Aviso: Este documento é uma versão editada por Rodrigo Hausen do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Miranda.

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1 Aviso: Este documeto é uma versão editada por Rodrigo Hause do capítulo 8 do texto Bases Matemáticas de A. Caputi e D. Mirada. A omeclatura foi alterada para codizer com a adotada as aulas.

2 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada 8 S E Q U Ê N C I A S 8. coceitos básicos Uma sequêcia real a é uma fução dos úmeros aturais positivos os reais a : N R. A imagem do aturalpela sequḙciaaserá deotado pora, i.e, a := a). A ordem dos úmeros aturais os leva a dizer que a é o primeiro termo da sequḙcia, que a 2 é o segudo termo da sequḙcia e em geral que a é o -ésimo termo da sequḙcia. Em geral, deotaremos a sequḙcia a : N R por a ) ou aida por a ) =. N a a 2 a 3 a 4 a R a a 2 a 3 a 4 a Figura 8.: A sequḙcia a ) associa a cada atural um real a. Em diversas situações cosideraremos fuções cujo domíio ão seja o cojuto dos aturais, mas sim um subcojuto dos iteiros da forma { : Z : k} para algum k. Essas fuções também serão ditas sequḙcias e para essas sequḙcias usaremos a otação a ) =k, idicado o poto a partir do qual a sequḙcia está defiida. Uma sequḙcia, sedo uma fução pode ser especificada através de uma regra ou fórmula para o -ésimo termo da sequḙcia. Exemplos 8.. Os primeiros termos da sequḙcia a ) = /) = são: a = a 2 = /2 a 3 = /3 a 4 = /4 a 5 = /5 Essa sequḙcia também pode ser represetada como:, /2, /3, /4, /5,...) a 69

3 2. Os quatro primeiros termos da sequḙcia b ) = ) são: = b = = 4 b 2 = = 8 0 b 3 = = b 4 = Os primeiros termos da sequḙcia de termo geral c =! são: c =! = c 2 = 2! 2 2 = 2 c 3 = 3! 3 3 = Seja d ) a sequḙcia especificada pela regra d = ). Os primeiros termos dessa sequḙcia são: d = ) = d 2 = ) 2 = d 3 = ) 3 = e de modo geral d 2 = e d 2+ =. E assim podemos represetar essa sequḙcia por:,,,,,,...) 5. Seja e ) a sequḙcia especificada pela regra e = + ). Os primeiros termos dessa sequḙcia são: e = +) = 2 d 2 = + ) 2 = = 2.25 e 3 = + 3) 3 ) 4 3 = e 4 = + 4) e 5 = e 6 = + 5) 6) Como uma sequḙcia é uma fução dos aturais os reais, um poto da fução é um par ordeado,a ) com N e a R e desse modo uma sequḙcia real pode ser vista como um subcojuto do plao cartesiao R R. Exemplo 8.2 Gráfico da sequḙcia a = a = Solução: O gráfico da sequḙcia 70

4 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada a = / pode ser costruído marcado os pares ordeados, /) o plao cartesiao. A tabela abaixo cotém o valor aproximado dos cico primeiros termos dessa sequḙcia. Esse procedimeto apesar de correto, os forece o comportameto apeas os potos tabelados. Porém, como essa sequḙcia é obtida da restrição da fução real fx) = x : R + R, todos os potos do gráfico da sequḙcia pertecem ao gráfico de /x. Para ser mais preciso os potos do gráfico dessa sequḙcia, são os potos do gráfico cuja coordeada x é um úmero atural. Veja que que coforme os valores de toram-se maiores, os ,) 2, 2 ) 3, 3 ) fx) = x Figura 8.2: Gráfico da sequḙcia / valores de / se aproximam de zero. Esse comportameto é corroborado pela tabela de valores aproximados. Coforme veremos, o ite a sequḙcia / tede a zero, o setido que para valores suficietemete grades de, / está arbitrariamete próximo do zero. Outra forma de represetar uma sequḙcia graficamete, é represetar sobre a reta real as images da sequḙcia, rotuladas pelo termo que represetam. Assim a sequḙcia do exemplo aterior a = /, pode ser também represetada graficamete como: 7

5 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada 0. a 5 a 4 a 3 a 2 a Exemplo 8.3 Gráfico da sequḙcia c = ) Solução: O gráfico da sequḙcia c = ) pode ser costruído observado que para valores pares de os potos ), ) R + R e para valores impares de os potos pertecem ao gráfico da fução fx) = x : ), ) pertecem ao gráfico da fução fx) = x : R + R. Assim o gráfico dessa sequḙcia pode ser represetado como: , 2), ) 4, 4) , 3) Sequêcias Defiidas Recursivamete fx) = x gx) = x Figura 8.3: Gráfico da sequḙcia c = ) Outra forma de defiir uma sequḙcia é recursivamete ou idutivamete. Trataremos de defiições recursivas de sequḙcias com mais detalhes e cuidados uma seção posterior, mas ates disso apresetaremos algus exemplos de sequḙcias especificadas dessa forma. Uma sequḙcia pode ser defiida através das seguites regras: a = 2 e a = 2a 72

6 a Para ilustrar como que as regras acima especificam uma sequḙcia vamos calcular os primeiros termos dessa sequḙcia. Como o primeiro termo já os é forecido as regras acima, calculemos o segudo termo dessa sequḙcia. Para esse fim é suficiete otarmos que: a 2 = 2a = 2 2. Para calcularmos o terceiro termo, otemos que a 3 = 2a 2 e assim a 3 = 2 2 2, de modo geral o termo a terá a forma: a = } {{ } raízes Observe que a defiição da sequḙcia aterior, costa de duas partes, a primeira defie o primeiro termo e a seguda que defie o termo a em fução do termo a. Essa é a estrutura geral de uma defiição recursiva: defiimos algus casos iiciais, e defiimos etão os seguites como fução destes. Claramete, esse procedimeto se assemelha a estrutura da demostração por idução. A tabela abaixo cotém o valor aproximado dos primeiros termos dessa sequḙcia. E o gráfico dessa sequḙcia costruído utilizado essa tabela é apresetado abaixo. Veja que o gráfico sugere que essa sequḙcia é crescete e restrita itada superiormete por 2. E que coforme os valores de crescem o termo a se aproxima do valor a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a Figura 8.4: Gráfico da sequḙcia defiida recursivamete: a = 2 e a = 2 a 73

7 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Outra sequḙcia que pode ser defiida recursivamete é a sequḙcia de Fiboacci, defiida pelas regras recursivas: f = f 2 = f + = f +f Claramete, os primeiros termos dessa sequḙcia são:,,2,3,5,8,3,2,34,55,89,44,233,377,60,987,597,2584,...) A sequḙcia aterior foi descrita primeiramete pelo matemático italiao Fiboacci ), como solução ao seguite problema sobre o crescimeto de uma população de coelhos: Um homem tem um casal de coelhos. Desejamos saber quatos casais de coelhos podem ser gerados deste par, se a cada mḙs um casal fértil gera um ovo casal e cada casal ovo se tora fértil quado completa dois meses de vida. A sequḙcia de Fiboacci f ) descreve o úmero de casais de coelhos após meses se eles se multiplicarem como descrito Figura 8.5: Gráfico da sequḙcia de Fiboacci Por último cosidere a sequḙcia s ) especificada recursivamete como Os primeiros termos dessa sequḙcia são: s = e s = s + 2. s = s 2 = + /2 = 3 /2, s 3 = + /2+ /4 = 7 /4 O termo geral terá etão a forma: s = + /2+ /4+ + /2 = /2 = /2 2 /2 ). 74

