Apostila de Estatística

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1 Apostla de Estatístca Prof. Ms. Osoro Morera Couto Junor

2 Capítulo 1 - Introdução Estatístca 1.1 Hstórco A estatístca é um ramo da matemátca aplcada. A partr do século XVI começaram a surgr as prmeras análses sstemátcas de regstros dversos como os de nascmento, óbtos, rquezas, casamentos. Esses regstros eram utlzados para prncpalmente cobrar mpostos. No século XVIII, Godofredo Achenwall batzou esses estudos como uma nova cênca com o nome de Estatístca. Surgram tabelas mas complexas, representações gráfcas e cálculo de probabldade. Formou-se a ferramenta que através da observação de partes (amostras) chega-se a conclusões sobre um todo (população). 1. Estatístca A Estatístca é parte da Matemátca Aplcada que fornece métodos de coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados, útes nas tomadas de decsão. Estatístca Descrtva: coleta, organzação e descrção dos dados. Estatístca Indutva ou Inferencal: análse e nterpretação dos dados. Permte obter conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente, objetvo essencal da Estatístca. Probabldade: útl para analsar stuações que envolvem o acaso. Ex: a decsão de parar de munzar pessoas com mas de vnte anos contra determnada doença. 1.3 Método Estatístco (Pesqusa) Exemplos: - Indústras realzam pesqusa entre os consumdores para o lançamento de um novo produto - As pesqusas eletoras fornecem elementos para que os canddatos dreconem a campanha - Emssoras de tevê utlzam pesqusas que mostram a preferênca dos espectadores para organzar sua programação - A pesqusa do desempenho dos atletas ou das equpes em uma partda ou em um campeonato nterfere no planejamento dos trenamentos A pesqusa é composta bascamente de 5 fases 1 a Coleta de Dados Após planejamento e determnação das característcas mensuráves do objeto em estudo, nca-se a coleta de dados. Esta pode ser dreta ou ndreta. 1

3 A coleta dreta é feta sobre regstros dversos: nascmento, casamento, óbtos, mportação, regstros escolares; ou anda quando os dados são coletados dretamente pelo pesqusador através de questonáros (ex: censo). A coleta dreta pode ser: contínua; peródca (censos); ocasonal A coleta ndreta é uma coleta feta sobre dados colhdos de uma coleta dreta (ex: mortaldade nfantl) a Crítca dos Dados Os dados coletados devem ser observados, à procura de falhas e mperfeções, a fm de não causarem erro nos resultados. Exemplo 1 : Perguntas tendencosas. Fo realzada a segunte pesqusa: O tráfego contrbu em maor ou menor grau do que a ndústra para a polução atmosférca? Resposta: 45 % para o tráfego e 3 % para a ndústra. A ndústra contrbu em maor ou menor grau do que o tráfego para a polução atmosférca? Resposta: 4 % para o tráfego e 57 % para a ndústra. Exemplo : Preservação da auto-magem. Em uma pesqusa telefônca 94 % dos entrevstados dsseram que lavam as suas mãos após usar o banhero, mas a observação em banheros públcos esse percentual ca para 68 %. Exemplo 3: Más Amostras. As pessoas devem ser escolhdas aleatoramente para a pesqusa, como por exemplo, numa pesqusa de opnão na rua, deve-se entrevstar somente quem psou em uma determnada marca pré-determnada na calçada. Exemplo 4. Más perguntas. A pergunta deve conter o lnguajar própro do entrevstado. Geralmente, se o entrevstado não entender a pergunta, ele responderá qualquer cosa, pos tem vergonha de perguntar. 3 a Apuração dos Dados É o processamento dos dados obtdos 4 a Exposção dos Dados Através de tabelas ou gráfcos, tornando mas fácl seu exame e aplcação de um cálculo estatístco. 5 a Análse dos Resultados Através de métodos de estatístca ndutva ou nferencal obtêm-se conclusões e prevsões de um todo através do exame de apenas uma parte desse todo.

4 1.4 Varável Varável é o conjunto de resultados possíves de um fenômeno. A varável pode ser qualtatva, quando seus valores são expressos por atrbutos (ex: sexo, cor), ou pode ser quanttatva, quando seus valores são expressos em números. A varável quanttatva pode ser contínua, quando assume qualquer valor entre dos lmtes (ex: peso, altura, medções), ou pode ser dscreta, quando só pode assumr valores pertencentes a um conjunto enumerável (ex: número de flhos, contagens em geral, números nteros). 3

5 Capítulo - População e Amostra.1 População e Amostra População é o conjunto de portadores de, pelo menos, uma característca comum. Amostra é um subconjunto fnto de uma população. A amostra é escolhda através de processos adequados que garantam o acaso na escolha.5 Amostragem É o processo de colher amostras. Nesse processo, cada elemento da população passa a ter a mesma chance de ser escolhdo. Dentre os processos de amostragem pode-se destacar três: amostragem casual ou aleatóra smples, amostragem proporconal estratfcada e amostragem sstemátca. a) Amostragem casual ou aleatóra smples: É um sorteo, por exemplo, para retrar uma amostra de 9 alunos de uma sala de 50 alunos, utlzase um sorteo com todos os números dos alunos escrtos em papés dentro de um saco. Para amostras grandes utlza-se a Tabela de Números Aleatóros (Págna 5). Assm para o exemplo da sala de aula, utlzando aleatoramente duas colunas (dos algarsmos), obtém-se: Por exemplo na 1ª e ª colunas: Como a população va de 1 a 50 escolhe-se os 9 prmeros números dentro dessa faxa: b) Amostragem proporconal estratfcada: É comum termos populações que se dvdam em subpopulações (estratos) e como cada estrato pode ter um comportamento dferente do outro, a amostra deve consderar a exstênca desses estratos e a sua proporção em relação à população. Exemplo: supondo que uma sala de aula seja composta de 54 mennos e 36 mennas. Determne uma amostra de 9 pessoas: Sexo População Cálculo Proporconal Amostra Regra de três smples Masculno x 9 / 90 = 5,4 5 Femnno x 9 / 90 = 3,6 4 Total Posterormente, utlza-se a tabela de números aleatóros para escolher 5 mennos e 4 mennas. 4

