Estatística para Economia e Gestão Licenciatura em Economia e Licenciatura em Gestão

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1 Estatístca para Ecooma e Gestão Lcecatura em Ecooma e Lcecatura em Gestão NOVA School of Busess ad Ecoomcs Prof. Luís Catela Nues Eame Fal ª Época 4 de Juho de 0 Duração: horas Materal autorzado: Caeta e este eucado. INSTRUÇÕES Escreva o seu ome e úmero de aluo a prmera pága deste eucado. Este eucado deve permaecer sempre agrafado. As respostas às questões devem ser escrtas este eucado os locas dcados. Pode utlzar o verso de cada folha como rascuho. Qualquer stuação de plágo como sejam a utlzação de materal ão autorzado, comucação com colegas, etc. terá como cosequêca medata a reprovação à dscpla este semestre. Não é permtdo trar dúvdas durate o eame. Ates de car o eame cofrme que este eucado tem 5 folhas umeradas de a 5. Na folha aparece um formuláro com algumas fórmulas estatístcas. Nas folhas 3 e 4 são cluídas tabelas estatístcas que podem ser ecessáras para respoder a algumas das questões deste eame. Deve permaecer setado o seu lugar até ao fal do eame. A recolha fal do eucado será feta pelos vglates. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b

2 Grupo I 4 Valores Para cada questão dque uma só resposta a tabela que aparece a pága 5 Cada resposta certa vale,0 valores. Cada resposta errada vale 0,3 valores egatvos -0,3. Cada resposta em braco ou mal assalada vale 0 valores. O Sr. Slva é o gerete de uma empresa de pesca de polvo e acabou de egocar com um comprador um preço fo de 5 ml euros por toelada para toda a sua pesca durate o prómo mês. Apesar do preço estar fo, este alguma certeza sobre a quatdade total que será pescada e também sobre os custos totas. Com base o seu cohecmeto da actvdade pesquera, o Sr. Slva cocluu que a quatdade total em toeladas que será pescada o prómo mês pode ser descrta como uma varável aleatóra que segue uma dstrbução ormal com méda 0 e desvo-padrão gual a. O Sr. Slva cosdera também que o promo mês os custos totas em mlhares de euros são aleatóros com uma dstrbução ormal com méda 50 e desvo-padrão 0. A quatdade total pescada e os custos totas estão correlacoados, com um coefcete de correlação gual a 0,. Com base esta formação, pretede-se estudar a aleatoredade do lucro total para o prómo mês lucro = preço quatdade - custos. Respoda às segutes questões apresetado todos os cálculos termédos e respectvas justfcações.. Qual a probabldade do custo total o prómo mês eceder 60 ml euros? a. 6% b. 36% C~N50,0. PC>60=PZ>60-50/0=PZ>=-0.843=6% c. 64% d. 84% Ver valor a tabela da pága 3. Qual o valor esperado do lucro total o prómo mês? a. -30 b. 0 EL=E5Q-C=5EQ-EC= =50 c. 50 d Qual a varâca do lucro total o prómo mês? a. 9 VL=V5Q-C=5 VQ+VC- 5 CovQ,C b. 80 = CorrQ,C 0 =00-00 CorrQ,C c. 00 = ,=00-0=80 d Para que valor da correlação etre a quatdade total pescada e os custos totas sera a varâca do lucro total máma? a. - b. 0 c. 0,5 d. Mamzar: VL= =00-00 CorrQ,C Quato maor CorrQ,C, meor será a VL. Logo a resposta é o valor mímo que CorrQ,C pode tomar, que é CorrQ,C = -. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b

3 Grupo II 7 Valores Respoda o espaço em braco após cada uma das questões A EDI é uma empresa de dstrbução de eerga eléctrca a Ilâda. Durate o ao de 00, a empresa desevolveu um programa tegrado de cetvo à poupaça eergétca juto da população de North Ilwa. Fo recolhda formação sobre uma amostra de 00 famílas escolhdas ao acaso dessa população. Para cada uma dessas famílas calculou-se a varação do cosumo de electrcdade em 00 face ao ao ateror em kwh/da. De seguda apresetam-se algumas estatístcas descrtvas relatvas a essa varável para a amostra de 00 famílas: Mímo = -,5 Mámo =.5 Méda = -0,5 Medaa = -0,5 Desvo-Padrão =,0 Sabe-se ada que dessas 00 famílas, 80 tveram uma varação egatva do cosumo de electrcdade em 00 face ao ao ateror. Respoda às segutes questões justfcado todos os cálculos termédos ecessáros.. Apresete um tervalo de cofaça a 95% para a proporção de famílas a população de North Ilwa que reduzu o cosumo de electrcdade em 00 face ao ao ateror. Valores p = proporção de famílas a população que reduzu cosumo =00 > 30, pelo que se poderá usar o teorema do lmte cetral. p ˆ 80/00=0,8. Itervalo de cofaça a 95% para p:,5% pˆ pˆ pˆ z. Substtudo pelos valores vem I.C. = 0,8 0, 0,6 0,4 0,8,96 = 0,8,96 = 0,8,96 0,8 0, Ou seja, o I.C. vem dado por: [0,7 ; 0,88]. O habtual z,5% =,96 que também aparece a tabela da pága 4 NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 3

