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1 Probabilidade e Estatística i

2 Sumário 1 Estatística Descritiva Coceitos Básicos Defiições importates Tabelas Estatísticas Série Croológica ou Temporal Série Geográfica Série Específica Distribuição de Frequêcia Costrução de uma distribuição de frequêcia Gráficos Estatísticos Histograma Polígoo de Frequêcia Gráfico de Lihas Gráfico de Coluas Gráfico em Barras Gráfico de Setores Medidas de Posição Média Aritmética Moda Mediaa Medidas de Dispersão Amplitude Desvio Médio Variâcia Desvio Padrão Coeficiete de Variação Atividades ii

3 2 Teoria dos Cojutos e Cotagem Teoria dos Cojutos Comparação etre cojutos Uião de cojutos Iterseção de cojutos Difereça etre cojutos Complemetar de um cojuto Propriedades etre as relações etre cojutos Cotagem Regra da multiplicação Regra da adição Permutação Arrajos Combiações Biômio de Newto Atividades Defiições Básicas Fudametos de Probabilidade Noções de Probabilidade Espaços Amostrais Fiitos Resultados Equiprováveis Probabilidade Codicioal Teorema da Multiplicação Teorema da Probabilidade Total Teorema de Bayes Evetos Idepedetes Atividades Variáveis Aleatórias e Suas Distribuições Variáveis Aleatórias Discretas Variáveis Aleatórias Cotíuas Fução de Distribuição Acumulada Variáveis Aleatórias Mistas Fuções de Variáveis Aleatórias Atividades iii

4 5 Esperaça de uma Variável Aleatória Variáveis aleatórias idepedetes Esperaça matemática Esperaça de uma Fução de Variável Aleatória Propriedades da Esperaça Variâcia de uma variável aleatória Propriedades da variâcia Atividades Pricipais Distribuições Discretas A Distribuição Beroulli A Distribuição Biomial A Distribuição Geométrica Perda de Memória A Distribuição Pascal (ou Biomial Negativa) Geeralização do Biômio de Newto Distribuição Pascal Distribuição Hipergeométrica Distribuição Poisso Aproximação da distribuição biomial pela Poisso Distribuição Poisso Atividades Pricipais Distribuições Cotíuas Distribuição Uiforme A Distribuição Normal Padroização e Tabulação da Distribuição Normal Aproximação da Distribuição Biomial pela Normal A Distribuição Expoecial Perda de Memória A Distribuição Gama A Fução Gama Distribuição Gama Atividades iv

5 8 Itrodução à Iferêcia Estatística Defiições Básicas Amostragem Tipos de Amostragem Distribuição Amostral Distribuição Amostral da Média Teorema Cetral do Limite Distribuição Amostral da Proporção Distribuição Amostral da Difereça etre Médias Distribuição Amostral da Difereça etre Proporções Iferêcia Estatística Estimação Potual Propriedades dos Estimadores Algus Estimadores Potuais Importates Estimador para a Média Estimador para a Variâcia Estimador para a Proporção Estimação Itervalar Itervalo de Cofiaça para a Média Itervalo de Cofiaça para a Proporção Itervalo de Cofiaça para a Difereça de Médias Regressão e Correlação Correlação Diagrama de Dispersão Coeficiete de Correlação de Pearso Regressão O Poder Explicativo do Modelo Atividades A Apêdice - Tabela da Distribuição Normal Ídice Remissivo 132 v

