Universidade Federal de Santa Catarina. Departamento de Matemática. Curso de Licenciatura em Matemática. Um Estudo de Séries Numéricas em R

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1 Uiversidade Federal de Sata Cataria Departameto de Matemática Curso de Liceciatura em Matemática Um Estudo de Séries Numéricas em R por Ismael Turazzi Pereira Floriaópolis, julho de 2005.

2 Esta Moografia foi julgada adequada como TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO o Curso de Matemática - Habilitação Liceciatura, e aprovada em sua forma fial pela Baca Examiadora desigada pela Portaria o 24/CCM/05 Professora da disciplia: Carmem Suzae Comitre Gimeez Professor Orietador: Nereu Estaislau Buri Baca Examiadora: Prof o Jardel Morais Pereira Prof o Gustavo Adolfo T. F. da Costa Data da Defesa: 04 de julho de 2005.

3 Agradecimetos À Deus, pela existêcia e aos meus pais Sebastião e Maria, pela vida. A todos os meus familiares que acompaharam os meus passos, desde a ifâcia até os dias atuais. Em especial ao meu primo e amigo Edevar, compaheiro de muitas coversas. Aos colegas que ecotrei durate o curso, dos quais destaco as colegas Karla e Kelle e os colegas Dheleo, Raphael, Sadro e Miguel, pelas icasáveis tardes a biblioteca. Aos mestres, pela difícil batalha de guiar-os através do obscuro mudo da ciêcia. Etre estes, de forma especial ao professor e orietador Nereu Estaislau Buri, pelo seu apoio a elaboração deste trabalho, e aos membros da baca pelo tempo dispesado à sua leitura. Fialmete, aos matemáticos: Tales, Arquimedes, Euclides, Bhaskara, Leoardo da Vici, Galileu Galilei, Kepler, Fermat, Descartes, Newto, Leibiz, Euler, Gauss, Lobachewsky, Riema, Cator, Hilbert e a tatos outros que cotribuiram para o desevolvimeto da ciêcia. i

4 Ídice Apresetação Itrodução 2 Seqüêcias em R 3. Itrodução Limite de uma Seqüêcia Propriedades Aritméticas dos Limites Seqüêcias de Cauchy Limites Ifiitos Propriedades dos Limites Ifiitos Séries Numéricas em R 5 2. Covergêcia de Séries Operações com Séries Critérios de Covergêcia Séries Alteradas Algumas Aplicações ii

5 Cosiderações Fiais 38 Bibliografia 39 iii

6 Apresetação Para a maior parte dos estudates, e o meu caso especificamete, o primeiro cotato com as somas ifiitas ou séries se deu através do estudo das progressões geométricas, aida o esio médio. Naquele mometo, a perguta mais itrigate foi a seguite: como é possível a soma de uma ifiidade de parcelas, sedo todas positivas, ão crescer idefiidamete? Posteriormete, já cursado matemática esta Uiversidade tive a oportuidade de mais uma vez deparar-me com as ditas séries. Porém, desta vez com um aparato teórico cosideralvemete maior foi possível esclarecer algumas dúvidas, como a apresetada acima, equato outras mais sútis surgiam. De toda forma, a teoria de séries camihou lado a lado com todas as disciplias de cálculo e aálise estudadas ao logo do curso. Este foi o pricipal motivo que impulsioou a elaboração do presete trabalho, rever e reforçar parte desta importate ferrameta da matemática.

7 Itrodução O presete trabalho tem como objetivo pricipal fazer um estudo acerca das somas ifiitas ou séries. Para tato, cosideramos ecessário um estudo prelimiar sobre seqüêcias em R, sedo este o assuto do primeiro capítulo. No capítulo seguite tratamos etão das séries reais, partido da sua defiição e desevolvedo todos os seus resultados mais importates. É importate obeservarmos que, muito embora a teoria de séries como a- presetada este trabalho teha sido desevolvida jutamete com o cálculo modero, as idéias que resultaram esta teoria já faziam parte dos estudos e dos resultados ecotrados os trabalhos de matemáticos gregos, etre os quais destacamos Arquimedes. Os trabalhos de Arquimedes que se ocuparam pricipalmete do método da exaustão aplicavam a idéia de somas ifiitas. Arquimedes ão sugeriu diretamete em seus trabalhos as somas ifiitas pois processos ifiitos eram mal vistos em seu tempo. Posteriormete, muitos matemáticos estudaram sobre o comportameto de determiadas séries, mas ehum deles teve tato êxito quato os cosiderados ivetores do cálculo: Isaac Newto (642, 727) e Gottfried Wilhelm Leibiz (646, 76). 2

8 Capítulo Seqüêcias em R Nesta seção estudamos as seqüêcias de úmeros reais, partido de sua defiição e desevolvedo a teoria a partir dos teoremas mais importates. O bom etedimeto deste capítulo se faz ecessário para a compreesão do capítulo seguite, pois a maior parte dos resultados sobre séries exige o cohecimeto sobre seqüêcias a sua demostração.. Itrodução Do poto de vista ituitivo, uma seqüêcia em R pode ser etedida como uma lista ordeada (x, x 2,, x, ) de úmeros reais idexados pelos úmeros aturais. Formalmete temos: Defiição.. Uma seqüêcia de úmeros reais é uma fução x : N R defiida o cojuto dos aturais N e tomado valores em R, de forma que x() x com N. Neste caso chamamos x de termo de ordem da seqüêcia x, ou aida -ésimo termo da seqüêcia. Deotamos (x, x 2,, x, ) ou (x ) N ou simplesmete (x ) para represetar a seqüêcia x. Defiição.2. Uma seqüêcia é limitada quado o cojuto dos seus termos for limitado, ou seja, quado existem a e b R tais que a x b N. Observação: Segue da defiição que: (x ) é limitada, se e somete se, ( x ) for limitada. 3

9 Demostração: Sabemos que todo itervalo [a, b] está cotido um itervalo [ c, c] c R, basta para tato tomarmos c máx { a, b }. Como a codição x [ c, c] é equivalete a ( x ) c, vimos que uma seqüêcia é limitada, se e somete se, existe um úmero real c > 0 tal que ( x ) c N, ou seja, ( x ) é limitada. Quado uma seqüêcia (x ) ão é limitada, diz-se que ela é ilimitada. Defiição.3. Uma seqüêcia (x ) diz-se limitada superiormete quado existe um úmero real b tal que x b N, ou seja, todos os termos da seqüêcia pertecem ao itervalo (, b]. Aalogamete, defie-se seqüêcia limitada iferiormete. Assim, (x ) é limitada se, e somete se, (x ) for limitada superior e iferiormete. Exemplo.4. (x ), x =, N; isto defie a seqüêcia (, 2, 3, ), que é evidetemete limitada iferiormete por qualquer úmero b, b R. Exemplo.5. (x ), x =, N; defie a seqüêcia (,,, ), 2 3 limitada superiormete. Exemplo.6. (x ), x =, N; defie a seqüêcia costate (,, ), que é obviamete limitada. Defiição.7. Uma seqüêcia (x ) chama-se crescete quado x < x 2 < x 3 < isto é, x < x +, N. Se vale x x +, N, etão a seqüêcia (x ) é ão-decrescete. Aalogamete, quado x > x +, N, dizemos que (x ) é decrescete. Se vale x x +, N, etão a seqüêcia (x ) é ão-crescete. Exemplo.8. (x ), x = ; (x ) é crescete. Exemplo.9. (x ), x = ; (x ) é decrescete. {, se ímpar; Exemplo.0. (x ), x =, se par. As seteças acima defiem a seqüêcia (,, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, ). Logo (x ) é ão-decrescete. 4