8 Note que o termo geral da sequḙcia aterior, s, é a soma dos primeiros termos da sequḙcia /2. Uma sequḙcia dessa forma é dita série. Exercícios. Ex. 8. Faça os gráficos das seguites sequḙcias: a) a = b) a = c) a = 4 +! d) a = se) e) a = se) 2 + f) a = g) a = h) A sequḙcia defiida recursivamete por a = 2 e a = 2a i) A sequḙcia defiida recursivamete por: a = a e a = j) A sequḙcia defiida recursivamete por: a = +a e a = Ex. 8.2 Faça os gráficos das seguites sequḙcias utilizado-se do fato que elas provḙm de restrições de fuções reais: a) a = 5 b) a = +2) 5 c) a = +2 d) a = sex)+ +2 e) a = + +) 2 f) a = 3 cos3) 2 g) a = 3 cos3) 8.. Sequêcias Crescetes e Decrescetes De modo aálogo às fuções reais, as sequḙcias podem ser classificadas em relação ao seu crescimeto e/ou decrescimeto, ou seja, o estudo do de)crescimeto dos termos 75

9 da sequḙcia em relação a sua posição a sequḙcia. Assim, dada uma sequḙcia a ) dizemos que: a ) é crescete se, para todo,m N com < m, resulta a < a m. a ) é ão-decrescete para todo,m N com < m, resulta a a m. a ) é decrescete para todo,m N com < m, resulta a > a m. a ) é ão-crescete para todo,m N com < m, resulta a a m. Em qualquer um dos casos acima, dizemos que a fução é moótoa. Em particular, quado a fução é crescete ou decrescete, dizemos que é estritamete moótoa. As defiições ateriores são as aálogas diretas das defiições reais. No caso de sequḙcia elas admitem as seguites simplificações úteis: Defiição 8.4 a ) é crescete se, para todo N temos que a < a +. a ) é ão-decrescete se para todo N temos que a a +. a ) é decrescete se para todo N temos que a > a + ). a ) é ão-crescete se para todo N temos que a a +. Exercício Resolvido 8.5 A sequḙciaa ) = é decrescete pois para todo N + temos que > +. Solução: Vamos provar que a sequḙcia é decrescete resolvedo a desigualdade a variável que segue: > + Essa desigualdade é equivalete à + >, que é equivalete à > 0. O cojuto solução da última desigualdade é N, ou seja para todo N vale a desigualdade É também usual a literatura o termo mootôica. > + 76

10 e assim a sequḙcia é decrescete. Exercício Resolvido 8.6 A sequḙcia 2 + é ão-crescete. Solução: Demostraremos esse fato resolvedo a desigualdade: 2 + > + +) 2 + A desigualdade aterior claramete é equivalete à : +) 2 +) < +) 2 +) < < 2 + Agora claramete se etão 2 + >, ou seja, o cojuto solução é os aturais e a sequḙcia é decrescete. Se o leitor julgar ecessário, ele pode provar que 2 + >, para todo através de uma idução sobre.) Exercício Resolvido 8.7 A sequḙcia + ) é crescete. Solução: Vamos demostrar que essa sequḙcia é estritamete crescete, mostrado que o quociete de dois termos cosecutivos é maior que. Dividido dois termos cosecutivos da sequḙcia temos: + ) + ) + ) + ) = + ) ) + = + + ) = ) 2 + ) 8.) Para mostrar que ) 2 + ) é maior que, vamos usar a seguite desigualdade: +x) +x para todo x vide exercício 8.6). Usado essa estimativa temos que: 2 ) 2. 77

11 E assim por 8. temos + ) + ) = Logo a sequḙcia é crescete Sequêcias Limitadas Restritas ) 2 + ) ) 2 + ) = + 3 > Para algumas sequḙcias o cojuto imagem Ima ) R é um cojuto itado superiormete ou iferiormete, classificaremos as sequḙcias em relação as propriedades de itação da sua imagem como: Defiição 8.8 Uma sequḙcia a ) é dita itada restrita superiormete se o cojuto {a : N } for itado restrito superiormete como subcojuto dos úmeros reais, i.e, se existir M tal que a M para todo N. Uma sequḙcia a ) é dita itada restrita iferiormete se o cojuto {a : N } for itado restrito iferiormete como subcojuto dos úmeros reais, i.e, se existir M tal que a M para todo N. Uma sequḙcia a ) é dita itada restrita se o cojuto {a : N } for restrito itado superiormete e iferiormete. Ou de modo equivalete se existir M tal que a M para todo N. Uma sequḙcia que ão é itada restrita é dita iitada irrestrita Exercício Resolvido 8.9 A sequḙcia a ) = + é itada pois restrita + < 2 para todo N. 78

12 Solução: Vamos provar que + < 2 resolvedo essa desigualdade + = + < 2 < < O cojuto solução da desigualdade aterior é N, ou seja, mostramos que para todo : + < 2 e deste modo a sequḙcia é itada. restrita Exemplos 8.0. Do mesmo modo que o exemplo aterior pode-se mostrar que a sequḙcia a = / 2 é itada restrita superiormete pelo 0, e itada restrita iferiormete por, sedo assim itada. restrita 2. A sequḙcia b ) = como veremos abaixo ão é restrita itada superiormete, mas é itada restrita iferiormete. Uma cota iferior esse caso é 0. Como observamos o exemplo aterior sequḙcia a = é ão itada, restrita ou seja,o cojuto dos úmeros aturais ão épossui itado cotasuperiormete. superior. Esse fato de extrema importˆacia é cohecido como propriedade Arquimediaa dos úmeros reais. Propriedade Arquimediaa dos Números Reais Para todo úmero real r existe um úmero atural tal que > r. Demostração: Supoha que exista r tal que para todo, < r. Isto implicaria que os aturais são um cojuto itado restrito e logo teriam um supremo, digamos s. O úmero s sedo meor que s ão é cota superior para N, ou seja existe um atural 0 tal que 0 > s, mas isto implicaria que 0 + > s, o que cotradiz o fato de s ser cota superior para N. Uma cosequḙcia desse teorema é que dados x, y > 0 dois úmeros reais arbitrários etão existe um atural tal que x > y. Esse pode ser provado se tomarmos r = y/x o teorema aterior. A importˆacia geométrica desse fato é que qualquer segmeto real de tamaho y pode ser coberta com um úmero fiito de segmetos de tamaho x. 79

13 Exercício Resolvido 8. A sequḙcia e = + ) é itada restrita superiormete. Solução: Primeiro, usado a expasão biomial temos: + ) = + + ) 2 ) 3 ) 2) + + +! ) 2! 3!! = + + ) 2! + ) 2) + ) 2) 3!! = + + ) ) ) ) ) ) 2! + 3! 2 +! 2 Utilizado que 0 < m ) < sempre que m <, podemos majorar a soma aterior, obtedo: + ) + + 2! + 3! + +! Agora, como k! 2 k para k 2, temos: + + 2! + 3! + +! Fialmete, como a expressão em pareteses é a soma de progressão geométrica de termo iicial e razão 2, temos que para todo e assim: 2 ) = ) = 2 ) < ) < + 2 = 3 Por outro lado, como essa sequḙcia é crescete todos os seus termos são maiores que o primeiro termo e = 2, ou seja : 2 < + ) 2 < 3 e logo a sequḙcia é itada. restrita. Um modo fácil de mostrar que uma sequḙcia é itada restrita e compará-la com outra que já cohecemos. O seguite teorema os forece um modo de realizar essa comparação. Teorema 8.2 Sejam a ), b ) duas sequêcias satisfazedo a b para todo > 0. Etão: ) 80

