Capítulo 1. Teoria da Amostragem

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1 Capítulo 1 Teoria da Amostragem 1.1 Itrodução A amostragem e em particular os processos de amostragem aplicam-se em variadíssimas áreas do cohecimeto e costituem, muitas vezes, a úica forma de obter iformações sobre uma determiada realidade que importa cohecer. A teoria da amostragem é assim um dos istrumetos que possibilita esse cohecimetos cietifico da realidade, ode outros processos ou métodos alterativos, por razões diversas, ão se mostram adequados ou até mesmo possíveis. A teoria da amostragem estuda as relações existetes etre uma população e as amostras extraídas dessa população. É útil para avaliação de gradezas descohecidas da população, ou para determiar se as difereças observadas etre duas amostras são devidas ao acaso ou se são verdadeiramete sigificativas. Amostragem é o processo de determiação de uma amostra a ser pesquisada. A amostra é uma parte de elemetos seleccioada de uma população estatística. Equato que um seso evolve um exame a todos os elemetos de um dado grupo, a amostragem evolve um estudo de apeas uma parte dos elemetos. A amostragem cosiste em seleccioar parte de uma população e observá-la com vista a estimar uma ou mais características para a totalidade da população. 1

2 Para se saber se o bolo de chocolate está bom, basta comer uma fatia. Algus exemplos da utilização da amostragem são: Sodages à opiião pública que servem para cohecer a opiião da população sobre variadas questões. As mais populares são as sodages políticas. Ispecção de mercado utilizada com o ituito de descobrir as preferêcias das pessoas em relação a certos produtos. Um dos exemplos mais cohecidos da aplicação desta amostragem é a lista de audiêcias dos programas de televisão. Para estimar a prevalêcia de uma doeça rara, a amostra pode ser costituída por algumas istituições médicas, cada uma das quais tem registo dos pacietes. O ceso apreseta dificuldades que toram a amostragem um porco mais atraete. Etre as dificuldades que o seso apreseta, podem ser apresetadas as seguites: (i) A população pode ser ifiita, este caso o seso seria impossível; (ii) A amostra pode ser actualizada mais facilmete que o ceso; (iii) O custo do seso pode torá-lo proibitivo; (iv) Factores de tempo e custo podem apotar pela preferêcia etre uma amostra e um ceso. Porém há ocasiões em que o levatameto do ceso pode ser vatajoso: (i) Quado a população é pequea e o custo etre o ceso e a amostra forem praticamete iguais; (ii) Se o tamaho da amostra ecessária tiver que ser muito grade em relação à população examiada; (iii) as ocasiões em que se exige precisão completa; (iv) as ocasiões em que já existe iformação completa. 2

3 Os termos básicos em amostragem são: População - o grupo iteiro de objectos (uidades) dos quais se pretede obter iformações. A população deve ser defiida claramete e em termos daquilo que se pretede cohecer. Uidade - qualquer elemeto idividual da população. Amostra - uma parte ou subcojuto da população usada para obter iformação acerca do todo. Variável - uma característica de uma uidade que será medida a partir daquela uidade da amostra As fases de um processo de amostragem Depois de se idetificar os dados que deverão ser recolhidos e o istrumeto (questioário estruturado, por exemplo) a utilizar para essa recolha, o passo seguite cosiste em defiir um processo de amostragem adequado ao tipo de dados e ao istrumeto de aálise. o processo de recolha de dados é ecessário desevolver um processo sistemático que assegure a fiabilidade e comparabilidade desses dados. Mais especificamete, é ecessário que se estabeleça à partida um plao de amostragem de acordo com a população alvo, com a defiição da população a iquirir e com um processo adequado de admiistração do iquérito. O plao de amostragem deverá começar por determiar qual o ível de extesão geográfica em que o processo de amostragem deverá ser coduzido (mudial, acioal, regioal, urbao, rural, grupo de idivíduos, etc.). A costrução da amostra propriamete dita evolve várias etapas igualmete importates e que são: (i) A idetificação da população alvo/população iquirida; (ii) O método de selecção da amostra; (iii) A dimesão da amostra. 3

4 A idetificação da população alvo/população iquirida A idetificação da população de uma forma clara e objectiva é imprescidível, embora possa parecer demasiado óbvia em muitas circustâcias. Desiga-se por população alvo a totalidade dos elemetos sobre os quais se deseja obter determiado tipo de iformações. Exemplo: Um estudo sobre as iteções de voto terá como população alvo todos aqueles que estão em idade e em codições de votar. o etato, a população iquirida poderá icluir apeas aqueles que votaram as últimas eleições. Resumido, a população alvo é costituída por todos os elemetos sobre os quais se deseja obter um determiado cojuto de iformações. o etato, em muitas situações, ão é operacioal iquirir uma amostra retirada da população alvo, havedo ecessidade de defiir qual é a população a iquirir, ão coicidete com a população alvo, e a partir da qual se retirará a amostra. Os métodos de selecção da amostra O objectivo geral a extracção de uma amostra é obter uma represetação hoesta da população que coduza a estimativas das características da população com boa precisão relativamete aos custos de amostragem, isto é, obter uma amostra represetativa da população. Existem dois grades grupos de métodos para seleccioar/recolher amostras: os métodos aleatórios e métodos ão aleatórios. Os métodos de amostragem ão aleatória são métodos ad-hoc de carácter pragmático ou ituitivo e são largamete utilizados, pois possibilitam um estudo mais rápido e com meores custos. Um claro icoveiete destes métodos é o facto de que a iclusão de um elemeto da população a amostra é determiada por um critério subjectivo, ormalmete uma opiião pessoal, um outro icoveiete é que existem elemetos da população que ão têm possibilidade de ser escolhidos. Tipos de amostras ão aleatórias: (i) Amostra itecioal: Composta por elemetos da população seleccioados itecioalmete pelo ivestigador, porque este cosidera que esses elemetos possuem características típicas ou represetativas da 4

5 população; Exemplo: escolha de localidades represetativas em tempo de eleições legislativas. (ii) Amostra sowball : Tipo de amostra itesioal em que o ivestigador escolhe um grupo iicial de idivíduos e pede-lhes o ome de outros idivíduos pertecetes à mesma população. A amostra vai assim crescedo como uma bola de eve à medida que ovos idivíduos são idicados ao ivestigador. É um tipo de amostragem bastate útil quado se pretede estudar pequeas população muito específicas (e.g. os sem abrigo ), o etato pode origiar em resultados eviesados uma vez que as pessoas tedem a idicar o ome de pessoas itimas ou amigos (com comportametos e pesametos similares). (iii) Amostra por quotas: As amostras são obtidas dividido a população por categorias ou estratos e seleccioado um certo úmero (quota) de elemetos de cada categoria de modo ão aleatório. (iv) Amostra por coveiêcia: Os elemetos são escolhidos por coveiêcia ou por facilidade. Um exemplo diste tipo de amostragem é os casos em que os espectadores de um determiado programa são covidados a respoder a um questioário. As amostras obtidas desta forma ão são represetativas da população e em geral são eviesadas. Os métodos de amostragem aleatória são caracterizados por todos os elemetos da população poderem ser seleccioados de acordo com uma probabilidade pré-defiida e em que se podem avaliar objectivamete as estimativas das propriedades da população obtidas a partir da amostra. Uma das vatages da amostragem aleatória é a possibilidade de estimar as marges de erro dos resultados que são devidas à amostragem. Além disso, a amostragem aleatória evita o eviesameto das amostras que acotece (mesmo quado o objectivo ão é esse) sempre que se usa a opiião e a experiêcia para escolher as amostras. o etato, deverão ser também referidas as dificuldades em recolher uma amostra aleatória. E a pricipal dificuldade cosiste a obteção de uma listagem completa da população a iquirir. Estas listages são, a maioria dos casos, difíceis de coseguir, de custo elevado, demoradas a sua obteção e em sempre de fiabilidade aceitável. 5