4 . Va ser realzado um estudo semelhate outra população. Caso se preteda obter para essa população um tervalo de cofaça a 95% para a proporção de famílas que reduzu o cosumo com uma margem de erro máma de % qual deverá ser a dmesão míma da amostra a cosderar? Valores Margem de erro máma é obtda quado p=0,5,ou seja, M.E. máma =,96 0,5 0,5. Pretede-se: M.E. máma = 0,0,96 0,5 0,5 0,5,96 =0,0 0, 5,96 = 0,0,96 50= =0,0 Cálculos apromados: 50= =00 =0000 Cálculos eactos: 98= =9604 A dmesão míma da amostra a cosderar é de 9604 ervações apromadamete 0000 ervações. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 4

5 3. Pretede-se verfcar se em méda as famílas da população de North Ilwa reduzram em mas de 0,3 kwh/da o seu cosumo de electrcdade em 00 face ao ao ateror. Teste esta hpótese do poto de vsta estatístco. Seja claro quato a: hpóteses ula e alteratva, estatístca de teste e sua dstrbução, ível de sgfcâca a utlzar, v valor crítco, v regra de decsão e v coclusão fal. Valores Seja = varação do cosumo de uma famíla escolhda ao acaso em North Ilwa. Seja E = e Var =. H 0 : -0,3, H : < -0,3, Dado que a varâca 0,3 t. S tem que ser estmada, utlza-se a estatístca Dado que a dmesão amostral =00 é sufcetemete grade, pode-se aplcar o teorema do lmte cetral, e a estatístca t tem uma dstrbução apromadamete ormal com méda 0 e varâca sob a hpótese ula. Escolho o habtual ível de sgfcâca de 5%. v Tedo em cota a hpótese alteratva < -0,3, o valor crítco é dado por -,645 que é o valor que dea 5% a aba esquerda da dstrbução da N0,. v A regra de decsão cosste em rejetar H 0 se t < -,645. 0,5 0,3 0, v A estatístca de teste vem: t = = -. 0, 00 Como t > -,645, ão se rejeta a hpótese ula. Logo, para um ível de sgfcâca de 5%, ão este evdêca sufcete para se dzer que em méda as famílas da população de North Ilwa reduzram o seu cosumo em mas de 0,3 kwh/da. O valor,645 aparece a tabela da pága 4, ou apromado a pága 3 NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 5

6 4. Utlzado a mesma amostra de 00 famílas de North Ilwa, um colega apresetou o segute tervalo de cofaça para a varação méda do cosumo de electrcdade a população: [-0,6 ; -0,4]. Qual o grau de cofaça utlzado a costrução deste tervalo? Valor I.C. proposto = -0,5 ± 0, = 0, Logo o margem de erro é de 0, pelo que: M.E.=0, z 0, Dado que a dmesão amostral =00 é sufcetemete 00 z 0, z 0, ,695 = %. Logo o grau de cofaça do tervalo proposto = - 40%. grade, pode-se aplcar o teorema do lmte cetral e utlzar z O valor 0,695 aparece a tabela da pága 3 NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 6