14 se a sequêcia a é itada restrita iferiormete, a sequêcia b também é itada restrita iferiormete. se a sequêcia b é itada restrita superiormete, a sequêcia a também é itada restrita superiormete. Exemplos 8.3 A sequḙcia a = /2 é itada restrita superiormete pois /2 / para todo N. Essa sequḙcia também é itada restrita iferiormete pois /2 > 0 para todo N. A sequḙcia b = /! é itada restrita superiormete pois /! / para todo N. A sequḙcia c = ) / 3 é uma sequḙcia itada restrita pois / < ) / 3 / para todo N Exercícios. Ex. 8.3 Liste os 6 primeiros termos das sequḙcias: a) a = 3 + b) a = ) 3 c) A sequḙcia defiida recursivamete por: a = a e a = d) A sequḙcia defiida recursivamete por: a = a e a = e) A sequḙcia defiida recursivamete por: a = +a e a = f) a = 2 π se 2 ) Ex. 8.4 Para cada uma das seguites sequḙcias diga se ela é crescete, decrescete ou ehuma dessas duas. Prove suas afirmações: a) a + 7 b) a = 2 + c) a = 2 7 d) a = 2 2 e) a =! 2 f) a = 2 g) a = ) h) a = 2 3 i) a =

15 j) a = + 3 k) A sequḙcia defiida recursivamete por a = 2 e a = 2a Ex. 8.5 Para cada uma das seguites sequḙcias diga se ela é itada restrita superiormete e iferiormete. Prove suas afirmações: a) a = 2 + b) a = 2 7 c) a = 2 2 d) a =! 2 e) a = 2 f) a = ) g) a = 2 h) /! 3 i) A sequḙcia defiida recursivamete por a = 2 e a = 2a. Ex. 8.6 Prove que + x) + x para todo x. [Sugestão: Use a expasão Biomial] Ex. 8.7 a) Usado a propriedade arquimediaa, prove que se x y < para todo N, etão x = y. b) Usado o item aterior prove que se x y < ε para todo ε > 0, etão x = y. Ex. 8.8 Dados x, y R com x < y, prove que existe um racioal p tal que x < p < y. 8.2 covergêcia CONVERGÊNCIA EeLIMITE ite DE SEQUÊNCIAS de sequêcias 8.2. Ituições sobre Covergêcia Para algumas sequḙcias podemos eteder o comportameto de seus termos para valores grades de. Por exemplo os termos da sequḙcia a = para valores grades 82

16 devão se aproximado do zero, o setido que paracada vez maior, os termos dessa sequḙcia vão se torado cada vez meores. O coceito de ite de uma sequḙcia é a formalização dessa ideia ituitiva. Ates de apresetarmos uma defiição precisa de ite, vamos eteder em que setido os termos dessa sequḙcia se aproximam do zero para valores suficietemete grades de. Vamos dividir esse problema em duas partes: eteder o que sigifica para valores suficietemete grades e o que sigifica aproximar. Dizemos que uma propriedade/afirmação p) vale para valores suficietemete grades de, se existe N tal que p) é válida para todos > N. Em outras palavras, se existe N a partir do qual p) é verdadeira. Veja que a afirmação ão ecessita ser sempre verdadeira, mas somete ecessita ser verdadeira para > N. Exemplos é positivo para valores suficietemete grades de. Se resolvermos a iequação 5 00 > 0 os aturais, veremos que ela vale para > é maior que 7 para valores suficietemete grades de. Se resolvermos a iequação 2 > 7 os aturais, veremos que ela vale para > / é meor que 0 3 para suficietemete grade. Se resolvermos a iequação / < 0 3 os aturais, veremos o cojuto solução será > / é meor que 0 5 para suficietemete grade. Se resolvermos a iequação / < 0 5 os aturais, veremos o cojuto solução será > 0 5. E agora os dedicaremos a aclarar o sigificado da sequḙcia a se aproximar do a. Dizemos que um poto y é uma aproximação de a com erro ε se y satisfaz y a < ε, ou seja se y a ε,a+ε). De modo aálogo, dizemos que a sequḙcia a é uma aproximação de a com erro ε para a para valores maiores que N, se para > N etão: a a < ε. Os dois últimos ites do exemplo aterior mostram que / é uma aproximação do zero com erro meor que 0 3 se > 0 3 e que / é uma aproximação do zero com erro meor que 0 5 se > 0 5. Uma perguta atural é se existe um poto N a partir do qual / é uma aproximação do zero com erro ε arbitrário? Começamos resolvedo a desigualdade / 0 < ε: 0 < ε < ε > ε. 83

17 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Ou seja, seja N um atural maior que /ε, etão se > N temos que / 0 < ε. Em outras palavras, a sequḙcia / é uma aproximação do zero com erros arbitrariamete pequeos para valores suficietemete grades de. E é esse setido que diremos que / coverge a 0, fato que deotaremos por / 0. Defiição de Limite Dado a ) : N R uma sequḙcia, dizemos que a ) coverge para o úmero real L, se se dado ε > 0, para valores suficietemete grades de tivermos que a L < ε. Ou aida, apeas reescrevedo: Defiição 8.5 Defiição de Limite Dado a ) : N R uma sequḙcia, dizemos que a ) coverge para o úmero real L, se dado ε > 0 existe M N tal que se > M etão a L < ε. Se a sequḙcia a covergir à L, deotaremos esse fato por a = L ou por a L. Observe que a defiição de covergḙcia de uma sequḙcia ão exige que a sequḙcia se tore igual ao seu ite, apeas que coforme os valores do domíio se torem suficietemete grades a sequḙcia se aproxime do ite. Essa defiição pode ser etedida ituitivamete através de uma aalogia com um desafio: a primeira parte do desafio, é escolher a dificuldade, ou seja, um erro ε, a seguda é mostrar que se pode superar esse desafio exibido um poto N a partir do qual a a < ε. O ite de sequḙcia existir, essa aalogia, é equivalete à que ão importa quão difícil seja o desafio ou seja, ão importa quão pequeo seja ε), o desafio pode ser vecido ou seja, existirá um poto N a partir do qual a a < ε). Graficamete o fato do ite existir, sigifica que para valores suficietemete grades maiores a+ε a ε a+ε a ε N N 84

18 que N), a sequḙcia estará detro da faixa horizotal dada por a ε,a+ε). Se dimiuirmos o erro para ε etão existirá um ovo poto N, talvez maior que N) a a partir do qual a sequḙcia estará detro da faixa horizotal dada por a ε,a+ε ). 85

