FÍSICA EXPERIMENTAL I

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1 2017 FÍSICA EXPERIMENTAL I Departameto de Físico-Química Área de Física Istituto de Química de Araraquara UNESP Bacharelado em Química 02/08/2017

2 O que sabemos é uma gota e o que igoramos é um oceao Isaac Newto 1 P á g i a

3 Agradecimetos A elaboração desta apostila teve a colaboração dos professores Prof. Dr. Carlos de Oliveira Paiva Satos, Prof. Dr. Paulo Roberto Bueo, Prof. Dr. Marcelo Oraghi Orladi, Prof. Dr. Gustavo Troiao Feliciao, Prof. Dr. Aderso Adré Felix, do bolsista Prof. Adriao dos Satos e do técico do laboratório de física Viicius Orsi Valete. 2 P á g i a

4 SUMÁRIO 1. GRANDEZAS FÍSICAS E O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) OS NÚMEROS Os coceitos de exatidão e precisão Algarismos sigificativos Operações com algarismos sigificativos ERROS E INCERTEZAS Dispersão de cojuto de dados experimetais Propagação de icertezas Erro Percetual Relativo (E%) REPRESENTAÇÃO GRÁFICA E REGRESSÃO LINEAR Método Gráfico: Utilizado papel milimetrado Método Gráfico: Utilizado papel em escala logarítmica Regressão liear pelo Método dos Míimos Quadrados (MMQ) MMQ com icerteza em y ROTEIROS PARA AS AULAS EXPERIMENTAIS Elaboração dos relatórios P á g i a

5 1. GRANDEZAS FÍSICAS E O SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SI) Segudo o Vocabulário Iteracioal de Termos Fudametais e Gerais da Metrologia (VIM), uma gradeza pode ser defiida como sedo a propriedade de um feômeo, de um corpo ou de uma substâcia, que pode ser expressa quatitativamete sob a forma de um úmero e de uma referêcia, que ada mais é do que uma uidade de medida. Quado dizemos que um prédio tem 15 metros de altura, a gradeza utilizada é o comprimeto, sedo o metro a uidade de medida utilizada como referêcia. Outro exemplo seria a gradeza tempo, da qual utilizamos as uidades hora, miutos ou segudos para expressar a sua quatidade. Numa liguagem iformal, podemos defiir como gradeza tudo aquilo que pode ser medido, como a propriedade de um corpo ou a característica de um feômeo (massa e velocidade, por exemplo). Gradeza física é um coceito específico de gradezas, que as limita o campo em que a Física atua. No meio acadêmico, é muito comum a prática de comparações etre resultados e valores etre experimetos coduzidos em diferetes localidades. Seria ioportuo, etão, adotar uidades de medidas próprias, pois iguém coseguiria comparar os dados experimetais obtidos com outros resultados. Igualmete icoveiete seria quado alguém viajasse a outro país e ecotrasse determiadas gradezas expressas em uidades diferetes e sem relação com aquelas que estavam habituados. Grades problemas também ocorreriam a comparação de exames clíicos de dois laboratórios, os quais utilizassem uidades arbitrárias e sem relação. Para miimizar essa discrepâcia, que embora aida exista, covecioou-se adotar uidades padrões, as quais todos podem utilizar para comparar resultados possibilitado, assim, comparar objetos ou feômeos diretamete. Com o objetivo de resolver esta questão, asceu o BIPM (Bureau Iteracioal de Pesos e Medidas) em 1875, outras orgaizações como a CGPM (Coferêcia Geral de Pesos e Medidas) e o CIPM (Comitê Iteracioal de Pesos e Medidas). Essas orgaizações prezavam desde o iício pela uiformidade mudial das medidas e coformidade com o Sistema Iteracioal (SI), que é basicamete um cojuto de omes e símbolos de gradezas em coformidade com a CGPM e é amplamete utilizado até hoje. O SI é baseado as sete gradezas de base que se ecotram resumido a Tab Tab. 1.1 Gradezas de base do SI Gradeza Símbolo da gradeza Símbolo Comprimeto l, x, r, etc. L Massa m M Tempo t T Correte elétrica I, i I Temperatura termodiâmica T ϴ Quatidade de substâcia N Itesidade lumiosa I v J Todas as outras gradezas são derivadas, o que sigifica que surgem após uma operação etre as gradezas de base. Por exemplo, a uidade para a gradeza derivada velocidade surge da divisão etre duas gradezas: o comprimeto (distâcia) pelo o tempo. 4 P á g i a

6 Coforme a defiição de gradeza, ela deve ter uma referêcia que geralmete é a uidade de medida. Desta forma, o SI possui, para cada gradeza de base, a uidade correspodete. Essa uidade, por sua vez, possui defiições que ão são fixas, pois são costatemete revisadas devido ao avaço da ciêcia o campo das medições. De fato, as defiições oficiais foram aprovadas pelo CGPM em 1889 e a mais recete, em Mais iformações sobre estas covecções e defiições visite o site do INMETRO ( A Tab. 1.2 resume as uidades do SI e as suas defiições. Tab. 1.2 Gradezas, uidades SI e suas defiições. Gradeza Uidade SI (símbolo) Defiição Massa quilograma (kg) Massa igual ao protótipo iteracioal do quilograma (protótipo costituído de platia-lítio). Comprimeto metro (m) O metro é o comprimeto do trajeto percorrido pela luz o vácuo durate um itervalo de tempo de 1/ segudo. O segudo é a duração de Tempo segudo (s) períodos da radiação correspodete à trasição etre os dois íveis hiperfios do estado fudametal do átomo de césio 133. Correte elétrica ampere (A) O ampere é a itesidade de uma correte elétrica costate que, se matida em dois codutores paralelos, retilíeos, de comprimeto ifiito, de seção circular desprezível, e situados à distâcia de 1 metro etre si, o vácuo, produz etre estes codutores uma força igual a 2 x 10-7 ewtos por metro de comprimeto. Temperatura kelvi (K) O kelvi, uidade de temperatura termodiâmica, é a fração 1/273,16 da temperatura termodiâmica do poto triplo da água. O mol é a quatidade de substâcia de um sistema que cotém tatas Quatidade de substâcia mol (mol) etidades elemetares quatos átomos existem em 0,012 quilograma de carboo 12. Itesidade lumiosa cadela (cd) A cadela é a itesidade lumiosa, uma dada direção, de uma fote que emite uma radiação moocromática de frequêcia 540 x hertz e que tem uma itesidade radiate essa direção de 1/683 watt por esferorradiao. 5 P á g i a

7 Assim como existem as gradezas derivadas, existem as uidades derivas do SI. Por exemplo, o caso da velocidade, que seria o quociete das gradezas comprimeto (distâcia) e tempo, a uidade SI seria metro por segudo, simbolicamete represetado por m/s. Algumas uidades derivadas se ecotram resumidas a Tab Tab. 1.3 Algumas gradezas e uidades derivadas SI Gradeza derivada Uidade derivada SI Nome Símbolo Nome Símbolo Área A metro quadrado m 2 Volume V metro cúbico m 3 Velocidade v metro por segudo m/s Aceleração a Metro por segudo ao quadrado m/s 2 Desidade, massa específica ρ quilograma por metro cúbico kg/m 3 Desidade superficial ρ A quilograma por metro quadrado kg/m 2 Desidade de correte j ampere por metro quadrado A/m 2 Força N ewto m.kg s -2 Pressão Pa pascal N/m 2 Frequêcia Hz hertz s -1 Viscosidade diâmica Pa.s pascal segudo m -1.Kg.s -1 Em muitos casos, é coveiete represetar as uidades utilizado múltiplos e submúltiplos, como mostrado a Tab Tab. 1.4 Prefixos do SI Fator Nome do Prefixo Símbolo Fator Nome do Prefixo Símbolo 10 1 deca da 10-1 deci d 10 2 hecto h 10-2 ceti c 10 3 kilo k 10-3 mili m 10 6 mega M 10-6 micro µ 10 9 giga G 10-9 ao tera T pico p peta P femto f exa E atto a zetta Z zepto z yotta Y yocto y Por exemplo, se a massa de um objeto é 0,001 g, pode-se represetar esse valor utilizado o prefixo mili. Desta forma, 0,001g = 1mg (miligrama). Da mesma forma, metros = 1km (quilômetro), 3 x 10-6 = 3 µg (microgramas) e 1 TB = bytes. 6 P á g i a

8 2. OS NÚMEROS A ciêcia exata é umérica. Ela tem a ecessidade itríseca de represetar valores por meio de úmeros e algarismos. Desta forma, resultados de experimetos, esaios de laboratório de aálise clíica, pesquisas de campo, redimeto de processos idustriais e até testes de DNA são represetados por meio da liguagem matemática e estatística. Para uma iterpretação sem equívocos, é ecessário um prévio cohecimeto de como abordar um cojuto de dados e tratá-lo adequadamete em plailhas e gráficos, bem como descrevê-lo de forma adequada e elegate para que possibilite uma visualização rápida e eficiete dos resultados. Neste capítulo serão tratados os pricípios básicos de como se abordar um cojuto de dados e como descrevê-lo de forma coveiete. Serão apresetados os coceitos de precisão e exatidão de úmeros que, jutamete com as defiições de dispersão de medidas da estatística descritiva, serão fudametais para a iterpretação da qualidade de um cojuto de dados. 2.1 Os coceitos de exatidão e precisão Os úmeros podem ser exatos ou aproximados. A difereça etre estas defiições depede do cojuto que represeta esses úmeros. Por exemplo, um jogo de futebol há exatamete 11 jogadores de cada time e um jogo de xadrez, 16 peças bracas e 16 peças egras. Ou seja, úmeros exatos são aqueles que ão apresetam icerteza. Por outro lado, existem situações em que ão é possível cohecer exatamete o valor de uma gradeza por restrições técicas e operacioais, como em resultados de teste de pateridade, por exemplo. Neste caso, mesmo a margem de certeza sedo grade (99,9999%), o resultado tem chace de ser falso positivo em 0,0001%. Isso sigifica que, embora o úmero possa ser pequeo, de de testes, um será falso positivo, ou seja, o exame afirmaria a pateridade equivocadamete. Além da margem de erro ocasioada pelo falso positivo, a probabilidade de falso egativo é aida maior, a ordem de 1%. Isto sigifica que, em cada 100 casos em que o exame é egativo, um poderá estar errado, ou seja, a pessoa é realmete o pai. Isto sigifica que o exame de DNA ão é tão preciso como comumete se divulga a mídia, uma vez que os valores do teste possuem um grau de icerteza ierete à própria técica e metodologia do exame. Desta forma, pode-se defiir como sedo úmeros aproximados aqueles em que ão é possível cohecer com exatidão o real valor da gradeza, seja por limitações técicas como operacioais. Com relação aos úmeros aproximados, dois termos podem ser utilizados para descrever a cofiaça umérica: a exatidão e a precisão. A exatidão está relacioada ao verdadeiro valor da gradeza sedo estudada. A precisão é o quato os valores obtidos em uma medição são reprodutíveis. Para ilustrar essa questão, imagiemos o seguite problema: Uma forma ilustrativa de defiir precisão e exatidão pode ser coseguida ao desafiar seu amigo para uma partida de siuca ou a um jogo de dardos (Fig. 2.1). Se o seu amigo possuir alta precisão o arremesso, mas pouca potaria (baixa exatidão), ele coseguirá atigir uma mesma área do alvo do jogo de dardos em várias tetativas, mas loge do cetro. Por outro lado, se ele possuir boa potaria, ele estaria acertado o alvo cetral em vários arremessos, e sua exatidão seria alta. 7 P á g i a