7 Grupo III 7 Valores Para cada questão dque uma só resposta a tabela que aparece a pága 5 Cada resposta certa vale,0 valores. Cada resposta errada vale 0,3 valores egatvos -0,3. Cada resposta em braco ou mal assalada vale 0 valores. Supoha que trabalha para uma empresa de cosultora e que lhe fo peddo para realzar um estudo sobre os saláros a empresa IQPlus. Esta empresa a operar em Portugal é uma subsdára de uma multacoal espahola. Os actuas trabalhadores da empresa têm acoaldade portuguesa ou espahola. No etato, a maora dos empregados com mas aos de eperêca são espahós porque há cerca de 0 a 5 aos atrás, a empresa cotratou maortaramete o mercado de emprego espahol para preecher os seus quadros essa altura. Recetemete, a IQPlus perdeu um grade úmero de trabalhadores para os seus cocorretes, e a admstração da empresa quer determar se os saláros são uma das razões pelas quas os empregados estão a dear a empresa. Para realzar este estudo, foram recolhdas formações salaras e outras varáves relacoadas a partr de uma amostra aleatóra de 0 trabalhadores a IQPlus. Também fo recolhda formação sobre a acoaldade desses trabalhadores, a ota obtda o teste de aptdões realzado o mometo da admssão de cada um, e ada formação sobre se cada trabalhador tem ou ão um grau de mestrado. Falmete, este ada formação sobre os aos de eperêca de cada um dos trabalhadores a IQPlus. Para estmar um modelo de regressão lear com base os dados dspoíves para cada trabalhador foram etão cosderadas as segutes varáves eplcatvas: PT: uma varável dumm que tem um valor de "" se a acoaldade do empregado for portuguesa e um valor de "0" se a acoaldade do fucoáro for espahola. NOTA: a ota obtda o teste de aptdão do trabalhador a classfcação va do mímo de aptdão de 0 a um mámo de aptdão de 4. MESTRADO: uma varável dumm que tem um valor de "" se o empregado tem um mestrado e um valor de "0" se o trabalhador só tem um curso de lcecatura. EPER: o úmero de aos do empregado a IQPLus. Estas varáves foram escolhdas para a sua aálse por város motvos. Em prmero lugar, porque se pretedem prever os saláros a IQPlus com base alguma medda de eperêca capturada pelo úmero de aos a empresa e o taleto telectual ato para o trabalho capturado pela ota do teste de aptdões e pela varável dumm para o mestrado. Além dsso, pretede-se testar a hpótese de que os empregados portugueses podem estar a receber um saláro feror aos seus colegas espahós. De seguda, apreseta-se o resultado obtdo através do Ecel da estmação de um modelo de regressão lear em que o saláro aual de cada trabalhador em euros é a varável depedete. Deve respoder às dversas questões que são apresetadas a segur. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 7

8 Regresso Statstcs Multple R R Square Adjusted R Square Stadard Error Observatos 0 ANOVA df SS MS F Sgfcace F Regresso 4.59E E E-47 Resdual E Total 09.94E+0 Coeffcets Stadard Error t Stat P-value Itercept PT NOTA E-34 MESTRADO E-3 EPER E-8. Este evdêca estatístca sufcete para se dzer que para toda a empresa IQPlus os trabalhadores portugueses gaham em méda meos que os trabalhadores espahós com as mesmas característcas? a Sm, porque o coefcete estmado da varável PT é egatvo. b Não, porque o coefcete estmado da varável PT ão é sgfcatvamete dferete de zero. c Não, porque o coefcete estmado da varável PT é sgfcatvamete dferete de zero. d Sm, porque o coefcete estmado da varável PT ão é sgfcatvamete dferete de zero.. Com base a descrção que fo feta sobre a empresa IQPlus, qual das segutes afrmações é mas plausível caso fosse estmada uma regressão lear smples em que a úca varável eplcatva era a varável PT? a A estmatva do coefcete da varável PT a regressão smples ão devera dferr da estmatva obtda a regressão múltpla, ou seja, ão devera dferr de b A estmatva do coefcete da varável PT a regressão smples sera meos egatva. c A estmatva do coefcete da varável PT a regressão smples sera ada mas egatva. Eplcação: Os trabalhadores portugueses têm meos eperêca e como tal um saláro em méda feror otas: a regr.múltpla é meddo o efeto ceters parbus, a regressão smples é omtda a varável eperêca. d A estmatva do coefcete da varável PT a regressão smples sera postva. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 8

