TEORIA DA PROBABILIDADE:

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1 ESTATÍSTICA

2 1 INTRODUÇÃO Desde a antgudade, város povos já regstravam o número de habtantes, de nascmentos, de óbtos, azam estmatvas das rquezas ndvdual e socal, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo, cobravam mpostos e realzavam nquértos quanttatvos por processos que, hoje, chamaríamos de ESTATÍSTICA. Na Idade Méda colham-se normações, geralmente com naldades trbutáras ou bélcas. A partr do Século XVI começaram a surgr as prmeras análses sstemátcas de atos socas, como batzados, casamentos, uneras, orgnando as prmeras tábuas e tabelas e os prmeros números relatvos. No Século XVIII começaram a surgr os estudos de tas atos que oram adqurndo, aos poucos, eção verdaderamente centíca. Godoredo Achenwall batzou a nova Cênca (ou método) com o nome de ESTATÍSTICA, determnando o seu objetvo e suas relações com as cêncas. Atualmente, a denção de Estatístca não é únca, pos abrange muto mas do que um traçado de gráco e cálculos de meddas. Uma denção sera: A Estatístca é uma parte da Matemátca Aplcada que ornece métodos para a coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados e para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões (CRESPO, 00, p.1). Ramos da Estatístca ESTATÍSTICA DEDUTIVA ou DESCRITIVA: Trata da coleta, da organzação e da descrção dos dados. TEORIA DA PROBABILIDADE: Proporcona uma base raconal para ldar com stuações nluencadas por atores que envolvem o acaso. ESTATÍSTICA INDUTIVA ou INFERENCIAL: Trata da análse e da nterpretação desses dados. Método Estatístco Método é o camnho pelo qual se chega a determnado resultado (exstem outras denções). O método estatístco, dante da mpossbldade de manter as causas constantes, admte essas causas presentes varando-as, regstrando essas varações e procurando determnar, no resultado nal, que nluêncas cabem a cada um deles. Fases do método estatístco: Coleta de dados, crítca dos dados, apuração dos dados, exposção dos dados, análse dos resultados Objetvo da ESTATÍSTICA O objetvo últmo da estatístca é trar conclusões sobre o todo (população) a partr de normações ornecdas por parte representatva do todo (amostra). Assm, realzadas as ases anterores (Estatístca Descrtva), procede-se a análse dos resultados obtdos, através dos métodos da Estatístca Indutva ou Inerencal, que tem base a ndução ou nerênca, e tra-se desses resultados conclusões e prevsões. Alguns concetos undamentas: POPULAÇÃO: É um conjunto de ndvíduos ou objetos que apresentam pelo menos uma característca em comum. A população pode ser nta ou nnta, dependendo de o número de elementos ser nto ou nnto. Na prátca, quando uma população é nta, com um número grande de elementos, consdera-se como população nnta. AMOSTRA: Consderando-se a mpossbldade, na maora das vezes, do tratamento de todos os elementos da população, retra-se uma amostra (subconjunto nto de uma população), de acordo com alguma técnca de amostragem. VARIÁVEIS QUALITATIVAS: podem ser separados em derentes categoras, atrbutos, que se dstnguem por uma característca não numérca. Dvde-se em: I Nomnal: São dados caracterzados por rótulos ou categoras. Por exemplo: sexo, estado cvl, cor dos olhos, etc. II Ordnal: são dados caracterzados por uma ordem, mas não podem ser dendos por valor numérco. Exemplo: Nível de escolardade (Fundamental, médo, superor),

