρ E( )( E( ) ) Pode-se provar que: E ρ D

37 Aostrage 37 Quado os cogloerados são forados aleatoraete: E( ) e E ( ) E D E( ρ ) -.6 VARÂCA DA ÉDA E FUÇÃO DE ρ Partdo das equações: E () ρ D () ( ) ( -)D + ( ) E Pode-se epressar e fução de $ ρ : ( ) ρ cog ( -) [ + ( ) ρ cog ] quado é sufceteete grade. [ ] edo -, a fórula para fca: [ + ( ) ρ ] cog Esta fórula para a varâca é coposta de 3 fatores: O prero é o fator de correção para populações ftas ; O segudo fator, /, é a varâca da éda baseada e eleetos selecoados aleatoraete e co reposção; O tercero fator, + ( -) ρ, ede a cotrbução da aostrage por cogloerados à varâca da éda.

38 Aostrage 38.7 EFCÊCA E FUÇÃO DE ρ A efcêca relatva da aostrage por cogloerados e relação à aleatóra sples podese epressar: E.R E ( ) ( ) [ + ( ) ρ ] ( ) + ( -) ρ E.R quado é sufceteete grade. + ( ) ρ O efeto de deleaeto a aostrage por cogloerados fca: deff + ( ) ρ Esta equação dca que, quado ρ é postvo, coo acotece geralete a prátca, a aostrage por cogloerados é eos efcete que a aostrage aleatóra sples. Para u valor fo de ρ, o efeto do deleaeto aueta quado o taaho do cogloerado aueta..8 FUÇÃO DE CUO É ecessáro detfcar três tpos de custos que etra ua pesqusa por cogloerados, e fução das váras fases da pesqusa. a) Custos fos que depede da aera coo a aostra é selecoada e do taaho da aostra. ão os custos da adstração cetral, pessoal técco, espaço físco, equpaeto, preparação de apas e outros ateras, elaboração do questoáro, etc. Chaareos C o esses custos fos. b) Custos que vara e relação ao úero de UP a aostra. Estes custos são ocasoados pela seleção das UP, deslocaeto até o lugar e localzação da UP, preparação da lsta das U. C é o custo assocado a cada UP. c) Custos e fução das U a aostra. Estes se refere ao levataeto dos dados (etrevsta), revsão do foruláro e tabulação. Este custo vara e fução do úero de U a aostra, e será deoado C.

39 Aostrage 39 O custo total da pesqusa será dado pela fução: C C O + C + C edo C o fo, trabalhareos co C - C O C para achar a dstrbução óta do taaho da aostra, ou sea, achar e de aera a zar a varâca dado u orçaeto fo. A varâca para éda é: + Chaado e, sedo D a varâca fca: D + a fução de custo é: C C + C O problea cosste e zar $ co a restrção C C + C. sto é resolvdo pela técca dos ultplcadores de Lagrage que cosste e estabelecer ua fução F + λ(c + C C) A fução F é dervada a respeto de e, as dervadas auladas e co o sstea de equações resultates acha-se os valores ótos para e. O valor obtdo para é: C D C D E ode ( ) E ( ) é obtdo substtudo a equação de custo: C C + C E teros de coefcete de correlação traclasse, C C - ρ ρ