6 O segudo tipo de dificuldades relacioa-se com as ão respostas. Depois de defiidos os respodetes, ão poderão haver substituições, pelo que as ão-respostas costituem uma importate fote de eviesameto e terá de ser feito tudo para que a sua taxa seja miimizada. Todas as ovas tetativas (por etrevista pessoal, telefoe ou correio) para obter respostas bem sucedidas implicam aumeto de custos e demora a obteção dos resultados. A amostragem aleatória é, sem dúvida, o processo mais caro, mas os custos tedem a torar-se pouco importates face à fiabilidade dos resultados obtidos. Métodos de amostragem aleatória: (i) Amostragem aleatória simples Uma amostra aleatória simples de elemetos de uma população de elemetos é um subcojuto de ( elemetos ) distitos da população, extraídos de modo que qualquer das amostras possíveis tem igual ( ) probabilidade, 1/ de ser seleccioada. A amostragem aleatória simples pode ser feita com reposição (caso em que cada elemetos da população pode etrar mais do que uma vez a amostra) ou sem reposição (caso em que cada elemeto da população só pode etrar uma vez a amostra). Este tipo de amostra é muito dispedioso, e muitas vezes impraticável por exigir a listagem e eumeração de toda a população, daí ser poucas vezes adoptado. Mas se a população for pequea ou se existirem listas com os elemetos da população, este método mostra-se bastate útil. (ii) Amostragem Casual sistemática Este método é também chamado quasi-aleatório por ão dar a todas as amostras que se podem retirar de uma população a mesma probabilidade de ocorrêcia. Para aplicação deste método é ecessário calcular o rácio K =. Em seguida, escolhe-se aleatoriamete um úmero, o itervalo [1, K], que servirá como poto de partida e primeiro elemeto da amostra. Adicioado ao primeiro valor obtido o rácio K (arredodado o resultado por defeito), obtém-se o segudo elemeto 6

7 e a adição sucessiva do mesmo rácio permite ecotrar os restates elemetos da amostra. Como se verifica, apeas o primeiro elemeto é escolhido aleatoriamete equato que os restates são determiados de modo sistemático pelo rácio. Por exemplo, se K = 2, etão a dimesão da amostra será costituída por metade (50%) da dimesão da população. Se K = 20, etão a amostra será apeas 5% da população. As empresas que executam estudos de mercado utilizam frequetemete o método deomiado Radom Route, que mais ão é do que um processo de amostragem sistemática, já que partem de um poto de partida escolhido aleatoriamete, seguido depois um itierário obtido com itervalos sistemáticos (iquéritos de porta a porta, por exemplo). (iii) Amostragem estratificada Este método cosiste em dividir a população em grupos relativamete homogéeos e mutuamete exclusivos, chamados estratos, e em seleccioar amostras aleatórias simples em idepedetes de cada estrato. Se o úmero de elemetos de cada amostra estiver de acordo com a proporção do estrato a população, as observações podem ser misturadas para se obter os resultados globais. Se, o etato, todas as amostras tiverem o mesmo úmero de elemetos, os resultados de cada estrato têm que ser pesados pela proporção desse estrato a população. A estratificação de uma população faz setido quado é possível idetificar sub-populações que variam muito etre si o que diz respeito à variável em estudo, mas que variam pouco detro de si. estas codições, uma amostra estratificada pode forecer resultados mais precisos do que uma amostra simples extraída do cojuto da população. Esta eficiêcia será aida mais importate se a variável a ser estratificada se ecotrar correlacioada com várias outras variáveis como por exemplo idade, sexo, redimeto, status, área geográfica, etc., o que permitirá estratificar simultaeamete segudo várias variáveis, desde que se assegure uma adequada represetatividade dos estratos existetes a população. 7

8 (iv) Amostragem por clusters Tal como a amostragem estratificada, a amostragem por clusters, a população é dividida em grupos, ou clusters. Este tipo de amostragem tora-se particularmete útil quado a população se ecotra dividida um reduzido úmero de grupos, caracterizados por terem uma dispersão idêtica à população total, isto é, os grupos deverão, tato quato possível, ser microcosmos da população a estudar. Primeiro, seleccioam-se aleatoriamete algus dos grupos e em seguida, icluemse a amostra todos os idivíduos pertecetes aos grupos seleccioados. Trata-se de um processo amostral casual simples em que cada uidade é o cluster. este tipo de amostragem exige apeas que se dispoha de uma listagem dos grupos (de idivíduos ou elemetos da população) e ão uma listagem completa dos elemetos da população, como é o caso das amostrages ateriores. Um exemplo deste tipo de amostragem é o caso em que se pretede fazer uma sodagem de opiião aos aluos de uma escola (população), da qual apeas se dispõe de uma listagem das turmas (grupos de aluos). Uma amostra por clusters obtém-se seleccioado uma amostra aleatória de turmas e iquirido, detro de cada turma escolhida, todos os aluos. (v) Amostragem multi-etapas O primeiro passo deste tipo de amostra é idêtico ao aterior. A população ecotra-se dividida em vários grupos e seleccioam-se aleatoriamete algus desses grupos. o passo seguite, também os elemetos de cada grupo são escolhidos aleatoriamete. Este processo pode multiplicar-se am mais de duas etapas se os grupos estiverem divididos em sub-grupos. Um exemplo deste tipo de amostragem é o caso de uma sodagem de opiião aos aluos do esio secudário em que se pode começar por seleccioar aleatoriamete algumas direcções escolares. Em seguida, de cada uma delas, seleccioar aleatoriamete algumas escolas, de cada uma das escolas escolhidas seleccioar aleatoriamete algumas turmas e, fialmete, de cada uma das turmas escolhidas seleccioar aleatoriamete algus aluos. Este exemplo cosiste em 4 etapas. Como desvatagem deste método adiate-se de que os possíveis erros de amostragem se podem multiplicar, dado que ao logo deste processo se vão utilizado várias sub-amostras com a possibilidade de erros de 8