9 Figura 2.1. Ilustração da defiição de precisão e exatidão em um jogo de dardos. (a) baixa precisão e baixa exatidão; (b) alta precisão e baixa exatidão; (c) alta precisão e alta exatidão. 2.2 Algarismos sigificativos O problema da precisão requer que tehamos uma forma coveiete de escrever um úmero. Expressar uma gradeza de forma correta é primordial para a iterpretação iequívoca do cojuto de dados. Uma forma coveiete de expressar a precisão de um úmero é por meio dos algarismos sigificativos. Ates de defiir o que é um algarismo sigificativo voltemos ao problema da balaça. A balaça registra, em cada pesagem, quatro algarismos, como por exemplo, 48,24 kg. Esse úmero em questão possui quatro algarismos sigificativos. Portato, pode-se defiir algarismos sigificativos como sedo a quatidade de úmeros que represeta um valor de uma medida ou gradeza, exceto os zeros à esquerda. Quado maior for a quatidade de algarismos de um úmero, maior será a sua precisão. Etretato, a quatidade de algarismos está ieretemete ligada à capacidade do dispositivo em medir a gradeza, bem como a metodologia empregada. Geralmete, a última casa represeta o valor que é icerto ou aproximado. Isto porque, em qualquer medição, é importate registrar o maior úmero de algarismos que o dispositivo e o método de medida permitem. No caso da balaça em questão, ela pode registrar os três primeiros algarismos, sedo o último, aproximado e icerto. Para determiar o úmero de algarismos sigificativos de medições, seus dígitos devem ser cotados, iicialmete pelo primeiro dígito (diferete de zero) à esquerda. Os zeros à esquerda e aqueles que são colocados para posicioar a vírgula ão devem ser cosiderados. Quado um úmero é escrito em otação expoecial, o úmero de algarismos sigificativos é determiado pelo coeficiete. Desta forma, 9 x 10 3 possui apeas um algarismo sigificativo, equato 9,0 x 10 3 e 9,02 x 10 3 possuem dois e três, respectivamete. Uma questão importate e que deve ser resolvida com ateção são os úmeros que termiam em zero. Por exemplo, imagie que a medições de duas determiadas gradezas registraram os seguites valores: e Se o istrumeto utilizado e a metodologia empregada possibilitam a obteção dos valores da medição com aproximação de mil, os úmeros em questão possuem apeas dois algarismos sigificativos, uma vez que os zeros existem apeas para posicioar o poto e, portato, ão são sigificativos. Neste caso, os algarismos sigificativos seriam os algarismos três e zero para o primeiro úmero e quatro e cico para o segudo. Etretato, se estes úmeros são expressos com aproximação até cem, eles tem três algarismos sigificativos, os dois já mecioados mais o primeiro zero, cotado 8 P á g i a

10 da esquerda para a direita. Se a aproximação fosse até a dezea, os úmeros teriam quatro algarismos sigificativos, e assim sucessivamete. Sedo assim, uma forma coveiete de cotorar esse problema é represetá-lo pela otação expoecial, utilizado o úmero de algarismos o coeficiete de acordo com a precisão da medida realizada. Veja os exemplos a Tabela 2.1. Tabela 2.1 Números e quatidade de algarismos sigificativos. Número Quatidade de algarismos sigificativos Observação 8 1-8,7 2-8,78 3-8, ,01 3 O zero o meio do úmero deve ser cosiderado 70 1 O zero o fial do úmero deve ser cosiderado se cohecer a precisão do úmero 0,001 1 Os zeros posicioados à esquerda e para posicioar a vírgula ão devem ser cosiderados 80,01 4 O zero o meio do úmero deve ser cosiderado 0, Depederá da precisão do úmero. 1, ou 5 Depederá da precisão do úmero. 2,1 x O úmero de algarismos sigificativos é o úmero de algarismos do coeficiete 4 x , x Velocidade da luz o vácuo em m.s -1 1, x Massa do próto, em g à 4 Não se sabe o úmero de algarismos sigificativos, pois ão é cohecida a precisão do úmero. 8,00 x à 3 Depederá da precisão do úmero. 6, x Número de Avogrado, em mol Operações com algarismos sigificativos É muito importate que o resultado de uma operação aritmética seja expresso com o úmero de algarismos sigificativos corretos para que ele ão teha maior e em meor precisão do que a especificada pelas medições que origiaram o cálculo. Para que esse icoveiete ão ocorra, existem algumas regras que devem ser obedecidas de acordo com a operação em questão. São elas: Regra para a adição e subtração: o úmero de dígitos à direita da vírgula o resultado calculado deve ser o mesmo do úmero com meos dígitos dos úmeros somados ou subtraídos. 9 P á g i a

11 Regra para a multiplicação e divisão: o úmero de algarismos sigificativos o resultado calculado deve ser o mesmo que o meor úmero de algarismos sigificativos dos úmeros evolvidos a operação. Regra para operações com logaritmo: o úmero de dígitos após a vírgula decimal o logaritmo de um úmero é igual ao úmero de algarismos sigificativos do próprio úmero (úmero em que a operação logarítmica está sedo utilizado) Após a realização de uma operação matemática é ecessário se realizar o arredodameto do valor calculado. De forma geral, a redução do úmero de dígitos obedece as seguites regras: a. Se o dígito a ser elimiado é maior que 5, o dígito precedete é aumetado de uma uidade (Ex. 5,56 é arredodado para 5,6). b. Se o dígito a ser elimiado é meor que 5, o dígito precedete é matido (Ex. 3,34 é arredodado para 3,3). c. Se o úmero fial for 5, ormalmete se deixa par o último dígito do algarismo arredodado. Neste caso, 5,65 é arredodado para 5,6 e 5,75 é arredodado para 5,8. Etretato, essa abordagem é arbitrária. 3. ERROS E INCERTEZAS Medições de gradezas físicas ão são valores absolutos ou verdadeiros uma vez que possuem erros 1 associados à metodologia empregada, ou seja, ao método 2 e ao procedimeto de medição 3. Erros as medições ocorrem por vários motivos. Um exemplo prático seria a realização, por 40 pessoas, de medições de massa de um objeto utilizado uma balaça aalítica. Provavelmete, detre as pesages, algumas ão seriam idêticas às outras e ão seria possível afirmar que uma medição esteja icorreta somete baseado-se o fato de que uma medida ão é idêtica à outra. Na verdade, se for cosiderado que a metodologia empregada seja certa e que a balaça esteja corretamete calibrada, todos os resultados estão corretos, apeas variam em toro do valor real (ou o mais próximo possível) da massa do objeto. Desta forma, o resultado é apeas uma estimativa e para que esteja completo precisa da icerteza associada a ele. A defiição de erro, etretato, tem pouco sigificado prático. Sabedo-se que o erro é a subtração do valor medido do valor verdadeiro e é praticamete impossível calculá-lo, já que temos que cohecer previamete o valor verdadeiro do objeto de estudo. Etretato, o coceito de erro é fudametal para compreeder os motivos que os valores experimetais desviam dos valores verdadeiros. 1 Importate otar que erro e icerteza ão são siôimos. Erro seria a difereça etre o valor medido (a) e o valor verdadeiro b (valor real da gradeza medida), Erro = a - b. Por outro lado, icerteza é a melhor estimativa do erro. Na prática, trabalha-se com icertezas. 2 Segudo o VIM, método é a descrição geérica duma orgaização lógica de operações utilizadas a realização duma medição. Os métodos podem ser qualificados de vários modos como, por exemplo, método de defiição de zero. 3 De acordo com o VIM, é a descrição detalhada duma medição de acordo com um ou mais pricípios de medição e com um dado método de medição, baseada um modelo de medição e icluido todo cálculo destiado à obteção dum resultado de medição. 10 P á g i a

12 Tradicioalmete, o erro é costituído de três compoetes: erros aleatórios, erros sistemáticos e erros grosseiros. Erros aleatórios são ocasioados por efeitos que se origiam em variações temporais ou espaciais, imprevisíveis. Erro aleatório ocorre quado várias repetições são realizadas obtedo resultados que variam de forma imprevisível. Erros sistemáticos, por outro lado, são erros que variam de forma previsível ao logo de várias repetições como, por exemplo, oriudas da calibração icorreta do istrumeto de medida. Erros grosseiros são erros ormalmete associados à má execução do experimeto e/ou medida ou até mesmo ao tratameto de dados errôeo. Já a Icerteza é defiida como sedo a dispersão dos valores referetes à medida de uma gradeza, pois ela reflete a falta de cohecimeto exato do valor sedo medido. Cohecer as icertezas as medições é muito importate uma vez que é uma idicação qualitativa dos resultados. Somete forecedo as medidas jutamete com as icertezas, é possível comparar os resultados. Isto é, é por meio da icerteza que é possível quatificar a cofiabilidade dos resultados: quato maior a icerteza, meor a cofiabilidade. Porém icerteza ão deve ser cofudida com erro. O cálculo do erro só é possível se for cohecido o valor verdadeiro do objeto em estudo. Por outro lado, o cálculo da icerteza ão possui essa restrição e, por isso, tem maior sigificado prático e maior aplicabilidade que o erro. As icertezas, por serem calculadas por duas formas distitas e são classificadas em tipos: icertezas do Tipo A e do Tipo B. Icertezas do Tipo A são obtidos por métodos estatísticos. Para isso, as medidas devem ser realizadas repetidamete ou em uma série de observações da mesma gradeza física. Desta forma, quado calculamos a média e o desvio padrão de um cojuto de dados experimetais, estamos avaliado as icertezas do tipo A. A abordagem estatística básica da icerteza do tipo A será discutida a próxima seção. As icertezas do Tipo B são avaliadas por meios que ão sejam os adotados o Tipo A, ou seja, que ão são realizadas por meio estatístico como, por exemplo, a icerteza de uma medida obtida por um certificado de calibração do istrumeto utilizado. Elas são imprescidíveis quado é muito difícil ou desecessário realizar uma série de observações. Um exemplo de icertezas do Tipo B que utilizaremos em ossos experimetos é a icerteza istrumetal geralmete obtida pela metade da meor divisão da escala do istrumeto de medida. Aprederemos mais sobre este tipo de icerteza e como idetificá-lo quado apredermos a utilizar diferetes istrumetos de medidas, tais como a régua, o paquímetro e o micrômetro. Um problema importate que ormalmete ecotramos é como propagar corretamete a icerteza das medidas. Por exemplo, queremos determiar a área de um terreo retagular e para isso dispomos de um istrumeto de medição que possui icerteza associada ao resultado. Como a área de um terreo retagular é obtida pela multiplicação de seus lados, como poderemos estimar corretamete o erro associado à área, já que cada lado tem o seu erro associado? Será que deveríamos multiplicar os erros esse caso? Neste capítulo discutiremos como as icertezas do Tipo A são calculadas e a forma coveiete de propagá-las os cálculos. 11 P á g i a

