INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTATÍSTICA DE MEDIDAS14

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1 ITRODUÇÃO À AÁLISE ESTATÍSTICA DE MEDIDAS4 Sérgo Rcardo Munz Fundamentos da Matemátca II 3. Introdução: o que é estatístca e para que serve? 3. A estatístca no da-a-da 3.3 Eatdão, precsão, erros e ncertezas 3.4 Valor verdadero e meddas numércas da melhor estmatva e da dspersão 3.4. Meddas de tendênca central: méda, medana e moda Méda artmétca Méda ponderada Cálculo da méda com hstogramas Medana Moda Relação entre méda, medana e moda Méda geométrca Méda quadrátca: valor-rms 3.5 Meddas de dspersão: varânca e desvo-padrão 3.5. Ampltude de varação total: faa de valores 3.5. Desvo médo (absoluto) Varânca Desvo padrão Lcencatura em Cêncas USP/ Unvesp

2 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Introdução: o que é estatístca e para que serve? A maora das pessoas tem uma dea, anda que não a mas precsa ou correta, do que seja estatístca. Essa palavra é usada coloqualmente em város contetos, mas geralmente está assocada à dea de números, prevsões e comparações entre conjuntos de dados numércos ou meddas. Assm, de uma forma bem smplfcada, podemos pensar na estatístca como um conjunto de métodos matemátcos que nos permte organzar e analsar dados e nformações. Curosamente, mutos têm a tendênca de achar os métodos estatístcos um pouco confusos e dfíces de entender. Talvez sso seja consequênca da forma um pouco abstrata como, às vezes, ela é apresentada. A razão dessa abstração, mutas vezes, é permtr uma maor precsão e generaldade na defnção dos concetos matemátcos relevantes, que são bastante geras e aplcáves nas mas dversas áreas. este teto, porém, seguremos um camnho um pouco dferente, conduzndo a dscussão de uma forma mas prátca e aplcada. Sempre que possível, usaremos eemplos concretos de utlzação dessas ferramentas em condções típcas, que poderam ser tanto de um laboratóro de pesqusa quanto do seu da a da. O objetvo é aprovetar ao mámo os concetos ntutvos já estentes, ganhos através da eperênca cotdana, e un-los aos conhecmentos adqurdos neste curso, para construr e refnar os novos concetos necessáros para responder às perguntas que remos propor. 4. A estatístca no da a da Atualmente, até mesmo graças à mída, dversos concetos estatístcos passaram a fazer parte do nosso vocabuláro cotdano. Concetos como valor médo, desvo estatístco, ncerteza, projeções e probabldade, além de dversas formas de representação gráfca, são frequentemente vstos na mprensa e na lteratura técnca. São usados, por eemplo, como formas de apresentar relatóros de produtvdade ou desempenho de parâmetros da economa e do mercado fnancero, ou nas projeções de votação de eleções e até mesmo nas análses esportvas. São números assm que ndcam, por eemplo, as chances de sucesso de um tratamento médco, ou o rsco de epansão de uma nova epdema mundal. Enfm, estamos cercados por dados estatístcos por Fundamentos da Matemátca II