6 Prefácio BAIXANDO A VERSÃO MAIS NOVA DESTE LIVRO Acesse https://github.com/edusataa/estatistica-livro/releases para verificar se há uma versão mais o Histórico de revisões, a iício do livro, para verificar o que mudou etre uma versão e outra. Este livro foi desevolvido para a itrodução do tema Probabilidade e Estatística, ão tedo a ambição de eglobar toda esta vasta área do cohecimeto humao. Probabilidade e Estatística são as áreas do cohecimeto humao que lidam com a icerteza. Ambas lidam com experimetos em que existe alguma variável (ou variáveis) que ão temos cotrole, e portato, mesmo matedo as mesmas codições, um experimeto pode forecer vários resultados diferetes. Probabilidade e Estatística podem ser vistas como ciêcias iversas. Quado se estuda probabilidade, cohecemos o modelo em estudo completamete, e estamos iteressados em saber como os resultados do experimeto se comportam (por exemplo, saber qual a probabilidade de sair um resultado específico). Já a estatística, temos um cojuto de dados, mas ão sabemos qual o modelo probabilístico que gerou estes dados, e portato, teta-se descobrir, a partir destes dados, qual o modelo probabilístico que gerou estes dados. Feômeos aleatórios estão cada vez mais presetes em ossas vidas, e cada vez mais estamos iteressados em tetar eteder estes feômeos. Gráficos estatísticos estão cada vez mais presetes em otícias, e é importate saber iterpretar esses gráficos corretamete. Quado vemos os resultados de uma pesquisa eleitoral, é bom sabermos iterpretar o seu sigificado, etc.. Vale a pea citar também que ferrametas estatísticas são utilizadas pelos bacos, para defiir o redimeto em fudos de ivestimeto ou poupaça, também são utilizadas pelas seguradoras para defiir qual o valor do seguro que você tem que pagar (a prática eles calculam o seu risco), etc.. Para um aluo, probabilidade e estatística podem ser úteis da seguite forma: i) são úteis para realizar pesquisa cietífica; ii) são úteis caso o aluo queira trabalhar em baco, seguradora, motadoras, istituições fiaceiras em geral, cotrole de qualidade da produção de algum item, etc..; iii) são úteis o dia-a-dia. Fializamos essa primeira parte do prefácio mostrado um exemplo de como a probabilidade pode mostrar como a ossa ituição os egaa. Supoha que temos uma sala com 50 pessoas. Qual a probabilidade de que pelo meos duas delas façam aiversário o mesmo dia do ao? Quado falamos dia do ao, estamos falado dia e mês, ão apeas dia. Temos 365 dias (vamos descosiderar o ao bissexto) e 50 pessoas. A ituição os diz que essa probabilidade ão deve ser muito grade. Etretato, esta probabilidade é de 97%! vi

7 Público alvo O público alvo desse livro são os aluos de Liceciatura em Computação, a modalidade à distâcia 1. Ele foi cocebido para ser utilizado uma disciplia de Probabilidade e Estatística. Como você deve estudar cada capítulo Leia a visão geral do capítulo Estude os coteúdos das seções Realize as atividades o fial do capítulo Verifique se você atigiu os objetivos do capítulo NA SALA DE AULA DO CURSO Tire dúvidas e discuta sobre as atividades do livro com outros itegrates do curso Leia materiais complemetares evetualmete dispoibilizados Realize as atividades propostas pelo professor da disciplia Caixas de diálogo Nesta seção apresetamos as caixas de diálogo que poderão ser utilizadas durate o texto. Cofira os sigificados delas. Nota Esta caixa é utilizada para realizar alguma reflexão. Dica Esta caixa é utilizada quado desejamos remeter a materiais complemetares. Importate Esta caixa é utilizada para chamar ateção sobre algo importate. 1 Embora ele teha sido feito para ateder aos aluos da Uiversidade Federal da Paraíba, o seu uso ão se restrige a esta uiversidade, podedo ser adotado por outras uiversidades do sistema UAB. vii

8 Cuidado Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo que exige cautela. Ateção Esta caixa é utilizada para alertar sobre algo potecialmete perigoso. Os sigificados das caixas são apeas uma referêcia, podedo ser adaptados coforme as iteções dos autores. Vídeos Os vídeos são apresetados da seguite forma: Figura 1: Como baixar os códigos fotes: Nota Na versão impressa irá aparecer uma imagem quadriculada. Isto é o qrcode (http://pt.wikipedia.org/wiki/c%c3%b3digo_qr) cotedo o lik do vídeo. Caso você teha um celular com acesso a iteret poderá acioar um programa de leitura de qrcode para acessar o vídeo. Na versão digital você poderá assistir o vídeo clicado diretamete sobre o lik. Compreededo as referêcias As referêcias são apresetadas coforme o elemeto que está sedo refereciado: Referêcias a capítulos Prefácio [vi] viii

