1.1 Estrutura algébrica e métrica do corpo complexo

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1 Aálise complexa Aálise complexa. Estrutura algébrica e métrica do corpo complexo. Cosidere úmeros complexos, w C e demostre as seguites igualdades: i) Re (x) =xre (x R) ; Im (x) =xim (x R) ; i Re = Im (i) ; iv) Im = Re ( i ); v) Re = + ; vi) i Im = ; v Re + = + ; vi Im ix) Im a + b c + d = Im ; ad bc + Im = Im (a, b, c, d R) ; x) Im =Re c + d ; xi) w = + w Re (w) ; x Im Im w = Re (w) Re (w) ; xi Re Re w = Re (w) + Re (w) ; xiv) Re Im w = Im (w) + Im (w) ; xv), w = Re (w). Resolução : v, vi Sem dificuldades obtém-se + ( + )( ) = = + = +i i. Porque, e( )/(i) são úmeros reais, etão ifere-se o seguite Re + = e Im + Im =,.. Verifique a seguite igualdade i =( ) +( ) + i( ) ( ), N. 3. Cosidere úmeros complexos, w e estabeleça uma prova das seguites desigualdades: i) w w ; Re Re + Im ; i w ( + )( + w ) ; iv) Im ; v) Re + ; vi) + +.

2 Aálise complexa 3 Resolução : iv), v), vi) Do problema vi obtém-se + Im = Im + =. Da alíea iv), dedu-se de imediato que Re = Im i (i) = +. Das alíeas iv) e v), ifere-se Re + Im Cosidere C e θ, ϕ R. Verifique as seguites igualdades: i) [ E( iθ) E(iθ)] = E(iθ) ; [ E( iθ) + E(iθ)] = + E(iθ) ; i + E(iθ) = cos(θ) E(iθ) ; iv) E(iθ) = 4 si (θ) ; v) E(iθ) + E(iϕ) = cos( ϕ θ ) E(i θ + ϕ ) ; vi) E(iθ) = E(iθ). Resolução : v), vi) Tedo em cota as fórmulas de Euler e E(ix) E(iy) = E(i(x + y)), x, y R obtém-se cos( ϕ θ ) E(i θ + ϕ» )= E(i ϕ θ ) + E(i θ ϕ ) E(i θ + ϕ ) = E(iϕ) + E(iθ). Sem dificuldades obtém-se E(iθ) = E(iθ) ( E( iθ) ) = E( iθ) = E(iθ). 5. Mostre a seguite desigualdade E(iθ) θ π, θ ]0,π ]. e foreça uma iterpretação geométrica o plao complexo. Sugestão: Note que a asserção é equivalete a si θ θ, 0 <θ π, π e em seguida estude o sial de f (θ) aode f(θ) = si θ θ, 0 <θ π. π

3 Aálise complexa 4 6. Tedo em cota que + + =, demostre as seguites igualdades: i) j=0 j= E( ijθ) E(iθ) + E(ijθ) E( iθ) j=0 E( ijθ) E(iθ) + j= E(ijθ) E( iθ) = [ ] si ( + ) θ si θ, = si ( + ) θ si θ, para θ R tal que θ kπ, k. Resolução : i) É obvio que X j=0 Computações elemetares estabelecem X j=0 Logo E( ijθ) E(iθ) = E(iθ) = E(i + θ) Re X j=0 E( ijθ) E(iθ) + X j=0 j=0 E(ijθ) E( iθ) = Re X X E( ijθ) = E(iθ) j=0 X E j ( iθ) = j=0 + + E( i θ) E(i θ) E( iθ) = i E(i + E( ijθ) + E(iθ) = si θ «` θ si + si ` = θ E( ijθ) E(iθ). E( i( + )θ) E(iθ) E( iθ) θ) si ` θ + si `. θ " # si ( + ) θ. si θ 7. Dados quaisquer, j escreva os seguites úmeros complexos a forma x + iy ; x, y R: i) ( i) 3 ; ( i) 3 ( + i) ; i v) ( + i)3 ; iv) ( i) ( i) ; ( + i)3 ( + i)+j ; vi) ( i) ( i) ; v i +( ) + i ; vi i +( ) i. 8. Determie os argumetos pricipais e uma forma polar dos seguites úmeros complexos: i) 3+i ; ( + i) ; i ( 3+i ) ( + i) ; iv) ( si π 5 + i cos π 5 ) 5 ; v) ( 3+i ) 7 ; vi) ( + i) ; v ( i 3 ) 7 ( i ) 3 ; vi ( + i)3 ; xi) (i ) ( ) 3+i ( ) 5 3+i. +i

4 Aálise complexa 5 9. Tedo em cota as fórmulas de Moivre, demostre as seguites asserções: i) cos θ = cos θ ( ) cos θ si θ + si θ = cos θ si θ ( 3) cos 3 θ si 3 θ + 0. i) Verifique as seguites igualdades etre cojutos Arg (w) = Arg + Arg w, Arg = Arg, Arg = Arg (, w C\{0}). Ecotre exemplos de úmeros complexos e w tais que arg (w) arg + arg w, arg arg, arg arg (, w C\{0}).. Seja arcta x a iversa da restrição da fução ta x ao itervalo ] π/, π/ [. Verifique que arg = arcta y x + π ( sig x) sig y, aode = x + iy, x, y R e x 0,y 0.. Ecotre as soluções das seguites equações e represete-as o plao complexo: i) 3 = i ; 4 = 6 ; i = + i ; iv) 4 = 3i ; v) 4 (9 + 4i) + 36i = 0 ; vi) + i i 3 =0; v 6 + i 3 + = 0 ; vi + + = 0 ; ix) =0. 3. Di-se que um úmero complexo ξ é uma raí de ordem, ( N ) da uidade se ξ =. Deote o cojuto das raíes de ordem da uidade por T, i.e { T := E(ik π } ):k =0,,. Verifique que fixo w C, (w 0), o cojuto das raíes de ordem de w é dado por w E(i arg w/) T, i.e. o cojuto das raíes de ordem de w coicide com a dilatação de raão w da rotação de âgulo arg w/ do cojuto T.

5 Aálise complexa 6 4. Represete as seguites regiões o plao complexo: i) { : Re Re (/) > 0} ; i { :( )( +i } )< 0 ; iv) { : +i } > ; { : Re [ ( } 3+i) ] 0 ; v) { : Re (i) Re (i)} ; vi) { : Re (i ) Re (i ) } ; v { : Im [ ( 3+i) ]Im [ (i } 3) ] > 0 ; vi { : Re [ (i + i)( ) ] > 0 } ; ix) { : Im [ ( i) 3 ]+ Im [ ( + i) ] < 0 } ; x) { : i > + i } ; xi) { : + + =4} ; x { : > }. Sugestão: Para a alíea ix) poder-lhe-á ser útil cosiderar a igualdade Re Im w = Im (w) + Im (w). 5. Demostre que a fução racioal i [ ( i) k ( + i) k],k N é o cociete de poliómios com coeficietes reais. 6. Mostre que o poliómio ão têm raíes reais, caso seja par, e = é a úica rai real (com multiplicidade ) se é ímpar. Ademais, é válida a seguite factoriação ( ( ) )( ( π ++ + = cos + cos π ) ) ( ( + cos π ) ) Resolução : Defia-se p () = + +. Da igualdade ( )( + + ) = +,, dedu-se que os eros do poliómios p () são raíes de ordem + da uidade. Sabemos que as raíes da uidade de ordem + costituem um subcojuto de T := D(0, ). Como T R = {, } e p () = 0, etão = é a úica possível rai real de p, e os eros de p são as raíes da uidade de ordem +, exceptuado =. Em particular todos os eros são simples. Poder-se-á verificar directamete que = é rai de p sse é impar. Alterativamete, como p têm coeficietes reais etão existe um úmero par de raíes ão reais. Se é par e existem raíes reais, etão ecessariamete são em úmero par. Logo, se é par ão existem raíes reais. Se é impar etão as raíes reais são em umero impar e logo = é a úica rai real. Fialmete, os eros de p são dados por p () = 0 sse = E(ikπ/( + )), k =,,. Defia-se k = E(iπk/( + )),k=,,. Como o poliómio p () tem coeficietes reais, etão k é rai de p. Termiamos a resolução cosiderado sucessivamete que k = cos k π «+ i si k π «+ + e que» ( k)( k)= cos k π «+ si k π «= cos k π «+, k =,,

