Prof. Drª Marília Brasil Xavier REITORA. Profª. Drª. Maria das Graças Silva VICE-REITORA

Transcrição

1

2 Prof. Drª Maríla Brasl Xaver REITORA Profª. Drª. Mara das Graças Slva VICE-REITORA Prof. Dr. Ruy Gulherme Castro de Almeda PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO Profª. M.Sc. Mara José de Souza Cravo DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO Prof. M.Sc. Atoo Sérgo Satos Olvera CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA Prof. M. Sc. Rubes Vlhea Foseca COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA

3 Estatístca Fabríco Marts da Costa

4

5 APRESENTAÇÃO. Prezado (a) aluo (a), este lvro ddátco fo elaborado com muto cudado vsado uma apredzagem autôoma. O que é Estatístca? Qual a utldade? Essas e outras pergutas serão respoddas o decorrer do lvro. Hoje em da percebemos que a Estatístca está pratcamete ao osso redor de uma forma tão forte, por exemplo, fala-se o otcáro de televsão que houve um aumeto as estatístcas de acdetes, ou que a probabldade de rebaxameto de um clube para sére B do campeoato braslero de futebol é 70%. O ENEM (Exame acoal do eso médo) adotará este ao um ovo formato, usar-se á Estatístca mas precsamete a Teora de Resposta ao Item (TRI). Quado os meos de comucação otcam um assuto com relação à estatístca, será que você etede por completo ou fca algo sem compreesão? Por exemplo, a ota méda do Eem aumetou com relação ao ao passado. Prmero, as provas dos dos aos estão a mesma escala? Se as provas ão estão a mesma escala ão pode haver comparações! Logo, temos que fcar atetos a tudo que se fala os meos de comucação, pos, vvemos a era da globalzação e o adveto da teret. Precsamos estar ateados para ão cometer ehum tpo de erro grossero. Não é objetvo deste materal ddátco é formar profssoas que possam utlzar corretamete as téccas estatístcas em uma pesqusa mas especfcamete aálse dos dados. Sabemos que atualmete os problemas cetífcos ecesstam de város profssoas para serem resolvdos. Por exemplo, para realzar um Ceso, podemos ter a preseça de pelo meos os segutes profssoas: admstradores, estatístcos, matemátcos, socólogos, etc. Isto ocorre devdo a ossa socedade que a cada da tora-se mas complexa. E sto requer pessoas capactadas para resolver os problemas da atualdade. Logo, domar os cocetos báscos de Estatístca este mometo, lhe proporcoará o futuro uma certa vatagem em relação aos demas profssoas, pos, a Estatístca está presete em váras as áreas. Por exemplo, Áreas de Aplcação da Estatístca: Pesqusa (Artes, Arqueologa, Cêcas Agráras, Cêcas Exatas, Cêcas Socas, Lteratura, Meo Ambete, Mercado, Petróleo), Idústra e Negóco (Cotrole de Qualdade, Prevsão de Demada, Gerecameto Efcete, Mercado e Faças), Medca (Dagóstco, Progóstco, Esaos Clícos), Dreto (Evdêca estatístca, teste de DNA, vestgação crmal), Ecooma (Téccas Ecoométrcas e Séres Temporas). Estude cudadosamete este materal. Refaça os exemplos apresetados e busque apoo as dcações forecdas o tópco pesqusado. Depos de fazer sto, faça as questões propostas que estão o fal de cada udade que estão de acordo com os exemplos apresetados. Teham um bom estudo!

6

7 SUMÁRIO Udade Cohecedo a Estatístca. 9 Udade Represetação Tabular. 7 Udade 3 Meddas de Tedêca Cetral 38 Udade 4 Meddas de Dspersão. 54

8

9 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação UNIDADE CONHECENDO A ESTATÍSTICA Nesta udade, estaremos apresetado a cêca estatístca. Mostraremos sua mportâca o estudo cetfco e como ela está presete o osso cotdao. Icalmete estudaremos os segutes tes:. Itrodução. Defções.3 Cocetos atuas.4 Cocetos mportates.5 Tpos de varáves. INTRODUÇÃO Na verdade a Estatístca é uma cêca muto útl os das atuas, etretato ela precsa ser etedda de forma correta. Por exemplo, mutas pessoas acham que Estatístca composta apeas de gráfcos e tabelas, e assumem este coceto errado de forma tão cocreta que são capazes de acetar algo cotráro. Isto se dá em vrtude de város fatores, por exemplo, o modo como uma otca é dada a mída, em mutas ocasões o meo de comucação descohece a estatístca e fazem afrmações sem fudameto a respeto do assuto. Afal o que é Estatístca? A palavra Estatístca vem de Status (Estado, em Latm). Etão ela sgfca estudo do estado. 9

10 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca A palavra Estatístca vem de Status (Estado, em Latm). Etão ela sgfca estudo do estado.. DEFINIÇÕES Abaxo temos algumas defções sobre Estatístca. A Estatístca está teressada os métodos cetífcos para a coleta, orgazação, resumo, apresetação e aálse de dados, bem como a obteção de coclusões váldas e a tomada de decsões razoáves, baseadas em tas aálses. (SPIEGEL, 994, p. ). Etedemos a Estatístca como um cojuto de téccas que permte, de forma sstemátca, orgazar, descrever, aalsar e terpretar dados orudos de estudos ou expermetos, realzados em qualquer área de cohecmeto. (MAGALHÃES, 00, p.)..3 CONCEITOS ATUAIS Estatístca: é a cêca que se preocupa com coleta, aálse, terpretação e apresetação dos dados, permtdo-os a obteção de coclusões váldas a partr destes dados, bem como a tomada de decsões razoáves baseadas essas coclusões. A Estatístca se dvde ddatcamete em duas partes: Estatístca Descrtva: é aquela que se preocupa com a coleta, aálse, terpretação e apresetação dos dados estatístcos. Estatístca Idutva: também cohecda como amostral ou ferecal, é aquela que partdo de uma amostra, estabelece hpóteses sobre a população de orgem e formula prevsões fudametado-se a teora das probabldades..4 CONCEITOS IMPORTANTES População: é todo cojuto, fto ou fto, que possu ao meos uma característca em comum etre todos os seus elemetos compoetes. População Fta: é aquela população em que é possível eumerar todos os seus elemetos compoetes. Exemplos: Idade dos aluos da UEPA; as otas dos aluos da dscpla Estatístca ou o úmero de cosumdores de algum produto. População Ifta: é aquela população em que ão é possível eumerar todos os seus elemetos compoetes. Exemplo: O úmero de astros o uverso. 0

11 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Ceso: é o cojuto dos dados estatístcos dos habtates de uma cdade, estado, etc, com todas as suas característcas, um determado período de tempo. É a coleta exaustva das formações de todas as N udades da população. Amostra: é um subcojuto, uma parte selecoada da totaldade de observações abragdas pela população da qual se quer ferr alguma cosa. (parte represetatva da população) Amostragem: é o processo de coleta das formações de parte da população - - chamada amostra, medate métodos adequados de seleção destas udades. População Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Amostra Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y.5 TIPOS DE VARIÁVEIS N a Estatístca os deparamos com dversas varáves, ates de realzar algum estudo estatístco é ecessáro cohecer as varáves, pos para cada tpo de varável exste um teste estatístco especfco, por exemplo, Supoha que 50 craças foram expostas a três tpos de comercas de TV, sobre cereas para café da mahã. Após a exposção fo solctado a cada craça para dcar qual dos comercas ela gostou mas. O que se deseja saber é se a escolha do comercal está relacoada ao gêero da craça: pos se suspeta de que o gêero pode estar fluecado a escolha do comercal. Neste caso utlzaremos o teste de Idepedêca. Pos, as varáves são qualtatvas. Qualtatvas Quattatvas Nomas Ordas Dscretas Cotíuas Classfcação das varáves.5. Varáves qualtatvas Quado seus valores são expressos por atrbutos, de forma ão umérca. Ex: Estado cvl, sexo, raça, cor dos cabelos, ível de strução, classe socal

12 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca As varáves qualtatvas se dvdem em Nomal e Ordal. Varável Nomal é aquela para a qual ão exste ehuma ordeação as prováves realzações. Ex.: População: Aluos do Eso a Dstâca Varáves: Sexo, relgão, aturaldade, cor, tpagem saguíea. A varável ordal é aquela para a qual exste uma certa ordem ou herarqua os possíves resultados. Ex.: População: Fucoáros das empresas paraeses. Varáves: Classe socal, grau de strução..5. Varáves quattatvas Quado seus valores são expressos por úmeros. Ex: dade, peso, temperatura, úmero de flhos, volume, tempo, massa. As varáves quattatvas ada são classfcadas como: dscreta: quado os seus valores podem eumerados. Ex. Número de acertos a Mega Sea (0,,, 3, 4, 5 e 6 ) cotíua: quado os seus valores podem ser qualquer um um tervalo. Ex. Alturas dos jogadores de um tme de futebol (,5 m;,0 m;,79 m...).6 FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO Agora estudaremos os segutes tes:.6. Defção do problema.6. Plaejameto.6.3 Coleta de dados.6.4 Crítca dos dados.6.5 Apresetação dos dados.6.6 Aálse e terpretação dos dados.6. Defção do Problema Para chegar ao estágo de terpretação de dados, que é o objetvo fal de uma pesqusa, é precso passar por algumas etapas, deomadas fases do método estatístco. Saber exatamete o que se pretede pesqusar é o mesmo que defr corretamete o problema. Portato, a prmera fase cosste em uma defção ou formulação correta do problema a ser estudado. Por exemplo: A ota méda o ENEM dos aluos do estado do Pará é meor do que as dos aluos dos outros estados?.6. Plaejameto Nele se determa o procedmeto ecessáro para resolver o problema, como levatar formações sobre o assuto objeto do estudo.