19 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada A sequêcia De modo a ilustrar os coceitos apresetados faremos uma aálise detalhada da sequḙcia +. É fácil de mostrar, usado as técicas da seção aterior que essa sequḙcia é crescete, itada superiormete por e iferiormete por 0. Ao lado apresetamos o gráfico dessa sequḙcia. Veja que coforme cresce o quociete + parece se aproximar deeassim o gráfico ao lado os sugere que essa sequḙcia coverge a. Vamos começar mostrado que existe um poto a partir do qual essa sequḙcia é uma aproximação do com erro meor que 0. Para esse fim, vamos resolver a desigualdade: + < 0 + < 0 > 9 Assim se > 9, temos que: + < 0. De modo iteiramete aálogo se > 999 etão + < 0 3 e de modo geral, se > 0 k etão + < 0 k /+) 0 0, , , , , A liha de argumeto que acabamos de apresetar sugere que essa sequḙcia coverge a zero. Para demostrar a validade desse fato precisamos provar que existe um poto N tal que se > N etão < ε. Com o ituito de obter N, resolvemos a desigualdade: + + < ε < ε > ε Desta forma se escolhermos N como um iteiro maior que ε teremos que para > N + < ε 86

20 E assim temos que essa sequḙcia coverge e que seu ite é. + = + Aproximação de /7 Um exemplo iteressate do uso de ites é a represetação dos úmeros reais. Nesse exemplo ilustraremos o aproximação do úmero /7, para tato defiimos a sequḙcia b que é a trucameto da represetação decimal de /7 com casas depois da vírgula. Assim calculado os dígitos de /7 0, através do algoritmo de divisão, temos que b = 0, b 2 = 0,4 b 3 = 0,42 b 4 = 0,428 b 5 = 0,4285 b 6 = 0,42857 b 7 = 0,42857 e b 8 = 0, Observe que ehum termo da sequḙcia b é igual a /7. Porém a difereça etre a fração é o -ésimo termo dessa sequḙcia vai se torado cada vez meor, coforme o úmero de dígitos cresce. Vamos estimar o erro que cometemos ao aproximar a fração /7 pelo trucameto com casas decimais, b. A difereça etre ambos é um úmero cujas primeiras casas depois da vírgula são todas zero. e assim é um úmero meor que 0 Por que?). Assim se queremos fazer o erro meor que ε basta fazer acharmos N tal que para > N 0 < ε < log 0 ε) > log 0 ε). Pela propriedade Arquimediaa existe um úmero real N tal que N > log 0 ε) e se > N etão e o erro etre b e /7 > N > log 0 ε) /7 b < ε. E assim os trucametos b covergem a série /7. E temos: b = /7. Voltaremos a discutir a represetação dos úmeros reais através de sequḙcias e séries) a seção 8.6. Exercícios. Ex. 8.9 Sejam dadas as sequḙcias a =, b = c = ), d = ). Em cada caso abaixo, determie para quais valores de vale 87

21 a) a 0, 0 ) b) b 0.999,.) c) c 2, 3 2 ) d) d 000, 000 ) Ex. 8.0 Cosiderado as mesmas sequḙcias do exercício aterior, diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações: a) Existe m N tal que a 0, 0 ) para todo m. b) Existe m N tal que b 0.999,.) para todo m. c) Existe m N tal que c 2, 3 2 ) para todo m. d) Existe m N tal que d 000, 000 ) para todo m. Ex. 8. Em cada caso abaixo, determie m N de modo que a) 2 + < 2, para todo m. b) < 0 23, para todo m. c) < < +, para todo m. 0 4 d) < e <, para todo m e) <, para todo m. 0 < se 0 Ex. 8.2 Dado ǫ > 0 arbitrário, determie, em cada caso, m N tal que a L ǫ,l+ǫ) para todo m, ode: a) a = e L = 0 b) a = e L = c) a = +2 e L = 0 d) a = + 2+ e) a = + 2+ e L = /3 e L = f) a = 2 e L = 9 2 Ex. 8.3 Sejam dadas as sequḙcias a = 2, b = 3, c = d = ), e = + ). 88

22 Em cada caso abaixo, determie para quais valores de vale a) a > 0 4 b) b < 0 6 c) c > 2000 d) d < 0 20 e) e > 0 Ex. 8.4 Cosiderado as mesmas sequḙcias do exercício aterior, diga se são verdadeiras ou falsas as afirmações: a) Existe m N tal que a > 0 4 para todo m. b) Existe m N tal que b < 0 6 para todo m. c) Existe m N tal que c > 2000 para todo m. d) Existe m N tal que d < 0 20 para todo m. e) Existe m N tal que e > 0 para todo m. Ex. 8.5 Em cada caso abaixo, determie m N de modo que a) 2 ++ > 00, para todo m. b) e > 0 4, para todo m. c) 3 < 0 6, para todo m. d) > 4.0 0, para todo m. e) 2 < 0 0, para todo m. Ex. 8.6 Dado M > 0 arbitrário, determie, em cada caso, m N tal que a > M para todo m, ode: a) a =! b) a = Ex. 8.7 Dado M > 0 arbitrário, determie, em cada caso, m N tal que a < M para todo m, ode: a) a = 4 b) a = l 89

23 Ex. 8.8 Mostre que a sequḙcia 0.9,0.99,0.999,0.9999,...) coverge a. Ex. 8.9 Mostre que a sequḙcia 0.3,0.33,0.333,0.3333,...) coverge a / Defiição Precisa de Limite de uma sequêcia O coceito formal de ite, cuja itrodução a matemática se atribui ao matemático fracḙs Cauchy, é um dos coceitos cetrais da matemática modera. Pode-se dizer, sem exageros que esse coceito e seus desevolvimetos, mudaram de forma profuda o cohecimeto e a atureza da matemática. Origialmete, esse coceito foi itroduzido para formalizar o coceito de derivada, porém se percebeu que sua importˆacia e aplicação é muito mais ampla e diversa que apeas o desevolvimeto lógico do cálculo diferecial e itegral. A ideia ituitiva do ite, porém precede os trabalhos de Cauchy e pode ser remotada aos gregos e, em especial, aparece subetedida em algus trabalhos de Arquimedes. Esse coceito trasparece aida esporadicamete em diversos trabalhos de matemáticos ateriores a Cauchy, como Newto e Euler. O passo de trasformar uma visão ituitiva em uma defiição matemática do coceito foi logo e tortuoso e a defiição que apresetamos é fruto desse logo desevolvimeto histórico. Essa defiição tem um gosto distito da matemática a que vocḙ deve estar acostumado. Ela é sutil, elegate e abstrata, logo, ão espere compreede-la de uma só vez. Por ser sútil, um erro comum é simplifica-lá. Não cometa esse erro, a defiição que apresetamos é a mais simples e clara dispoível. Feito essa apologia e esse alerta, retomaremos a defiição que já apresetamos ateriormete: Defiição 8.6 Defiição de Limite Dado a ) : N R uma sequḙcia, dizemos que a ) coverge para o úmero real L, deotado por a = L, se dado ε > 0, M N tal que se > M etão a L < ε. Uma sequḙcia que coverge para algum valor é dita covergete, e caso cotrário dizemos que a sequḙcia é divergete. 90