3 66 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo todos os lados. Estamos acostumados a vê-los nos jornas, revsta, nternet e televsão, mas quantas vezes você já parou para pensar no que esses números realmente sgnfcam? Como será que eles são produzdos e qual a sua confabldade? Você já percebeu que, frequentemente, tomamos decsões mportantes com basea nesses números? Mas o que é mesmo que eles representam? O objetvo deste teto é justamente desmstfcar alguns desses concetos, permtndo-lhes responder às questões levantadas aqu, e a mutas outras que surgrão ao longo deste teto. aturalmente, dada a lmtação de tempo e os objetvos prncpas deste nosso curso, faremos sso, necessaramente, de uma forma lmtada. Vamos concentrar-nos nos concetos e ferramentas prncpas, que são de uso frequente nas mas dversas áreas da cênca e, em partcular, no conteto de medções epermentas. 4.3 Eatdão, precsão, erros e ncertezas o teto Grandezas e meddas físcas, ntroduzmos o conceto de meddas de grandeza e das ncertezas assocadas às meddas. Vmos que a palavra erro tem um sgnfcado centífco que é dferente do coloqual engano. a cênca, os erros de meddas não são enganos ou falhas, mas representam uma nevtável ncerteza que acompanha toda e qualquer medda, por mas bem feta que ela seja. aquela ocasão, destacamos a estênca de dos tpos de erros de medda: os aleatóros ou estatístcos e os erros sstemátcos. Veremos agora como a análse estatístca pode ajudar-nos a quantfcar e mnmzar as ncertezas das meddas. o conteto que se segue, trataremos as palavras erro e ncerteza como snônmos, representando o desconhecmento ou gnorânca a respeto do valor eato de certa grandeza medda epermentalmente. Em contraste, é necessáro fazer uma mportante dstnção entre outras duas palavras que temos usado, até aqu, de forma um pouco coloqual. Essas palavras são: eatdão e precsão. Até este momento, não tínhamos as ferramentas necessáras para fazer a dstnção correta. Agora, graças à estatístca, teremos meos de entender sso de forma mas clara. 4 Introdução à análse estatístca de meddas

4 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 67 Eemplos Para entender melhor, vamos consderar um eemplo prátco. Suponhamos que dos estudantes tenham acabado de fazer uma prátca de laboratóro, onde medram o período de osclação de um pêndulo. Cada um fez, cudadosamente, o seu própro conjunto de meddas usando os mesmos nstrumentos. Em prncípo, parece razoável magnar que ambos deveram encontrar os mesmos resultados. Mas será que sso é mesmo razoável? Se ambos os estudantes usaram o mesmo método de medda, o mesmo pêndulo e cronômetros dêntcos, a epectatva é, de fato, a de que encontrem valores parecdos. Mas será que esses valores serão eatamente os mesmos? Para porar a stuação, apesar dos cudados que ambos afrmam terem tdo, os resultados apresentados por eles não são guas. Um deles reportou o período como,4 s enquanto o outro afrma que o período do pêndulo é,56 s. Qual desses valores está correto? Em quem devemos acredtar? Pelo que aprendemos até agora, sobre algarsmos sgnfcatvos, somos tentados a dar crédto ao segundo aluno, que parece ser mas precso, representando suas meddas com duas casas decmas. Mas a questão mportante aqu é se os algarsmos usados são, de fato, sgnfcatvos. a verdade, a forma como o resultado fo apresentado anda não nos permte chegar a uma conclusão. Pode ser que o prmero tenha sdo dsplcente ao não carregar o tercero dígto, ou talvez ele já tenha feto uma análse e percebdo que suas meddas não permtam epressar o valor com um dígto etra. Por outro lado, o segundo estudante pode mesmo ter sdo mas cudadoso nas suas meddas, ou pode apenas estar querendo mpressonar, adconando um dígto, sem ter certeza dele. Como, então, avalar a melhor medda? Em quem devemos confar? Se qusermos ser objetvos, a melhor alternatva é pedr aos alunos que mostrem seus resultados meddos, já que uma únca medda não nos permte avalar completamente a ncerteza assocada a ela. Como veremos adante, são necessáros, pelo menos, dos números (parâmetros) para caracterzar um conjunto de meddas que torne possível fazer um julgamento objetvo da confabldade da medda. Tabela 4. Meddas A:,4 s,5 s,8 s,6 s,39 s Meddas B:,53 s,56 s,55 s,58 s,56 s Os resultados obtdos pelos estudantes são mostrados na Tabela 4.. ela percebemos medatamente que, embora ambas tenham três dígtos, as meddas B parecem ser, de fato, mas precsas, pos a faa de varação dos valores é menor do que a dos observados nas meddas A. Essas observações ntutvas (baseadas apenas no senso comum) estão corretas, mas como epressar sso de forma quanttatva? Veremos sso mas adante. Fundamentos da Matemátca II