6 Verfca-se que fo realzado um arredondamento dos números 5,4 e 3,6. Esse arredondamento é efetuado utlzando as regras de arredondamento. Exercíco: Em uma escola exstem 50 alunos, dstrbuídos em séres conforme a tabela. Obtenha uma amostra de 40 alunos e preencha a tabela. Séres População Cálculo Proporconal Amostra 1 a 35 a 3 3 a 30 4 a 8 5 a 35 6 a 3 7 a 31 8 a 7 Total c) Amostragem sstemátca É quando a amostragem é feta através de um sstema possível de ser aplcado pos a população já se encontra ordenada. Exemplo 1: em uma lnha de produção, a cada 10 tens fabrcados, retra-se 1 para nspeção, tem-se uma amostra de 10 % da população. Exemplo : em um lote de 900 peças ordenadas, deseja-se uma amostra de /50 =18 (50 grupos de 18 peças cada). Faz-se um sorteo entre 1 e 18, por exemplo 4, então pesqusaríamos a 4 o peça, a o, a 40 o, 58 o, assm por dante. Exercícos de População e Amostra 1) Uma unversdade apresenta o segunte quadro relatvo aos seus alunos do curso de Admnstração. Obtenha uma amostra proporconal estratfcada de 100 alunos. Sére Qtde Amostra 1 a 140 a a 96 4 a 75 Total 100 5

7 ) Uma empresa X apresenta o segunte quadro relatvo às quantdades de funconáros em cada um dos setores: Setor Homens Mulheres Total Amostra Homens Mulheres Total A B C D E F Total 10 Obtenha uma amostra proporconal estratfcada de 10 funconáros 3) Utlzando a tabela de números aleatóros, obtenha uma amostra de 10 pessoas de uma sala de aula com 85 alunos, utlze a 10 a e a 11 a coluna para começar o sorteo. 6

8 Capítulo 3 - Séres Estatístcas 3. Gráfcos Estatístcos 3.1. Representação Gráfca Os gráfcos consttuem um poderoso nstrumento de análse e nterpretação de um conjunto de dados. Eles aparecem nos mas varados veículos de comuncação. Pesqusas de opnão públca, pesqusas eletoras, economa, agrcultura, saúde são apenas alguns exemplos de assuntos em que as representações gráfcas assumem um papel fundamental para explcar o comportamento do objeto de estudo. Os mas mportantes recursos fornecdos pelos gráfcos são a facldade e a rapdez na absorção e nterpretação dos resultados, por parte do letor Gráfco de Lnha Os gráfcos de lnhas são bastante utlzados na dentfcação de tendêncas de aumento ou dmnução dos valores numércos de uma dada nformação. Assm, vamos encontrar com frequênca esse tpo de representação em análses tas como lucros de empresas, ncdênca de moléstas, índces de crescmento populaconal ou de mortaldade nfantl, índces de custo de vda, etc. Seu traço é feto no plano cartesano. Exemplo: Na cdade de São Joaqum (SC), fo anotada a temperatura regstrada às 8 horas, durante sete das consecutvos, conforme a segunte tabela: TEMPERATURA NA CIDADE DE SÃO JOAQUIM SC Da Temperatura (ºC) 1º 1 º 3º 3 4º 4 5º 5 6º 6 7º 7 Com base na tabela, façamos a representação gráfca da varação de temperatura. Solução: 7

9 Temperatura (ºC) º º 3º 4º 5º 6º 7º Da Gráfco de Colunas ou de Barras É a representação de uma sére por meo de retângulos, dspostos vertcalmente (em colunas) ou horzontalmente (em barras). Quando em colunas, os retângulos têm a mesma base e as alturas são proporconas aos respectvos dados. Quando em barras, os retângulos têm a mesma altura e os comprmentos são proporconas aos respectvos dados. Assm estamos assegurando a proporconaldade entre as áreas dos retângulos e os dados estatístcos. Exemplo: a) Gráfco em colunas PRODUÇÃO BRASILEIRA DE CARVÃO MINERAL BRUTO Quant. Anos Produzda (1.000 t) Fonte: Mnstéro da Agrcultura 8

10 Ml toneladas Anos b) Gráfco em barras EXPORTAÇÕES BRASILEIRAS MARÇO 1995 Estados Valor (US$ mlhões) São Paulo Mnas Geras 54 Ro Grande do Sul 33 Espírto Santo 85 Paraná 50 Santa Catarna 0 Fonte: SECEX São Paulo Mnas Geras Ro Grande do Sul Espírto Santo Paraná Santa Catarna Mlhões de dólares Gráfco de Colunas ou de Barras Múltplas Este tpo de gráfco é geralmente empregado quando queremos representar, smultaneamente, dos ou mas fenômenos estudados com o propósto de comparação. 9

11 US$ mlhão Exemplo: BALANÇA COMERCIAL DO BRASIL Especfcações Valor (US$ ) Exportação (FOB) Importação Fonte: Mnstéro da Fazenda Ex portação (FOB) Importação Gráfco de Setores A estatístca recorre com frequênca a esse tpo de gráfco, que consste em dstrbur num círculo setores proporconas aos dados do problema. O gráfco de setores, ou setograma, é utlzado prncpalmente quando as quantdades a serem comparadas são muto dferentes umas das outras, caso em que uma ou mas delas se salentam em relação ao conjunto. Exemplo: DISTRIBUIÇÃO DE REMUNERAÇÕES MENSAIS NO BRASIL 1983 Faxa Salaral Nº de (em saláros empregados mínmos) % Até 3 saláros ,1 De 3 a 7 saláros ,4 De 7 a 15 saláros ,7 Mas de 15 saláros ,8 Total ,0 10