13 3.1 Dispersão de cojuto de dados experimetais Vimos a seção 2 que registrar um valor com precisão e exatidão são fudametais para aálise de resultados. No caso de empresas e idústrias, checar seus istrumetos e realizar calibrações periódicas pode colaborar para dimiuição de prejuízos e gastos. Neste curso, as icertezas do Tipo A serão as utilizadas. Como foi visto, são as icertezas que estão relacioadas com parâmetros estatísticos de um cojuto de dados. Mais especificamete, com a média, variâcia, desvio médio e desvio padrão. Esses parâmetros são cohecidos como medidas de posição (a média) e dispersão (variâcia e desvio padrão). Na maioria dos casos, a melhor estimativa para o valor esperado de uma gradeza (ou esperaça, como também é cohecida) que varia aleatoriamete 4 detre várias observações idepedetes e realizadas as mesmas codições experimetais é a média aritmética. Matematicamete, a partir de um cojuto de dados (x 1, x 2..., x ) sedo x a eésima observação da gradeza x, a média é defihada como (Eq.3.1): Defiição de média x = 1 x i (3.1) Porém, resumir um cojuto de dados por meio de apeas um valor escode toda a iformação sobre a variabilidade dos valores, ão permitido cohecer a qualidade dos resultados experimetais. São ecessárias mais iformações para melhores resultados. Supoha, por exemplo, que um pesquisador, iteressado em cohecer a tesão de ruptura de um material desevolvido em seu cetro de pesquisa, resolveu eviar cico amostras do mesmo material para três laboratórios distitos (A, B e C) para a realização das medidas utilizado o mesmo procedimeto. Os resultados são mostrados abaixo (Tab. 3.1): Tab. 3.1: Esaios de tesão de ruptura (σ) de cico amostras do mesmo material realizadas em três laboratórios. As uidades estão em MPa. Laboratório Média A B C Pode-se observar que os resultados possuem a mesma média, mas ada iformam sobre a variabilidade dos dados. Por exemplo, equato o laboratório C apreseta os valores com a meor dispersão (ão variaram mais do que cico uidades em relação à média), os laboratórios A e B variaram acima de 150 uidades. Desta forma, é ecessário utilizar uma medida que sumarize a variabilidade de uma série de valores e que os permita aalisar e comparar resultados segudo algum critério. Uma forma coveiete de realizar essa aálise é verificar a dispersão dos valores em toro da média. Neste caso, pode-se abordar o problema de duas formas: (a) cosiderar o total dos desvios em valor absoluto ou (b) cosiderar o total dos quadrados dos desvios. Desta forma, teríamos para o laboratório C (Tab.3.2): 4 Gradeza que varia aleatoriamete detre de um cojuto de dados e que obedece uma distribuição de probabilidades 12 P á g i a

14 Tab.3.2: Abordages para o cálculo de dispersão dos valores de tesão ecotrados para o laboratório C Abordagem Fórmula Resultado (a) 5 x i x = 10 (b) (x i x ) = 50 Etretato, como em sempre dois cojutos de dados são represetados pelo mesmo úmero de observações, a comparação etre os dois cojutos pode ser prejudicada. Uma forma de cotorar esse problema é exprimir os resultados obtidos para as abordages (a) e (b) como médias. Desta forma, defiem-se desvio médio (Eq. 3.2), e variâcia (Eq. 3.3) da seguite forma: Defiição de desvio médio DM = 1 x i x (3.2) Defiição de variâcia σ 2 = 1 (x i x ) 2 (3.3) Sedo a variâcia uma medida que expressa um desvio quadrático médio, costuma-se utilizar o desvio padrão (σ), que é a raiz quadrada da variâcia (Eq. 3.4): Defiição de desvio padrão σ = 1 (x i x ) 2 (3.4) Quado se trata de amostras extraídas de uma pequea população de um cojuto de dados ou quado o cojuto de dados possui pequea quatidade de observações, os cálculos da variâcia e do desvio padrão sofrem uma pequea alteração, chamada de correção amostral. Neste caso, passa-se a desigar variâcia amostral (s 2 ) e desvio padrão amostral (s) (Eqs. 3.5 e 3.6): Defiição de variâcia amostral s 2 = 1 1 (x i x ) 2 (3.5) Defiição de desvio padrão amostral s = 1 1 (x i x ) 2 (3.6) Na prática, a correção amostral tem efeito para cojutos de até aproximadamete 30 observações. Acima desse valor, a correção ão modificará o resultado fial. Durate o curso trabalharemos com as defiições amostrais. Voltado ao exemplo da Tab. 3.1, os valores do desvio padrão amostral para cada cojuto de dados realizados em cada laboratório, utilizado a Eq. 3.6, seriam 158, 183 e 4, respectivamete. De fato, o laboratório C apresetou os resultados com meor dispersão. 13 P á g i a

15 Sabemos agora determiar a partir de observações o desvio padrão de uma medida, isto é, sabemos estimar a partir da aálise de observações o erro que teríamos, com uma dada probabilidade, caso houvéssemos realizado uma úica determiação. Etretato, se realizarmos determiações, um valor mais preciso da média e, cosequetemete, uma dispersão mais precisa do cojuto de dados seriam alcaçados. Com esse propósito, pode-se realizar vários cojutos de determiações, e etão calcular os valores das respectivas médias e em seguida a média das médias e o desvio padrão da média das médias seria mais preciso. Em outras palavras, quato maior o úmero de observações, meor será o desvio padrão da média, ou seja, maior a precisão do resultado. Esta forma de calculo do desvio padrão da média pode ser visto com uma forma de se ter um valor ormalizado do desvio padrão amostral pelo úmero de determiações. Defiição de desvio padrão da média d m = s = 1 ( 1) (x i x )2 (3.7) Outro poto importate do poto de vista prático é recohecer que o equipameto de medição também possui erros ieretes à sua limitação a capacidade de medir. Se o desvio calculado para um cojuto de dados for meor que a icerteza do equipameto (geralmete obtida pela metade da meor divisão da escala) a icerteza do equipameto será a pricipal fote de icerteza as medidas. Etretato, se o desvio calculado for maior que a icerteza do equipameto, a dispersão do cojuto de dados é que será a pricipal fote de icerteza. Assim uma forma coveiete de trabalhar com ambas as icertezas é utilizado o chamado desvio total (Δx total ): Defiição total Δx total = d 2 2 m + d ist (3.8) sedo d m é o desvio padrão da média (d = s ) e d ist o desvio do istrumeto (que pode ser obtido o maual do istrumeto. Etretato, quado a iformação ão estiver dispoível, pode-se adotar como sedo metade da meor divisão do istrumeto. Neste caso, o desvio total é um valor que cotém a cotribuição dos desvios do istrumeto e da dispersão do cojuto de dados. 3.2 Propagação de icertezas Como visto a seção 1, existem as gradezas de base e as gradezas derivadas. Discutiu-se que os resultados experimetais são valores aproximados do valor real e que as medidas de posição e dispersão, para os casos das icertezas do Tipo A são fudametais para represetar o cojuto de dados. A grade questão é saber como represetar corretamete um valor de uma gradeza derivada quado ela é costituída de operações matemáticas que evolvem valores icertos. Um exemplo que ilustra o problema é calcular o deslocameto de um carro uma estrada que viaja a certa velocidade costate (e icerta) a partir de um tempo que se cohece com imprecisão (Fig. 3.1). 14 P á g i a

16 Figura 3.1. Problema de se cohecer o deslocameto do carro ( x). O cálculo do deslocameto é dado pela relação x = vt = (20, 1 ± 0, 9)x(7, 1 ± 0, 6)m. Observe que a velocidade e o tempo possuem icertezas. Como calcular x este caso? O mesmo problema se estederia para outras gradezas, como aceleração, força, desidade, área, volume, etc., que são origiadas por operações matemáticas etre valores e que, geralmete, possuem icertezas. Uma forma de solucioar esse problema é propagar a icerteza até o valor fial. Isto sigifica que cada valor da icerteza das gradezas evolvidas a operação matemática é levado em cosideração, e que a icerteza do úmero fial possui as compoetes relativas de cada icerteza dos úmeros calculadas. No caso da Fig. 3.1, a icerteza do deslocameto terá compoetes das icertezas da velocidade e do tempo. A abordagem matemática utilizada a propagação de icertezas foge do propósito da apostila e ão deduziremos as equações evolvidas. Etretato, as deduções evolvem o desevolvimeto de derivadas parciais. Para isso, se cosidera uma gradeza Y como fução de outras gradezas a, b, c,, k que possuem desvios padrões a, b, c,, k (Eq.3.9): Y = f(a, b, c,, k) Eq. 3.9 O desvio padrão da gradeza Y (s Y ) é dada pela relação (Eq.3.10): Y = ± [( Y 2 a ) a 2 + ( Y 2 b ) b 2 + ( Y 2 c ) c ( Y k ) k 2 ] Eq Sedo ( Y ) a derivada parcial da gradeza Y em fução da gradeza a. a A Tab. 3.3 resume as fórmulas para o cálculo das propagações das icertezas para as quatro operações fudametais. Cosidere a fução Y(a, b), sedo a e b gradezas com as médias a e b e com os respectivos desvios a e b (a = a ± a; b = b ± b). Tab.3.3 Fórmulas para o cálculo das icertezas para as quatro operações fudametais. Operação Cálculo de s Y Adição (Y = a + b Y = a + b ± Y) Y = ± a 2 + b 2 Subtração (Y = a b Y = a b ± Y) Y = ± a 2 + b 2 Produto (Y = a. b Y = a. b ± Y)) Y = ± b 2. a 2 + a 2. b 2 Quociete (Y = a Y = ± Y Y b a b = ± a2 b 2 + a2 b 4 b2 15 P á g i a

17 No exemplo dado pela Fig. 3.1, tem-se que x = vt = (20, 1 ± 0, 9)x(7, 1 ± 0, 6). A resposta do deslocameto seria x = vt ± Y x. Seguido com o cálculo de v. t = 20,1x7,1 = 142,7. E para a propagação da icerteza para o produto: Y x = ± t 2 s v 2 + v 2 s t 2 = 7,1 2 0, ,1 2 0,6 2 = 13,64 Portato, x = (1,4 ± 0,1)x10 2 m Covém se atetar o uso de algarismos sigificativos. De forma geral, a icerteza é represetada com apeas um algarismo sigificativo e o valor medido (ou calculado) represetado de acordo com o umero de casas decimais da icerteza obtida. 3.3 Erro Percetual Relativo (E%) O erro percetual relativo (E%) é aquele em que se compara relativamete um valor medido ou obtido experimetalmete (Y exp) em relação a um valor de referêcia (Y teo). Este valor de referêcia é ormalmete relacioado a valores teóricos e/ou costates cohecidas. O erro percetual relativo idica o quão diferete é o valor experimetal do valor teórico e é dado por: E% = ( Y exp Y teo Y teo ) 4. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA E REGRESSÃO LINEAR Um cojuto de dados pode ser represetado em tabelas e gráficos. Etretato, em determiadas ocasiões, a abordagem gráfica, além de forecer rapidamete o comportameto do sistema de forma visual, permite obter maiores iformações do objeto em estudo. Veja, por exemplo, os dados abaixo: Tabela 4.1: Despesas de uma empresa. Despesa Valor em R$ Comissões dos vededores Compra de matéria-prima Eergia/Água e telefoe Gastos com vededores (combustível/hospedagem) Impostos Mauteção de computadores Salários As iformações represetadas desta forma apeas descrevem os valores de cada despesa. Etretato, dificultam a aálise admiistrativa uma vez que será ecessário realizar cálculos posteriores com o objetivo de determiar, por exemplo, o porcetual que represeta cada despesa. Uma forma simples de represetar esses dados seria por meio de gráfico (Fig. 4.1). 16 P á g i a