10 As seqüêcias crescetes, ão-decrescetes, decrescetes e ão-crescetes são chamadas de seqüêcias moótoas. Defiição.. Dada uma seqüêcia X = (x ) N de úmeros reais, uma subseqüêcia de X, é a restrição da fução X a um subcojuto ifiito N = { < 2 < 3 < < i < } de N. Escreve-se X = (x ) N, ou (x, x 2,, x i, ), ou (x i ) i N, para idicar a subseqüêcia X = X N. Exemplo.2. Seja x = ( ), N. Temos X = (,,,, ). Etão, X = (,,,, ) é uma subseqüêcia de X. Trata-se da restrição de N ao cojuto {, 3, 5, 7, } dos aturais ímpares. Temos aida a subseqüêcia X = (), costate. Neste caso é a restrição de N ao cojuto dos aturais pares..2 Limite de uma Seqüêcia Ituitivamete, dizer que a seqüêcia (x ) possui limite L, L R, sigifica dizer que para valores muito grades de, os termos da seqüêcia vão se aproximado cada vez mais de L. A defiição formal é a que segue. Defiição.3. Seja (x ) uma seqüêcia dada. L é limite de (x ), (deotase por lim x = L) se, e somete se, para todo ɛ > 0, ɛ R, existir 0 N tal que para todo 0 temos x (L ɛ, L + ɛ). Nesse caso diz-se que (x ) coverge para L. Em liguagem puramete simbólica descrevemos: lim x = L ɛ > 0, ɛ R, 0 N / 0 x L < ɛ. Evidetemete, 0 depede de ɛ e, aturalmete é de se esperar que quato meor for dado ɛ, maior será o ídice 0 para o qual 0 implica em x (L ɛ, L + ɛ). Quado (x ) ão possui limite (ão coverge), diz-se etão que (x ) diverge. Exemplo.4. (x ), x = a, a R; Neste exemplo, lim x = a, pois ɛ > 0, ɛ R, temos x a = a a = 0 < ɛ. Nesse caso, 0 pode ser qualquer. 5

11 Exemplo.5. (x ), x =. Esta seqüêcia diverge, pois como pode-se verificar, x ão se aproxima de valor algum. Teorema.6. (Uicidade do Limite) Seja (x ) uma seqüêcia dada. Se lim x = a e lim x = b, a, b R, etão a = b. Demostração: (vamos mostrar que a distâcia etre a e b é meor que qualquer úmero positivo dado). Seja ɛ > 0. Etão, existem 0, N tais que: 0 x a < ɛ 2 x b < ɛ 2 Seja 2 = máx { 0, }. Logo, 2 x a < ɛ 2 e x b < ɛ 2. Vejamos, a b = a x +x b = (a x )+(x b) a x + x b < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Portato a b < ɛ. Logo a b = 0, dode segue que a = b. Teorema.7. Se lim x para a. = a, etão toda subseqüêcia de (x ) coverge Demostração: Seja (x, x 2,, x i, ) uma subseqüêcia de (x ). Dado ɛ > 0, existe 0 N tal que 0 x a < ɛ. Como os ídices da subseqüêcia formam um subcojuto ifiito, existe etre eles um i0 > 0. Etão, para i i0 teremos i > 0. Isto implica em x i a < ɛ. Logo, lim x i = a. Teorema.8. Toda seqüêcia covergete é limitada. Demostração: Seja lim x = a. Etão, ɛ > 0, ɛ R, 0 N / 0 x (a ɛ, a + ɛ). Tomamos ɛ =. Assim, existe 0 N / 0 x (a, a + ). Cosideramos o cojuto fiito C = {x, x 2, x 3,, x 0, a, a + }. O Cojuto C, por ser fiito possui um elemeto máximo e um elemeto míimo. Seja a o míimo e b o máximo de C. Assim temos a x b, N. Portato (x ) é limitada. 6

12 Como coseqüêcia do teorema acima, toda seqüêcia ilimitada é divergete. Observação: A recíproca deste teorema é falsa, basta vermos que (x ) = (0,, 0,, 0,, ) é limitada, e o etato (x ) diverge. Teorema.9. Toda seqüêcia moótoa limitada coverge. Demostração: Seja (x ) uma seqüêcia moótoa limitada. Supohamos (x ) ão-decrescete. Seja X = {x ; N}. Por hipótese X é limitado e evidetemete X { }. Logo X possui supremo. Seja S = SupX. (Vamos provar que lim x = S). Seja ɛ > 0, ɛ R. Etão existe 0 N tal que S ɛ < x 0 < S (defiição de supremo). Como (x ) é ão-decrescete segue que 0 implica em x x 0 e portato, S ɛ < x S. Assim, x (S ɛ, S + ɛ), 0. Logo, lim x = S. Corolário.20. Se uma seqüêcia (x ) moótoa possui uma subseqüêcia covergete, etão (x ) é covergete..3 Propriedades Aritméticas dos Limites Teorema.2. Se lim x = 0 e (y ) é uma seqüêcia limitada, etão lim x.y = 0 (mesmo que ão exista o limite de (y )). Demostração: Sedo (y ) limitada, existe k > 0, k R, tal que y < k, N. Seja ɛ > 0, ɛ R. Como lim x = 0 existe 0 N tal que 0 implica em x 0 = x < ɛ. Logo, para todo k 0, (x.y ) 0 = x.y < x.k < ɛ k.k = ɛ Ou seja, 0 (x.y ) 0 < ɛ. Assim, lim x.y = 0. Exemplo.22. lim se = 0, pois lim = 0 e (se ) é limitada. Teorema.23. Se lim x = a e lim y = b, etão, (i) lim(x + y ) = a + b; 7