9 Referêcias a seções Como você deve estudar cada capítulo [vii], Caixas de diálogo [vii]. Referêcias a images Figura 2 [ix] Nota Na versão impressa, o úmero que aparece etre chaves [ ] correspode ao úmero da págia ode está o coteúdo refereciado. Na versão digital do livro você poderá clicar o lik da referêcia. Feedback Você pode cotribuir com a atualização e correção deste livro. Ao fial de cada capítulo você será covidado a fazê-lo, eviado um feedback como a seguir: Feedback sobre o capítulo Você pode cotribuir para melhoria dos ossos livros. Ecotrou algum erro? Gostaria de submeter uma sugestão ou crítica? Para compreeder melhor como feedbacks fucioam cosulte o guia do curso. Nota A seção sobre o feedback, o guia do curso, pode ser acessado em: https://github.com/- edusataa/guia-geral-ead-computacao-ufpb/blob/master/livro/capitulos/livroscotribuicao.adoc. Figura 2: Exemplo de cotribuição ix

10 Capítulo 1 Estatística Descritiva OBJETIVOS DO CAPÍTULO Ao fial deste capítulo você deverá ser capaz de: Cohecer os coceitos básicos da estatística e, pricipalmete, a difereça etre população e amostra Costruir uma tabela estatística Cohecer os tipos de variáveis estatísticas Costruir um histograma Idetificar e eteder o sigificado dos gráficos estatísticos Cohecer e saber calcular as pricipais medidas de posição Cohecer e saber calcular as pricipais medidas de dispersão 1.1 Coceitos Básicos A Estatística é a ciêcia voltada para a costrução de técicas e métodos que permitem tomar decisões os mais deferetes setores do cohecimeto. O que hoje se cohece por Estatística, é justamete esse cojuto de ferrametas de pesquisa que evolve, etre outros, o plaejameto do experimeto a ser realizado, a coleta qualificada dos dados, os processos de iferêcia estatística, bem como a aálise e o processameto das iformações coletadas Defiições importates Na estatística temos algumas defiições importates: População: Qualquer cojuto de iformação que teha etre si uma característica comum que delimite os elemetos pertecetes a ela. Amostra: É um subcojuto de elemetos pertecetes a uma população. Variável: Dados referêtes a uma característica de iteresse, coletados a partir de uma amostra. Ceso: Exame de todos os elemetos da população. 1 / 135

11 Amostra População Figura 1.1: População e Amostra Variável Figura 1.2: Exemplo de variável Temos dois tipos de variáveis: Nomial : Qualitativa Ordial : sexo, cor dos olhos. classe social, grau de istrução. Discreta : Quatitativa Cotiua : úmero de filhos. altura, peso, salário. 2 / 135

12 1.2 Tabelas Estatísticas Na estatística é fudametal apredermos a represetar os dados que serão aalisados por meio de tabelas. Uma tabela deve apresetar a seguite estrutura: Cabeçalho; Corpo; Rodapé. O cabeçalho deve coter o suficiete para que sejam respodidas as questões: O que está represetado? Ode ocorreu? Quado ocorreu? Além disso, a tabela é um quadro que resume um cojuto de dados dispostos segudo lihas e coluas de maeira sistemática Série Croológica ou Temporal Um exemplo muito comum e muito útil de tabela é dado pelas séries temporais. Uma série temporal cosiste em uma sequêcia umérica cujos valores variam com o tempo. Abaixo vemos como iserir os dados de uma série temporal em uma tabela: Vedas da Compahia Alfa: Aos Vedas em R$ 1.000, Fote: Departameto de Marketig Série Geográfica Muitas vezes o dado de iteresse pode depeder a posição geográfica de ode foram coletados. Assim, uma série geográfica cosiste em uma sequêcia umérica obtidas em diferetes regiões em um determiado istate do tempo. Empresas Fiscalizadas em 2008 Regiões Número de Empresas Norte Nordeste Sudeste Sul Cetro-Oeste Fote: Mesário Estatístico. 3 / 135