18 Despesas 1% 9% 8% Comissões dos vededores Compra de matéria-prima 11% Eergia/Água e telefoe 2% 12% 57% Gastos com vededores (combustível/hospedagem) Impostos Mauteção de computadores Salários Fig. 4.1: Represetação gráfica dos dados da Tab.4.1. Neste caso, os dados estão represetados em um gráfico de pizza. Como pode ser observado pelo gráfico da Fig. 4.1, a aálise gráfica, este caso, permite obter rapidamete melhores iformações a respeito do sistema em estudo (despesas de uma empresa) quado comparado à aálise da tabela. A aálise gráfica também permite obter iformações que estão implícitas o cojuto de dados. Como exemplo ilustrativo, imagie uma empresa alimetícia faz o tratameto dos efluetes gerados de seu processo. A cada três horas, coletam-se os dados de volume de efluete que está sedo gerado em seu processo. Os dados estão represetados a Tab.4.2. Tab. 4.2: Valores de volume de efluete (m 3 ) em fução da hora. A hora em 0 correspode ao iício das medições. Hora Volume de efluete (m 3 ) Uma forma coveiete de represetar esses dados é por meio do gráfico de dispersão, que represeta como os dados estão dispersos o plao cartesiao. Etretato, temos que levar em cosideração algus potos importates para ates de costruir o gráfico. Primeiramete, temos que cohecer qual é a variável depedete e a variável idepedete. Variável idepedete, como o próprio ome diz, ão depede de ehuma variável. Neste caso, o tempo em que foram coletados os valores de volume de efluete ão depede de ehuma outra variável e, portato, é idepedete. Por outro lado, o volume de efluete foi coletado em fução do tempo e, desta forma, ela depede de outra gradeza, que seria o tempo. Etão, levado em cosideração que a variável idepedete é represetada o eixo das abcissas (eixo x) e a variável depedete o eixo das ordeadas (eixo y), é possível costruir o gráfico mostrado a Fig.4.2a. 17 P á g i a

19 Fig.4.2: (a) À esquerda: Gráfico de dispersão dos valores de volume de efluete coletados por hora. Os círculos em azul represetam os dados coletados de volume em fução da hora. (b) À direita: Gráfico de dispersão cotedo uma possível reta de regressão. Por meio da aálise do gráfico da Fig.4.2a, é possível observar que o volume de efluete cresce liearmete em fução do tempo. De fato, pode-se traçar uma reta (detre várias outras) que seria uma fução do tipo f(x) = ax + b; (a = coeficiete agular; b = coeficiete liear), ligado todos os potos do gráfico (Fig.4b). Uma aálise mais criteriosa e profuda do cojuto de dados possibilita extrair uma iformação importate sobre uma característica do sistema: a vazão de efluete. A vazão (V) é defiida como V(m 3 /t) = volume (m 3 ) tempo (h). Pelo método gráfico, ela pode ser obtida facilmete por meio do coeficiete agular da reta. Ou seja, o cojuto de dados pode ser descrito por uma fução liear, sedo possível agora estimar a quatidade de efluete coletado para qualquer tempo cosiderado um valor de vazão de efluete costate. Neste poto, chega-se a um importate problema: qual seria a melhor reta que descreve o comportameto liear de um cojuto de dados? Em outras palavras, quais seriam os melhores valores dos coeficietes agular (a) e liear (b) que melhor represetariam o cojuto de dados da forma f(x) = ax + b, que forecessem dados seguros a respeito daquilo que estamos deduzido? Uma abordagem gráfica e matemática para resolver este problema serão apresetadas as próximas seções. 4.1 Método Gráfico: Utilizado papel milimetrado. Um dos papéis mais utilizados para a costrução de gráficos é o de escala milimetrada. Ele possui as escalas pricipais a cada 10 mm e escalas secudárias a cada 1 mm. As escalas pricipais são ecotradas de acordo com o cojuto dos dados e depede das dimesões do papel, que forecerá em que orietação devemos trabalhar com o papel (retrato ou paisagem). Covém lembrar que em um gráfico o plao cartesiao, a variável idepedete (eixo das abcissas) está sempre orietada a horizotal e a variável depedete (eixo das ordeadas) o eixo vertical. Por exemplo, cosidere o cojuto de dados abaixo (Tab. 4.3), o qual a gradeza y foi obtida em fução de variável idepedete x: Tab. 4.3: Dados de y em fução de x. y x P á g i a

20 mm. Imagie que a divisão das escalas o papel compreede a dimesão de 180 mm x 280 Primeiramete, devemos verificar qual a amplitude de valores das escalas. Como é comum costruir os gráficos a partir da origem (0,0) 5, realizamos os cálculos para y e para x: 6 Amplitude o eixo y = = 300. Amplitude o eixo x = 15 0 = 15. O processo de escolha da orietação do papel é bem ituitivo: Se a amplitude a escala x é maior, devemos trabalhar com o papel a orietação paisagem; se a amplitude a escala y é maior, devemos trabalhar com o papel a orietação retrato. No exemplo acima, teríamos que utilizar o papel a orietação retrato. Após ecotrarmos a orietação, devemos calcular os valores para as escalas pricipais utilizado uma regra de três etre as dimesões e as escalas. Utilizaremos aqui um exemplo com um papel de 280 mm x 180 mm para facilitar o etedimeto, o etato, este raciocíio é valido para papéis milimetrados de quaisquer dimesões: 280 mm equivalem a 300 (uidades de gradeza) 10 mm equivalem a 10,71 (uidades de gradeza) Arredodado esse valor, ecotra-se que a escala pricipal será de 11 (uidades de gradeza) para o eixo x. É importate otar que o arredodameto deve ser sempre para maior valor, fato que serve apeas para que todos os dados experimetais caibam o eixo. Para ecotrar o itervalor a escala secudária, realiza-se procedimeto similar: 10 mm equivalem a 11 (uidades de gradeza) 1 mm equivale a 1,1 (uidade de gradeza) Não é ecessário que marque o eixo do gráfico os itervalos a escala secudária, apeas os da escala pricipal. Para ecotrar a variação o eixo y, utiliza-se o mesmo procedimeto descrito ateriormete. 180 mm equivalem a 15 (uidades de gradeza) 10 mm equivalem a 0,83 (uidades de gradeza) = 1 (arredodado). 5 Geralmete costrói-se o gráfico a partir da origem. Etretato, covém ressaltar que, ao realizar este procedimeto, ão sigifica que exista a coordeada (0,0) o cojuto de dados experimetais e ão se deve colocar um poto a coordeada a meos que ela teha sido resultado de dados experimetais. 6 Não é obrigatório que o gráfico seja costruído a partir da origem. 19 P á g i a

21 Para a escala secudária: 10 mm equivalem a 1 (uidades de gradeza) 1 mm equivale a 0,1 (uidade de gradeza) Uma vez obtidas as escalas, costrói-se o gráfico marcado cada coordeada o gráfico de acordo com os dados forecidos. Nem sempre o cojuto de dados obtidos apreseta úmeros iteiros. Quado isso ão acotece, para facilitar os cálculos, pode multiplicar o eixo por 10, 100 ou mil (até mais se ecessário). Neste caso, deve ser mecioada o eixo em questão a adequação adotada (se multiplicou por 10, colocar o eixo x 10, etc.). Quado a fução é liear ou liearizada, escrita da forma y = ax + b, é possível obter o coeficiete agular (a) e liear (b) de uma reta que se ajuste o cojuto de dados. Para isso, escolha duas coordeadas da reta como, por exemplo, a primeira coordeada etre o primeiro e o segudo dado experimetal (x 1, y 1 ) e a seguda etre os dois últimos (x 2, y 2 ). a = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 Eq.4.1 O coeficiete liear (b) é obtido por meio da iterseção da curva com o eixo y, ou seja, a coordeada (0; b). Embora essa abordagem seja válida para calcular a e b, ela pode coter erros devido à iexatidão da reta traçada o gráfico, pois a reta traçada pode ão ser a que melhor descreve os dados. O método que possibilita determiar os coeficietes da melhor reta que se ajuste ao cojuto de dados experimetais é o Método dos Míimos Quadrados (MMQ), que será discutido adiate. Para o uso do papel milimetrado pode ocorrer casos os quais o seu cojuto de dados pode ser represetado por fuções do tipo: f(x) = AX 2 sedo A costate. Em casos assim, para liearizar essa fução para a forma liear f(x) = ax + b, chama-se o X 2 de x. Logo, os valores do eixo das abscissas serão x = X 2, e o gráfico poderá ser plotado em um papel milimetrado de forma que se obteha um gráfico que pode ser descrito por uma fução liear do tipo f(x) = ax + b. 4.2 Método Gráfico: Utilizado papel em escala logarítmica. Existem dois tipos de papel em escala logarítmica. O moo-log, em que apeas um dos eixos está em escala logarítmica e o di-log, em que ambas as escalas são logarítmicas. Os papéis moo-log e di-log são ideais para costruir gráficos de fuções logarítmicas ou liearizadas de forma a se torarem logarítmicas. Por exemplo, se a fuçãof(x) = AE x (sedo A e E duas costates) for plotada em papel milimetrado sem sofrer alguma 20 P á g i a

22 trasformação ela ão resultará uma reta. Etretato, utilizado o logarítmico em ambos os lados da fução teríamos: log(f) = loga + xlog(e) Eq.4.2 A fução passa a ser liear plotado o gráfico a forma de log(f) versus x, com coeficiete liear igual a loga e agular igual a log (E). Este é o chamado processo de liearização de uma fução, utilizado papel milimetrado para plotar os dados e extrair os valores das costates A e E. Por outro lado, como esta fução tem uma variável que é logarítmica (variável depedete) e outra em escala liear (variável idepedete), poderia se plotar estes dados diretamete em um papel moo-log. Plotado os dados experimetais o gráfico moo-log (observe que a escala é logarítmica e, portato, ão é ecessário aplicar logaritmo os valores de f(x)) os dados resultariam em um comportameto liear. Cosidere outro exemplo. A fução do tipo f(x) = Ce dx (sedo C e d costates) pode ser liearizada aplicado logaritmo em ambos os lados da fução. Como a fução possui um expoecial em e, é coveiete escrever, estes casos, o logaritmo atural ao ivés do logaritmo em base 10. Neste caso, a liearização ficaria: l f(x) = lc + dl (e)x = lc + dx Eq.4.3 sedo lc o coeficiete liear e d o coeficiete agular. Novamete, o papel moo-log seria o mais adequado. Para calcular o coeficiete agular, basta utilizar a Eq se a escala utilizada for logaritmo em base 10 e Eq se for eperiao. a = y x = logy 2 logy 1 x 2 x 1 a = y x = ly 2 ly 1 x 2 x 1 Eq.4.4 Eq.4.5 O coeficiete liear pode ser ecotrado quado x = 0, ou seja, o poto ode a reta itercepta o eixo y. O uso do papel di-log se faz ecessário em fuções do tipo f(x) = Ax (A e são costates), pois este caso esta fução tem as duas variáveis logarítmicas. Liearizado a fução aplicado log em ambos os lados da fução: log f(x) = loga + log(x) Eq.4.6 em que loga é o coeficiete liear e o coeficiete agular. A fução mostrada a Eq possui comportameto liear se os dados forem plotados a forma logf(x)versus log (x). 21 P á g i a