13 (ii) lim c.(x ) = c.a, c R; (iii) lim(x.y ) = a.b; (iv) lim( x y ) = a, se b 0. b Demostração: (i) Dado ɛ > 0 existem e 2 N tais que x a < ɛ 2 e 2 y b < ɛ 2 Seja 0 = max{, 2 }. Para 0 temos etão: (x + y ) (a + b) = (x a) + (y b) x a + y b < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. a + b. Ou seja, 0 temos (x +y ) (a+b) < ɛ. Portato, lim(x +y ) = (ii) Seja ɛ > 0. Como lim x = a, existe 0 N tal que 0 implica em x a < ɛ c (supohamos c 0). Para 0 temos etão Portato, lim c.x = c.a. c.x c.a = c. x a < c. ɛ c = ɛ Observe que para c = 0 a igualdade é imediata. (iii) Vamos provar que lim(x.y a.b) = 0, o que pelos ites (i) e (ii) implica em lim(x.y ) = a.b. Vejamos: x.y a.b = x.y x.b + x.b a.b = x.(y b) + b.(x a) Temos (x ) limitada, pois (x ) coverge. Por (i), lim(y b) = lim(y ) lim b = b b = 0 (lim b = b), pois b este caso represeta a seqüêcia costate (b, b, b, b, ). Pelo teorema.2, lim x.(y b) = 0 Por raciocíio aálogo, lim b.(x a) = 0. Assim, lim(x.y a.b) = lim x.(y b) + lim b.(x a) = 0 Portato, lim x.y a.b = 0, dode segue que lim x.y = a.b. (iv) Iremos provar que lim( x y a b ) = 0. 8

14 Observe que: para todo tal que y 0 x y a b = b.x a.y b.y = b.y.(b.x a.y ) Pelos ites (i), (ii) e (iii), temos que lim(b.x a.y ) = b.a a.b = 0. Vamos mostrar agora que ( b.y ) é limitada. Como lim(b.y ) = b 2 > 0, etão para ɛ = b2 2, existe 0 N tal que 0 implica em (b.y ) (b 2 b2 2, b2 + b2 2 ). Em particular, b.y > b2 2 para 0. Assim, para todo 0 temos 0 < b.y < 2. b 2 Como o cojuto { b.y, b.y 2,, b.y } é fiito, segue que ( b.y ) é limitada. Assim, pelo teorema.2, Portato, lim x y = a b. lim( x y a b ) = lim b.y. lim(bx ay ) = 0 Teorema.24. Sejam (x ), (y ), (z ) seqüêcias que, a partir de um certo ídice satisfazem x z y. Se lim x = lim y = a, etão lim z = a. Demostração: Seja ɛ > 0. Etão existem, 2 N tais que x (a ɛ, a + ɛ) e 2 y (a ɛ, a + ɛ) Seja 0 = max{, 2, }. Etão, para todo 0 temos: a ɛ < x z y < a + ɛ, ou seja z (a ɛ, a + ɛ). Logo, lim z = a. Teorema.25. Toda seqüêcia limitada de úmeros reais possui uma subseqüêcia covergete. Demostração: Seja (x ) uma seqüêcia limitada. Etão, existem a e b R tais que a x b N. Cosideremos o cojuto C = {y R/y x para uma ifiidade de ídices }. S. Note que: () a C, e portato C { }; (2) C é limitado superiormete. Logo, C possui supremo em R, digamos 9

15 Provamos a seguir que S é limite de uma subseqüêcia de (x ). Seja ɛ > 0. Por ser S = Sup C, existe y 0 C tal que S ɛ < y 0 < S. Como y 0 C, existe uma ifiidade de ídices para os quais x y 0, e portato x > S ɛ. Observamos que S + ɛ ão pertece ao cojuto C, e assim, existe apeas um úmero fiito de ídices para os quais x S + ɛ. Costruimos uma subseqüêcia de (x ) que coverge para S: Seja ɛ = e x um termo de (x ) tal que x S < ; Seja ɛ = e x 2 2 um termo de (x ) tal que x 2 S < ; 2 Seja ɛ = e x 3 3 um termo de (x ) tal que x 3 S <. 3 Assim sucessivamete, obtemos a subseqüêcia (x j ) com < 2 <, satisfazedo x j S < j N. j Mostramos que (x j ) tem limite S. Seja ɛ > 0. Se k N e k >, etão ɛ para todo ídice j, com j > k temos x j S < < < ɛ. Logo, (x j k j ) coverge para S..4 Seqüêcias de Cauchy Iformalmete, uma seqüêcia (x ) é de Cauchy se, a partir de um certo ídice, os termos da seqüêcia toram-se cada vez mais próximos us dos outros. Defiição.26. A seqüêcia (x ) é de Cauchy se para todo ɛ > 0 existir 0 N tal que para quaisquer m, 0 tem-se x m x < ɛ O teorema seguite afirma que a classe das seqêcias de Cauchy é idêtica a classe das seqüêcias covergetes. Teorema.27. Uma seqüêcia (x ) é covergete, se e somete se, (x ) for uma seqüêcia de Cauchy. Demostração: ( ) Toda seqüêcia covergete é de Cauchy. Seja (x ) uma seqüêcia tal que lim x = a. Seja ɛ > 0. Etão, 0 N/ 0 x a < ɛ. 2 Sejam m, 0. Etão, x m a < ɛ 2 e x a < ɛ 2 0

16 Logo, x m x = x m a + a x x m a + x a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Assim, x m x < ɛ, m, 0 e portato, (x ) é de Cauchy. ( ) Se (x ) é uma seqüêcia de Cauchy, etão (x ) coverge. Para provarmos a volta do teorema precisamos dos seguites resultados: () Toda seqüêcia de cauchy é limitada. Vejamos: Seja (x ) de Cauchy. Tomado ɛ =, obtemos 0 N tal que m, 0 implica em x m x <. Em particular, 0 x 0 x <, ou seja, 0 x (x 0, x 0 + ). Seja α o meor e β o maior elemeto do cojuto X = {x, x 2, x 3,, x 0, x 0 + }. Etão, x [α, β], N. Logo, (x ) é limitada. (2) Se uma seqüêcia (x ) de Cauchy possui uma subseqüêcia que coverge para a, a R, etão lim x = a. De fato, por (x ) ser de Cauchy, dado ɛ > 0, 0 N / m, 0 x m x < ɛ 2. Existe também 0 / x a < ɛ. (Ver resultado e teorema.25) 2 Portato, 0 x a x x + x a < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ. Logo, lim x = a. Visto os resultados acima, voltamos a demostração do teorema. Seja (x ) uma seqüêcia de Cauchy. Por (), (x ) é limitada. Pelo teorema.25, (x ) possui uma subseqüêcia covergete. Fialmete, por (2), cocluímos que (x ) coverge.