12 F De 7 a 15 saláros Mas de 15 saláros De 3 a 7 saláros % Graus 67,1 41,6,4 80,6 7,7 7,7,8 10,1 Até 3 saláros 5.. Representação Gráfca de Dstrbução de Frequênca Uma dstrbução de frequênca pode ser representada grafcamente pelo hstograma, pelo polígono de frequênca e pelo polígono de frequênca acumulada Hstograma O hstograma é um gráfco consttuído no plano cartesano por retângulos em número gual ao número de classes da dstrbução. Cada classe é representada por uma coluna de altura correspondente a sua frequênca. Trata-se também de um gráfco de área. É utlzado para varáves contínuas; por sso, o gráfco também é contínuo: as colunas são justapostas. A área de cada coluna é proporconal à frequênca da classe representada. Logo, a área de todo o hstograma é proporconal à soma total das frequêncas. Exemplo: Classes Pm F Fa f (%) f a (%) , ,0 15, , ,0 40, , ,0 78, , ,0 90, , ,0 98, ,5 1 40,0 100,0 Total ,

13 Fa F 3... Polígono de Frequênca Num sstema de coordenadas cartesanas ortogonas, tomamos sobre o exo das abscssas segmentos proporconas aos valores dos pontos médos das classes, e sobre o exo das ordenadas segmentos proporconas às frequêncas, determnando pontos no plano. Unndo os pontos obtdos, determnamos um dagrama polgonal, que convenconalmente é fechado no exo das abscssas pelo ponto médo da classe medatamente nferor à ncal e pelo ponto médo da classse medatamente superor à fnal. Desta forma, obtemos um polígono de frequênca. Vejamos agora como, a partr da tabela do tem anteror, podemos construr um polígono de frequênca Ogva A ogva é um gráfco de frequêncas acumuladas, o que justfca ser também denomnada curva de caumulação de frequêncas. Retomando o exemplo do tem 5..1., podemos construr um gráfco de ogva com os valores de frequênca acumulada (Fa)

14 Capítulo 4 - Dstrbução de Freqüênca 4.1 Tabela Prmtva e Rol Tabela prmtva - elementos da varável anda não foram numercamente organzados Ex: Total de pontos (acertos) obtdos por 40 alunos em um teste de 175 questões Rol - é a tabela prmtva ordenada (crescente ou decrescente). Ex: Dstrbução de freqüênca Com sso pode-se construr uma tabela denomnada Dstrbução de Freqüênca, sendo a freqüênca o numero de elementos relaconados a um determnado valor da varável. Ex: Pontos Freqüênca Pontos Freqüênca Pontos Freqüênca total 40 Para uma melhor vsualzação e economa de espaço, agrupam-se os valores em ntervalos de classe. 13

15 Ex: Total de pontos (acertos) obtdos em um teste de 175 questões por 40 alunos Total de pontos Freqüênca Total 40 Para a confecção dessa tabela pode-se pular o passo anteror, ou seja, do rol já partr para a tabela de dstrbução de freqüêncas com ntervalos de classe. 4.3 Elementos de uma dstrbução de freqüênca a) Classes de freqüênca: são os ntervalos de varação da varável, representados por, sendo = 1,,3,4,...,k, onde k é o número total de classes. Em nosso exemplo k = 6 b) Lmtes da classe: são os extremos de cada classe. Lmte superor L Lmte nferor l O símbolo l - L sgnfca nclusão de l e exclusão de L l = 154 e L = 158 c) Ampltude de um ntervalo de classe (h) é a medda do ntervalo que defne a classe h = L - l h = = 4 d) Ampltude total da dstrbução (AT) é a dferença entre o lmte superor da ultma classe (lmte superor máxmo) e o lmte nferor da prmera (lmte nferor mínmo). AT = L(max) - l (mn) AT = = 4 Deve-se notar que AT/h = k 4/4 = 6 e) Ampltude amostral (AA) : é a dferença entre o valor máxmo e o valor mínmo da amostra AA = x(máx) - x(mín) AA = = 3 14

16 f) Ponto médo de uma classe (x) : é o ponto que dvde o ntervalo de classe em duas partes guas x = (l+l)/ x = ( )/ = 156 f) Freqüênca smples ou absoluta: é o número de observações correspondentes a essa classe ou a esse valor f 1 = 4 f = 9 f 3 = 11 f 4 = 8 f 5 = 5 f 6 = 3 k 6 f n 1 f Número de Classes, Intervalos de Classe Determnação do número de classes: utlza-se a regra de Sturges (obs: não é obrgatóro, é apenas uma orentação) k 1 3,3 log n onde, k é o número de classes e n é o numero total de dados. Esta fórmula nos permte obter a segunte tabela n k Para determnação do ntervalo de classe h aplca-se AA h Quando o resultado não é exato, deve-se arredondá-lo para mas. k h 3,8, ou seja, 6 classes de ntervalo 4. 6 No caso 4 Exercíco:.As notas obtdas por 50 alunos de uma classe foram:

17 Complete a dstrbução de freqüênca abaxo Notas x f Total Tpos de freqüêncas a) Freqüênca Smples ou Absoluta (f ) : é o valor que representa o número de dados de uma classe, onde : k f n 1 b) Freqüênca Relatva (fr ): é a porcentagem entre a freqüênca smples e a freqüênca total: fr k f 1 No exemplo: fr 3 = 11/40 = 0,75 x 100 = 7,5 % k fr 100% É obvo que: 1 f 100 % O propósto das freqüêncas relatvas é o de permtr a análse e facltar comparações. c) Freqüênca Acumulada (F ): é o total das freqüêncas de todos os valores nferores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe. k F k f f f f F ou 1 3 k k f 1 16