9 amostragem em cada uma delas. (vi) Amostragem multi-fásica Este processo de amostragem ão deve ser cofudido com o processo de amostragem multi-etapas. o primeiro processo as uidades amostrais variam de uma etapa para outra. o exemplo referido o poto aterior, as uidades amostrais eram, sucessivamete, as direcções escolares, as escolas, as turmas e os aluos, equato que a amostragem multi-fásica se defie sempre a mesma uidade amostral em todas as fases de extracção da amostra. este caso, em cada fase da amostragem, cosideram-se sempre os elemetos da população, obtedo-se de algus mais iformações do que de outros. a primeira fase, recolhem-se dados sobre determiadas características dos respodetes - por exemplo, o seu comportameto e frequêcia quato ao cosumo de determiado produto, variáveis demográficas, tamaho das empresas, a sua dispoibilidade para respoder ovamete a um iquérito. Esta iformação pode ser usada para a defiição de uma listagem dos possíveis respodetes à seguda fase do iquérito. É etão retirada desta listagem uma seguda amostra que respoderá a um questioário com um ível de profudidade mais elevado. Deste modo, em todos os iquiridos respodem a todas as questões, isto permite reduzir os custos e permite aida que a amostra pricipal seja utilizada como base de amostragem para amostrages seguites Os coceitos pricipais da amostragem aleatória O osso iteresse cetra-se os valores tomados por uma variável aleatória Y para os vários elemetos de uma população e, em medidas globais dessa variável a população. Se a população tiver dimesão, podemos represetarla por Y 1, Y 2,..., Y sedo estes valores de Y desigados para os diferetes membros da população. Estamos iteressados em características da população defiidas relativamete a Y. As que são estudadas mais usualmete são: 9

10 (i) O total da população, Y T = Y i; (ii) A média da população, Y T = Y i = Y ; (iii) A proporção, P, de membros da população que pertecem a determiada categoria de classificação da variável Y. Por exemplo, um estudo sobre hábitos de codução um adulto, P poderá represetar a proporção de codutores que dirigem mais de 10 Km por dia. O objectivo de um estudo por amostragem é estimar uma ou mais dessas categorias a partir da iformação cotida a amostra de ( ) membros da população. Supoha-se que os valores de Y para os membros da amostra são desigados por y 1, y 2,..., y ode cada y i é um dos valores Y j da população. Termiologia O quociete etre a dimesão da amostra e a dimesão da população é chamado de fracção amostral. f = Para estimar Y T, Ȳ ou P, é ecessário calcular algumas medidas que sumariem a iformação cotida a amostra. Para estimar Ȳ é ituitiva a utilização da média amostral Ȳ = y i Uma parte importate o processo de amostragem é como determiar as propriedades dos estimadores obtidos (e.g. o estimador para a média amostral dado pela equação aterior). Uma possibilidade é tetar descobrir como é que os valores de ȳ variam relativamete a Ȳ em diferetes situações quado se cosidera o procedimeto amostral o mesmo problema. o etato, para determiar as propriedades de tais estimadores, tem que se ter em cota o mecaismo aleatório de extracção de amostras. Em termos geéricos, depois de especificar o tamaho da amostra,, cosideramse todas as possíveis amostras de dimesão que podem ser formadas a 10

11 partir da população, S 1, S 2,.... Um esquema de amostragem aleatório é defiido pela associação de uma probabilidade π i a cada S i, isto é, π i = P (extrair a amostra S i ), e escolha de uma amostra particular S de acordo com esta distribuição de probabilidade. São vastas as possibilidades para os esquemas de amostragem aleatória, correspodedo a diferetes fuções de probabilidade π = {π 1, π 2,... } sobre o cojuto das possíveis amostras, {S 1, S 2,... }. Vamos cosiderar algus dos esquemas de amostragem mais utilizados e compará-los em termos de custos e eficiêcia para a estimação de Ȳ, Y T, etc. Supoha-se que θ é uma característica da população (pode ser Y T ) e que se vai escolher uma fução da amostra, θ(s), para a estimar. θ é desigado, como usualmete, estatística ou estimador. Podem-se estudar as propriedades dos estimadores em relação à distribuição amostral de θ iduzida pela distribuição de probabilidade, π. Diferetes valores de θ vão ser obtidos para diferetes amostras, com probabilidades dadas por π = {π 1, π 2,... }. Eviesameto Um possível critério para aalisar se o esquema de amostragem é represetativo é verificar que θ é ão eviesado (cetrado), isto é, ode E represeta o valor esperado. E π [ θ(s)] = θ Precisão Usualmete o estimador θ tem, pelo meos em amostras grades, distribuição aproximadamete ormal. É razoável estabelecer a precisão ou eficiêcia de um estimador cetrado através da variâcia, V ar[ θ(s)] = E π {[ θ(s) θ] 2 }. Quato mais pequea for a variâcia, mais preciso é o estimador. Se, para uma dada dimesão amostral, um estimador cetrado tiver meor variâcia do que outro, diz-se que ele é mais eficiete. Pode-se, assim, comparar estimadores respeitates ao mesmo ou a diferetes esquemas de amostragem 11

12 aleatória. O maior objectivo da teoria da amostragem é implemetar esquemas de amostragem que sejam mais ecoómicos e fáceis de implemetar, e que coduzem a estimadores cetrados com variâcia míima. Em geral, o factor V ar[ θ(s)] decresce com o aumeto da dimesão da amostra, mas os custos aumetam. O ideal é ecotrar um poto de equilíbrio. Têm que se comparar os esquemas de amostragem para determiar qual deles permite obter um estimador cetrado com meor variâcia para um dado custo ou para uma dada dimesão da amostra. 12

13 1.2 Amostragem Aleatória Simples A forma mais básica de amostragem aleatória é a amostragem aleatória simples que é relativamete simples de utilizar do poto de vista estatístico e serve também de base a para esquemas de amostragem mais complexos como a amostragem aleatória estratificada e a amostragem aleatória por grupos. As propriedades dos estimadores obtidos a partir de amostras aleatórias simples são facilmete demostrados O procedimeto de Amostragem Aleatória Simples Se a população tiver dimesão, e quisermos uma amostra aleatória ( ) simples de dimesão, esta amostra é escolhida aleatoriamete das amostras distitas possíveis, em cada uma das quais ehum dos elemetos da população ( ) é icluído mais de uma vez. Isto é o mesmo que ( dizer ) que cada uma das 1 amostras possíveis tem a mesma probabilidade de ser escolhida. Para produzir uma amostra aleatória simples de dimesão (amostra aleatória sem reposição de elemetos da população) deve-se proceder do seguite modo. Supoha-se que este método de extracção sequecial sem reposição produz elemetos (distitos) da população cujos valores são y 1, y 2,..., y ode y i se refere ao i-ésimo elemeto, i = 1,...,. A probabilidade de obter esta sucessão ordeada é = ( )!! Mas, qualquer ordeação de y 1, y 2,..., y correspode à mesma escolha de elemetos distitos da população (isto é, correspode à mesma amostra). Existem! ordeações possíveis. Assim, a probabilidade de obter uma amostra particular de elemetos (idepedete da ordem) é dada por!( )!! = ( ) 1. 13