6 Aálise complexa 7. Rectas, círculos e trasformações lieares-fracioárias. Demostre sucessivamete as seguites asserções: i) se R ξ é a recta que passa por a origem e por o complexo ξ etão R ξ = { : ξ ξ =0 } ; se R ξ,η é a recta que passa por os úmeros complexos distitos ξ e η etão R ξ,η = { :(ξ η) (ξ η) =iim (ηξ) } ; i se a e b são complexos verificado a 0 e b R, etão o cojuto das soluções da equação a + a =b defie uma recta o plao complexo.. Se A C é cojuto ão vaio e C, etão dist (A, ) deota a distâcia de A ao poto, i.e. dist (A, ) := if{ w : w A}. Cosidere úmeros complexos ξ e η, tais que ξ η. A recta que iclui ξ e η deota-se por R ξ,η. Demostre sucessivamete as seguites asserções: i) Existe um úico umero real t verificado a codição i(ξ η)t R ξ,η ; É válida a seguite igualdade dist (R ξ,η, 0) = Im (ηξ) ξ η ; i A recta R ξ,η passa por a origem sse Im (ηξ) = 0. Resolução : O vector ξ η iclui-se a recta R ξ,η trasladada para a origem. Se 0 t R etão ξ η e i(ξ η)t são vectores ortogoais. Assim, se i(ξ η)t R ξ,η etão dist (R ξ,η, 0) = i(ξ η)t. Cosiderado» i(ξ η)t η Im = t Im η e i(ξ η)im η Im (ηξ) = i ξ η ξ η ξ η ξ η, o leitor ão ecotrará dificuldades em termiar a resolução. 3. Pode dier-se que Re (a) =,a C\{0} é a equação geral das rectas que ão passam a origem. De facto: i) Cosidere a 0 fixo. Mostre que o cojuto { : Re (a) =} é uma recta que ão passa por a origem. Em fução de a, determie complexos ξ e η tais que R ξ,η = { : Re (a) =} ; Supoham-se forecidos complexos distitos ξ e η, tais que 0 / R ξ,η. Em fução de ξ e η, determie um complexo a tal que R ξ,η = { : Re (a) =}; aode R ξ,η deota a recta icluido os complexos ξ e η tais que ξ η.

7 Aálise complexa 8 Resolução : Cosidere a evidete proposição Re (a) = Im [ia( /a)] = 0. Resolva η = /a e ξ η = i/a. Para a alíea cosidere a alíea do problema e sem dificuldades obteha que R ξ,η sse Im ˆ(ξ» ξ η η) = Im (ηξ) Re iim (ηξ) =. Observe que a desigualdade Im (ηξ) 0 é cosequêcia de 0 / R ξ,η. 4. Supoha forecida uma recta R := { : Re (a) =}, aode a 0. Verifique que /a é o poto de R mais próximo da origem (poder-lhe-á ser útil cosiderar o problema ). 5. Cosidere a reflexão α ξ : C C relativa à recta R ξ que passa por a origem e itercepta o circulo uitário o complexo ξ. Di-se que α ξ () é a imagem simétrica de relativa à recta R ξ. i) Mostre que α ξ () =ξ. Se R ξ = {x m : x R}, aode m = ( + im) em R etão α ξ () = m m = ( m )+im +m. 6. Cosidere a reflexão α ξ,η : C C relativa à recta R ξ,η (ξ, η C, ξ η). Justifique o seguite ξ( η) η( ξ) α ξ,η () =, C. ξ η Resolução : É evidete a seguite igualdade αξ,η() =αξ η( η)+η. Termie cosiderado o problema Idetifique a trasformaçao liear-fracioária T () = (a + b)/(c + d) com a matri A C dada por [ ] a b A := C. c d Demostre sucessivamete as seguites asserções: i) Se S é liear-fracioária idetificada com a matri B etão a composição de lieares-fracioárias T S é uma trasformação liear-fracioária e idetifica-se com o produto de matries AB; A trasformação liear fracioária T idetifica-se com a matri (cof A) t ; i Foreça exemplos de lieares-fracioárias S e T tais que a fução S()+T () ão é uma trasformação liear-fracioária. Fialmete, demostre que a liear-fracioária λt, λ C (λ 0) ão se idetifica com a matri λa.

8 Aálise complexa 9 8. Seja T () = /, C e supoha que T trasforma círculos do plao complexo compactificado em círculos do plao complexo compactificado. Se ξ e η são complexos distitos etão R ξ,η deota a recta o plao complexo que iclui ξ e η. Demostre sucessivamete as seguites asserções: a) Se C = D(, r), aode C e r>0 etão i) Se 0 C etão T (C )=R µ,ν, aode µ = ( + i)/() eν = ( i)/(); Se 0 / C etão T (C )= D(w, δ), aode w = /( + r )eδ = r/( + r ). b) Se C = R ξ,η, aode ξ, η C e η ξ, etão i) Se 0 C etão T (C )=R µ,ν, aode µ = ξ e ν = η; Se 0 / C etão T (C )= D(w, δ), aode w = i(η ξ)/im (ηξ) eδ = η ξ / Im (ηξ). Resolução : a)i). Sabemos T (0) =. Como T (C ) é circulo o plao compactificado e iclui o poto ifiito etão T (C ) é uma recta o plao compactificado. Os complexos + i e i icluem-se em C. Logo T (C ) é a recta que iclui os potos T (( + i)) = ( i)/() et (( i)) = ( + i)/(). a) Como 0 / C etão / T (C ). Logo T (C ) é um circulo em C. O segmeto de recta etre os complexos ξ := ( + ir/ ) eξ := ( ir/ ) é um diâmetro de C. Logo [T (ξ ),T(ξ )] é um diâmetro de T (C ). Assim T (C )= D(w, δ) aode w = T (ξ)+t (ξ) e δ = T (ξ) T (ξ). b)i) De 0 C dedu-se T (C ). Em cosequêcia T (C ) é uma recta em C, aode são iclusos os potos /ξ = ξ/ ξ, /η = η/ η e a origem. O resultado dedu-se de imediato. b) Como 0 / C etão / T (C )et(c) é um circulo em C. Do problema sabemos que o poto de R ξ,η a distâcia míima da origem é ξ := iim (ηξ)/(ξ η). Logo T (C ) é um circulo em C, cujo poto com distâcia máxima à origem é /ξ. Coclui-se T (C )= D(w, δ) aode w =/(ξ) eδ = w. 9. Esboce o plao complexo os cojutos Ω idicados as seguites alíeas: a) O cojuto Ω cosiste o cojuto das imagem, por itermédio da trasformação liear fraccioária /( i), das regiões idicadas as seguites alíeas: { } { } i) Ω := C : Im >0 ; Ω := C : Re >0, Im >0 ; i Ω := { } { } C : Re >0, Im >0, < ; iv) Ω := C :0< Re <, 0 < Im <. b) O cojuto Ω é defiido por Ω := f(π), aode as fuções f() são idicadas as seguites alíeas: i) f() := ; f() := ; i f() := + i + i i ; iv) f() :=.

