Pós-Graduação latu sensu em Engenharia de Produção

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1 CENTRO UNIVERSITÁRIO UNA PRÓ-REITORIA DE PÓS-GRADUAÇÃO Pós-Graduação latu sesu em Egehara de Produção ESTATÍSTICA APLICADA (0 hs) Belo Horzote Dscpla: Estatístca Aplcada Prof.: Kerley Alberto Perera de Olvera professorkerley@yahoo.com.br

2 DISCIPLINA: Estatístca Aplcada PLANO DE CURSO PROFESSOR: Kerley Alberto Perera de Olvera OBJETIVO DA DISCIPLINA: Forecer aos aluos o strumetal estatístco básco ecessáro para o tratameto, aálse e ferêca de dados as dversas áreas de atuação da egehara de produção; cotrole de qualdade, plaejameto e cotrole produção, pesqusa operacoal, estudos de tempos e métodos etc. RESULTADOS ESPERADOS: espera-se o etedmeto do aluo em relação as téccas estatístcas apresetadas. Uma compreesão do aluo tato a parte prátca quato teórca. EMENTA Estatístca Descrtva; Amostragem; Estmação de Parâmetros; Teste de Hpóteses; Teste de Aderêca; Correlação e Regressão; Aálse de Varâca. CARGA HORÁRIA 0 horas PLANO DE AULA Data Coteúdo a ser Abordado Metodologa a ser Utlzada 19/07 Estatístca Descrtva 03/10 Amostragem; Estmação de parâmetros Aula expostva; estudo de casos; exercícos dvduas e em grupo. Aula expostva; estudo de casos; exercícos dvduas e em grupo. 05/10 Teste de Hpóteses; Teste de Aderêca 10/10 Correlação e Regressão; Aálse de Varâca Aula expostva; estudo de casos; exercícos dvduas e em grupo. Aula expostva; estudo de casos; exercícos dvduas e em grupo. 17/10 Prova Prova Exercícos e estudos de caso Avalação Fal Total Pós de Egehara de Produção - Estatístca

3 ORIENTAÇÕES: Durate as realzações das aulas serão utlzados recursos computacoas. (Excell). BIBLIOGRAFIA BÁSICA 1. Apostla Estatístca Aplcada Curso de Pós-Graduação (latu sesu) em Egehara de Produção. Cetro Uverstáro UNA. Autora de: OLIVEIRA, Ferado Luz Perera de. Adaptações de: OLIVEIRA, Kerley Alberto Perera de. Belo Horzote, MG BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 1. ANDERSON, Dav R.; SWEENEY, Des J.; WILLIAMS, Thomas A.; PAIVA, Lus Sérgo de Castro (Org.). Estatístca aplcada à admstração e ecooma. ed. São Paulo: Poera Thompso, 00.. BRUNI, Adrao Leal. Estatístca aplcada à gestão empresaral. 1 ed. São Paulo: Atlas COSTA, Sérgo Fracsco. Itrodução Ilustrada à Estatístca. 4 ed. São Paulo: Harbra, LEVINE, Davd M. Estatístca: teora e aplcação utlzado o Mcrosoft Excel em português. Ro de Jaero: LTC TRIOLA, M. F. Itrodução à Estatístca. 10 ed. Ro de Jaero: LTC 008. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 3

4 Kerley Alberto Perera de Olvera Currculum Vtae Resumdo Trabalhou durate 10 aos a Força Aérea Braslera como Especalsta e Istrutor em Mauteção Aeroáutca e Seguraça de Vôo. Habltado pela ANAC para grupo Avôcos. Graduado em Físca pela Uversdade Federal de Mas Geras. Mestre em Cêca e Tecologa das Radações, Meras e Materas pelo Cetro de Desevolvmeto da Tecologa Nuclear/Comssão Nacoal de Eerga Nuclear (área de cocetração: Aálse de Rsco Ambetal). Doutorado em Saeameto, Meo Ambete e Recursos Hídrcos pela Escola de Egehara da UFMG. Coordeador dos Cursos Superores de Tecologa em Plotagem Profssoal de Aeroaves, Mauteção de Aeroaves e Trasporte Aéreo do Cetro Uverstáro Ua UaTec. Coordeador do Curso de Pós-Graduação em Gestão Ambetal do U-BH. É professor de Físca o Cetro de Istrução e Adaptação da Aeroáutca/PUC Mas, Faculdade Ptágoras e UaTec. Professor de Estatístca da Pós-Graduação em Egehara de Produção do Cetro Uverstáro Ua. Mstra dscpla de Aálse e Gestão de Rscos a Pós- Graduação em Gestão Ambetal da Faculdade SENAC e a Pós-Graduação em Egehara Ambetal Itegrada do IETEC. Pertece a grupo de trabalho da Comssão Nacoal de Eerga Nuclear atuado as áreas de avalação e mtgação de rscos e mpactos ambetas. Possu artgos publcados em revstas e aas de cogressos acoas e teracoas. É Revsor covdado do Joural of Evrometal Maagemet, sóco fudador da EcoQualty Soluções e cosultor credecado juto ao SEBRAE-MG. Edereço eletrôco: professorkerley@yahoo.com.br Web ste: GrupoKerley.webode.com.br Pós de Egehara de Produção - Estatístca 4

5 ÍNDICE I. INTRODUÇÃO, CONCEITOS E DEFINIÇÕES II. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM I III. APRESENTAÇÃO DE DADOS REPRESENTAÇÃO GRÁFICA IV. MEDIDAS ESTATÍSTICAS TENDÊNCIA CENTRAL V. MEDIDAS ESTATÍSTICAS DISPERSÃO OU VARIABILIDADE VI. MEDIDAS ESTATÍSTICAS POSIÇÃO VII. INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE VIII. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM II IX. TESTES DE HIPÓTESES X. MEDIDAS DE ASSOCIAÇÃO LINEAR ENTRE DUAS VARIÁVEIS XI. INTRODUÇÃO AO MODELO DE ANÁLISE DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES Pós de Egehara de Produção - Estatístca 5

6 I. INTRODUÇÃO, CONCEITOS E DEFINIÇÕES Por que estatístca é mportate? Porque os permte eteder e ldar com a oção de varabldade. Um exemplo típco é: produção de parafusos. Uma fábrca produz parafusos, que devem ter seu dâmetro detro de certas especfcações. Ao medrmos o dâmetro de 100 parafusos produzdos ao acaso exstrão varações dvduas. Estas varações são mportates? Até que poto as varações observadas são acetáves? Em geral um úmero em Estatístca ão é apeas um úmero! A ele assocamos uma medda de certeza ou varabldade. A Estatístca aplcada à egehara é um ramo da estatístca que estuda as suas aplcações à egehara, ode o maor uso seja talvez o cotrole de processos de produtos e servços. Mas também é usada, por exemplo, o plaejameto de ovas estratégas de produção, vedas, etc. Exste uma preocupação da Estatístca aplcada à Egehara que se localza o Cotrole de Processos e Maufatura, aalsado dstrbuções e lotes para padrões de qualdade os produtos. Por exemplo, para a Egehara de Almetos, há certa estatístca a Aálse Sesoral, para observar a acetação de um produto maufaturado em relação ao públco. A estatstca é aplcada a produção para acompahar a establdade dos processos, esta establdade é aalsada por cartas de acompahameto cohecda como cartas de cotrole estatstco de processo. Também se utlza a estatstca para aalsar esaos tato destrutvos como ão destrutvos, verfcado a porcetagem de peças ão coforme ou probabldade de vda de equpametos ou peças. Utlza-se estatstca em calbração de equpametos de medção e a aalse dos mesmos, também a verfcação da codção de uso dos meos de medção. Coceto de Varável Especfcação de valores coletados. É uma gradeza que ão possu qualfcação ou quatfcação fxa, ou seja, pode ser qualfcada ou quatfcada de formas dferetes. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 6