13 1.2.3 Série Específica Uma série importate é formada por dados agrupados por alguma espécie ou característica comum. Assim, uma série específica é uma série umérica agrupada por tipo. Temos o exemplo abaixo: Matrículas a Pós-graduação da UFPB Áreas de Esio Matrículas Ciêcias Biológicas 125 Ciêcias Exatas e Tecologia 158 Ciêcias Humaas 128 Fote: Serviço de Educação e Cultura. 1.3 Distribuição de Frequêcia Uma distribuição de frequêcia é uma tabela que cotém um resumo dos dados obtido em uma amostra. A distribuição é orgaizada em formato de tabela, e cada etrada da tabela cotém a frequêcia dos dados em um determiado itervalo, ou em um grupo. Abaixo vemos um exemplo simplificado de tabela de distribuição de frequêcia: Altura dos Aluos da UFPB Alturas em metros Número dos Aluos 1,50 1,60 5 1,60 1, ,70 1, ,80 1,90 3 Fote: Serviço de Saúde. Na próxima subseção aprederemos a costruir uma distribuição de frequêcia completa Costrução de uma distribuição de frequêcia Para ilustrar como se costrói uma distribuição de frequêcia, ós vamos cosiderar um exemplo específico. Assim, supoha que uma pesquisa foi feita, e o seguite cojuto de dados foi obtido: Dados Brutos: A primeira coisa que fazemos é ordear os dados do meor para o maior, formado o rol de dados: Rol de dados: Em seguida, calculamos a amplitude total, ou seja, o maior valor obtido a amostra subtraído do meor valor obtido a amostra: 4 / 135

14 Amplitude Total R: R = = 15. Vamos agora defiir as variáveis de iteresse, ou seja, para cada valor distito obtido a amostra, atribuiremos uma variável diferete: Variável X i : X 1 = 21, X 2 = 22, X 3 = 23, X 4 = 24, etc. O próximo passo é calcular a frequêcia absoluta das variáveis, ou seja, vamos calcular quatas vezes cada valor aparece a sequêcia. Por exemplo, o valor 21 aparece 3 vezes, o valor 22 aparece 2 vezes, etc.. Assim, obtemos: Frequêcia Absoluta F i F 1 = 3, F 2 = 2, F 3 = 2, F 4 = 1, etc. Vamos calcular, agora, o tamaho amostral, ou seja, o úmero de observações obtidas a amostra. Desta forma, temos: Tamaho Amostral : = 30. Queremos, agora, dividir a amostra em uma quatidade de grupos que formarão os itervalos. Cada grupo é chamado de classe, assim, queremos defiir o úmero de classes a ser cosiderado a tabela de distribuição de frequêcia: Número de Classes K: K = 5 para 25 e K, para > 25. Fórmula de Sturges K 1 + 3,22log. Logo, pela primeira regra temos K = 30 5,48 6, e pela seguda regra K 1 + 3,22log30 5,75 6. Desta forma, em ambos os casos temos K = 6, que será o valor cosiderado. O próximo passo é saber o comprimeto de cada itervalo a ser cosiderado, ou seja, calcular a amplitude de cada classe. Queremos que todas as classes teham a mesma amplitude e portato, temos: Amplitude das Classes h: h = R K. Daí, para o osso caso, h = 15 6 = 2,5 3. Vamos agora defiir os limites das classes. Ou seja, defiir os itervalos propriamete ditos. Para tato, começamos com o meor valor obtido da amostra, ou equivaletemete, o primeiro valor do rol de dados, e vamos somado a amplitude para defiir cada limite de itervalo: 5 / 135

15 Limites das Classes: Em seguida, calculamos os potos médios das classes, que ada mais é que a média aritmética etre os limites das classes: Potos Médios das Classes pm i : pm 1 = = 22,5, pm 2 = = 25,5,,etc. Agora, calculamos as frequêcias dos dados em cada itervalo e, chamada de frequêcia absoluta, e também a frequêcia acumulada, chamada de frequêcia absoluta acumulada, que cosidera a soma das frequêcias dos itervalos ateriores até o itervalo cosiderado: Frequêcia Absoluta Acumulada F ac : Classes pm i F i F ac , , , , , , Total Em seguida, iclui-se as frequêcias relativas dos dados, ou seja, para cada itervalo calcula-se f i = F i /. A frequêcia relativa, os iforma a proporção dos dados que pertecem a um determiado itervalo. Frequêcia Relativa f i : Classes pm i F i F ac f i , , , , , , , , , , , ,03 Total ,00 Para fializar, calculamos a frequêcia acumulada relativa, ou seja, calculamos para cada itervalo f ac = F ac /: 6 / 135

