Universidade Federal de Viçosa. Introdução à Metodologia de Superfícies de

Transcrição

1 Unversdade Federal de Vçosa Departamento de Estatístca Dscplna: EST 63 Métodos Estatístcos II Apostla Introdução à Metodologa de Superfíces de Resposta Paulo Roberto Cecon Anderson Rodrgo da Slva Vçosa, MG

2 Introdução à Metodologa de Superfíces de Resposta

3 Sumáro. Introdução.... Modelo de Prmera Ordem Delneamentos Epermentas para Ajuste de Modelos de Prmera Ordem Fatoral Completo Delneamento Composto Central (DCC) Delneamento Composto Central Rotaconado (DCCR) Delneamento de Bo-Behnken (DBB) Teste de Sgnfcânca do Modelo Meddas e Adequação de Modelos Teste para Falta de Ajuste Método da Inclnação Ascendente Eemplo de Aplcação para o Modelo de Prmera Ordem Modelo de Segunda Ordem.... Localzação do Ponto Estaconáro Caracterzando a Superfíce de Resposta... 9 Referêncas... 35

4 . Introdução No conteto da estatístca epermental há constante nteresse em caracterzar a possível relação entre uma ou mas varáves resposta e um conjunto de fatores de nteresse. Isso pode ser eecutado através da construção de um modelo que descreva a varável resposta em função dos níves aplcáves desses fatores. Certos tpos de problemas centífcos envolvem a epressão de uma varável resposta, tal como o rendmento de um produto, como uma função empírca de um ou mas fatores quanttatvos, tas como a temperatura de reação e a pressão. Isso pode ser efetuado utlzando-se uma metodologa que permta modelar a relação: Rendmento em função de temperatura de reação e pressão. O conhecmento da forma funconal de f, frequentemente obtda com a modelagem de dados provenentes de epermentos planejados, permte tanto sumarzar os resultados do epermento quanto predzer a resposta para níves dos fatores quanttatvos. Assm, a função f defne a superfíce de resposta, que em sua essênca, consste em estmar coefcentes da regressão polnomal para a geração de um modelo empírco, por meo do qual é possível apromar uma relação (ncalmente desconhecda ou conhecda) entre os fatores e as respostas do processo. Podemos então defnr a Superfíce de Resposta como sendo a representação geométrca obtda quando uma varável resposta é plotada como uma função de dos ou mas fatores quanttatvos. A função pode ser assm defnda: Y f (X,X,..., X k ) + ε Em que: Y é a resposta (varável dependente); X,X,...,X k são os fatores (varáves ndependentes); e ε é o erro aleatóro. então, Denota-se a resposta esperada por: E(Y) f (X, X,,X ) η k η f (X, X,,X ) k

5 é chamada de superfíce de resposta. A metodologa de superfíce de resposta, ou MSR, é uma coleção de técncas matemátcas e estatístcas que são útes para modelagem e análse nas aplcações em que a resposta de nteresse seja nfluencada por váras varáves e o objetvo seja otmzar essa resposta. Por eemplo, suponha que um engenhero químco deseje encontrar os níves de temperatura (X ) e concentração da almentação (X ) que mamzem o rendmento (Y) de um processo. O rendmento de um processo é uma função dos níves de temperatura e concentração de almentação, como Y f (, ) + ε, em que ε representa o erro observado na resposta esperada E(Y) f (, ) η, então a superfíce representada por η f (, ) é chamada de superfíce de resposta (Montgomery e Runger, 8). Segundo Montgomery (), as equações defndas de superfíce de resposta podem ser representadas grafcamente e utlzadas de três formas: Descrever como as varáves em teste afetam as respostas; Determnar as nter-relações entre as varáves em teste; e Para descrever efetos combnados de todas as varáves em teste sobre a resposta. Algumas consderações devem ser fetas quando utlzamos superfíce de resposta, a saber: a) O uso efetvo da superfíce de resposta deve consderar cnco pressupostos:. Os fatores que são crítcos ao processo são conhecdos;. A regão em que os fatores nfluem o processo é conhecda;. Os fatores varam contnuamente ao longo da faa epermental escolhda; v. Este uma função matemátca que relacona os fatores à resposta medda; v. A resposta que é defnda por essa função é uma superfíce lsa.

