s =, sendo n= n Uma amostra de 60 indivíduos onde a massa corpórea, em kg, tiver média 42kg e um desvio padrão de 3,5 o Erro Padrão da Média será:

Transcrição

1 statística Aplicada Prof. Atoio Sales/ 013 DSVIO PADRÃO RRO PADRÃO DA MÉDIA As iferêcias sobre uma população podem ser baseadas em observações a partir de amostras de populações. Como a amostra, a maior parte das vezes, é meor do que a população a média de uma amostra pode ão ser a mesma que a média da população total. Uma forma de aproximação seria a retirada de várias amostras de uma população obtedo vários valores de médias (várias distribuições de frequêcias). Se essas médias tiverem distribuição ormal estarão próximas ao verdadeiro valor da média populacioal. Nesse caso pode-se ecotrar a média de médias e seu desvio padrão. sse desvio padrão das médias é chamado de erro padrão da média (P). Quato meor for o valor do P uma média qualquer estará bem próxima do valor verdadeiro da média populacioal. No etato, essa tarefa ão seria ada cômoda. Além de trabalhosa poderia ser impraticável. Felizmete podemos dispesar todo esse trabalho e estimar o P a partir de uma úica desvio amostra, fazedo P= xemplo: padrão s =, sedo = fi Uma amostra de 60 idivíduos ode a massa corpórea, em kg, tiver média 4kg e um desvio padrão de 3,5 o rro Padrão da Média será: 3,5 3,5 P = 0, ,74 Mas, o que sigifica isso? Sigifica que podemos ter cofiaça que 68% ( valores arredodados)da população cosiderada terá massa corpórea etre os valores 41,55kg e 4,45kg ( x P e x P). Se quisermos ampliar o itervalo de cofiaça podemos afirmar que 95% está com massa corpórea etre os valores 41,kg e 4,9kg. Para determiar esse itervalo de 95% de cofiaça fizemos _ x 1,96. P, que este caso é 4-1,960,45 e 4+1,960,45 (os valores fiais foram arredodados). Talvez haja a perguta: de ode veio esse valor de 1,96? Não se pode cofudir Desvio Padrão com rro Padrão, também chamado de erro padrão da média. -Desvio Padrão (DP), ou s, é a variabilidade ou dispersão de observações com relação à média -rro Padrão (P) é a variabilidade ou dispersão de valores médios de uma distribuição de médias.

2 sse é o valor, deomiado z, que é ecotrado em tabelas estatísticas presetes em quase todos os livros dessa disciplia. A seguir parte de um quadro (LVIN; FOX, 003, p. 46) z Área ete Sigificado a média e z : : 1,9 47,6 1,93 47,3 1,94 47,38 1,95 47,44 1,96 47,50 47,50% dos idivíduos estão à direita (acima) da média e abaixo de x _ +z. P, ou seja, 95% estão etre a média e z.p 1,97 47,56 1,98 47,61 1,99 47,67,00 47,7,01 47,78,0 47,83 : : Você cosegue agora eteder quado, em período de eleições, é auciado que o cadidato X tem 43% dos votos com erro de % para mais ou para meos? A curva ilustrativa abaixo foi extraída da iteret, mas é facilmete ecotrada em livros de statística.(obs. SD= desvios-padrão)

3 Repetido: Formula para calcular o itervalo de cofiaça de 95% Limite iferior: média - 1,96.(P) Limite superior: média + 1,96.(P) DTRMINAÇÃO DO TAMANHO DA AMOSTRA Um problema ormalmete efretado pelo pesquisador cosiste em determiar o tamaho da amostra. Numa população de 400 profissioais, quatos devem ser tomados para compor uma a mostra estatisticamete sigificativa? se a população for de 5000 elemetos? o caso de uma cidade como Campo Grade que tem cerca de habitates? Algus critérios podem ajudar a decisão, depededo do itervalo de cofiaça (IC) que queremos para o trabalho. O mais comum é admitir IC=95%. Podemos etão aplicar uma das seguites fórmulas: Fórmula (1). Sedo z temos que z Ode z=1,96 para IC=95%, * é o erro esperado ou estimado pelo pesquisador e que deve variar de 1% a 7%, o máximo. O é o desvio padrão da população ( a falta deste usa-se ¼ da AT amplitude total, isto é, ) ( ANDRSON; SWNY; WILLIAMS p. 300) 4 sta alterativa é aplicada quado já se cohece algus dados sobre a população ou, a falta deste, faz-se um projeto piloto utilizado arbitrariamete algus elemetos. Fórmula (). Não tedo o desvio padrão ou amplitude total pode-se desevolver um projeto piloto com uma pequea amostra e fazer pesquisado, a pequea amostra. z p(1 p) ode p é a proporção do fator a ser Supoha que se queira saber o percetual de pessoas com olhos verdes uma certa população. scolhe-se uma pequea amostra, arbitrária, cota-se o úmero de pessoas de olhos verdes, diríamos 15%, o que sigifica dizer que p=0,15 e etão teremos: (1,96) (0,15)(1 0,15). Fizemos z=1,96 para ter um IC=95% e podemos arbitrar =4%=0,04. * Quato maior o erro esperado ou admitido meor o úmero de elemetos a amostra. 3