13 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Nesta fase é mportate a escolha das pergutas, que, a medda do possível, devem ser fechadas. No caso de um expermeto, deve-se atetar para os objetvos que se pretede alcaçar. O levatameto de dados pode ser de dos tpos: Cestáro (quado evolve toda a população) Por amostragem (quado é utlzada uma fração da população) Outros elemetos do plaejameto de uma pesqusa são: croograma das atvdades, custos evolvdos, exame das formações dspoíves, deleameto da amostra, etc Coleta de dados. É o regstro sstemátco de dados, com um objetvo determado. Dados prmáros: Quado são publcados pela própra pessoa ou orgazação que os haja recolhdo. Dados secudáros: Quado são publcados por outra orgazação. Ex: quado determado joral publca estatístcas referetes ao ceso demográfco extraídas do IBGE. É mas seguro trabalhar com fotes prmáras. O uso da fote secudára traz o grade rsco de erros de trascrção. Cosste a busca ou complação dos dados. Quato ao tempo, ela pode ser classfcada em: a) Cotíua: quado realzada permaetemete. Ex.: flação, regstros de ascmetos e óbtos. b) Peródca: quado é feta em tervalos de tempo. Ex.: Iflação mesal, ceso. c) Ocasoal: quado efetuada sem época preestabelecda. Ex.: pesqusa de mercado, pesqusa eletoral..6.4 Crítca dos dados Objetva a elmação de erros capazes de provocar futuros egaos. Faz-se uma revsão crítca dos dados, suprmdo os valores estrahos ao levatameto..6.5 Apresetação dos dados A orgazação dos dados deoma-se Sére Estatístca. Sua apresetação pode ocorrer por meo de tabelas ou gráfcos..6.6 Aálse e terpretação dos dados Esta fase cosste em trar coclusões que auxlem o pesqusador a resolver seu problema, descrevedo o feômeo através do cálculo de meddas estatístcas, especalmete as de posção e as de dspersão. O objetvo últmo da estatístca é trar coclusões sobre o todo (população) a partr de formações forecdas por parte represetatva do todo (amostra). Assm, realzadas as fases aterores, fazemos uma aálse dos resultados obtdos através dos métodos da estatístca dutva ou ferecal, que tem por base a dução ou a ferêca, e tramos desses resultados coclusões e prevsões. O segute esquema pretede resumr as dferetes etapas que ormalmete são segudas um procedmeto estatístco: 3

14 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca ALGUNS EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DA ESTATÍSTICA População Amostra Característcas populacoas Estatístca Idutva Estudo da amostra: - tabelas - gráfcos - meddas - Estatístca Descrtva Característcas amostras Teora da resposta ao tem Uma Uversdade pretede estudar a profcêca dos estudates submetdos ao processo seletvo e os parâmetros dos tes (questões) da prova. População cojuto de todos os estudates submetdos ao exame. Amostra cojuto de algus estudates submetdos ao exame, que foram selecoados. Problema estudar a profcêca dos estudates e os parâmetros dos tes (questões) pelo método da Máxma verossmlhaça margal. Medca Pretede-se estudar o efeto de um ovo medcameto para curar determada doeça. É selecoado um grupo de 0 doetes, admstrado-se o medcameto a 0 desses doetes escolhdos ao acaso, e o medcameto habtual aos restates. População cojuto de todos os doetes com a doeça especfca. Amostra cojuto dos 0 doetes selecoados. Problema pretede-se, a partr dos resultados obtdos, realzar um teste de hpóteses para tomar uma decsão sobre qual dos medcametos é melhor. Cotrole de qualdade O admstrador de uma fábrca de parafusos pretede assegurar-se de que a percetagem de peças defetuosas, ão excede um determado valor, a partr do qual determada ecomeda podera ser rejetada. População cojuto de todos os parafusos fabrcados pela fábrca. Amostra cojuto de algus parafusos, escolhdos ao acaso, de etre o lote de produzdos. Problema A partr da percetagem de parafusos defetuosos presetes a amostra, estmar a percetagem de defetuosos em toda a produção. 4

15 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Pedagoga Um cojuto de pedagogos desevolveu uma técca ova para a apredzagem da letura a escola prmára, a qual, segudo dzem dmuem o tempo de apredzagem relatvamete ao método habtual. População cojuto dos aluos que etram para a escola prmára sem saber ler. Amostra cojuto de aluos de algumas escolas, selecoadas para o estudo. Os aluos foram separados em dos grupos para se aplcarem as duas téccas em cofroto. Problema a partr dos tempos de apredzagem obtdos verfcar se exste evdêca sgfcatva para afrmar que os tempos com a ova técca são meores. ATIVIDADES ) Classfque as varáves abaxo em quattatvas ou qualtatvas: a) Número de lvros em uma estate de bbloteca. b) Freqüêca cardíaca. c) Dâmetro de artéra. d) Raça e) QI (Quocete de telgêca). f) Dâmetro de esferas. g) Número de casas de uma cdade sem rede de esgoto. h) Classfcação de um pacete quato ao estago de uma determada doeça. ) Nota em uma prova de Estatístca j) Classfcação em um cocurso ) Classfquem em varáves qualtatvas ou quattatvas, as varáves que estão o texto abaxo. O Grupo de Estudos em Pesqusas Estatístcas e Computacoas (GEPEC) e o Laboratóro de Sstemas de Iformação e Georeferecameto (LASIG), ambos da UFPA, realzaram mas uma pesqusa amostral durate a VII Parada do Orgulho GLBT, que acoteceu o da 4 deste mês, em Belém. A catva do GEPEC e do LASIG de estudarem o uverso dos gays, lésbcas, bssexuas e trasgêeros começou a Parada do Orgulho GLBT de 007, dado cotudade este ao. Os etrevstados foram abordados em dferetes potos do eveto e respoderam a questões pessoas como dade, reda famlar, raça, grau de escolardade. Quado o assuto fo saúde, por exemplo, os etrevstados dsseram se usam ou ão camsha. Abordado assutos socas, os pesqusadores pergutaram sobre adoção de craça, partcpação em movmetos socas e cohecmetos de projetos de les que beefcem a classe GLBT. Somada a esses assutos, a questão da volêca sofrda por eles também fo abordada. Para a coordeadora da pesqusa, a professora Sílva Almeda, os prcpas resultados da avalação deste ao, a serem observados, referem-se ao fato de 48,78% dos GLBT s declararem que já sofreram algum tpo de homofoba. Quato ao tpo de homofoba, pode-se destacar que 75% dos partcpates declararam que sofreram dscrmação. Quato ao tpo de dscrmação sofrda, destaca-se que 30,3% dos GLBT s declararam terem recebdo tratameto dferecado; 5

16 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 8,8% foram excluídos ou margalzados em ambete famlar, todos por cota de sua oretação sexual. A mportâca geral deste trabalho cosste em cotrbur para futuras polítcas socas e de saúde públca, o que se refere aos homossexuas. Além de cotrbur para o combate das dscrmações e das volêcas sofrdas pela classe GLBT, ressaltou Sílva Almeda, avalado também os beefícos deste trabalho para a comudade acadêmca. Além da formação de baco de dados para futuras publcações cetífcas, tato a área de estatístca quato as outras áreas, como, por exemplo, Cêcas Socas, Polítca, etre outras, falzou. (Texto: Dadara Almeda - Assessora de Comucação UFPA.Foto: Dvulgação Google) 3) Classfque cada uma das varáves abaxo em qualtatva (omal / ordal) ou quattatva (dscreta / cotíua): a) Turma a que o aluo fo alocado (A ou B); b) Iteção de voto para presdete (possíves respostas são os omes dos caddatos, além de ão se). c) Perda de peso de maratostas a Corrda de São Slvestre, em qulos. d) Tolerâca ao cgarro (dferete, comoda pouco, comoda muto) e) Grau de satsfação da população braslera com relação ao trabalho de seu presdete (valores de 0 a 5, com 0 dcado totalmete satsfeto e 5 totalmete satsfeto). f) Tolerâca ao cgarro (dferete, comoda pouco, comoda muto). g) Itesdade da perda de peso de maratostas a Corrda de São Slvestre (leve, moderada, forte). h) Ocorrêca de hpertesão pré-atal em grávdas com mas de 35 aos (sm ou ão são possíves respostas para esta varável). 4) Qual a prcpal etapa da fase do método estatístco? 5) Elabore uma stuação pratca e aplque as fases do método estatístco. 6) Cte uma stuação do seu da a da, em que se observa o uso da estatístca. PESQUISANDO Apreda mas sobre a hstóra da estatístca e os cocetos estudados, acessado os segutes stes:

17 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação UNIDADE REPRESENTAÇÃO TABULAR Nesta udade, trataremos da questão das tabelas e gráfcos estatístcos. Também observaremos as séres estatístcas que são de fudametal mportâca o estudo descrtvo. Pos, em todo estudo estatístco os dados observados ecesstam serem orgazados para que se faça a aálse dos mesmos. Estudaremos esta udade os segutes tes: Tabelas estatístcas. Tabela. Séres estatístcas.3 Represetação gráfca.4 Tpos de gráfcos.5 Dstrbução de freqüêcas TABELAS ESTATÍSTICAS A apresetação tabular é uma apresetação umérca dos dados. Cosste em dspor os dados em lhas e coluas dstrbuídos de modo ordeado, segudo algumas regras prátcas adotadas pelos dversos sstemas estatístcos. As regras que prevalecem o Brasl foram fxadas pelo Coselho Nacoal de Estatístca.. Tabela: é um quadro que resume um cojuto de observações. As tabelas têm a vatagem de cosegur expor, stetcamete em um só local, os resultados sobre determado assuto, de modo a se obter uma vsão global mas rápda daqulo que se pretede aalsar. Uma tabela compõe-se de: título, cabeçalho, corpo, rodapé e coluas (dcadoras e umércas). 7

18 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Corpo da Tabela Título: O que? (fato) Ode?(lugar) Quado? (tempo) cabeçalho colua Colua O cruzameto de lha com a colua dcadora Numérca chama-se casa ou célula. Rodapé: fote, otas, observações. Obs: ) Recomeda-se ão delmtar (fechar) por traços vertcas, os extremos da tabela, à dreta e à esquerda; ) Usa-se um traço horzotal ( - ) quado o dado for ulo, exst o feômeo; 3) Usa-se (...) quado ão se dspuser dos dados, embora ele possa ser quatfcado; 4) Usa-se zero (0) quado o valor é muto pequeo para ser expresso pela udade utlzada. 5) Usa-se uma terrogação (?) quado o valor é duvdoso.. - SÉRIES ESTATÍSTICAS É um cojuto de dados estatístcos referecados aos segutes fatores: tempo, local e feômeo... Sére Temporal ou Croológca: Nesta sére o elemeto de varação é o tempo (da, mês, ao, etc) Cabeçalho Colua dcadora Produção de café o Brasl em Aos Produção (.000 t) Título Colua umérca Corpo Fote: IBGE Rodapé.. Sére Geográfca: O elemeto de varação é o lugar (mucípo, barro, escola, etc...) 8

19 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Rebahos brasleros Espéce Quatdade (.000 cabeças) Bovos Ovos Capros.59 Suíos Fote: IBGE..3 Sére Especfcatva O elemeto de varação é a espéce (materal escolar, produto de uma fabrca, remédos, etc.) Produção de veículos de Autopropulsão Brasl -993 Tpos Quatdade Automóves Comercas Leves Comercas Pesados Fote: ANFAVEA..4 Sére Msta: É a jução de duas ou mas séres smples (geográfca, especfcatva ou temporal). Nº de Casos de Malára por Mucípo o período de 993 a 996 Mucípo Aos Abaetetuba Aadeua Barcarea Belém Fote: Pesqusa de Campo do Curso de Farmáca-UFPA, feverero de REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Em relação a uma tabela estatístca um gráfco estatístco possblta uma mpressão vsual mas rápda da dstrbução dos valores em estudo. Isto ão sgfca que a represetação tabular seja de pouca, mas a represetação gráfca vem para complemetá-la. Os gráfcos estatístcos propcam uma déa cal mas satsfatóra da cocetração e dspersão dos valores, uma vez que através deles os dados estatístcos se apresetam em termos de gradezas vsualmete terpretáves. 9