6 b) A técnca também apresenta algumas lmtações que devem ser consderadas:. Grandes varações dos fatores podem resultar em conclusões falsas;. Os fatores crítcos não foram especfcados corretamente;. A regão de ótmo pode não ser determnada devdo ao uso de uma faa muto estreta ou ampla; v. Como em qualquer epermento, resultados destorcdos podem ser obtdos se os prncípos clásscos da epermentação não forem segudos (casualzação, repetção e controle local); e v. Superestmar a computação: o pesqusador dever utlzar de bom senso e seu conhecmento sobre o processo para chegar a conclusões apropradas a seus dados. A aplcação dessa metodologa fo realzada ncalmente na ndústra químca, tendo sdo seus fundamentos formalzados por Bo e Draper (987). No campo agronômco, o uso concentrou-se no estudo do rendmento de cultvares, como efeto de níves de nutrentes aplcados ao solo, nclundo-se outros fatores, como: densdade de planto e lâmnas de rrgação. A superfíce de resposta é útl quando o pesqusador não conhece a relação eata entre os fatores. Mas, geralmente quando a epressão analítca da função é conhecda, a metodologa pode ser útl em alguns casos: freqüentemente podem-se encontrar funções descontínuas, e em mutos casos se trabalha com valores dscretos das varáves de projeto ou fatores, sendo assm o uso da metodologa de superfíce de resposta apresenta uma ampla aplcação na pesqusa, porque ela consdera város fatores em níves dferentes e as nterações correspondentes entre esses fatores e níves. Dentre as vantagens da metodologa de superfíce de resposta, a prncpal é que seus resultados são resstentes aos mpactos de condções não deas, como erros aleatóros e pontos nfluentes, porque a metodologa é robusta. Outra vantagem é a smplcdade analítca da superfíce de resposta obtda, pos a metodologa gera polnômos. Em geral, polnômos de duas ou mas varáves, são funções contínuas. 3

7 Após o ajuste do modelo aos dados, é possível estmar a sensbldade da resposta aos fatores, além de determnar os níves dos fatores nos quas a resposta é ótma (por eemplo, máma ou mínma).. Modelo de Prmera Ordem Na maora dos problemas em superfíce de resposta, a forma do relaconamento entre as varáves dependentes e ndependentes é desconhecda. Assm, o prmero passo é encontrar uma apromação para o verdadero relaconamento entre a varável resposta (y) e as varáves ndependentes (fatores). Geralmente utlza-se de uma regressão polnomal de bao grau em alguma regão das varáves ndependentes. A forma geral para o modelo de prmera ordem (ou modelo de grau um) em k varáves de entrada (ndependentes) pode ser representado por: Y β + β X + ε k Onde Y é uma varável resposta observada, β, β,..., β k são parâmetros desconhecdos, e ε é o termo do erro aleatóro. Se ε tem méda zero, então a porção não aleatóra do modelo geral de prmera ordem representa a verdadera resposta méda, η, que é, η E(Y) β + β X k e ε é tdo como erro epermental. Se, entretanto, o modelo descrto é nadequado para representar a verdadera resposta méda, então ε contém, adconalmente ao erro epermental, um erro não aleatóro (sstemátco). Este últmo erro é atrbuído a omssão de termos em X, X,...,X k de grau superor a um que podem ser entenddas como outras varáves as quas tem alguma nfluênca sobre a varável resposta. Este erro adconal (eclundo o erro epermental) é chamado falta de ajuste. Escrevendo o modelo em notação matrcal, consderando N observações, temos: Y Xβ + ε 4

8 Em que Y é um vetor de N (N k+) observações, ` [ β β... β ] de parâmetros desconhecdos, ` [ ε ε... ε ] N β é um vetor (k+) k ε é um vetor N de erros, e X é uma matrz N (k+) de coefcentes dos parâmetros que compreende os níves das varáves ndependentes. Assume-se que os erros aleatóros são NID(, σ ), sto é, ndependentemente dstrbuídos com dstrbução Normal de méda zero e varânca comum. Quando a matrz X é de posto coluna completo, então o estmador de mínmos quadrados ordnáros de β pode ser obtdo por: βˆ ( X`X) X`Y E a matrz de varâncas e covarâncas de ˆβ é dada por: V( βˆ ) ( X`X ) σ Na maora dos casos, os cálculos para estmação dos parâmetros podem ser smplfcados codfcando os níves das k varáves ndependentes Em que (X X ) u u,,...,k e u,,...,n R N e u u X X / N A codfcação apresenta a característca: X por meo de: R é a dferença entre o maor e o menor valor dos níves. N u,,...,k u Eemplo: Os dados a segur referem-se ao peso de almentos ngerdos em epermento com almentação de ratos em relação a duração do tempo entre noculação de dosagens de uma droga e a almentação (horas). 5