7 Tpos de Varável Varável Qualtatva: ão podem ser operadas algebrcamete. Ex.: cor de cabelo, marca, escolardade etc... Varável Quattatva: podem ser operadas algebrcamete. Ex.: dade, altura, saláro, peso etc... Em ossa cultura, ão é elegate tratar de assutos que evolvam varáves quattatvas, prcpalmete com uma Dama. Por exemplo, ão é educado pergutar sobre a dade das pessoas, altura, peso, saláro etc. Cotudo, ão há problema em se pergutar a cor dos olhos, o tpo de cabelo, a marca do carro...só ão pode pergutar o quato custou. Mutos expermetos produzem resultados ão-umércos. Ates de aalsá-los é coveete trasformar seus resultados em úmeros. Um exemplo muto usado são as escalas de Lkert: O formato típco de um tem Ldert é: Cocordo totalmete Dscordo totalmete 1. ão cocordo veemetemete;. ão cocordo; 3. dferete; 4. cocordo; 5. cocordo totalmete. População x Amostra Iferr sgfca geeralzar com parte do todo (amostra) tetado eteder o própro todo (população). População é qualquer cojuto de formações que teham, etre s, uma característca (varável) comum. Ex.: o cojuto de todas as cores de olhos costtu uma população de cores de olhos. População ão mplca ecessaramete gete ou pessoas. O que mporta é a varável estudada. Você pode ter uma população de cores de flores ou marcas de carro. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 7

8 Se uma população for muto grade (por exemplo, o cojuto de todas as estaturas de uma comudade), o pesqusador poderá ter um trabalho astroômco para estudá-la. Nesses casos, recorre-se a uma AMOSTRA, que, bascamete, costtu em uma redução da população a dmesões meores, SEM PERDA DAS CARACTERÍSITCAS ESSENCIAIS. Uma amostra, para ser BOA, tem de ser REPRESENTATIVA, ou seja, deve coter em proporção tudo o que a população possu QUALITATIVA e QUANTITATIVAMENTE. E precsa ser IMPARCIAL, sto é, todos os elemetos da população devem ter IGUAL OPORTUNIDADE de fazer parte da amostra. A partr de uma amostra represetatva da população pode-se dar orgem a dversas relações estatístcas como, por exemplo, méda, medaa, moda, varâca etc. Essas relações estatístcas possbltam descrever, sob dversos âgulos, o cojuto de dados represetado pela amostra. Por essa razão, o estudo dessas relações pertece ao campo da ESTATÍSTICA DESCRITIVA. Cotudo, o teresse do pesqusador está voltado para a população da qual se orgou a amostra. Ele estuda as característcas da amostra, sto é, calcula as relações estatístcas) com o objetvo de TRANSFERIR, de GENERALIZAR suas CONCLUSÕES para a população. A parte da estatístca que se teressa pelas GENERALIZAÇÕES, ou seja, pelas TRANSFERÊNCIAS DE CONCLUSÕES das amostras para as populações, chama-se ESTATÍSTICA INFERENCIAL. Na trasferêca de suas coclusões (da amostra para a população), o pesqusador vale-se de um poderoso recurso que é a TEORIA DAS PROBABILIDADES. Essa teora permte AVALIAR E CONTROLAR o TAMANHODO ERRO (INCERTEZA) que ele estará cometedo ao fazer GENERALIZAÇÕES (INFERÊNCIAS). Mas se exste a probabldade de ocorrêca de certezas quado se usa uma amostra, por que etão ão se usa sempre a população? Smplesmete por que, em sempre é vável ou possível usar a população. Por exemplo: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 8

9 Um médco precsa avalar as codções de seu sague. Você va a um laboratóro e retram de você uma amostra de sague. Por que usaram uma amostra e ão a população? Um agrôomo precsa avalar as codções do solo de uma área que será usada para plato. Ele retra uma amostra do solo e eva para um laboratóro. Por que usaram uma amostra e ão a população? Exstem dícos de que um ro esteja cotamado. Só exste uma forma de se chegar a uma coclusão. Retra-se uma amostra de água do ro que é evada para um laboratóro. Por que usaram uma amostra e ão a população? Prévas para eleções. Por que usaram uma amostra e ão a população? O uso de uma amostra também pode ser útl quado o processo de pesqusa é destrutvo. Por exemplo, se tvermos uma população de fósforos e qusermos avalar a porcetagem de falhas. Para pesar:...todo mas caro, mas tempo, mas cofável...amostra mas barato, mas rápdo mas evolve certezas...o que fazer? Deve-se colocar a balaça e avalar o custo-beefíco. Você deseja uma válvula que ão vaze e faz todo o possível para desevolvê-la. Mas o mudo real, só exstem válvulas que vazam. Você tem que determar o grau de vazameto que pode tolerar Werher vo Brau EXERCÍCIOS 1- Uma agêca do estado classfca a ocupação dos trabalhadores como profssoal lberal, fucoáro e operáro. No regstro de dados, 1 deota o profssoal lberal, o fucoáro e 3 o operáro. Idetfque a varável de teresse e qualfque como quattatva ou qualtatva. - Um levatameto joralístco argüu 013 adultos: você está satsfeto com a stuação da ecooma do país hoje?. As categoras das respostas eram satsfeto, satsfeto e decso. a) Qual a varável de teresse desse estudo? Pós de Egehara de Produção - Estatístca 9

10 b) Qual a população alvo desse estudo? c) Nesse estudo trabalhou-se com a população ou com uma amostra? Por que? d) Qual fo o tamaho da população ou amostra para essa pesqusa? e) Os dados coletados eram qualtatvos ou quattatvos? f) Para um resumo dos dados para esta questão, fara setdo usar a méda ou a porcetagem? g) Dos que respoderam, 8% dsseram que estavam satsfetos com a stuação. Quatos dvíduos foreceram esta resposta? 3- Declare se cada uma das segutes varáves é qualtatva ou quattatva a) dade b) gêero c) classe socal d) marca de automóvel e) úmero de pessoas favoráves à pea de morte f) vedas auas g) tamaho dos refrgerates (pequeo, médo, grade) h) gahos por ação ) método de pagameto (à vsta, com cheque, com cartão) 4- O segute cojuto de dados forece um quadro do desempeho facero de uma empresa. Ao Gaho por,78,13 3,41 3,83 ação Reda 11,87 1,57 13,43 14,9 (blhões) Reda líquda 1,51 1,17 1,89,1 (blhões) Valor omal por ação 14,35 10,98 1,67 13,98 Pós de Egehara de Produção - Estatístca 10