5 68 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo este momento, queremos entender melhor a relação entre essas meddas e os concetos de eatdão e precsão. Para sso faremos uso das ferramentas de vsualzação (gráfcos), vstos no teto Representação gráfca, que nos ajudarão a perceber sso de forma mas clara. A B C D Fgura 4.: Dferentes maneras de representar grafcamente um conjunto de meddas epermentas, útes para mostrar a varação e dspersão dos dados. Os gráfcos (A) e (B) representam um hstograma com a dstrbução (frequênca) com que os valores são observados numa certa faa. Os gráfcos (C) e (D) mostram os valores meddos em cada realzação do epermento. A lnha tracejada ndca o valor médo de cada conjunto de meddas. A dstrbução (dstânca) dos pontos em torno do valor médo dá uma dea da dspersão (varação) da medda. Podemos observar claramente, pelos gráfcos da Fgura 4., aqulo que a tabela já nos hava ndcado. Grafcamente, porém, fca mas fácl perceber que o conjunto de meddas B tem uma dspersão muto menor, em torno de um valor central. otamos, por eemplo, que no gráfco (d), os valores meddos se dstrbuem numa regão bem menor em torno da reta pontlhada, que ndca o valor médo daquele conjunto de meddas. Quando alguém dz que o valor médo de certa grandeza é X, é mas ou menos comum o entendmento de que esse valor é aquele que melhor representa ( na méda ) certo conjunto 4 Introdução à análse estatístca de meddas

6 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 69 de valores X: {X, X, X 3,...X n }. Iremos defnr, de um modo mas formal, o que entendemos eatamente por valor médo, mas já podemos perceber, na Fgura 4., que esse parâmetro soznho não dz toda a hstóra do epermento, e não é sufcente para avalar a confabldade das meddas. Como podemos, a partr da Tabela 4., quantfcar a dspersão dos valores observados grafcamente na Fgura 4.? Como podemos dar um valor numérco para a ncerteza assocada a cada conjunto de meddas epermentas? Veremos que uma forma convenente de fazer sso e, portanto, estabelecer a precsão de um conjunto de meddas, é usar o chamado desvo estatístco, que será dscutdo logo mas. Antes de entrarmos nos detalhes técncos, porém, vamos encerrar esta seção, retornando à pergunta ncal. Qual a dferença entre precsão e eatdão? Já vmos que a dspersão (varabldade) dos valores meddos está assocada à precsão da medda. Assm, quanto menor a dspersão ou faa de valores ncertos, maor será a precsão da medda. Mas sera sso o mesmo que eatdão? Sera correto dzer que as meddas B têm também maor eatdão do que as meddas A? A resposta, na verdade, é negatva. Para entender sso, vamos recorrer ao nosso conceto ntutvo do que sgnfca dzer que um valor é eato. Para a maora das pessoas esse conceto é claro: ele quer dzer que o valor meddo corresponde ao valor correto ou verdadero da grandeza. Outra stuação em que se usa essa palavra é quando se deseja dzer que não há ncertezas assocadas àquele valor. Por eemplo, neste últmo caso, alguém podera dzer que a velocdade da luz no vácuo é eatamente c m/s, pos esse é um valor defndo no SI (Sstema Internaconal) como o valor aceto (ou correto ). Por outro lado, se alguém fzesse um epermento para medr a velocdade da luz, por mas precso que fosse, não podera ndcar o valor meddo sem apontar a ncerteza epermental daquela medda. esse sentdo, um valor meddo nunca é eato. o caso das meddas, o termo eatdão corresponde a quão prómo do valor correto, ou assumdo como verdadero, uma medda ou conjunto de meddas realmente é do valor aceto como o correto. ote que esse é um conceto bem dferente do conceto de precsão, que está relaconado à dspersão (ou desvo estatístco) das meddas. Fnalmente, para esclarecer sso de vez, vamos recorrer a um dagrama clássco que pretende lustrar bem a dstnção entre os dos concetos. Para sso, observe a Fgura 4., na qual é mostrado um alvo de tros, onde os pontos ndcam o local de acerto dos tros em cada caso. esse dagrama, a stuação (b) é bastante precsa, porém, os tros estão longe do centro do alvo, enquanto (c) é pouco precso, mas acurado (valor médo é prómo do valor esperado). A melhor stuação Fundamentos da Matemátca II