9 Droga (X ) Dosagem (mg kg - ) Tempo (X ) Peso observado,3 5,63,3 6,4,7,38,7,94,3 5,57,3 5,6,7 5 5,7,7 5 4,69,3 9,68,3 9 3,3,7 9 8,8,7 9 7,73 Utlzando varáves codfcadas, tem-se: u ( ) ( ) Xu X Xu,5 Xu,5 R,7,3, u ( ) ( ) Xu X Xu 5 Xu 5 R 9 4 Então, o modelo de prmera ordem para Yu β + β Xu + β Xu + ε u, em notação matrcal Y Xβ + ε, utlzando as varáves codfcadas é 5,63 6, 4,38,94,57 β,6 5,7 β + 3 4,64 β,68 3,3 8, 8 7,73 3 ε ε ε ε ε 3 ε3 ε 4 ε 4 ε5 ε 5 ε6 ε 6 6

10 7 X'Y X'X β ) ( ˆ 8 n n u u n u u u n u u n u u u n u u n u u n u u n u u X X' n u u n u u u n u u u Y Y Y X'Y 3,3875, ,666 6,63 3,8 9,46 8 ˆβ Equação ajustada: u ** u ** u ** u ** u ** u ** X,83875 X 3,3665,44 Ŷ 4 5 X 3,3875,,5 X, ,666 Ŷ 3,3875, ,666 Ŷ Hpóteses: zero de dfere β um dos menos pelo : H β :β H

11 Quadro da análse de varânca: FV GL SQ QM F Regressão 74,38 87,69 84,8** Resíduo 9 9,98,33 Total 83,436 74,38 R 83,436,9493 Teste para cada um dos parâmetros: H H :β :β t -, (,33) 9, ** H H :β :β 3,3875 t (,33) 8 ** 9,6 ** sgnfcatvo pelo teste t a 5% de probabldade. 8

12 3. Delneamentos Epermentas para Ajuste de Modelos de Prmera Ordem 3.. Fatoral Completo Caracterza-se pela Combnação de todos os níves de todos os fatores escolhdos pelo pesqusador apresentando como desvantagem um número muto grande de ensaos. Deste modo, um fatoral completo com p(níves) e k(fatores) apresenta p k combnações dstntas, se p k. Eemplo : Em um ensao onde se deseja contrastar temperatura (3, 35, 4), tempo (3, 5, 7) e ph (5, 6, 7) tentando otmzar uma determnada reação químca, temos um fatoral 3 3, onde k3 fatores e p3 níves. Ao todo serão 7 tratamentos, conforme a representação gráfca: 3.. Delneamento Composto Central (DCC) Caracterza-se pela Combnação de um fatoral K (k fatores) mas o ponto central. Sua vantagem é a de reduzr o número de ensaos, todava sua utlzação restrnge-se ao ajuste de modelos de prmera ordem. Tomando-se como lustração o eemplo da seção 3., o número de tratamentos fcara: 3 + 9, uma redução de 8 ensaos em relação ao fatoral completo. 9

13 3.3. Delneamento Composto Central Rotaconado (DCCR) É utlzado para epermentos onde k(fatores). Este delneamento contém pontos da parte cúbca codfcados para ( ± ), pontos aas codfcados para ( ± α, onde α ( k ) /4 ) para testar o modelo de segunda ordem e o ponto central codfcado para () que geralmente possu repetções. Assm, número de tratamentos passara a ser: fatoral k + ponto central + k pontos aas. Para o eemplo da seção 3.., 3 ++*3 5 tratamentos Delneamento de Bo-Behnken (DBB) É utlzado para epermentos com k 3. Tendo como prncpal vantagem a redução do número de ensaos para estudar um maor número de fatores. De modo geral os níves dos fatores são escolhdos à partr das nformações de seus lmtes nferores e superores. O número de tratamentos dá-se pela combnação dos níves da parte cúbca + ponto central. A título de lustração, seguem abao outros eemplos: Eemplo. Um epermento com dos fatores de nteresse (A e B), possundo p 4 níves para ambos os fatores.

14 Eemplo 3. Eemplo 4. Um planejamento epermental com 3 fatores e 4 níves cada.

15 4. Teste de Sgnfcânca do Modelo Este teste é realzado como um procedmento de ANOVA. Calculando-se a razão entre a méda quadrátca dos termos de regressão e a méda quadrátca do erro, encontra-se a estatístca F, que comparada com o valor crítco de F para um dado nível de sgnfcânca, permte avalar a sgnfcânca do modelo. Se F for maor que F crítco então o modelo é adequado (Montgomery, ). Consderando o sstema de equações normas (SEN), dado por: X`Xβ ˆ X`Y pode-se obter as somas de quadrados relatvas a cada fonte de varação da ANOVA: SQ Y`Y C Y C Total Resíduo N j j SQ Y`Y β`x`y ˆ SQ Re g em que C é o termo de correção, dado por: C β`x`y ˆ C N Yj N j O teste para a sgnfcânca da regressão determna se este uma relação lnear entre a varável de resposta y um subconjunto de regressores. As hpóteses apropradas neste caso são: H : β β... β k H : pelo menos um dos β dfere de zero O teste ndvdual de sgnfcânca de cada coefcente pode conduzr a otmzação do modelo através da elmnação ou adção de termos. As hpóteses utlzadas para testar qualquer um dos coefcentes de regressão são: H : β H : β