20 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca O que é um gráfco estatístco? É uma forma de apresetação dos dados estatístcos, cujo objetvo é o de produzr, o vestgador ou o públco em geral, uma mpressão mas rápda e vva do feômeo em estudo, já que os gráfcos falam mas rápdo à compreesão que as séres..3. Requstos fudametas de uma represetação gráfca: a) Smplcdade: Deve possbltar a aálse rápda do feômeo em estudo. Deve coter apeas o essecal. b) clareza: Deve possbltar uma correta terpretação dos valores represetatvos do feômeo em estudo. c) Veracdade: Deve expressar a verdade sobre o feômeo em estudo..4 TIPOS DE GRÁFICOS. a) Dagramas: São gráfcos geométrcos de o máxmo duas dmesões. Para sua costrução usa-se o sstema cartesao. b) Cartogramas: É a represetação sobre uma carta geográfca, sedo muto usado a Geografa, Hstóra e Demografa. c) Pctogramas: A represetação gráfca costa de fguras represetatvas do feômeo. Desperta logo a ateção do públco..4. Gráfco em lha ou em curva: Este tpo de gráfco utlza a lha polgoal para represetar a sére estatístca. Costtu uma aplcação do processo de represetação das fuções um sstema de coordeadas cartesaas. Neste sstema faz-se uso de duas retas perpedculares; as retas são os exos coordeados e o poto de tersecção, a orgem. O exo horzotal é deomado exo das abscssas (ou exo dos x) e o vertcal, exo das ordeadas (ou exo dos y). Cosdere a sére abaxo: Produção de café o Brasl em Aos Produção (.000 t) Fote: IBGE 0

21 Produção Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Toma-se a colua dos ANOS como abscssas e a colua de PRODUÇÃO como ordeadas. Desta forma, um ao dado (x) e a respectva quatdade da produção (y) formam um par ordeado (x,y), que pode ser represetado um sstema cartesao. Determados, grafcamete, todos os potos da sére, usado as coordeadas, lga-se todos estes potos, dos a dos, por segmetos de reta, que rão dar uma polgoal, que é o gráfco em lha ou em curva correspodete ao gráfco abaxo. Produção de café o Brasl, Aos.4. Gráfco em colua ou em barras: É a represetação de uma sére por meo de retâgulos, dspostos vertcalmete (em coluas) ou horzotalmete (em barras). Quado em coluas, os retâgulos têm a mesma base e as alturas são proporcoas aos respectvos dados. E Quado em barras, os retâgulos têm a mesma altura e os comprmetos são proporcoas aos respectvos dados. Dada a sére abaxo. Aos Vedas Fote: Departameto de marketg da Compaha X

22 Vedas Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Abaxo temos a represetação gráfca da sére acma. Vedas de seguros da Compaha X, , Brasl Aos NOTAS: Sempre que os dzeres a serem scrtos forem extesos, deve-se dar preferêca ao gráfco em barra (séres geográfcas e específcas). Se ada assm preferr o gráfco em colua, os dzeres deverão ser dspostos de baxo para cma, uca ao cotráro. A ordem a ser observada é a croológca, se a sére for hstórca, e a decrescete, se for geográfca ou categórca. À dstâca etre as coluas (ou barras), por questões estétcas, ão deverá ser meor que a metade em maor que os dos terços da largura (ou da altura) dos retâgulos..4.3 Gráfco em colua ou em barras múltplas: Este tpo de gráfco é geralmete empregado quado deseja-se represetar, smultaeamete, dos ou mas feômeos estudados com o propósto de comparação. Etrada de mgrates em três Estados do Brasl Número de mgrates Aos Total Estados Amapá São Paulo Paraá Fote: Fctíca

23 N de mgrates Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Abaxo temos a represetação gráfca da sére acma Amapá São Paulo Paraá Aos.4.4 Gráfco em setores: Este gráfco é costruído com base em um círculo, e é empregado sempre que deseja-se ressaltar a partcpação do dado o total. O total é represetado pelo círculo, que fca dvddo em tatos setores quatas são as partes. Os setores são tas que suas áreas são respectvamete proporcoas aos dados da sére. Obtém-se cada setor por meo de uma regra de três smples e dreta, lembrado que o total da sére correspode a 360º. Vacas Quatdade BCG 3000 Sab 5000 Tríplce 500 Sarampo 600 Hepatte 400 Total 0500 Fote: Sespa-PA Temos: º 3000 X X = 0,86 X = 03º X = 7,43 X = 7º; X 3 =5,43 X 3 = 5º; X 4 =0,57 X 4 = 0º; X 5 = 3,7 X 5 = 4º Com esses dados (valores em graus), marca-se um círculo de rao arbtráro, com um trasferdor, os arcos correspodetes, obtedo o gráfco: 3

24 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca NOTAS: O gráfco em setores só deve ser empregado quado há, o máxmo, sete dados. Se a sére já apreseta os dados percetuas, obtêm-se os respectvos valores em graus multplcado o valor percetual por 3, Cartograma: É a represetação sobre uma carta geográfca. Este gráfco é empregado com o objetvo de represetar dados estatístcos dretamete relacoados com áreas geográfcas ou polítcas. Pode-se usar para: Represetar dados absolutos (população): Usa-se potos, em úmero proporcoal aos dados (Fgura a). Represetar dados relatvos (desdade): Usa-se hachuras ou cores (Fgura b). 4

25 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação População projeta da Regão Sul do Brasl ESTADOS POPULAÇÃO (hab.) ÁREA (KM ) DENSIDADE Paraá ,4 Sata Catara ,0 Ro Grade do Sul ,8 Fote: IBGE. Obtém-se os segutes cartogramas: POPULAÇÃO PROJETADA DA REGIÃO SUL BRASIL 994 DENSIDADE POPULACIONAL PROJETADA DA REGIÃO SUL DO BRASIL habtates Fgura a Meos de 44,0 hab/km Meos de 5,0 hab/km Meos de 34,0 hab/km Fgura b NOTAS: Quado os úmeros absolutos a serem represetados forem muto grades, o lugar de potos pode-se empregar hachuras..4.6 Pctograma: Costtu um dos processos gráfcos que melhor fala ao públco, pela sua forma ao mesmo tempo atraete e sugestva. A represetação gráfca costa de fguras que lembrem o fato cosderado. População Matrculada Eso Fudametal Estado do Marahão 995/998 Aos Aluos 5

26 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Total 46 Fote: IBGE Obtém-se a segute represetação pctórca: POPULAÇÃO MATRICULADA ENSINO FUNDAMENTAL ESTADO DO MARANHÃO 995/ Cada símbolo represeta aluos.5 DISTRIBUIÇÕES DE FREQÜÊNCIA Na estatístca trabalha-se, habtualmete, com grade úmero de formações, resultados de medções realzadas. Que podem ser dados dscretos (o valor tero que ão pode ser partdo) ou cotíuo (em tervalos). Assm, é quase mpossível examá-los, mesmo que arrolados em ordem crescete ou decrescete (Rol). Daí, a ecessdade de orgazá-los em tabelas de dstrbuções de freqüêca. 6

27 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação.5. Tpos de dstrbução de freqüêca a) Sem Classe: Notas Escola Jardm Ecatado /97 Notas(X) N aluos(f) Total 0 b) Com Classe: Idade de 40 aluos Escola Atlas/98 Classe Freqüêca (f) 5 І І І 6 І І І І l 9 3 Fote: IBGE Total 40 Observa-se que a prmera tabela é composta de duas coluas ode a prmera colua ecotram-se os valores obtdos da varável em estudo (otas dos aluos), apresetados de forma ordeada, cada ota correspodedo a uma classe; a seguda colua ecotram-se os úmeros de aluos que obtveram as respectvas otas (freqüêcas f). O úmero total de aluos é a soma dos aluos em cada ota = 0. A prmera tabela de dados a forma acma é chamada Dstrbução de Freqüêcas Sem Classe ou Por Potos. Quado o cojuto de dados possu mutas observações dferetes ou quado a varável em estudo é cotua, é coveete costrur uma dstrbução de freqüêca em tervalos de classe (por tervalo). Para tato algus passos devem ser segudos:.5. Dstrbução de freqüêca por tervalos CONCEITO: é uma sére estatístca a qual a varável observada está dvdda em subtervalos do tervalo total observado e o tempo, a espéce e a regão permaecem fxas. I ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS a) Coveções Itervalo fechado à esquerda e aberto à dreta: apeas o lmte feror pertece ao tervalo; Itervalo aberto à esquerda e fechado à dreta: apeas o lmte superor pertece ao tervalo; 7

28 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca ---- Itervalo fechado de ambos os lados: os dos lmtes pertecem ao tervalo; Itervalo aberto em ambos os lados: os dos lmtes ão pertecem ao tervalo. Observação: Um símbolo como é chamado tervalo de classe. O tervalo de classe apreseta dos lmtes: um feror e outro superor. Para esse tervalo o lmte feror é 5 e o lmte superor é 0. a) Lmte feror da dstrbução de freqüêca (LI): é o valor a partr do qual são cotadas as observações a dstrbução de freqüêcas. b) Lmte superor da dstrbução de freqüêca (LS): é o valor até o qual são cotadas as observações a dstrbução de freqüêcas. c) d) Ampltude total da dstrbução de freqüêca (AT): é a dfereça exstete etre o maor e o meor valor observado da dstrbução de freqüêca. AT LS LI d) Classes de uma dstrbução de freqüêca: são os subtervalos os quas são cotadas as observações da varável. Observação: o úmero de classes (K) é calculado a partr de uma das expressões mostradas a abaxo. K = + 3,3 log. N fórmula de STURGES. Método Prátco: se < 5 utlze k = 5 se 5 utlze k. Observação: exstem maeras de calcularmos o úmero de classes. Depede da sesbldade do pesqusador. e) Lmte Iferor de Classe (l): é o valor a partr do qual são cotadas as observações detro da classe. f) Lmte Superor de Classe (ls): é o valor até o qual são cotadas as observações detro da classe. g) Ampltude de Classe (at): é a dfereça etre o maor e o meor valor observado detro da classe. 8

29 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Observação: A ampltude de classe é obtda através da segute equação: at ls l. h) Freqüêca Smples ou Freqüêca Absoluta da Classe (f): é o úmero de observações cotadas detro da classe. ) Freqüêca Absoluta acumulada de Classe (F): é a acumulação sucessva, a partr da prmera classe até uma classe qualquer, das freqüêcas smples ou absoluta das classes. j) Freqüêca Relatva de Classe (fr): é a relação exstete etre a freqüêca absoluta ou smples de classe e o úmero de observações da varável. Observação: Obtém-se a freqüêca relatva de cada classe a partr da segute equação: fr f f. k) Freqüêca Relatva Acumulada (Fr): é a acumulação sucessva, a partr da prmera classe até uma classe qualquer das freqüêcas relatvas das classes. l) Poto Médo de Classe (x): é a méda artmétca calculada etre o lmte feror e o superor da classe. Observação: Obtém-se o poto médo de cada classe a partr da segute ls l equação: x. m) Itervalo de Classe ou Ampltude do tervalo de Classe (h): é o comprmeto da classe. Observações: Obtém-se o tervalo de cada classe a partr da segute equação: h AT. K Covém arredodar o úmero correspodete à ampltude do tervalo de classe para facltar os cálculos. As séres de dados grupados (dstrbução de freqüêcas por tervalos e por potos) são também chamadas de séres de magtude de varável. 9