17 .5 Limites Ifiitos Etre as seqüêcias divergetes, podemos observar a existêcia daquelas cujos termos, a partir de um certo ídice, toram-se arbitrariamete grades e são positivos, e de outras, cujos termos toram-se arbitrariamete grades em módulo, mas são todos egativos. Defiição.28. Dizemos que a seqüêcia (x ) tede a mais ifiito, e deotamos por x +, se dado qualquer M > 0, M R, existe 0 N tal que 0 implica em x > M. Aalogamete, x se, dado N < 0, N R, existe N tal que implica em x < N. Exemplo.29. (x ), x =. É trivial provarmos que x +, pois dado M > 0, basta tomarmos 0 > M e temos x > M, 0 pois x =. Exemplo.30. (x ), x = 2. Provamos que x De fato, seja N < 0. Etão x = 2 < N 2 > N > N (lembre-se que N < 0 e portato N > 0). Assim, basta tomarmos 0 como sedo qualquer iteiro maior que N. Logo, 2. Exemplo.3. (x ), x = ( ). Esta seqüêcia ão tede em a meos ifiito em a mais ifiito, pois seus termos oscilam a reta, sedo ora egativo, ora positivo. Observação: Deve-se observar com toda êfase que + e ão são úmeros reais. As seqüêcias (x ) para as quais lim x = + ou lim x = ão são covergetes. Estas otações servem apeas para dar iformação sobre o comportameto das seqüêcias para valores grades de..6 Propriedades dos Limites Ifiitos () Sejam as seqüêcias (x ) e (y ) tais que x + e (y ) é limitada iferiormete. Etão, (x + y ) tede a +. 2

18 Demostração: Seja M > 0, M R. Sedo (y ) limitada iferiormete, existe K R tal que y K, N. Como x +, existe 0 N tal que se 0, etão x > M K. Assim, para todo 0, temos x +y > M K + K = M, ou seja, x + y > M. Portato (x + y ) +. Exemplo.32. (x ), x = 2, N. Observamos que x + e (x ) é limitada iferiormete. Assim, (x + x ) = (2 2 ) + Exemplo.33. (x ), x = 2 2, N; Temos que x +. Seja (y ), y = 2, N ; (y ) ão é limitada iferiormete. Aida assim, (x + y ) = (2 2 2 ) = 2 +. Este exemplo prova que a recíproca do resultado provado acima é falsa. (2) Se x + e (y ) é limitada iferiormete por um úmero positivo, etão x.y +. Demostração: Temos C R, C > 0 tal que (y ) C N. +. Seja M > 0. Existe 0 N tal que 0 implica em x > M C. Assim, para 0 temos x.y > M C.C = M, o que prova que x.y Exemplo.34. (x ), x = 2, N; x + (y ), y = + 2, N; (y ) é limitada iferiormete por. Logo, x.y = Exemplo.35. (x ), x = 2, N; x + (y ), y =, N; ão satisfaz a hipótese. No etato, x.y = + Este exemplo mostra que a recíproca da propriedade (2) ão é válida. (3) Seja (x ) uma seqüêcia de úmeros reais positivos. Etão x + se, e somete se lim( x ) = 0. Demostração: ( ) Supoha que x +. Seja ɛ > 0. Existe 0 N tal que 0 implica em x >. Assim, para todo ɛ 0 temos x < ɛ. Como x > 0, segue que 0 < x < ɛ, ou seja, x 0 < ɛ. Logo, lim( x ) = 0. 3

19 ( ) Supoha lim x = 0. Seja M > 0. Existe 0 N tal que se 0 temos x 0 < M pois x > 0. +., ou seja x < M, Logo, para 0 temos x > M, dode podemos cocluir que x Observação: Ituitivamete, o que o resultado acima mostra é que se os termos de uma seqüêcia toram-se ifiitamete grades, etão o iverso destes termos devem se torar ifiitamete pequeos, positivamete, e portato, devedo ser zero. (4) Sejam (x ) e (y ) seqüêcias de úmeros reais positivos. Se (x ) é limitada iferiormete por um úmero positivo e se lim y = 0, etão x y +. Demostração: Seja c > 0, c R, tal que x c, N. Seja M > 0. Existe 0 N tal que se 0 etão 0 < y < c M. Logo, para 0, x y Portato, x y +. c y > c c M = M e assim, x y > M. (5) Sejam (x ) e (y ) seqüêcias de úmeros reais positivos. Se (x ) é limitada e y +, etão lim( x y ) = 0. Demostração: Seja K > 0 tal que x K, N. Seja ɛ > 0. Existe 0 N tal que se 0 temos y > K ɛ. Logo, para 0, temos: x y K y < K K ɛ = ɛ x y < ɛ e assim se 0 temos x y 0 < ɛ, e portato lim x y = 0. 4

20 Capítulo 2 Séries Numéricas em R Seja a R, para todo N. A expressão m = a represeta a soma a + a a m, ou seja a soma de uma quatidade fiita de úmeros reais. Se, o etato, fosse escrito a, o que isso represetaria? Uma soma ifiita? = Faremos agora um estudo o setido de estedermos a operação de adição (até agora defiida para um úmero fiito de úmeros reais) de modo a atribuir sigificado a uma igualdade do tipo =, a qual o primeiro membro é uma soma com uma ifiidade de parcelas. É claro que ão tem setido somar uma seqüêcia ifiita de úmeros reais. O que o primeiro membro da igualdade acima exprime é o limite lim ( ). Defiimos assim, somas ifiitas através de limites. Dessa forma, é de se esperar que algumas somas possam ser efetuadas (isto é, covirjam) e outras ão, já que em toda seqüêcia possui limite. As expressões do tipo a = serão chamadas de séries em vez do termo soma ifiita. A parcela a é chamada o -ésimo termo ou termo geral da série. O problema pricipal da teoria das séries é determiar quais são covergetes e quais ão são, ou seja, determiar quado uma soma com uma ifiidade de parcelas resulta um úmero real e quado ão. 5

21 2. Covergêcia de Séries Seja (a ) uma seqüêcia de úmeros reais, e a uma série. Defiimos a seqüêcia das somas parciais de a como sedo a seqüêcia (s ) abaixo: s = a s 2 = a + a 2 = s + a 2 s 3 = a + a 2 + a 3 = s 2 + a 3... s = a + a a = s + a Observe que, se (s ) coverge, digamos para S, etão lim s = S, ou seja, lim (a + a a ) = a = S, dode resulta a seguite defiição: = Defiição 2.. Dizemos que a série a coverge para S se a seqüêcia = (s ) de suas somas parciais tem limite S. Neste caso, S é a soma da série a. = = = Se (s ) ão possui limite, dizemos que a série a diverge. Observação: Pode-se algumas vezes represetar uma série da forma = a =0 ou a, ou mesmo a. Ou seja, podemos icluir o termo a 0 ou começar =2 =k a partir de um certo termo a k que isto ão acarretará problemas o estudo de covergêcia da série. Isto se exprime dizedo que o caráter de covergêcia de uma série ão se altera se dela omitimos (ou acrescetamos) um úmero fiito de termos. De fato, supoha que a série a covirja, digamos para S, ou seja = a = S. Logo, a = a 0 + a = a 0 +S. Portato a é covergete = =0 também. Se agora fizermos a = =k =k = a temos: =0 a (a + a a k ) = S (a + a a k ). = 6