9 Aálise complexa 0 0. Seja T () a trasformação de iversão. Represete T (Ω) o plao complexo, aode Ω é a região defiida por Ω := {x + iy : x + y <, x, y R}. Resolução : Cosidere-se a região A = {x + iy : y < x + ; x, y R}. O cojuto Ω cosiste a itercepção de A com as regiões obtidas da rotação de A por π/, π, 3π/, i.e. Ω = A (ia) ( A) ( ia). Em cota de T (i) = i dedu-se T (Ω) = T (A) [it (A)] [ T (A)] [ it (A)]. Desta forma é suficiete cosiderar cosiderar T (A). O complexo ξ := ( + i)/ é o poto da recta de equação Euclidiaa y = x + mais próximo da origem. Logo, a imagem da recta y = x + por T () é a circuferêcia de cetro em T (ξ)/ = ( i)/ e raio T (ξ)/ = /. Como T (0) = etão T (A) correspode ao exterior de D(( i)/, /). Logo T (Ω) coicide com a região T (A) iterceptada com as suas rotações sucessivas de agulo π/.. Seja T () uma trasformação liear-fraccioária. Demostre sucessivamete o seguite: i) T (R) =R sse existem a, b, c, d R tais que T (Π) = Π sse verifica-se i) ead bc > 0. T () = a + b, a, b, c, d C aode ad bc 0. c + d Resolução : Se T () =(a + b)/(c + d) aode a, b, c, d R etão é evidete que T ( R)= R. Da seguite igualdade Im a + b c + d ad bc = Im () c + d dedu-se que T (Π) = Π sse ad bc > 0. Iversamete, supoha-se forecida uma trasformação liear fraccioária T () = (α + β)/( + δ) tal que T (R) =R. Etão ecessariamete T ( R)= R. O caso = 0 é elemetar. Supõe-se 0. Etão T ( δ/) =,T( ) =α/ e T (0) = β/. Logo δ/, α/, β/ R e T () = a + b, aode a := α/, b := β/, c := e d := δ/. c + d Cosiderado () a resolução termia sem dificuldades.. Cosidere C um circulo o plao complexo compactificado e uma trasformação liear-fraccioária T () tal que T (C )=R. Defiimos ) α C (), a imagem simétrica de relativa ao circulo C por itermédio α C () =T (T (). Demostre sucessivamete as seguites asserções:

10 Aálise complexa i) A imagem simétrica α C está bem defiida, i.e. se S() é liear-fraccioária tal que S(C )=R etão S ( ) S() = T ( ) T (), C; i Se existem complexos ξ e η tais que ξ η e C = R ξ,η, etão α C () =α ξ,η, aode a aplicação α ξ,η ecotra-se defiida o problema 6; Supoha C = D(0,r), r > 0 e verifique as seguites propriedades α C () = r, α C () = r e arg α C () = arg, C. Resolução : A liear fraccioária ST trasforma o eixo real compactificado a um poto em si próprio. Cosiderado o problema dedu-se ST (w) =ST (w). Substituido a igualdade aterior w = T () e multiplicado ambos os membros por S obtém-se T (T () =S (S()). Para a alíea é suficiete cosiderar T () = ( η)/(ξ η) e aplicar a defiição em i). Para a alíea i cosidere uma liear fraccioária que trasforme D(0,r) em R, e.g. T () =i( ir)/( + ir)..3 Séries uméricas. Cosidere um úmero atural k e uma sucessão complexa a, N tal que lim (a a +k ) existe em C. i) Mostre que lim (a +k a ) = 0 ; Fixo k N, cosidere θ k =π/k e a = E (iθ k ), N. Mostre que a sucessão a, N verifica as codições do euciado e lim a ão existe.. Cosidere um úmero complexo. A sucessão, N di-se a sucessão geométrica de raão. Mostre sucessivamete as seguites asserções: i) Se > etão lim = ; Se < etão lim = 0; i Se = e etão lim ão existe. Resolução : Supoha que lim = a + ib (a, b R) e = cos θ + i si θ,θ R. Das hipóteses dedu-se que θ kπ, k. Das fórmulas trigoométricas do dobro dedu-se b =ba ea a = 0. Etão b =0. No etato, se lim si(θ) = 0 etão aplique a igualdade si(θ) = si( )θ cos θ cos( )θ si θ para cocluir que lim cos(θ) = 0. Da fórmula fudametal da trigoometria dedua um absurdo. Também é possivel mostrar que se = E(iθ), θ/π = p/q aode p, q são aturais positivos irredutíveis etre si, etão a sucessão, N têm q sublimites distitos. Mais exigete é verificar que se θ/π / Q etão qualquer complexo uitário é sublimite da sucessão, N.

11 Aálise complexa 3. Cosidere uma sucessão a, N de termos reais positivos. De acordo com as coveções usuais /0 + =+ e/ + = 0 mostre que lim sup =. a lim if a 4. Averigue quais das seguites séries são covergetes: i) + ; + ; i +3 ; iv) ( ) ; v) e ; vi) ( j + ) j,j N ; v ( l ) j,j N ; vi l (+ ) j,j N ; ix) ) si (π + ( ) j,j N ; x) ; xi) ( ) ; x ( ) + ( ) 3 ; xi E (i(π + ) ) ; xiv) ( l ) j,j N ; xv) l! ; xvi) l (j)!,j N ; xv (!) ( + )! ; xvi +( ). Resolução : v) Mostre a igualdade lim x + x α e x =0, α > 0. Para α> 0 adequado, aplique o resultado ao problema em cocreto. vi) A seguite igualdade p j + p j =/ j + + j poder-lhe-á facilitar a resolução. v Poder-lhe-á ser útil cosiderar a regra de Cauchy para verificar idutivamete que lim /( l ) j =+. ix) Atete às evidetes igualdades «si π + ( ) ( ) =( ) si = si j j j e ao limite si x lim x 0 x =. x Cosiderado separadamete a sucessão dos termos pares e dos termos impares, ão ecotrará dificuldades em verificar que se a, N desiga o termo geral da série, etão 0 a (/e), para ordes superiores a determiado atural. xi Verifique que o termo geral da série ão é ifiitésimo. xiv), xv), xvi) Teha em cosideração o critério itegral para sem dificuldades cocluir que a série a alíea xiv) coverge sse j =,. Para as alíea xv) e xvi), estabeleça a evidete desigualdade l! l. 5. Cosidere o critério de Dirichlet para estudar a covergêcia das seguites séries: i) iv) si ξ, ξ = ; +ξ, ξ = ; v) + ξ, ξ = ; i + ( si π + ), + ξ, ξ =;

12 Aálise complexa 3 Resolução : i Defiido a fução de variável real positiva f(x) =x/(x ), x R +, obtém-se f(x) = (x ) + x = x + + x. Segue que a sucessão a := /( ), N é decrescete. Do critério de Dirichlet, cojutamete com a divergêcia da série P / coclui-se X ξ coverge sse ξ =,ξ. Como a série P /( ) é divergete etão a série parametriada em ξ X + ξ diverge se ξ =,ξ. () Caso ξ =, etão a série em () tem a aturea da série P / e logo é também divergete. 6. Calcule a soma das seguites séries ou justifique a sua divergêcia: i) iv) v, C,k N ; =k = = ( + p),p N ; v) ( ) + ( + ), C ; i, C ; = =0 ( + ) ( + j),j N ; vi) l ( + ) l l ( + ) ; vi + ( )( +). = =0 = ( + )! ; Resolução : v) Alega-se que X =0 De facto, cosiderado a evidete igualdade ( + ) ( + j) = j ( + ) ( + j) = (j )(j )!, j N. ( + ) ( + j ) ( + ) ( + j) dedu-se tratar-se duma série telescópica. O resultado segue sem dificuldades. vi Cosidere a seguite defiição e igualdades + a := ( )( +) = + Se b =/( ) etão ser-lhe-á suficiete atetar a que X = a = X = [b ( + )b +]+ X = b + = X = «, ««=, N ( + ). [b ( + )b +]+ X = «. +

13 Aálise complexa 4 7. Calcule os limites superior e iferior das sucessões de termo geral a + /a e a e averigue da covergêcia da série a, os diferetes casos em que os termos da sucessão a, N são defiidos as seguites alíeas: i),p N ; v) p! ix) a,p N; vi), a > 0, p N ; p a b ( a + b, a, b R+ ; x) + ) ; xi) + + ; i! ; iv)! ( + )! ; v! ; vi ()! ; ( + )! ; x e ; xi e ; xiv) r r, r > 0 ; xv) r ( ), r > 0 ; xvi) r (), r > 0; xv + ( ) ; xvi (+( )) ; xix) +( ). 8. Cosidere uma sucessão de termos positivos a, N e a sucessão das somas parciais S = a a, N. Supoha que a coverge e mostre que a série S, C coverge sse <. 9. Seja a, N uma sucessão de termos complexos e defia-se a sucessão de termo geral α = a + + a, N. i) Mostre que se a série a coverge etão lim α =0. Foreça exemplo duma sucessão a, N tal que a série a diverge e lim α = 0. Resolução : Defia a sucessão das somas parciais S := a a. Tão simplesmete verifique que α = S S. Em relação à alíea, poderá cosiderar a alíea xiv) do problema Cosidere uma sucessão a, N de termos ão egativos. i) Mostre que se a coverge etão a coverge. i Ecotre um exemplo duma sucessão as codições do euciado tal que a coverge e a diverge. Justifique que excluido a hipótese a 0, N a asserção em i) ão é válida.