14 ( ) Existem amostras distitas e são igualmete prováveis, isto é, são amostras aleatórias simples. A escolha de uma observação idividual a amostra é coseguido em cada etapa por um mecaismo aleatório aplicado aos restates membros da população, por exemplo, utilizado uma tabela de úmeros aleatórios. Exemplo 1.2.1: Quer-se extrair uma amostra aleatória simples de 5 elemetos de 25. Primeiro deve-se umerar a população de 0 a 24, depois procurar uma tabela de úmeros aleatórios os primeiros pares de úmeros meores que 25, obtedo assim os 5 elemetos da população que devem ser seleccioados. ão esquecer de medir o respectivo valor desses elemetos a variável em estudo, em de igorar os que foram seleccioados ateriormete a procura a tabela de úmeros aleatórios. Para amostras e populações grades, esta tarefa de escolher a amostra a partir de uma tabela de úmeros aleatórios pode ser demasiado morosa. Variâcia A variâcia de uma população fiita Y 1, Y 2,..., Y é dada por σ 2 = 1 1 (Y i Ȳ )2. a amostragem aleatória simples pode-se defiir o valor esperado de y i, a i-ésima observação a amostra, isto é, E[y i ] = Y i P (y i = Y j ) = 1 j=1 Y j = Ȳ. O resultado que diz que P (y i = Y j ) = 1 é devido ao facto de que o úmero de amostras em que y i = Y j ser de ( 1)!, e cada uma tem probabilidade de ( )!!. Facilmete se verifica que ( )! j=1 e E[y 2 i ] = 1 14 j=1 Y 2 j,

15 E[y i y j ] = 2 ( 1) Y r Y s (i j) r<s Assim, a variâcia e covariâcia de y i são dadas por e V ar[y i ] = E[(y i Ȳ )2 ] = E[y 2 i ] Ȳ 2 = ( 1)σ2 Cov[y i, y j ] = E{(y i Ȳ )(y i Ȳ )} = E[y i y j ] Ȳ 2 ( ) 2 1 = Y j ( 1) = σ2. j=1 j=1 j ( 1)Ȳ 2 Pode-se assim cocluir que existe uma pequea e egativa correlação etre as poteciais observações amostrais. Pode-se, agora, proceder ao estudo do estimador da média da população. Y Estimação da média, Ȳ Um estimador de Ȳ, baseado uma amostra aleatória simples de dimesão, imediatamete ituitivo é a média amostral, ȳ = y i. Facilmete se verifica que ȳ é um estimador cetrado de Ȳ, pois [ ] E[ȳ] = 1 E y i = Ȳ = Ȳ. Além disso, 15

16 em que f = V ar[ȳ] = é a fracção amostral. (1 f)σ2, (1.1) A variâcia amostral de ȳ é reduzida por um factor f =, fracção de amostragem, comparado com o resultado aálogo para uma população ifiita. Este efeito é cohecido como correcção de população fiita (c.p.f.). Se o valor da fracção amostral for muito pequeo, a c.p.f. tem pouca importâcia e pode ser igorada. Empiricamete, pode-se igorar a c.p.f. se f é meor ou igual a A cosequêcia deste procedimeto é obter-se uma variâcia um pouco maior para o estimador ȳ. Termiologia O erro padrão (stadard error) de ȳ é dado por [V ar(ȳ)] 1/2. Pode-se dizer que ȳ é um estimador cetrado de Ȳ e (1.1) permite-os comparar a eficiêcia de diferetes estimadores de Ȳ baseados em amostragem aleatória simples ou amostras obtidas por outros processos de amostragem. Além disso, ȳ é um estimador cosistete de Ȳ o caso de populações fiitas, isto é, quado, ȳ Ȳ. Quato à questão de saber como é que ȳ se compara com outros possíveis estimadores de Ȳ, um esquema de amostragem aleatória simples, pode ser apresetada a seguite propriedade, facilmete demostrável: Propriedade: A média amostral, ȳ, é o melhor (com meor variâcia) estimador liear cetrado de Ȳ baseado uma amostra aleatória de dimesão Amostragem Aleatória com reposição Observe-se como os resultados diferem se for utilizado um método de amostragem aleatório simples, mas agora com reposição, para obteção de uma amostra aleatória de dimesão de uma população de dimesão. 16

17 A amostragem aleatória simples com reposição de uma população fiita é um método de mostragem em que cada elemeto Y i da amostra Y 1, Y 2,..., Y é escolhido aleatoriamete etre todos os elemetos da população y 1, y 2,..., y, e de forma que todos os elemetos da população teham a mesma probabilidade de serem escolhidos, isto é, P (Y i = y k ) = 1, i = 1, 2,..., ; k = 1, 2,...,. Isto correspode a extrair uma amostra aleatória de dimesão de uma uma distribuição uiforme discreta o cojuto dos potos Y 1, Y 2,..., Y. Observe-se que, este caso, cada elemetos da amostra é estatisticamete idepedete dos restates, e todos os elemetos são ideticamete distribuídos e têm a mesma distribuição de probabilidade da população. Verifica-se facilmete que: E(y i ) = Ȳ, i = 1, 2,..., ; E(y 2 i ) = 1 Y 2 j ; V ar(y i ) = 1 σ2. Se se cosiderar a média amostral ȳ = 1 y i como sedo o estimador de Ȳ, tem-se que E(ȳ) = Ȳ ; V ar(ȳ) = 1 ( 1 1 ) σ 2. Compare-se ( ) este último resultado para a variâcia com a expressão (1.1), 1 1 σ 2, para o caso da amostragem aleatória simples (sem reposição). O estimador ȳ de Ȳ referete à amostragem aleatória com reposição é meos eficiete que o mesmo estimador referete à amostragem aleatória simples, uma vez que 1 f < 1 1 para > 1. A sua eficiêcia relativa é dada por Estimação da variâcia σ 2 A expressão (1.1) para V ar(ȳ) é utilizada de três formas: (i) para estabelecer a precisão do estimador ȳ de Ȳ ; (ii) para comparar ȳ com outros estimadores de Ȳ ; 17