3 ntensdade da luz (muto orte, orte, méda, suave, muto suave), etc. VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: Consstem em números que representam contagens ou meddas. Dvdem-se em: I Dscretas: Resultam de um conjunto nto, enumerável, de valores possíves. Exemplo: número de lhos. II Contínuas: Resultam de um número nnto de valores possíves, que podem ser assocados a pontos em uma escala contínua. Exemplo: peso, altura. EXERCÍCIOS Classque cada uma das varáves a segur em qualtatva nomnal ou ordnal e em quanttatva dscreta ou contínua: a) Cor dos cabelos b) Números de lhos c) O ponto obtdo ao se jogar um dado d) Saldo em uma conta corrente (R$) e) Grau de nstrução ) Classe econômca g) Herarqua de uma empresa h) Dâmetro de peças produzdas ) Comprmento de peças produzdas j) Tempo de espera na la do banco (em mnutos) k) Nome dos países exportadores de petróleo l) Grau de satsação dos clentes de uma loja m) nº de ações negocadas na bolsa de valores n) Nº de alunos de uma unversdade o) Estatua dos alunos de uma escola p) Precptação pluvométrca durante um ano q) Nº de volumes de lvros exstentes nas bblotecas de Rondôna r) Índce de lqudez das ndústras de Rondôna. NÚMEROS APROXIMADOS E ARREDONDAMENTO DE DADOS Como sabemos, os números resultam de uma mensuração (no sentdo mas amplo), a qual só pode ser exata quando assume a orma de contagem ou numeração, em números naturas, de cosas ou undades mínmas ndvsíves. Em tas casos, a varável pode assumr valores dscretos ou descontínuos (somente). Arredondamento de Dados Mutas vezes, é necessáro ou convenente suprmr undades nerores às de determnada ordem. Esta técnca é denomnada ARREDONDAMENTO DE DADOS. De acordo com a resolução número 886/66 da Fundação IBGE, o arredondamento é eto da segunte manera: a) Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 0, 1,, ou, ca nalterado o últmo algarsmo a permanecer (arredondamento por alta). Exemplo: 5, 5, 58,8 58,8 0,85 0,85,0075,0075 b) Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 6, 7, 8 ou 9, aumenta-se de uma undade o algarsmo a permanecer (arredondamento por excesso). Exemplo:,87,9,9, 5,089 5,09 7,99 7 c) Quando o prmero algarsmo a ser abandonado é 5, há duas soluções: I - Se ao 5 segur em qualquer casa um algarsmo derente de zero, aumenta-se uma

4 undade ao algarsmo a permanecer. Exemplos:,5, 76,500 76, 5,6501 5,7,851,9 II - Se ao 5 segurem zeros ou se o 5 or o últmo algarsmo a ser conservado só será aumentado de uma undade se or ímpar. Exemplos:,75,8,85,8,65,6,7500,8 Obs: Nunca devemos azer arredondamentos sucessvos; é convenente prmero somar e depos azer o arredondamento. EXERCÍCIOS 1) Arredonde para o décmo mas próxmo (uma casa decmal): a),8 c), e) 6,89 g) 0,51 ) 89,99 b),65 d) 8,5 ) 5,550 h),97 j),75 ) Arredonde para o centésmo mas próxmo (duas casas decmas): a) 6,77 c) 99,951 e) 5,650 b) 1,8 d) 8,55 ),85 ) Arredonde para a undade mas próxma (nenhuma casa decmal): a) 6,6 c) 67,5 e) 18,5 b) 9,98 d) 68, ) 9,9. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS A dstrbução de reqüênca consttu-se no tpo de tabela mas mportante para a Estatístca Descrtva. Dstrbução de reqüênca sem ntervalos de classe (varável dscreta) Quando se trata de varável dscreta de varação relatvamente pequena, cada valor pode ser tomado como um ntervalo de classe (ntervalo degenerado). Dados Brutos: O conjunto dos dados numércos obtdos após a crítca dos valores coletados consttu-se nos dados brutos (tabela prmtva). Exemplo: Rol: É o arranjo dos dados brutos em ordem de reqüênca crescente ou decrescente. Exemplo: Ampltude total (At) ou Range (R): É a derença entre o maor e o menor valor observados. No exemplo anteror temos: At At 15. Freqüênca absoluta ( ): É o número de vezes que o elemento aparece na amostra, ou o número de elementos pertencentes a uma classe. No exemplo anteror temos: F ( 1 ), F( 6) 1, etc. Freqüênca absoluta acumulada (F ): É a soma das reqüêncas dos valores nerores ou guas ao valor dado. Freqüênca relatva (r ): São os valores das razões entre as reqüêncas absolutas e a reqüênca total.

