Avaliação da Confiabilidade de Itens com Testes Destrutivos - Aplicação da Estimação da Proporção em uma População Finita Amostrada sem Reposição

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1 Avaliação da Cofiabilidade de Ites com Testes Destrutivos - Alicação da Estimação da roorção em uma oulação Fiita Amostrada sem Reosição F. A. A. Coelho e Y.. Tavares Diretoria de Sistemas de Armas da ariha - Rua rimeiro de arço 8 Ed. Barão de Ladário Cetro Rio de Jaeiro RJ [IDETIFIQUE OS AUTORES AEAS A VERSÃO FIAL AÓS ACEITAÇÃO] REOVA ESTA OTA ATES DE EVIAR Resumo Um roblema comum a egeharia da qualidade é a estimação do úmero de ites cosiderados bos em um lote de rodução. Esta aálise é cohecida como iseção or atributos em que o resultado dos testes é dicotômico bom ou imrório ara uso. São adotadas ormas esecíficas ara defiição dos laos de amostragem em iseções or atributos. Tais ormas etretato or questões de ordem rática limitam-se a algus valores tíicos de íveis de qualidade aceitável e risco. or outro lado ode-se usar a distribuição hiergeométrica ara forecer iformações sobre a distribuição de robabilidade fd da roorção da amostra. este trabalho é aresetada uma ova metodologia de costrução dessa fd em que o Teorema de Bayes é alicado de modo a se iferir sobre a roorção da oulação quado é cohecida a roorção da amostra e são realizadas simulações ote Carlo ara validar o método roosto Fiados valores ara esses arâmetros tem-se determiada uma curva da robabilidade de aceitação do lote A em fução da orcetagem de ites defeituosos o lote cohecida como Curva Característica de Oeração CCO coforme ilustrado a Fig.. alavras-chave Estatística Bayes Iferêcia. I. ITRODUÇÃO Quado se deseja realizar a iseção or amostragem de um lote deve-se decidir elo melhor lao de amostragem que ata aos requisitos de ecoomicidade reduzir o tamaho da amostra e ível de cofiaça aumetar o tamaho da amostra. ara auiliar a solução deste comromisso estão disoíveis ormas [] [2] as quais ermitem defiir o tamaho da amostra baseado em arâmetros como ível de Qualidade Aceitável QA e Qualidade Limite QL. Estes arâmetros estão relacioados aos erros de decisão tio I e tio II resectivamete coforme resumido o Quadro ode α é a robabilidade de cometer o erro tio I risco do rodutor e β é a robabilidade de cometer o erro tio II risco do cosumidor. QUADRO I RESUO DOS ERROS DE DECISÃO A ISEÇÃO OR ATRIBUTOS Aceitar o Lote Rejeitar o Lote Lote Bom Decisão Correta Erro Tio I Lote Ruim Erro Tio II Coelho F. A. A. feraac@gmail.com Tel Tavares Y.. yurimtavares@yahoo.com.br. Decisão Correta Fig.. Curva Característica de Oeração tíica. Essas CCO são costruídas tomado or base as distribuições de robabilidade Hiergeométrica Biomial ou oisso coforme o lao de amostragem escolhido ou seja tamaho do lote tamaho da amostra e úmero aceitável de defeituosos a amostra. As ormas disoíveis [] [2] aresetam curvas traçadas aeas ara algus cojutos tíicos desses arâmetros. a área militar às vezes é ecessário realizar testes destrutivos ara avaliar a cofiabilidade de um item cuja vida útil estabelecida foi eirada com o ituito de tomar decisão quato a sua revalidação etesão da vida útil. esses s a oulação é fiita a amostragem é sem reosição e o tamaho da amostra deve ser reduzido em relação ao tamaho do lote oulação de modo a reservar um maior úmero de ites remaescetes. Desse modo a distribuição Hiergeométrica ode ser alicada ara estimar o úmero de ites defeituosos ecotrados a amostra cohecido o úmero de ites defeituosos a oulação [3]. Este trabalho aborda esse roblema de outra forma: estimar-se a roorção de ites bos a oulação baseado o resultado do eerimeto úmero de ites bos ecotrados a amostra. ara tal é aresetado um ovo método ara costruir a fução distribuição de robabilidade