24 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Dado a R e um úmero real ε > 0, o cojuto aberto: V ε a) := a ε,a+ε) é dito ε-vizihaça de a. Dizemos que um poto y é uma aproximação de a com erro ε se y está a ε-vizihaça de a, ou seja se x a < ε. a-ε a V ε a) Com essa termiologia podemos reescrever a defiição de ite como: a+ε Defiição 8.7 Defiição de Limite, Versão topológica Dado a ) : N R uma sequḙcia, dizemos que a ) coverge para o úmero real L se para toda ε-vizihaça V ε a), existe um poto M a partir do qual todos os termos da sequḙcia estão em V ε a) Ou seja, para toda ε-vizihaça do poto L exceto um úmero fiito de elemetos da sequḙcia todos os outros estão essa vizihaça. Vamos provar algus ites elemetares utilizado a defiição Exercício Resolvido 8.8 = 0. Demostração: Neste caso, devemos mostrar que dado ε > 0 existe um poto M a partir do qual 0 < ε Ode a partir do qual, deve se eteder para todo > M). Vamos provar que existe esse poto usado a propriedade Arquimediaa dos reais. A propriedade Arquimediaa os diz que existe um úmero atural M tal que ou seja, tal que M > ε M < ε Agora se > M temos que < M < ε. O que implica que: 0 = < M < ε 9

25 E assim provamos que / = 0. Observe que demostramos que para todo > M ode esse M os foi dado idiretamete pela propriedade Arquimediaa dos reais) temos que a sequḙcia a ) = está toda cotida a ε-vizihaça de 0, pois 0 < ε. Exercício Resolvido 8.9 b = b. Seja b a sequḙcia costate igual a b, i.e, b = b, etão Demostração: Queremos mostrar que dado ε > 0 existe um M tal que se > M etão b b < ε. Mas veja que para M = 0, já é válida a desigualdade, pois b b = b b = 0 < ε. A demostração acima é tão) trivial porque a sequḙcia costate igual a b sempre está a ε-vizihaça de b, para todo ε > 0. Exercício Resolvido 8.20 Se c = etão + c =. Demostração: Queremos mostrar que dado ε > 0 existe um M tal que se > M etão + < ε.. Vamos começar simplificado a última desigualdade: + = = + Veja que reduzimos o problema à ecotrar um poto M a partir do qual < ε. Mas isso, como já sabemos, pode ser feito através da propriedade Arquimediaa. Pela propriedade Arquimediaa existe M tal que ou seja, tal que M > ε M < ε Agora se > M temos que < M < ε. O que implica que: + = < M < ε. 92

26 Ituitivamete, a sequḙcia i = ) ão coverge pois fica oscilado etre os valores e e desta forma ão se aproxima de ehum valor coforme cresce. Abaixo apresetamos a prova desse fato. Exercício Resolvido 8.2 A sequḙcia i = ) ão coverge. Solução: Supoha que a sequḙcia covergisse, digamos a i. Etão deveria existir um poto M tal que se > M etão i i < 2 Mas, para maior que M e par isso implicaria que i < 2 /2 < i < /2 i > 2. E para maior que M e ímpar isso implicaria que i < 2 /2 < i < /2 i < 2. O que é absurdo. Logo a sequḙcia ão coverge Proposição 8.22 O ite de uma sequêcia se existir é úico. Demostração: Supoha a e a 2 tais que a = a e a = a 2. A defiição de a a os diz que dado ε > 0 existe um poto N, tal que > N etão: a a < ε 8.2) 2 Por outro lado como a a 2, temos que dado ε > 0 existe um poto N 2, tal que > N 2 etão: a a < ε 2 Agora se escolhemos N = max{n,n 2 }, temos que ambas as desigualdades 8.2 e 8.3 são válidas para > N e assim podemos estimar a a 2 : a a 2 = a a +a a 2 < a a + a 2 a < ε para todo ε > 0 e assim pelo exercício 8.7 a = a ) 93

27 Proposição 8.23 Se a sequêcia a ) coverge etão a ) é restrita. itada. Demostração: Como a coverge, digamos ao poto a, existe M tal que se > M etão: a a <, veja que a defiição de ite escolhemos ε = ) o que implica que a < a + Veja que mostramos que a partir do poto M a sequḙcia é itada restrita por a +. Sobrou apeas um úmero fiito de termos {a,... a M } que ão são ecessariamete itados restritos por a +. Mas como esse cojuto é fiito ele é itado restrito por C = max{ a,..., a M }. Agora se tomarmos D = max{ a +, C} teremos que todos os termos da sequḙcia satisfazem a < D. Vejamos porque: Se < M etão Se > M etão a max{ a,..., a M } D a < a + < D. Como cosequḙcia da proposição aterior temos que as seguites sequḙcias ão covergem, pois ão são itadas. restritas. Exemplos A sequḙcia!) = diverge. Ela ão é itada restrita superiormete pois para todo,! >. 2. A sequḙcia 2 ) = diverge Essa sequḙcia ão é restrita itada superiormete pois para todo, 2 >. 3. A sequḙcia ) 2 + = diverge. Essa sequḙcia ão é itada restrita pois 2 + > + > 2. Teorema 8.25 Toda sequêcia moótoa e itada restrita coverge. 2 94

28 Demostração: Vamos primeiro provar o resultado supodo a ) crescete e itada. restrita Como o cojuto A = {a : N } é itado, restrito pela propriedade de completude dos reais, esse cojuto possui supremo, que deotaremos por L. Provaremos que L é o ite da sequḙcia a ). Como L é supremo, claramete a L para todo. Agora seja ε > 0, etão L ǫ ão pode ser cota superior de A, pois isso implicaria que L ão é supremo. E assim existe um termo a N tal que a N > L ε. Como a sequḙcia é crescete isso implica que para todo > N a > L ε a a 2 a 3 L ε a N a Figura 8.6: Uma sequḙcia moótoa crescete coverge para o seu supremo. E assim E logo a sequḙcia coverge a L. L ε < a L ε < a L 0 < ε Se a sequḙcia a ) é decrescete, a demostração é aáloga tomado L o ífimo de A e será deixada como exercício Exercícios. Ex Prove que se a ) é decrescete e itada restrita etão a coverge. Ex. 8.2 Prove que as seguites sequḙcias divergem: a) 0000 b) 2 2 c)! d) 3 e) ) f) a = a =!a g) Dica: eleve ao quadrado) h) se) Difícil) L 95

29 i) se) Difícil) Ex Dado k N. a) Seja a ) = uma sequḙcia real covergete e seja b = a +k a sequḙcia obtida removedo os k primeiros termos de a. Prove que b coverge e que a = b. b) Prove que se b coverge etão a coverge e que: a = b. Ou seja, a covergḙcia da sequḙcia idepede de um úmero fiito de termos iiciais. O úmero e Como já mostramos, a sequḙcia + ) é moótoa crescete e itada. restrita Logo pelo teorema 8.25 ela coverge. O ite dessa sequḙcia é chamado úmero de Euler ou simplesmete e e é deotado por e. Pelas estimativas que obtivemos o exemplo 8..2, sabemos que esse úmero está etre 2 e 3. Com um pouco mais de esforço pode-se provar que os primeiros dígitos do úmero e são 2, , ou seja e 2, ), e que e é irracioal. De posse do úmero e, coforme descrito a seção 7.6., podemos defiir a fução expoecial de base e que este caso será deomiada apeas por expoecial.. Como valem as desigualdades 2 < e < 3, temos as seguites desigualdades etre fuções: se x > 0 etão 2 x < e x < 3 x e se x < 0 etão 3 x < e x < 2 x e assim podemos represetar o gráfico da fução expoecial como: 96