23 Neste caso, o coeficiete agular (para escala log em base 10 e em base e) é obtido utilizado a relação Eq e Eq. 4.22, respectivamete. a = y x = logy 2 logy 1 logx 2 logx 1 a = y x = ly 2 ly 1 lx 2 lx 1 Eq.4.7 Eq.4.8 O coeficiete liear pode ser obtido escolhedo uma coordeada da reta o plao do gráfico e substituido os valores de f(x) e a equação da reta liearizada, determiado assim o valor do coeficiete liear pela resolução da equação da reta. Isto se deve ao fato de que em papel di-log ão se tem o valor zero em ambos os eixos. No papel dilog (assim como o papel moolog), as escalas pricipais estão separadas em décadas (Fig. 4.3). Isto sigifica que a escala iicia em 10 N (sedo N um úmero iteiro positivo, egativo ou ulo) e termia em 10 N+1. Por exemplo, se iiciar a escala com N=0 (que represeta o úmero 1, uma vez que 10 0 = 1), a próxima será 10 ( = 10 1 = 10). Sedo assim, as escalas detro das décadas devem ser preechidas com úmeros iteiros de 2 a 9, que são os múltiplos de 10 N. Para ecotrar as escalas pricipais o papel, você perceberá que os traços começam a ficar cada vez mais próximos, até que há um salto. O primeiro será o valor 10 N, e o último traço ates do salto será 10 N+1 (Fig. 4.3). Fig. 4.3: Exemplo de papel em escala logarítmica (di-log) e como as décadas podem ser represetadas o papel. 4.3 Regressão liear pelo Método dos Míimos Quadrados (MMQ). Uma forma simples de obter os coeficietes agular e liear da melhor reta de regressão que descreve o comportameto do sistema é pelo Método dos Míimos Quadrados 22 P á g i a

24 (MMQ). Este método baseia-se o fato de que a soma dos desvios ao quadrado, obtidos pela difereça etre o valor experimetal e do modelo, se aproxima de zero. Para melhor eteder como o método se desevolveu, cosidere um cojuto de dados experimetais represetados a forma T = {(x 1, y 1 ); (x 2, y 2 ); ; (x, y )}. É ecessário escrever a fução Y a forma liear f(x) = ax + b. Assim, a soma dos resíduos ao quadrado (SRQ) seria (Eq.4.1): SRQ = (y i f(x i )) 2 Eq.4.9 Desevolvedo a relação, ecotra-se: SRQ = y i 2 2y i f(x i ) + f(x i ) 2 Como f(x i ) = ax i + b, obtém-se: SRQ = y i 2 2y i (ax i + b) + (ax i + b) 2 Eq.4.10 Eq.4.11 Desevolvedo a relação matemática: SRQ = (y i 2 2y i ax i 2y i b + a 2 x i 2 + 2ax i b + b 2 ) Eq.4.12 Como desejamos ecotrar os valores de a e b que miimizam a relação dada pela Eq.4.4., podemos ecotrar a derivada parcial de SRQ em relação a cada coeficiete e igualarmos a zero. Desta forma, tem-se que: SRQ b = SRQ a = 0 Eq.4.13 Desevolvedo para a relação SRQ b : SRQ b = ( 2y i + 2ax i + 2b) SRQ b = 2 ( y i + a x i + b 1) Eq.4.14 Para simplificar a Eq.4.6, podemos utilizar as relações: X = x i Eq P á g i a

25 Y = y i Eq.4.16 Sedo que X e Y represetam a soma dos valores experimetais em x e y, respectivamete. Realizado a substituição das Eq.4.7 e Eq.4.8 a Eq.4.6, obtém-se: SRQ b = 2(aX Y + b) Eq.4.17 Utilizado a Eq.4.5, a relação que calcula o coeficiete b é: SRQ b = 2(aX Y + b) = 0 b = Y ax Eq.4.18 Etretato, para determiar b é ecessário ecotrar o valor de a. O coeficiete agular pode ser ecotrado pela outra derivada parcial da Eq. 4.5: SRQ a SRQ a SRQ a = ( 2y ix i + 2ax i 2 + 2x i b) = 2 ( y 2 ix i + a x i + b x i ) = 2 ( y 2 ix i + a x i + bx) Eq.4.19 Igualado a relação a zero e substituido Eq a Eq.4.11: 2 2 ( y i x i + a x i + bx) = 0 2 ( y i x i + a x i + bx) = 0 2 ( y i x i + a x i + Y ax X) = 0 24 P á g i a

26 2 ( y i x i + a x i + YX ax 2 ) = 0 2 a ( x i X 2 ) y i x i + YX = 0 a = y ix i YX x 2 i X 2 Eq.4.20 Utilizado a mesma abordagem matemática, é possível calcular as costates de outra forma. Ao ivés de realizar a substituição da Eq.4.10 a Eq.4.11, pode-se obter um sistema de duas equações e duas variáveis que pode ser facilmete resolvido. a x i y i + b 1 = 0 a x 2 i y i x i + b x i = 0 { Sist.4.21 Agora, serão calculados os melhores coeficietes da reta de regressão para o problema da vazão de efluetes apresetado acima. Primeiramete, são calculados os seguites somatórios, de acordo com o sistema Sist.4.1: x i = 84 y i x i = y i = 2065 x i = 1260 Substituido os valores o sistema Sist.4.1 e o resolvedo, são ecotrados os coeficietes a = 19,86 e b = 49,58, sedo o coeficiete a a vazão do efluete. Desta forma, a fução liear que melhor descreve o sistema é dada pela relação f(x) = 19,86x + 49,58. É importate otar que a abordagem do MMQ só se aplica adequadamete para sistemas que se comportam liearmete. Para uma fução que ão seja liear, o MMQ ão se aplica. Etretato, é possível liearizar uma fução, a fim de torá-la apta para utilizar a regressão liear e obter os parâmetros desejados. Um exemplo de liearização de fução é o caso da queda livre de um corpo. A fução teórica que descreve a posição de um corpo em queda livre, cosiderado que o corpo partiu do repouso, é: 25 P á g i a

27 s = s 0 a 2 t2 Eq.4.22 pode-se otar que ela é quadrática. Etretato, podemos reescrever a Eq.4.13 de forma a torá-la liear, com a forma de: y = y 0 + cx Eq.4.23 Sedo s = y, s 0 = y 0, a 2 = c e t 2 = x. A fução passa a ser liear a forma y(x). Covertedo os dados experimetais de s para y e t 2 para x, pode-se utilizar a abordagem do MMQ para calcular os coeficietes y 0 e c e, por cosequêcia, s 0 e a. Coeficiete de determiação (r 2 ) O coeficiete de determiação, também chamado de r², é uma medida do ajustameto de um modelo estatístico liear, chamada Regressão liear, em relação aos valores observados para um determiado cojuto de dados. O valor de r² pode variar etre 0 e 1 e idica o quato o modelo cosegue se ajustar aos valores observados. Isto é, quato maior o valor de r², mais explicativo é o modelo e melhor ele se ajusta aos dados observados, em outras palavras, quato mais próximo de 1 mais os dados podem ser descrito por um modelo estatístico liear. A equação que descreve este valor é dada por: r 2 = (y i y ) 2 (y i y ) MMQ com icerteza em y. Quado dados experimetais são coletados em replicata (mais de um experimeto repetido as mesmas codições), sempre existirá uma icerteza 7 a variável depedete, ou seja, em y. Neste caso, existem duas possibilidades: a icerteza em y é igual para todo o cojuto de dados, ou seja, para cada valor de x existirá sempre a mesma icerteza (como o caso de se medir o espaço em fução do tempo apeas uma vez, em que a icerteza o espaço, para cada valor de tempo, será a icerteza do istrumeto); ou ela é diferete para cada valor de x. Para ambos os casos, as icertezas em y se propagam para os coeficietes agular e liear. Quado o erro em y é costate, ou seja: x1, y1 ± y x2, y2 ± y x3, y3 ± y...,... x, y ± y Os coeficietes da relação liear da equação y = ax + b devem ser obtidos utilizado as relações: Sist A icerteza, este caso, é o desvio total, que é a combiação do desvio estatístico e istrumetal. 26 P á g i a

28 N N N a = 1 β (N x iy i x i y i ) N N N N b = 1 β ( x i 2 y i x i x i y i ) N N 2 2 β = N x i ( x i ) Desta forma, os desvios os coeficietes agular ( a) e liear ( b) são obtidos utilizado as seguites equações: ( a) 2 = N β ( y)2 Eq.4.15 ( b) 2 = ( y)2 N β x i 2 Eq.4.16 Por outro lado, quado os desvios em y são diferetes para cada medida: x1, y1 ± Y1 x2, y2 ± Y2 x3, y3 ± Y3...,... x, y ± Y Os coeficietes da regressão liear de y = ax + b devem ser obtidos utilizado as relações: N a = 1 β ( 1 N N x iy i 2 y i 2 2 y i y i x i N y i 2 y i ) N b = 1 β ( x i 2 y i 2 N y i 2 y i N x i N 2 y x iy i 2 i y ) i Sist.4.3 N β = 1 N x i y i y i N x i 2 y i ( ) 2 E os desvios os coeficietes agular ( a) e liear ( b) são obtidos utilizado as seguites equações: 27 P á g i a