30 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca II CONSTRUÇÃO DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS Como costrur uma dstrbução de freqüêcas? º Passo: Colocar os dados em forma de Rol. Isto é, orgazá-los de forma crescete ou decrescete. Aqu se recomeda colocá-los em ordem crescete; º Passo: Idetfcar o valor máxmo e o valor mímo do cojuto de dados e ecotrar a Ampltude Total (AT). Defmos por Ampltude Total (At) a dfereça etre o maor e o meor valor do cojuto de dados: AT Valor Máxmo Valor Mímo LS LI 3º Passo: Determar o Número de Classes (K) que rão formar uma dstrbução de freqüêcas. Embora ão exsta uma formula precsa para esse úmero K, pode-se oretar a segute prátca: K = aproxmadamete. 4º Passo: Calcular o comprmeto ou a ampltude que deve ter o Itervalo de Classe (h), que é obtdo dvddo-se a ampltude total pelo úmero de classe, ou seja: AT h K Exemplo: Precsamos orgazar as otas da prmera avalação da dscpla estatístca dos 5 aluos matrculados regularmete. As otas são dadas abaxo: 0-0-9, ,5-8,5-7,5-4, (dados brutos) º Passo: Orgazar em Rol , ,5-7-7, ,5-9-9, º Passo: Obter a Ampltude Total. AT º Passo: Calcular o úmero de classes (K). K = 5 5 4º Passo: obter Itervalo de Classe (h) e escrever os tervalos da tabela. Acompahe todos os passos! 0 h (Itervalo de classe) 5 30

31 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Acompahe todos os passos! )Comece pela a classe, e escreva o meor valor observado. ) Agora some o meor valor com o h=, assm ecotramos o lmte superor da classe. [0+=]. 3) A partr da a classe usa-se a regra, o lmte superor da classe ateror será o lmte feror da classe subseqüete, e o lmte superor é o resultado da soma do lmte feror com o h (tervalo de classe). Notas Freqüêca Total 5 4) Agora temos que cotar os elemetos que pertecem a cada tervalo. Por exemplo, a a classe temos: 0 --, que sgfca, tervalo fechado à esquerda e aberto à dreta. Os valores deste tervalo se aproxmam de, sto é, ão pertecem ao tervalo. 5) Os elemetos: 0-0--, pertecem a a classe, etão colocamos o valor 4 a a colua(freqüêca), pos, temos quatro elemetos que pertecem ao tervalo. Já os elemetos: -3, pertecem a a classe, etão a a colua(freqüêca) colocamos o valor. Assm é feto para as demas classes, observa-ase o Rol III REPRESENTAÇÂO GRÀFICA DA DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS a) Hstograma: é a represetação gráfca de uma dstrbução de freqüêca, através de retâgulos justapostos ode a base é colocada o exo das abscssas correspode ao tervalo das classes, e a altura é dada pela freqüêca absoluta (ou relatva) das classes. 3

32 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Pressão arteral, em mlímetros de mercúro, de 50 cães aestesados 33% 6% 8% 4% % 8% 6% % 80 a a a 09 0 a 9 0 a 9 30 a a a 59 Pressão saguíea b) Polígoo de Freqüêca: é outro tpo de apresetação bastate comum para dados quattatvos, ou seja, é um sumáro gráfco que pode ser preparado para dados que teham sdo sumaramete stetzados uma dstrbução de freqüêca. Utlzado-se os potos médos de cada classe para a costrução do mesmo, ou seja, é um gráfco em lhas, sedo que as freqüêcas são marcadas o exo vertcal e o exo horzotal são colocados os potos médos dos tervalos de cada classe. Utlzado o exemplo da tabela abaxo obtemos os segutes gráfcos Polígoo de freqüêcas da potuação de 60 aluos da escola Aberlado Codurú em 999 Agora mostraremos a aplcação da freqüêca acumulada a dstrbução de freqüêcas, que será muto útl a obteção da medaa e das meddas separatrzes, que serão estudadas a próxma udade: 3

33 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação...CLASSE.....f......Fac Total 40 Ode, f - freqüêca smples Fac- freqüêca acumulada Icalmete repete-se a f da a classe Soma-se a f desta classe com a acumulada ateror: 9+4=3 O mesmo procedmeto é feto para as demas classes; Agora estudaremos um tem muto smples que faz a dfereça quado o osso objetvo é calcular a méda artmétca em dstrbuções de freqüêcas, estamos falado do poto médo, x, que é a méda artmétca calculada etre o lmte feror e o superor da classe....classe.....f......x Total 40 x x x x x x Agora osso foco será a costrução da freqüêca relatva que é um tópco bastate teressate. A obteção da freqüêca relatva é a segute: dvde-se o valor de pela freqüêca total, como podemos observar abaxo. 33

34 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca...CLASSE.....f......fr... fr , , , ,75 fr fr , 5 0, , , ,075 fr fr , 00 0,5 Total 40,000 fr ,075 Obs: Se o teresse for apreseta a freqüêca relatva em termos percetuas, basta multplcar cada freqüêca relatva por 00. ATIVIDADES ) Cre uma sére estatístca. ) Pesquse em lvros ou a teret uma sére estatístca. 3) Quas que elemetos que compõe uma tabela estatístca? 4) Qual a sére estatístca que é a jução de outras duas? 5) Uma tabela estatístca pode ser fechada, ou seja, ser delmtada os extremos? Justfque. 6) Quas as pergutas que uma tabela estatístca precsa respoder? 7) Qual a vatagem de um gráfco estatístco com relação a uma sére estatístca? 8) Quas os requstos fudametas de uma represetação gráfca? 9) Quas os tpos de gráfcos? 0) Faça uma represetação gráfca da sére que você crou a questão. 34

35 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação ) Fazer uma tabela estatístca para represetar o movmeto relgoso de certo mucípo o período , que apresetou os segutes dados: em 975, houve habtates batzados, casametos e extremas-uções. Em 976, houve batzados; os casametos foram em úmero de 7.03 e as extremas-uções Em 977, realzou-se um total de 7.3 batzados; as extremas-uções foram 6.07 e os casametos Classfque esta sére estatístca e faça sua represetação gráfca. ) Quas os tpos de dstrbução de freqüêcas? 3) Quas os passos para a costrução de uma Tabela de freqüêcas? 4) O que é o rol? Para que serve? 5) Em certo da fo realzado um levatameto a respeto das dades dos aluos de um curso oturo, obtedo-se a tabela abaxo: Idades (aos) Nº de Aluos Cosderado esta turma como uma população, determe: a) A freqüêca acumulada. b) Os potos médos. c) A freqüêca relatva d) A percetagem de aluos com meos de 4 aos. 6) Costrua um dagrama de setores, percetual, correspodete aos empregados da Marts Ltda que possu a segute dstrbução por área de trabalho: Dretora (3 pessoas), Assessora (6 pessoas), Trasporte (8 pessoas), Admstração (5 pessoas), Área técca (5 pessoas) e Área operacoal (33 pessoas). 7) Completar os dados que faltam: Valores f Fac fr ,08 0,6 0,4 0,4 35

36 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 8) (AFRF-00) Em um esao para o estudo da dstrbução de um atrbuto facero (X) foram examados 00 tes de atureza cotábl do balaço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêcas abaxo. A colua Classes represeta tervalos de valores de X em reas e a colua P represeta a freqüêca relatva acumulada. Não exstem observações cocdetes com os extremos das classes. Classes Porcetagem Acumulada Qual a estmatva da freqüêca relatva de observações de X meores ou guas a 45? 9) Faça uma represetação gráfca da sére dada abaxo: Vedas de Seguros da compaha Vera Cruz Brasl Ao Vedas Fote: Departameto de marketg da Compaha 0) Qual a dfereça etre o gráfco de barras e o Hstograma? ) Qual a dfereça etre o gráfco de lhas e o polígoo de freqüêcas? ) Classfque a sére dada abaxo. Duração méda de estudos Superores a Europa em 998. Países N o de aos Itála 7,5 Alemaha 6,5 Fraça 5,5 Holada 4,0 Fote: Revsta Veja 3) Para os dados abaxo costrua duas dstrbuções de freqüêcas: uma com classe e a outra sem classe: 45, 4, 4, 4, 4 43, 44, 4, 50, 46, 50, 46, 60, 54, 5, 58, 57, 58, 60, 5 36

37 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação 4) Cre uma sére de dados e faça a duas dstrbuções de freqüêcas: uma adotado a fórmula de Sturges e a outra ão. Compare as dfereças. 5) O úmero de gols marcados o últmo campeoato da Federação Paulsta de Futebol pelos 0 clubes partcpates os seus 38 jogos é uma varável com os segutes valores: Clubes Gols a) Classfque a varável em estudo. Costrua uma dstrbução (tabela) de freqüêca para essa varável agrupado as observações em tervalos de comprmeto 0 a partr de 0. b) Obteha o hstograma correspodete. c) Que porcetagem dos clubes marcou mas de 38 gols? 6) O posto de saúde de certo barro matém um arquvo com o úmero de craças as famílas que utlzam o posto. Os dados são os segutes: 3, 4, 3, 4,, 5, 6, 3, 4, 5, 3, 4, 3, 3, 4, 3, 5, 5, 5, 5, 6,, 0,,,, 3,, 5 e. a) Orgaze uma tabela de freqüêca; b) Costrua um hstograma. 7) Uma dústra de latcíos está plaejameto redrecoar seus produtos. Para tato, decdu vestgar a quatdade de lete (em ltros) cosumda daramete por dferetes famílas. Os dados (ordeados) estão a segur:,,,,,,,,,,,,,, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4,4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7, 8 e 5. a) Obteha a dstrbução de freqüêcas b) Obteha a freqüêca relatva percetual. PESQUISANDO Para saber mas sobre a udade que acabamos de estudar sugro que pesquse: - Acesse o ste:

38 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca - Os segutes lvros: BUSSAB, W. O., MORETTIN, P.A, Estatístca Básca 5ª ed. São Paulo: SARAIVA, 00. VIEIRA, Soa. Prcípos de Estatístca. ª rempr. da ª ed. São Paulo: Edtora Poera Thomso Learg, 003. UNIDADE 3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Nesta udade, coheceremos as prcpas meddas de posção. Será osso foco a obteção dessas meddas através das dstrbuções de freqüêcas que foram estudadas a udade ateror. Também abordaremos as meddas separatrzes que são meddas que ocupam determados lugares a dstrbução de freqüêcas. Agora estudaremos os segutes tes abaxo: 3 Itrodução 3. Coceto 3. Méda artmétca Smples 3.3 Méda artmétca Smples 3.4 Méda geométrca 3.5 Méda harmôca 3.6 Medaa 3.7 Moda 3.8 Meddas separatrzes 3 INTRODUÇÃO: A Estatístca também é chamada de a cêca das médas, portato vamos estudar esta udade as meddas de posção que são bastate utlzadas a prátca. Tora-se ecessáro, após a tabulação dos resultados e da represetação gráfca, ecotrar valores que possam represetar a dstrbução como um todo. São as chamadas meddas de tedêca cetral ou meddas de posção. 3. CONCEITO: as meddas de posção ou também cohecdas como meddas de tedêca cetral compõem-se de um úmero que represeta um cojuto partcular de formações. Geralmete se localzam em toro do cetro da dstrbução, ode a maor parte das observações tede a cocetra-se. 3. MÉDIA ARITMÉTICA SIMPLES: cosste em somar todas as observações ou meddas dvddose o resultado pelo úmero total de valores. Observação: têm-se duas formas de calcular uma méda artmétca: 38