11 a) Quatas varáves exstem a tabela b) Os dados são qualtatvos ou quattatvos 5- Uma empresa está teressada em testar a efcáca da propagada de um ovo comercal de TV. Como parte do teste, o comercal é mostrado em um programa de otícas locas às 18h30m. Dos das mas tarde, uma frma de pesqusa de mercado realzou um levatameto telefôco para obter formações sobre os ídces de respostas (porcetages de espectadores que respoderam vedo o comercal) e mpressão sobre o comercal. a) Qual é a população desse estudo b) Qual é a amostra para esse estudo c) Por que se usara uma amostra essa stuação? Explque. II. TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM Amostragem x Amostra Amostragem é uma ferrameta que permte a você aalsar um subcojuto de uma população, objetvado levatar formações sobre os fatos relatvos a esse subcojuto, com a teção de ferr o comportameto da população. A amostra é um úmero lmtado de formações trada de um cojuto da mesma atureza deomado população. Amostra é uma parte, um subcojuto de um espaço amostral. Uma amostra deverá reur as característcas báscas de uma população. A mportâca de uma amostra está a avalação de gradezas descohecdas de uma população e a qualdade desta avalação depede bascamete da represetatvdade da amostra e a represetatvdade de uma amostra depede da sua capacdade de reproduzr as característcas báscas da sua população. Falamos de população em termos de pessoas, mas, a realdade, ela se refere ao cojuto total de objetos que você está estudado todos os aluos de uma escola, todos os fucoáros de uma empresa, Pós de Egehara de Produção - Estatístca 11

12 todas as garrafas de vho, todos os carros produzdos por uma fábrca, e assm por date. Muto provavelmete você ão será capaz de etrevstar toda uma população de pessoas ou examar todo um cojuto de objetos, etão você se oreta por um pequeo grupo retrado desta população/cojuto. Você va ferr o comportameto da população com base os resultados descrtos da sua amostra. Uma amostra é uma parte tegrate de uma população e a dfereça básca etre os cocetos de amostra e população é que a amostra represeta uma parte do todo, equato a população represeta o todo. Uma amostra é cosderada parte represetatva da população se ela tver a propredade de absorver todas as característcas da população e se as característcas da população estverem ela cotdas, as coclusões a respeto desta amostra podem ser cosderadas como coclusões da respectva população. Mas à medda que o tamaho da amostra for crescedo, tas formações vão se torado cada vez mas verdaderas. Dversos fatores justfcam os trabalhos com amostras, o lugar de estudar a respectva população, etre os quas, destacam-se: Custo: as despesas com a operacoalzação estatístca da população são geralmete bem maores que com a averguação de uma amostra. Velocdade: as pesqusas realzadas com amostras são mas rápdas, em vrtude de coter um meor úmero de udades. Pratcabldade: coforme o própro coceto, às vezes, a dmesão da população tora as pesqusas mpratcáves. Expermeto Aleatóro Os expermetos aleatóros são aqueles cujos resultados ão são sempre os mesmos, apesar de se repetrem, váras vezes, em codções semelhates. Estes expermetos são aqueles que apresetam resultados mprevsíves. O laçameto de moedas e dados, bem como sorteos e extrações lotércas são feômeos aleatóros. Algus expermetos aleatóros poderão ser repetdos sob as mesmas codções defdamete. O expermeto apreseta város resultados ão sedo possível afrmar, com atecedêca, qual será sua determação ates que o mesmo teha sdo realzado. Ates do laçameto de um dado, ão podemos dzer qual será o resultado, mas somos capazes Pós de Egehara de Produção - Estatístca 1

13 de eumerar todos os resultados. Uma característca mportate de algus expermetos é a sua possbldade de repetção cotíua, matdas as mesmas codções cas. Amostragem Aleatóra É uma técca que vsa selecoar os tegrates de uma amostra de tal forma que cada elemeto de uma população tem a mesma probabldade de ser cluído a amostra. Amostragem Aleatóra Smples A amostragem aleatóra smples é um processo que vsa selecoar amostras de tamaho etre os N elemetos da população. Este processo garate a mesma chace para cada um dos elemetos desta população. A adoção da técca da amostragem aleatóra smples pressupõe uma população homogêea, em relação ao característco de teresse. A amostragem aleatóra smples é um processo muto empregado e o procedmeto para a formação da amostra será sempre a escolha aleatóra, a escolha cega, o sorteo. Sempre tedo-se em mete que o pesqusador ão pode fluecar os resultados. Amostragem Aleatóra Proporcoal Estratfcada Este processo é utlzado quado se percebe que a população pode ser dvdda em subcojutos dsttos, grupos dsttos, estratos que podem possur dferetes déas sobre o fato em aálse: população heterogêea. A partcpação de cada estrato em uma amostra será gual à sua partcpação em sua população. Exemplo 1) Em um audtóro, temos 70 homes e 30 mulheres. Os homes partcpam desta população com 70% e as mulheres com 30%. Para selecoar uma amostra aleatóra estratfcada de 10 pessoas, 70% deverão ser homes e 30% de mulheres. ( 7H e 3 M). A seleção deverá ser feta por meo de sorteo. A população fo dvdda em dos estratos: homes e mulheres. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 13

14 Amostragem Aleatóra Sstemátca A amostragem sstemátca cosste em selecoar aleatoramete um úmero cal a e depos selecoar cada tem da população detro de um certo tervalo. O processo cosste a defção de uma progressão artmétca: a, a + r, a + r, a + 3r,..., a + r. Calcula-se o tervalo de amostragem: h = N/ e faz-se r gual à parte tera de h. Exemplo ) Uma população é formada de 30 tes e desejamos formar amostras com 6 tes. O valor de h será 30/6 = 5. O valor da razão r será 5. Sortea-se um úmero etre 1 a 5. Por exemplo o úmero 4, etão a = 4. A amostra será formada pelos valores que se colocarem as posções: 4º, 9º, 14º, 19º, 4º e 9º elemeto. Se o úmero sorteado de 1 a 5 fosse o 3, etão a = 3 e a amostra sera formada pelos úmeros que estverem esta ordem: 3º, 8º, 13º 18º, 3º e 8º úmero. Exemplo 3) Uma população é formada por 400 aluos do Curso de Admstração, 300 do Curso de Cotábes, 00 do Curso de Computação e 100 do Curso de Tursmo. Retrado-se uma amostra estratfcada proporcoal de 100 aluos, teremos 40 aluos de admstração, 30 aluos de cotábes, 0 aluos de computação e 10 de tursmo. Observe que os cursos são os estratos e a proporcoaldade de cada curso defe o percetual de cada estrato que fará parte da amostra. Exemplo 4) Em feverero deste ao, levatamos as vedas dáras da Empresa Sulmas, o período de 10 de jaero a 0 de feverero, reudo 36 das útes e ses semaas, em Belo Horzote. Os valores estão explíctos em reas Pós de Egehara de Produção - Estatístca 14