14 Aálise complexa 5. Cosidere uma sucessão a, N de termos ão egativos. i) Mostre que se a série a coverge etão a a + coverge. Sugestão: Poderá ser útil cosiderar a desigualdade (a b) 0, a, b R. i Dê exemplo duma sucessão a, N as codições do euciado, tal que a a + coverge e a diverge. Supoha que a sucessão a, N é moótoa e demostre que se a série a a + coverge etão a também coverge.. Cosidere uma sucessão a, N de termos ão egativos. i) Seja α>. Mostre que se a série a coverge etão a / α também coverge. Dê exemplo duma sucessão a, N de termos ão egativos tal que a coverge e a / diverge. Resolução : Na seguite desigualdade o leitor poderá sem dificuldades ecotrar a solução da alíea i) a + a + + a α α a + a + + a «, N α α. Para, cosidere e.g. a =/( l ). 3. Fixo 0 α, cosidere as sucessões de termos gerais a = ( l ) α e s = a + + a. Mostre que l α, α < s α. l l, α =.4 Séries de potêcias. Determie o raio de covergêcia das séries de potêcias a, aode o termo geral da sucessão a, N é idicado as diferetes alíeas do problema [7 sec..3].. Determie a região de covergêcia absoluta das seguites séries de potêcias: i) v) ix) xi xv 3 ; + ( ) ; vi) ; x)!! ; xiv) cos(θ),θ R. +( ) 3 ;! ; 3 + ; xi) ɛ!, ɛ > 0 ; i ( ) ; iv) ( ) ; v! ; vi ()! (3)! ; xv) ( ) ; x! ; xvi) ( ) ;!! ;

15 Aálise complexa 6 Resolução : xiv) Defia-se a := /ɛ!, N. Etão b := a := /ɛ ( )!, N. Se 0 <ɛ, é evidete que lim b =+. Se ɛ> etão ecotramos uma idetermiarão o cálculo do limite da sucessão b, N. No etato, são óbvias as seguites computações b + b = + ɛ ( )( )! m + 0. Logo lim b =0. A região de covergêcia absoluta é {0} e C, respectivamete se 0 <ɛ eɛ>. xv) O raio de covergêcia pode ser calculado da seguite forma lim sup! = lim sup /( ) /( )! = 0 =. Se = etão o termo geral da série ão é ifiitésimo. Logo, a região de covergêcia absoluta é D(0, ). xvi) Sem dificuldades, dedu-se da alíea aterior que o raio de covergêcia da série é r =. Como! =! +, + segue sem dificuldades que a região de covergêcia absoluta é D(0, ). xv Da desigualdade cos(θ) = cos[( )θ] cos(θ) si[( )θ] si θ segue que se cos(θ), N é sucessão ifiitésima etão também si(θ), N é ifiitésima. Da relação fudametal da trigoometria dedu-se um absurdo. Logo, a região de covergêcia absoluta é D(0, ). 3. Cosidere o critério de Dirichlet para determiar a região de covergêcia simples das seguites séries de potêcias: i) iv) ;! ; v) ( + ) ; i +( ) ; vi) ( + ) + ; cos(θ), θ R. Resolução : iv) Defia-se a sucessão b =!/, N. Etão b + = b ( + ) = + «+ e. Se r desiga o raio de covergêcia etão r = e. Cosidere-se a sucessão c := e b, N e compute-se c + c = e b+ b = e + «. Porque a sucessão ( + /), N é crescete etão a sucessão de termo geral c +/c é decrescete ao valor. Logo c + c. Em cosequêcia a sucessão c, N ão é ifiitésima e a série X! = X c ξ é divergete, ( = e, ξ = ).

16 Aálise complexa 7 v) Sem dificuldades coclui que o raio de covergêcia é r =. Para determiar a região de covergêcia simples cosulte [, Secção. - Exemplo 3]. 4. Determie a região de covergêcia absoluta das seguites séries a variável complexa : i) ( i) ( + i) + ; ; i ( ). 5. Cosidere uma sucessão de termos complexos a, N. Se a é uma série de potêcias com raio de covergêcia r [0, + ], mostre sucessivamete que: i) para k N fixo, a série de potêcias a k tem raio de covergêcia k r; i se b, c C e b 0 etão a série de potêcias a (b + c) têm raio de covergêcia r/ b ; se existe k N tal que >k a 0, etão a série a tem raio de covergêcia r. 6. a) Determie o raio de covergêcia da série de potêcias a, aode a, N deota uma sucessão complexa tal que, para ordes suficietemete grades, o termo geral verifica as codições idicadas as seguites alíeas: i) existem costates positivas 0 <λ λ tais que λ a λ ; existem costates positivas 0 <λ,λ tais que λ a λ 3 ; i existem costates positivas 0 <λ λ tais que λ (3 ) a λ (3 + 3 ); iv) existe p N tal que 0 <a p e a + a m a m. b) Verifique que para cada j N, as sucessões l j, N estão as codições da alíea a) iv). Resolução : i) Se r desiga o raio de covergêcia, etão r = lim sup p a. Dedu-se o seguite = lim λ lim sup p a lim λ =. vi) De 0 <a < p ifere-se r := lim sup a lim sup p =. Ademais a a. Logo cosiderado que a > para ordes superiores a determiado atural obtém-se o seguite r lim sup a lim sup a. 7. Cosidere a série de potêcias ( + ) k,! aode k N está fixo. () =0

17 Aálise complexa 8 i) Mostre que a série de potêcia () tem raio de covergêcia r =+. Deote a soma da série de potêcias () por S(, k),k N e obteha a fórmula de recorrêcia k ( ) k S(, k) =e + S(, j). j + j=0 i Determie as somas S(,),S(,) e S(,3), para qualquer que seja C. Resolução : Sem dificuldades o leitor dedu-se a solução de i). Para a alíea aplique o biómio de Newto à parcela ( + ) k e comute a soma fiita com o símbolo de série..5 Fuções Elemetares. Determie a região de covergêcia absoluta das seguites séries a variável complexa: i) e ; e ; i (e + e ) ; iv) cos ( ).. Teha em cosideração a fórmula de Euler para reduir o calculo das seguites primitivas de fuções de variável real, ao cálculo de primitivas imediatas: i) e t cos t dt ; cos 3 t dt ; i e t si 3 t dt ; iv) cos t dt. Resolução : Para a alíea i) cosidere as seguites computações cos(t)e t dt = e (+i)t + e ( i)t dt = + i e(+i)t +» i i e( i)t = Re e(+i)t = et (cos t + si t). Com respeito à alíea iv) é suficiete o seguite cos t dt = e it i dt = (e it ) e it = i e it/ e it/ e = it/ si(t/) e it/ = ta(t/) + i. 3. Sejam, w C. Demostre as seguites igualdades: i) cos( ± w) = cos() cos(w) si() si(w) ; si( ± w) = si() cos(w) ± cos() si(w) ; i cos() = cos () si () ; iv) si() = si cos ; v) cos cos w = si + w si w ; vi) si si w = cos + w si w v cos () + si () = ; vi cos + si = cosh(im ) ; ix) cos si = cos(re ) ; x) cos = sih (Im ) + cos (Re ) ; xi) si = cosh (Im ) cos (Re ). ;

18 Aálise complexa 9 4. Sejam, w C. Demostre as seguites igualdades: i) cosh( ± w) = cosh() cosh(w) ± sih() sih(w) ; sih( ± w) = sih() cosh(w) ± cosh() sih(w) ; i cosh() = cosh () + sih () ; iv) sih() = sih() cosh() ; v) cosh () sih () = ; vi) cosh + sih = cosh(re ) ; v cosh sih = cos(im ) ; vi cosh = sih (Re ) + cos (Im ) ; ix) sih = sih (Re ) + si (Im ) ; xi) sih ( ) i π = i cosh. 5. a) Cosidere w C fixo e a fução g() =e w, C. Calcule o valor do seguite limite g( + h) g() lim, para qualquer C. () h 0 h b) Calcule o valor do limite (), os casos em que a fução g é defiida as seguites alíeas: i) cos, C ; si, C ; i cosh, C ; iv) sih, C. 6. Mostre que as fuções trigoométricas complexas são ilimitadas em qualquer recta ão paralela ao eixo real. 7. Mostre que as fuções trigoométricas hiperbólicas complexas são ilimitadas em quaisquer rectas ão paralelas ao eixo imagiário. 8. Cosidere quaisquer úmeros, w C, N e x R o domíio das seguites expressões e demostre-as: i) L (w) = l + L w ; L (w) = L + L w ; i L L ; iv) L = L ; v) L = L ; vi) L e = + i Arg ; v l ( ) = i π [ ( ) + + ] ; vi l (x) = l x + i π ( sig x) ; ix) l (ix) = l x + sig x l i ; x) l = l, / R ; xi) l = l, / R ; x l = l x + iπ( sig x). x