5 Freqüênca relatva acumulada (F R ): É a soma das reqüêncas relatvas dos valores nerores ou guas ao valor dado. Exemplo: x F r F R 1 0,1000 0, ,0667 0, ,0667 0, 9 0,0667 0, ,1 0, ,1000 0, ,0 0, ,0 0, ,1000 0, ,0 0,7 5 0,1000 0,8 7 0,0667 0, ,0667 0, ,0 1,0000 Σ 0 1,0000 Representação gráca Hstograma 5 Dstrbução de reqüênca com ntervalos de classe (varável contínua) Número de classes(k): Não há uma órmula exata para o cálculo do número de classes. A segur, uma sugestão: k 5 para n 5 e k n, para n > 5. Exemplo: k 55 7,, podemos ter 6,7 ou 7 classes. At Ampltude das classes (h): É dada pela relação h k Lmtes das classes: Exstem dversas maneras de expressar os lmtes das classes. Porém remos utlzar a segunte L l. Exemplo: 10 1 compreende todos os valores de 10 até antes de 1. L lmte superor da classe; l lmte neror da classe. Ponto médo das classes (x ): É a méda artmétca entre o lmte superor e o lmte neror da classe. Assm, se a classe or 10 1, tem-se: L + l x 11, como ponto médo da classe. Exemplo: Dada a estatura de 0 alunos do Colégo A, pede-se: a) O tamanho da amostra n 0 b) A ampltude total At c) O número de classes k 0 6,, podemos ter 5, 6 ou 7 classes. d) A ampltude das classes Como At e não é dvsível por 5, 6 ou 7, nesse caso precsaremos ajustar seu valor At + 1 h 6 e) A dstrbução de reqüênca contendo: classes, reqüênca, ponto médo, reqüênca acumulada e reqüênca relatva.

6 6 ESTATURA DE 0 ALUNOS DO COLÉGIO A Classes x F r F R ,10 0, 0,8 0,0 0,1 0,08 0,10 0, 0,60 0,80 0,9 1,00 Σ ,00 Representação gráca a) Hstograma e polígono de reqüênca b) Polígono da reqüênca acumulada EXERCÍCIOS 1) Dada a amostra:,,, 5, 7, 6, 6, 7, 7,, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6. Pede-se: o Rol; ampltude da amostra; a dstrbução de requênca contendo requênca absoluta, requênca absoluta acumulada, requênca relatva e requênca relatva acumulada; o gráco das requêncas; a porcentagem de elementos maores que 5. ) Consdere os dados obtdos pelas meddas das alturas de 100 ndvíduos (dadas em cm): Pede-se: a ampltude da amostra; o número de classes; a dstrbução de reqüênca contendo as classes, as reqüêncas absolutas, as reqüêncas absolutas acumuladas, as reqüêncas relatvas, as reqüêncas relatvas acumuladas e os pontos médos das classes; o hstograma; o polígono de reqüênca; o polígono de reqüênca acumulada.

7 . MEDIDAS DE POSIÇÃO 7 As meddas de posção mas mportantes são as MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL que recebem tal denomnação pelo ato de os dados observados tendem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centras. São meddas de tendênca central: MÉDIA, MEDIANA e MODA. As outras meddas de posção são as SEPARATRIZES, que englobam: a própra MEDIANA, os QUARTIS, os DECIS e os PERCENTIS..1 Méda Artmétca X Para dados não agrupados: Sejam X 1, X, X,..., X n, portanto n valores da varável X. A méda artmétca SIMPLES de X representada por X é denda por: n X X 1 X, ou anda X n n Exemplo: Sabendo-se que a produção letera de uma vaca, durante uma semana, o de 10, 1, 1, 15, 16, 18 e 1 ltros, temos, para produção méda da semana: X X 1 ltros n 7 7 Dados agrupados Sem ntervalos de classe: Quando os dados estverem agrupados (sem ntervalos de classe) numa dstrbução de reqüênca usa-se a méda artmétca dos valores X 1, X, X,..., X n, PONDERADOS pelas representatvas reqüêncas absolutas: F 1, F, F,..., F n. Assm, x x X, ou anda X n Exemplo: Consderando a dstrbução relatva a amílas de quatro lhos, tomando para varável o número de lhos do sexo masculno. Qual é a méda de lhos masculnos, por amíla? Nesse caso tem-se: Nº. de mennos (x ) Nº. de amílas ( ) Σ Nº. de mennos (x ) Nº. de amílas ( ) x * Σ 78 x x 78 X, mennos n Interpretação: O valor médo, mennos sugere, neste caso, que o maor número de amílas tem mennos e mennas, sendo, porém, a tendênca geral de uma leve superordade numérca em relação ao número de mennos.