16 Frequêcia Relativa Acumulada f ac : Classes pm i F i F ac f i f ac , ,23 0, , ,27 0, , ,07 0, , ,13 0, , ,27 0, , ,03 1,00 Total , Gráficos Estatísticos Histograma O histograma é uma represetação gráfica da distribuição de frequêcia. O histograma é formado por uma justaposição de retâgulos de bases com mesmo comprimeto. O comprimeto da base é justamete a amplitude do itervalo e a altura do retâgulo é dada pela frequêcia absoluta do itervalo. Assim, uma vez feita a distribuição de frequêcia, a costrução do histograma é uma tarefa muito simples. Abaixo vemos um exemplo de histograma: F i Classes Figura 1.3: Histograma Polígoo de Frequêcia O polígoo de frequêcia é uma represetação gráfica obtida após ligar os potos médios de cada classe etre si. Se já tivermos um histograma, basta ligar os potos médios das bases superiores dos retâgulos. 7 / 135

17 Abaixo vemos um exemplo de polígoo de frequêcia obtido a partir de um histograma: F i Classes Figura 1.4: Polígoo de Frequêcia Obtido a Partir de um Histograma Abaixo vemos um exemplo cotedo apeas o polígoo de frequêcia: F i Classes Figura 1.5: Polígoo de Frequêcia Obtido a Partir de um Histograma Gráfico de Lihas Supoha que temos duas variáveis, por exemplo, podemos ter os dados de uma série temporal, dode uma variável seria o valor obtido, e a outra variável seria a data em que o valor foi obtido. Outra 8 / 135

18 possibilidade seria colocar dados de uma série geográfica, ode uma variável seria formada pelos dados e a outra seria a localização geográfica. O gráfico de lihas etão é formado costruido potos o plao (a partir das duas variáveis) e, em seguida, estes potos são ligados por segmetos de retas. Abaixo vemos um exemplo de gráfico de lihas de uma série temporal Redimeto Período Figura 1.6: Gráfico de lihas Gráfico de Coluas Um gráfico de coluas é formado por uma coleção de coluas, com bases de mesmo comprimeto, e igualmete espaçados. O eixo horizotal do gráfico cosiste das diferetes categorias cosideradas, e o eixo vertical é proporcioal ao valor do dado. Abaixo vemos um exemplo de gráfico de coluas: 9 / 135

19 Pessoas por categoria Categorias Figura 1.7: Gráfico de coluas Gráfico em Barras O gráfico em barras pode ser etedido como uma variação do gráfico de coluas. De fato, o gráfico em barras é formado por uma coleção de barras, de mesma altura e igualmete espaçadas. Etretato, este caso o eixo vertical represeta as diferetes categorias cosideradas e o eixo horizotal é proporcioal ao valor dado. Abaixo vemos um exemplo de gráfico em barras: Pessoas por classe Baixa Média Alta Figura 1.8: Gráfico em barras 10 / 135

20 1.4.6 Gráfico de Setores O gráfico de setores, que também é popularmete cohecido como gráfico pizza, é um gráfico em que um círculo é dividido em setores (que podem ser pesados como as fatias da pizza), ode cada setor represeta uma categoria cosiderada pelo cojuto de dados, e os âgulos dos setores são proporcioais aos valores dos dados em cada categoria. Assim, quato maior o valor obtido, maior será o âgulo do setor (e assim, maior será a fatia da pizza). Abaixo vemos um exemplo de gráfico de setores: Sul Sudeste Norte Cetro Oeste Nordeste Figura 1.9: Gráfico de setores 1.5 Medidas de Posição As medidas de posição são valores que represetam a tedêcia de cocetração dos dados observados. As mais importates são as medidas de tedêcia cetral. As três medidas de tedêcia cetral mais utilizadas são: média aritmética, moda e mediaa Média Aritmética É um valor que represeta uma característica do cojuto de dados. Essa característica é tal que a soma dos dados é preservada. A média é obtida a partir de todos os elemetos da distribuição e do tamaho da amostra. Notação: represetamos a média de um cojuto de dados por X (lê-se x barra). Cálculo da Média Aritmética + Dados ão agrupados (brutos) - média aritmética simples. 11 / 135