18 No exemplo F 3 = f 1 + f + f 3 = =4, o que sgnfca que exstem 4 alunos com estatura nferor a 16 cm (lmte superor do ntervalo da tercera classe) d) Freqüênca Acumulada relatva (Fr ): é a porcentagem entre a freqüênca relatva acumulada da classe e a freqüênca total da dstrbução. Fr k F 1 f 100 % No exemplo temos Fr 3 = 4/40 = 0,6 = 60 %, o que sgnfca que 60 % dos alunos acertaram menos de 16 questões Pode-se então montar a segunte tabela: Total de Pontos x f fr (%) F Fr (%) , , , , , , , , , , , ,00 Total ,00 Que nos ajuda a responder: 1) Quantos alunos acertaram entre 154, nclusve, e 158 questões? Resp. 9 alunos ) Qual a percentagem de alunos com total de pontos nferor a 154? Resp. 10% 3) Quantos alunos acertaram menos que 16 questões? Resp. 4 alunos 4) Quantos alunos obtveram um total de pontos não nferor a 158? Resp = 7 alunos 4.6 Dstrbução de Freqüênca sem Intervalo de Classe Quando se trata de varável dscreta de varação relatvamente pequena, cada valor pode ser tomado como um ntervalo de classe, tomando a segunte forma: Os resultados de um lançamento de um dado 50 vezes foram os seguntes:

19 resultados f fr F Fr Total Exercíco: Complete a tabela abaxo e responda: Horas de estudo por semana x f fr F Fr Total 100 Qual a porcentagem de pessoas que estudam menos de 15 horas? Qual a porcentagem de pessoas que estudam 0 ou mas horas? 18

20 Frequêncas f 4.7 Representação Gráfca de uma Dstrbução de Freqüênca Pode-se ser representado bascamente por um hstograma, por um polígono de freqüênca ou por um polígono de freqüênca acumulada. a) Hstograma: O hstograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localzam sobre o exo horzontal, de tal modo que seus pontos médos concdam com os pontos médos dos ntervalos de classe. Seja o exemplo: Total de x f F Pontos Total Hstograma Total de Pontos Estaturas (cm) b) Polígono de freqüênca: É um gráfco em lnha, sendo as freqüêncas marcadas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas pelos pontos médos dos ntervalos de classe. 19

21 F f Total Estaturas de Pontos [cm] c) Polígono de freqüênca acumulada: É traçado marcando-se as freqüêncas acumuladas sobre perpendculares ao exo horzontal, levantadas nos pontos correspondentes aos lmtes superores dos ntervalos de classe Total Estaturas de pontos [cm] Exercíco - Construa o hstograma, o polígono de freqüênca e o polígono de freqüênca acumulada da segunte dstrbução. 0

22 0 Total de Faltas de uma sala com 60 alunos x f F

23 Capítulo 5 - Meddas de Posção 5.1 Meda Artmétca ( x ) x n 1 onde x são os valores da varável e n o número de valores. a) Desvo em relação a méda (d ) d x x n d 0 b) Propredades: 1 A soma algébrca dos desvo em relação a méda é nula Somando-se (ou subtrando-se) uma constante (c) de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca aumentada (ou dmnuída) dessa constante. Multplcando-se (ou dvdndo-se) uma constante (c) de todos os valores de uma varável, a méda do conjunto fca multplcada (ou dvdda) por essa constante. Exemplo: Seja a nota de 10 alunos: 8, 9, 7, 6, 10, 5,5, 5, 6,5, 7,5, 8, ,5 5 6,5 7,5 8,5 A méda é x 7, 3 10 n x Desvos: 8-7,3 0,7 9-7,3 1,7 7-7,3-0,3 6-7,3-1,3 10-7,3,7 5,5-7,3-1,8 5-7,3 -,3 6,5-7,3-0,8 7,5-7,3 0, 8,5-7,3 1, Total 0,0

24 c) para dados agrupados (dstrbução de freqüênca sem ntervalos de classe) Seja a segunte dstrbução: n o de flhos (x ) f f. x que se deseja ter Total tem-se então: x,94 ~, 3 x n 1 (f n 1 d) para dados agrupados (dstrbução de freqüênca com ntervalos de classe). Adota-se o segunte: todos os valores ncluídos em um determnado ntervalo de classe concdem com o seu ponto médo. Seja a segunte dstrbução: 6440 tem-se então: x 161 pontos 40 x Total de x f f. x pontos Total f ) 3

25 Exercíco 1 - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução. Qtde de cursos de extensão realzados por ano (x ) pelos alunos do 4 o Adm f f. x Exercíco - Complete a tabela e calcule a méda artmétca da dstrbução. Saláro Mensal dos alunos do 4 o Adm [R$] x f f. x Total 5. A Moda (Mo) Denomna-se moda o valor que ocorre com maor freqüênca em uma sére de valores. Caso 1) Dados não agrupados. Basta procurar o valor que mas se repete. Ex: 4

26 3,4,5,6,6,6,6,7,7,8,9 A sére tem moda gual a 6 (valor modal 6) Pode acontecer também uma sére sem valor modal. Ex: 1,,3,4,5,6,7,8,9 sére amodal Pode acontecer também uma sére com mas de uma moda. Ex: 1,,,,3,4,5,6,6,6,7,8,9 a sére tem duas modas ( e 6) - sére bmodal Caso ) Dados agrupados. a) sem ntervalos de classe. Basta dentfcar o valor da varável que possu maor freqüênca. Ex: Seja a segunte dstrbução: Mo = 3 n o de flhos (x ) que se deseja ter f Total 34 b) com ntervalos de classe. A classe com maor freqüênca é denomnada classe modal, o cálculo da moda bruta é semelhante ao do ponto médo do ntervalo de classe. Mo x L Ex: Seja a dstrbução: Total de pontos x f Total 40 Então: a classe modal é = 3, logo Mo = 160 pontos 5

27 Exercíco: Calcule a moda da segunte dstrbução: 5.3 Medana (Md) I Saláro Mensal dos alunos do 4 o Adm [R$] Total 64 A medana é o número que se encontra no centro de uma sére de números, ou seja, separa os valores em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Caso 1 ) Dados não agrupados Dada uma sére de valores: 5,13,10,,18,15,6,16,9 Deve-se então ordená-los:,5,6,9,10,13,15,16,18 Determna-se então o valor central que é 10 (4 valores para cada lado) Md = 10 Se a sére tver número par de valores, a medana é a méda dos dos valores centras:,5,6,9,10,15,16,18 Md = (9+10)/ = 9,5 Caso ) Dados agrupados No caso de dstrbução de freqüênca deve-se prmeramente determnar a freqüênca acumulada. Determna-se então, o valor que dvde a dstrbução em duas partes guas. Aplca-se então: f f 6