19 Aálise complexa 0 9. Cosidere complexos ão ulos x e. Mostre a seguite fórmula l (x) = l + l x i π [ + sig ( arg )] [ sig x], / R+,x R, aode a fução sial sig : R\{0} {, 0, } é defiida por {, x > 0 sig (x) =, x < 0. Sugestão: Poder-lhe-á ser útil cosiderar a alíea vi do problema 8 e demostrar previamete que arg (x) = arg π sig ( arg )( sig x), x R, C, x 0, / R Calcule i) i 4i ; i ; i l i i, N ; iv) i x,x R ; v) (ei) i ; vi) l e π iπ ; v i i ; vi i i ; ix) i i i i ; x) L i ; xi) L i ; x l i 3 ; xi 3 l i ; xiv) (e π ) i ; xv) (e i ) π.. Cosidere quaisquer úmeros, w C, N e x R o domíio das seguites expressões e demostre-as: i) L w = w L + i Arg ; ix = e x Arg ; i (w) ξ = ξ w ξ ; iv) l e π+iπ = π + i π [ ( ) + + ] ; v) (e ) x = e x ; vi) (e ) i { = e i e kπ : k }.. Demostre a seguite igualdade Arcsi = i L (i + ). 3. Cosidere um úmero real x [, ]. Mostre que o cojuto das soluções das equações a variável complexa si = x, C e cos = x, C é um subcojuto de R. Resolução : Seja x um úmero real tal que x. As soluções de cos = x são dadas por Arccos x = { i l x + x ± arg (x + x ) + kπ : k }, aode x = i p x. Cosidere que l x + x = 0 para cocluir Arccos x = ± arg (x + i p o x ) + kπ : k R.

20 Aálise complexa 4. Determie as soluções das seguites equações: i) e i = i ; e i ( 3+i)+e i ( 3 i) = 0 ; i cos = si ; iv) e i 4e i =i ; v) e + ie ie + = Cosidere um complexo ão ulo C e x R. Mostre que o cojuto x é fiito sse x Q. 6. Ecotre os erros as seguites igualdades L = L = ( L + L ) = ( L + L ) = { l + ikπ : k }..6 C-difereciabilidade. Determie o domíio de C-difereciabilidade das seguites fuções a variável complexa e calcule as suas respectivas derivadas i), C;, C; i /, 0; iv) Re (/), 0; v) Im (/), 0; vi) Re ( / ), 0.. Determie o domíio de C-difereciabilidade das seguites fuções a variável := x+iy; x, y R e calcule as suas derivadas os potos aode defiidas i) e ix ; e ix x ; i (x + y )+i(x y ) ; iv) +4ixy ; v) +4ixy ; vi) 3 + (x y ) ; v arg + ; vi x + i arg ; ix) + i arg. 3. Cosidere a seguite fução f() =, C\{0} e f(0) = 0. i) Mostre que f verifica as equações de Cauchy-Riema a origem. Mostre que f(), 0 e coclua que f é cotíua em C. i A fução f é C-difereciável a origem?

21 Aálise complexa 4. Seja f : R R. A derivada direccioal de f em ordem ao vector v R \{0} é defiida por f f( + tv) f() (x, y) := lim. v t 0 t t R Como sabemos, se f é R-difereciável o poto (x, y) R etão f v () =J f ()v = f()v + f()v, aode = x + iy. Nas diferetes alíeas abaixo cosidere fuções R-difereciáveis o poto = x + iy C. a) Mostre que ão existe v C\{0} tal que f v () = f(), para qualquer que seja a fução f. Sugestão: Proceda por absurdo e cosidere f() =e, C. b) Demostre a seguite igualdade [ ] f () = f () e de a) dedua que ão existe um vector v v v C\{0} tal que f v () = f(), para qualquer que seja a fução f. c) Prove adicioalmete que: i) f() = v v [ f f ()+i v (iv) () ] ; f() = [ ] v f f v () i v (iv) (). 5. Se f : U C C é fução admitido derivadas de primeira ordem em it U, etão é válido o seguite J f () = f() f(). Resolução : O leitor ão ecotrará dificuldades caso cosidera as igualdades abaixo fi fl f f J f () = (), i x y () = f + f, f f. 6. Cosidere uma fução ϕ defiida uma viihaça do poto C e v R \{0}. Demostre sucessivamete que se ϕ é C-difereciável em etão: i) ϕ x () =ϕ () ; iv) ϕ y () = i ϕ () ; ϕ y () =iϕ () ; v) ϕ v () =vϕ () ; i ϕ x () =ϕ () ; vi) ϕ v () =v ϕ ().

22 Aálise complexa 3 7. Sejam f, g : C C fuções R-difereciáveis em C e cosidere a fução composta ϕ = f g. Mostre que para qualquer vector ão ulo v R, verifica-se ϕ v () = f(w) g v ()+ f(w) g () aode w = g(). v Se : R C é R-difereciável e ψ = f etão ψ (t) = f(w) (t)+ f(w) (t) aode w = (t). Resolução : Ser-lhe-á suficiete justificar as seguites computações ϕ () = Jf g()v = Jf (w)jg()v = Jf (w)η = f(w)η + f(w)η v = g g f(w) ()+ f(w) v v (), aode η = g v (). 8. Seja f : U C C uma fução R-difereciável em it U. Di-se que f é C-ati-difereciável o complexo se f é C-difereciável em. Demostre a equivalêcia etre as asserções: i) f é C-difereciável ou C-ati-difereciável o poto ; O módulo da derivada direccioal Jf ()e iθ ão depede de θ R; i O limite lim w (f(w) f())/(w ) existe e é fiito. Supoha J f () 0. Verifique a equivalêcia de quaisquer das asserções i), ei com a seguite: iv) Camihos ortogoais em são trasformados por f em camihos ortogoais em f(). Resolução : Para a equivalêcia i) cosidere a seguite igualdade f v () = Jf ()eiθ = f()+ f()e iθ aode v = e iθ,θ R. Para a equivalêcia i) iv) cosidere que as codições das hipóteses, a alíea iv) pode ser substituída por a codição de ortogoalidade etre as derivadas direccioais em ordem a vectores ortoormais. Fixe-se θ R e cosiderem-se os vectores ortogoais v = e iθ e w = ±ie iθ. Seguem as seguites computações fi fl f f D E (), v w () = e iθ f()+e iθ f(), ±ie iθ f() ie iθ f() D E D E = ± e iθ f(), ie iθ f() e iθ f(), ie iθ f() = ±Re ie iθ f() f(). Na última igualdade acima cosiderou-se que ξ, η = Re (ξη). Sem dificuldades coclui-se que iv) verifica-se sse f() f() = 0.