22 Portato, a coverge para S (a + a a k ). =k Como estamos avaliado o caráter de covergêcia, o estudo ão fica alterado se da série omitimos ou acrescetamos um úmero fiito de termos, como já afirmado acima. Etretato, é obvio que a retirada ou o acréscimo de certos termos irá afetar a soma e, portato, a série modificada poderá covergir para um valor diferete daquele para o qual a série iicial coverge. Exemplo 2.2. Temos: ( ) = = s = s 2 = 0 s 3 = s 4 = 0... A seqüêcia (s ) fica assim defiida: s = {, se é ímpar; 0, se é par. Com base os estudos sobre seqüêcias, podemos afirmar que (s ) diverge e portato, a série ( ) é divergete. = Se lhe fosse pergutado quato vale a soma ( ) ão lhe passaria pela cabeça dar o valor zero como resposta? Afial, ão se aulam aos pares as parcelas cosecutivas? Mas ( ) diverge e, assim, a soma ( + + ) ão vale zero! = Este é um exemplo iteressate que os mostra ser ecessário reavaliar ossos coceitos quado os deparamos com uma ova realidade. Nesse caso, ossa ova realidade são as somas ifiitas ou séries, que em sempre estarão de acordo com os coceitos e idéias já cristalizados para somas fiitas de úmeros reais. Exemplo 2.3. Vejamos a série =.(+) 7

23 Para facilitar a obteção do termo geral da seqüêcia das somas parciais (s ), é iteressate observar que: Assim, s = 2 s 2 = ( 2 ) + ( 2 3 ) = 3 s 3 = ( ) + ( ) = s =. + Vejamos,.( + ) = + lim s = lim( ) = 0 =. + Portato, = coverge, e sua soma vale,.(+) = =.(+) Exemplo 2.4. Faremos agora um estudo sobre a série geométrica a R, que provavelmete é o exemplo mais cohecido de série covergete. Vejamos, a = a 0 + a + a a + = + a + a 2 + =0 Vamos ecotrar (s ): s = s 2 = + a s 3 = + a + a 2... s = + a + a a =0 a, Etão, (s.a) = a + a 2 + a a dode chegamos a s = a a s s a = s ( a) = a 8

24 Precisamos agora avaliar a questão de covergêcia de (s ), pois disso depede a covergêcia da série a. = Para tato, cosideramos os seguites casos: a <, a >, a =. o ) Se a <, etão lim a = 0. Portato, (s ) coverge para a. 2 o ) Se a >, etão lim a = + e, portato, (s ) diverge. 3 o ) Se a =. Vejamos: se a =, etão a = = + + +, que diverge. =0 se a =, etão a = + +, que também diverge. =0 Assim, a coverge se, e somete se, a <. =0 Neste caso, sua soma vale. Observamos que este é o caso das progressões a geométricas com razão q, ode q <. Exemplo 2.5. Chama-se série harmôica de ordem p a série =, p Q. p Adiate será mostrado que esta série coverge se p < e diverge se p. Vejamos agora o caso em que p = : Mostramos que = =. diverge, provado que (s ) diverge. Vejamos: s 2 = + 2 +( )+( )+ +( ) > = + 2, N. Como (s 2 ) > ( + ) e lim ( + ) = +, etão lim (s 2 2 2) = +. Por coseguite lim s = + e, portato, (s ) é divergete. 2.2 Operações com Séries A partir das propriedades aritméticas do limite de seqüêcias, temos os seguites resultados: ) Se as séries a e b são covergetes, etão a série (a + b ) é = = covergete, com (a + b ) = a + b. = = = = 9

25 Demostração: Supohamos que a e b são covergetes, com somas A e B respectivamete. Assim, = = lim s = A e lim t = B, ode (s ) e (t ) são as seqüêcias das somas parciais de = a e b, respectivamete. A seqüêcia das somas parciais da série (a + b ) será (c ), com c = s + t, N. = Temos lim c = lim s + lim t = A + B. Assim, a série (a + b ) coverge para A + B, ou seja = (a + b ) = A + B = a + b. = = = = 2) Se a coverge e tem soma A, etão para todo r em R temos = r.a = r. a. = Demostração: Seja (s ) a seqüêcia das somas parciais da série = Temos etão lim s = A. A seqüêcia das somas parciais da série Vejamos: lim r.s = r. lim s = r.a. Assim, r.a = r.a = r. a. = = = r.a é (r.s ). = a. Segue diretamete dos resultados acima que: 3) Se a e b covergem com somas A e B, respectivamete, etão = = (a b ) coverge para A B. = Para provarmos este resultado basta observarmos que (a b ) = a + ( ).b e usarmos () e (2). 4) Se a coverge e b diverge, etão a série (a + b ) diverge. = = = 20

26 Demostração: Sejam (s ) e (t ) as seqüêcias das somas parciais de e b, respectivamete. = a = Seja (c ) a seqüêcia das somas parciais da série (a + b ). Assim, c = s + t, N. Por hipótese (s ) coverge e (t ) diverge, dode cocluimos que (c ) diverge. Logo, (a + b ) diverge. = 5) Se a e b são ambas divergetes, etão ada se pode afirmar acerca = = da série (a + b ). = Vejamos: a) Sejam a = e b =. Logo, (a + b ) = 2 e, portato, (a + b ) diverge. = b) Sejam a = e b =. Assim, a +b = 0. Logo, que coverge. = 0 = (a +b ) Nos exemplos vistos até o mometo, coseguimos avaliar a covergêcia ou ão de uma série, a partir da determiação e do estudo da seqüêcia das somas parciais (s ) referetes a série dada. Porém, é frequetemete impossível e usualmete tedioso examiar a covergêcia de uma dada série pelo cálculo de suas somas parciais. Devemos portato, desevolver métodos que possibilitem a avaliação de covergêcia de séries a partir do seu termo geral a. 2.3 Critérios de Covergêcia Teorema 2.6. A série a coverge se, e somete se, para todo ɛ > 0 existe = um atural 0, depedete de ɛ, tal que a k < ɛ quado m 0. Demostração: Observe que, sedo (s ) a seqüêcia das somas parciais de a, etão a k = s s m. = k=m k=m = = 2

27 ( ) Hipótese: a coverge. = Tese: ɛ > 0, 0 N tal que a k < ɛ quado m 0. k=m = De fato, sedo a covergete, etão (s ) é covergete (segue diretamete da defiição de covergêcia de séries). Como (s ) é covergete, etão (s ) é uma seqüêcia de Cauchy e, assim, para todo ɛ > 0 existe 0 N tal que a k < ɛ para m 0. k=m ( ) Supohamos que para todo ɛ > 0 existe 0 N tal que a k < ɛ, para m 0. Assim, s s m < ɛ e, portato (s ) é uma seqüêcia de Cauchy, ou seja, (s ) é covergete. Portato, a coverge. = Observação: Algus livros apresetam este teorema com o ome de Critério de Cauchy para Séries. Este resultado é de iteresse pricipalmete teórico, oferecedo um critério de covergêcia geral para séries, mas que ifelizmete é difícil aplicá-lo a prática. Por isso, veremos os resultados seguites, que embora careçam da geeralidade do teorema acima, forecem cômodos testes de covergêcia para um grade úmero de casos. Teorema 2.7. Se a série a coverge, etão lim a = 0. = k=m Demostração: Seja (s ) a seqüêcia das somas parciais da série Como a coverge, temos S R tal que lim s = S. = Evidetemete, lim s = S. Lembramos aqui que s s = a. Assim, lim a = lim s lim s = S S = 0. Logo, lim a = 0. Observamos que este teorema ão forece uma codição suficiete para afirmar se uma dada série coverge. Porém, forece codição suficiete para = a. 22