28 a) sem ntervalos de classe. Dada a sére: f 34 Então: 17 n o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 34 A menor freqüênca acumulada que supera esse valor é 18, que corresponde ao valor da varável. No caso de f F Md = acontecer, a medana será dada por: x x 1 Md. Exemplo: f 3 18 F3, então: Md, 5 I n o de flhos (x ) f F que se deseja ter Total 36 Exercícos: 1) Calcule a medana das seguntes dstrbuções: Qtde de anos de estudo (x ) f Total F 7

29 Qtde de dscplnas em dependênca f Total F b) com ntervalos de classe: segue-se os seguntes passos: 1 o - Determna-se as freqüêncas acumuladas o - Calcula-se f 3 o - Marca-se a classe correspondente a freqüênca acumulada medatamente superor a (classe medana) e emprega-se a fórmula: Md f Fant h f onde: é o lmte nferor da classe medana F(ant) é a freqüênca acumulada da classe anteror a classe medana h é a ampltude do ntervalo da classe medana f é a freqüênca do ntervalo da classe medana f Exemplo: f 40 Md 158 Total de pontos f F Total 40 0, logo classe medana é = 3 = 158 F(ant) = 13 h = 4 f 3 = ,5 160,5 11 8

30 f No caso de F acontecer, a medana será o lmte superor da classe correspondente. Exercíco: Calcule a medana das seguntes dstrbuções: Saláro Mensal dos alunos do 4 o Adm [R$] Total 64 f F Valor da hora de trabalho de profssonas de uma empresa de consultora [R$] f F Total 5.4 Os Quarts Denomna-se quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Portanto, há três quarts. São mas aplcados em dstrbução de freqüênca com ntervalos de classe. Prmero Quartl (Q 1 ) - 5 % dos dados são menores que ele e os 75 % restantes são maores. Segundo Quartl (Q ) - concde com a medana, 50 % para cada lado. Tercero Quartl (Q 3 ) - 75 % dos dados são menores que ele e os 5 % restantes são maores. 9

31 Para o caso de dados agrupados, basta aplcar: Então: Q 1 Exemplo: 4 Prmero Quartl f f Fant h f Q 4 k f, sendo k o número de ordem do quartl. 4 f Fant h f Total de Pontos f F Total 40 Q , logo classe do 1 o Quartl é = = 154 F(ant) = h = 4 f = 9 Q ,66 156,66 156,7 Segundo Quartl = Medana f 40 0, logo classe do o Quartl é = 3 4 = 158 F(ant) = 13 h = 4 f 3 = 11 Q Md ,5 160,5 Tercero Quartl 3f , logo classe do 3 o Quartl é = = 16 F(ant) = 4 h = 4 f 4 = 8 Q Exercíco: Calcule os quarts da segunte dstrbução: f Fant h f 30

32 Saláro Mensal dos alunos do 4 o Adm [R$] Total 64 f F 5.5 Os Percents Denomna-se percents os noventa e nove valores que separam uma sére em 100 partes guas. Indca-se da segunte forma: P 1,P,P 3,...P 99 Note-se que: P 50 = Md, P 5 = Q 1 e P 75 = Q 3 Calcula-se da mesma forma que os quarts, só que aplcando: k f Fant h k f 100, sendo k o número de ordem do percentl. P K 100 f Exemplo: Total de Pontos f F Total 40 Tem-se para o otavo percentl: 8f 840 k 8 3,, logo classe do 8 o Percentl é = = 150 F(ant) = 0 h = 4 f 1 = 4 31

33 P , , 153, 4 Exercíco: Calcule o percentl de ordem 0 da segunte dstrbução: Saláro Mensal dos alunos do 4 o Adm [R$] f F Total 64 3

34 Capítulo 6 - Meddas de Dspersão ou de Varabldade 6.1 Ampltude total (AT) a) a ampltude total é a dferença entre o maor valor e o menor valor observado: AT x MÁX x MÍN Exemplo: 40, 45, 48, 5, 54, 6, e 70 AT = = 30 Quanto maor a ampltude total, maor será a dspersão dos valores da varável em torno da méda. 6. Varânca (s ) e Desvo Padrão (s) São mas estáves que a ampltude total, não sofrem tanto a nterferênca de valores extremos. a) para dados não agrupados A varânca é a méda artmétca dos quadrados dos desvos: s x x x x f A varânca é um número em undade quadrada em relação a méda, por sso, defnu-se o desvo padrão como a raz quadrada da varânca. O desvo padrão é a raz quadrada da méda artmétca dos quadrados dos desvos. Para evtar o acúmulo de erro por arredondamento, smplfca-se o cálculo do desvo padrão com a segunte: que resulta em: x s x n x Obs: Quando calcula-se a varânca ou o desvo padrão de uma população através de uma amostra dessa, deve-se substtur o denomnador n por n-1. x Propredades: 1 a : Somando-se (ou subtrando-se) uma constante a (de) todos os valores de uma varável, o desvo padrão não se altera. n x n x n 33

35 a.: Multplcando-se todos os valores de uma varável por uma constante (dferente de zero), o desvo padrão fca multplcado por essa constante. Exemplo: Calcule o desvo padrão da segunte sére: x x Total s n x n x , ,56 b) para dados agrupados sem ntervalos de classe: deve-se levar em conta as freqüêncas. Exemplo: s (f x ) n (f x) n Qtde de flhos que se f f. x f. x deseja ter (x ) Total s (f x ) n (f x) n ,5 4,41 1,04 34