23 Aálise complexa 4 9. Determie o domíio de C-difereciabilidade das fuções defiidas por as seguites expressões e calcule as respectivas derivadas: i) + +, C ; 3 3i 6 +3, C ; i , C ; iv) , C ; v) e , C ; vi) cos e, C ; v cos e, C\{0} ; vi cos(e ), C ; ix) cos(e + ), C ; x) cos, C ; xi) +, C ; x +, C ; xi 3 3, C ; xiv) si, C ; xv) l, 0 C. 0. Seja U C um cojuto aberto, coexo ão vaio e f : U C uma fução admitido derivadas de primeira ordem. Demostre que se f() = f() =0, U etão f é costate em U.. Forecidos, k =, cosidere as fuções ϕ,k () = +k /, 0 e ϕ,k (0) = 0. Verifique sucessivamete as seguites asserções: i) As fuções ϕ,k são cotíuas em C; As fuções ϕ, ão são C-difereciáveis em qualquer úmero complexo ; i As fuções ϕ, verificam a codição de Cauchy-Riema a origem sse é par; iv) As fuções ϕ,k,k=, são C-difereciáveis em sse =0. Ademais ϕ,k (0) = 0.. Forecido =, cosidere as fuções ψ () = /, 0. Deote por T k, k N o cojuto das raíes de ordem k da uidade e verifique sucessivamete as seguites asserções: i) As fuções ψ ão são C-difereciáveis em qualquer 0; As fuções Re ψ são C-difereciáveis o cojuto T 4 ; i As fuções Im ψ são C-difereciáveis o cojuto e iπ/(4) T Cosidere N e o poliómio em e dado por ψ () = ( + ) +, C. Mostre que o cojuto de C-difereciabilidade da fução ψ coicide com o cojuto das rectas que passam por a origem e por as raíes de ordem da uidade. 4. Cosidere U aberto coexo ão vaio e u H(Ω). Demostre que se o cotradomíio de u iclui-se uma variedade ui-dimesioal etão a fução u é costate. Dedua que se Re u, Im u, u ou arg u são holomorfas em U etão u é costate.

24 Aálise complexa 5 Resolução : Demostra-se a primeira parte do problema. Para determiado ɛ> 0 e para cada θ R os camihos [ ɛ, ɛ] ϕ(t) =u( + te iθ ) estão bem defiidos. variedade ui-dimesioal C. Para qualquer θ R os vectores Supoha-se o cotradomíio de u icluso a ϕ (0) = u η () =eiθ u()+e iθ u() =e iθ u () aode η = e iθ são vectores tagete a C, evetualmete ulos. Se u () 0 etão o espaço tagete a C o poto u() é bi-dimesioal, o que é absurdo. Logo u () = 0 e ecessariamete u é costate. Cosidera-se o caso arg u H(U). Porque o cotradomíio de arg u iclui-se uma variedade ui-dimesioal etão dedu-se da alíea i) que U arg u() é costate. Logo a fução u() = u() e i arg u() tem cotradomíio icluído em determiada recta passado por a origem. De i) coclui-se que u é costate. 5. Seja f : R + 0 C uma fução R-difereciável. i) Cosidere a fução módulo m() =, C e mostre que m() = e m() =, aode 0. Se ϕ() = f( ), 0 etão ϕ() =f ( ) e ϕ() =f ( ), aode 0. i Se ϕ é C-difereciável em C etão ϕ é a fução costate. iv) Seja C. A fução ϕ é C-difereciável em sse ϕ é C-difereciável em..7 Itegrais de liha e teorema fudametal. Cosidere r>0 e aplique a defiição de itegral de liha para calcular: i) arg d ; arg d ; i arg d ; [0,i] [0,+i] =r iv) arg d ; v) arg d ; vi) arg d ; =r =r aode : [0, ] C, (x) =x + ix.. Cosidere fução f : C\{0} C,f() = l / e calcule os itegrais de liha f() d, aode os camihos são idicados as seguites alíeas: i) : [0, ] C,(t) = ( t)+it ; : [0, ] C,(t) =e i3πt/ ; i : [0, ] C,(t) =e iπt ; iv) : [0, ] C,(t) =e i4πt.

25 Aálise complexa 6 3. Cosidere o camiho : [0, π] C,(x) =xe ix e calcule os seguites itegrais de liha: i) d ; d ; i arg d ; iv) Re d ; v) Im d ; vi) e i d. 4. Seja C tal que Im 0, Re >0e[, ] o segmeto de recta de a. Justifique que o itegral de liha w l w dw, está bem defiido e calcule-o. [,] 5. Cosidere as curvas C = { : =, Re >0}, C = {iy : < y < } e C 3 =. Supoha que C 3 é percorrida o setido positivo, e que C e C são percorridas o setido iduido de C 3. Calcule os itegrais + d C j e + d j, ( N) C j aode j são parametriações regulares das curvas C j,j =,, 3. Resolução : Cosidere o Teorema fudametal do cálculo e as evidetes proposições =/, C e =, C para calcular o itegral do lado esquerdo. Para determiar o itegral do lado direito, poderlhe-á ser útil cosiderar a seguite igualdade [, pag. 95] Re f(w) dw = f(w)d(w). 6. Cosidere f : C C uma fução iteira represetada por uma série de potêcias =0 a covergete em C. Supoha que a, N é uma sucessão de termos reais e justifique que f(w) dw = [F ( ) F ( )], [, ] aode F é a fução iteira represetada por a série de potêcias =0 a + +. Resolução : Cosidere a parametriação (t) = t+ ( t), 0 t. Evetualmete a resolução ser-lhe-á evidete se cosiderar que (t) = e as seguites igualdades f(w) dw = f((t)) (t) dt = f((t)) [, ] 0 (t) dt = f(w) dw. 0 [, ]

26 Aálise complexa 7 7. Cosidere uma camiho : [0, ] C de classe C verificado as seguites codições: Re (0) = Im () > 0, Im (0) = Re () = 0 ; Re (t) > 0, Im (t) > 0 (0 <t<). Defia os camihos k, k =,, 4 da seguite forma k (t) =i k (t), 0 t. Aplicado a defiição de itegral de liha verifique que se f : R + 0 C é itegrável em itervalos compactos etão f( ) d = f( ) d =0, α aode α é o camiho fechado seccioalmalmete regular defiido por as seguites codições α : [0, 4] C, α(t) = k (t k + ), k t k (k =,, 4). α 8. Cosidere a defiição de itegral de liha para calcular a fução ídice I(, ), / C aode o camiho ecotra-se idicado as seguites alíeas: i) (t) =e iπt, 0 t ( N ) ; (t) = sig t e iπt sig t, t m (, m N ). Na alíea o símbolo sig t desiga o sial de t R. No problema assume-se sig 0 = 0. Esboce as curvas C o plao complexo. 9. Cosidere os camihos, e 3 respectivamete defiidos por [ 0,e iπ/4], [ e iπ/4, 0 ] e 3 :[ π/4, π/4] C, 3 (t) =e it. i) Represete o plao complexo as curvas C j, j =,, 4, aode 4 é uma parametriação seccioalmete regular da curva fechada C C C 3, percorrida o setido postivo; Calcule os itegrais idicados as seguites alíeas: i) ( ) cos π d ; cos d ; 3 4 iv) ( 3 si π/ ) d ; v) si( πre ) d ; v e π d ; 4 vi l d (ɛ > 0) ; ɛ 3 i vi) ix) ( ) cos π d ; d ; 3 e 4 l d. 0. Cosidere os camihos e 4 referidos o problema 9. Demostre que d r e d r( + er ), (r>0). r e e r 4

27 Aálise complexa 8. Cosidere uma fução f com valores complexos e a classe C (U), aode U desiga um cojuto aberto cotedo cl D(0, ). i) Verifique as seguites igualdades: f() d = = = f() d = i f() d. = Supoha que f H(U),f(0) = 0 e demostre que Re f() d = f() d e = i = = f() d é imagiário puro. Resolução : A alíea i) é cosequêcia imediata das diferetes defiições de itegral de liha evolvidas. Para a alíea, cosidere i) e o seguite f()+f() Re f() d = = = = πf(0) + i = d = = f() f()+f() d = f() d. i = f()+f() d = i d =. Seja :[a, b] C um camiho seccioalmete regular e U C um aberto tal que C U. Se F : U C é difereciável e F () =f(), U etão f() d = F ((b)) F ((a))..8 Fórmulas itegrais de Cauchy e série de Taylor. Seja f uma fução a classe H(D(0, )). Ecotre os erros as seguites igualdades f(w) f(0) = πi w dw = wf(w)+wwf (w) dw = w [wwf(w)] dw πi πi = w = w = w f(w) dw = f (w) dw =0. πi w = πi w = w =. Cosidere cojutos U C e C = U, as codições do teorema de Gree. Demostre que se f H(U) C (cl U) eg C (cl U), aode cl U desiga a aderêcia do cojuto U, etão f() g () da() = f()g() d. i U