8 Com ntervalos de classe: Neste caso, convencona-se que todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo, e determnamos a méda artmétca ponderada por meo da órmula: x x n ou Exemplo: Determnar a méda da dstrbução: Renda Famlar Mlhares de R$ Nº de amílas Neste caso tem-se: x Classes x x * Σ 0-68 X x n x x 68 6,7 0 Como a renda amlar o dada em mlhares de reas, conclu-se que a renda méda desse grupo de 0 amílas é de R$ 6.700,00. Emprego da méda: A méda é utlzada quando deseja-se obter a medda de posção que possu a maor establdade ou quando houver a necessdade de um tratamento algébrco ulteror. 8. Medana (Md) A medana é outra medda de posção denda como o número que se encontra no centro de uma sére de números, estando segundo uma ordem. Medana para dados não agrupados e dstrbução de reqüênca de varável dscreta se n é a quantdade de elementos, têm-se dos casos a consderar: n +1 I - Se n or ímpar, a medana será o elemento de ordem. Exemplo 1: Dada a sére de valores 5, 1, 10,, 18, 15, 6, 16, 9. Ordenação dos elementos:, 5, 6, 9, 10, 1, 15, 16, 18. n Como exstem 9 (nove) elementos, então o elemento de ordem 5º elem., logo Md 10. Exemplo : Dada a dstrbução: x F Como n 11 (ímpar), logo a medana (Md) será o n elemento de ordem 6 º elem. Para 5 9 encontrá-lo, abre-se a coluna de reqüênca acumulada 11 (F ). Neste caso será Md. Σ 11 II - Se n or par, a medana será a méda entre os elementos centras (de ordem n e n + 1).

9 Exemplo 1: seja a sére, 6, 7, 10, 1, 1, 18, 1. Então: Md 11 Exemplo : Dada a dstrbução: x F n (par), então, a medana será a méda entre os n elementos de ordem n e n + 1, sto é: 1º n e º 90 Neste caso, o 1º corresponde a 87 e o º também Σ corresponde a Logo, Md 87 Medana para o caso de varável contínua, ou seja, agrupamento de dados em classes. Procedmentos: I) Calcula-se a ordem n. II) Pela F ac dentca-se a classe que contém a medana (classe medana). n. h III) Utlza-se a órmula Md l Md +, onde: Md L Md lmte neror da classe medana. n tamanho da amostra ou número de elementos. Σ soma de reqüêncas anterores à classe medana. H ampltude da classe medana. Md reqüênca da classe medana. Exemplo: Dada a dstrbução: x F n 58 9º, logo a classe medana é a tercera Md , Σ Moda (Mo) Denomnamos moda o valor que ocorre com maor reqüênca em uma sére de valores. Moda para dados não-agrupados Exemplos: I) Para a seqüênca (7, 8, 9, 10, 10, 11, 1, 1, 15), Mo 10 (modal) II) Para a seqüênca (,,,, 5, 6, 7, 7, 8, 9), Mo e 7 (bmodal) III) Para a seqüênca (, 5, 8, 10, 11, 1), não exste moda (amodal) Moda para dados agrupados Para dstrbuções de reqüênca sem ntervalos de classe é possível determnar medatamente a moda: basta vercar o valor da varável de maor reqüênca. Para a dstrbução a segur, por exemplo, a varável 87 é a moda (M o 87), pos apresenta a maor reqüênca (15).