30 4 3 x e x 2 x O logaritmo de base e é deomiado fução logarítmo atural ou simplesmete logaritmo. Como já apresetado a a seção 7.6.2, a fução logaritmo é a fução l : 0,+ ) R dada pela regra lx = y e y = x O gráfico da fução logaritmo atural está represetado abaixo: Propriedades do Limite e x lx) Vamos essa seção apresetar algumas propriedades dos ites que serão muito úteis os cálculos dos mesmos. Proposição 8.26 Propriedades Algébricas do Limite. Seja c um úmero real e a ) e b ) duas sequêcias covergetes, tais que a = A e b = B. Etão: L. a +b ) = A+B. Limite da Soma) 97

31 L2. a b ) = A B. L3. a b ) = AB. L4. ca ) = ca. L5. Se b = B 0etão a b Limite da Difereça) Limite do Produto) ) = A. Limite do Quociete) B L6. a = A. Limite do módulo ) L7. Se k é impar, L8. Se k é par e a > 0, k a = k A. k a = k A. Limite da raiz) Limite da raiz) A demostração dessas propriedades serão apresetadas a próxima seção, ates disso ilustraremos sua utilização o cálculo de algus ites. + Exercício Resolvido 8.27 =. Solução: Pela propriedade da soma L), se os ites Mas, como já demostramos e assim + = +, existirem, etão =, por ser uma sequḙcia costate e + = = 0 Exercício Resolvido 8.28 Para todo k N, k = 0. Solução: Vamos provar por idução. O caso k = já foi feito. Assim vamos supor por hipótese idutiva que Exercícios. k = 0. Mas usado a L3 temos que; k = = 0 0 = 0 k 98

32 Ex Prove por idução que se a = a etão para todo k N. a ) k = a k, Ex Usado o exercício aterior, mostre que dados p,q N, se a = a etão a ) p q = a p q. Ex Difícil) Mostre que dado α R, se a = a etão a ) α = a α Exercício Resolvido Solução: Observe que ão podemos usar L5 pois ambas as sequḙcias do umerador e do deomiador são divergetes. Para calcularmos esse ite devemos usar a seguite estrategia começamos dividido por 2 o umerador e o deomiador, e logo: = Supodo que os ites o deomiador e o umerador existam, podemos usar L5, e temos = Supodo que os ites de cada termo da soma existam, podemos usar que o ite da soma é a soma dos ites L) e = 2+ 2 ) 2 ) = = 2 Veja que o fial, chegamos que cada ite de cada termo soma existia, o que implica que o ite o umerador e deomiador existiam, e assim ossa cadeia de raciocíios 99

33 estava correta, pois cada suposição era correta Exercício Resolvido Solução: Novamete ão podemos usar a propriedade L5 pois as sequḙcias o deomiador e umerador ão covergem, pois ambas são iitadas. irrestritas Novamete a estratégia é começar dividido o umerador e o deomiador pelo termo do poliˆomio de maior grau, este caso 4. Desta forma temos: = = ) ) Agora por L temos que: ) 4 = 4 e ) = 5 e por L5 temos que Exercício Resolvido 8.3 Solução: e ) ) 4 = ) ) 4 = Vamos calcular esse ite reduzido seu calculo ao ite cohecido ) + ) = Para tato começamos com algumas maipulações algébricas: ) = 8.4) ) = ) 8.5) Para calcularmos o ite + = = ) + + ) 8.6) ) + ) 8.7) 200

34 observe que a sequḙcia b = + ) e a sequḙcia e = + ) são tais que e = b + e assim pelo exercício 8.22 elas possuem o mesmo ite e como Temos que + ) = + = e ) + ) = + Exercício Resolvido 8.32 Solução: Exercício Resolvido 8.33 ) + + ) ) h = + ) = e ) + ) + = = ) 8.8) ) 8.9) [ ) ] ) + = e e = e 2 8.0) 3 + ) 3 Solução: Observe iicialmete que ão podemos usar que o ite da multiplicação é a multiplicação dos ite, pois ão existe essa sequḙcia ão é itada). restrita Para 20

35 calcular esse ite vamos usar o artificio de primeiramete multiplicar e dividir pelo cojugado 3+ + ) 3 : Teorema do cofroto 3+ 3 ) = = = 3+ ) ) ) ) 3+ + ) ) = Um modo extremamete eficaz de calcular ites é o teorema do cofroto, que em termos vagos os diz que se uma sequḙcia está esaduichada por duas outras que covergem ao mesmo ite, etão a sequḙcia esaduichada também coverge a esse ite. Teorema 8.34 Teorema do cofroto ) Dadasa ),b )c ) sequêcias reais tais quea b c para todo > 0. Etão se a = c = L, etão existe b = L. Exercício Resolvido 8.35 Se r < etão r = 0 Solução: Provaremos primeiramete o caso 0 < r <, este caso como r < etão r > e desta forma r = +α r = +α. Pelo exercício 8.35 temos que +α) > +α e assim 0 < r = +α) < +α < α e logo pelo teorema do cofroto o ite é zero. No caso que < r < 0, ote que r < r < r e agora como 0 < r <, temos que r 0 e assim ovamete usado o teorema do cofroto temos que r 0. L5 202

36 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada se) Exercício Resolvido 8.36 = 0 Solução: Como: sex), dividido essa desigualdade por temos: Como = Exercício Resolvido 8.37 se) = 0, pelo teorema do cofroto ) se = 0 se) = 0 Solução: Cosidere o círculo trigoométrico um ˆagulo x tal que 0 < x < π 2, coforme apresetado a figura ao lado. Geometricamete, temos que área do triˆagulo OBC, que vale sex)/2, é meor que a área do setor circular OBC, cujo valor é x/2. Cosequetemete para 0 < x < π 2, valem as desigualdades: 0 < sex) < x O x sex) Tomado x = porque podemos?) a desigualdade aterior temos que : 0 < se ) <, e cosequetemete pelo teorema do cofroto, como 0 = ) se = 0. B A C = 0, temos que O último exemplo de uso do teorema do cofroto que iremos apresetar é de extrema importˆacia, e é cohecido como ite fudametal. ) Exercício Resolvido 8.38 Limite Fudametal se =. 203

37 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Solução: Começaremos provado que para valem as desigualdades: Figura 8.7: Gráfico da sequḙcia se/) 0 < x < π 2 0 < cosx) < sex < x cosx). Cosidere o círculo trigoométrico um ˆagulo x com 0 < x < π 2, O x sex) cosx) B D C A h = sex) cosx) coforme apresetado a figura ao lado, como os triˆagulos OCB e OAD são semelhates, se deotarmos por h o tamaho do segmeto AD, por semelhaça de triˆagulos temos que e logo Área OAD) = sex) 2 cosx). h = sex) cosx) Se deotarmos a área do setor circular deitado pelos potos O, A, B por ÁreaOAB), pela figura ao lado é fácil ver que valem as desigualdades para x < π 2 : Dividido por 2 se)x) temos: Área OBC) < ÁreaOAB) < Área OAD) 2 sex) cosx) < 2 x < sex) 2 cosx) cosx) < x sex) < cosx) Fialmete, Comparado os iversos dos trḙs termos, obtemos: cosx) < sex x < cosx). 204