40 Aostrage 40 Pode-se observar, etão, que o taaho óto da U para a aostra por cogloerados aueta a edda que C aueta e relação a C. sto dca que, quato aor o custo adcoal de acrescetar ua U.P, coparado co o de acrescetar u U., eor o úero de U.P s deveos toar e aor úero de U. por U.P, e vce-versa. abé, óto vara e fução de ( ρ ) / ρ ou sea, du a edda que ρ aueta e vce-versa. e ρ é pequeo, há pouca perda e clur as U. por U.P. U aspecto teressate a otar é que o taaho óto do cogloerado ( ) ão é afetado pela quatdade de cogloerados (). e copararos ua aostra por cogloerados co ua aostra aleatóra sples ecotraos que, e aostrage por cogloerados : a) O custo por udade últa é as bao; b) A varâca da éda é geralete aor, coo resultado da hoogeedade dos cogloerados; c) Os custos e probleas da aálse estatístca são aores. Estas vatages e desvatages tê de ser aalsadas e couto para decdr a coveêca ou ão de utlzar u ou outro étodo de aostrage..9 APECO PORAE DA AORAGE POR COGLOERADO a) Os cogloerados deve estar uto be defdos. Cada eleeto da população deve pertecer a u e soete u cogloerado. b) O uero de eleetos da população de cada cogloerado deve ser cohecdo, ou pelo eos haver ua estatva cofável. c) O taaho do cogloerado flueca a efcêca da aostra: eor taaho de cogloerados, aor precsão de estação. d) O agrupaeto das udades da população tede a auetar o erro aostral. Os cogloerados deve ser selecoados de aera a zar esse aueto do erro. e) Os cogloerados deve ser sufceteete pequeos de aera a possbltar a dução dos custos. Caso cotráro perde-se a faldade do agrupaeto. f) Os cogloerados pode ser defdos de aera dferete detro de ua esa pesqusa. Por eeplo, a seleção de dvíduos ou de oradas e áreas urbaas, os cogloerados pode ser blocos ou grupos de blocos. Já e áreas ruras, a esa pesqusa, os cogloerados pode ser segetos geográfcos deltados por estradas e/ou ltes aturas, coo ros, etc. g) abé ão é ecessáro que todos os cogloerados sea do eso taaho. E geral, cogloerados aturas pode varar uto e taaho. uta varação o taaho do cogloerado ocasoa aueto o erro aostral, as este étodos para cotrolar esta varação.

41 Aostrage 4.0 REUO AORAGE POR COGLOERADO. ) COGLOERADO CO EAPA ÚCA a) Cogloerados de taaho Parâetro Estador ( ) Ŝ ( ) b) Cogloerados de taaho Ν Ν Parâetro Estador Ŝ ) AORAGE BEÁPCA a) Cogloerados de taaho, aostras de taaho o cogloerado Parâetro Estador - + ( ) ( ) ( - ) Ŝ + Ŝ ( Ŝ ( ) ) Ŝ

42 Aostrage 4 AORAGE BEÁPCA (cotuação) Parâetro Estador b) Cogloerados de taaho, aostras de taaho Parâetro Estador + + Ŝ Ŝ ) COEFCEE DE CORRELAÇÃO RACLAE (quado ) D E ρ E ) ( D ) ( ) ( ) ( - cog [ ] ) ( ( -) - ρ + [ ) ( ] ρ + quado é sufceteete grade.

43 Aostrage AORAGE CO PROBABLDADE VARÁVE E algus procedetos aostras alguas udades da população são as portates por tere ua cotrbução aor o valor do parâetro. esses casos a aostra aleatóra sples ão leva e cosderação a portâca dferecada das udades a população. Há váras aeras de utlzar esta foração para estar os parâetros da população co eor erro padrão. Ua dessas aeras é estabelecer probabldades desguas de seleção às dferetes udades da população. Ass, quado as udades vara e taaho e a varável e estudo está correlacoada co taaho, as probabldades de seleção pode ser estabelecdas e proporção ao taaho da udade. Por eeplo, ucípos co aor área geográfca possvelete tê aores áreas cultvadas; para estar produção de aletos pode ser teressate adotar u esquea de seleção o qual os ucípos sea selecoados co probabldade proporcoal à área geográfca. Este procedeto aostral é cohecdo coo aostrage co probabldade proporcoal ao taaho (PP). E alguas aplcações os taahos são cohecdos soete de aera aproada. E outras, o "taaho" ão é o de udades as, splesete, ua edda de sua gradeza que se cosdera estar altaete correlacoada co a varável (). Por eeplo, o taaho de u hosptal pode ser eddo pelo total de caas ou pelo édo de caas ocupadas. larete pode-se estabelecer crtéros para edr o taaho de u restaurate, u baco ou ua propredade rural. esses casos, a aostrage é feta e relação a u taaho estado. 3. PROCEDEO PARA ELEÇÃO DE AORA Para selecoar ua aostra co probabldades varáves, a cada udade é assocado u couto de úeros aturas, sedo o taaho do couto proporcoal à probabldade deseada. elecoa-se aleatoraete u etre e o últo atural dado às udades. A udade selecoada é aquela à qual está assocado o selecoado. Este processo é repetdo vezes para obter ua aostra de taaho Eeplo: U ucípo te 6 poares co A 50, 50, 80, 00, 00 e 60 árvores, respectvaete. ea A ΣA 740 árvores. Para estar a produção quereos selecoar ua aostra de 4 poares co reposção e co probabldade proporcoal ao úero de árvores o poar. A prera etapa é fazer os totas acuulados: 0 do poar () aaho do poar (A ) otal acuulado úeros assocados a a a a a a 740