2 de ites bos a oulação dode se ode obter estatísticas diversas e realizar iferêcias com os íveis de cofiaça retidos. II. DESEVOLVIETO ATEÁTICO Seja um lote de ites sob avaliação que cotém ites defeituosos. Realiza-se etão uma amostragem sem reosição de ites ara esaio destrutivo e observam-se sucessos ites defeituosos ecotrados essa amostra. A fução distribuição de robabilidade da roorção de ites defeituosos a amostra = é uma distribuição Hiergeométrica dada or [3]. cotrário...mi A Equação os dá a robabilidade da roorção em uma amostra quado se cohece a roorção da oulação ou ou seja. Iteressa-os etretato saber qual a robabilidade de dada a roorção da amostra ou seja. Usado o teorema de Bayes obtém-se: 2 Como ode assumir qualquer valor etre e a robabilidade de ocorrêcia de um valor em articular em ricíio é =/+. Substituido este resultado em 2 resulta 3 erceba que realizado o eerimeto e ecotrados sucessos a robabilidade de < é ula bem como a robabilidade de >--. Etão 3 ode ser reescrita como 4 Agora substituido em 4 e elimiado algus termos resulta: cotrário... 5 Lembrado que é o úmero de sucessos observados a amostra de elemetos retirados sem reosição etão. III. ESTUDO DE CASO Cosidere-se um lote de ciqueta ites =5 cuja validade de dez aos se eirou. Com o ituito de se revalidar o lote or um certo eríodo foram realizados esaios em uma amostra de cico ites =5 e verificado que aeas um ecotrava-se com os arâmetros oeracioais fora da esecificação =. Alicado estes dados em 5 obtém-se a seguite fução de robabilidade de. cotrário cotrário Os valores das robabilidades estão listados a Tabela I equato que as Figs. 2 a 4 aresetam graficamete a Fução Distribuição de robabilidade FD a Fução de Distribuição Acumulada FDA e a Curva Característica de Oeração dada or CCO=-FDA resectivamete.

3 TABELA I VALORES DAS ROBABILIDADE DE VALORES ÃO ARESETADOS SÃO ULOS Fig. 4. Curva Característica de Oeração. A artir dessas curvas diversas iformações odem ser retiradas. or eemlo a artir da CCO estabeleco-se um erro do cosumidor β=5% ível de cofiaça de 95% é ossível afirmar que eistem meos de 28 ites defeituosos a amostra <28 ou que a cofiabilidade do lote é R =5-28/5 = 44%. IV. SIULAÇÃO OTE CARLO Fig. 2. Fução Distribuição de robabilidade. Fig. 3. Fução Distribuição Acumulada. ara validar o método roosto foi realizada uma simulação ote Carlo. ara a simulação foram criados 5 lotes de ciqueta ites cada =5. Cada lote era idetificado elo úmero de defeituosos que cotiha. Assim o lote ossuía zero ites defeituosos o lote ossuía um item defeituoso e assim sucessivamete. ara cada lote foram amostrados cico ites =5 e reetido o eerimeto cem mil vezes. histórias com reosição. Os resultados foram armazeados em uma matriz com 5 lihas valores ossíveis de e 6 coluas valores ossíveis de. Cada liha corresodia a cada um dos 5 lotes e cada colua ao úmero de defeituosos ecotrados as amostras. Assim ao fial da simulação dividido-se cada item da matriz elo somatório de sua colua corresodete obtém-se a robabilidade se ecotrar ites defeituosos quado o lote ossuir ites defeituosos. O fluograma usado ara realizar a simulação ode ser visto a Fig. 5 e o scrit de atlab utilizado está listado o aêdice. Os resultados ecotrados o histórico de amostras obtidas foram utilizados ara motar os gráficos de robabilidade de se ecotrar ites defeituosos eibidos a Fig. 6. A Fig. 7 mostra uma comaração etre a FD obtida o estudo de da Seção 3 liha azul formada ela ligação dos otos teóricos calculados com o resultado da simulação com = otos em vermelho validado o rocedimeto sugerido este trabalho.