39 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação. Quado estamos trabalhado com dados brutos: ode: x x x x X X é a méda artmétca; x são os valores das observações; úmero de observações. Exemplo : seja o cojuto X = {8, 9, 0, 0, 8}, calcule a méda. X ( ) 9,0 3.. PROPRIEDADES DA MEDIA ARITMÉTICA a) A soma algébrca dos desvos em relação à méda é ula: ( x X ) 0. Ex: voltado ao exemplo, temos que a méda é 9, etão calculado os desvos em toro da méda tem-se: ( x X) (8 9) (9 9) (0 9) (0 9) (8 9) 0 0. b) Somado-se (ou subtrado-se) uma costate (c) a todos os valores de uma varável, a méda do cojuto fca aumetada (ou dmuída) dessa costate. ( x k) x k x k X k. c) Multplcado-se (ou dvddo-se) todos os valores de uma varável por uma costate (c), a méda do cojuto fca multplcada (ou dvdda) por essa costate. kx k x kx. 3.3 MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA: é uma méda artmétca a qual será atrbuído um peso a cada valor da sére. 39

40 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca X f x f x f f x f f x X é a méda artmétca poderada; f freqüêca smples; úmero de observações. Observação: se os valores forem dstrbuídos em classes o x será o poto médo de cada classe. Exemplo: Uma escola adotou os segutes pesos para as otas bmestras: o bmestre peso 3 o bmestre peso 3 o bmestre peso 4 o bmestre peso 4 Qual será a méda de um aluo que obteve as segutes otas de Matemátca: 5, 4, 3 e os respectvos bmestres? X MÉDIA GEOMÉTRICA: É aproprada para aqueles casos em que comportameto dos valores da sére que se está estudado, possuem um comportameto progressvo, tededo a uma progressão geométrca. Para dados brutos temos que, a fórmula da méda geométrca é: Mg x. x. x x x / Exemplo: A méda geométrca dos segutes dos úmeros:,6,36 é obtda da segute forma: Mg Para dados tabelados temos que, a fórmula da méda geométrca é: Mg f... f f f x. x. f x f f x f x f / f 40

41 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Observação: se os valores forem dstrbuídos em classes o x será o poto médo de cada classe. Exemplo: Um aluo realza três provas, obtedo as segutes otas: 0, 8 e 7, ode os pesos atrbuídos a elas são os segutes, a prova peso, a prova peso 3 e 3 a prova peso 4. Calcule a méda geométrca. Mg ,8 3.5 MÉDIA HARMÔNICA: É defda como o verso da méda artmétca dos versos dos valores da sére. Para dados brutos temos que, a fórmula da méda harmôca é: Mh x... x x ( ) x Exemplo: Determar a méda geométrca dos úmeros:,4 e 8. Mh ,875 3,43 Para dados tabelados temos que, a fórmula da méda harmôca é: Mh f f x f f x f f x f ( x ) Exemplo: Calcular a méda harmôca da dstrbução de freqüêcas dada abaxo: Notas dos aluos da dscpla Estatístca o Isttuto Datavox, ao de 00 NOTAS f x Total 0 0 Mh , MEDIANA (Me): é o valor cetral em um rol, ou seja, a medaa de um cojuto de valores ordeados, ou ada a medaa dvde a dstrbução ao meo. 4

42 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 3.6. Medaa de valores brutos Ordear os valores em ordem crescete (Rol); Verfca se o úmero de elemetos é par ou ímpar; Se for ímpar, posção da medaa o cojuto, será o P valor localzado a posção dada por: Se for par, o cojuto terá dos valores cetras, este caso, a medaa será gual à méda artmétca dos valores cetras, cujas posções são dadas por: P = / e P = ( / ) + Exemplo : calcule a medaa dos valores: ; 5; 7; 5; 3; 4; 0. Rol: ; 4; 5; 7; 0; 3; 5. = 7 (ímpar) Posção da medaa: P = (7 + ) / = 4 Me = 7 Exemplo : Em um grupo de 6 pessoas cujas as alturas meddas em cetímetros fossem as segutes: 83 cm, 70 cm, 65 cm, 80 cm, 85 e 60 cm, qual a altura medaa deste grupo de pessoas? Rol: 60; 65; 70; 80; 83; 85. = 6 (par) Posção da medaa: P = 6 / =3 P = (6 / ) + =4 A medaa será a méda artmétca das posções P e P, etão: Me= (70+80)/= Medaa de valores tabelados Me l f f FAA h l = FAA = f = h = Lmte feror da classe da medaa; Freqüêca acumulada ateror da classe da Me; Freqüêca smples da classe da medaa; Itervalo de classe. º passo calcula-se a posção p f ; º passo: detfca-se a classe Medaa pela colua das Freqüêcas Acumuladas; 3º passo: Aplca-se a fórmula: 4

43 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Exemplo: Calcule a medaa da dstrbução dada abaxo: NOTAS f Total 0 Resolução: a) Calcule a Medaa. º passo: calcula-se a posção p f 0 0; º passo: detfca-se a classe Medaa pela colua das Freqüêcas Acumuladas; Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". NOTAS f Fac Total 0 5 é maor ou gual a 0? NÃO! é maor ou gual a 0? SIM! Etão esta é classe da Medaa. 3º passo: Aplca-se a fórmula: 0 5 Me 3 3,485 4,43 7 Logo, a Medaa é aproxmadamete,43. Observação: a medaa é muto empregada em pesqusas ode ão teressam valores extremos, por terem pouca sgfcação para o cojuto em geral. 3.7 MODA (Mo): é aqulo que está em evdeca, o valor que mas aparece um cojuto de formações ou o de maor freqüêca em uma tabela. Observação: a moda pode ão ser úca ou ate mesmo pode ão exstr Moda de valores brutos: basta observar o valor que mas aparece o cojuto. Exemplo: 3 ; 3 ; 6 ; 8 ; 0 ; 0; 0; ; ; Mo = 0. 43

44 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 3.7. Moda de valores tabelados: uma dstrbução de freqüêca chamamos classe modal à classe que possu maor freqüêca. Como o poto médo é represetatvo de qualquer classe de freqüêcas, chamamos moda bruta ao poto médo da classe modal. MODA PELO PROCESSO DE CZUBER Mo l f Mo f Mo f at f at f post h l = fpost = fat = h = f MO = Lmte feror da classe modal; Freqüêca smples posteror à classe modal; Freqüêca smples ateror à classe modal; Itervalo de classe; Freqüêca modal. Observação: É valda a segute relação empírca x 3Md Mo Exemplo: Calcular a moda da dstrbução dada abaxo: NOTAS f Total 0 Prmeramete, observamos a colua das freqüêcas smples e verfcamos qual o maor valor. Neste caso a últma classe apreseta o maor valor, 8, em relação às outras classes. Agora é só usar a fórmula pelo processo de CZUBER. Mo , Etão, a Moda é aproxmadamete 5,. 3.8 MEDIDAS SEPARATRIZES 3.8. Quarts (Q ): são os valores que dvdem um cojuto de dados em quatro partes guas, represetados por Q, Q e Q 3 deomam-se prmero, segudo e tercero quarts, respectvamete, sedo o valor de Q gual à medaa. Assm, temos; 0% % % % % Q Q Q 3 A fórmula para determação dos quarts para dados agrupados é semelhate à usada para o cálculo da medaa. 44

45 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação a) Quarts para dados brutos: Vamos abordar este assuto por meo de dos exemplos: Exemplo : calcule o Q Dados:,9,0,,5 3,0 3, 3,3 3,7 6, 7,7 =0 Posção do Q= 0,5(+). Etão, a posção de Q é: 0,5 (0+) =,75 Como o valor ecotrado é fracoáro, temos que o o Quartl (Q)será a méda artmétca etre o o e 3 o elemetos: Q=( +,)/=,05 Portato, o o Quartl (Q) é gual a,05. Exemplo : calcule o Q Dados: 0,9,0,7,9 3, 5,3 5,5,,9 4,0 33,6 = Posção do Q= 0,5(+). Etão, a posção de Q é: 0,5 (+) = 3; Portato, o o Quartl (Q) é gual a,7. Obs: para calcular o Q 3 a fórmula da posção sera: 0,75(+), pos, temos 75% dos dados abaxo dele. b) Quarts para dados tabelados: Determação de Q : º passo: calcula-se a posção p f ; 4 º passo: detfca-se a classe Q pela colua das Freqüêcas Acumuladas; 3º passo: Aplca-se a fórmula: ode: Q lq f FAA 4 fq h I = l Q = FAA = f Q = h = Exemplo: cosderado a tabela abaxo, calcule o Q, Q e Q 3. Ordem do quartl, = ou ou 3; Lmte feror da classe do quartl de ordem. Freqüêca acumulada ateror da classe do quartl de ordem ; Freqüêca smples da classe do quartl de ordem ; Itervalo de classe. Idades dos aluos da dscpla Estatístca o Isttuto Datavox, ao de 00. IDADES f Soma 50 Fote: dados hpotétcos 45

46 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Resolução: a) Calcule Q º passo: calcula-se a posção p f ,5; º passo: detfca-se a classe Q pela colua das Freqüêcas Acumuladas; Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". IDADES f Fac Soma 50 8 é maor ou gual a,5? NÃO! 0 é maor ou gual a,5? SIM! Etão esta é classe do o Quartl (Q ) 3º passo: Aplca-se a fórmula:,5 8 Q 9 9 0,75 Portato, o o Quartl é gual a 9,75. 9,75 b) Calcule Q º passo: calcula-se a posção p f º passo: detfca-se a classe Q pela colua das Freqüêcas Acumuladas; Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". IDADES f Fac Soma 50 8 é maor ou gual a 5? NÃO! 0 é maor ou gual a 5? NÃO! 40 é maor ou gual a 5? SIM! Etão esta é classe do o Quartl (Q ) 3º passo: Aplca-se a fórmula: 5 0 Q 0,5 0 Portato, o o Quartl é gual a,5.,5 c) Calcule Q 3 º passo: calcula-se a posção 46

47 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação p f ,5 º passo: detfca-se a classe Q pela colua das Freqüêcas Acumuladas; Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". IDADES f Fac Soma 50 8 é maor ou gual a 37,5? NÃO! 0 é maor ou gual a 37,5? NÃO! 40 é maor ou gual a 37,5? SIM! Etão esta é classe do 3 o Quartl (Q 3 ) 3º passo: Aplca-se a fórmula: 37,5 0 Q 3 0,875 0 Portato, o 3 o Quartl é gual a,875., Decs (D ): são as meddas separatrzes que dvdem a sére em 0 partes guas, e são represetadas por D, D,...,D 9. O quto decl correspode à medaa. 0% -- 0% -- 0% -- 30% -- 40% -- 50% -- 60% -- 70% -- 80% -- 90% -- 00% D D D 3 D 4 D 5 D 6 D 7 D 8 D 9 a) Decs para dados brutos: Vamos abordar este assuto por meo de dos exemplos: Exemplo : calcule o D 8 Dados:,9,0,,5 3,0 3, 3,3 3,7 6, 7,7 =0 Posção do D 8 = 0,8(+). Etão, a posção de D 8 é: 0,8 (0+) = 8,8 Como o valor ecotrado é fracoáro, temos que o 8 o Decl (D 8 )será a méda artmétca etre o 8 o e 9 o elemetos: D 8 =( 3,7+6,)/=4,9 Portato, o 8 o Decl (D 8 )é gual a 4,9. Exemplo : calcule o D 8 Dados: 0,9,0,7,9 3, 5,3 5,5,,9 4,0 33,6 = Posção do D 8 = 0,8(+). Etão, a posção de D 8 é: 0,8 (+) = 9,6; Como o valor ecotrado é fracoáro, temos que o 8 o Decl (D 8 )será a méda artmétca etre o 9 o e 0 o elemetos: D 8 =(,9+4)/=3,45 Portato, o 8 o Decl (D 8 )é gual a 3,45 b) Decs para dados tabelados: A fórmula, este caso, é semelhate à das separatrzes aterores. Determação de D : 47