16 O teste utlzado para realzar esse teste é: t βˆ V( ˆ βˆ ) ï Em que c é o elemento da dagonal da matrz (X X) - correspondente ao coefcente em teste. A estatístca segue dstrbução t com o número de graus de lberdade do resíduo. Se o valor p do teste ndvdual para os termos for nferor ao nível de sgnfcânca, então o termo é adequado ao modelo e deve, portanto, ser mantdo. Ao contráro, o termo deve ser ecluído se tal procedmento conduzr a um aumento do coefcente de determnação R² conjuntamente com a dmnução do efeto resdual e o valor p referente à falta de ajuste do modelo for superor ao nível de sgnfcânca. Além dsso, a retrada de qualquer termo deve obedecer ao prncípo da herarqua. Este prncípo, segundo Montgomery (), postula que quando um termo de ordem alta for mantdo no modelo, o de ordem baa que o compõe também deve ser mantdo. βˆ ï c σˆ 5. Meddas e Adequação de Modelos A medda de adequação mas comumente usada é o coefcente de determnação R², defndo por: SQRegressão SQTotal SQResíduo SQTotal R [ R ] e representa a proporção da varação total que é devda (eplcada) pelo modelo regressão. Assocado ao R² está o coefcente de determnação ajustado R, que consdera o fato de que R² tende a superestmar a quantdade atual de varação contablzada para a população. Também é fato que a nclusão de mutos parâmetros no modelo de regressão aumenta substancalmente o valor de R². Se o modelo recebeu parâmetros desnecessáros haverá um ncremento em R² sem haver, necessaramente, melhora de precsão da resposta. Por sso o R² ajustado é mas ndcado para comparar modelos com números dferentes de parâmetros e, anda, ajustados com número de observações dferentes. O coefcente de determnação ajustado para graus de lberdade e número de parâmetros (p) é defndo por: 3

17 R R (n ) p n p Nota: O R ajustado é sempre menor que o R e só será gual quando R. 6. Teste para Falta de Ajuste A adção de pontos centras aos arranjos epermentas proporcona a obtenção de uma estmatva do erro epermental. De acordo com Montgomery (), este artfíco permte que a soma de quadrados resdual (SQ Res ) seja dscrmnada em dos componentes: () a soma de quadrados devda ao erro puro (SQ EP ) e; () a soma de quadrados devdo à falta de ajuste do modelo adotado (SQ F.Aj ). Assm, pode-se escrever: SQRe s SQEP + SQF.Aj. Admtndo-se que estam n observações de uma dada resposta Y de nteresse no -ésmo nível dos regressores (,,...,k). Consdere que Y j denote a j-ésma observação da resposta no nível, com observações. Então, o j-ésmo resíduo será: j,,...,n e Y Y ˆ (Y Y ) + (Y Y ˆ ) j j j ï k n N, o total de Onde Y é a méda da resposta para o nível lados e somando em relação a e j, obtém-se:. Elevando-se ao quadrado ambos os k n k n k ˆ ˆ (Yj Y ) (Yj Y ) + n (Y Y ) j j SQRes SQEP SQF.Aj. 4

18 7. Método da Inclnação Ascendente O objetvo é aular o pesqusador, de forma rápda e efcente, a encontrar a regão de ótmo, sto é, determnar a melhor regão de estudo. Encontrada a regão de ótmo, um modelo mas elaborado, por eemplo, um modelo de segunda ordem, pode ser empregado, e uma análse pode ser feta para localzar o ponto de mámo ou de mínmo (ponto ótmo). Utlza-se um conjunto de tratamentos em torno do ponto ncal e estmam-se por Mínmos Quadrados as nclnações β. A partr das magntudes e snas destas nclnações, calcula-se a dreção do método da nclnação ascendente (MIA). Assm: Epermentos são conduzdos ao longo do camnho da MIA até que nenhum ncremento na resposta seja observado. Eventualmente, chega-se a vznhança do valor ótmo e sto será ndcado pela falta de ajuste do modelo de ª ordem. A apromação por um plano se torna nsatsfatóra pelo fato dos efetos de ordens mas elevadas, partcularmente os de ª ordem (quadrátco e de nteração lnear), se tornarem relatvamente mas mportantes. Nesse caso usa-se o Modelo Quadrátco. 8. Eemplo de Aplcação para o Modelo de Prmera Ordem Consderemos o segunte eemplo: um epermento em esquema fatoral, tempo e temperatura, com dos níves cada, ou seja, um fatoral para que os níves desses fatores mamzem a produção de um determnado processo. A regão epermental será (3, 4) mn para o tempo de reação e (5, 6) F para temperatura. Normalmente, opera-se com um tempo de 35 mnutos e temperatura de 55 ºF, que resulta numa produção de 4% apromadamente. 5