7 70 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo ocorre em (a), onde há precsão (pouca dspersão) e acuráca (eatdão prómo do valor correto), enquanto a por stuação é (d), onde há pouca precsão e pouca acuráca. a b c d Fgura 4.: Dagrama comparatvo lustrando os concetos de precsão e eatdão. Os pontos ndcam os tros num alvo. (a) Representa um conjunto precso e eato, enquanto (b) é precso, mas pouco eato, pos a dspersão é pequena, mas está longe do centro do alvo. (c) Representa uma stuação menos precsa, porém, cujo valor médo é razoavelmente eato (prómo do centro do alvo). Fnalmente, (d) representa a stuação onde há mprecsão e pouca eatdão. Resumndo, precsão não é tudo. Por eemplo, você pode ser muto precso ao jogar o papel no lo, mas anda assm errar sempre no mesmo lugar (fora do cesto), smlar à Fgura 4.b. Isso não conta pontos a seu favor. Por outro lado, alguém menos precso, embora acerte cada hora num lugar dferente (Fgura 4.c), pode eventualmente acertar uma vez ou outra dentro do cesto, e anda assm consegur um resultado, na méda, melhor que o seu. o caso das meddas, em relação aos tpos de erros, a acuráca (eatdão) é mas afetada pelos erros sstemátcos enquanto a precsão está lgada ao desvo estatístco dos erros aleatóros. Enquanto o segundo sempre pode ser melhorado com um número maor de meddas, o prmero não pode. a prátca, porém, a determnação da acuráca, e por consequênca dos erros sstemátcos, não é tão smples como ndcado na Fgura 4., pos, ao fazer uma medda, em geral, não se conhece o seu valor verdadero (não há alvo). Esse valor só pode ser nferdo a partr do valor mas provável das meddas. É aí que entram os métodos estatístcos, como veremos a segur. 4.4 Valor verdadero e meddas numércas da melhor estmatva e da dspersão o teto Representações gráfcas, nós aprendemos como usar representações gráfcas para facltar a vsualzação e dar sentdo aos dados num conjunto numérco. Outra forma de fazer sso é através de meddas numércas representatvas desse conjunto de dados. Dos tpos mportantes de meddas numércas obtdas através dos métodos estatístcos são: as meddas de tendênca (localzação) central e as meddas de varação ou dspersão de valores em torno do valor central. Cada uma delas pode fornecer nformações mportantes sobre todo o conjunto de dados. 4 Introdução à análse estatístca de meddas

8 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Meddas de tendênca central: méda, medana e moda As meddas de tendênca central fornecem um valor numérco representatvo do valor médo (central) de uma dstrbução de valores. Estem dferentes tpos de médas, e cada uma delas tem suas vantagens e desvantagens, que só vão depender dos dados e dos fns desejados. Os tpos mas comuns de meddas de tendênca central são: a méda artmétca (ou, smplesmente, méda ou valor médo), a medana, a moda, a méda geométrca e a méda quadrátca Méda artmétca A méda artmétca ou méda de um conjunto de valores X: {X, X, X 3,..., X n }, usualmente representado por X, é defnda por: X + X + X + + X X X 3 X 4. Eemplo A méda dos números {3,, 5, 7, 0} é: Eemplos 3 X , Méda ponderada Quando os valores X, X,...X K, têm assocados a eles certos fatores de peso, ou ponderação, w, w,..., w K, que os dstnguem em mportânca relatva dentro de um conjunto de valores, a méda ponderada é defnda por: wx + wx + wx wkx X w + w + w + + w 3 K K K K wx w 4. Fundamentos da Matemátca II