28 cocluir se uma série diverge. Basta para isso que o limite do termo geral da série seja diferete de zero. É iteressate, portato, euciarmos o teorema acima de uma outra forma, aida que equivalete a primeira, a saber: Seja a uma série qualquer. Se lim a 0, etão a é divergete. = Exemplos de aplicação do teorema: Exemplo 2.8. = Vejamos, a = Portato, Exemplo 2.9. = ; 2 ; lim( 2 ) = diverge. se; = a = se; lim se ão existe, dode cocluimos que se diverge. Exemplo 2.0. = ; a = ; lim( ) = 0. Podemos decidir alguma coisa sobre a covergêcia desta série? Não! (Veja o teorema 2.7). Teorema 2.. Seja a 0 para todo N. A série a coverge se, e = = = somete se, a seqüêcia das somas parciais (s ) for limitada. Demostração: Sedo a 0, temos s s 2 s 3, ou seja, (s ) é mootamete ão-decrescete. Assim, (s ) coverge se, e somete se, for limitada. (Resultado de seqüêcias visto a seção aterior). O teorema acima ão é utilizado diretamete o estudo de séries quato a sua covergêcia, porém, segue diretamete deste teorema o seguite resultado. Corolário 2.2. (Critério da Comparação) Sejam a e b séries de = termos ão egativos, com a b, para todo N. Assim, = 23

29 (i) Se a coverge, etão b coverge; = = (ii) Se b diverge, etão a diverge. = = Demostração: Sejam (s ) e (t ) as seqüêcias das somas parciais de e b, respectivamete. = (i) Como a coverge, temos lim s = S, ou seja, = a = a = S, S R. Observamos que a seqüêcia (t ) é mootoamete ão decrescete, pois t t 2 t. Além disso, = t = b k a k a k = S k= k= k= = Portato, (t ) é limitada. Por ser moótoa e limitada (t ) coverge. Logo, b coverge. = (ii) Supohamos por absurdo que a coverge. Etão, b é covergete (ítem (i)). Mas isto cotradiz a hipótese. Portato, a é divergete. = Observamos que o critério demostrado acima exige que a b para todo N. Porém, este critério cotiua sedo válido mesmo quado a b a partir de um certo ídice 0. Ou seja, dada as séries a e b de termos = ão egativos, tais que a b para todo 0, etão (i) a covergêcia de a implica a covergêcia de b. = = (ii) a divergêcia de b implica a divergêcia de a. = Demostração: Sejam (s ) e (t ) as seqüêcias das somas parciais de e b, respectivamete. Seja c = max{a, b }, N. Defiimos = M = 0 = Como c a e c b, temos 0 = c = c + c 2 + c c 0 = a M e 0 = = = b M. a = 24

30 (i) Por hipótese, ode S R. a coverge. Assim, lim s = S, ou seja a = S, = A seqüêcia (t ) é mootamete ão-decrescete, pois t t 2 t 3 t. Além disso, = t = b k k= b = = 0 = b + = 0 b M + = 0 b. Como a b para 0, etão M + = 0 b M + = 0 a M + a = M + S. = Logo, t M + S e, portato, (t ) é limitada. Cocluimos etão que (t ) coverge e, assim, b coverge. (ii) Supohamos por absurdo que a série a seja covergete. Co- cluimos assim que b é covergete, o que cotradiz a hipótese. = Portato, a diverge. = O critério demostrado acima é muito útil para avaliarmos a covergêcia ou ão de uma dada série, através da comparação desta com uma outra série = previamete cohecida, agido da seguite forma: Se a série cujo os termos são maiores for covergete etão, obrigatoriamete, a outra será covergete. Se a série com os termos meores divergir etão a outra irá divergir também. Fizemos um estudo das séries abaixo, quato a sua covergêcia, com base o critério da comparação. Exemplo 2.3. Cosideramos a série Observamos que,. Assim,,. Como a série = =. diverge, cocluimos que = = diverge. 25

31 Exemplo 2.4. Cosideramos a série Notamos que 2, 2. = = Logo, = ( 2 2 ), 2. Como ( 2 ) coverge, cocluimos que ( ) coverge. Exemplo 2.5. Cosideramos a série = = Observamos que < Como 4 = 4. ( 5 5 ) que coverge, etão = = Exemplo 2.6. Cosideramos a série =. 2 = 4 coverge. 3+5 = Temos que,. 2 Sabemos que a série é divergete. A partir disso ão podemos cocluir coisa alguma acerca da covergêcia da série comparação. = 2 usado o critério da Teorema 2.7. (Critério da Itegral) Sejam a uma série de termos positivos e f : [, ) R a fução obtida pela itrodução da variável cotíua x o lugar da variável discreta, ou seja, a fução f é tal que f() = a, N. Assim, se f for cotíua e decrescete, etão a série a e a itegral = imprópria f(x)dx covergem ou divergem simultaeamete. Demostração: = 26

32 Supohamos primeiro que f(x)dx covirja. Assim, reportado-os a figura (a) e raciociado em termos de área, fica claro que a k f(x)dx f(x)dx. k=2 Seja (s ) a seqüêcia das somas parciais associadas a série a. Por hipótese a > 0 e portato, (s ) é mootamete crescete. Temos aida que = s = a k = a + a k a + k= k=2 f(x)dx. Logo, (s ) é limitada. Como (s ) é moótoa e limitada, (s ) coverge. Logo, a série a coverge. = Cosideramos agora o caso em que Assim, a itegral + Observamos através da figura (b) que f(x)dx seja divergete. f(x)dx tede para o ifiito quado +. s = a k k= + f(x)dx. Portato, (s ) é ilimitada e, assim, divergete. Cocluimos etão que a série a diverge. = Observação: O critério da itegral foi demostrado para o caso em que a > 0, para todo N. Todavia, como em todos os resultados vistos até o mometo, podemos aplicar este critério mesmo para os casos em que a > 0 para todo maior ou igual a um certo ídice 0. Nesse caso, será ecessário que a fução f seja cotíua e decrescete o itervalo real [ 0, ). Exemplo 2.8. Retoramos a série harmôica de ordem p: =, p Q. p 27