44 Aostrage 44 Para selecoar u poar etraíos u uero etre e 740 da tabela de úeros aleatóros. ea este 600, o 6 poar é selecoado. elecoado outros 3 úeros, por eeplo, 650, 30 e 300. Os poares selecoados etão são os 6, e 4, respectvaete. Veos que o 6 poar fo selecoado vezes. a seleção se reposção, este ua dfereça básca etre o étodo aleatóro sples e o de aostrage co probabldades varáves de seleção. o prero, a probabldade de selecoar ua udade e qualquer etração dada é a esa. o segudo, essa probabldade vara de ua etração para outra. A teora de aostrage co probabldades varáves e se reposção é cosequeteete as coplea que a do étodo aleatóro sples. 3. AORAGE ALEAÓRA CO PROBABLDADE VARÁVE a) PROBABLDADE DE ELEÇÃO AORAGE E REPOÇÃO Quado as probabldades de seleção são varáves (proporcoal ao taaho, por eeplo), a probabldade de selecoar ua deterada udade de população e ua deterada etração vara de acordo co a etração. ea ua população co udades da qual se etra ua aostra de taaho, se reposção. ea P r a probabldade de selecoar a udade a etração r (,..., ; r,... ); A quatdade de úeros assocados à udade ; quatdade de úeros assocados à udade ; P A A A ; probabldade cal de selecoar a udade. Ou sea, P P P P P ( Etão, P ( ) ão ser selecoada a ª etração) P( a ª/ ão fo selecoada a ª) P( ( ) a a ) P ( a a / a a ) A A A A A A A ( ) ( ) P ( ) P P A A A A A A A J

45 Aostrage 45 oado e dudo o tero e que, teos: P P P P P - P - P P P - P - P - P É fácl ver que P ão é gual a P para,..., a eos que P /. Portato, o valor esperado da varável uda de acordo co a etração. sto faz co que a teora de aostrage co probabldades varáves e se reposção sea bastate coplea e de dfícl aplcação. AORAGE CO REPOÇÃO o caso de aostrage co reposção a probabldade de seleção peraece gual de ua etração para outra. P P... P a aostrage co reposção as fórulas para a éda e a varâca são as sples. abé, quado <<, coo é geralete o caso, a probabldade de selecoar repetdaete a esa udade da população é pequea, e a aostrage co reposção é aproadaete gual à aostrage se reposção. o restate deste ateral se supõe aostrage co reposção. b) EAÇÃO A AORAGE CO REPOÇÃO EADOR DA ÉDA ea ua população de udades. ea (,, ) a probabldade de selecoar a -ésa udade da população e qualquer etração (seleção co reposção). Etão, P ea a varável Z (,,..., ) P A éda artétca de Z a aostra, Z Z P é u estador ão vcado de. Prova: a aostrage co reposção, e cada etração a probabldade de selecoar a udade é : P P

46 Aostrage 46 P P Z P ) (Z E Portato, ) E(Z E(Z) EADOR DO OAL abedo que, u estador ão vcado de é: P Z VARÂCA DA ÉDA [E (Z)] ) E (Z Z Z E Por trasforações algébrcas e aplcação do coceto de Esperaça chega-se à epressão: Z Z P Z Z) Z ( P Z Z - P P o caso de aostrage co probabldades guas, Z e P ) ( Z, que é a varâca da éda aostral a aostrage co reposção. EADOR DE

47 Aostrage 47 Pode-se ostrar que: s (Z - Z Z) é u estador ão vcado de Z Etão, u estador ão vcado de Z é dado por: - Z, ( -) P ode Z P é u estador ão vcado do total populacoal. Outra aera de epressar essa varâca é Z ( -) P as prátca do poto de vsta coputacoal. Eeplo: Ua aostra de 5 propredades agrícolas fo selecoada de u total de 0 propredades de u ucípo, para estar a área cultvada co arroz. A aostra fo selecoada co reposção e co probabldade proporcoal à área total cultvada. A área total cultvada o ucípo fo de ha. Estar a área cultvada co arroz o ucípo, e seu erro padrão. Propredade A Área total cultvada (ha) Área co arroz (ha) Para estar a área cultvada co arroz utlza-se P as P A