38 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Tomado x = / a desigualdade aterior, temos: 0 < cos /) < se /) / < cos /). Como cos /) = veja exercício 8.26), e como pela propriedade L5: cos /) = cos /) = =, pelo teorema do cofroto temos que: ) se =. Exercício Resolvido 8.39 coverge a 0 etão: Solução: Como a é itada, restrita existe C tal que ) se Figura 8.8: Gráfico da Sequḙcia se /) Seja a uma sequḙcia itada restrita e b uma sequḙcia que a b 0 C < a < C. Multiplicado a desigualdade aterior por b temos: C b < a < C b. 205

39 Agora como b 0 etão b 0 e assim C b 0 e C b 0, logo pelo teorema do cofroto a b 0. Exercícios. Ex Mostre que cos ) = Dica: observe que cosx) = sex) 2 e use as propriedades do ite). Ex Calcule ta ) Ex Calcule os seguites ites: a) 4 se ) +2 cos ) 3+2 se ) b) 7+2 cos ) 3+ c) d) e) f) g) h) i) j) se/6) se /4) ta /7) ta /3) k) l) ta ) m) 2 +2 ) ) 206

40 o) 4+ ) 4 p) 4 ) 4 Ex Mostre usado o teorema do cofroto que se a 0 etão: sea ) = 0 Coclua etão que se a 0 etão cosa ) =. Ex Mostre que Ex. 8.3 Mostre que cos 3 3 ) 5 = 0 2 cos2 +2 ) = 0 Ex Usado as formulas para cosa+b) e sea+b) e o exercício 8.29, mostre que se a 0 etão: a) sex+a ) = sex) b) cosx+a ) = cosx). Uma fução que satisfaz fx+a ) fx) para toda sequḙcia a tal que a 0 é dita cotíua. Ex Seja h R 0. Usado idetidades trigoométricas mostre que: six+h) six) a) h = sih/2) h/2 cos x+ h ) 2 cosx+h) cosx) b) h = sih/2) h/2 si x+ h ) 2 Ex Use a idetidade do exercício aterior para mostrar que: a) six+ ) six) = cosx) b) cosx+ ) cosx) = sex) 207

41 Ex Prove a desigualdade biomial: +x) +x para todox. [Sugestão: Use a expasão Biomial] Ex Sejam a e b duas sequḙcias divergetes etão a +b ecessariamete diverge? Demostração das Propriedades do Limite Nesta seção apresetaremos as demostrações de algumas das propriedades do ite e a demostração do teorema do cofroto. Teorema 8.40 Seja c um úmero real e a ) e b ) duas sequêcias covergetes, tais que a = A e b = B. Etão: i) ca ) = ca. ii) a +b ) = A+B. iii) a b ) = AB. iv) Se a = A 0etão a b ) = A B. Demostração: i Começaremos cosiderado o caso c 0. Nosso objetivo é mostrar que a sequḙcia ca ) coverge a ca, ou seja ós queremos achar um poto M) a partir do qual ca ca < ε. Observamos iicialmete que vale a igualdade: ca ca = c a a 8.) Como por hipótese sabemos que a a, isto implica que existe um poto M a partir do qual a difereça etre a sequḙciaa eaétão pequea quato queiramos, ou seja: se > M etão temos que a a < ε c 8.2) 208

42 ε veja que o úmero real escolhido esse caso foi c, falaremos mais sobre o porque dessa escolha depois, por equato apeas ote que podemos escolher esse úmero, e que pela defiição de ite vai existir um poto M a partir do qual a desigualdade 8.2 é válida.) Agora basta combiarmos as equações 8. e 8.2 para termiarmos a demostração. Vejamos como: Seja M = M, como defiimos acima, etão para > M temos que: ε ca ca = c a a < c < ε. 8.3) c E assim provamos que ca ) ca. Ates de fazermos a demostração dos outros ites. Vamos observar algus potos importates. Primeiro porque escolher ε? A resposta é simples: para que a demostração fucioe, em mais em meos. Com essa escolha foi fácil provar a a < ε. Ou seja, para aode eu devo ir, depede de ode quero chegar. É possível de atemão saber que escolha deve ser feita? Na verdade, ão é ecessário saber de atemão, vejamos como refazedo a demostração: Seguda demostração Reobservamos que vale a igualdade: c ca ca = c a a 8.4) Como por hipótese sabemos que a a, isto implica que existe um poto M a partir do qual a difereça é tão pequea quato queiramos, ou seja: se > M etão temos que a a < ε 8.5) Agora basta combiarmos as equações 8.4 e 8.5 temos que Seja M = M, como defiimos acima, etão para > M temos que: ca ca = c a a < c ε 8.6) Agora como podemos escolherε tão pequeo quato queiramos, escolhemosε = ε c e assim 8.6 fica: ε ca ca = c a a < c ε = c c = ε 8.7) O que prova que ca ) ca. Vale observar também mais algus fatos: foi fudametal a liberdade de podermos escolher o primeiro ε tão pequeo quato queiramos. É fudametal, em demostrações de ites eteder quado e como escolher essas gradezas. 209

43 ii) Para provarmos que a +b ) a+b), precisamos estimar a +b ) a+b) para valores grades de, e para esses valores obter que o módulo aterior é meor que ε. Começamos reordeado o módulo aterior, e assim: a +b ) a+b) = a a)+b b) Agora usaremos a desigualdade triagular para obtermos: a +b ) a+b) = a a)+b b) < a a) + b b) 8.8) Veja que reduzimos o problema de estimarmos a +b ) a+b) ao problema de estimarmos a a) e b b). Mas essas estimativas os são dadas pela defiição que as sequḙcia a e b covergem respectivamete a a e b. Como a a, por defiição de covergḙcia, temos que existe um poto M a partir do qual a a < ε 2, i.e, a a < ε 2 sempre que > M 8.9) Por outro lado como por hipótese b b, por defiição de covergḙcia, temos que existe um poto M 2 a partir do qual b b < ε 2, i.e, b b < ε 2 sempre que > M ) Aqui é importate observar que a covergḙcia de a ) e b ) implica que para cada uma dessas sequḙcia temos um poto para o qual cada uma delas é meor que ε, respectivamete M e M 2. A priori, esses potos ão são iguais e portato é ecessário distigui-los. Ituitivamete eles são distitos pois as séries podem covergir com velocidades diferetes. Veja que a defiição de covergḙcia de cada série diz que para essa série existe um poto que depede da série, e do épsilo) a partir do qual os termos série estão a distˆacia meor que ε do ite. Feita essa observação, veja que existe um poto a partir do qual ambas as sequḙcias estão simultaeamete aε-vizihaça de seus ites, esse poto ém = max{m,m 2 } pois se > M etão valem: a a < ε 2 sempre que > M 8.2) 20

44 b b < ε 2 sempre que > M 8.22) pois se > M etão > M e > M 2. Ou seja a partir do poto M os termos de ambas as séries vão estar a distˆacia meor que ε do seus ites, como dito ateriormete. Agora, temos todos os igredietes da ossa demostração. Dado ε > 0 seja M = max{m,m 2 } etão por 8.8 a +b ) a+b) = a a)+b b) < a a) + b b) e substituido 8.2 e 8.22 a equação aterior temos: a +b ) a+b) = a a)+b b) < a a) + b b) < ε 2 + ε 2 = ε. iii) Vamos provar que a b ) ab. Observamos primeiramete que vale as desigualdades a b ab = a b ab +ab ab 8.23) a b ab + ab ab 8.24) b a a + a b b 8.25) No primeiro passo acima adicioamos e subtraímos ab, o que os permitiu usar a desigualdade triagular. Esta é uma técica iteligete e a usaremos algumas vezes. Agora vamos proceder como ateriormete fazedo cada pedaço da ultima desigualdade meor que ε 2 e assim fazedo a soma meor que ε. Vamos agora supor que a 0o caso a = 0 deixamos como exercício ao leitor). Como b ) b, existe M tal que se > M etão b b < ε a ) Feito isso temos uma estimativa para o segudo termo da equação Estimar o primeiro termo, i.e, b a a existe um pouco mais de cuidado, pois este termo estamos multiplicado por b que é um termo variável. Como já vimos em existe uma cota C tal que para todo temos que b < C e observamos que está cota pode ser escolhida diferete de zero. Porque?) e assim como a a existe um poto M 2 tal que se > M 2 etão: a a < ε 8.27) C 2