15 a) Extrar uma amostra aleatóra estratfcada proporcoal com ove elemetos, sem reposção. Em prmero lugar, vamos dvdr este uverso, por exemplo, em 3 estratos e depos de detfcados os úmeros que compõem cada estrato, faremos a dvsão proporcoal em razão do tamaho da amostra. Nesta amostragem, estaremos tetado dvdr as vedas dáras em três partes ou estratos. Estrato A _ vedas dáras realzadas abaxo de 16,00 reas. Neste tervalo, vamos relacoar as vedas dáras cujos valores são de: 116, 119, 106, 118, 118, 1, 10, 1, 116, 106, 10, 1, 117, 117, 14, 14. Estrato B _ vedas dáras realzadas de 16,00 a 135,00 reas. Neste tervalo, vamos relacoar as vedas dáras cujos valores são de: 17, 18, 130, 17, 133, 133, 131, 133. Estrato C _ vedas dáras realzadas acma de 135,00 reas. Neste tervalo, vamos relacoar as vedas dáras cujos valores são de: 146, 136, 153, 143, 139, 145, 146, 141, 144, 146, 141, 141. Estes valores deverão ser eumerados, o estrato A, de 1 a 16, o estrato B, de 17 a 4 e o estrato C, de 5 a 36. Para sabermos quatos elemetos serão retrados de cada estrato, usaremos uma regra de três para a dvsão proporcoal. O tamaho da população está para o da amostra, assm como o tamaho de cada estrato está para X que será a quatdade de valores deste estrato que va compor a amostra. Extrado uma amostra com ove vedas No estrato A, temos 16 vedas e vamos selecoar quatro vedas dáras: Na = 16 x 9 / 36 = 4 vedas. No estrato B, temos 8 vedas e vamos selecoar duas vedas dáras: Nb = 8 x 9 / 36 = vedas. No estrato C, temos 1 vedas e vamos selecoar três vedas dáras: Nc = 1 x 9 /36 = 3 vedas. Para compor a amostra, selecoamos quatro vedas dáras do estrato A, duas vedas dáras do estrato B e três vedas do estrato C. Se a amostra fosse de doze vedas, deveríamos selecoar 16 x 1 / 36 = 5 vedas do estrato A; 8 x 1 / 36 = 3 vedas do estrato B e 1 x 1 / 36 = 4 vedas do estrato C. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 15

16 Exemplo 5) Realzou-se, em jaero deste ao, uma pesqusa evolvedo dversos dretores de empresa, em Belo Horzote, ecotrado-se os saláros abaxo, explíctos em ml reas. 4, 4,6 4,9 5,7 4,3 4,6 4,1 4,7 5,6 4, 4,9 4,7 3,9 4,0 3,9 5,0 4,6 4,3 4,8 4, 5,6 5,6 4,9 4,3 4,7 4,9 4,0 4,3 a) Costrur uma amostra aleatóra smples, sem reposção, com oto saláros. Em prmero lugar vamos eumerar os saláros, a ordem em que eles apresetam, e em segudo lugar vamos realzar o sorteo, sem reposção, para defr os saláros que vão compor a amostra. Um sorteo poderá ser feto com ou sem reposção. Com reposção, o saláro de uma pessoa pode etrar a amostra város vezes e sem reposção, o saláro desta pessoa pode etrar a amostra apeas uma vez. Se a amostragem for com reposção, regstram-se as repetções; se for sem reposção, abadoam-se as repetções. Após eumerar todos os saláros, vamos supor que os saláros sorteados foram: 3º, 7º, 11º, 15º, 1º, 5º, 6º e o 8º. Etão a ossa amostra será formada pelos saláros: 4,9; 4,1; 4,9; 3,9; 5,6; 4,7; 4,9; e 4,3. Observe que o saláro de 4,9 ml reas fo repetdo três vezes mas as pessoas são dsttas. Não podemos repetr a pessoa, mas os valores sm. III. APRESENTAÇÃO DE DADOS REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Dstrbução de Freqüêca Ao estudarmos grades cojutos de dados, é coveete orgaza-los e resum-los, costrudo uma Tabela de Freqüêcas. Esta relacoa categoras (ou classes) de valores, jutamete com cotages (ou freqüêcas) do úmero de valores que se equadram em cada categora. Exemplo: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 16

17 É pratcamete vável trar coclusões dretamete baseadas em um grade úmero de dados. Assm, se o úmero de dados for muto grade, dgamos superor a 5, é de toda coveêca que eles sejam orgazados e/ou codesados prevamete. O propósto desta seção é desevolver métodos para apresetar dados, de modo a facltar sua terpretação. Em uma tabela de dstrbução de freqüêca, os dados podem ser agrupados em classes. A determação do tamaho e da quatdade de classes deve observar as segutes ormas: as classes devem abrager todas as observações, o extremo superor de uma classe é o extremo feror da classe subseqüete, cada valor observado deve equadrar-se em apeas uma classe, a quatdade de classes, em geral, ão deve ser feror a 5 ou superor a 15. Uma fórmula de se determar um úmero razoável, k, de classes cosste em aplcar a fórmula de Sturges, que sugere o cálculo de k medate a expressão: k = 1 + Log = 1 + Log =1 +3,3Log Log Uma outra forma de se calcular o valor de k cosste em tomar a raz quadrada de, assm, k=. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 17

18 Após defr o úmero de classes, é ecessáro verfcar qual é o maor e o meor valor do cojuto de dados, para que possamos calcular a ampltude, que cosste a dfereça etre estes dos valores. De posse do valor k e da ampltude, remos ecotrar a ampltude de classe, que é a dvsão da ampltude pelo úmero de classes. Aterormete à apresetação de um exemplo, devemos defr algus termos: ampltude é a dfereça etre o maor e o meor valor do cojuto de dados, x é o poto médo da -ésma classe, é a méda dos potos extremos da classe, é a quatdade total de observações =, é a quatdade de observações, ou freqüêca, da -ésma classe, f é a freqüêca relatva da classe f =, N é a freqüêca acumulada até a -ésma classe e dca a quatdade de observações ferores ao lmte superor da classe N = j, j = 1 F é a freqüêca relatva acumulada até a -ésma classe e dca a quatdade de observações relatvas ferores ao lmte superor da classe F = f j= 1 Exemplo 1 (Dados cotíuos): Costrua uma tabela de dstrbução, para as segutes alturas, expressas em cetímetros, de 30 atletas do sexo masculo de uma uversdade: j º passo: colocar os dados em ordem crescete Pós de Egehara de Produção - Estatístca 18