10 10 x Para dados agrupados em classes, exstem dversas órmulas para o cálculo da moda. Será apresentado a segur uma que é bastante usada, a órmula de CZUBER. Procedmentos: I Identcar a classe modal (aquela que possur maor reqüênca absoluta). II Aplcar a órmula de Czuber: Δ1 Mo l +. h, onde: Δ1 + Δ l lmte neror da classe modal; Δ 1 derença entre a reqüênca de classe modal e a medatamente anteror. Δ derença entre a reqüênca da classe modal e a medatamente posteror. h ampltude de classe. Exemplo: Em uma sala de aula de 0 alunos o medda a estatura de cada um, conorme tabela abaxo. Determne qual a estatura predomnante na sala. Estaturas (cm) F A classe modal é a ª Δ l Δ 11 8 h Δ Mo l +. h , 6cm Δ1 + Δ Isto é, a altura (estatura) predomnante (a que mas aparece) entre os alunos da sala é de 159,6cm. Σ 0 Obs: Para o cálculo da moda, exstem outras órmulas bem conhecdas, que são a Fórmula de PEARSON e a Fórmula de KING Utlzações das meddas de tendênca central Normalmente é necessáro calcular apenas uma das meddas (méda, medana ou moda) para caracterzar o centro da dstrbução. Surge, então, a questão: qual medda deve ser utlzada? A medda deal em cada caso é aquela que melhor representa a maora dos dados da dstrbução. Assm: a) Se uma medda apresenta orte concentração de dados em sua área central, a méda, a moda e a medana cam também stuadas em sua área central. Todas representam bem a dstrbução no caso em questão. Como a mas conhecda é a méda, esta dstrbução será representada pela méda. Neste caso, temos uma dstrbução smétrca. b) Se uma dstrbução apresenta orte concentração de dados em seu níco, a medana e a moda estarão posconadas no níco da dstrbução, representando bem esta concentração. Como a mas conhecda entre medana e moda é a MEDIANA, esta será a medda ndcada para representar tal dstrbução. Neste caso, tem-se uma dstrbução assmétrca postva. c) Quando a dstrbução apresenta orte concentração de dados em seu nal, a stuação é análoga ao tem (b), e daí, usa-se também a medana para representá-la. Neste caso tem-se uma dstrbução assmétrca negatva. d) A moda deve ser a opção como medda de tendênca central apenas em dstrbuções que apresentam um elemento típco, sto é, um valor cuja reqüênca é muto superor à reqüênca dos outros elementos da dstrbução.

11 EXERCÍCIOS 1) Determnar a méda artmétca, a medana e a moda das seguntes séres: a),, 1,, 6, 5, 6 c), 0,,, 7, 5, 5,,, 8 b) 8, 86, 88, 8, 91, 9, 88, 91 d) 70, 75, 76, 80, 8, 8, 90 ) Calcule para cada uma das dstrbuções abaxo sua respectva méda artmétca, a medana e a moda. a) x b) x ) Dadas as dstrbuções a segur, calcular a méda artmétca: a) Aluguel ($1000,00) 1,5,5,5 5,5 5,5 7,5 7,5 9,5 9,5 11,5 Nº de casas b) Classes F ac ) Uma máquna produz peças que são embaladas em caxas contendo 8 undades. Uma pesqusa realzada com 59 caxas, revelou a exstênca de peças deetuosas segundo a tabela: Nº de peças deetuosas por Nº de caxas a) Determne o valor medano da sére. caxas b) Interprete o valor medano. 5) Calcule a moda da sére representatva da dade de 50 alunos de uma classe de prmero ano de uma aculdade e a nterprete. Idade (anos) Nº de alunos ) A dstrbução abaxo representa o consumo, em kg de um produto colocado em oerta em um supermercado, que lmtou o consumo máxmo por clente em 5kg. Consumo em kg Nº de clentes Pede-se: Calcule a méda artmétca, a medana e a moda.. SEPARATRIZES I) Quarts: Denomna-se quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. 11 II) Decs: São valores que dvdem a sére em dez (10) partes guas.