29 N ( a) 2 = 1 β 1 2 y i Eq.4.17 N ( b) 2 = 1 β x i 2 2 y i Eq P á g i a

30 5. ROTEIROS PARA AS AULAS EXPERIMENTAIS 5.1 Elaboração dos relatórios Durate o curso de Física Experimetal I, o fial de cada atividade prática, é solicitado a cada grupo elaborar um relatório das atividades desevolvidas, que deverá ser etregue detro do prazo estipulado pelo professor. O relatório cosiste em sitetizar e agrupar os dados obtidos, cotextualizado e discutido os resultados detro dos objetivos da prática. Cada seção do relatório é importate, pois traz em si elemetos que se ligam, trazedo setido e fluidez o texto completo, além de oferecer uma apresetação atraete do cojuto dos dados e do trabalho desevolvido. Desta forma, observar o objetivo de cada parte do relatório é importate para elaborá-lo com qualidade. A seguir, é apresetado um resumo dos compoetes que serão exigidos o relatório, bem como a fialidade de cada item e a sua potuação. Ates de cotiuar, etretato, covém ressaltar que, em cada disciplia de atureza experimetal da grade do curso de graduação, cada docete poderá exigir um formato de relatório difereciado. Este apresetado será o formato solicitado a disciplia de Física Experimetal I. Tab. 5.1: Elemetos exigidos o relatório 29 P á g i a Pré-texto Parte extera Capa Parte Itera Resumo em português Sumário Itrodução Objetivos Deve coter o ome dos itegrates do grupo que participaram da prática, o curso e o ome do experimeto. Descrição dos objetivos do trabalho, os resultados e a coclusão. Deve ser apresetado como um parágrafo úico. Lista cotedo cada parte do relatório com a referida págia iicial que se iicia a seção. Coter o referecial teórico da prática desevolvida. Deve possuir corpo de referêcias que corrobore as iformações forecidas. Descrever os objetivos da prática. Descrição dos materiais, métodos e equipametos utilizados, que possibilite a Metodologia compreesão e iterpretação dos resultados, a Texto reprodução do estudo e utilização do método por outros pesquisadores. Não é cópia do roteiro da prática. Apresetação pormeorizada dos resultados Resultados e discussão obtidos, descrevedo-se comparações, comprovações e aplicações teóricas ou práticas. Parte fial do texto, que deve coter a aálise Coclusão fial do trabalho baseada os resultados apresetados e alihada com o objetivo do trabalho. Pós-texto Referêcias Seguir orma ABNT NBR 6023 Iformação e Documetação Referêcias Elaboração Capa, formatação e apresetação do texto: 2 pts. Formatação: forma de apresetação das tabelas, gráficos, legedas, figuras, espaçameto, margem, posição do texto e fote (seguir as ormas que estão o site Apresetação: impresso e grampeado (grampear a lateral esquerda com três grampos, de forma que permita o relatório ser aberto horizotalmete). Para maiores iformações com relação ao formato das referêcias, acesse: em serviços olie ormalização.

31 PRÁTICA 1 TEORIA DE ERROS Exercício 1. Além das uidades SI, é muito comum ecotrar em mauais e livros didáticos as uidades CGS (cetímetro-grama-segudo). Faça uma pesquisa e ecotre as uidades CGS e os fatores de coversão etre as uidades CGS e SI de pelo meos cico uidades. Cite a(s) referêcia(s) utilizada(s). Exercício 2. a) Faça uma pesquisa e ecotre gradezas, detro da área de seu curso que possuem úmeros exatos e úmeros aproximados. b) Discuta a defiição de exatidão com relação à problemática: É possível realizar um exame com margem de certeza de 100%? c) Discuta o que seria a calibração de um equipameto. Dica (Visite o site da INMETRO). Exercício 3. Determie a quatidade de algarismos sigificativos dos úmeros abaixo Número Quatidade de algarismos sigificativos Observação 78,1 - -1, x Carga do elétro, em Coulomb 9, x Massa do elétro, em g , Altura do Everest, em metros Distâcia etre a Terra e a Lua, em km 1, , Exercício 4. Operações com algarismos sigificativos. Faça as seguites operações levado em cosideração as regras de arredodameto. a) 45,56 + 1,2 = b) 23,1-1,23 = c) 2-1,09 = d) 3,2 x 3,0 = e) 1,2 x 4,5678 = f) 32,1 / 1,7 = g) log (7,32 x ) = h) log (2,1 x 10 3 ) = i) 3,6 + 7,4455 = j) 79,2-12,1 = k) 45,2 / 3,1 = l) 23,32-12,1 = m) 56,7 x 45,321 = ) log (23,1) = m) log (45,67 x 10 5 ) = 30 P á g i a

32 Exercício 5. Propagação da icerteza. Calcule os seguites valores: a) Massa específica de um objeto de massa (3,4 ± 0,5) g e volume (1,2 ± 0,2) ml. b) Área de um quadrilátero, de lado l = 9,3 ± 0,6 m. c) A velocidade média de um carro que percorreu 34,1 ± 0,2 m em 2,2 ± 0,1 s. d) Imagie que três medições de comprimeto (cm) utilizado uma régua (meor divisão de 0,1 cm) foram 3,10; 3,09 e 3,11. Calcule a média e o desvio padrão da média. Como seria a forma correta de apresetar o resultado, utilizado o desvio padrão ou o erro do istrumeto? Exercício 6. Calcule os desvios de fuções a partir da defiição de desvio a) Desvio do volume de um paralelepípedo. b) Desvio do volume de um cilidro. (*Utilize a formula utilizado o diâmetro) c) Desvio do volume de um cubo. 31 P á g i a

33 PRÁTICA 2 CONSTRUÇÃO DE GRÁFICOS E DETERMINAÇÃO DOS COEFICIENTES ANGULAR E LINEAR PELO MÉTODO GRÁFICO Objetivos: a. Realizar a liearização das fuções. b. Costruir gráficos em papel milimetrado e em papel moo-log e di-log. c. Estimar os coeficietes agular e liear de retas de regressão pelo método gráfico. Materiais: régua e papel milimetrado. Atividades. 1) Seja o cojuto de dados que se refere à posição de um objeto, que parte do repouso e adquire aceleração ao logo do tempo (MRUV), os úmeros a tabela abaixo: Tab.1. Posição de um objeto em fução do tempo. S (m) t (s) a) Costrua o gráfico de S(t) por t em papel milimetrado. Discuta o formato da curva obtida. b) Liearize a fução e estime a posição iicial e a aceleração do objeto pelo método gráfico. 2) Um experimeto é realizado para determiar a costate elástica de uma mola (k). Para isso, a mola foi fixada em um suporte e, para cada cico objetos de massas diferetes, a deformação do objeto foi avaliada. Cosidere g = 10 m s 2. A Tab.2 mostra os resultados do experimeto: Tab.2. Deformação da mola em fução da massa do objeto. Massa (kg) 0,012 0,020 0,028 0,036 0,044 x (m) 0,03 0,05 0,07 0,09 0,11 a) Costrua um gráfico a forma massa (kg) versus deformação (m) da mola o papel milimetrado. É possível determiar a costate k (F = kx) por meio desse gráfico? b) Determie a costate k da mola pelo método gráfico e avalie a uidade de k. 3) Os dados abaixo tabelados estão relacioados com a equação do tipo y(x) = Ax Tab.1. Dados relacioados com a fução y(x) = Ax y 3,5 5,3 8,2 15,0 26,0 x 2,0 4,9 10,0 28,5 88,8 32 P á g i a

34 a) Costrua o gráfico de y (x) em papel milimetrado. Discuta o formato da curva obtida. b) Liearize a fução e costrua o gráfico o papel que achar mais coveiete. c) Determie os coeficietes agular e liear da reta pelo método gráfico. d) Ecotre os valores de A e. 4) Os dados abaixo tabelados estão relacioados com a equação do tipo y(x) = Ae hx. Tab.2. Dados relacioados com a fução y(x) = Ae hx y (mc) 2410,00 826,00 419,00 348,00 104,00 X (s) 2,50 4,50 5,50 6,70 8,00 a) Costrua o gráfico de y (x) em papel milimetrado. Discuta o formato da curva obtida. b) Liearize a fução e costrua o gráfico o papel que achar mais coveiete. c) Determie os coeficietes agular e liear da reta pelo método gráfico. d) Ecotre os valores de A e h. 5) Em um experimeto, foram coletados dados relacioados à pressão do vapor de um líquido em fução da temperatura. Tab. 4. Dados da pressão do vapor de água (mmhg) em fução da temperatura (K). P (mmhg) 2,50 5,50 14,50 50,50 150,00 355,00 T (K) Sabedo-se que P(T) = P 0 e λ RT e R = 8,314 J mol 1 K 1, liearize a fução e costrua o gráfico em papel mais adequado. Determie os valores de P 0 e λ, respeitado as suas uidades, pelo método gráfico. 33 P á g i a

35 PRÁTICA 3: MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS (MMQ) Atividades: 1) A tabela abaixo mostra a posição de um objeto em fução do tempo. Neste caso, o objeto se desloca sem aceleração (movimeto retilíeo uiforme). Etão, sabemos que a posição é descrita por y = y o + vt, que é a equação de uma reta. a. Utilizado o papel milimetrado, ecotre os valores de y o e v traçado uma reta pelo método visual. b. Ecotre os valores de y o e v utilizado o método dos míimos quadrados (MMQ) e escreva a fução que descreve os dados experimetais. Tabela 1. Dados da posição em fução do tempo do corpo em movimeto. eixo-x: tempo(s) eixo-y: posição (m) 1,00 2,00 2,00 5,00 3,00 8,00 4,00 13,0 5,00 16,0 6,00 18,0 2) Numa experiêcia para determiar a itesidade lumiosa que icide em uma fotocélula em fução da distâcia até a fote de luz foram obtidos os potos mostrados a Tabela abaixo. Sabe-se que a correte elétrica a fotocélula é proporcioal à itesidade lumiosa icidete. Para determiar a relação fucioal etre a correte elétrica I e a distâcia da fote x pode-se propor uma relação do tipo I(x) = I o x. Tabela 2. Correte elétrica em fução da distâcia. Distâcia x (cm) Correte elétrica (ma) 1,00 50,00 2,00 11,50 5,00 2,00 11,50 0,40 22,40 0,1 a. Liearize a fução I(x) = I o x b. Elabore o gráfico o papel apropriado. Verifique a forma mais adequada de plotar todos os potos coletados o experimeto. c. Ecotre, por meio do MMQ, os parâmetros I o e e escreva a fução que descreve o comportameto experimetal. 34 P á g i a

36 3) Os dados abaixo tabelados estão relacioados com a equação do tipo y(x) = ax Tabela 3. Dados relacioados com a fução y(x) = ax y 3,5 5,3 8,2 15,0 26,0 x 2,0 4,9 10,0 28,5 88,8 a. Liearize a fução e costrua o gráfico o papel que achar mais coveiete. b. Determie os coeficietes agular e liear da reta pelo MMQ. d. Ecotre os valores de a e. 4) Os dados da Tabela 4 refletem o comportameto da fução do tipo y(x) = Ae Bx, sedo A e B costates. Tabela 4. Dados da fução y(x) = Ae Bx y x a. Liearize a fução e costrua o gráfico o papel que achar mais coveiete. b. Determie os coeficietes agular e liear da reta pelo MMQ. e. Ecotre os valores de A e B. 5) Os dados da Tabela 5 refletem a posição de um carro em fução do tempo com velocidade costate. Os dados foram coletados apeas uma vez, em que o erro a posição foi propagado apeas com o erro do istrumeto (icerteza em S de 1,3 m). S (m) t (s) Calcule o valor da velocidade e o seu respectivo desvio e o valor da posição iicial e seu respectivo desvio pelo MMQ. 35 P á g i a