19 º passo: calcular da ampltude (maor valor meor valor): = 3º passo: calcular do úmero de classes: k = = 30 = 5,47 5 ampltude 4º passo: calcular da ampltude de classe = = = 4,40 5 úmero de classe 5 Observação: O arredodameto o cálculo da ampltude de classe deve ser sempre para cma, para evtar que alguma observação da amostra fque fora da tabela de dstrbução. 5º passo: defr o lmte feror da prmera classe: 16 Observação: O lmte feror da prmera classe deve ser feror ao meor valor observado da amostra, e o lmte superor da últma classe deve ser superor ao maor valor observado da amostra. 6º passo: defr os tervalos (extremos) das classes: 1ª) 16 a 167; ª) 167 a 17; 3ª) 17 a 177; 4ª) 177 a 18; 5ª) 18 a 187 Observação: Os tervalos são defdos somado o lmte feror da prmera classe mas a ampltude da classe, o valor ecotrado desta soma mas a ampltude da classe,..., até completar todos os tervalos das classes. 7º passo: calcular a méda de cada classe (x ): 1ª) 164,5; ª) 169,5; 3ª) 174,5; 4ª) 179,5; 5ª) 184,5 8º passo: cotar a freqüêca de observações em cada classe ( ) e calcular a freqüêca relatva (f ) 9º passo: calcular a freqüêca acumulada (N ) e a freqüêca relatva acumulada (F ) 10º passo: apresetar a tabela de freqüêca Observação: Deve estar cotdo a apresetação da tabela: título ou referêca da tabela e a fote dos dados. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 19

20 Dstrbução de freqüêca das alturas de atletas Classe (cm) x f N F ,5 4 0,13 4 0, ,5 9 0, , ,5 8 0,7 1 0, ,5 6 0,0 7 0, ,5 3 0, ,00 Fote: Dados Hpotétcos Exemplo (dados dscretos): Costrua uma tabela de dstrbução, para as dades de estudates que cocluíram o º grau em uma escola estadual: Pode-se costrur a tabela de dstrbução de freqüêca da segute forma: Dstrbução de freqüêca da dade de coclusão º grau Classe f N F ,18 9 0, , , , , ,08 4 0, , ,90 0 0, ,90 3 0, , ,0 48 0,96 5 0, ,00 Fote: Dados Hpotétcos Ou costrur a tabela de dstrbução de freqüêca da segute forma: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 0

21 Exemplo : Dstrbução de freqüêca da dade de coclusão º grau Classe f N F ,6 31 0, , 4 0, , , , ,96 5 0, ,00 Fote: Dados Hpotétcos Pode-se verfcar que a seguda tabela de freqüêca feta para estes dados ão está represetado os dados de forma tão satsfatóra quato a prmera tabela. Este exemplo procura demostrar que deve haver um bom seso a escolha que quatas classes devem-se utlzar, pos a sua má escolha pode mplcar em grades perdas de formação, que poderam ser valosas para aalse e coclusões futuras. Exemplo 3 (Dados qualtatvos): Costrua uma tabela de dstrbução supodo que o orçameto, em mlhões de reas, de um estado teha sdo elaborado com as segutes destações de verbas: Admstração Educação Saúde Obras Públcas Seguraça 47,5 70,0 75,0 45,0 1,5 Podemos costrur a tabela de dstrbução de freqüêca da segute forma: Dstrbução de freqüêca do orçameto do estado Classe f N F Admstração 47,5 0,19 47,5 0,19 Educação 70,0 0,8 117,5 0,47 Saúde 75,0 0,30 19,5 0,77 Obras Públcas 45,0 0,18 37,5 0,95 Seguraça 1,5 0,05 50,0 1,00 Fote: Dados Hpotétcos Pós de Egehara de Produção - Estatístca 1

22 Exercíco 1: Observaram-se os 50 valores segutes de dâmetros, em cetímetros, de certa peça crcular fabrcada por uma dústra. Costrua a dstrbução de freqüêca, utlzado-se de 5 e 10 classes. 1,845 1,83 1,840 1,853 1,815 1,838 1,843 1,840 1,865 1,830 1,88 1,838 1,80 1,810 1,833 1,843 1,858 1,850 1,840 1,835 1,840 1,855 1,838 1,848 1,855 1,813 1,830 1,833 1,845 1,838 1,80 1,850 1,835 1,830 1,830 1,833 1,835 1,845 1,85 1,860 1,835 1,848 1,88 1,830 1,860 1,81 1,814 1,83 1,87 1,835 Represetação Gráfca Uma magem vale por ml palavras os objetvos dos gráfcos ão evolvem gastar o azul ou o vermelho do seu cartucho colordo, o objetvo verdadero é trasmtr formação. Assm, quato mas smples, melhor! Os gráfcos são represetações pctórcas dos dados, muto valosas a vsualzação dos resultados. Os prcpas tpos de gráfcos usados a represetação estatístca são: Hstograma e Polígoo de Frequêca Ogva Gráfco em Barras (ou em coluas) Gráfco de Potos Gráfco em Setores (pzza) Gráfco em Lha Hstograma e Polígoo de freqüêca: São utlzados para represetar a dstrbução de freqüêca. O hstograma é um cojuto de retâgulos com bases sobre um exo dvddo de acordo com os tamahos de classe, cetros os potos médos das classes e áreas proporcoas às freqüêcas. Um polígoo de freqüêca é um gráfco que se obtém udo por uma polgoal os potos correspodetes às freqüêcas das dversas classes, cetradas os respectvos potos médos. Pós de Egehara de Produção - Estatístca

23 Exemplo 1: Costrua o hstograma e o polígoo de freqüêca das freqüêcas absolutas da tabela abaxo: Alturas de Atletas Classe (cm) x f N F ,5 4 0,13 4 0, ,5 9 0, , ,5 8 0,7 1 0, ,5 6 0,0 7 0, ,5 3 0, ,00 Fote: Dados Hpotétcos Exemplo 1: Hstograma e Polígoo de Freqüêca Ogva: É o gráfco represetatvo de uma dstrbução acumulada de freqüêcas. Costa de uma polgoal ascedete. No exo horzotal colocam-se as extremdades de classe e o exo vertcal as freqüêcas acumuladas Exemplo : Costrua o gráfco ogva das freqüêcas absolutas da tabela de freqüêca do exemplo 1: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 3

24 Exemplo : Altura de Atletas Observação: O polígoo de freqüêcas utlza-se dos potos médos, e o gráfco ogva utlza-se dos potos extremos. Gráfco em Barras (em coluas): Por vezes os dados cosstem em cotages com dados dscretos, e que o úmero de valores dsttos ão é grade, costró-se uma dstrbução de freqüêca utlzado os própros valores dvduas como classes, em lugar de tervalos de classes. Gráfco também utlzado para dados categórcos. Exemplo 3: Costrua o gráfco de barras das freqüêcas absolutas da tabela abaxo: Idade de Coclusão º Grau Classe f N F ,18 9 0, , , , , ,08 4 0, , ,90 0 0, ,90 3 0, , ,0 48 0,96 5 0, ,00 Fote: Dados Hpotétcos Pós de Egehara de Produção - Estatístca 4

25 5 Idade de Coclusão º Grau Exemplo 3: Gráfco em Barras Exemplo 4: Costrua o gráfco de barras das freqüêcas relatvas da tabela abaxo: Orçameto de Estado Classe f N F Admstração 47,5 0,19 47,5 0,19 Educação 70,0 0,8 117,5 0,47 Saúde 75,0 0,30 19,5 0,77 Obras Públcas 45,0 0,18 37,5 0,95 Seguraça 1,5 0,05 50,0 1,00 Fote: Dados Hpotétcos Pós de Egehara de Produção - Estatístca 5