19 Como esta regão provavelmente não contém o ótmo, um modelo de prmera ordem será ajustado e aplcado o Método da Máma Inclnação Ascendente. As varáves ndependentes serão codfcadas para (-, ) para smplfcar os cálculos. Serão ncluídos também cnco pontos centras entre os valores mámos e mínmos do tempo e temperatura. As repetções no ponto central são utlzadas para estmar o erro epermental e para checar o ajuste do modelo de prmera ordem. Os pontos centras do delneamento são os correspondentes às condções de operação atual (35 mn e 55 ºF). Codfcação: X 35 X Tabela. Varáves orgnas e codfcadas de um epermento fatoral (tempo e temperatura). Varáves orgnas Varáves codfcadas Resposta Y X X , , 4 5-4, , , , , , ,6 Para realzação do dagnóstco correto em relação ao modelo de prmera ordem deveremos obter uma estmatva do erro epermental, verfcar se a nteração deve ser ncluída no modelo e fnalmente verfcar se os termos quadrátcos devem ser adconados no modelo. 6

20 Y Tabela. Análse de varânca do modelo de prmera ordem. FV GL SQ QM F Valor p Regressão,85,45 47,8, Desvos 6,773,95 Total 8 3,3 R²,949 R² Ajustado,9 Tabela 3. Estmatvas dos parâmetros do modelo de regressão de prmera ordem. Efetos Estmatvas Desvo t Valor p Constante 4,4444 Tempo ( ),775,859 9,69, Temperatura ( ),349,859 3,78,93 Equação ajustada: ŷ 4, 44 +,775 +, Fgura. Superfíce de Resposta do modelo de º Ordem. Cálculo do erro epermental lberdade. A soma de quadrado do erro é obtda de forma tradconal, com 4 graus de 7

21 (4,3² + 4,5² + 4,7² + 4, ² + 4,6²) (,3)² 5 σ ˆ,43 5 A nteração entre os fatores pode ser obtda adconando o termo e é medda pelo coefcente β. A estmatva é obtda (consderando as varáves codfcadas) por: β ˆ ( y o + y + y y ) n trat SQ Int YEtremos Y o n trat Meo Para o eemplo em questão, temos: β ˆ ( * 39,3 + ( * 4) + ( * 4,9) + * 4,55 ) 4,5 [(39,3 + 4,5) (4 + 4,5)] SQInt,5 4 SQ,5 QM,43 Int F,58 Erro Outra verfcação da adequabldade do modelo é obtda pela comparação da resposta méda dos quatro pontos do fatoral (4,45), com a resposta méda do centro do delneamento (4,46). Se β e β são os coefcentes dos termos quadrátcos das médas é uma estmatva de β + β. χ e β ˆ + β ˆ y y 4,45 4,46,35 χ, então a dferença Assm, não este nenhuma razão para questonar o modelo de prmera ordem. Os prómos passos da (MIA) devem segur. Para andar (mover-se) do centro do delneamento ( e ) no camnho da nclnação ascendente, deveríamos mover,775 undades na dreção para cada,35 8

22 undades na dreção de. Assm, a dreção da nclnação ascendente passa pelo ponto central ( e ) e tem nclnação,35/,775,4. O engenhero decde usar um tempo de reação de 5 mnutos como tamanho do passo ncal. Usando a relação entre X e, vmos que 5 mnutos no tempo de reação corresponde a um ntervalo (passo), na varável codfcada, de. Os passos no camnho da nclnação ascendente são: (,35/,775),4 Os pontos epermentas são obtdos e a produção para estes pontos observados até que se perceba um decréscmo na produção. Os resultados são mostrados na tabela a segur: Tabela 4. Método da Inclnação Ascendente para o eemplo da tabela. Passos Varáves codfcadas Varáves orgnas X X Resposta Y Orgem 35 55,,4 5 Não faz Orgem +,, , Orgem +,, ,9 Orgem +3 3,, , Orgem +4 4,, ,7 Orgem +5 5,, ,8 Orgem +6 6,, ,9 Orgem + 7 7,, , Orgem + 8 8, 3, ,4 Orgem + 9 9, 3, ,6 Orgem +, 4, ,3 Orgem +, 4, , Orgem +, 5, , Incrementos na resposta são observados até o passo; depos há um decréscmo na produção. Portanto, outro modelo de prmera ordem pode ser ajustado em torno do ponto (85,75). A regão de eploração para tempo sera (8,9) e de temperatura (7,8). 9