9 7 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Eemplo Se as atvdades onlne têm peso 40 e as presencas, peso 60, qual é a méda ponderada de uma aluna com nota onlne 9,5 e presencal 6,0? 40 95, , X 74, Cálculo da méda com hstogramas Quando os valores X, X,..., X K, ocorrem com frequêncas, f, f,..., f K, respectvamente, a méda artmétca é dada por: fx + fx + fx fkx X f + f + f + + f 3 K K K K fx f 4.3 ote que esse tpo de agrupamento é equvalente a um hstograma de frequêncas, como vsto anterormente, e o cálculo da méda é dêntco ao da méda ponderada. esse caso, os pesos são as frequêncas de ocorrêncas de um dado valor X. Eemplo 3 Se os valores 5, 8, 6, ocorrem com frequêncas 3,, 4 e, respectvamente, a méda desses valores será: 35 X , Medana A medana de um conjunto de números ordenados é o valor central (localzado no meo da sequênca ordenada), que dvde o conjunto em, apromadamente, 50% dos valores abao e 50% acma dele. 4 Introdução à análse estatístca de meddas

10 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 73 a prátca, para determnar esse valor, observa-se que, quando o número de elementos for ímpar, a medana será o elemento do meo da sequênca ordenada. Quando o número de elementos for par, a medana será a méda artmétca dos dos valores centras. Eemplo 4: o conjunto de números {,, 3, 4, 5, 6, 7} a medana é 4. Eemplo 5: o conjunto de números {,, 3, 4, 6, 6, 7, 8} a medana é Moda A moda de um conjunto é o elemento que ocorre com maor frequênca, sto é, o elemento mas comum. A moda pode não estr (quando todos ocorrem com a mesma frequênca) e, mesmo que esta, pode não ser únca (quando há mas de um elemento com frequênca máma). Eemplo 6 o conjunto de números {,, 3, 5, 5, 5, 8, 9} a moda é 5. Eemplo 7 O conjunto {, 3, 5, 7, 5, 8, 9} não tem moda. Eemplo 8 o conjunto de números {,,, 5, 7, 7, 3} as modas são e 7. Este tpo de conjunto (ou dstrbução) é chamado bmodal. um hstograma de frequênca, a moda será sempre o valor (ou valores) que ocorre(m) com maor frequênca. Dstrbuções com um únco pco (valor mámo) são dtas unmodas. Fundamentos da Matemátca II

11 74 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Relação entre méda, medana e moda o caso de uma dstrbução unmodal smétrca as três meddas de tendênca central terão valores bem prómos, e no caso perfetamente smétrco elas rão sempre concdr. Isso não ocorre se a dstrbução for assmétrca ou multmodal. Para curvas de frequênca (hstograma) unmodal moderadamente assmétrcas, seja com vés postvo ou negatvo, este uma relação empírca que relacona os valores dessas três meddas: Méda Moda 3 (Méda Medana) 4.4 A Fgura 4.3 apresenta uma lustração apromada das posções relatvas dessas três meddas de tendênca central para dferentes dstrbuções. a b c Fgura 4.3: comparação das posções das meddas de tendênca central em dferentes dstrbuções. (a) Dstrbução perfetamente smétrca: todas as meddas concdem. (b) e (c) Dstrbuções assmétrcas, envesadas à esquerda e dreta, respectvamente: as posções da méda, medana e moda são dferentes e seguem apromadamente a relação empírca apresentada acma. Comentamos, anterormente, que cada uma dessas meddas tem suas vantagens e desvantagens, dependendo do conjunto de dados e do propósto da medda. Vamos agora dscutr melhor alguns desses casos, para que você entenda a sgnfcânca deles e evte ser vítma do uso errado e/ou dstorcdo de nformações estatístcas, com respeto às meddas de tendênca central. Como será dscutdo depos, no lmte onde (números grandes de amostra), a méda será, em geral, a melhor estmatva do valor verdadero (ou aceto como verdadero) de uma medda físca onde só estem erros estatístcos ou aleatóros. Mas, no lmte em que 0 (números pequenos), que é o mas prómo da realdade prátca (onde temos uma amostra lmtada de uma população ou unverso de possbldades), usar a méda como medda de localzação central não é sento de problemas. 4 Introdução à análse estatístca de meddas