37 PRÁTICA 4 MANUSEIO DE PAQUÍMETRO E MICRÔMETRO / MEDIDAS E PROPAGAÇÃO DE ERROS OBJETIVOS: a. Apreder a mausear os istrumetos de medida (paquímetro, micrômetro, balaça aalítica); b. Apreder a coletar e orgaizar os dados em tabelas; c. Cohecer a precisão dos istrumetos; d. Calcular os desvios das medidas realizadas em replicada; e. Propagar os desvios os cálculos de gradezas. MATERIAIS: régua, paquímetro, micrômetro, balaça semi-aalítica, balaça aalógica, cilidro e cilidro vazado. PROCEDIMENTO: Para cada item, realizar medições idepedetes e motar uma tabela correspodete com todos os valores obtidos. 1) Cilidro a) Utilize os istrumetos, régua, paquímetro e micrômetro, para medir o diâmetro e a altura do cilidro 10 vezes para cada um destes istrumetos de medida. b) Meça a massa do cilidro utilizado a balaça semi-aalítica e a balaça aalógica (faça 10 medidas para cada balaça). c) Calcule utilizado os dados das dimesões obtidas: 1) Área da base do cilidro e o desvio padrão. 2) Área lateral do cilidro e o desvio padrão. 3) Área total do cilidro e o desvio padrão. 4) Volume do cilidro e o desvio padrão. d) Calcule a desidade do cilidro e o desvio padrão para ambas as balaças utilizadas. 2) Cilidro vazado. 36 P á g i a

38 a) Utilizado o paquímetro, determie as dimesões d e, d i e h do cilidro vazado (faça 10 medidas para cada dimesão). b) Meça a massa do cilidro vazado utilizado a balaça aalógica (faça 10 medidas para cada balaça). c) Calcule o volume e a desidade do material que compõe o objeto vazado. d) Baseado a teoria de propagação de erros obteha a icerteza do volume e da desidade do cilidro vazado. Fórmulas Desvio a desidade ±Δρ = ( 1 V ) 2 m 2 + ( m V 2 ) 2 V 2 m = desvio total a massa V = desvio total o volume Área da base do cilidro: A b = πr 2 = πd2 4 ± A b = [( πd ). d 2 ] ± 2A b = [(πd) 2. d 2 ] 1 2 Área lateral do cilidro A l = 2πrh = dπh ± A l = (πd) 2. h 2 + (πh) 2. d 2 Área total do cilidro A t = 2A b + A l ± A t = (± 2A b ) 2 + ( A l ) 2 Volume do cilidro V c = πhd2 4 Desvio o volume (cilidro) ± V c = ( πd2 4 ) 2 h 2 + ( πhd 2 ) 2 d 2 37 P á g i a

39 PRÁTICA 5 DENSIDADE DE MATERIAIS SÓLIDOS E LÍQUIDOS OBJETIVOS: Calcular a desidade de objetos sólidos geometricamete regulares e irregulares. Calcular a desidade de líquidos. MATERIAIS: Esferas de aço, objetos geometricamete irregulares (pesos ou parafusos), balaça aalítica, paquímetro, micrômetro, proveta, termômetro de bacada e água. PROCEDIMENTO: 1) Objeto geometricamete regular (esfera de aço) a) Volume Geométrico Nota: Para cada item, realizar medições idepedetes e motar uma tabela correspodete com todos os valores obtidos. i) Meça o diâmetro (d) da esfera. Utilize o paquímetro e o micrômetro para as medidas do diâmetro. ii) Meça a massa (m) da esfera utilizado a balaça semi-aalítica. iii) Calcule a média, desvio padrão da média e o desvio total das medidas de massa e do diâmetro. Represete os valores experimetais a forma x = x ± ( dx total ) para cada istrumeto. iv) Por meio dos resultados do diâmetro, calcule o volume da esfera (utilize os resultados obtidos pelo paquímetro e micrômetro). v) Calcule a desidade da esfera, propagado os valores de massa e de volume. Utilize os desvios totais e os resultados obtidos para o paquímetro e o micrômetro. vi) Aalise os resultados obtidos de desidade da esfera utilizado cada istrumeto e discutaos em termos de precisão (Nota: precisão de medidas está relacioada com o desvio obtido e com o úmero de algarismos sigificativos que o istrumeto/metodologia pode oferecer). b) Volume Deslocado i) Echa cuidadosamete a proveta com água até um volume cohecido e aote este volume (V 1 ). Nota: escolha a proveta que foreça a meor icerteza para as medidas. ii) Coloque a esfera cuidadosamete detro da proveta. Aote o volume do sistema esfera+água (V 2 ). Nota: cuidado com a perda de água quado colocar a esfera a proveta. iii) A variação o volume correspode ao volume deslocado pela esfera (V d = V 2 V 1 ). Nota: o volume deslocado é um cálculo de subtração. iv) Calcule a desidade da esfera utilizado os valores de massa e de volume deslocado. Propague as icertezas utilizado os desvios totais (ão se esqueça de aotar os desvios da proveta). 38 P á g i a

40 v) Compare os resultados obtidos pelos diferetes métodos e discuta os resultados (Nota. Observe se os valores ecotrados pelos dois métodos são iguais e compare os desvios de cada metodologia). 2) Objetos geometricamete irregulares Nota: Para cada item, realizar medições idepedetes e motar uma tabela correspodete com todos os valores obtidos. i) Meça a massa (g) dos objetos irregulares: chumbada e parafuso. ii) Echa cuidadosamete a proveta com água até um volume cohecido e aote este volume (V 1 ). Nota: escolha a proveta que foreça a meor icerteza para as medidas depededo do objeto medido. iii) Coloque o objeto cuidadosamete detro da proveta. Aote o volume do sistema esfera+água (V 2 ). Nota: cuidado com a perda de água quado colocar a esfera a proveta. iv) A variação o volume correspode ao volume deslocado pela esfera (V d = V 2 V 1 ). Nota: o volume deslocado é um cálculo de subtração. v) Calcule a desidade dos objetos utilizado os valores de massa e de volume deslocado. Propague as icertezas utilizado os desvios totais (ão se esqueça de aotar os desvios das provetas). 3) Líquidos i) Determie a massa da proveta utilizado uma balaça aalítica (m 1). A massa será dada como m 1 ± Δm 1, sedo Δm 1 o desvio da balaça. ii) Echa a proveta com o líquido que se queira determiar a desidade e meça a sua massa (m 2). A massa será dada como m 2 ± Δm 2, sedo Δm 2 o desvio da balaça. iii) A massa do líquido (m L) será a subtração m L = (m 2-m 1)± Δm, sedo Δm a propagação dos desvios da subtração. iv) Aote o volume do balão como V ± ΔV, sedo ΔV o desvio da proveta utilizada. v) Calcule a desidade do líquido propagado os desvios e compare com o valor recohecido a literatura. Nota: Não se esqueça de verificar a temperatura do laboratório para realizar essa comparação. vi) Calcule o erro percetual relativo. Referêcias: Westphal, W. H. Prácticas de Física. Versão espahola da 5 a edição alemã, por F. M. Biosca. Madri. Editorial Labor, 1952, p Daiels, F., Matheus, J. H., Williams, J. W. Prácticas de Física. Versão espahola da 5 a edição americaa, por A. R. Rodríguez. Barceloa, Mauel Mari, P á g i a

41 PRÁTICA 6 CINEMÁTICA: M.R.U e M.R.U.V OBJETIVOS: a. Fixar os coceitos básicos da ciemática uidimesioal. b. Obter a equação do movimeto para ambos os movimetos. MATERIAIS: Trilho de ar / Gerador de fluxo de ar / Carriho deslizate / Cavalete com cotatos elétricos / Cetelhador / Papel termossesível /Régua milimetrada. PROCEDIMENTOS: M.R.U.: a. Cole uma tira do papel termossesível o trilho auxiliar logo acima da região graduada do trilho. Corte uma tira suficiete para cobrir toda a extesão b. Coloque o carriho sobre o trilho e ligue o colchão de ar. Cheque se o carriho permaece em repouso quado colocado em repouso c. Escolha um período etre as descargas elétricas o paiel do cetelhador d. Impulsioe o carriho para que ele adquira uma velocidade iicial com um leve empurrão e. Acioe o cetelhador para que este imprima marcas o papel. f. Remova o papel termossesível, que será utilizado para obter a equação do movimeto. g. Repita todo o processo mais duas vezes, escolhedo mais dois períodos diferetes para a descarga. Serão geradas mais duas trajetórias para aálise. h. Faça o gráfico s x t para as três trajetórias. Tome a origem como a primeira impressão o papel. i. Obteha o valor mais provável da velocidade pelo M.M.Q. Qual a melhor fução para o ajuste liear? M.R.U.V: a. Cole uma tira do papel termossesível o trilho auxiliar logo acima da região graduada do trilho. Corte uma tira suficiete para cobrir toda a extesão. b. Ajuste o trilho em uma determiada icliação. c. Escolha o período de 100 ms etre as descargas elétricas o paiel do cetelhador. d. No trilho icliado, abadoe o carriho do repouso. Acioe o cetelhador logo em seguida para marcar a posição com velocidade iicial zero. Remova o papel termossesível, que será utilizado para obter a equação do movimeto. e. Repita todo o processo mais duas vezes, escolhedo mais duas icliações diferetes, e mateha o período escolhido para a descarga elétrica do primeiro esaio os outros dois. Serão geradas mais duas trajetórias para a aálise. Obteha o valor mais provável da aceleração pelo M.M.Q., de forma a escrever a melhor fução para o ajuste liear? BIBLIOGRAFIA: Fudametos de Física Volume 1 Resick, Halliday e Walker, 9ª. Edição 40 P á g i a

42 PRÁTICA 7: LEIS DE NEWTON EQUILÍBRIO DE FORÇAS OBJETIVOS: a. Demostrar a validade da seguda lei de Newto. b. Demostrar a validade da Lei de Hooke. MATERIAIS: Trilho de ar / Gerador de fluxo de ar / Carriho deslizate / Cavalete com cotatos elétricos / Cetelhador / Papel termossesível /Régua milimetrada / Nivelador com bolha de ar/ pesos / Polia / Cordão iextesível / Balaça aalítica. PROCEDIMENTO: 1) Determiação da aceleração do carriho (a) em fução de sua massa total (M) a. Cole uma tira do papel termossesível o trilho auxiliar logo acima da região graduada do trilho. Corte uma tira suficiete para cobrir toda a extesão b. Ajuste o trilho a horizotal com o auxílio do ivelador c. Coloque o carriho sobre o trilho e ligue o colchão de ar. Cheque se o carriho permaece em repouso quado colocado em repouso d. Desligue o colchão de ar e coecte, o carriho, a pota livre de uma corda iextesível que cotém uma massa presa a outra pota (massa previamete mesurada uma balaça aalítica). e. Coloque certa quatidade de pesos o carriho (as massas dos pesos e do carriho devem ser previamete mesuradas uma balaça aalítica). A massa do cojuto carriho + pesos será M 1. f. Escolha um período etre as descargas elétricas o paiel do cetelhador. g. Para realizar as medidas, acioe o cetelhador e, logo em seguida, ligue o colchão de ar para o carriho se movimetar sob a força peso da massa. h. Remova o papel termossesível e determie a aceleração a 1 do carriho. i. Repita todo o protocolo mais três vezes escolhedo diferetes valores de massa (-), matedo o período escolhido para a descarga elétrica do primeiro esaio para os demais. Serão obtidos mais três valores de aceleração (a 2, a 3 e a 4) para cada valor de massa - (M 2, M 3 e M 4), respectivamete. j. Plote um gráfico de 1/aceleração vs. M e obteha o valor de m e g pelo método M.M.Q. Compare com o valor medido de m pela balaça. Os valores cocordam? O que isto sigifica?? 2) Lei de Hooke i) Determiação da costate de uma mola a) Meça a massa dos corpos cumulativamete. b) Acople a mola ao suporte de ferro a posição vertical. c) Meça, com uma régua ou trea, o tamaho da mola em sua posição de equilíbrio (L 1). 41 P á g i a