18 (iii) Para determiar a dimesão da amostra ecessária para obter a precisão do estimador ȳ pretedida. ormalmete, ão se cohece o verdadeiro valor de σ 2, como tal é ecessário estimá-lo a partir da amostra. Cosiderado a amostra aleatória simples y 1, y 2,..., y, utiliza-se, como habitualmete, s 2 = 1 1 (y i ȳ) 2. ote-se que s 2 é um estimador cetrado de σ 2, isto é, E(s 2 ) = σ 2. Relativamete aos potos (i) e (ii), pode-se substituir a variâcia descohecida da população, σ 2, em (1.1) pelo seu estimador cetrado s 2, obtedo-se assim um estimador cetrado de V ar(ȳ) dado por s 2 (ȳ) = (1 f) s2. Em algumas situações, a estimação de σ 2 é útil, por si só, e tal estimação pode ser feita utilizado os estimador s 2. Mas quato ao problema referido em (iii), em se quer determiar a dimesão da amostra ecessária para obter a precisão pretedida, o estimador s 2 ão tem relevâcia porque aida ão se dispõe da amostra para o calcular. Como tal, tem que se determiar a dimesão da amostra requerida ates de efectuar o processo de amostragem. Posteriormete ver-se-á como realizar este processo Itervalo de cofiaça para Ȳ Para se obter um itervalo de cofiaça para Ȳ é ecessário que se coheça a sua distribuição. Como se está perate um caso de amostragem, o que se pretede é a distribuição por amostragem, e, a forma de a obter é utilizar um caso aálogo ao Teorema do Limite Cetral para populações fiitas que permite cocluir que a média amostral, ȳ, de uma amostra aleatória simples tem aproximadamete distribuição ormal, ȳ ) (Ȳ, (1 f) σ2 (1.2) 18

19 Esta suposição é usualmete bastate razoável, mesmo se existe simetria a população. Uma regra empírica para a utilização desta aproximação de ȳ é que a dimesão da amostra,, satisfaça ode > 25G 2 1 G 1 = 1 σ 3 (Y i Ȳ )3 ote-se que para populações fiitas G 1 é o aálogo ao coeficiete de assimetria de Fisher. Além disso, a fução de amostragem, f = ão deve ser muito grade. Quado esta aproximação é apropriada, pode-se utilizar a distribuição ormal para realizar iferêcias sobre Ȳ. Um itervalo de cofiaça a 100(1 α)% para Ȳ pode ser escrito da seguite forma ] ȳ Φ 1 ( 1 α 2 ) 1 f σ (1 ; ȳ + Φ 1 α ) σ 2 [ 1 f ; (1.3) Mas a prática, o valor de σ 2 ão é cohecido e tem que se utilizar a sua estimativa, s 2. Isto é razoável se o valor de for suficietemete grade. o caso do valor de ão ser grade (se 40) pode-se utilizar a distribuição t de Studet e o itervalo de cofiaça a 100(1 α)% para Ȳ é dado por ] [ 1 f 1 f ȳ t 1,1 α/2.s. ; ȳ + t 1,1 α/2.s. (1.4) ode t 1,1 α/2 é o quatil de probabilidade 1 α/2 da distribuição t de Studet com 1 graus de liberdade. Geralmete, os iquéritos por amostragem são relativos a populações muito grades ( = ou mais) com dimesões amostrais substaciais ( = 100 ou mais). Assim, usualmete utiliza-se a forma do itervalo de cofiaça (1.3) 19

20 substituido σ 2 por s 2. Exemplo: Para ivestigar a taxa de absetismo ão relacioado com feriados ou férias, mum sector da idústria foi realizado um iquérito. Foi recolhida uma amostra aleatória de 1000 idivíduos de um total de trabalhadores, aos quais foi questioado quatos dias tiham faltado ao trabalho os 6 meses ateriores. Os resultados obtidos foram os seguites: úmero de faltas úmero de trabalhadores Para estimar o úmero médio, Ȳ de faltas, dadas pelos empregados deste sector, os últimos 6 meses pode-se utilizar a média amostral ȳ = A variâcia amostral é dada por s 2 = Utilizado uma aproximação à distribuição ormal para a média, ȳ, obtém-se um itervalo de cofiaça a 95% para Ȳ dado por ] 1.296±; [ (1 1000/36000)/1000 = ]1.201; 1.391[ (ou ]1.200; 1.392[ se se igorar a c.p.f. uma vez quef = = 1 36 = < 5%) ote-se que a distribuição dos valores de Y a população é altamete assimétrica. Este facto afecta a qualidade da aproximação ormal, mas a dimesão elevada da amostra e da população compesa esse facto Escolha da dimesão da amostra É evidete que um aumeto da dimesão da amostra coduzirá a um aumeto da precisão de ȳ como estimador de Ȳ.Cotudo os custos de amostragem também irão aumetar e existem limites para aquilo que podemos gastar. Uma amostra demasiado grade implica um desperdício de esforço; uma amostra demasiado pequea produzirá uma estimação de precisão iadequada. O ideal será estabelecermos a precisão desejada, ou o gasto máximo que podemos realizar, e escolher a dimesão da amostra de acordo com estas 20

21 restrições. Para alcaçar este objectivo é ecessário ter em cota um vasto leque de cosiderações: Cohecer o custo de amostragem para dada situação; Saber como aferir da precisão dos estimadores; Saber como equilibrar as ecessidades em relação a várias características da população que estejam a ser estimadas (características de iteresse). Como lidar com o descohecimeto de algus parâmetros da população (e.g. a variâcia da população) que podem afectar a precisão dos estimadores. Vai-se cosiderar apeas um caso simples. Vai-se assumir que o objectivo é estimar apeas uma característica, a média da população, Ȳ, utilizado a média ȳ obtida a partir de uma amostragem aleatória simples, e impodo que a probabilidade da difereça absoluta etre ȳ e Ȳ ser superior a um dado valor ão exceda um certo ível. ão fazemos quaisquer cosiderações sobre custos embora, se os custos de amostragem forem proporcioais à dimesão da amostra, o objectivo de redução ao míimo custo seja alcaçado do mesmo modo. Supohamos que procuramos ecotrar o valor míimo de que assegura que P ( Ȳ ȳ > d) α (1.5) para valores especificados de d (tolerâcia) e (pequeo) α (risco de ão respeitar essa tolerâcia). (1.5) pode ser escrito como ( ) Ȳ P ȳ σ (1 f)/ > d σ α, (1.6) (1 f)/ assim, utilizado a aproximação à distribuição ormal de ȳ pode-se escrever d σ (1 f)/ Φ 1 (1 α 2 ) (1.7) 21

22 ou aida ( ) 2 d 1 + σ.φ 1( ) 1 α 2 1 (1.8) A iequação (1.6), declara de modo equivalete que V ar(ȳ) ( d Φ 1 ( 1 α 2 e portato a desigualdade (1.8) pode ser escrita como σ2 V [ )) 2 = V, (1.9) ] σ 2 1, (1.10) V Verificamos assim que, como primeira aproximação para a pretedida dimesão da amostral, podemos cosiderar 0 = σ2 V. (1.11) Cotudo esta expressão avalia por excesso a dimesão da amostra, especialmete se a fracção de amostragem f = 0 for substacial. Se tal acotecer, é ecessário dimiuir a ossa aproximação e, em vez de 0, cosiderar ( = ) 1 0 (1.12) Tudo isto pressupõe aturalmete que σ 2 é cohecido. a prática isso ão acotece, como tal é ecessário estimar a dimesão da amostra requerida, quado σ 2 é descohecido. Existem basicamete 4 formas de o fazer: (i) A partir de estudos piloto: Muitas vezes é possível fazer um estudo piloto ates do iquérito pricipal. Se tal for feito os resultados dão alguma idicação sobre o valor de σ 2 a utilizar a escolha da dimesão da amostra. o etato, esta estimativa poderá ser bastate eviesada uma vez que os estudos piloto icidem, em geral, sobre uma parte da população apeas. 22