33 Já vimos que esta série diverge para p =. Seja f(x) = x p, sedo x. Se p < 0, obviamete a série será divergete, pois esse caso lim p 0. Cosideramos etão p > 0. Vejamos: x p = lim t t Se p > etão p > 0 e t p =. t p Logo, lim t p = 0. t Assim, x p = lim ( t p t p ), para p. p dx =, o que mostra que a série x p p = p coverge. Se p < etão lim t p = + e, portato, a itegral diverge. t Cocluimos assim que a série diverge. = p Se p = já foi demostrado que a série Coclusão: A série harmôica = = p diverge. coverge se, e somete se, p >. p Observação: As séries harmôicas e geométricas costituem um cojuto muito útil, para o qual a questão de covergêcia está completamete resolvida. Utilizado-se estas séries jutamete com o teste da comparação, pode ser tratado e resolvido um grade úmero de exemplos. Quado tratamos de séries cujo os termos são todos ão egativos, a seqüêcia das somas parciais associada a estas são todas mootamete ãodecrescetes e, por coseguite, estas séries covergem ou divergem coforme sua seqüêcia das somas parciais for limitada superiormete ou ão. Para séries mais gerais, etretato, a questão de covergêcia depede muito fortemete da gradeza e da distribuição dos seus termos positivos e egativos. A seguir, fizemos um estudo das séries que são absolutamete covergetes e das séries cujo os termos alteram os siais. Defiição 2.9. Uma série a é absolutamete covergete quado a coverge. = = 28

34 Segue diretamete da defiição que toda série covergete que ão possui termos egativos é absolutamete covergete. Teorema Toda série absolutamete covergete é covergete. seja, se a série a coverge, etão a também coverge. = Demostração: Por hipótese = = para qualquer ɛ > 0, ɛ R, existe 0 N tal que a k < ɛ, para m 0. k=m Ou a coverge e assim, pelo teorema 2.6 Observamos que a k = a k e a k a k k=m k=m k=m k=m pois o módulo de uma soma é meor ou igual a soma dos módulos. Como a k pode torar-se arbritariamete pequeo, bastado para k=m tato tomarmos m suficietemete grade, etão a seqüêcia das somas parciais da série a é de Cauchy e, assim, covergete. = Logo, a coverge. = Uma outra demostração para este teorema é a seguite: Defiimos b = a + a, N. Assim, a = b a. Provado que b coverge estará demostrado o teorema, pois a difereça = etre séries covergetes resulta em uma série covergete. Vejamos, a a a, N. Somado a a cada membro da desigualdade acima, temos 0 b 2. a, N. Segue diretamete da hipótese que 2. a coverge. = Pelo critério da comparação cocluimos que b coverge. = Logo, a coverge. = 29

35 Exemplo 2.2. Seja a série = ( ) 2. Observamos que esta série é absolutamete covergete, pois a série coverge (série harmôica com p = 2). Portato, coverge. = ( ) 2 Exemplo Cosideramos a série = ( ). Esta série ão é absolutamete covergete, pois como já demostrado, a série diverge. = Observação: A recíproca do teorema acima ão é verdadeira. O cotraexemplo típico é a série ( ), que mesmo ão sedo absolutamete co- = vergete (como visto o exemplo 2.22), a série é covergete. (Esta = coclusão carece do estudo de séries de fuções. ( ) = log 2). = ( ) = 2 Apeas iformamos que Quado uma série a coverge, mas a é divergete, dizemos que = = a é codicioalmete covergete. = = Teorema (Critério da Razão) Seja a uma série com todos os termos ão ulos. Seja lim a + a = L, L R. Etão, (i) Se L < a série a coverge; = (ii) Se L > ou se lim a + a =, a série a diverge. = Demostração: (i) Supohamos L <. Seja r um úmero real fixo tal que 0 L < r <. Da defiição de limite podemos afirmar que existe um atural 0 suficietemete grade, tal que a + a < r, para todo 0, ou seja, a + < r. a. Assim, para 0 temos a 0 + < r. a 0 a 0 +2 < r. a 0 + < r 2. a 0 30

36 de modo geral a 0 +3 < r. a 0 +2 < r 3. a 0, a 0 + < r. a 0, N. Como 0 < r < e a 0 é uma costate, a série r. a 0 coverge pois, = r. a 0 = a 0. r (série geométrica de razão r) = = Pelo critério da comparação, a série a 0 + coverge. Observamos que a 0 + = = = 0 + = a. Como a omissão de um úmero fiito de termos ão altera o caráter de covergêcia de uma série, cocluimos que também a série a coverge. Assim, a coverge absolutamete. = = Logo, a coverge. = (ii) Supohamos L > ou lim a + a =. Assim, existe um atural, suficietemete grade, que satisfaz a + a >, para todo. Etão, a + > a, para todo. Cocluimos assim, que a seqüêcia cujo termo geral é a é crescete a partir do termo de ordem. Portato, lim a = 0. Logo, lim a 0, dode segue que a é divergete. Observação: Se L = ada se pode afirmar, pois esse caso, a série pode = covergir ou divergir, como apresetado abaixo: Exemplo Cosideramos a série Temos a = ; Calculamos L: L = lim a + = a Como sabemos, a série = = + diverge. = + = 3

37 Exemplo Cosideramos a série Neste caso a = 2 ; Calculamos L: No etato, a série L = lim a + = a = = (+) = ( + ) = 2 2 coverge (série harmôica de ordem 2). 2 Teorema (Critério da Raiz) Seja a uma série umérica qualquer. Seja L = lim a. Etão, (i) Se L < a série coverge; = (ii) Se L > a série diverge, mesmo quado lim a =. Demostração: (i) Supohamos L <. Seja r um úmero real fixo tal que 0 L < r <. Da defiição de limite podemos afirmar que existe um atural 0, suficietemete grade, tal que a < r, para todo 0. Assim, a < r, para todo 0. Como 0 < r < a série r coverge e, a partir do critério da comparação segue que a coverge. Portato, a coverge e assim, a = 0 = 0 = série a é covergete. = (ii) Supohamos L >. Existe um atural, suficietemete grade, satisfazedo a > para todo. 0. Assim, a > para todo. Portato, lim a = 0. Logo, lim a Cocluimos etão que a série a diverge. = Observação: Novamete ada se pode afirmar com respeito a covergêcia quado L =. Da mesma forma que o critério da razão, quado L = a série pode covergir ou ão. Exemplo Seja =! 2 32

38 Usamos o critério da razão: Logo, a série (+)! 2 ( + lim + )!.2 = lim! 2 +.! 2 =! diverge. 2 Exemplo Cosideramos a série Usamos o critério da raiz: lim Portato, a série = (l ) = = lim + 2 (l ) ( l ) = lim l = 0 coverge. = O critério da razão é frequetemete mais fácil de aplicar do que o critério da raiz, pois em geral é mais fácil calcular quocietes do que calcular raízes -ésimas. Etretato, o critério da raiz é mais abragete que o da razão, uma vez que sempre que existir o limite de a + a existirá também o limite de a, e terão o mesmo valor. Porém, é possível que exista o limite de a sem que exista o limite de a + a. 2.4 Séries Alteradas Seja a > 0, para todo N. As séries do tipo ( ).a = ( ) +.a são chamadas de séries alteradas. = Exemplos de tais séries são: Exemplo ( ) +. = Exemplo = =2 ( ) l = m= = ( ) + = ( ) m+ l m+ = l 2 l 3 + l 4 l 5 +. ou Para avaliar o caráter de covergêcia de uma série alterada, o melhor que se tem a fazer é verificar se a série coverge absolutamete, pois esse caso, a série alterada é covergete também. Pode porém acotecer que a série ão seja covergete absolutamete. Nesse caso, para cocluir sobre a covergêcia da série alterada podemos usar o resultado abaixo. 33