12 III) Percents: São as meddas que dvdem a amostra em 100 partes guas. P l P n P. h, 1,,,..., 100. Exemplo: Determnar o 7º percentl (P 7 ) da segunte dstrbução: Classes F 7* ( 8,8 ) Σ P ,6 16, Obs: Para calcular os quarts ou os decs, basta convertê-los em porcents MEDIDAS DE DISPERSÃO OU DE VARIABILIDADE Servem para vercar a representatvdade das meddas de posção, pos é muto comum encontrar séres que, apesar de terem a mesma méda, são compostas de manera dstnta. Exemplo: Sejam os seguntes conjuntos de valores: X: 70, 70, 70, 70, 70 Y: 68, 69, 70, 71, 7 Z: 5, 15, 50, 10, 160 _ Temos X Y Z 70, sto é, os três conjuntos apresentam a mesma méda artmétca. Entretanto, nota-se que: O conjunto X é mas homogêneo que os conjuntos Y e Z, já que todos os valores são guas à méda. O conjunto Y, por sua vez, é mas homogêneo que o conjunto Z, pos há menor dverscação entre cada um de seus valores e a meda representatva. Chama-se de DISPERSÃO ou VARIABILIDADE a maor ou menor dverscação dos valores de uma varável em torno de um valor de tendênca central tomado como ponto de comparação. No caso do exemplo dado, pode-se dzer que: O conjunto X apresenta dspersão nula. O conjunto Y apresenta uma dspersão menor que o conjunto Z. Portanto, para qualcar os valores de uma dada varável, ressaltando a maor ou menor dspersão, entre esses valores e a sua medda de posção, a Estatístca recorre às MEDIDAS DE DISPERSÃO ou de VARIABILIDADE. Dessas meddas, serão estudadas: a ampltude total, o desvo médo, a varânca, o desvo padrão e o coecente de varação. 5.1 Ampltude Total (At) É a derença entre o maor e o menor dos valores da sére At X max X mn Exemplo 1: Para a sére 0, 5, 8, 5, 5, 6,70, temos At Exemplo : Dada a dstrbução a segur Estatura em cm (x ) At At Σ O valor da ampltude total arma alguma cosa do grau de concentração. Quanto maor a ampltude total, maor é a dspersão ou varabldade dos valores da varável. A ampltude total tem o nconvenente de só levar em conta os dados extremos da sére, descudando do conjunto de valores ntermedáros, o que quase sempre nvalda a donedade do resultado. Ela é apenas uma ndcação aproxmada da dspersão ou varabldade.

13 1 5. Desvo Médo (D M ) _ Na determnação de cada desvo d X X, medr-se-á a dspersão entre cada X e a méda _ X. _ x x. d. DM Exemplo: Calcular e nterpretar o D M da dstrbução a segur. x x. _ Classes x x ,50 1,00 7,60,90 Σ 0 10,00 _ x x x. 10 Assm, X 5, 10 D M 1, Interpretação: Em méda, cada elemento da sére esta aastado de 5,10 por 1,15 undades. 5. Varânca e Desvo Padrão Têm-se as seguntes stuações: I Dados não agrupados Varânca populaconal Desvo padrão populaconal x x σ σ σ ( x) n Varânca amostral Desvo padrão amostral s ( x) x x n 1 II Dados agrupados Varânca populaconal x x σ ( x) Varânca amostral s ( x) x x 1 s s _. Desvo padrão populaconal σ σ Desvo padrão amostral Exemplo 1: Calcule o desvo padrão da sequênca X:, 5, 8, 5 (População) x x 5,5 n s s

14 1 ( 5,5),5 ( 5 5,5) 0, 5 ( 8 5,5) 6, 5 ( 5 5,5) 0,5u x x,5 + 0,5 + 6,5 + 0,5 9 σ ( x),5 (var.) σ,5 1,5u (d.p.) n Interpretação: Em méda, cada elemento da sére esta aastado de 5,5 por 1,15 undades. Obs: Se a sequênca em questão representasse apenas uma amostra: s ( x) x x n 1,5 + 0,5 + 6,5 + 0,5 9 (var.) 1 s 1, 7u (d.p.) Exemplo : Dada a dstrbução a segur, representante de uma população, teremos: x 7 x x. x x x, ,1675 x x 5 15, , ,55 σ ( x) 0,975u (varânca) 5 0 7,900 0 Σ ,55 σ σ 0,975 0,96u (desvo padrão) Interpretação: Em méda, cada elemento da população esta aastado de,65 por 0,975 undades. Obs: Se a varável dscreta osse representatva de uma amostra: s x x 18,55 0,976 (var.) s s 0,976 0, 988u 1 19 ( x) u Observações: I. No cálculo da varânca, se os dados são expressos em metros, a varânca é expressa em metros quadrados. I. Em alguns casos, a undade de medda da varânca não az sentdo. É o caso, por exemplo, em que os dados são expressos em ltros. A varânca será expressa em ltros quadrados. Portanto, o valor da varânca não pode ser comparado dretamente com os dados da sére, ou seja, varânca NÃO TÊM INTERPRETAÇÃO.