23 (ii) A partir de iquéritos ateriores: É bastate comum repetir estudos ateriores para estudar características similares em populações similares, especialmete em áreas como a educação, a medicia ou sociologia. A medida para a variâcia, σ 2 esses estudos ateriores poderá ser utilizada o ovo estudo de modo a determiar a dimesão da amostra, o etato é ecessário cautela ao extrapolar de uma população para a outra. (iii) A partir de uma amostra prelimiar: Esta é a abordagem mais objectiva e mais idicada, mas pode ão ser admissível em termos admiistrativos ou de custos. O procedimeto cosiste em recolher uma amostra aleatória simples de pequea dimesão, 1, e utilizar a variâcia amostral, s 2 1 para estimar a variâcia, σ 2. Com esta estimativa de σ 2 calculamos o valor míimo para, após o qual se recolhem mais ( 1 ) observações dos restates elemetos da população. Com este procedimeto, e se for razoável igorar a correcção de população fiita (c.p.f.), a dimesão da amostra,, deverá ser igual a ( ) s 2 1 V Este processo de amostragem é um caso de amostragem em 2 fases. (iv) A partir de cosiderações práticas acerca da estrutura da população: Ocasioalmete temos algum cohecimeto sobre a estrutura da população de que pode dar idicação sobre o valor de σ 2. Por exemplo, cosiderem-se o úmero de gralhas em livros de uma dada editora (aproximadamete do mesmo tamaho ou mum úmero prefixado de págias) um certo período de tempo, ou o úmero de falhas que ocorrem uma marca de cassetes de vídeo o primeiro ao de uso. Em ambos os casos se pode admitir que os valores da variável em estudo, Y, seguem uma distribuição de Poiso, sedo etão plausível cosiderar que σ 2 e Ȳ sejam aproximadamete iguais. Logo, qualquer iformação sobre Ȳ pode ser utilizada para estimar σ2 e itervir a escolha da dimesão da amostra,. 23

24 1.2.7 Estimação do total da população, Y T Existem muitas situações em que é iteressate estimar o total da população Y T = Ȳ. (1.13) em vez da média da população, Ȳ. Através desta relação etre Y T e Ȳ podemos, facilmete deduzir as propriedades sobre estimação do total populacioal. O estimador por amostragem aleatória simples que é mais utilizado é dado por y T = ȳ Dos resultados ateriores, tem-se que y T é um estimador cetrado de Y T e V ar(y T ) = 2 (1 f) σ2. y T é o estimador liear cetrado de variâcia míima de Y T baseado uma amostra aleatória simples de dimesão. Com as mesmas restrições relativamete à dimesão da amostra,, e ao valor da fracção de amostragem, f, pode-se usar a aproximação à distribuição ormal dada por y T (Y T, (1 f) ) 2 σ 2 para costruir itervalos de cofiaça para Y T. Se > 40, um itervalo de cofiaça a 100(1 α) para Y T é dado por ] y T Φ 1 ( 1 α 2 ) 1 f σ ; y T + Φ (1 1 α ) σ 2 [ 1 f ; Se 40, é preferível utilizar o quatil t 1,1 α em vez do quatil ( ) Φ 1 1 α 2 2 da distribuição ormal reduzida. Quato à questão da escolha da dimesão da amostra,, tem-se em cota que P ( y T Y T > d) α. 24

25 Utilizado a aproximação pela distribuição ormal, vem que ( d σ.φ 1 ( 1 α 2 ) 2 1 ). (1.14) Equivaletemete, V ar(y T ) ( Assim, (1.14) pode ser escrito como Assim, se σ2 V 2 σ 2 V d Φ 1 ( 1 α 2 ( σ 2 V )) 2 = V ) 1 é muito meor que 1, é razoável tomar 0 = 2 σ 2 V como dimesão aproximada da amostra, caso cotrário deve-se utilizar ( ) Estimação de uma proporção, P O objecto de um estudo de amostragem pode icidir sobre um atributo ou qualidade dos elemetos de uma população, omeadamete sobre o estudo da proporção de idivíduos da população que tem o atributo. Por exemplo a proporção de casas alugados a área da grade Lisboa. Já vimos que podemos atribuir o valor 1 aos elemetos da população que têm o atributo e o valor 0 aos elemetos que ão têm o atributo. Do mesmo modo, a amostra vai ser costituída por 0s e 1s, isto é, x i = 1 se o i-ésimo elemeto da amostra tem o atributo e x i = 0 se o i-ésimo elemeto da amostra ão tem o atributo. Sedo assim, se r elemetos da amostra tiverem o atributo, etão x i = r. 25

26 pelo que x = 1 x i = r. é a proporção de elemetos da amostra que têm o atributo e que vamos represetar como p. é o estimador de P = R. p = r. Costata-se assim que o estudo da estimação de uma proporção, P, é equivalete ao estudo da estimação de um valor médio, X. Ao discutir a eficácia de p como estimador de P, estamos a discutir o uso da média de uma amostra aleatória simples como estimador da média da população. o etato, existe este caso a particularidade de os valores da variável X poderem ser apeas 0 e 1. Isto implica a existêcia de uma relação etre X (ou seja, P) e σx 2. De facto, uma vez que σ 2 = 1 1 (X i P ) 2 = P (1 P ) 1 (1.15) σ 2 = = = = = (X i X) 2 (X i P ) 2 Xi 2 1 P 2 X i 1 P 2 P (1 P ) 1 Fazedo as devidas adaptações é fácil obter as propriedades do estimador p. 26

27 e, Mas, como σ 2 X E(p) = P, isto é, o estimador é cetrado. V ar(p) = (1 f) σ2 X = P (1 P ) 1 é descohecido, pode-se estimar pelo seu estimador cetrado s 2 X = 1 1 e, cosequetemete, (x i x) 2 = = p(1 p), 1 s 2 p(1 p) (p) = (1 f) 1 é um estimador cetrado de V ar(p) Itervalos de cofiaça para P Havedo R elemetos da população com o atributo, etão a probabilidade de a amostra se observarem r elemetos com o atributo é P (r) = ( ) ( ) R R r r ( ), max (0, + R) r mi (R, ) ou seja, o úmero de elemetos da amostra, de dimesão, com o atributo tem distribuição de parâmetros (, R, ). Cohecedo o modo de determiar as probabilidades podemos sempre costruir itervalos de cofiaça para P. Cotudo, se utilizarmos esta distribuição exacta, hipergeométrica, os cálculos para a obteção dos itervalos de cofiaça são muito pesados. Podemos tetar etão uma primeira aproximação da distribuição hipergeométrica à distribuição biomial, que sabemos ser razoável, desde que f = 10%. Assim, cosiderado que o úmero de elemetos da amostra com o atributo tem distribuição aproximadamete biomial de parâmetros (, P ), é possível obter itervalos de cofiaça para P. Mas também este caso os cálculos são pesados. Resta-os a aproximação à distribuição ormal, que sabemos ser razoável se: 27