36 Exercíco: Determne o desvo padrão. Qtde de cursos de extensão realzados por ano (x ) pelos alunos do 4 o Adm f f. x f. x Total 5 c) para dados agrupados com ntervalos de classe: também leva-se em conta as freqüêncas e x é o ponto médo do ntervalo de classe. Exemplo: Total de Pontos x f f x f x Total s (f n x ) (f x ) n ,57 35

37 Resolva: Calcule o desvo padrão pelo processo breve. Saláro Mensal dos alunos do 3 o Mat [R$] x f f x f x Total 64 Peso kg x F fx fx Total 37 36

38 6.3- Coefcente de Varação (CV) É a porcentagem do desvo padrão em relação a sua méda. s CV 100 x Exemplo: Para o exemplo anteror, das estaturas, tem-se méda de 161 cm e desvo padrão de 5,57 cm 5,57 CV 100 3,459 3,5% 161 Resolva: Calcule o CV dos dos últmos exercícos de cálculo de desvo padrão pelo processo breve. a) x 755 s 154 b) x 84,3 s 1,88 Conclusão: Quanto maor o CV maor será a dspersão Quanto menor o CV menor será a dspersão 37

39 Exercícos de Revsão: Os dados abaxo referem-se a dade das pessoas que compraram um determnado produto novo durante um da. Determne: Idade x f F f x f x Total a) Méda; b) Desvo Padrão; c) Medana d) Prmero Quartl e) Tercero Quartl f) P 40 38

40 TABELA DE NÚMEROS ALEATÓRIOS:

41 BIBLIOGRAFIA: COSTA NETO, P. L. de O. Probabldades. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, COSTA NETO, P. L. de O. Estatístca. São Paulo: Edtora Edgard Blucher Ltda, 17 o ed CRESPO, A. A. Estatístca Fácl. São Paulo: Edtora Sarava, 17 o ed DANTE, L. R. Matemátca: Contexto de Aplcações. São Paulo: Edtora Átca, DOWNING, D., CLARK, J. Estatístca Aplcada. São Paulo: Edtora Sarava, 000. KAZMIER, L. J. Estatístca Aplcada à Economa e Admnstração. São Paulo: Edtora Makron books Ltda., 198. LAPPONI, J. C. Estatístca Usando Excel. São Paulo: Edtora Lappon, 000. LEVIN, J. Estatístca Aplcada a Cêncas Humanas, a edção. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, NICK, E., KELLNER, S. R. O. Fundamentos de Estatístca para as Cêncas do Comportamento. Ro de Janero: Edtora Renes, SIEGEL, S. Estatístca Não Paramétrca. São Paulo: Edtora McGraw-Hll do Brasl Ltda, STEVENSON, W. J. Estatístca Aplcada à Admnstração. São Paulo: Edtora Harper & Row do Brasl Ltda, TRIOLA, M. F. Introdução à Estatístca. Ro de Janero: Lvros Técncos e Centífcos Edtora S.A., 7 a ed

42 Exercícos Complementares: Capítulo - População e Amostra 1) Em uma escola exstem 50 alunos, sendo 35 na 1ª sére, 3 na ª sére, 30 na 3ª sére, 8 na 4ª sére, 35 na 5ª sére, 3 na 6ª sére, 31 na 7ª sére e 7 na 8ª sére. Obtenha uma amostra de 40 alunos preenchendo a tabela abaxo. Séres População Cálculo Proporconal Amostra 1ª ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª Total ) Uma cdade X apresenta o segunte quadro relatvo às escolas de Ensno Fundamental. Obtenha uma amostra estratfcada proporconal de 10 estudantes. Escolas Nº de Estudantes Masculno Femnno A B C D E F Total ) Na Escola Y, as classes têm 0, 40, 5 e 15 alunos. Determne uma amostra estratfcada com 0 elementos. 41

43 4) Quer fazer-se um estudo que estabeleça a relação entre faxa salaral e nteresse por teatro, tomando-se um grupo de pessoas. A tabela abaxo ndca o número de pessoas de determnadas faxas salaras. Determne uma amostra com 00 elementos. Faxa salaral Nº de pessoas Até 3 saláros mínmos 776 De 3 a 6 saláros mínmos 387 De 6 a 9 saláros mínmos 3 Acma de 9 saláros mínmos 155 Total Capítulo 3 - Séres Estatístcas 1) Retrato do Orçamento Famlar Itens que mas pesam (%) Educação, letura e recreação (9,3) Saúde e cudados pessoas (1,01) Transportes (13,95) Vestuáro (5,08) Despesas dversas (nclu bebdas, cgarros e jogos eletrôncos) (3,46) Habtação (31,15) Almentação (5,1) Captal Renda méda famlar Renda per capta (em saláros mínmos) (em saláros mínmos) Belém 7,5 1,95 Belo Horzonte 10,76,69 Brasíla 3,83 6,40 Curtba 1,59 3,57 Floranópols 1,06 3,34 Fortaleza 9,34,4 Goâna 7,4 1,86 Porto Alegre 1,73 3,88 Recfe 9,08,6 Salvador 6,06 1,43 Ro de Janero* 17,0 5,60 São Paulo* 15,6 4,7 * Para o Ro e São Paulo, os dados são referentes à Pesqusa do Orçamento Famlar de 1997/98. Fonte: O Estado de São Paulo, 15/03/001. Consderando que, nos prmeros meses de 00, o saláro mínmo era de R$ 00,00, aproxmadamente, analse as nformações seguntes, classfcando-as em V ou F, justfcando: I. Em Belém, uma famíla gastava, em méda, R$ 468,00 por mês em morada. II. No Recfe, um ndvíduo gastava menos de R$ 65,00 por mês em transporte. 4