48 Aostrage Etão, A E para a varâca: ( ) P sedo: 5 (58.000) P A Propredade Orgazaos os dados a segute tabela: A / A / A ,558 0, ,706 0, ,570 0, ,698 0, ,974 0,949 3,508, (3,508) $ 5 $ ha cultvadas co arroz o ucípo. [( ) (,574) - 5(40.700) ] (5)(4) ha e o erro padrão: 4355 ha 3.3 ELEÇÃO CO PROBABLDADE VARÁVE A AORAGE POR COGLOERADO A seleção co probabldades varáves pode ser utlzada, a aostrage por cogloerados, para a seleção das udades práras. Após as udades práras sere selecoadas co probabldade proporcoal ao taaho e co reposção, as udades secudáras pode ser selecoadas detro das udades práras, sea co reposção ou sea se reposção. o caso de aostrage co reposção, quado a esa udade prára for selecoada as de ua vez, selecoa-se a a a aostra detro da udade prára, e para a seleção da seguda aostra etra ovaete todas as udades secudáras, eso as que etrara a a aostra. Desta

49 Aostrage 49 aera as aostras são depedetes. A probabldade de seleção da udade prára é (P / ). a) AORAGE POR COGLOERADO CO EAPA ÚCA EADOR DO OAL Para estar o total, supohaos u eeplo sples: supoha que pesa 00 g. O peso do bolo copleto etão é estado e: P 00 /4 800g. Quer dzer, o estador do total pode se epressar coo: P de bolo 4, que é ão vcado. P Prova: E( ) P P Cosdereos agora ua aostra de udades práras, t e t os valores obtdos e cada udade prára. /P e /P são respectvaete, estadores de podeos costrur u estador do total co a éda destes estadores: P + P P Que tabé é ão vcado: E ( ) E P P P VARÂCA DA ÉDA Por defção, a varâca da éda é: E [ E( )] E( ) Pode-se ostrar que a varâca da éda fca: ( )

50 Aostrage 50 b) AORAGE B-EÁPCA CO PROBABLDADE VARÁVE Cosdereos agora a seleção de aostras detro das udades práras. a udade prára selecoa-se ua aostra, estas sub aostras são selecoadas por aostrage aleatóra sples e se reposção. Etão, pela teora de aostrage aleatóra sples, sabeos que: e que E ( ) ubsttudo a epressão de por o estador do total, P teos: P ; fórula geral para estar o total a aostrage por P cogloerados b-etápca co probabldades varáves de seleção. $ é u estador ão vcado de. E ( ) E E E P P P P Obs.: A partr da fórula obtda para $ podeos obter o estador do total para aostrage aleatóra sples e para aostrage co probabldade proporcoal ao taaho coo casos especas. o caso de selecoar as udades práras co aostrage aleatóra sples, P, etão, que é a fórula aterorete obtda a aostrage por cogloerados co probabldades guas.

51 Aostrage 5 c) AORAGE B-EÁPCA CO PROBABLDADE PROPORCOAL AO AAHO (PP) o caso de aostrage co probabldade proporcoal ao taaho, teos P. EADOR DO OAL (Estador do total a aostrage b-etápca por cogloerados co PP) ote-se que é a éda das édas aostras. EADOR DA ÉDA Coo estador da éda da população obteos: Quer dzer que, o caso das udades práras sere de taaho varável, pode-se ostrar que quado a seleção é feta co probabldade proporcoal ao taaho (PP), a éda aostral sples (ão poderada) é u estador ão vcado de, e tabé as precso. Este, claraete, é u resultado uto útl e coveete, porque, eso varado os taahos dos cogloerados, precsaos só da éda aostral sples coo u estador da éda da população. O taaho do cogloerado etra ucaete coo crtéro a seleção da udade prára. VARÂCA DA ÉDA Cosderado o caso e que a seleção das udades práras é feta co PP e e todas as udades práras são toadas aostras do eso taaho ( ), pode-se ostrar que ode ( ) + ( )

52 Aostrage 5 ( ) EADOR DA VARÂCA DA ÉDA Ua das característcas portates da aostrage co PP é que o estador ão vcado de é uto sples. Para ua aostra de udades práras e udades secudáras e cada u.p., teos: ( ) ( ) éda do cogloerado. Observe que o estador da varâca da éda depede ucaete da varação etre cogloerados e ão da varação detro dos cogloerados. Etão, se tveros cogloerados heterogêeos é elhor selecoar eos e as. Eeplo : Os dados a segur represeta os valores obtdos e ua aostra por cogloerados selecoada co ppt, sedo e. A C ( ) 6 ppt abeos tabé que 3,, etão s ppt 6 s ppt 4,5 Eeplo : Usado os dados abao, estar s ppt 8 4 +