12 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 75 Por eemplo, num conjunto pequeno de meddas, se houver uma com valor muto dferente dos demas (seja muto maor ou menor), sso rá causar um vés do valor médo em dreção a esse valor destoante dos demas. Eemplo 9 Consdere que num conjunto de meddas tenham sdo observados os valores X {,3,3,4,3}. O valor médo desse conjunto é X 5 5, enquanto a méda apenas dos quatro prmeros valores é X 4 3. Portanto, o valor 3, claramente destoante das demas meddas que parecem se agrupar em torno do valor 3, tem soznho um grande efeto no cálculo da méda. Esse caso lustra a fragldade da méda de uma amostra pequena para dados espúros ( outlers ), que podera nclur um erro acma do normal ou até mesmo de uma eventual falha do operador durante a medda. Isso já não ocorre com a moda e a medana, que são meddas centras bem mas robustas. o eemplo acma, por eemplo, ambas concdram com a méda X 4 dos prmeros pontos. A moda tem anda a vantagem de poder ser usada até mesmo com grandezas que não são numércas como, por eemplo, respostas de questonáros, como os censos do IBGE ou sobre ntenção de votos, onde as categoras podem ser nomes. Por outro lado, a moda nem sempre é bem defnda (pode não estr) e tanto ela quanto a medana são mas dfíces de calcular num caso geral, pos elas egem a ordenação dos dados, o que é custoso em amostras grandes. Já a méda é sempre defnda num conjunto numérco, leva em conta todos os dados do conjunto, e é melhor justamente em amostras grandes Méda geométrca A méda geométrca G de um conjunto de valores {X, X, X 3,..., X } é defnda como a raz de ordem do produto desses valores: G X X X 3 X 4.5 Eemplo 0 A méda geométrca dos números, 4 e 8 é: 3 3 G Fundamentos da Matemátca II

13 76 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Méda quadrátca: valor-rms A méda quadrátca de um conjunto {X, X, X 3,..., X } é defnda como a raz quadrada da méda dos valores ao quadrado: X X ( X ) 4.6 Eemplo A méda quadrátca dos números, 4 e 8 é: X , 3 A méda quadrátca é muto útl nos casos em que os valores seguem uma dstrbução smétrca centrada no valor zero, onde a méda artmétca, moda e medana teram valor nulo (zero). Um eemplo prátco dsso é a tensão elétrca da sua casa, que oscla perodcamente de forma senodal, e na méda (smples) tem valor nulo, mas não é sso que você va sentr se puser os dedos dretamente na tomada. Para epressar o valor efetvo da tensão elétrca alternada, por eemplo, utlza-se o chamado valor quadrátco médo, ou valor-rms (que vem do nglês: root mean square ). Esse tpo de medda estatístca é usado também em outras áreas da físca e da engenhara. 4.5 Meddas de dspersão: varânca e desvo-padrão Como fo vsto, embora o valor médo seja uma medda mportante, ele soznho não fornece toda a nformação relevante sobre um conjunto de meddas. Vmos um eemplo dsso na Fgura 4., onde as meddas A e B têm característcas bem dferentes com relação à méda. 4 Introdução à análse estatístca de meddas

14 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 77 Também menconamos que a precsão estava relaconada ao desvo estatístco das meddas. Vamos agora esclarecer o que sso sgnfca. Apresentaremos agora as chamadas meddas de dspersão ou varação de um conjunto de valores. Essas meddas servem para nformar o grau em que os dados numércos tendem a se dspersar (varar) em torno do valor médo. Fornecem, portanto, uma medda da sgnfcânca e/ou confabldade do valor médo de um conjunto de números. Assm como no caso das meddas de tendênca (localzação) central, estem váras meddas de dspersão. Algumas das mas comuns são: ampltude total, desvo médo, varânca e o desvo-padrão Ampltude de varação total: faa de valores A ampltude total de um conjunto de valores {X, X, X 3,..., X } é a dferença entre os valores mas altos e os mas baos do conjunto. ( ) X X ma mn 4.7 Eemplo a dscussão sobre a Tabela 4., as ampltudes totas das meddas A e B são dadas a segur: Α ( 6, s, 8 s ) 033, s e B ( 58, s 53, s ) 0, 05 s 4.5. Desvo médo (absoluto) O conceto de desvo em estatístca está dretamente lgado ao conceto de erro de meddas ou varabldade (nos casos em que as dferenças decorrem de razões naturas). Vmos que, em geral, ao fazer uma medda, não se conhece o seu valor verdadero. A estmatva desse valor é dada pela méda das meddas. Em termos estatístcos, o desvo é defndo como a dferença entre o valor de uma medda e o valor médo do conjunto de meddas onde ela se nclu. Fundamentos da Matemátca II