28 (i) ão muito grade relativamete a R ou a R; (ii) mi (p, (1 p)) > 30. Verificado-se etão que com tem-se que V ar(p) P (1 P ) = (1 f) P (1 P ), p P (1 f) P (1 P ) (1.16) tem distribuição aproximadamete ormal reduzida. E, sabedo que P p P (1 f) P (1 P ) Φ 1 ( 1 α 2 ) = 1 α, (1.17) o itervalo de cofiaça a 100(1 α)% para P é dado pela região etre as duas raízes da equação quadrática (em P) dada por ( P f (1 Φ 1 α ) ) ( P 2p + 1 f (1 2 Φ 1 α ) ) + p 2 = 0 2 Se for suficietemete grade, podemos simplificar aida mais. Substituido V ar(p) pelo seu estimador cetrado, s 2 (p), a distribuição aproximada ormal de p, obtém-se o itervalo de cofiaça a 100(1 α)% para P dado por: ( p ± Φ 1 1 α ) p(1 p) (1 f) 2 1 (1.18) 28

29 Escolha da dimesão da amostra a escolha de uma proporção Recorde-se que V ar(p) = P (1 P ) = (1 f) P (1 P ). Claramete, esta 1 variâcia é máxima para P = 1, o que sigifica que, para uma dada dimesão,, da amostra, a estimação de P é meos precisa quado P for 2 próximo de 1. Para 1 < P < 3, P (1 P ) (que reflecte o desvio padrão de p) apeas varia o itervalo (0.433, 0.500), e a variação a precisão do estimador de p é muito pequea. É ecessário que P = 0.07 ou P = 0.93 para que o desvio padrão seja reduzido para 50% do seu máximo valor. A escolha da dimesão da amostra que assegura certos limites para o erro padrão da estimativa de P, vai ser uma vez mais equivalete à escolha da dimesão da amostra que assegura, com um probabilidade α predefiida, uma precisão, absoluta, d, ou proporcioal, ξp, para o estimador p. CASO A Supohamos que, para os valores pré-estabelecidos d e α (pequeo), pretedemos ecotrar a dimesão da amostra que assegura que P ( p P > d) α. Cosiderado a aproximação à distribuição ormal (1.16), isto é equivalete a exigirmos que do que resulta ou aida V ar(p) = P (1 P ) 1 ( d Φ 1 ( 1 α 2 ( ) ( 1 2 P (1 P ) V d sedo V = )) Φ ( (1.19) 1 1 α 2 P (1 P ) V Como primeira aproximação podemos cosiderar ) ) 2 ( ( 1 P (1 P ) 1)) (1.20) V 29

30 0 = P (1 P ), V que é a expressão obtida se igorarmos a correcção de população fiita. Se ão for pequeo, deve-se usar a expressão mais exacta (1.19), isto é, 0 CASO B ( ) Por vezes pretede-se uma precisão para a estimativa de P expressa em termos de proporcioalidade em relação a P, ou seja, pesar uma precisão d = ξp. Isto sigifica desejar que o estimador teha uma certa precisão relativa, isto é, que o erro relativo do estimador ão exceda ξ com probabilidade 1 α. Sedo assim, para ξ e α (pequeo) pré-estabelecidos, queremos saber qual a dimesão da amostra que assegura que P ( p P > ξp ) α (1.21) ( ) p P ξp P > α V ar(p) V ar(p) Utilizado a aproximação à distribuição ormal, pode-se escrever, como ateriormete, sedo ( 1 1 ) 1 ( = U ) 1 U (U 1) (1.22) U = 1 P P ( Φ 1 ( 1 α 2 ) Pode cosiderar-se como primeira aproximação de o valor 0 = U = 1 P P ξ ) 2 ( ( )) 2 Φ 1 1 α ξ

31 Cotudo, se 0 ão for pequeo é mais coveiete cosiderar ( )

32 1.3 Estimadores de uma razão e de regressão o capítulo aterior apeas se cosiderou a estimação de uma úica característica da população com base um esquema de amostragem aleatória simples. Cosiderado o mesmo processo de amostragem vai-se alargar um pouco o estudo, cosiderado mais do que uma característica de iteresse. Frequetemete, o objectivo de um iquérito por amostragem, é obter iformação sobre várias características populacioais. Assim, está-se muitas vezes perate dados multivariados que dizem respeito a várias medidas da população, represetadas pelas variáveis X, Y, Z,... A estimação simultâea de várias características populacioais explorado a estrutura de correlação da população multivariada ão é a parte pricipal deste estudo. Cotudo, vai ser abordada com algum detalhe uma extesão da situação uivariada. Trata-se do caso bivariado, em que se observam simultaeamete duas variáveis, X e Y. Vão ser discutidas duas situações, com objectivos distitos, mas que evolvem cosiderações estatísticas semelhates: (i) como estimar a razão de duas características populacioais, por exemplo Y T X T, (ii) como estimar eficietemete uma característica populacioal relativamete a uma variável de estudo, Y, por exemplo Ȳ ou Y T, explorado a associação existete etre as variáveis X e Y observadas ateriormete Estimação de uma razão Em várias situações pretede-se estimar uma razão de duas características populacioais: os totais ou as médias de duas variáveis em estudo X e Y. Estamos iteressados em estimar a quatidade R = Y T X T = Ȳ X que será desigada por razão populacioal. O iteresse em estimar R pode surgir de duas formas. Esta razão pode ter iteresse em si mesmo, por exemplo, pode-se querer estimar a proporção de terra arável cultivada de ceteio uma determiada região geográfica. Para isso, recolhe-se uma amostra das quitas da região e regista-se para cada 32