28 Aálise complexa 9 3. Seja um camiho de Jorda seccioalmete regular, U = is e f C (cl U). O Laplaciao da fução f é defiido através de f =4 f. Demostre sucessivamete que: i) se para qualquer que seja U verifica-se f() R, etão Re f() d = 0 ; i se para qualquer que seja U verifica-se f() 0, etão Im f() d 0; supoha que g H(U) C (cl U) e cosidere f() = g(). Mostre que f verifica as codições da alíea e se g é ijectiva etão g ()g() d =i g (is ), aode g (is ) deota a área do cojuto g (is ). Resolução : Do teorema de Gree ifere-se f () da() = i U f() d. Desta forma o leitor ão ecotrará dificuldades em termiar a demostração de i) e. Em relação à alíea i, é evidete que a fução f ecotrasse as codições da alíea. Em cosequêcia, o Teorema de Gree e a mudaça de variável de itegração estabelecem o seguite g ()g() d =i g () g() da() = i g () da() = i g (U), aode U = is. U U 4. [Teste ] Cosidere a fução meromorfa de variável complexa f() = +. i) Determie e classifique as sigularidades da fução f; Idique o raio de covergêcia da série de Taylor de f cetrada o poto = ; i Cosidere a fução de variável complexa g() =f(e ) e determie as suas sigularidades; iv) Calcule os itegrais f() d e g() d, () i = = aode as curvas de Jorda os itegrais em () são percorridas o setido positivo; v) Determie o domíio de C-difereciabilidade da fução h =/ f e calcule a derivada h (), os potos aode h é C-difereciável;

29 Aálise complexa 30 Resolução : i) As sigularidades de f são os eros do poliómio p() := +. Sem dificuldades coclui-se + = 0 sse = e ±iπ/4. Como e ±iπ/4 são eros simples de p() etão e ±iπ/4 são pólos simples de f(). Se r é o raio de covergêcia da série de Taylor cetrada, etão r = mi e iπ/4, o e iπ/4 =. i As sigularidades de g são as soluções das equações e = e ±iπ/4. Sem dificuldades obtemos e = e ±iπ/4 = iπ ± 4 «+k, k. iv) Uma úica sigularidade de f é elemeto do iterior da curva de Jorda { : i =}. Logo / e iπ/4 πi f() d = d = e iπ/4 e iπ/4 e = π. iπ/4 i = i = v) A fução h é de classe C o seu domíio. Logo h é C-difereciável em sse e ±iπ/4 e h() =0. Como h() =, e ±iπ/4 etão h() = 0 = e logo h é C-difereciável sse =. Como h() = 0, e ±iπ/4 etão h ( /) = Cosidere um cojuto fiito F Ceuma fução f H(U), aode U := C\F. Defia a fução ϕ(r) := f() d aode r (t) =re it, π < t π, r > 0. r Supoha M(r) =o(/r),r +, aode M r := sup =r f(). Justifique as seguites asserções: i) a fução ϕ(r) está bem defiida tato ϕ(r) é costate, para r superior a determiado real; ϕ(r) = 0 para r superior a determiado real.

30 Aálise complexa 3 6. Calcule os itegrais idicados em cada uma das seguites alíeas i) ( + ) 3 d, 3 C = D(0, ) ; + d, C = D(0, ) ; i v) v ix) xi) si 4 d, C = D(0, ) ; iv) cos ( + ) d, C = D(0, ) ; vi) e π ( + ) cos d, C = D(0, ) ; vi cos(iπ) ( + ) d, C = D(0, ) ; x) ( ) d ( N), C = D(0, ) ; x si ( + π)( π) d, C = D(iπ, π) ; si ( + )e π d, C = D(0, ) ; e ( + π )( π ) d, C = D(iπ, ) ; d ( N), C = D(0, ) ; j ( ) j d (, j N), C = D(0, ). aode desiga uma parametriação o setido positivo das curvas de Jorda C acima idicadas. 7. Desevolva em série de potêcias de a, as fuções idicadas as seguites alíeas, e idique a região de covergêcia absoluta dos desevolvimetos obtidos: i),a= ; ( + ),a= ; i ( + ),a=; iv) si, a = π ; v) si, a = 0 ; vi) l, a =; v e,a= π ; vi cos e,a= π ; ix) ( 3 + ),a=0. 8. Fixo um umero complexo α a codição α, cosidere a fução racioal f() = α α. i) Desevolva a fução f em série de Mac-Lauri e idique o raio de covergêcia da série obtida; Verifique a seguite igualdade f () () =! ( α )α ( α) +, N ; i Sem utiliar a soma da série geométrica, desevolva a fução f em série de potêcias de α e idique o raio de covergêcia da série obtida. 9. [Teste ] Cosidere a série de potêcias + =0!!3. ()

31 Aálise complexa 3 i) Determie o raio de covergêcia da série de potêcias () ; Justifique que fução = f() = + =0!!3 defie uma fução holomorfa um cojuto aberto que cotém D(0, ) D(0, ) e calcule f(ξ) (ξ ) dξ e ξ f( ξ ) dξ. = Resolução : i) Cosiderado a defiição de expoecial e a soma da série geométrica, obtemos + X =0!!3 = + X =0 3 + X =0 3 =! 3 3 e/3, < 3. Como a expoecial é uma fução iteira, dedu-se que o raio de covergêcia da série () é r =3. Fuções defiidas por séries de potêcias são aalíticas o iterior da sua região de covergêcia. Cosequetemete f H(D(0, 3)). Da fórmula itegral de Cauchy coclui-se f(ξ) «(ξ ) dξ =πif e () = πi. 6 = Porque f H(D(0, 3)) etão f admite primitiva em D(0, 3). Se F () =f(), D(0, 3) coclui-se ξ f( ξ ) dξ = d»f ( ξ dξ ) dξ =0. = = 0. Cosidere uma fução f H(D(0, )) e demostre as igualdades as seguite alíeas: f(w) i) πi = (w ) dw =0, para quaisquer que sejam N, < ; f(ξ) dξ = f(0), para qualquer que seja <. π ξ ξ = Sugestão: Teha em cosideração que ao que respeita à itegração o circulo uitário é válido dξ = iξ dξ. Resolução : Sem dificuldades de maior obtém-se o seguite f(ξ) π ξ dξ = f(ξ) πi ( ξ)ξ dξ = πi ξ = = πi ξ = ξ = f(ξ) ( ξ) dξ + πi ξ = ξ =» f(ξ) ( ξ) + ξ f(ξ) ξ dξ, <. O itegral do lado esquerdo é ulo, porque a fução itegrada é holomorfa em C, com excepção dum poto sigular situado o exterior do circulo uitário. itegral de Cauchy. O segudo itegral calcula-se por itermédio da fórmula dξ

32 Aálise complexa 33. Justifique as seguites asserções: ( ) ( w) + i) πi (w ) + dw =( + ) ( ) ( N, < ); ( ) πi w = w = ( w) + (w ) + dw =( + ) + ( N, > ).. (Desigualdades de Cauchy) Cosidere U C aberto ão vaio e uma fução f H(U). Se r>0 é tal que D(, r) U etão defia M(, r) := sup w =r f(w). Cosidere as fórmulas itegrais de Cauchy para demostrar sucessivamete o seguite: i) Para qualquer atural verifica-se a seguite desigualdade de Cauchy f () M(, r) ()! r aode r>0 é tal que D(, r) U; Se U = C e f () () é fução limitada, etão f é um poliómio de ordem iferior ou igual a..9 Fuções harmóicas e harmóicas cojugadas. Determie as harmóicas cojugadas em U C, das fuções u(), U ( = x + iy, x, y R) idicadas as seguites alíeas: i) u(x, y) := x y,u:= C ; u(x, y) := x(y + ),U:= C i u(x, y) := x y + xy, U := C ; iv) u(x, y) := 3x y y 3,U:= C v) u(x, y) := y x + y,u:= C\{0} ; vi) u(x, y) := x y (x + y ),U:= C\{0} v u(x, y) := l [(x + y ) ],U:= C\{R 0 } ; vi u(x, y) := ex y cos(xy),u:= C ; ix) u(x, y) := Im [( + + )],U:= C ; x) u(x, y) := Re [e e ],U:= C.. Cosidere f() =u()+iv() ( = x + iy; x, y R), aode v é harmóica cojugada de u. Calcule os itegrais de liha idicados as seguites alíeas: f() i) d, u(x, y) := y(x + ), v(0) = 0 ; i iv) = = = = f() ( ) d, u(x, y) := x3 3xy, v(0) = 0 ; f() ( ) 3 d, u(x, y) := y y + x, v(0) = ; f() i d, u(x, y) := e y (x cos x y si x), v(0) = 0.