26 0,30 Orçameto Estadual 8% 30% Seguraça Orçameto Estadual 5% 0,5 0,0 0,15 19% 18% Obras Públcas Saúde 18% 30% 0,10 0,05 0,00 5% Educação Admstração 19% 8% Admstração Saúde Seguraça Educação Obras Públcas 0,00 0,10 0,0 0,30 Exemplo 4: Gráfco em Barras Gráfco de Potos: Quado os dados cosstem em um pequeo cojuto de úmeros, estes podem ser represetados traçado-se uma reta com uma escala que abraja todas as mesurações observadas, e grafado-se as respectvas freqüêcas como potos acma da reta. Exemplo 5: Costrua o gráfco de potos da tabela de dstrbução de freqüêca do exemplo 3: Idade de Coclusão do º Grau Pós de Egehara de Produção - Estatístca 6

27 Exemplo 5: Gráfco de Potos Gráfco em Setores: Este gráfco é costruído tomado-se um círculo (360 graus), que se dvde em setores com áreas proporcoas às freqüêcas das dversas categoras. Utlzado para represetar dados categórcos. Exemplo 6: Costrua o gráfco de setores da tabela de dstrbução de freqüêca do exemplo 4: Orçameto Estadual 18% 5% 19% 30% Admstração Saúde Seguraça 8% Educação Obras Públcas Exemplo 6: Gráfco de Setores Gráfco em Lha: É um dos mas mportates gráfcos, pos represeta observações fetas ao logo do tempo, em tervalos guas ou ão. Tas cojutos de dados costtuem as chamadas séres hstórcas, ou séres temporas. Traduzem o comportameto de um feômeo em certo tervalo de tempo. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 7

28 Exemplo 7: Costrua o gráfco de lhas da segute tabela de dstrbução: Exemplo 7: Cosumo Mesal de Luz Mês / 98 Cosumo(Kwh) Mês / 99 Cosumo(Kwh) Mês / 00 Cosumo(Kwh) Fote: Dados Hpotétcos C o s u m o M e s a l d e L u z 300 Cosumo (Kwh) M ês j f m a m j j a s o d j f m a m j j a s o d j f m Exemplo 7: Gráfco em Lhas Gráfco Ramo e Folha: Uma forma alteratva, muto smples, de fazer essa descrção é através do chamado ramo-e-folha, método crado pelo estatístco amercao Joh Tukey. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 8

29 Exemplo 8: Costrua o ramo e folha dos segutes dados: Ramo Folha Exemplo 8: Ramo e Folha Dados Dados Quattatvos Dados Quattatvos Métodos Tabulares Métodos Gráfcos Métodos Tabulares Métodos Gráfcos Pós de Egehara de Produção - Estatístca 9

30 Dstrbução Gráfco em Dstrbução Gráfcos de de Barras de Freqüêca Dspersão Freqüêca Dstrbução Gráfco em Dstrbução Hstograma de Pzza de Freqüêca Freqüêca Relatva Relatva Dstrbução Dstrbução Ogva de de Freqüêca Freqüêca Percetual Percetual Dstrbução Dstrbução Apresetação de de Freqüêca de Ramo-e- Freqüêca Cumulatva Folha Percetual Dstrbução Dagrama de de Freqüêca dspersão Relatva Cumulatva Dstrbução de Freqüêca Percetual Cumulatva Tabulação Cruzada Pós de Egehara de Produção - Estatístca 30

31 Exercícos 1.O quadro abaxo apreseta as otas dos 35 aluos de uma turma em avalação da dscpla Fudametos e Metodologa da Matemátca II, cujo valor fo 0,0 crédtos: 7,0 13,0 1,0 15,0 3,0 15,0 17,0 10,0 17,0 7,0 10,0 18,0 15,0 1,0 10,0 1,0 11,0 11,0 11,0 16,0 15,0 10,0 1,0 11,0 10,0 1,0 13,0 1,0 18,0 16,0 1,0 13,0 15,0 18,0 10,0 Com base esses dados, costrur: a) Costrur a dstrbução de freqüêcas b) Costrur o hstograma c) quatos aluos coseguram ota até 11,0 essa avalação? d) cosderado que a méda essa avalação é 1,0, qual a porcetagem de aluos que coseguu alcaçar ou superar a méda?.com o objetvo de dvulgar um de seus produtos, determada dústra etrevstou 600 pessoas para saber qual veículo de formação (joral, rádo, revsta e televsão) era mas utlzado por elas. Detre os etrevstados, 7 preferam joral, 76 rádo, 4 revsta e 10 televsão. Costrur uma tabela relacoado os quatro veículos de formação e as freqüêcas absoluta e relatva. 3.Os resultados do laçameto de um dado 50 vezes foram os segutes: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 31

32 Forme uma dstrbução de freqüêcas e costrua o hstograma: A segur, respoda as pergutas abaxo: a) qual a porcetagem de vezes em que sau um úmero meor que 4 b) qual a porcetagem de vezes em que o resultado do dado fo um úmero maor ou gual a 3? c) dque a porcetagem de vezes em que o úmero aotado fo par: 4. Um dado fo jogado 5 vezes, sedo obtdos os segutes potos: 1,5,6,5,,,,4,6,5,1,1,3,4,6,,3,3,1,6,6,5,5,4, Elabore um quadro com dstrbução de freqüêcas absolutas e relatvas. A segur, costrua o hstograma: Observado a tabela acma, respoda: a) Quatas vezes o umero fo obtdo o dado? b) Quatas vezes o úmero obtdo o dado fo meor que 5? c) Qual o ídce em % em que o úmero 6 fo obtdo o dado? d) Qual o ídce em % em que úmeros maores que 4 foram obtdos o dado? 5. Dada a dstrbução de freqüêca: x Determe: a) N: b) as freqüêcas relatvas FA O quadro mostra a dstrbução de freqüêcas dos saláros mesas (agrupados em classes) de 40 empregados de uma frma: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 3

33 Saláro (em reas) Número de empregados (f ) a) Qual a ampltude do tervalo de classe? b) costrua o hstograma: c) Quatos empregados gaham meos que R$ 1 000,00 mesas? d) Qual o ídce, em porcetagem, de empregados que gaham R$ 1 000,00 ou mas? e) Quatos empregados gaham etre R$ 800,00 (clusve) e R$ 1 00,00? f) Qual o ídce, em porcetagem, de empregados que gaham meos que R$1 000,00? 7.Fo realzada uma pesqusa com 40 pessoas que procuravam um carro popular usado para comprar, de modo a levatar o carro que pretedam comprar. A pesqusa fo ecomedada por um cetro de vedas de carro aqu de Belo Horzote, e apresetou os segutes resultados: Gol Pálo Uo Corsa Seda Ford Ka Gol Gol Uo Ford Ka Pálo Gol Uo Uo Pálo Uo Gol Pálo Uo Pálo Corsa Seda Gol Uo Gol Gol Ford Ka Pálo Uo Ford Ka Ford Ka Gol Uo Uo Pálo Gol Pálo Corsa Seda Ford Ka Uo Pálo Gol A partr desse levatameto, costrua uma tabela com freqüêca absoluta e relatva e o dagrama. Determar o carro mas procurado e também o meos procurado: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 33