43 d) Acople a primeira massa a mola e meça ovamete com o auxílio da régua o tamaho da mola (L 2). A difereça L 2 L 1 será a deformação x. e) Refaça o procedimeto utilizado os outros cico corpos de diferetes massas. f) Mote uma tabela com os valores das massas e L 1, L 2 e x para cada massa. g) Plote o gráfico de x (m) em fução da massa (kg). h) Determie a costate da mola (k) pelo MMQ. ii) Molas em Série a) Utilize as massas da parte aterior. b) Acople três molas em série ao suporte de ferro a posição vertical. c) Meça, com uma régua ou trea, o tamaho de cada mola idividualmete em sua posição de equilíbrio (L 1). d) Acople a primeira massa a extremidade da última mola e meça o tamaho de cada mola idividualmete (L 2). A difereça L 2 L 1 será a deformação xi para cada mola. A deformação total das molas será a soma das deformações idividuais das molas. e) Refaça o procedimeto utilizado os outros cico corpos de diferetes massas. f) Mote uma tabela com os valores das massas e L 1, L 2 e x total para cada massa acoplada. g) Plote o gráfico de x total (m) em fução da massa (kg). h) Determie a costate equivalete da mola (k eq) pelo MMQ. Compare este valor com o valor teórico. Qual o erro relativo percetual? iii) Molas em Paralelo a) Utilize as massas das partes ateriores. b) Acople três molas em paralelo ao suporte de ferro a posição vertical. c) Meça, com uma régua ou trea, o tamaho de cada mola idividualmete em sua posição de equilíbrio (L 1). d) Acople a primeira massa a extremidade do cojuto e meça o tamaho (L2) do cojuto. A difereça L 2 L 1 será a deformação x do cojuto. Repare que a deformação é a mesma para todas as molas em paralelo. e) Refaça o procedimeto utilizado os outros cico corpos de diferetes massas. f) Mote uma tabela com os valores das massas e L 1, L 2 e x para cada massa acoplada. g) Plote o gráfico de x (m) em fução da massa (kg). h) Determie a costate equivalete da mola (k eq) pelo MMQ. Compare este valor com o valor teórico. Qual o erro relativo percetual? BIBLIOGRAFIA: Fudametos de Física Volume 1 Resick, Halliday e Walker, 9ª. Edição 42 P á g i a

44 PRÁTICA 8: COLISÕES EM UMA DIMENSÃO OBJETIVOS: Rever coceitos básicos de colisões em uma dimesão (colisão elástica e perfeitamete ielástica) utilizado o trilho de ar. Utilizar o pricípio da coservação de eergia para estimar as velocidades fiais dos carros após a colisão, cohecedo as velocidades iiciais dos carros e suas massas. Aalisar o pricípio da coservação de movimeto liear a colisão ielástica. Verificar se a velocidade do cetro de massa se coserva ates e após a colisão (ielástica). MATERIAIS: Trilho de ar / Gerador de fluxo de ar / Carrihos deslizates / Cavalete com cotatos elétricos (cavalete isolate) / Cetelhador / Papel termossesível / Régua milimetrada / Balaça / Nivelador com bolha de ar / Massas acopláveis com peso de aproximadamete 0,5 N (50 g) / Disparador maual do carro / Suporte com mola / Suporte de acoplameto perfeitamete ielástico macho e fêmea PROCEDIMENTO: 1) Colisão Elástica Parte 1. a. Cole uma tira do papel termossesível o trilho auxiliar logo acima da região graduada do trilho. Corte uma tira suficiete para cobrir toda a extesão. b. Ajuste o trilho a horizotal com o auxílio do ivelador. Coloque o suporte de mola a parte fial do trilho de ar para evitar que o carro bata e se daifique durate o experimeto. c. Coloque o carriho sobre o trilho e ligue o colchão de ar. Cheque se o carriho permaece em repouso. Se ão permaecer, ajuste o trilho para ivelá-lo. Verifique se a distâcia etre os cotatos elétricos do cavalete isolate e da placa metálica do trilho de ar é suficiete para origiar uma cetelha. Cheque se o carro 1 fará marcas o papel termossesível a metade iferior, e o carro 2 a metade superior. d. Escolha o período de 100 ms etre as descargas elétricas o paiel do cetelhador. e. Meça a massa do carro 1 com 2 massas acopláveis e a massa do carro 2 com 8 massas acopláveis. O carro 2 deverá estar com o cavalete isolate e com o suporte de mola para a colisão elástica (Figura 1). f. Posicioe o carro 1 cotra o disparador maual, preso a origem da régua o trilho de ar (Figura 2). g. Posicioe parado o carro 2 a marca dos 700 mm. Marque com uma caeta o papel a posição aproximada em que ocorrerá a colisão. h. Dispare o cetelhador e solte o carro 1, permaecedo com o cetelhador acioado até a marca de 500 mm. Após essa marca, desligue o cetelhador e religue apeas quado ocorrer o choque etre os carros. Desligue o cetelhador quado o carro 1 43 P á g i a

45 passar, a volta após o choque, a marca etre mm para que ão ocorra sobreposições das marcas o papel. i. Por meio da marcação o papel termossesível, ecotre a velocidade iicial do carro 1 (v 1i ) e as velocidades fiais dos carros 1 (v 1f ) e 2 (v 2f ). Para isso, plote o gráfico de s x t e estime a velocidade pelo MMQ (este experimeto, ão estaremos propagado o erro os coeficietes). (Dica. Utilize, após a colisão, as primeiras 6-9 marcações o papel termossesível). j. Cohecedo as massas dos carros, calcule as velocidades fiais v 1f e v 2f utilizado as relações (8) e (9). k. Compare os resultados calculados de v 1f e v 2f com o calculado o item i. Eles são semelhates? Explique e discuta dos resultados. Cavalete isolate Massas acopláveis Figura 1. Suporte com mola para a colisão elástica presa o carro 2 Figura 2. Disparador maual Parte 2. Refaça os procedimetos de a-d da parte 1. e. Meça a massa do carro 1 com 4 massas acopláveis e a massa do carro 2 com 2 massas acopláveis. O carro 2 deverá estar com o cavalete isolate e com o suporte de mola para a colisão elástica. f. Posicioe o carro 1 cotra o disparador maual. g. Posicioe parado o carro 2 a marca dos 500 mm. Marque com uma caeta o papel a posição que ocorrerá a colisão. h. Dispare o cetelhador e solte o carro 1, ficado com o cetelhador acioado até o carro 2 fializar o percurso. i. Por meio da marcação o papel termossesível, ecotre a velocidade iicial do carro 1 (v 1i ) e as velocidades fiais dos carros 1 (v 1f ) e 2 (v 2f ). Para isso, plote o gráfico de s x t e estime a velocidade pelo MMQ (sem erros). (Dica. Utilize, após a colisão, as primeiras 6-9 marcações o papel termossesível). j. Cohecedo as massas dos carros, calcule as velocidades fiais v 1f e v 2f. k. Compare os resultados calculados de v 1f e v 2f com os obtidos o item p. Eles são semelhates? Explique e discuta os resultados. 44 P á g i a

46 Parte 3. Refaça os procedimetos de a-d da parte 1. e. Meça a massa do carro 1 com 4 massas acopláveis e a massa do carro 2 com 4 massas acopláveis. O carro 2 deverá estar sem o cavalete isolate e deverá ter uma massa semelhate ao carro 1 (m 1 m 2 ). Não se esqueça de coectar o suporte de mola para a colisão elástica o carro 2. f. Posicioe o carro 1 cotra o disparador maual. g. Posicioe o carro 2 parado a marca dos 500 mm. Marque com uma caeta o papel a posição que ocorrerá a colisão. h. Dispare o cetelhador e solte o carro 1, ficado com o cetelhador acioado até o carro 2 fializar o percurso. i. Por meio da marcação o papel termossesível, ecotre a velocidade iicial do carro 1 (v 1i ) e as velocidades fiais dos carros 1 (v f1 ) e 2 (v 2f ). Para isso, plote o gráfico de s x t e estime a velocidade pelo MMQ (sem erros). (Dica. Utilize, após a colisão, as primeiras 6-9 marcações o papel termossesível). j. Cohecedo as massas dos carros, calcule as velocidades fiais v 1f e v 2f. k. Compare os resultados calculados de v 1f e v 2f com os obtidos o item w. Eles são semelhates? Explique e discuta os resultados. 2) COLISÃO PERFEITAMENTE INELÁSTICA Refaça os procedimetos de a-d da parte 1 da colisão elástica. Neste caso, apeas o carro 1 fará marcas o papel termossesível. e. Meça a massa do carro 1 com sem carga e a massa do carro 2 com 8 massas acopláveis. O carro 2 deverá coter o suporte de acoplameto perfeitamete ielástico com sistema macho, e o carro 1 com o suporte de acoplameto perfeitamete ielástico com o sistema fêmea (ou vice-versa) (Figuras 3 e 4). f. Posicioe o carro 1 cotra o disparador maual. g. Posicioe parado o carro 2 a marca dos 550 mm. Marque com uma caeta o papel a posição que será o choque. h. Dispare o cetelhador e solte o carro 1, ficado com o cetelhador acioado até os carros fializarem o percurso (como a colisão é perfeitamete ielástica, os carros se moverão jutos). i. Por meio da marcação o papel termossesível, ecotre a velocidade iicial do carro 1 (v 1i ) e a velocidade fial de ambos os carros (v). Para isso, plote o gráfico de s x t e estime a velocidade pelo MMQ (sem erros). (Dica. Utilize, após a colisão, as primeiras 6-9 marcações o papel termossesível). j. Cohecedo as massas dos carros, calcule a velocidade fial v. k. Compare o resultado calculado de v com o ecotrado o item e. Eles são semelhates (estão a mesma ordem de gradeza)? Explique e discuta os resultados. l. Calcule o cetro de massa para cada poto marcado o papel termossesível. (Dica: coloque a origem do plao cartesiao sobre o carro 2). 45 P á g i a

47 m. Plote o gráfico de x cm x tempo e verifique se a velocidade é costate (i.e. observe se o gráfico obtido é uma reta). Marque o gráfico o istate da colisão. Explique e discuta dos resultados. Acoplameto perfeitamete ielástico (fêmea) Acoplameto perfeitamete ielástico (macho) Figura 3. Carro 2 cotedo o acoplameto perfeitamete ielástico (fêmea) Figura 4. Carro 1 cotedo o acoplameto perfeitamete ielástico (macho) Dicas. Possíveis fotes de erros o experimeto: -medições do espaço com erros -o trilho de ar ão está ivelado, fazedo com que forças resultates atuem os dois carros (sistema deixa de ser isolado). Referêcias. - Fudametos de Física volume 1 Resick, Halliday e Walker, 9ª. Edição - Livro de atividades experimetais (Física Experimetal Mecâica Trilho de ar com uidade de fluxo e registro por cetelha) Cidepe. 46 P á g i a