4 Fig. 7. Comaração etre a FD obtida elo método roosto liha azul formada ela ligação dos otos teóricos calculados e o obtido em simulação otos em vermelho. V. COCLUSÃO E COSIDERAÇÕES FIAIS Foi alicada a distribuição hiergeométrica ao roblema da iseção or atributos de modo a se fazer iferêcia sobre a roorção da amostra. ara tal o Teorema de Bayes é alicado o ituito de obter a roorção da oulação quado é cohecida a roorção da amostra. O método roosto foi validado comarado-se a Fução Distribuição de robabilidade obtida com os resultados de Simulações ote Carlo realizadas. Fig. 5. Fluograma utilizado a simulação. AÊDICE - SCRIT DE ATLAB USADO ARA SIULAÇÃO OTE CARLO %Artigo SIGE 22 %SCRIT de simulação OTE CARLO % %Tarefa: %: ara = até 5 %: otar lote coto ites defeituosos %2: Retirar his amostras de 5 ites sem reosição e cotar o úmero de %defeituosos a amostra %3: Armazear os seis úmeros ecotrados em uma matriz B=5=6 %4: fim do loo %5: somar o úmero de resultados das coluas de B %6: dividir cada elemeto de B elo resultado acima da sua resectiva %colua %7: motar gráficos das coluas de B %Ode: %: úmero total de ites %: úmero de ites defeituosos em %: úmero de ites amostrados %: úmero de ites defeituosos a amostra "" % % versão de 3/8/2 Fig. 6. Gráficos dos resultados da simulação. clear all clc close all %lima todas as variáveis %lima romt de comado %fecha todas as jaelas

5 % %defeituosos o lote %Etrada de Dados =5; %: tamaho do lote a ser avaliado =5; %: tamaho da amostra his=; %úmero de histórias %Declaração de variáveis B=zeros++; %B:matriz ara guardar resultados das %histórias %ricial B=his; %ara = ehum item com defeito só %haverá = for i=:: %loo ara criar diversos lotes com %ites defeituosos diferetes lote=zeros; %lote criado ara cada for j=::i lotej=; %criação do lote com i defeituosos: %valor "" é ormal valor "" é defeituoso =zeros+; %vetor que guarda o úmero de %defeitos ara cada história for k=::his %história def=; flagr=false; %flag de cotrole ara ão reetir úmeros %em r while flagr==false %cotrole ara ão reetir úmeros r=radi[5]; %gera um vetor de úmeros %aleatórios de a 5 %r é o vetor que cotém os ídices ara %buscar ites o "lote" r=sortr; %coloca os elemetos do vetor em %ordem crescete flagr=true; %iicia teste for q=::- %testar se ão há ídice %úmero reetido if rq==rq+ flagr=false; %se houver úmero reetido %"flagr" volta ara "false" break; for t=:: %cotar úmero de ites defeituosos a %amostra: if lotert== %r aota item em "lote" e %verifica-se se o mesmo é defeituoso def=def+; def+=def++; %icremeta osição em %referete ao úmero de defeituosos Bi+:=:; %guarda roorção de úmero de %defeituosos em his a %osição corresodete a B=sumB; %soma todas as coluas de B for u=::+ %divide cada elemeto de B elo %somatório de sua colua B:u=B:u./Bu; %Eibir resultados sublot23 lot::b:'r.' ais[.2*mab:];label'';ylabel'=';title'='; grid o sublot232 lot::b:2'r.' ais[.2*mab:2];label'';ylabel'=';title'='; grid o sublot233 lot::b:3'r.' ais[.2*mab:3];label'';ylabel'=2';title'=2'; grid o sublot234 lot::b:4'r.' ais[.2*mab:4];label'';ylabel'=3';title'=3'; grid o sublot235 lot::b:5'r.' ais[.2*mab:5];label'';ylabel'=4';title'=4'; grid o sublot236 lot::b:6'r.' ais[.2*mab:6];label'';ylabel'=5';title'=5'; grid o % FI REFERÊCIAS [] UITED STATES OF AERICA. Deartmet of Defese IL- STD-96 "Test ethod Stadard. DoD referred ethods for accetace of roduct" Abril 996. [2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE ORAS TÉCICAS BR 5426 "laos de amostragem e rocedimetos a iseção or atributos" Jaeiro 985. [3] CACHO V. G. "oções de Estatística e robabilidade" Uiversidade Federal de Ouro reto 24.