15 78 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo δ ( X X) 4.8 O desvo médo de um conjunto de valores {X, X, X 3,..., X }, é defndo por: DM X X 4.9 onde X é a méda do conjunto e X X é o valor absoluto de δ. Eemplo 3 Determnar o desvo médo do conjunto {, 3, 5, 7}: X DM Pode-se defnr também o desvo medano absoluto smplesmente substtundo a méda artmétca pela medana na defnção acma. Os desvos medano e médo utlzam a função módulo para calcular o valor absoluto dos desvos, e assm evtam o cancelamento mútuo entre os valores postvos e negatvos dos desvos. Devdo, porém, às suas característcas matemátcas, o uso da função módulo é menos convenente no estudo das propredades dos desvos estatístcos. Por sso, é mas comum o uso de outra medda de dspersão que utlza o quadrado dos desvos em relação à méda Varânca A varânca de um conjunto de dados {X, X, X 3,..., X } é defnda por: Var ( X ) ( δ ) X X ( ) Introdução à análse estatístca de meddas

16 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 79 É possível demonstrar que a defnção 4.0 é equvalente à forma alternatva ndcada abao, que frequentemente é mas convenente, de epressar a varânca: Var ( X ) X ( X) X ( X) X ( X) 4. sto é, a varânca é a dferença entre a méda quadrátca e o quadrado da méda. A vantagem dessa forma alternatva é uma lgera facldade nos cálculos, que se tornam um pouco menos trabalhosos. Ambos os resultados são dêntcos. Eemplo 4 Determnar a varânca do conjunto {3, 4, 5, 6, 7}: 3 X ( 3 5) + ( 4 5) + ( 5 5) + ( 6 5) Var ( X ) 5 0 Var ( X ) 5 ( ) ( ) + ( ) + ( ) + () + ( ) Embora seja muto útl, e resolva a questão dos valores absolutos (postvos) dos desvos, a varânca tem a nconvenênca de não ter a mesma undade das meddas e dfcultar a comparação dreta entre essa medda e o conjunto de dados orgnas. Para soluconar sso, utlza-se o desvo-padrão Desvo padrão O desvo-padrão é smplesmente a raz quadrada da varânca. Assm, para o conjunto de valores {,, 3,..., }, o desvo-padrão é defndo por: σ ( δ) ( ) ( ) ( ) 3. Fundamentos da Matemátca II

17 80 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Segundo essa defnção, o desvo padrão é o valor-rms dos desvos. Eemplo 5 Determnar o desvo-padrão do conjunto {,, 9, 6, 7}: X σ X σ X ( 9) + ( 9) + ( 9 9) + ( 6 9) ( ) + ( ) ( ) , 5 5 O desvo padrão é uma medda muto útl da dspersão de um conjunto de dados (amostra, ou população), caracterzando a confabldade de um conjunto de meddas. De fato, se as fontes de ncerteza são pequenas e aleatóras, num conjunto de mutas meddas, os valores estarão dstrbuídos em torno do valor médo, segundo uma dstrbução normal (gaussana). esse caso, apromadamente de 68% dos resultados estão dentro de uma dstânca σ do valor médo, e 95% dentro de s. É sso que nos permte, na prátca, adotar o desvo padrão como uma boa estmatva do erro ou ncerteza de um conjunto de meddas. Amostra versus População: dferentes defnções do desvo-padrão Um ponto que costuma causar muta confusão com relação ao cálculo do desvopadrão é a estênca de uma segunda defnção para o desvo-padrão de uma amostra pequena, sto é, quando não é um número grande. esses casos, defne-se o desvo-padrão de uma amostra como: s δ ( ) 4.3 Essa dstnção surge no conteto da chamada nferênca estatístca, cujo objetvo é fazer a melhor estmatva de uma população grande, a partr de uma amostragem de dados bem menor. Estem argumentos teórcos em favor das vantagens da defnção 4.3, que se aplca a uma amostra lmtada, em vez da 4., que representa o desvo-padrão, σ, de uma população (quando ). 4 Introdução à análse estatístca de meddas