23 Assm repete-se todo o processo e os resultados são analsados a segur: A regão de X é [8, 9] e para X é [7, 8]. O delneamento epermental e os resultados são apresentados na tabela a segur. Novamente usou-se um fatoral completo com cnco pontos centras. Tabela 5. Dados para o segundo ajuste do modelo de prmera ordem. Varáves codfcadas Varáves orgnas X X Resposta Y , , , , , , , , ,8 X 85 X 75 e 5 5 Modelo de ª ordem ajustado aos dados codfcados é dado por: Ŷ 78,97 +,X +,5X Tabela 6. Analse da varânca para o segundo modelo de prmera ordem. FV GL SQ QM F Regressão 5,,5 47,7* Resíduo 6, Interação,5,5 4,7 Quad. Puro,658,658,9* Erro puro 4,,53 Total 8 6,

24 Pela tabela de ANOVA, o componente do termo quadrátco puro fo sgnfcatvo, sso mplca que o modelo de ª Ordem não é uma apromação adequada. A curvatura na real superfíce pode ndcar que se está prómo do ótmo; assm, análses adconas devem ser fetas para localzar o ótmo com mas precsão. Nesse ponto, uma análse adconal deve ser feta para localzar o ótmo com mas precsão. 9. Modelo de Segunda Ordem Na falta de conhecmento sufcente acerca da forma da verdadera superfíce de resposta, geralmente o epermentador tenta a apromação pelo modelo de prmera ordem. Quando, entretanto, o modelo de prmera ordem apresenta falta de ajuste para a superfíce, ncorpora-se termos de ordem superor. Quando o epermentador está relatvamente prómo do ótmo, um modelo que ncorpora a curvatura é usualmente requerdo para apromar a resposta. Na maora dos casos o modelo de segunda ordem k k k k j j j < j Y β + β X + β X + β X X + ε Em que X,X,...,X k são as varáves ndependentes que tem nfluênca na resposta Y; β, β (,,...,k), β j(j,,...,k) são parâmetros desconhecdos, e ε é um erro aleatóro. Utlzando varáves codfcadas,,obtdas por: u Xu X s X u,,..., N,,...,k Em que X u é o u-ésmo nível da -ésma varável ndependente, méda dos valores X u, / N u u é a X X / N N s X (X u u X ) / N é o desvo padrão, e N é o número de observações. Sem perda de generaldade podemos consderar os valores de X sendo substtuídos pelos correspondentes valores de (,,...,k). Os valores da

25 varável resposta obtdos com as varáves codfcadas podem, então, ser representados como Em que k k k k u β + β u + β u + β j u ju + εu j < j Y ε u é o erro epermental em Y u. Assume-se que os valores de ε u sejam ndependentemente dstrbuídos como varáves aleatóras com méda zero e varânca σ. O modelo pode ser escrto na forma de matrz da segunte forma: Em que Y` [ Y Y Y ] N Y Xβ + ε, X é uma matrz N p de coefcentes dos parâmetros que compreende os níves das varáves ndependentes; p (k + )(k + ) / ; β é um vetor p de parâmetros desconhecdos e ε ` [ ε ε... ε ] quadrados para β no modelo é dado por: βˆ ( X`X) X`Y A matrz de varâncas e covarâncas de ˆβ é V( βˆ ) ( X`X ) σ N. O estmador de mínmos. Eemplo de Aplcação para o Modelo de Segunda Ordem Consdere um esquema fatoral 3 3, com 3 níves de N (, 5 e ) e 3 níves de P (, 4 e 6), de acordo com o modelo de segunda ordem: Y β + β X + β X + β X + β X + β X X + e 3 O epermento dó nstalado no delneamento em blocos casualzados com 3 repetções e os dados obtdos encontram-se na tabela a segur: 4 5

26 Trat. N P Bloco Y - - /3 / /3 / /3 / /3 -/ /3 -/ /3 -/ /3 / /3 / /3 / /3 / /3 / /3 / /3 -/ /3 -/ /3 -/ /3 / /3 / /3 / /3 / /3 / /3 / /3 -/ /3 -/ /3 -/ /3 / /3 / /3 /3 39 X X 5 {,,} 5 (+ ) ( ) X X 4 {,,} P (+ 6) (6 ) n ( ) + () + () X 3 3 3