33 Aálise complexa Cosidere os operadores de derivação em coordeadas polares, i.e. ( = eiθ r + i ) ( e = e iθ r θ r i ) r θ e verifique que o operador Laplaciao = / x + / y, actuado em fuções admitido derivadas de seguda ordem cotíuas, escreve-se em coordeadas polares da seguite forma = r + r r + r θ. 4. Cosidere o exercício 3 para demostrar que se u(x, y) é harmóica em C etão a seguite fução v(x, y) =u(ξ(x, y),η(x, y)) é harmóica em C\{0}, aode ξ = x/(x + y )eη = y/(x + y ). 5. Seja U C aberto, coexo ão vaio e u : U R uma fução harmóica. Demostre as seguites asserções: i) a fução e u é harmóica em U sse u é costate; se v é harmóica cojugada de u etão as fuções e u cos v e e u si v são harmóicas em U. 6. Seja U C aberto simplesmete coexo ão vaio e f : U C uma fução harmóica em U. Demostre sucessivamete as seguites asserções: i) Se f é harmóica em U e ão se aula etão f é harmóica sse /f é harmóica. Se f H(U) e f é harmóica etão f é costate em U. Resolução : Supodo que f é fução harmóica sem eros, etão a alíea i) resulta das seguites computações elemetares f = f = f f f f = f f f f f = f f 4 f 4 A alíea resulta da seguite observação f = ff = f f = f. f f Seja g : C C uma fução R-difereciável em C. i) A fução g é C-difereciável o complexo sse g() = 0. Se g é C-difereciável em etão g() =g (). Seja g uma fução C-difereciável o complexo. Supoha que g C (D(, r)), para algum r>0. Demostre que g () = g ().

34 Aálise complexa 35 i Nas codições da alíea verifica-se 4 g = g =4 g () aode = x + y. 8. Seja Ω aberto coexo ão vaio. Demostre que se u = f + g, aode f, g H(Ω) e u assume valores reais etão a fução f g é costate. Resolução : Cosidere as seguites computações 0= f = u g = u g = f g. 9. Cosidere Ω simplesmete coexo e u uma fução harmóica em Ω (ão ecessariamete real). Demostre que se o cotradomíio de u iclui-se uma variedade ui-dimesioal etão u é costate. Resolução : Sabe-se da existêcia de fuções f, g H(Ω) tais que u = f + g. Para determiado ɛ> 0 e para cada θ R os camihos [ ɛ, ɛ] ϕ(t) =u( + te iθ ) estão bem defiidos. Supoha-se o cotradomíio de u icluso a variedade ui-dimesioal C. Etão, para qualquer θ R os vectores ϕ (0) = u η () =eiθ u()+e iθ u() =f ()e iθ + g ()e iθ aode η = e iθ são vectores tagete a C, evetualmete ulos. Não obstate, a equação f ()e iθ + g ()e iθ = f ()+g ()e iθ, θ R é a equação da circuferêcia cetrada em f () e com raio g (). Logo f () =g () = Seja U C um cojuto aberto ão vaio e f : U C uma fução holomorfa. Verifique as asserções seguites: i) Se u := Re f e desiga o operador Laplaciao 4 etão 0, = u = f, = ( ) f u, =3, 4, ; Nas codições da alíea aterior verifica-se 4 f, = f = f f, N, ;

35 Aálise complexa 36 i Se V C é cojuto aberto, f(u) V e g : V C admite derivadas de primeira ordem etão (g f)() = g(w) f (), aode w = f(). iv) Se V C é cojuto aberto ão vaio e a fução g : V U admite derivadas de primeira ordem etão (f g)() = g()f (w)+4f (w) g() g(), aode w = g(). Resolução : Cosideramos que = 4.i), Para a alíea i) cosidere u =(f + f)/. Para teha em cosideração f = f / (f) /, para os ramos da potêcia bem desejados..0 Série de Lauret e o teorema dos resíduos. Para as fuções meromorfas idicadas as seguites alíeas, determie o desevolvimeto em série de Lauret, covergete em discos potuados o poto idicado e os respectivos resíduos: i),= ; ( ) ( + ),= ; i ( ),= ; iv) e /,= 0 ; v) e π ( + i) i, = i ; vi) l ( + ),=0.. Para as fuções idicadas as seguites alíeas, determie os desevolvimeto em série de Lauret, covergete as coroas circulares respectivamete idicadas: i) i v) v ( )( ) ( )( ) ( + 4)( ) ( + 4)( ), < < ;, 0 < < ; iv), < < ; vi), ( )( ) ( )( ) ( + 4)( ) 5 < +i < 4 ; vi ( + 4)( ), > ;, > ;, 0 < < 5 ;, 0 < i < Calcule os itegrais idicados em cada uma das alíeas abaixo: i) r e d, r =3π ; d, r =; r e/ + i r d, r = e ; iv) si d, r =; si (iπ) r v) v cos r r d, r = ; vi) cos(iπ) ( d, r = ; vi + ) ( ) si,r=; r d ( N),r=; r

36 Aálise complexa 37 aode r deota uma parametriação seccioalmete regular da circuferêcia cetrada a origem, de raio r>0 e percorrida o setido positivo. 4. Cosidere N e fuções f j H(D(0, )), j=0,,. i) Calcule j f j () d. = j=0 Utilie a alíea i) para calcular = e ( e ) d. X Sugestão: Cosidere f j() =e j, C e verifique que j f j() = e, se =. ( e ) j=0 5. a) Classifique as sigularidades da fução meromorfa f idicada as seguites alíeas: i) f() = + ; f() = ( + ) ; i f() = si(iπ) ( + ) ; iv) f() =3 si ; v) f() = 3 si ; vi) f() = ( N ); v f() = ( ) ( N ) ; vi f() = ( N ). b) Cosidere um qualquer camiho de Jorda seccioalmete regular, positivamete orietado e tal que cl D(0, ) is. Calcule o itegral f() d. 6. Cosidere o circulo uitário percorrido o setido positivo e calcule os itegrais idicados as alíeas abaixo e /w e /w i) dw, ; +w + dw, ; w i w = w = e /w w( + w dw, ; iv) ) w = w = e /w ( w) dw.

37 Aálise complexa 38 Resolução : iv) Os desevolvimetos em série de Lauret podem ser obtidas cosiderado o seguite e /w ( w) = d e/w dw w = X =0 d! w dw X w k = k=0 X,k=0 Na série dupla aterior as potêcias /w obtêm-se caso = k +. Logo «e /w X Res ( w) ;0 (k + ) = (k + )! = X k! = e. O valor do itegral obtém-se dos seguites cálculos w = k=0 e /w dw =πei +πi ( w) k=0» d dw e/w =0. w= (k + ) w k.! 7. Seja U C um cojuto aberto ão vaio e w U.Supoha que f H(U w ) e justifique que: i) se existe k N tal que lim ( w w)k f() =0, etão w é um pólo da fução f de ordem estritamete iferior a k ou w é uma sigularidade removível de f; se existe k N tal que lim w f() =0 ( w) k etão w é um ero da fução f com multiplicidade estritamete superior a k. 8. Cosidere fuções f e g aalíticas em w C. Mostre sucessivamete que: i) se f(w) 0 e w é um ero simples da fução g etão f/g tem um pólo simples em w e verifica-se ( ) f Res g ; w = f(w) g (w) ; se f e g têm respectivamete eros em w com multiplicidade k e k + etão f/g tem um pólo simples em w e verifica-se ( ) f Res g ; w =(k + ) f (k) (w) g (k+) (w). Resolução : Supoha que os seguites desevolvimetos f() =a 0 + a ( w) +,a 0 0 e g() = b ( w)+b ( w) +,b 0 são válidos uma viihaça do poto w. Etão, a alíea i) resulta de A solução de obtém-se de forma semelhate. f() lim ( w) w g() = lim a 0 + a ( w)+ w b + b ( w)+ = a0. b