45 Agora podemos termiar a demostração, para tato sejam = max{m,m 2 }, etão se > M temos que: iv) Como a b ab = a b ab +ab ab 8.28) a b ab + ab ab 8.29) b a a + a b b 8.30) < C a a + a b b 8.3) ) ε ε < C + a = ε. 8.32) C) a 2 a = a, b b pelo item 3 basta provarmos que se b b etão Começamos observado que: b b = b b b b b b, sempre que b ) Como b b sabemos que a sequḙcia existe um poto M tal que se > M etão b b < b 2, 8.34) o que implica que b > b /2 porque?). Veja que existe um outro poto M 2 tal que se > N 2 etão b b < ε b ) Fialmete escolhemos M = max{m,m 2 }, para > M, teremos: b b = b b < ε b 2 b b 2 b b/2 = ε 8.36) Teorema 8.4 Teorema do Cofroto para Sequêcias) Dadas a ),b )c ) sequêcias reais tais que a b c para todo > 0. Etão se a = c = L, etão existe b = L. 22

46 Demostração: Como a é covergete existe um poto M tal que se > M, etão: a L < ε L ε < a < L+ε 8.37) Por outro lado como c é covergete existe um poto M 2 tal que se > M 2, etão: c L < ε L ε < c < L+ε 8.38) Agora seja M = max{m,em 2 } etão pela equação 8.37 L ε < a e como b > a temos que b > L ε. Já pela equação 8.38 b < L+ε e como c < b etão b < L+ε. Assim L ε < b < L+ε para todo > M e assim temos que b coverge a L. Exercícios. Ex Mostre que se a = a, etão a = a Ex Mostre que se a > 0, etão a 0 23

47 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada 8.3 ites ifiitos 8.3. Defiição de Limites Ifiitos Algumas sequecias, apesar de ão covergirem possuem um comportameto iteligível coforme o valor de cresce: a sequḙcia tora-se maior que qualquer úmero real C para valores suficietemete grades de. Para essas sequḙcias diremos que o ite é ifiito e usaremos a otação a ou a = Se uma sequḙcia se tora meor que qualquer úmero real C, para valores suficietemete grades de, diremos que o ite da sequḙcia é meos ifiito e deotaremos tal fato por: Limites Ifiitos a = b ou a b =. b = Dado uma sequḙcia a ) : N R, dizemos que o ite da sequḙcias a ) é mais ifiito, fato que deotaremos por a =, se para todo C R, existe M N tal que se > M etão a > C. Dado uma sequḙcia a ) : N R, dizemos que o ite da sequḙcias a ) é meos ifiito, fato que deotaremos por a =, se para todo C R, existe M N tal que se > M etão a < C. É importate observar que é somete uma otação para o fato da sequḙcia se torar maior que qualquer úmero atural para termos suficietemete grades. Dessa forma ão podemos realizar operações algébricas com o símbolo de ifiito. Em outras palavras as expressões ou /. ão fazem setido. Comecemos mostrado através da defiição que a sequḙcia a = possui ite ifiito. b 24

48 Exemplo 8.42 = Solução: Queremos provar que dado C > 0 existe M tal que se > M etão: > C Como a sequḙcia ão é itada restrita superiormete, pelo meos um de seus termos, digamos a M é maior que C. Agora se > M etão > M > C, como queríamos. Pode-se mostrar de modo aálogo que ) =. Um modo simples de mostrar que o ite de uma sequḙcia é é mostrado que a partir de um certo poto ela é maior que uma sequḙcia cujo ite já sabemos ser. De modo aálogo se uma sequḙcia a partir de um certo poto é meor que uma sequḙcia cujo ite é meos ifiito etão o ite dessa sequḙcia é meos ifiito. Teorema 8.43 de Comparação de Sequêcias) Sejam a e b duas sequêcias reais satisfazedo a b para todo.. Se a = etão b =. 2. Se b = etão a =. Exemplos 8.44 Como corolário do teorema aterior, temos os seguites ites, que são facilmete obtidos através de comparação com uma das sequḙcias a = e b =.. = 2.! = 3. 2 = 4. Dado k N etão k =. 5. Dado k N ímpar etão )k = 6. Dado k N par etão )k = 7. e = Proposição 8.45 Se a é uma sequêcia ão-decrescete e ão itada restrita superiormete, etão a. 25

49 Bases Matemáticas - Armado Caputi e Daiel Mirada Demostração: Seja C R, como a ão é itada restrita superiormete existe a N tal que a N > C. Como a sequḙcia a é ão-decrescete, se > N etão a a N > C e assim a. De modo aálogo, pode-se provar que se a é ão-crescete e ão itada restrita iferiormete etão seu ite é. Exemplo 8.46 l = Solução: A sequḙcia l) é moótoa crescete, logo temos duas possibilidades ou ela é itada restrita superiormete e esse caso coverge ou ela é iitada irrestrita superiormete e este caso seu ite é. Supoha que l fosse itada restrita superiormete. ou seja existe C R tal que l < C para todo N. Neste caso teríamos que = e l < e C, e a sequḙcia seria itada restrita superiormete. Absurdo. E assim temos que a sequḙcia l é iitada irrestrita e seu ite é A seguite proposição descreve o ite do iverso de uma sequḙcia os casos em que o ite da sequḙcia iicial é zero ou ifiito. Ituitivamete, ele os diz que o iverso de algo muito grade é muito pequeo, que o iverso de algo pequeo próximo de zero)e positivo é muito grade, e que que o iverso de algo pequeo próximo de zero) e egativo é muito grade em módulo, mas de sial egativo. Proposição 8.47 a 0 /a Se a > 0 e a = 0 etão =. a Se a < 0 e a = 0 etão =. a Se a 0 a = ou a = etão a = 0 a 0 /a 26

50 Exemplo 8.48 Se r > etão r = Solução: Se r > etão /r < o que implica que /r) = 0. Como /r) > 0, temos pela proposição 8.47 que r = /r) =. Exemplo 8.49 se /) = Solução: Como 0 < / < π /2 para todo N temos que se /) > 0. Por outro lado se /)) = 0. Desta forma pela proposição 8.47 podemos cocluir que : Exemplo 8.50 cos /) = se /) = Solução: Como cos /) < 0 para todo N e cos /) ) = 0, etão a proposição 8.47 implica que: Propriedades do Limite Ifiito cos /) = O ite ifiito possui as seguites propriedades algébricas: Propriedades Aditivas do Limite Ifiito Sejam a ), b ), c ) e d ) sequḙcias, tais que: a =, c = b = d = e seja e uma sequḙcia itada. restrita. Etão: 27