53 Aostrage 53 B C Prero achaos ppt 4, 0 Logo, e 5 4, 4 4, s 4, 4, 0, ppt + s ppt [ ] 0 ( ) ( ) ( ) 0,0 0, 3.4 COPARAÇÃO DA ELEÇÃO CO PP E ELEÇÃO CO PROBABLDADE GUA A AORAGE POR COGLOERADO A razão prcpal e selecoar a udade prára co probabldade proporcoal ao taaho é obter ua aostra as represetatva da população e ass auetar a precsão dos estadores se coparados co aostrage aleatóra sples. A dfereça prcpal etre aostra por cogloerados sples e aostra por cogloerados co probabldade proporcoal ao taaho cosste e que o prero étodo tato as udades práras quato as udades secudáras são selecoadas por aostra aleatóra sples, equato que o segudo étodo as udades práras são selecoadas co probabldade proporcoal ao taaho, e as udades secudáras são selecoadas por aostrage aleatóra sples. Portato, se este dfereça a precsão, essa dfereça será ocasoada pelos dferetes procedetos de seleção da udade prára. Etão, a coparação etre as varâcas será feta cosderado soete a udade prára. (c) ( ( ) + ) (ppt) ( ) + ( ) Para elar a fluêca do o tero, fazeos (c) ( ) -

54 Aostrage 54 e (ppt) + ( - ) e aproar e, (c) - etão (c) ( ) $ ( c) e (ppt) poderão ser agora coparadas ( cog) ( ppt ) ( ) ( ) a epressão ateror: a) Quado ( ) + ( - ) ( ( cog) ( ppt ) 0 e abos os procedetos tê a esa precsão. este caso, e a probabldade de selecoar qualquer udade prára co probaldade proporcoal ao taaho é /, gual a ua aostra aleatóra sples. Portato, é razoável que as duas varâcas sea guas. b) Quado vara: )

55 Aostrage 55 e ( ) > 0 ( ) ( ) geralete é pequeo. etão, ( ) ( ) 0 cog ppt > a aora das vezes, a precsão da aostrage co PP será elhor que a aostrage por cogloerado sples.

56 Aostrage REUO AORAGE CO PROBABLDADE VARÁVE. otal a) eleção de udades co probabldades varáves. Parâetro Estador P P - P P ( -) P b) eleção co probabldades varáves a aostrage por cogloerados b.) Co etapa úca Parâetro Estador otal P éda b.) Aostrage b-etápca otal P c) eleção co PP a aostrage b-etápca Parâetro Estador otal éda Quado : ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) éda do cogloerado.

57 Aostrage BBLOGRAFA. Bolfare, H. e Bussab, W.O. Eleetos de Aostrage. Ed. Edgard Blücher Cochra, W. aplg echques. Ed. Joh Wley Deg, W. E. aplg Desg Busess Research. Ed. Joh Wley Hase,. H., Hurwtz, W..C. e adow, W. G. aple survey ethods ad theory. Volues &. Ed. Joh Wlley Kalto, G. troducto to urvey aplg. Ed. age Ksh, L. urvey aplg. Ed. Joh Wley Lehtoe, R. e Pahke, E. Practcal ethods for Desg ad Aalyss of Cople urveys. Ed. Joh Wley Levy P.. e Leeshow. aplg of Populatos, ethods ad Aplcatos. Ed. Joh Wley arco,. A. e Lakatos, E.. éccas de pesqusa. Edtora Atlas, Pessoa, D. G. C. Aálse de Dados Aostras Copleos. Assocação Braslera de Estatístca lva,.. Aostrage Probablístca. Edusp tuart, A. Basc deas of cetfc aplg. Ed. Hafer uda,. Appled aplg. Ed. Acadec Press ukhate, P. V. eora de Ecuestas por uestreo co Aplcacoes. Ed. Fudo de Cultura Ecoôca hopso,. K. aplg. Ed. Joh Wley & os c.,.y., Yaae,. Eleetary aplg heory. Ed. Pretce Hall. 967.

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