48 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca º passo: calcula-se a posção f p 0 º passo: detfca-se a classe D pela Freqüêca acumulada. 3º Passo: aplca-se a fórmula: f 0 FAA D ld h f D l D FAA f D h = = = = = Ordem do decl, =; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ou 9; Lmte feror da classe do decl de ordem. Freqüêca acumulada ateror da classe do decl de ordem ; Freqüêca smples da classe do decl de ordem ; Itervalo de classe. Exemplo: Cosderado a tabela abaxo, calcule o D 3. Resolução: º passo: calcula-se a posção p Idades dos aluos da dscpla Estatístca o Isttuto Datavox, ao de 00. IDADES f Soma 50 Fote: dados hpotétcos º passo: detfca-se a classe D pela Freqüêca acumulada. Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". IDADES f Fac Soma 50 8 é maor ou gual a 5? NÃO! 0 é maor ou gual a 5? SIM! Etão esta é classe do 3 o Decl (D 3 ) 3º Passo: aplca-se a fórmula: D ,67 Portato, o 3 o Decl é aproxmadamete 0,67. 48

49 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Percets (P ): são as meddas separatrzes que dvdem a sére em 00 partes guas, e são represetadas por P, P,...,P 99. O qüquagésmo cetl correspode à medaa. 0% -- % -- % -- 3% % % -- 98% -- 99% -- 00% P P P 3 P 50 P 97 P 98 P 99 a) Percets para dados brutos: Vamos abordar este assuto por meo de dos exemplos: Exemplo : calcule o P 30 Dados:,9,0,,5 3,0 3, 3,3 3,7 6, 7,7 =0 Posção do P 30 = 0,3(+). Etão, a posção de P 30 é: 0,3 (0+) =3,3 Como o valor ecotrado é fracoáro, temos que o 30 o Percetl (P 30 ) será a méda artmétca etre o 3 o e 4 o elemetos: Q=(,+,5)/=,3 Portato, o 30 o Percetll (P 30 )é gual a,3 Exemplo : calcule o P 30 Dados: 0,9,0,7,9 3, 5,3 5,5,,9 4,0 33,6 = Posção do P 30 = 0,3(+). Etão, a posção de P 30 é: 0,3 (+) = 3,6; Como o valor ecotrado é fracoáro, temos que o 30 o Percetll (P 30 ) será a méda artmétca etre o 3 o e 4 o elemetos: P 30 =(,7+,9)/=,3 Portato, o 30 o Percetll (P 30 ) é gual a,3. b)percets para dados tabelados: A fórmula, este caso, é semelhate à das separatrzes aterores. Determação de P : º passo: calcula-se a posção p f 00. º passo: detfca-se a classe de P pela Freqüêca acumulada. 3º Passo: aplca-se a fórmula: f 00 FAA P lp h f P = l P = FAA = f P = h = Ordem do percetl, =; ; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ou 9; Lmte feror da classe do percetl de ordem. Freqüêca acumulada ateror da classe do percetl de ordem ; Freqüêca smples da classe do percetl de ordem ; Itervalo de classe. Exemplo: Cosderado a tabela abaxo, calcule o c 70. Idades dos aluos da dscpla Estatístca o Isttuto Datavox, ao de 00. IDADES f

50 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Soma 50 Fote: dados hpotétcos Resolução: º passo: calcula-se a posção p º passo: detfca-se a classe D pela Freqüêca acumulada. Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". IDADES f Fac Soma 50 8 é maor ou gual a 35? NÃO! 0 é maor ou gual a 35? NÃO! 40 é maor ou gual a 35? SIM!Etão esta é classe do 70 o Cetl (c 70 ) 3º Passo: aplca-se a fórmula: P 35 0,5,5 0 Portato, o 70 o Percetl é gual a,5. ATIVIDADES ) Fo orgazado um churrasco para comemorar a coclusão do Curso de Egehara Mecâca. Foram compradas as segutes cares aos respectvos preços: 0 Kg de flé mgo R$,00 o Kg 0 Kg de lgüça R$ 7,00 o Kg 0 Kg de pcaha R$ 6,00 o Kg Qual o valor médo do Kg de care adqurda 50

51 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação ) Uma escola possu 8 professores. Um deles aposeta-se e é substtuído por um professor de aos. Com sso, a méda das dades dos professores dmu aos. Qual a dade do professor que se aposetou? 3) Os dados a segur foram obtdos em dvíduos cotamados pelo veeo de um certo tpo de seto e submetdos a tratameto. A varável de teresse Recup é defda como o tempo (em horas) etre a admstração do tratameto e a recuperação do dvíduo. Os valores de Recup são os segutes: 3, 90, 3, 46,, 4, 47, 37,, 5,,, 3, 3, 45, 3, 4,,, 8, 56, 39,, 6, 5 e 5. a) Costrua a Tabela de freqüêcas para a varável Recup. b) Obteha a méda. c) O prmero quartl d) O tercero quartl 4) Em um tme de futebol, o jogador mas velho etre os ozes ttulares fo substtuído por um jogador de 6 aos. Isto fez com que a méda de dade dos jogadores dmuísse aos. Calcule a dade do jogador mas velho que fo substtuído. 5) Durate um jogo de futebol etre Vasco e Flamego fo feta uma pesqusa de dades das duas torcdas. Costatou-se que a dade méda da torcda em geral era 7 aos (depedete da preferêca). Qual a dade méda dos torcedores do Flamego, sabedo-se que se costtuem 60% da torcda presete o estádo e que os torcedores do Vasco têm em méda 30 aos? 6) 65% dos aluos de uma escola para adultos têm méda 0 aos. Cosderado que 5% tem em méda 30 aos. A méda geral é de 7,5 aos. Qual a méda dos demas aluos? 7) O saláro pago aos fucoáros de uma empresa X é de R$ 70,00. Os saláros médos pagos aos fucoáros especalzados e ão especalzados correspodem respectvamete a R$ 800,00 e R$ 500,00. Pede-se, determar o percetual de empregados especalzados e ão especalzados da empresa. 8) Em uma classe de 50 aluos, as otas obtdas formaram a segute dstrbução: Notas N o de aluos Calcule: a) A ota méda b) A ota medaa c) A ota modal. 9) (AFTN-98) Os dados segutes, ordeados do meor para o maor, foram obtdos de uma amostra aleatóra, de 50 preços (X) de ações, tomada uma bolsa de valores teracoal. A udade moetára é o dólar amercao. 4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,,,,, 3, 3,4, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 3. Obteha: a méda, a medaa e a moda. 0) Cosdere os valores dos pesos de 3 aluos de uma classe apresetados abaxo: Determe: a) a méda ; 5

52 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca b) a medaa; c) a moda. ) Dos saláros de um grupo de 4000 fucoáros da empresa são cohecdos os segutes parâmetros. C 95 = R$ 3.600,00; Md= R$.00,00; D 3 = R$.000,00; Q = R$ 600,00. Respoda a) O o de fucoáros que recebem etre 600 a.00 reas; b) O o de fucoáros que recebem mas R$ 3.600,00; c) O o de fucoáros que recebem etre.000 e.00 reas; d) O percetual de fucoáros que recebem etre 600 e.00 reas ) O preço médo (artmétco) de produto químco produzdo por uma empresa é gual a 50 reas, o preço geométrco é de 40 reas. Qual o preço médo a forma harmôca? 3) Um jogo completo de xadrez é composto das segutes peças 08 peões, 0 torres, 0 cavalos, 0 dama, e 0 re. Atrbuem-se os segutes valores comparatvos para as peças re =4 potos, dama=0 potos, cavalo=03 potos, torres=05 potos, e peão=0 poto. Se este sstema 04 poto é valor médo de uma peça, levado em cota o jogo completo. Qual o valor comparatvo da peça bspo? 4) Dada a dstrbução de freqüêcas dada abaxo: Calcule: a) a méda; b) a moda c) a medaa Idades dos aluos da dscpla Estatístca o Isttuto Datavox, ao de 00. IDADES f Soma 50 Fote: dados hpotétcos 5) Em certa empresa trabalham 4 aalstas de mercado, supervsores, chefe de seção e gerete que gaham, respectvamete: R$.300,00; R$.600,00; R$.750,00, R$5.000,00. Qual o valor do saláro médo desses fucoáros? 6) Uma dstrbudora de refrgerates fez um levatameto sobre o cosumo semaal (em ltros) por pessoa, em ja/00, em uma cdade do ltoral, obtedo a tabela abaxo: Cosumo 0,0 -- 0,5 0,5 --,0,0 --,5,5 --,0,0 --,5 Nº de Pessoas

53 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação a) Determe e terprete o cosumo médo. b) Qual o percetual de pessoas que cosomem meos de ltro por semaa? c) Determe os tervalos que cotém o cosumo modal e o cosumo medao. 7) A polução causada por óleo em mares e oceaos estmula o crescmeto de certos tpos de bactéras. Uma cotagem de mcroorgasmos presetes o petróleo (úmero de bactéras por 00 mlltros), em 0 porções de água do mar, dcou as segutes meddas: Determe a méda, a medaa e a moda ) Abaxo temos as otas de 5 aluos a a avalação da dscpla Aálse Real: 7,0 7,5 5,3 6,8 5,5 4, 8,0 7,0 7,5 6,5 5,9 8,0,5 5,7 5,0 Determe: a) o o quartl; b) o 8 o decl; c) 90 o percetl; 9) O preço geométrco de produto F produzdo por uma empresa é gual a 9 reas, o preço harmôco é de 3 reas. Qual o preço médo a forma artmétca? 0) (FISCAL DE TRIBUTOS DE MG-96) A estatura méda dos sócos de um clube é65cm, sedo a dos homes 7cm e a das mulheres 6cm. Qual a porcetagem de mulheres o clube? ) (Audtor do Tesouro Mucpal - Recfe 003) Em uma amostra, realzada para se obter formação sobre a dstrbução salaral de homes e mulheres, ecotrou-se que o saláro médo vale R$.00,00. O saláro médo observado para os homes fo de R$.300,00 e para as mulheres fo de R$.00,00. Assale a opção correta e mostre os cálculos. a) O úmero de homes a amostra é gual ao de mulheres. b) O úmero de homes a amostra é o dobro do de mulheres. c) O úmero de homes a amostra é o trplo do de mulheres. d) O úmero de mulheres é o dobro do úmero de homes. e) O úmero de mulheres é o quádruplo do úmero de homes PESQUISANDO Para você aprofudar os coteúdos apresetados esta udade, sugro que pesquse: - Os segutes lvros: COSTA NETO, Pedro Luz de Olvera. Estatístca.. ed. São Paulo: Edtora Edgard Blücher Ltda., 99. BUSSAB, W. O., MORETTIN, P.A, Estatístca Básca 5ª ed. São Paulo: SARAIVA,