27 7 8 8 X`X X`Y 47 / 455 / / 7 7 /8 ˆ 39 /8 β 47 /8 455 /8 8 / 6 Ŷ Y β + β + β + β ( ) + β ( ) + β + e X 5 X 4 X X 4 8 X 5 X X 39X 47 X X Ŷ X 4X 8 XX X X Ŷ X X 6X 39X 8X 8X 47X 455X 8X X Ŷ 34,848 +,6X + 4, 9855X, 444X, 63944X, 6666X X 4

28 SQ Re g βx`y ˆ C (363) / / , , , 37 SQTotal , , 747 Quadro da ANOVA FV GL SQ QM F Blocos 9, (Tratamentos) (8) (463,47) -- Regressão 5 45,37 8,74 64,4** Falta de ajuste 3 58,37 5,79 4,3* Resíduo puro 6 99,485,4675 Total 6 437,743 F 5% (3,6) 3, 4 F % (3,6) 5, 9 SQ Re g 45,37 SQTotal 437, 743 R, 959 SQ Re g 45,37 SQTrat. 463, 47 R,969 Teste para as hpóteses: H : β H : β 7 8 t,83 (, 4675) 8 t % (6), 9 t 5% (6), t % (6), 75 5

29 Utlzando : QM Re s 8,834 GL Res t, 4664 (8,834) 8 t % (9),86 t 5% (9), 9 t % (6), 73 B λ I Y,6,888X,6666X X Y 4,9855,6388X,6666X X, 888X, 6666X,6 X 4, 9855,6388X, 6666,6, 6666X, 888,6, 6666X, 888 4, 9855,6388X, , 73X,675X 4,99346 X 39,6,6, 6666(39, 6) X 64, 66, 888 Ponto crítco ( X 64,66;X 39,6 ). Matrz da segunda dervada: Y Y, 888,6388 X X Y X X,

30 Estudo da natureza da superfíce de resposta: este pode ser realzado consderando o ponto estaconáro e os snas e magntudes dos λ. B λ I Y Y X X X B I Y Y X X X Suponha que o ponto estaconáro esteja dentro da regão de estudo na qual fo ajustado o modelo de segunda ordem. Conclusão: ) Se todos os valores de λ são postvos, então mínma. ) Se todos os valores de λ são negatvos, então máma. ) Se os valores de λ tem snas postvos e negatvos, então de sela. X s é um ponto de resposta X s é um ponto de resposta X s é um ponto, 888, 3333 B, 3333,6388, então:, 888, 3333 λ B λ I, 3333,6388 λ, 888 λ, 3333, 3333,6388 λ (, 888 λ)(,6388 λ) (, 3333),6388λ +,84768λ +, 63787,84768 ±, 65688, λ (,6388) λ, 44 λ, 5 7

31 . Localzação do Ponto Estaconáro Suponha que nosso nteresse é encontrar os níves,,..., k, que otmze a resposta predta. Este ponto, se estr, será dado pelo conjunto,,..., k para o qual as dervadas parcas são guas são guas à zero, sto é Yˆ Yˆ Yˆ... k Este ponto é chamado de ponto estaconáro e pode representar um ponto de mámo, de mínmo ou um ponto de sela. Para obtenção de uma solução matemátca geral para localzação do ponto estaconáro, escrevemos o modelo de segunda ordem na segunte notação matrcal onde Yˆ βˆ + `b + `B βˆ βˆ βˆ ˆ / βk / ˆ ˆ ˆ β β βk / b B k βˆ ˆ k sm. β kk Em que b é um vetor (k ) dos coefcentes de regressão de prmera ordem e B é uma matrz smétrca (k k) onde na dagonal têm-se os coefcentes de regressão de segunda ordem e fora da dagonal os coefcentes da nteração. As dervadas parcas dos valores predtos da resposta Ŷ em relação aos elementos do vetor gualadas a zero são dadas por: Ŷ b + B O ponto estaconáro é a solução das equações, ou seja, s B b O valor predto da varável resposta no ponto estaconáro é: 8

32 Ŷs β ˆ + `s b. Caracterzando a Superfíce de Resposta Uma vez encontrado o ponto estaconáro, é necessáro caracterzar a superfíce de resposta. Esta caracterzação sgnfca determnar se o ponto estaconáro é um ponto de mámo, de mínmo ou de sela. Um modo de fazer sto é eamnar o gráfco de contorno do modelo ajustado. Entretanto nem sempre temos poucas varáves e, nesses casos, uma análse mas formal pode ser aplcada, chamada de análse canônca. Consdere uma translação (novo sstema de coordenadas) da superfíce de resposta da orgem para o ponto estaconáro s e então rotacone os eos desse sstema até que eles fquem paralelos aos eos prncpas da superfíce de resposta ajustada. Esta transformação é lustrada na Fgura 3. w,s,s Fgura 3. Forma canônca para o modelo de segunda ordem. w Pode-se mostrar que o modelo ajustado é Yˆ Yˆ + λ w + λ w λ w s k k 9