18 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo 8 ão entraremos nos detalhes dessa dscussão, eceto para dzer que, se o número de amostras for razoavelmente grande (pelo menos maor do que 5), a dferença, na prátca, é pequena. Quanto maor o número de amostras, menor a dferença entre as duas defnções e no lmte elas passam a ser dêntcas. a prátca, por eemplo, se 5, a dferença entre, e já não é muto sgnfcatva na maora dos casos. É mportante, porém, estar cente das duas defnções e, quando usá-las, dear claro a qual delas você se refere para que outros possam verfcar seus cálculos. Eemplo 6 Vamos retornar agora ao problema da Tabela 4., onde tínhamos um conjunto de meddas sobre as quas desejávamos decdr qual sera a correta. Podemos usar agora todas as ferramentas estatístcas que aprendemos para tentar responder a essa pergunta. Os valores médos e desvos estatístcos de ambas as meddas são: Meddas A: t 44, s ; t, 45 s ; s 03, s ; σ 0, s ; DM 00, s; Faa 0,33 s. A A A A A Meddas B: t 56, s ; t 56, s ; s 00, s ; σ 0, 0 s ; DM 00, s; Faa 0,05 s. B B B B B Dante desses números, é possível entender porque os resultados dos alunos foram epressos daquela forma. Os alunos epressaram seus resultados de acordo com a ncerteza (desvo-padrão) de suas meddas. Podemos verfcar também que as meddas B são mesmo mas precsas. Mas os valores centras delas não estão dentro dos desvos das duas, ndcando um possível erro sstemátco numa delas. De fato, após ambos repetrem suas meddas um número bem maor de vezes e também compararem os resultados com as meddas físcas do pêndulo, concluu-se que o período correto do pêndulo devera ser cerca de,50 s. Eventualmente, eles descobrram que o cronômetro B estava mal calbrado. Esse eemplo lustra bem a dstnção entre precsão e eatdão ou acuráca, mostrando que mesmo as meddas muto precsas podem não ser eatas, e que a análse cudadosa dos dados, usando as ferramentas estatístcas que aprendemos aqu, pode ajudar a entender o porquê. Fundamentos da Matemátca II

19 8 Lcencatura em Cêncas USP/Unvesp Módulo Resumo do teto ome Médas ome Desvos Méda artmétca Desvo médo (valor absoluto) DM Méda ponderada K K w w Varânca Var ( ) σ σ ( ) ( ) Méda geométrca G 3 Desvo padrão (população) σ σ ( ) ( ) Méda quadrátca ( ) Desvo padrão (amostra) s ( ) Agora é a sua vez... Contnue eplorando os recursos de aprendzagem dsponíves no Ambente Vrtual de Aprendzagem e realze a(s) atvdade(s) proposta(s). Referêncas Barford,.C. Epermental Measurements: precson, error and truth. Addson- Wesley Publshng Company, Inc., 967. Magalhães, M..; Lma, A. C. P. de. oções de Probabldade e Estatístca. 4. ed. São Paulo: Edusp, 00. Spegel, M. R. Estatístca. São Paulo: McGraw-Hll do Brasl, 985. Taylor, J. R. An ntroducton to error analyss.. ed. Unversty Scence Books, Introdução à análse estatístca de meddas

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