9 3. Quas os factores que parecem eplcar o saláro, cosderado um ível de sgfcâca de 5%? a PT b NOTA c NOTA, MESTRADO, EPER são as varáves que têm p-values < 5% d PT, NOTA, MESTRADO, EPER 4. A admstração da IQPlus pesa que o saláro aual deve crescer em méda 000 euros por cada ao adcoal de eperêca de um trabalhador a empresa. O que é que os resultados permtem coclur? a A um ível de sgfcâca de 5%, os resultados ão rejetam essa hpótese. Fazedo um teste da H 0 de que o coefcete da varável EPER é gual a 000, dá uma estatístca t=96-000/83-0, pelo que ão se rejeta H 0. b A um ível de sgfcâca de 5%, os resultados rejetam essa hpótese. c Não este formação sufcete para testar essa hpótese. d Os resultados permtem rejetar essa hpótese porque o coefcete estmado é feror a O tervalo de cofaça a 95% para o mpacto médo o saláro aual por se ter um mestrado, ceters parbus, é dado por: a [ -6, 0006] b [00, 000] c [763, 380] IC = 000±,96 00 d [880, 0] 6. Se o acréscmo o saláro devdo ao factor mestrado depeder dos aos de eperêca a empresa, qual a varável adcoal que deve ser cluda o modelo? E qual o sal esperado para o seu coefcete estmado se o mpacto de se ter um mestrado for superor para os trabalhadores meos eperetes? a EPER ao quadrado com sal postvo, b EPER ao quadrado com sal egatvo, c EPER MESTRADO com sal postvo, d EPER MESTRADO com sal egatvo. efeto estmado de se ter mestrado=b MESTRADO + b EPER MESTRADO EPER._Se quato maor a eperêca meor o efeto do mestrado deve-se ter b EPER MESTRADO < Se adcoarmos mas uma varável eplcatva ao modelo e o re-estmarmos com essa varável cluída, como se altera o R? a O R da ova regressão estmada ão será feror ao acma apresetado os resultados para o modelo. b O R da ova regressão estmada ão será superor ao acma apresetado os resultados para o modelo. c O R da ova regressão estmada será superor caso a ova varável seja sgfcatva. d O R da ova regressão estmada será superor caso a estatístca t da ova varável seja superor a. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 9

10 NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 0 GRUPO IV Valores Respoda o espaço em braco após a questão Supoha que uma varável é causada por uma varável de acordo com o segute modelo de regressão lear: 0 A em que 0 e as hpóteses habtuas do modelo de regressão lear estão verfcadas. No etato, a varável fo medda com algus erros. Em partcular, as ervações desta varável são guas ao valor real mas um termo aleatóro u. Este termo aleatóro é depedete de todas as outras varáves aleatóras do modelo e tem uma dstrbução ormal com méda gual a 0 e desvo-padrão gual a 0. Quas os valores esperados dos estmadores de mímos quadrados de 0 e de quado se utlzam os dados para a varável com esses erros de medção? Pode calcular os valores esperados codcoas os valores ervados da varável. Apresete todos os cálculos ecessáros. O modelo real é dado por 0. Com erros de medção, os valores ervados para são dados por u em que u ~N0, 0. Quado se utlzam os valores ervados de com erros de medção ou seja em vez de o estmador de mímos quadrados de b, este vem: b /. O umerador de b pode-se smplfcar: porque =0. Calculado o valor esperado de b vem: E b E / u E / u E E / / u E / porque / correspode ao habtual estmador sem erros de medção que sabemos ser cetrado. u E / 0/ / 0

11 Calculado o valor esperado de b 0 vem: b E u b E b0 E E b E u. porque b 0 0 coorrespode ao habtual estmador sem erros de medção que sabemos ser cetrado. NOVA School of Busess ad Ecoomcs b

12 SOME USEFUL FORMULAS Dfferece Betwee Populato Meas or Proportos Idepedet Samples Parameter Assumpto Cofdece Iterval Edpots Y N, N Y, Y, kow Y Y N N Y, Y p, ukow Y N Y, N Y, Y, ukow Y Large samples Y, ukow p Large samples Y Beroull p Y Beroull p Y z / Y s s t, / p p s s sp s s tv, / s s s s v / / s s z / pˆ ˆ p pˆ ˆ p z / Note: The frst two tervals the table are eact. The other three tervals are appromatos. pˆ pˆ Multple Lear Regresso: β0 β β βkk ε Total S.Sq.=SST=, Regresso S.Sq.=SSR= R ˆ SSR/SST ad SSE / K R SST / Var ε = s estmated as se e = / k Cofdece terval for β j: b t s Test for H 0 : β β βk 0 s j k,α/ b j ˆ SSR/k F = SSE/-k- ~ F k,-k- uder H 0, Error S.Sq.=SSE= Smple Lear Regresso: β0 β ε b0 b ad b / Varb σ / s estmated as sb s e / + Predcto terval for : b b t s NOVA School of Busess ad Ecoomcs b , / e

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15 Respostas às Questões dos Grupos I e III Assale as suas respostas com um Resposta Questão a b c d I. I. I.3 I.4 III. III. III.3 III.4 III.5 III.6 III.7 NOVA School of Busess ad Ecoomcs b 5