33 onde w são as varáves ndependentes transformadas e os equação acma é chamada de forma canônca do modelo. Os raízes característcas da matrz B. Assm, tem-se que:. Se todos os valores de ( λ ) são postvos, então,. mínma; λ são constantes. A λ são os autovalores ou s é um ponto de resposta Se os ( λ ) são todos negatvos, então, s é um ponto de resposta máma;. Se os valores de ( λ ) tem snas postvos e negatvos, então, sela. s é um ponto de λ é maor. Além dsso, a superfíce tem nclnação na dreção de w para o qual o valor de Consderemos novamente o eemplo: segunda fase do estudo. Para ajustar um modelo de segunda ordem é necessáro aumentar o delneamento com pontos adconas. Para ser possível estmar os parâmetros do modelo o engenhero obteve mas 4 observações, mas ou menos no mesmo tempo em que eecutou os 9 tratamentos anterores. Os 4 tratamentos adconas foram:( ; ±,44) e ( ±,44; ). Este é o Delneamento Composto Central. Tabela 7. Delneamento composto central para avalação do eemplo. Varáves orgnas Varáves codfcadas Resposta X Y (produção) X

34 Tabela 8. Análse da varânca de dados referentes à produção no delneamento composto central. FV GL SQ QM F Valor p Intercepto * Tempo * Tempo² * Temperatura * Temperatura² * Tempo Temperatura Resíduo Os efetos do modelo de segunda ordem ajustado aos dados codfcados bem como sua sgnfcânca estatístca são apresentados na Tabela 9. Tabela 9. Estmatva dos parâmetros do modelo de segunda ordem. Efetos Estmatvas Valor p Intercepto Tempo Tempo² Temperatura Temperatura² Tempo Temperatura.5.59 Tem-se a não sgnfcânca do efeto da nteração Tempo Temperatura, assm o modelos ajustado pode ser epresso por: Ŷ 79, ,9955,37645,55,34 3

35 Y Tabela. Análse de varânca para falta de ajuste. FV GL SQ QM F Valor p Falta de ajuste Erro puro (Resíduo) (7) (.4963).79 Pela Tabela verfca-se a não sgnfcânca da falta de ajuste, sto é, o modelo de segunda ordem é adequado para descrever o comportamento da varável resposta e tanto o resdual. QM F.Aj quanto o QM Resíduo podem ser utlzados como estmatva da varânca As fguras 4 e 5 representam a superfíce de resposta e o gráfco de contorno, respectvamente, para a resposta (produção) em função da temperatura e do tempo. É relatvamente fácl ver por estas fguras que a resposta é realmente o mámo global Fgura 4. Superfíce de Resposta do modelo de º Ordem. 3

36 Fgura 5. Gráfco de contorno do modelo de º Ordem. Sabendo que o modelo é aproprado para descrever os dados, podemos então encontrar a localzação do ponto estaconáro usando a solução geral apresentada.,9955,37645,5 b,55 B,5,34 O ponto estaconáro é a solução das equações, ou seja,,7397,934,9955,78364,934,8,55,633 s B b Em termos das varáves orgnas, o ponto estaconáro é dado por: X 85 5 X 75 5,78364 X 8,88,633 X 7,9383 O valor da resposta estmada no ponto estaconáro é: 33

37 ' Ŷs β ˆ + sb,9955 Ŷs 79,94 + [,78364,633] 79,39,55 Análse canônca Vamos epressar o modelo ajustado na forma canônca. Prmeramente precsamos encontrar os autovalores, λ e λ, que são as raízes do determnante da equação: B λ I,37645 λ,5,5,34 λ Resolvendo a equação: λ + λ +,3777,366 Temos: λ,9635 e λ, 443 A forma canônca do modelo ajustado fca: Ŷ 8,,9635w, 443w Vsto que as raízes resposta máma. λ são todas negatvas, conclu-se então que s é um ponto de 34

38 Referêncas BOX, G. E. P.; DRAPER, N. R. Emprcal model budng and response surfaces. New York: John Wley & Sons, 987. KHURI, A. I.; CORNELL, J. A. Response Surfaces: desgns and analyss. New York: Marcel Dekker Inc., 987. MONTGOMERY, D. C. Desgn and analyss of eperments. John Wley & Sons, New York,. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatístca aplcada e probabldade para engenheros; tradução Verônca Calado. ed. Ro de Janero: LTC, 8. 35