21 No caso de uma lista de dados ão-agrupados, calculamos a média aritmética pela fórmula: X = X i. Exemplo 1.1 Exemplo de cálculo de média aritmética com dados brutos Cosidere os dados 2,3,7 e 8. Etão, = 4 e X = = 20 4 = 5. Dados agrupados - média aritmética poderada. No caso em que temos os dados agrupados, ou seja, sabemos a frequêcia de cada observação, o cálculo da média aritmética pode ser simplificado. Assim, a média aritmética pode ser cálculada pela fórmula: X i F i X =. Exemplo 1.2 Exemplo de cálculo de média aritmética poderada Cosidere a seguite tabela: Assim, X = = 6,78. Tempo de Serviço (X i ) F i X i F i Total Dados agrupados em itervalos - média aritmética poderada No caso em que temos os dados agrupados em itervalos, utilizamos a média aritmética poderada, ode os pesos são dados pelo poto médio do itervalo. Assim, a média aritmética é calculada pela fórmula: X = X i pm i, Exemplo 1.3 Exemplo de cálculo de médias com dados agrupados em itervalos Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i pm i X i pm i Total Assim, X = = 6, / 135

22 1.5.2 Moda Defiimos a moda de um cojuto de dados como o valor mais frequete deste cojuto. Notação: represetamos a moda de um cojuto de dados por Mo. Exemplo 1.4 Exemplo de modas 1, 2, 4, 5 e 8 - ão existe valor mais frequete - ão existe moda (Amodal). 2, 2, 3, 7 e 8 - Mo = 2 (Uimodal). 1, 1, 10, 5, 5, 8, 7, 2 - Mo = 1 e 5 (Bimodal). Dados agrupados - Neste caso, a moda é defiida como classe modal, isto é, a classe com a maior frequecia. Exemplo 1.5 Exemplo de cálculo de classe modal Cosidere a seguite tabela: Assim, Mo = 8 (F 3 ). Tempo de Serviço (X i ) F i Total 18 Dados agrupados em itervalos: Neste caso, utiliza-se a fórmula de Czuber: ode: [ Mo = l Mo + h(f Mo F at ) 2F Mo (F at + F Pos ) ], h é a amplitude itervalar, F Mo é a frequêcia da classe modal, l Mo é o limite iferior da classe modal, F at é a frequêcia da classe aterior à classe modal, F Pos é a frequêcia da classe posterior à classe modal. 13 / 135

23 Exemplo 1.6 Exemplo de cálculo de moda pela fórmula de Czuber Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i Total 21 Assim, h = 4,F Mo = 10,l Mo = 4,F at = 4 e F pos = 7. Daí [ ] 4 (10 4) Mo = 4 + = 6, (4 + 7) Mediaa Defiimos a mediaa de um cojuto de dados como o valor que divide um cojuto de dados (ordeados) em duas partes com a mesma quatidade de dados. Notação: represetamos a mediaa de um cojuto de dados por Md. O elemeto mediao (E Md ) apota o local (os dados) ode a mediaa está localizada. A mediaa será o valor assumido a posição E Md. Dados ão agrupados (brutos) No caso de dados brutos, se o tamaho amostral () é ímpar, temos que E Md = ( + 1)/2. Note que o caso tamaho amostral é par, teremos dois valores possíveis para o elemeto mediao: /2 e / Neste caso a mediaa será a média dos valores assumidos estas posições. Exemplo 1.7 Exemplo de cálculo de mediaa para dados brutos 1, 2, 4, 5 e 8. Como é ímpar, temos E Md = 3, e Md = 4. 2, 2, 3, 7, 8 e 10. Aqui é par, assim E Md,1 = 6/2 = 3 e E Md,2 = 6/2+1 = 4. Daí Md = (3+7)/2 = 5. Dados agrupados Neste caso, olhar a frequêcia acumulada ajuda a ecotrar a médiaa. Caso 1: ímpar. 14 / 135