4 ( 1,96) (0,15)(1 0,15) Nesse caso teríamos: (0,04) (3,8416)(0,15)(0,85) 0,0016 (3,8416)(0,175) 0,5 = 31,5 0,0016 0,0016 Trezetos e treze idivíduos seria uma amostra estatisticamete sigificativa com 95 de cofiaça e com um erro previsto de 4% para mais ou para meos. Quado ão há a possibilidade de um projeto piloto pode-se arbitrar p=0,5=50% (também chamada de proporção perversa porque é exagerada e requer uma amostra bem maior) Fórmula (3). Neste caso temos, a realidade, duas fórmulas: a) Se a população for ifiita ( mais de elemetos) usa-se a mesma fórmula: z pq p(1 p), como q=1-p etão a fórmula pode ser expressa como b) Se a população for fiita (até elemetos) usa-se: z z pqn ( N 1) z Nos dois casos é o erro esperado ou admitido (de 1% a 7%, o máximo), p é o percetual observado uma pequea amostra arbitrária, q é o complemeto de p, isto é 1-p, equato N é o tamaho da população total. O valor de z será 1,96 sempre que quisermos um IC de 95%. xemplos: a) Da população de Campo Grade ( habitates) queremos extrair uma amostra com um erro permitido de 3% (=0,03), um itervalo de cofiaça de 95% ( z=1,96) para a uma pesquisa eleitoral. Vamos supor que uma pequea amostra de 30 pessoas detectamos que 30% (p=0,30) preferem o cadidato A. Vamos agora determiar a amostra para a pesquisa: N= (cosiderada população ifiita porque maior que ) Z=1,96 =0,03 P=0,3 z p(1 p) 1,96.0,3(1 0,3) 3,8416.0,3.0,7 Fórmula: 0,03 0,03 0,80674 =896, ,0009 Uma amostra de 896 pessoas forecerá um percetual com 3% de erro para mais ou para meos e um itervalo de cofiaça de 95% pq 4

5 b) Vamos supor agora que queiramos fazer a mesma pesquisa uma cidade iterioraa com apeas habitates. Nesse caso usaríamos a fórmula z pqn ( N 1) z pq (1,96).0,3.0, (0,03) ( ) (1,96).0,3.0,7 (1,96).0,3.0, (0,03) ( ) (1,96).0,3.0,7 (3,8416).(0,3).(0,7) (0,0009)(69999) (3,8416).(0,3).(0,7) 56471, ,5 885, ,999 0, ,8057 Com uma amostra de 885 habitates teríamos uma pesquisa com 95% de cofiaça e 3% de erro para mais ou para meos. xercícios: 1. Os valores de glicose em mg/dl, obtidos em 9 homes de 33 a 39 aos, em jejum, foram: 90, 86, 78, 90, 98, 90, 8, 76, 84. Determie: a) a média b) o desvio padrão c) o erro padrão da média ( obs. Não esqueça de orgaizar os dados). As alturas de 15 criaças que frequetam a escola a turma M são, em cm: 140, 135, 145, 138, 138, 143, 145, 145, 144, 143, 140, 14, 146, 143, 141. Determie: a) a média b )o desvio padrão c) o erro padrão da média d) uma amostra estatisticamete sigificativa (α=0,05e =0,05) 3. Uma empresa tem 50 fucioários e uma equipe de saúde quer fazer um levatameto relativo à massa corpórea desse fucioários. Sabe-se que o mais gordo tem 10kg de massa e o mais magro tem 6 kg. Qual será o tamaho da amostra que represeta 95% dessa população e a um erro de %? a um erro de 6%? 4. No problema aterior se 100 dos fucioários forem mulheres e 150 forem homes, quatas mulheres e quatos homes deverão fazer parte da amostra? 5. Se, o problema 3, a maior massa fosse 10kg e a meor fosse 80kg, quatos idivíduos deveriam compor a amostra? 6. O serviço de cotrole de zoooses pretede fazer uma pesquisa o muicípio XPTO para aalisar o ídice de prevalêcia de leishimaiose em caios da região. stima-se que haja 500 aimais o muicípio e como ão há ehum levatameto prévio está-se trabalhado com a proporção exagerada ou perversa de 50%. Quatos cães devem compor a amostra para se 5

6 ter um erro máximo de %? se já houver uma estimativa cofiável de que 15% da população está ifectada, com erro admitido de 4%). 7. No mesmo problema aterior se fosse cohecido o ídice de prevalêcia em uma pequea amostra e se soubesse que p=0,, qual deveria ser o tamaho da amostra? Respostas: 1. a) 86 b)6,5 c), (valores arredodados). a) 14 b)3 c)0,8 (valores arredodados) (Usamos a amplitude total dividido por 4, uma vez que ão temos o desvio padrão. Admitimos um erro máximo de e um itervalo de cofiaça de 95%) mulheres e 10 homes ( para um erro de 5% o úmero da amostra seria bem meor) Bibliografia ANDRSON, David R., SWNY, Deis J., WILLIAMS, Thomas A. statística Aplicada à Admiistração e coomia. São Paulo: Pioeira Thomso Lerig, 003. p. 300 LVIN, J; FOX, J.A. statísticas para Ciêcias Humaas. 9. ed. São Paulo: Pretice-Hall, 004. p. 46. NSINO INTRATIVO. Dispoível em lo_lu/metodologia_pesquisa/lu10/lo/idex.htm acesso em 03/09/005 Pode-se ver também: FONSCA, Jairo Simo da; MARTINS, Gilberto de Adrade. Curso de statística. 6.ed. São Paulo: Atlas,