15 5. Coecente de Varação 15 Trata-se de uma medda relatva de dspersão útl para a comparação em termos relatvos do grau de concentração em torno da méda de séres dstntas. É dado por: σ S CV *100 ou CV * 100 _ X x O coecente de varação é expresso em porcentagens. Exemplo: Numa empresa, o saláro médo dos homens é de R$.000,00, com desvo-padrão de R$ 1.500,00, e o das mulheres é em méda de.000,00, com desvo-padrão de R$ 1.00,00. Então: Para os homens CV σ *100 7,5%.000 x Para as mulheres CV σ *100 0% x.000 Logo, pode-se conclur que os saláros das mulheres apresentam maor varabldade (dspersão) que os dos homens. Dz-se que a dstrbução possu pequena varabldade (dspersão) quando o coecente der até 10%; méda dspersão quando estver acma de 10% até 0%, e grande dspersão quando superar 0%. Alguns analstas consderam: Baxa dspersão: CV 10% Méda dspersão: 10 % < CV < 0% Alta dspersão: CV 0% EXERCÍCIOS 1) Calcule a ampltude total e o desvo médo da sequênca X:,, 7, 9, 11, 1. ) Calcule a ampltude total e o desvo médo da sequênca Y: 5, 1,, 0, 1, 17 ) Calcule a varânca e o desvo padrão da sequenca a segur, representatva de uma população: Z: 15, 16, 17, 0, 1 ) Calcule a varânca e o desvo padrão da sequenca a segur, representatva de uma amostra: T: 6, 5, 10, 1, 19 5) Calcule a varânca e o desvo padrão da população: Idade (anos) (x ) Nº de alunos ( ) Σ 50 6) Calcule a varânca e o desvo padrão para o número de acdentes dáros, observados em cruzamentos, durante 0 das (amostra). Nº de acdentes por Nº de das ( ) da (x ) Σ 0 7) Calcule a varânca e o desvo padrão para a dstrbução de valores de 5 notas scas emtdas na mesma data, seleconadas em uma loja de departamentos (amostra).

16 16 Consumo por nota Nº de alunos (F (classes) ) Σ 5 8) Calcule a varânca e o desvo padrão para as alturas de 70 alunos de uma classe (amostra) altura (cm) Nº de alunos (F ) Σ 9) Interprete os valores obtdos na questão 6. 10) Interprete os valores obtdos na questão 7. 11) Um grupo de 85 moças tem estatura méda de 160,6cm, com um desvo padrão gual a 5,97cm. Outro grupo de 15 moças tem uma estatura méda de 161,9cm, sendo o desvo padrão gual a 6,01cm. Qual é o coecente de varação de cada um dos grupos? Qual o grupo mas homogêneo? REFERÊNCIAS COSTA, Sérgo Francsco. Introdução lustrada à estatístca..ed. São Paulo: Herbra, CRESPO, Antôno Arnot. Estatístca ácl. São Paulo: Sarava, 00. SILVA, Ermes Mederos da; SILVA, ELIO Mederos da; GONÇALVES, Valter; MUROLO, Aráno Carlos. Estatístca para os cursos de: Economa, admnstração, cêncas contábes..ed. São Paulo: Atlas, 006. TOLEDO, Geraldo Lucano; OVALLE, Ivo Izdoro. Estatístca básca..ed. São Paulo: Atlas, 1985.