44 III. Os gastos com saúde de uma famíla em Fortaleza superavam os gastos com transportes de uma famíla em Goâna. IV. Descontados os gastos com habtação e almentação, sobravam a uma famíla paulsta menos de R$ 1.300,00 por mês. ) Analsando o gráfco de colunas ao lado, classfque em V ou F cada sentença segunte, justfcando: a) Se esse conjunto de dados fosse representado em um gráfco de setores (pzza), o ângulo correspondente à regão Sul sera menor que 90º. b) O número de emssoras da regão Sudeste supera a soma do número de emssoras das regões Nordeste, Centro-Oeste e Norte. c) Supondo que Goás concentre 60% das emssoras de sua regão, o percentual de emssoras do país representado por este Estado é menor que 5%. 3) O pesadelo va contnuar VEJA on-lne perguntou aos nternautas: Capturando Bn Laden, os EUA estarão lvres de novos atentados? Sm 4% a) Quas as meddas dos ângulos apresentados no gráfco ao lado? b) Quantos nternautas responderam sm? Não 96% Total de partcpantes: ) O hstograma abaxo representa o tempo de espera (em mnutos) na fla de um banco, em certa manhã, no centro de Belo Horzonte. Que porcentagem do total de pessoas esperou até 0 mnutos na fla? F Tempo

45 5) Consdere os resultados abaxo de medção de temperatura, obtdos durante 10 das, no mesmo horáro, e construa um gráfco de lnha. Da 1º º 3º 4º 5º 6º 7º 8º 9º 10º Temperatura (ºC) ) A tabela abaxo representa, em termos percentuas, a dstrbução da população braslera por cor. Construa: a) um gráfco de setores; b) um gráfco de colunas. Cor % Branca 54,3 Preta 5,9 Amarela 0,56 Parda 38,85 Sem declaração 0,44 Total 100,00 Fonte: IBGE. 7) Examnando o hstograma abaxo, que corresponde às notas relatvas à aplcação de um teste de ntelgênca a um grupo de alunos, responda? a) Qual é o ntervalo de classe que tem maor freqüênca? b) Qual a ampltude total da dstrbução? c) Qual o número total de alunos? d) Qual é a freqüênca do ntervalo de classe ? e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (nclusve) e 110? f) Quantos alunos receberam notas de teste não nferores a 100?

46 8) Construa um gráfco de lnha a partr da segunte tabela: COMÉRCIO EXTERIOR BRASIL Anos Quantdade (1.000 t) Exportação Importação ) Represente as tabelas usando o gráfco de barras: 45

47 a) b) PRODUÇÃO DE OVOS DE GALINHA BRASIL 199 Quantdade Regões (1.000 dúzas) Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste Fonte: IBGE PRODUÇÃO DE VEÍCULOS DE AUTOPROPULSÃO BRASIL 1993 Tpos Quantdade Automóves Comercas leves Comercas pesados Fonte: ANFAVEA 10) Construa um gráfco de colunas múltplas a partr da segunte tabela: PROPORÇÃO DOS DOMICÍLIOS POR CONDIÇÃO DE OCUPAÇÃO BRASIL Anos NATUREZA Própros (%) Alugados (%) Ceddos (%) ,7,9 14, ,3 16,5 13, 11) Construa um gráfco de setores a partr da segunte tabela: Espéce Quantdade Auxílo-nataldade Auxílo-doença Auxílo-funeral Aposentadora por Invaldez Aposentadora por Tempo de Servço Abono Permanente em Servço Pensão por Morte Outras Espéces ) Dada a amostra: 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 5, 6, 6, pede-se: a) construr a dstrbução das freqüêncas absolutas; b) determnar as freqüêncas acumuladas, relatvas absolutas e relatvas acumuladas. c) construr o gráfco das freqüêncas absolutas (faça o gráfco que preferr). 56

48 13) De um exame fnal de Estatístca, aplcado em 54 alunos da Faculdade FESAV, resultaram as seguntes notas: Pede-se: 7,0 6,7 3,5 4, 5,0 6, 7, 8,9 9,0 7,1 6,9 6,7 7,4 6, 5,1 4,3 6,9 7,0,1 4, 6,4 7,1 8,3 9, 6,6 7,1 1,7,8 4,5 5,7 6,1 6,8 7,5 6,4 6,5 8,3 8,6 7,0 9,8 10,0 7,5 7,8 6,9 6,1 5,0 8,0 7,8 7,0 8,0 7, 7,0 7,4 6,9 5,0 a) Construr uma tabela de dstrbução de freqüênca, ncando com 1,6 e adotando ampltude do ntervalo de classe gual a 1,4, fechado à esquerda. b) Os pontos médos. c) Elaborar uma dstrbução de freqüênca acumulada e percentual (absoluta e acumulada). d) Quantos alunos obtveram notas nferores a 5,0? e) Quantos alunos obtveram notas entre 5,0 e 8,0? f) Que porcentagem de alunos obteve notas acma ou gual a 7,0? g) Construa o gráfco de setores para as classes. 14) Construa um gráfco de colunas consderando a tabela abaxo: DISTRIBUIÇÃO DE RENDA NO BRASIL 1971 Faxa de renda Habtações Até 1 saláro mínmo De 1 a 3 saláros mínmos De 4 a 8 saláros mínmos Acma de 8 saláros mínmos Total ) Represente num gráfco de setores as faxas de renda observadas no Brasl, em 1971, de acordo com a tabela observada no exercíco 14 acma. Para sso, utlze as freqüêncas relatvas absolutas. 16) A tabela abaxo no fornece as prncpas altas de preço verfcadas no Brasl, no período de setembro a 11 de novembro de Construa um gráfco de colunas, com estes dados. ELEVAÇÃO ACUMULADA DE SETEMBRO A 11 DE NOVEMBRO DE 1984 Produto % de alta Carne,5 Lete 10,7 Frutas 18,7 Vestuáro 14,5 Fonte: IBGE. 57

49 17) Conhecdas as notas de 50 alunos: Determne: a) a dstrbução de freqüênca começando por 30 e adotando o ntervalo de classe de ampltude gual a 10; b) as freqüêncas acumuladas; c) as freqüêncas relatvas; d) o hstograma, o polígono de freqüênca e a ogva. 18) Um grau de nebulosdade, regstrado em décmos, ocorre de acordo com a dstrbução abaxo: Nebulosdade 0 0,5 1,5,5 3,5 4,5 5,5 6,5 7,5 8,5 9,5 10,0 F Construa o hstograma correspondente. Capítulo 4 - Dstrbução de Freqüênca 1) As notas obtdas por 50 alunos de uma classe foram: Complete a dstrbução de freqüênca abaxo: Notas Pm F = 50 58