54 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca FONSECA, J. S. Curso de Estatístca. São Paulo: Atlas, acesse os stes: UNIDADE 4 MEDIDAS DE DISPERSÃO Nesta udade estudaremos as meddas de dspersão que tem um papel mportatíssmo a aálse dos dados, pos avalam a varabldade em toro da méda. Verfcaremos também que as meddas de dspersão avalam a represetatvdade das meddas de posção. Também estudaremos as meddas de Assmetra e Curtose. Na Assmetra estudaremos o grau de afastameto de uma dstrbução da udade de smetra, equato que a Curtose estudaremos o grau de achatameto ou afulameto de uma dstrbução. Caro(a) aluo(a) es o s tes que estudaremos esta udade 4. Ampltude 4. Desvo médo 4.3 Varâca 4.4 Desvo padrão 4.5 Coefcete de varação 4.6 Assmetra 4.8 Curtose 4. AMPLITUDE TOTAL Um modo mas smples de se ter uma dcação da dspersão dos valores de uma amostra ou população é comparar o valor máxmo com o mímo. Etretato a Ampltude Total ão os forece qualquer dcação do que ocorre o teror do cojuto. AT = Valor máxmo Valor mímo 54

55 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Temos três stuações para obteção da Ampltude Total: a) Para valores brutos: Por exemplo, otas em matemátca em cco avalações, 7; 7,5; 8; 8,5; 0. A ampltude total será: AT= 0 7 = 3. b) Para dstrbução de freqüêcas sem classe (sem tervalo de classe) A ampltude total será: AT = 4-0 = 4 c) Para dstrbução de freqüêcas com classe (com tervalo de classe). Neste caso a Ampltude Total será a dfereça etre o lmte superor da últma classe (LS) e o lmte feror da prmera classe (LI). AT = LS LI 4. DESVIO MÉDIO x f Classes f A ampltude total será: AT = - 6 = 6 É a medda de dspersão ou o grau de cocetração dos valores em toro da méda. Quado estamos calculado o desvo médo estamos meddo a dspersão etre cada x e a méda x. Temos dos tpos de Desvo médo: 4.. Desvo Médo para dados brutos ode: DM x X X é a méda artmétca; x são os valores das observações; x X é o valor absoluto do desvo de x em relação à X. úmero de observações. 55

56 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Exemplo: Calcular o Desvo médo para os dados abaxo: Prmero calcula-se a méda X ( ) 5 5 Segudo mota-se a tabela: Calculamos as dfereças etre os valores da sére e a méda Aplcamos o módulo adfereças. X X ( X - X ) X - X Total - 6 Aplca-se a fórmula: DM x X 0 6, 5 5 Logo, o Desvo médo é gual a,. 4.. Desvo Médo para dados tabelados DM x X f ode: X é a méda artmétca; x são os valores das observações; f freqüêca smples x x é o valor absoluto do desvo de x em relação à x. úmero de observações. 56

57 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Exemplo: Calcular o Desvo médo da dstrbução de freqüêcas abaxo: Notas F x Total 5 X 3 Prmero calcula-se a méda ,8 Calculamos as dfereças etre os potos médos e a méda Aplcamos o módulo as dfereças. Segudo mota-se a tabela: Multplcamos as dfereças pelas freqüêcas. Agora, aplca-se a fórmula: Notas f X X (X- X ) X- X X- X f 0 3 5,8-4,8 4,8 4, ,8 -,8,8 8, ,8-0,8 0,8 6, ,8,, 3, ,8 3, 3, 5,6 Total 5 58,4 x X f 58,4 DM,336,34 5 Logo, o Desvo médo é aproxmadamete, VARIÂNCIA: É a méda quadrátca das somas dos desvos em relação à méda artmétca. É uma medda de dspersão bastate estudada o meo cetfco. Quado o estudo for feto a amostra a varâca é smbolzada por: S. E quado estudamos a varâca de uma população, o símbolo usado é σ. 57

58 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 4.3. Fórmula para dados brutos Processo logo ( x X ) S Processo breve ou smplfcado S x X Observação: quado se tratar de população, dvd-se apeas por. Exemplo: Calcular a varâca para os dados abaxo:. Prmero calcula-se a méda ( ) X 5 Segudo mota-se a tabela: 5 Calculamos as dfereças etre os valores da sére e a méda Elevamos ao quadrado as dfereças. X X ( X - X ) ( X - X ) Total - 0 Aplca-se a fórmula: ( x x) 0 0 S,5 5 4 Logo, a Varâca é gual a,5. Vamos calcular a Varâca do exemplo ateror pelo Processo Breve. Os dados são: Qual o valor da Varâca? 58

59 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação S x X ( ) (5 5 ) ,5 Logo, a Varâca é gual a, Fórmula para dados tabelados: Processo logo ( x X ). f S Processo breve ou smplfcado S x f X Observação: quado se trata de população dvdmos apeas por. Exemplo: Calcular a Varâca da dstrbução de freqüêcas abaxo: Notas F x Total 5 X 3 3 Prmero calcula-se a méda ,8 Calculamos as dfereças etre os potos médos e a méda Elevamos ao quadrado as dfereças. Segudo mota-se a tabela: Multplcamos os quadrados das dfereças pelas freqüêcas. Notas f X X (X- X ) (X- X ) (X- X ) f 0 3 5,8-4,8 3,04 69, ,8 -,8 7,84 3, ,8-0,8 0,64 5, ,8,,44 4, ,8 3, 0,4 8,9 Total ,00 Aplca-se a fórmula: S ( x X ). f ,67 59

60 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Logo, a Varâca é aproxmadamete gual 7,67. Agora calcularemos a Varâca do exemplo ateror pelo processo breve: S x f X ( ) (5 5,8 ) ,67 Logo, a Varâca é aproxmadamete gual 7, Propredades da varâca: A varâca absoluta de uma costate é gual a zero; Somado-se ou dmudo-se a todos os valores da sére um valor costate K será gual à ateror, sto é, ão se altera. 0, a ova varâca Multplcado-se ou dvddo-se todos os valores de uma sére por um valor costate, K 0, a ova varâca calculada será gual à varâca absoluta orgal multplcada ou dvdda pelo quadrado da costate utlzada. 4.4 DESVIO PADRÃO: É a raz quadrada da varâca. É a medda mas formatva da varação dos dados. O Desvo Padrão os forece uma dcação do que ocorre etre os dos extremos. Portato, o Desvo Padrão é a medda de quato os valores observados varam em toro da méda. O Desvo Padrão amostral é dado por: S S O desvo padrão populacoal é dado por: Exemplo : Calcule o Desvo padrão dos dados brutos abaxo: Como já vmos aterormete o cálculo da varâca para os dados acma, basta extrar a raz quadrada da Varâca: Como a Varâca fo gual a,5, etão: S S,5,58 Etão, o Desvo padrão é gual a,58. Exemplo : Calcular o Desvo padrão da dstrbução de freqüêcas abaxo: 60

61 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação Notas F x Total 5 Como já vmos aterormete o cálculo da varâca para os dados acma, basta extrar a raz quadrada da Varâca: Como a Varâca fo aproxmadamete gual a 7,67, etão: S S 7,67,77 Etão, o Desvo padrão é gual a,77. Resumdo: para o cálculo do desvo padrão, deve-se prmeramete determar o valor da varâca e, em seguda, extrar a raz quadrada desse resultado. 4.5 COEFICIENTE DE VARIAÇÃO: é o valor postvo da raz quadrada da varâca relatva. ode: S: Desvo padrão; X : Méda S SÍMBOLO: CV 00 X Observação : Será cosderada a sére mas homogêea, aquela que apresetar meor valor do coefcete de varabldade. Observação : é uma medda estatístca que serve para avalar a homogeedade de séres estatístcas, que é o grau de cocetração dos valores observados em toro da sua méda artmétca. Observação 3: O seu valor umérco pode ser expresso em percetual. MEDIDAS DE ASSIMETRIA E CURTOSE Agora trataremos que são as meddas de assmetra e curtose. Elas referem-se à forma da curva de uma dstrbução de freqüêca, mas especfcamete do polígoo de freqüêca ou do hstograma. 4.6 ASSIMETRIA E o que são as meddas de assmetra? É o grau de afastameto de uma dstrbução da udade de smetra 6

62 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Destacamos que as dstrbuções de freqüêcas ão dferem apeas quato ao valor médo e a varabldade, como também quato a sua forma Tpos de curvas: a) Smétrca: Quado a méda, medaa e a moda são guas, sto é, apresetam o mesmo valor. f b) Assmetra postva: Neste caso, a méda artmétca apresetará um valor maor do que a medaa, e esta, por sua vez, apresetará um valor maor do que a moda. f X = Me = Mo Mo < Me < X A cauda é mas alogada à dreta da ordeada máxma (ordeada correspodete à moda). Nas dstrbuções assmétrcas à dreta, há uma predomâca de valores superores a moda. c) Assmetra egatva: Neste caso a méda artmétca será meor do que a medaa, e esta, por sua vez, é meor do que a moda. f X < Me < Mo 6

63 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação A cauda é mas alogada à esquerda da ordeada máxma. Nas dstrbuções assmétrcas egatvas, predomam valores ferores à moda. 4.7 COEFICIENTES DE ASSIMETRIA Há város coefcetes de assmetra a lteratura, etretato utlzaremos os de Pearso, por serem mas cohecdos. Temos dos tpos de coefcetes que são dados abaxo: 4.7. Prmero coefcete de assmetra de Pearso: A ( x Mo S ) 4.7. Segudo coefcete de assmetra de Pearso ode: A 3( x S Me ) O coefcete de assmetra, A, pode ser classfcado: A Coefcete de Assmetra; x Méda artmétca; Mo Moda; S Desvo-padrão. se A = 0 se A > 0 se A < 0 Smétrca Assmetra Postva Assmetra Negatva Exemplo : Calcular o coefcete de assmetra para os dados da sére abaxo: a) Icamos obtedo a Moda: Neste caso 3 é a Moda. b) Calculamos a Méda. X ( ) c) Obter o Desvo padrão, ates, porém precsamos calcular a Varâca: S x x ( ) (5 5 ) ,5 63

64 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Etão, o Desvo padrão será: S S 5,5,35 Agora, aplcamos a fórmula: ( x Mo ) 5 3 A 0,85 S,35 Portato, o coefcete de Assmetra é gual a 0,85. A dstrbução é Assmétrca Postva. Exemplo : Calcular o coefcete de Assmetra da dstrbução de freqüêcas abaxo: a) Calcula-se a Medaa º passo: calcula-se a posção Notas F x Total 5 p f 5,5; º passo: detfca-se a classe Medaa, pela colua das Freqüêcas Acumuladas; Comparamos o valor da posção P com os valores da Fac, cado da Fac da prmera classe e fazedo a segute perguta: "esta Fac é maor ou gual a P?". Notas f Fac 0 3 é maor ou gual a,5? NÃO! é maor ou gual a,5? NÃO! é maor ou gual a,5? NÃO! é maor ou gual a,5? SIM! Etão esta é classe da Medaa Total 5 3º passo: Aplca-se a fórmula: Me 6, ,33 8,33 Logo, a Medaa é aproxmadamete 8,33. b) Calcula-se a Méda. X ,8 64