24 Exemplo 1.8 Exemplo de cálculo de mediaa com dados agrupados para ímpar Cosidere a seguite tabela:\vfill Faltas (X i ) F i F ac Total 11 - Como = 11, temos que E Md = (11 + 1)/2 = 6. Daí Md = 3. Note que a frequêcia acumulada idica que as posições de 2 até 8 temos o valor 3. Caso 2: par. Exemplo 1.9 Exemplo de cálculo de mediaa com dados agrupados para par Cosidere a seguite tabela: Tempo de Serviço (X i ) F i F ac Total 18 Neste caso = 18, daí temos E Md,1 = 18/2 = 9 e E Md,2 = 18/2+1 = 10. Portato Md = (8+8)/2 = 8. Note, ovamete, que a frequêcia acumulada idica que as posições de 9 até 18 temos o valor 8. Dados agrupados em itervalos Neste caso, utilizamos E Md = /2 idepedetemete de ser par ou ímpar. A classe mediaa é a primeira classe tal que F ac E Md. Portato, defiimos a mediaa pela fórmula [ ] EMd F ac,at Md = l Md + h, ode, l Md é o limite iferior da classe mediaa, h é a amplitude do itervalo, F Md F ac,at é a frequêcia acumulada da classe aterior à classe mediaa, F Md é a frequêcia da classe mediaa. 15 / 135

25 Exemplo 1.10 Exemplo do cálculo da mediaa para dados agrupados em itervalos Cosidere a seguite tabela: Aos (X i ) F i F ac Total 21 Assim, E Md = 21/2 = 10,5, e desta forma temos que a seguda classe é a classe mediaa. Daí l Md = 4,h = 4,F ac,at = 4 e F Md = 10. Portato, [ ] 10,5 4 Md = = 6, Medidas de Dispersão As medidas de dispersão medem o grau de variabilidade dos elemetos de uma distribuição; O valor zero idica ausêcia de dispersão; A dispersão aumeta à medida que aumeta o valor da medida de dispersão. Exemplo 1.11 Exemplo de motivação para as medidas de dispersão Notas de aluos em cico avaliações, UFPB, Aluos Notas Média Atôio João José Pedro Observa-se que: * As otas de Atôio ão variaram; As otas de João variaram meos do que as otas de José; As otas de Pedro variaram mais do que as otas de todos os outros aluos. Pricipais Medidas de Dispersão: Amplitude, Desvio Médio, Variâcia, Desvio Padrão, Coeficiete de Variação. 16 / 135

26 1.6.1 Amplitude A amplitude os forece uma idéia do campo de variação dos elemetos. Mais precisamete, ela forece a maior variação possível dos dados. A amplitude é dada pela fórmula A = X max X mi. Exemplo 1.12 Exemplo de cálculo de amplitude No exemplo aterior: A Atôio = 0; A João = 2; A José = 10; A Pedro = 10. Nota A amplitude ão mede bem a dispersão dos dados porque, usam-se apeas os valores extremos, ao ivés de utilizar todos os elemetos da distribuição Desvio Médio Desejado-se medir a dispersão dos dados em relação a média, parece iteressate a aálise dos desvios em toro da média. Isto é, aálise dos desvios: d i = (X i X). Mas a soma de todos os desvios é igual a zero. Isto é: d i = (X i X) = 0. Logo, será preciso ecotrar uma maeira de se trabalhar com os desvios sem que a soma dê zero. Dessa forma, defie-se o desvio médio. Dados ão agrupados (brutos): Neste caso, calculamos o desvio médio como: DM = d i = X i X. Nota Veja que os desvios foram cosiderados em módulo, evitado-se assim que a soma fosse ula. Dados agrupados: 17 / 135

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