34 8.Uma loja de calçados vedeu quareta pares de tês com a segute umeração: a) costrur o hstograma: IV. MEDIDAS ESTATÍSTICAS TENDÊNCIA CENTRAL Meddas de tedêca cetral (dados ão agrupados) Há dferetes maeras de defr o cetro e/ou o meo de um cojuto de dados, assm, há dferetes defções de meddas de tedêca cetral: a méda, a medaa, a moda, o poto médo e outros. Poto Médo: É o valor que está a meo camho etre o maor e o meor valor observado a amostra. Sua fórmula é apresetada a segur: maor valo r + meor valor Poto Médo = Exemplo 1: Determe o poto médo dos tempos de sobrevvêca (após a posse) dos 10 prmeros presdetes amercaos, em aos: Poto Médo = (9 + 0) / = 14,5 aos Moda: É o valor que ocorre com maor freqüêca o cojuto de dados. Esta estatístca apreseta dos problemas báscos, pode ão exstr ou exstr váras, e também ão leva em cosderação todos os dados. Exemplo : Na speção de qualdade, ates da remessa, foram examados 15 rádos, ode a quatdade de defetos por udade era de: Ecotre a moda desta amostra. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 34

35 M o = 1 defeto (4 rádos) Méda Artmétca: É o valor obtdo somado-se todos os valores do cojuto de dados e dvddo-se pelo úmero de observações da amostra. Esta medda de tedêca cetral é a mas utlzada. Suas prcpas vatages são a utlzação de todos os dados da amostra e é uma estatístca que fucoa bem em quase todos os métodos estatístcos. Apreseta uma desvatagem relevate, que é a forte fluêca de potos extremos em seu valor. É comumete represetada por x. Sua fórmula é apresetada a segur: x Méda (x) =, ode é o tamaho da amostra Exemplo 3: Determe méda artmétca dos tempos de sobrevvêca (após a posse) dos 10 prmeros presdetes amercaos, em aos: x x = = = = 19,3 aos Medaa: É o valor do meo do cojuto de dados, quado este se ecotra em ordem crescete ou decrescete. A Medaa é comumete utlzada porque se trata de uma boa escolha quado há algus valores extremos. A restrção a seu respeto é por ão levar em cosderação todos os dados. É comumete represetada por ~ x. A duas formas de ecotrar a méda quado o cojuto ordeado ter uma quatdade par de valores ou ímpar. Exemplo 4: Determe a medaa dos pagametos realzados às badas de um cocerto de rock, em reas (R$): Medaa = Ordeado os valores temos , assm a medaa deste cojuto de dados será R$ 700 Exemplo 5: Determe a medaa se o prmero valor (R$500) dos dados acma ão estvesse a amostra. Medaa= Ordeado os valores temos: , assm ( ) / = 750, assm a medaa será R$750. Pós de Egehara de Produção - Estatístca 35

36 Exercíco 1: Uma amostra de 0 operáros de uma compaha apresetou os segutes saláros recebdos durate certa semaa, em dólar (US$), e apresetados em ordem crescete: Calcular a) a méda, b) a medaa, c) a moda e o poto médo para este grupo de saláros. Observação: exste uma relação muto mportate etre a méda, a medaa e a moda:em uma dstrbução smétrca, observa-se que a Méda=medaa=Moda amostra x ~ x Mo Etretato, em uma dstrbução assmétrca postva observa-se que a Méda > Medaa > Moda, e em uma dstrbução com assmetra egatva, observa-se que a Méda < Medaa < Moda. Portato, temos: Moda Medaa Méda Méda Medaa Moda Resumdo as propredades, temos: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 36

37 Levam em Afetada Medda Defção Quão Freqüete Exstêca cota todos os pelos valores Extremos Vatages e Desvatages valores?? Usada em todo este curso; Méda x = x méda mas famlar Exste sempre Sm Sm fucoa bem com mutos métodos estatístcos. Costuma ser Medaa Valor do meo Usada comumete Exste sempre Não Não uma boa escolha se há algus valores extremos Pode ão Moda Valor mas freqüete Usada às vezes exstr; pode haver mas de uma Não Não Aproprada para dados ao ível omal moda. Poto Médo maor + meor Raramete usada Exste sempre Não Sm Muto sesível a valores extremos. Méda Aparada: É calculada da mesma forma que a méda artmétca, descosderado apeas os valores extremos. Esta medda de tedêca cetral é muto utlzada quado se têm valores outlers (dscrepates). Méda Poderada: A fórmula da méda artmétca supõe que cada observação teha a mesma mportâca, mas o caso da Méda Poderada sto ão ocorre, pos cada Pós de Egehara de Produção - Estatístca 37

38 observação é poderada de acordo com o seu grau de mportâca. A fórmula para o cálculo é: Méda Poderada = = 1 = 1 w x w, ode w é o peso da observação x. Exemplo 6: Uma determada cartera de valores a receber é composta por três atvos com seus prazos de cobraça. Calcule o prazo médo de recebmeto poderado com os respectvos valores. Atvo Prazo de Valor Cobraça (das) A 47 $600,00 B 76 $68000,00 C 91 $134000, Méda Poderada = = = das Méda Geométrca: Obtém-se esta méda calculado a raz ésma da multplcação de todos os valores do cojuto de dados. É largamete utlzada a Admstração e a Ecooma para achar taxas médas de varação, ou de crescmeto. É expressa da segute forma: Méda Geométrca = x =1, se x é um úmero, Méda Geométrca = (1 + r ) 1 =, se r é uma taxa = 1 Exemplo 7: Qual é a Méda Geométrca dos úmeros, 4, 10: 3 Méda Geométrca = x = * 4*10 = 4, 3 = 1 Pós de Egehara de Produção - Estatístca 38

39 Exemplo 8: Seja um fudo de ações com as segutes cotas ($) auas: Ao Cota ($) Taxa de Retoro (r) % % % % Sabemos que a méda artmétca do retoro é de 1,5%, calcule a Méda Geométrca: Méda Geométrca = (1 + 1,00)*(1 + 0,00)*(1 + 0,00)*(1 0,50) 1 = *0,05 1 = 1 1 = 0,00 = 0% Observação: podemos ver claramete que o valor da cota cou com 100 e termou com 100, ou seja, ão tedo ehum aumeto, logo a Méda Geométrca represeta melhor a taxa de retoro do fudo de ações que a méda artmétca. Exercícos 1. As alturas dos jogadores de um tme de basquete são 1,98 m,,0 m,,08 m, 1,9 m e 1,95 m. Qual é a méda de altura desse tme?. Um comercate mstura 4 kg de café tpo A, que custa R$ 6,00 o qulo; 10kg do café B, que custa R$ 5,60 o qulo; e 6 kg do café C, que custa R$ 5,00 o qulo. Qual o preço por qulo da mstura? 3. Em uma casa de repouso, as pessoas teradas têm as segutes dades: Pós de Egehara de Produção - Estatístca 39