65 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação c) Obter o Desvo padrão, ates, porém precsamos calcular a Varâca: x f X ( S 5 Logo, a Varâca é aproxmadamete gual 7, ) (5 5,8 ) ,67 Etão, o Desvo padrão será: S S 7,67,77 Agora, aplcamos a fórmula: A 3( x S Me ) 3(5,8 8,33),77,74 Portato, o coefcete de Assmetra é gual a -,74. A dstrbução é Assmétrca Negatva. 4.8 CURTOSE O que é curtose? É o estudo do grau de achatameto de uma dstrbução, cosderado em relação a uma dstrbução ormal. De acordo com o grau de curtose, podemos ter três tpos de curvas de freqüêca Curva Mesocúrtca: Quado a curva de freqüêcas apreseta um grau de achatameto equvalete ou da curva ormal Curva Platcúrtca: Quado uma curva de freqüêcas apreseta um alto grau de achatameto, superor ao da ormal Curva Leptocúrtca: Quado uma curva de freqüêcas apreseta um alto grau de aflameto, superor ao da ormal. 65

66 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Para avalar o grau de curtose de uma curva de freqüêca, usaremos o coefcete percetílco de curtose: D q Q Q K 3 ( D D ).( C ) 9 90 C 0 ode: K = coefcete percetílco de curtose D q = Desvo quartílco = (Q 3 - Q ) / D 9 = 9º decl D = º decl k = 0,63 C 90 = 90º Cetl C 0 = 0º Cetl k > 0,63 k < 0,63 Curva ou dstrbução mesocúrtca Curva ou dstrbução platcúrtca Curva ou dstrbução leptocúrtca Exemplo: determar o coefcete percetlco de curtose do resumo estatístco dado abaxo: Q =45; Q 3 =95; D =5; D 9 =05; Etão, aplca-se a formula: Q Q (95 45) K 3 0,77.( C C ) (05 5) (90) Etão, podemos classfcar o grau de curtose como Platcurtca, pos, k > 0,63. ATIVIDADES ) Dada a tabela abaxo, Pede-se: A Varâca, o Desvo médo, o Desvo Padrão e o Coefcete de varação. NOTAS f Fote: dados hpotétcos 66

67 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação ) Quze pacetes de uma clíca de ortopeda foram avalados quato ao úmero de meses prevstos de fsoterapa, se haverá (S) ou ão (N) seqüelas após o tratameto e o grau de complexdade da crurga realzada: alto (A), médo(m) ou baxo(b). Os dados são apresetados a tabela abaxo Pacete Fsoterapa Seqüelas S S N N N S S N N S S N S N N Crurga A M A M M B A M B M B B M M A a) Classfque cada uma das varáves; b) Dvda os pacetes em dos grupos: com (S) e sem (N) seqüelas. Compare os grupos em relação ao tempo médo de fsoterapa. c) Qual dos dos grupos é mas homogêeo (meor dspersão) em relação ao tempo de fsoterapa? 3) São apresetados abaxo o dâmetro (em polegadas), a altura (em pés) e o volume (em pés cúbcos) de uma amostra de 0 cerejeras: Dâmetro 8,3 0,5 0,8,,0 3,3 4,5 6,3 7,5 8,0 Altura Volume 0,3 6,4 9,7,6 9, 7,4 38,3 4,6 55,7 5,5 Qual das três varáves tem maor varabldade? 4) (AFC-94) Etre os fucoáros de um órgão do govero, fo retrada uma amostra de dez dvíduos. Os úmeros que represetam as ausêcas ao trabalho regstradas para cada um deles, o últmo ao, são: 0, 0, 0,,,, 4, 4, 6 e 0. Sedo assm, qual o valor do desvo padrão desta amostra. 5) Um expermeto é coduzdo para comparar dos regmes almetares o que dz respeto ao aumeto de peso. Vte dvíduos são dstrbuídos ao acaso etre dos grupos em que ao prmero deles fo dada a deta A e ao segudo a deta B. Decorrdo certo período verfca-se que o gaho de peso em Kg para os dvíduos da amostra foram os segutes A -,0 0,0, 3, 3,3 4,3 5,0 5, 5,5 6,8 B,5 3,0 4,0 5,7 6,0 6,9 7,0 7, 7,3 8, a) Calcule a méda, medaa e desvo padrão da varável gaho de peso para cada deta. b) Obteha o coefcete de varação e comete o resultado. 6) Em um esao para o estudo da dstrbução de um atrbuto facero (X), foram examados 00 tes de atureza cotábl do balaço de uma empresa. Esse exercíco produzu a tabela de freqüêca abaxo. A colua Classes represeta tervalos de valores de X em reas e a colua P represeta a freqüêca relatva acumulada. Não exstem observações cocdetes com os extremos das classes. Classes P(%)

68 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca Calcule: a) Coefcete de assmetra; b) Classfque o coefcete de assmetra; c) Coefcete de curtose; d) Classfque o coefcete de curtose. 7) O atrbuto do tpo cotíuo X, observado como um tero, uma amostra de tamaho 00 obtda de uma população de 000 dvíduos, produzu a tabela de freqüêcas segute: Classes 9,5 39,5 39,5 49,5 49,5 59,5 59,5 69,5 69,5 79,5 79,5 89,5 89,5 99,5 Freqüêca (f) Calcule: a) Coefcete de Assmetra. b) Coefcete de Curtose. 8) Obteha a varâca, o Desvo Padrão e o Coefcete de varação da dstrbução de freqüêcas dada abaxo: Produção de 00 empregados da empresa Schalcher, Belém/PA, 004. Produção Freqüêca Total 00 Fote: fctíca. 9) Um estudo fo realzado por um professor em três turmas, obtedo a méda e o desvo padrão das otas de sua dscpla, coforme abaxo. Qual a turma com meor varabldade? Justfque adequadamete. TURMA A B C MÉDIA 6,5 8,0 8,0 DESVIO PADRÃO,,7,0 0) O Desvo Padrão pode ser zero? O que sso sgfca? 68

69 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação ) Na empresa Mercury Ltda. Fo observada a dstrbução de fucoáros do setor de servços geras com relação ao saláro semaal, coforme mostra a dstrbução de freqüêca Saláro Semaal (em US$) f Total 50 Calcule: a) O Desvo médo; b) O Desvo padrão. ) Classfque corretamete os coefcetes de Assmetra e Curtose dados abaxo: a) A=,45 e K= -0,367; b) A=-,45 e K= 0,3; c) A= 0,35 e K= 0,67; d) A= -0,45 e K= -0,56; e) A= -,77 e k= 0,479. ) Um baco tem à dsposção dos seus cletes duas zoas de atedmeto e cada uma com duas máquas multbaco. Na zoa Z, os cletes formam fla úca e a zoa Z fazem duas flas separadas, uma para cada máqua. Regstaram-se os segutes tempos de espera de 0 cletes Z 4,8 4,8 4,9 5, 5,4 5,5 5,7 5,8 5,8 5,8 Z,0 3,5 4, 4,5 5, 5,8 5,8 5,8 8,4 8,6 a) Com base estes dados, que coselho dara ao baco quato ao método a usar, uma fla úca ou flas separadas? b) Calcule o desvo padrão e o coefcete de varação para Z e Z. 3) Como parte de uma avalação médca em uma certa uversdade, fo medda a freqüêca cardíaca dos aluos do prmero ao. Os dados serão apresetados em seguda. a) Obteha a Ampltude Total. b) Obteha a méda. c) Qual o Desvo médo? d) Ecotre a Varâca? e) Qual o valor do Desvo padrão? f) Calcule o coefcete de varação. Freqüêca cardíaca Freqüêca

70 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca ) Aluos da Escola de Educação Físca foram submetdos a um treameto de resstêca por um período de meses. Ates de carem o treameto, foram submetdos a um teste de resstêca quato ao úmero de qulômetros que coseguram correr sem parar. Depos de 4 meses de treameto, foram ovamete submetdos ao mesmo teste. Os dados estão apresetados a segur. Faxas Freqüêcas Ates do treameto Depos do treameto a) Calcule o Desvo médo para ambos os grupos. b) Obteha a Varâca para ambos os grupos. c) Obteha o Desvo padrão Para ambos os grupos d) Qual o grupo mas homogêeo? 5) Um laboratóro clíco precsa escolher, detre três aparelhos (A, B, C) para dosagem de sague, qual deverá comprar. Para sto o resposável pelas aálses preparou uma substâca de cocetração cohecda (0 mg/ml) e extrau váras amostras para serem dosadas pelos três aparelhos. Os resultados obtdos em cada um deles foram os segutes: A B C Qual strumeto lhe parece recomedável? Justfque sua resposta. 70

71 Uversdade Estadual do Pará Cetro de Cêcas Socas e Educação PESQUISANDO Para melhorar sua apredzagem esta udade, sugro que você pesquse: - Os segutes lvros: CRESPO, Atoo Arot. Estatístca Fácl. São Paulo: Edtora Sarava, 998. MAGALHÃES, Marcos Nascmeto e LIMA, Atoo Carlos Pedroso de. Noções de Probabldade e Estatístca. São Paulo: 5a. ed. Edtora da Uversdade de São Paulo, 00. SPIEGEL, M. R., Estatístca, São Paulo: Makro Books, 993. STEVENSON, Wlla J. Estatístca Aplcada à Admstração. São Paulo: Ed. Harbra, acesse os stes: RESPOSTAS Udade ) a) Quattatva b) Quattatva c) Quattatva d) Qualtatva e) Quattatva f) Quattatva g) Quattatva h) Qualtatva ) Quattatva j) Quattatva ) a) Qualtatva omal b) Qualtatva omal c) Quattatva cotíua d) Qualtatva ordal e) Qualtatva ordal f) Qualtatva ordal g) Qualtatva ordal h) Qualtatva omal 3) Defção do problema. Udade 4) Ttulo, Cabeçalho, colua dcadora, colua umérca, corpo, rodapé. 5) Sére msta. 7

72 Departameto de Matemátca, Estatístca e Iformátca Lcecatura em Matemátca Modaldade a Dstâca 6) Não pode ser fechada, pos, se assm for teremos um quadro e ão uma tabela. 7) O que? Ode? e Quado? 8) É que um gráfco explca melhor que uma tabela, ou seja, é mas fácl compreedêlo. 9) Clareza, smplcdade e veracdade. 0) Dagramas, pctogramas e cartogramas. ) Com classe e sem classe. ) É a Orgazação os dados de forma crescete ou decrescete. 3) a) freqüêca acumulada Fac b) os potos médos x c) freqüêca relatva fr 0, 0,4 0,3 0, 5) 6) 6,5%. Valores F Fac fr ,08 0,08 0,6 0,4 0,0 0,0 0,4 0,0 7) No Hstograma as coluas são justapostas, equato que o gráfco de barras as coluas são separadas. 8) No polígoo de freqüêcas o exo das abscssas é cortado pela lha, já o gráfco de lhas ão. 9) Sére especfcatva. 0) Com classe Sem classe: Classes Freqüêcas Soma 0 4) d) 60%. Dados Freqüêca 3 Total 0 7