33 uma delas a área total e a área utilizada o cultivo do ceteio. Se se desigar essas áreas por X i e Y i para as diferetes quitas da região, o que se quer estimar é R = T T X T. Alterativamete, o iteresse por uma razão, R, pode surgir devido a coveiêcias admiistrativas a motagem de um esquema de amostragem que seja viável. Supoha-se que se queria estimar o redimeto aual médio por pessoa, ou úmero médio de carros por pessoa, para a população adulta residete uma determiada região geográfica. Poder-se-ia pesar em recolher uma amostra aleatória simples de idivíduos adultos, registar o seu redimeto aual ou o úmero de carros que possui (predomiatemete 0 e 1) e utilizar a média amostral, em cada caso, para estimar a correspodete média populacioal. Mas, pode ão ser fácil obter uma amostra aleatória dos adultos, por exemplo devido à dificuldade em ter acesso à população ou outras quatidades de iteresse. Pode ser mais simples utilizar uidades de amostragem maiores, como por exemplo os agregados familiares. este caso, passa a ter iteresse estimar razões, em vez de médias. O redimeto aual médio pode ser agora iterpretado como a razão etre o redimeto total aual dos agregados familiares, Y T e o úmero total de adultos da população, X T, sedo ambas as características estimadas a partir de uma amostra de agregados familiares. O raciocíio é aálogo para o úmero médio de carros por pessoa. ote-se que, estes exemplos, se utilizam grupos de idivíduos como uidades de amostragem para estudar características por idivíduo. Assim, estamos iteressados em estimar a razão R = Y T X T, com base uma amostra aleatória simples (y 1, x 1 ),..., (y, x ) dos valores de uma população bivariada (Y i, X i ), i = 1...,. Existem várias abordages possíveis para a estimação de R. Duas abordages imediatas são, utilizar a razão média da amostra ou a razão das médias amostrais. Mais especificamete, elas são e r 1 = 1 y i x i r 2 = ȳ x = y T x T 33

34 respectivamete. Muitas vezes, os valores das variáveis X e Y estão correlacioados. Por exemplo, se Y represetar o gasto de um agregado familiar em alimetação e X represetar o redimeto do agregado familiar, é atural esperar uma correlação positiva etre as variáveis X e Y. è também claro que a preseça ou ausêcia de correlação etre as duas variáveis vai afectar as propriedades dos estimadores r 1 e r 2. Por exemplo, se existir uma correlação positiva elevada etre X e Y, as razões idividuais Y i X i vão variar pouco, comparado com uma situação em que as variáveis ão estão correlacioadas (supodo variâcias, σy 2 e σ2 X, iguais para ambas as situações) e este facto vai-se reflectir a precisão dos estimadores. Estimador r 1 Apesar do seu caracter ituitivo, r 1 ão é muito utilizado como estimador da razão populacioal R. r 1 é um estimador eviesado e, quer o viés quer o erro quadrático médio, podem ser elevados relativamete aos valores de outros estimadores, em particular de r 2. O viés deste estimador pode ser calculado rapidamete. Cosidere-se a população de valores R i = Y i X i. A média populacioal é dada por R = 1 Y i X i e a variâcia é σ 2 R = 1 1 ( Ri R ) 2 Desde que r 1 seja a média de uma amostra aleatória simples (isto é, r 1 = r), r 1 tem valor médio R e variâcia ( 1 ) σ 2 R. Mas geralmete, R ão é igual a R, e tem-se 34

35 viés(r 1 ) = R R = 1 R i (X i X X) T ode σ RX é a covariâcia etre R e X, = ( 1)σ RX X T (1.23) σ RX = 1 1 (R i R)(X i X) = 1 1 R i (X i X) Etão, sabedo que o erro quadrático médio é a soma da variâcia com o quadrado do viés, tem-se que EQM(r 1 ) = V ar(r 1 ) + (viés(r 1 )) 2 ( = 1 ) σ 2 R + ( 1)2 σrx 2 XT 2 (1.24) e um estimador cetrado da covariâcia, σ RX é 1 1 r i (x i x) = (ȳ x r) (1.25) 1 Portato, pode-se estimar o viés e o erro quadrado médio (EQM) de r 1 por e viés(r 1 ) = ( 1)(ȳ r 1 x) ( 1)X T EQM(r 1 ) = (1 f) (r i r 1 ) 2 + ( 1)2 2 (ȳ r 1 x) 2, ( 1) 2 XT 2 respectivamete, desde que o total X T seja cohecido. Esta codição é, muitas vezes, satisfeita a prática. Assim, se X T for cohecido, pode corrigir-se r 1 com a estimativa do viés, obtedo-se o estimador modificado 35

36 r 1 = r 1 + ( 1)(ȳ r 1 x) ( 1)X T que é cohecido como estimador de Hartley-Ross. Estimador r 2 Este estimador é mais utilizado que o abordado o poto aterior. Embora seja eviesado e teha distribuição assimétrica, em amostras grades o viés é desprezável e a sua distribuição aproxima-se da distribuição ormal, permitido realizar iferêcias sobre R com base a distribuição ormal de variâcia V ar(r 2 ). Tal como em r 1, está-se perate a complicação de que tato o umerador, ȳ, como o deomiador, x, apresetam uma variação aleatória. Vai-se começar mais uma vez com a determiação do viés. ote-se que, tedo em cota o desevolvimeto em série de Taylor em tordo de X, r 2 R = ȳ x R = ȳ R x ( 1 + X [ = ȳ R x 1 X ) 1 x X X x X X ( ) 2 ] x + X... (1.26) X Como uma aproximação do viés pode-se cosiderar os dois primeiros termos da série e obter (ȳ ) R x E(r 2 ) R = E X 1 X2 E[(ȳ R x)( x X)] O termo pricipal é zero desde que E(ȳ R x) = Ȳ R X = 0. Assim, E[ȳ( x X)] = Cov(ȳ, x) = (1 f)σ Y X = (1 f)ρ Y Xσ Y σ Y ode ρ Y X é a correlação etre Y e X. Assim, uma aproximação para o viés é viés(r 2 ) = E(r 2 ) R (1 f) X 2 ( Rσ 2 X ρ Y X σ Y σ X ) 36 (1.27)

37 que será pequeo se ρ Y X ão diferir muito de R σ X σy. Isto equivale a dizer que a regressão de Y em X é liear e passa pela origem, isto é, que Y e X são aproximadamete proporcioais. Para grades amostras podem-se utilizar resultados assimptóticos e tem-se e E(r 2 ) Ȳ X = Y T X T = R V ar(r 2 ) 1 f X A variâcia de r 2 pode ser estimada por (Y i RX i ) 2 s 2 (r 2 ) = 1 f 1 x 2 1 = 1 f ( 1) x 2 (y i r 2 x i ) 2 { yi 2 2r 2 y i x i + r2 2 } x 2 i Para grades amostras, a distribuição de r 2 aproxima-se da distribuição ormal, o que permite costruir itervalos de cofiaça para R. Um itervalo de cofiaça a aproximadamete 100(1 α)% para R é dado por r 2 ± Φ ( ) 1 1 α s(r2 ). 2 Exemplo 1.3.1: Coduziu-se um iquérito sobre o aumeto do preço da comida recolhedo uma amostra aleatória simples de 48 produtos básicos de alimetação um hipermercado. Os preços desses 48 produtos alimetares foram registados em duas ocasiões diferetes, com um itervalo de 3 meses. Os preços registados pela primeira vez são desigados por x i e os da seguda vez por y i. A razão das médias amostrais, r 2 = ȳ dá uma idicação da x mudaça do preço da alimetação durate os 3 meses em questão, já que se trata de uma estimativa da razão populacioal R etre os preços médios as duas ocasiões. Obtiveram-se os resultados: ȳ = 12.07, x = 11.41; 37