40 Calcular a méda dessa dstrbução 5. Determe a méda e a moda do cojuto de dados represetado pelo quadro: x f Os dados a segur represetam as massas, em qulogramas, dos atletas de uma equpe juvel de atação: 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 4 Determe a medaa e a moda dessa dstrbução: 7. Calcule a méda e a moda do cojuto de dados represetados pelo quadro: x f Os preços, em reas, para uma amostra de aparelhos de TV 1 polegadas estão abaxo Com base os preços levatados, respoda: a) qual o preço médo dos aparelhos de TV? b) ecotre o preço medao (Medaa): Pós de Egehara de Produção - Estatístca 40

41 c) determe a moda dos preços dos aparelhos de TV: d) a produção do aparelho de TV cujo preço é R$ 40,00 é suspesa. Qual o preço medao dos aparelhos restates? 9. Com o objetvo de oretar pessoas com problemas cardovasculares, um utrcosta dvulgou tabela relacoado determados almetos com a gordura saturada: Almeto/ formação da Gordura saturada ( em gramas) quatdade Lete tegral (1 copo) 5,1 Care de porco (100 g) 3, Bfe magro ( 100 g),7 Fígado (100 g),5 Frago (100 g),0 Iogurte desatado ( 1 copo) 1,8 Ovo (1) 1,7 Lula ( 100 g) 0,4 Camarão ( 100 g) 0, Óleo de coco (colher de sopa) 0 Óleo de mlho (colher de sopa) 0 Determar para esses dados: a) a méda de gordura saturada etre os almetos lstados: b) a moda e a medaa: 10. No quadro segute estão as dades de 0 aluos que cursam o 1º ao do eso médo de uma determada escola: 15, 15, 14, 16, 16, 16, 17, 16, 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 16, 15, 14, 15 Pós de Egehara de Produção - Estatístca 41

42 Nessas codções: a) faça um quadro de dstrbução de freqüêcas absolutas: b) qual é a méda artmétca dessa turma? V. MEDIDAS ESTATÍSTICAS Meddas de Dspersão ou Varabldade Porque mutos bacos apresetavam flas separadas para os dversos guchês, e que passaram a adotar a fla úca? Qual o motvo dessa modfcação? Exemplo 1: Notas de grupos de estudates. Grupo A x = 7, 5 todos aprovados Grupo B x = 7, 5 50% de reprovados Ampltude: É a dfereça etre o maor valor e o meor valor. Esta depede apeas do meor e do maor valor, portato ão é tão boa quato outras meddas de varação que levam em cota todos os valores. Ampltude = X () X (1) Exemplo : Calcule a ampltude do tempo de espera a fla em dos bacos dsttos: Baco A (Fla úca) 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Baco B (Fla múltpla) 4, 5,4 5,8 6, 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 Ampltude A= 7,7 6,5 = 1, mutos Ampltude B= = 10,0 4, = 5,8 mutos Podemos observar que a varação o segudo baco, ode se tem fla múltpla, é bem maor. O crtéro mas utlzado para medr a dspersão dos dados é a dstâca em relação à méda. Para cada observação calcula-se x x Pós de Egehara de Produção - Estatístca 4

43 A medda total da dspersão é a soma dos desvos poderada pelo úmero de observações: ( x) x, etretato esta soma é zero. Desvo Médo: Uma estatístca que realmete meça a varação é defda pela soma dos valores absolutos, que é dada por: Desvo Médo = x x Exemplo 3: Dado o segute cojuto de tempos de reação (em segudos) de ses dvíduos a um estímulo, , calcule a méda e o desvo médo. 1 Solução: Méda ( x ) = = 3, ,5 + 3, , , , ,5 Desvo Médo= = 1 6 Varâca: Utlza-se a soma dos quadrados dos desvos em relação à méda, que deotamos por Varâca, e defmos como: s ( x x) = 1 ou s x x = 1 ou s = x ( x ) 1 ( ) x ode é o tamaho da amostra, e σ =,ode N é o tamaho da população. N x Desvo Padrão: É a raz quadrada da varâca. Defda também como a varação méda dos valores em toro da méda. A grade vatagem é que esta medda está a mesma escala das observações. É dada por ( x x) s = 1 Algumas propredades: ou s x x = 1 ou s = ( x ) 1 Pós de Egehara de Produção - Estatístca 43 x

44 1) se uma costate c é adcoada ou subtraída de todos os elemetos da amostra, o desvo padrão ão se altera; ) se uma costate c é multplcada por cada elemeto, o desvo padrão também será; 3) Se a dstrbução da varável é smétrca, pode-se mostrar que: 68% das observações estão o tervalo[ x s, x + s] 95% das observações estão o tervalo[ x s, x + s] 99% das observações estão o tervalo[ x 3 s, x + 3s]. Exemplo 4: Dado o segute cojuto de tempos de reação (em segudos) a um estímulo de ses dvíduos, , calcule a méda, a varâca e o desvo padrão. 1 x = 1 x = = 3,5 x = = 83 6 s 83 6 (3,5) = = 1,9 s = 1,9 = 1, Coefcete de Varação: Toma-se uma medda relatva da varabldade comparado o desvo padrão com a méda. Esta medda é o coefcete de varação, que é dado por: Coefcet e de Varação ( cv) = Sabemos que o desvo padrão tem a mesma udade de medda que os dados, de modo que o coefcete de varação é admesoal. Assm, esta medda tora-se de grade utldade, pos os permte comparar as varabldades de dferetes cojutos de dados. s x Exemplo 6: Cosderado as formações abaxo relacoadas a respeto de dos vestmetos em ação, calcule os coefcetes de varação e comete. Ação A x = 4,0% s = 11,0% Ação B x = 30,0% s = 15,0% Solução: Os coefcetes de varação são: 0,11 0,15 Ação A = = 0,458 = 45,8% Ação B = = 0,50 = 50,0% 0,4 0,30 Pós de Egehara de Produção - Estatístca 44

45 Coclu-se que a Ação B apreseta meor varabldade em relação à sua expectatva de retoro, portato meor rsco relatvo. Exercíco 1: Ecotre a méda, a varâca e o desvo padrão dos dados abaxo: A B C D 10,5 6,1 3,7,4 8,5 1,5 14,8 8,9 10,1 7,8 16,9 6, 8,8 1,1 13,0 4, 7,5,5 10,8 1,9 11,8 3,9 15,5 16, 6,8 1,7 1,6 3,9 1,0 4,3-1,1 10,0 11, 8,4 7,0 9,5 10, 3,9 17,5,4 Exercíco : A tabela a segur apreseta o retoro esperado e o rsco de cco possíves projetos de uma sttução que podem ser mplemetados, etretato, por questões faceras apeas dos poderão ser desevolvdos, um medatamete, e outro daqu um ao. Determe o melhor projeto o qual já será mplemetado medatamete e o segudo melhor que será mplemetado posterormete. Projetos Retoro Esperado (%) Rsco (%) A 50,0 18,0 B 30,0 1,3 C 16,0 6,4 D 35,0 15,4 E 0,0 9,6 VI. MEDIDAS ESTATÍSTICAS Pós de Egehara de Produção - Estatístca 45