39 Teorema 2.3. (Critério de Leibitz) Seja (a ) uma seqüêcia de termos positivos. Se (a ) é decrescete e lim a = 0, etão a série alterada ( ) +.a coverge. = Demostração: (Provamos que a seqüêcia (s ) das somas parciais de ( ) +.a coverge). = De fato, observamos que os termos de ordem ímpar da série ( ) +.a são todos positivos e os termos de ordem par são todos egativos. Cosideramos a subseqüêcia (s 2 ) = (s 2, s 4, s 6, ). Temos: s 2 = 2 = = ( ) +.a = (a a 2 ) + (a 3 a 4 ) + + (a 2 a 2 ) Sedo (a ) decrescete, (a 2k a 2k ) > 0, k N. Assim, s 2 < s 4 < s 6 <, dode cocluimos que (s 2 ) é mootamete crescete. Vejamos aida que s 2 = a (a 2 a 3 ) (a 4 a 5 ) (a 2 2 a 2 ) a 2 Como (a 2k a 2k+ ) > 0, k N, segue que s 2 a, N. Logo, (s 2 ) é mootoamete crescete e limitada superiormete por a, portato, covergete. Seja etão S R tal que lim s 2 = S. Cosideramos agora a subseqüêcia (s 2 ) = (s, s 3, s 5, ) Temos lim s 2 s 2 = lim a 2 = lim a = 0 Logo, lim s 2 = lim s 2 = S Cocluimos etão que as duas subseqüêcias de (s ) possuem o mesmo limite, S. Como a seqüêcia (s ) é completamete defiida por essas duas subseqüêcias, temos também lim s = S. Portato, ( ) +.a coverge. = Observação: Cosiderado todas as hipóteses do teorema acima, podemos 34

40 afirmar que a série ( ).a também coverge, pois = ( ).a = ( ) +.a. = = Exemplo Cosideramos a série = Esta série ão coverge absolutamete, pois Observamos etretato que = ( ) + ( ) + = = diverge. = ( ) +.. Como > 0, N; ( ) é decrescete e lim = 0, cocluimos que a série coverge. = ( ) + Exemplo Vejamos a série = ( ) 2. = Esta série coverge, pois coverge absolutamete. Exemplo Cosideramos a série = ( ) 3. Esta série ão é absolutamete covergete, uma vez que (série harmôica com p < ). No etato, 3 > 0, N; ( 3 ) é decrescete e lim 3 = 0. Logo, coverge. = ( ) 3 = 3 diverge 2.5 Algumas Aplicações Agora apresetamos algus exemplos que justificam a teoria estudada. Cosideramos a seguite situação: A extremidade de um pêdulo, partido do repouso, percorre um arco de 30 cm de comprimeto. Depois, a cada movimeto sucessivo ele percorre um arco que tem 90% do comprimeto do aterior. Cosiderado esta situação ideal e desprezado qualquer outra ifluêcia, qual será o espaço total percorrido pela extremidade do pêdulo até o repouso? Solução do problema: o movimeto 30 cm (espaço percorrido) 35

41 2 o movimeto cm (espaço percorrido) 3 o movimeto 30.( )2 cm (espaço percorrido)... -ésimo movimeto 30.( ) cm (espaço percorrido) será Assim, o espaço total percorrido (E p ) até o -ésimo movimeto, em cm E p = ( ) ( ) Neste mometo é ecessário uma cosideração importate. Como sabemos, o pêdulo pára após uma certa quatia de movimetos (a experiêcia os mostra isso). Porém, teoricamete cosideramos que o pêdulo jamais pare seu movimeto, aida que este movimeto tore-se ifiitamete pequeo (o que a prática represeta o repouso). Assim, o espaço total E t percorrido pela extremidade do pêdulo até o repouso, em cm será E t = ( ) ( )3 + = 30. ( 9 =0 Como sabemos, ) = 30.( 9 0 ) = 300 ( 9 0 ) Portato, a extremidade do pêdulo percorre 300 cm até o repouso. Este é um exemplo simples da aplicabilidade da teoria de séries a solução de problemas reais. Vejamos o exemplo seguite. Nosso objetivo é provar que a série coverge para um valor meor ou igual a 2. De fato, como já provado, a série p > ). Observamos que = = = 2 =0 = 2 coverge (série harmôica com = Cosideramos agora a série ( + ) = que coverge e sua soma vale como provado o Exemplo 2.3. Assim, + = 2..(+) = 36

42 Como os termos de são termo a termo meores ou iguais aos de , e como esta última coverge para (+) 2, pelo critério da comparação a série coverge, e além disso podemos afirmar que = 2. 2 = 2 Resumidamete, lembramos que a série = diverge, o que sigifica dizer que a soma dos iversos dos úmeros aturais tora-se tão grade quato se queira, bastado para tato somarmos uma quatia suficietemete grade de parcelas. No etato, a série coverge para um valor meor ou igual = 2 a 2, ou seja, a soma dos iversos dos quadrados dos úmeros aturais ão ultrapassa 2. 37

43 Cosiderações Fiais Este trabalho teve grade valia ão só pelo eriquecimeto o que diz respeito a teoria estudada especificamete, mas também, e ão meos importate, pelo apredizado o cotato com a pesquisa, a ecessidade pela busca. Com relação a teoria em si, o estudo cofirmou a grade importâcia das séries o desevolvimeto da matemática, sedo esta um ferrameta muito poderosa tato para a resolução de iúmeros problemas reais como também para situações extremamete abstratas. 38

44 Referêcias Bibliográficas [] Lima, E.L., Curso de aálise, Projeto Euclides, IMPA, Volume, Rio de Jaeiro (976). [2] Kreider, D.L., Itrodução à aálise liear, Ao Livro Técico S.A., Volume 2, Rio de Jaeiro (983). [3] Rudi, W., Pricípios de aálise matemática, Ao Livro Técico S.A., Rio de Jaeiro (97). [4] White, A.J., Aálise real: uma itrodução, Ed. USP, São Paulo (973). [5] Boyer, C.B., História da Matemática, Editora Edgard Blücher LTDA, 2 a Edição, São Paulo (996). [6] Notas de aula das disciplias de cálculo e cálculo 2, usadas pelo professor Rubes Starke, essa Uiversidade. 39