17 ANEXO TABELAS E GRÁFICOS 17 Um dos objetvos da Estatístca é sntetzar os valores que uma ou mas varáves podem assumr, para que tenham uma vsão global da varação dessa ou dessas varáves. E sto ela consegue, ncalmente, apresentando esses valores em tabelas e grácos, que rão nos ornecer rápdas e seguras normações a respeto das varáves em estudo, permtndo-nos determnações admnstratvas e pedagógcas mas coerentes e centícas. 1. Tabela Tabela é um quadro que resume um conjunto de observações. Uma tabela compõe-se de: a) TÍTULO: O título deve responder as seguntes questões: O que? (Assunto a ser representado (Fato)); Onde? (O lugar onde ocorreu o enômeno (local)); Quando? (A época em que se vercou o enômeno (tempo)). b) CABEÇALHO: parte da tabela na qual é desgnada a natureza do conteúdo de cada coluna. c) CORPO: parte da tabela composta por lnhas e colunas. d) LINHAS: parte do corpo que contém uma seqüênca horzontal de normações. e) COLUNAS: parte do corpo que contém uma seqüênca vertcal de normações. ) COLUNA INDICADORA: coluna que contém as dscrmnações correspondentes aos valores dstrbuídos nas lnhas. g) CASA OU CÉLULA: parte da tabela ormada pelo cruzamento de uma lnha com uma coluna. h) ELEMENTOS COMPLEMENTARES (rodapé): Colocados no espaço abaxo da tabela Fonte: é a ndcação de entdade responsável pelo ornecmento dos dados ou sua elaboração; Notas: são normações de natureza geral, dentcadas por algarsmos romanos. Exemplo: Para a apresentação da tabela, deve-se observar as regras: a) O lado dreto e esquerdo de uma tabela deve ser aberto; b) Use traços horzontas para separar os componentes (cabeçalho, total e as colunas); c) Use traços vertcas nternos somente se or necessáro (para maor clareza); d) Use maúscula somente na prmera letra da palavra ncal (vde na tabela a palavra Ano); e) Deve-se prestar atenção para os seguntes atos: - um traço horzontal (-), quando é apresentado um valor zero; - três pontos (...), quando há ausênca de dados; - zero (0), quando o valor é muto pequeno;

18 - um ponto de nterrogação (?), quando há dúvda quanto à exatdão de determnado valor; ) A normação do total não é obrgatóra. Pode ser ncluída, quando or mportante, ou, anda, quando or usada para alguma análse.. Grácos O gráco estatístco é uma orma de apresentação dos dados estatístcos cujo objetvo é o de produzr, no nvestgador ou públco em geral, uma mpressão mas rápda e vva do enômeno em estudo, já que os grácos alam mas rápdo à compreensão que as séres. A representação gráca de um enômeno deve obedecer a certos requstos undamentas, para ser realmente útl: SIMPLICIDADE: O gráco deve ser desttuído de detalhes de mportânca secundaram, assm o como de traços desnecessáros que possam levar o observador a uma análse morosa ou com erros. CLAREZA: O gráco deve possbltar uma correta nterpretação dos valores representatvos do enômeno em estudo. VERACIDADE: O gráco deve expressar a verdade sobre o enômeno em estudo. Para a construção de grácos, você deverá observar alguns tens que se azem necessáros neles: - todo gráco deve ter título (na parte superor) e onte (no rodapé), para que o letor não tenha a necessdade de voltar ao texto para saber do que se trata; - a escala do exo horzontal deve ser escrta abaxo desse exo e deverá crescer da esquerda para a dreta; - a escala do exo vertcal deve ser escrta à esquerda do exo e crescer de baxo para cma; - cada exo deve ser dentcado com o que está sendo meddo ou representado; - não é necessáro colocar lnhas de grade (que saem das marcas das escalas horzontas e vertcas). Estas são opconas. Exemplo: 18 Antgamente, os grácos eram etos a mão, com a ajuda de régua, compasso, transerdor, esquadros e canetas ou gz colordos. Hoje podemos contar com sotwares especícos que auxlam e acltam na construção de grácos e, mutas vezes, propcam mas precsão e clareza. Além dos sotwares especícos de Estatístca, temos os programas aplcatvos de escrtóro que ncluem as chamadas planlhas eletrôncas. Uma planlha eletrônca utlza tabelas para a realzação de cálculos e permte, também,

19 a cração de város tpos de grácos, o que aclta a representação e análse de dados estatístcos. Os prncpas tpos de grácos são os DIAGRAMAS, os CARTOGRAMAS e os PICTOGRAMAS. Dagramas Os dagramas são grácos geométrcos de, no máxmo, duas dmensões; para sua construção, em geral, azemos uso do sstema cartesano (exo X e Y). Os prncpas dagramas são os grácos de lnhas, colunas, barras, setores ou pzza e o gráco polar. Veja cada um desses tpos: Gráco de lnhas: Gráco de colunas: 19 Gráco de barras: Gráco de setores ou pzza: Gráco de colunas múltplas: Gráco em barras múltplas: Gráco polar: Pctograma:

20 0 Cartograma: REFERÊNCIAS COSTA, Sérgo Francsco. Introdução lustrada à estatístca..ed. São Paulo: Herbra, CRESPO, Antôno Arnot. Estatístca ácl. São Paulo: Sarava, 00.