50 ) Complete a tabela abaxo: Classes F Fa f (%) fa (%) = 40 = 100 % 3) Complete os dados que faltam na dstrbução de freqüênca: x F Fa f (%) fa (%) , , , , = 0 = 100 % 4) Complete a dstrbução abaxo, determnando as frequêncas absolutas: x F Fa = 34 5) A dstrbução abaxo ndca o número de acdentes ocorrdos com 70 motorstas de uma empresa de ônbus: Nº de acdentes Nº de motorstas

51 Determne: a) o número de motorstas que não sofreram nenhum acdente; b) o número de motorstas que sofreram pelo menos 4 acdentes; c) o número de motorstas que sofreram menos de 3 acdentes; d) o número de motorstas que sofreram no mínmo 3 e no máxmo 5 acdentes; e) a porcentagem dos motorstas que sofreram no máxmo acdentes. 7) Complete os dados que faltam na dstrbução de freqüênca: Classes Pm F Fa f (%) fa (%) , , , , ,0 = = 8) Conhecdas as notas de 50 alunos: obtenha a dstrbução de freqüênca, tendo 30 para lmte nferor da prmera classe e 10 para ntervalo de classe. 9) As notas obtdas em Matemátca por 80 estudantes de uma escola X estão relaconadas abaxo:

52 a) Organze o rol colocando os dados em ordem crescente. b) Qual é a menor nota? Qual é a maor nota? c) Qual é a ampltude total? d) Qual é a nota do estudante classfcado em 10º lugar? e) Organze os dados em classes consderando 5 como ampltude. f) Faça a dstrbução de freqüêncas. g) Quantos estudantes receberam nota superor ou gual a 85? Qual a porcentagem? 10) Observando a tabela abaxo, responda: Faxa de renda Habtações Até 1 saláro mínmo De 1 a 3 saláros mínmos De 4 a 8 saláros mínmos Acma de 8 saláros mínmos Total a) Qual é a porcentagem de domcílos onde a renda é superor a 8 saláros mínmos? b) Quantos são os domcílos onde a renda está entre 1 e 3 saláros? c) Quantos são os domcílos onde a renda está abaxo de 3 saláros? 11) Em uma fábrca foram testadas 400 lâmpadas; a duração delas aparece na dstrbução de freqüênca abaxo: Duração (em horas) Nº de lâmpadas Total = 400 Observando a tabela, responda: a) Qual a ampltude de cada classe? b) Qual a ampltude total da dstrbução? c) Qual o ponto médo da qunta classe? d) Qual a freqüênca relatva absoluta da sexta classe? e) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabldade máxma de 500 horas? f) Qual a porcentagem de lâmpadas com durabldade de 900 horas ou mas? g) Construr uma tabela de dstrbução de freqüênca, em que apareçam Pm, F, Fa, f e fa. 61

53 1) Examnando o hstograma abaxo, que corresponde às notas relatvas à aplcação de um teste de ntelgênca a um grupo de alunos, responda? a) Qual é o ntervalo de classe que tem maor freqüênca? b) Qual a ampltude total da dstrbução? c) Qual o número total de alunos? d) Qual é a freqüênca do ntervalo de classe ? e) Quantos alunos receberam notas de teste entre 90 (nclusve) e 110? f) Quantos alunos receberam notas de teste não nferores a 100? ) De um exame fnal de Estatístca, aplcado em 54 alunos da FAPAN, resultaram as seguntes notas: Pede-se: 7,0 6,7 3,5 4, 5,0 6, 7, 8,9 9,0 7,1 6,9 6,7 7,4 6, 5,1 4,3 6,9 7,0,1 4, 6,4 7,1 8,3 9, 6,6 7,1 1,7,8 4,5 5,7 6,1 6,8 7,5 6,4 6,5 8,3 8,6 7,0 9,8 10,0 7,5 7,8 6,9 6,1 5,0 8,0 7,8 7,0 8,0 7, 7,0 7,4 6,9 5,0 a) Construr uma tabela de dstrbução de freqüênca, ncando com 1,6 e adotando ampltude do ntervalo de classe gual a 1,4, fechado à esquerda. b) Os pontos médos. c) Elaborar uma dstrbução de freqüênca acumulada e percentual (absoluta e acumulada). d) Quantos alunos obtveram notas nferores a 5,0? e) Quantos alunos obtveram notas entre 5,0 e 8,0? f) Que porcentagem de alunos obteve notas acma ou gual a 7,0? 6

54 Capítulo 5 - Meddas de Posção 1) Calcule a méda artmétca da sére: a) X: 1,, 8, 10, 1, 16, 1, 30. b) Y: 5, 6, 6, 10, 11, 11, 0. c) Z: 3,4; 7,8; 9,3; 1,15. ) Um produto é acondconado em lotes contendo cada um deles 10 undades. O lote só é aprovado se apresentar um peso superor a 40 qulos. Se as undades que compõem determnado lote pesam: 3; 4; 3,5; 5; 3,5; 4; 5; 5,5; 4; 5, este lote será aprovado? Qual o peso médo do produto? 3) Um produto é venddo em três supermecados por R$ 13,00/kg, R$ 13,0/kg e R$ 13,50/kg. Determne quantos R$/kg se paga em méda pelo produto. 4) Calcule a méda artmétca da sére: x F ) Uma moblára gerenca o aluguel de resdêncas partculares, segundo o quadro abaxo: Aluguel (R$) Nº de casas F , ,00 400, ,00 600, ,00 800, , ,00 3 6) Calcule a medana da sequênca: a) X:, 5, 8, 10, 1, 15, 8, 5, 1. b) Y: 3,4; 5,; 4,7; 6; 8,4; 9,3;,1; 4,8. 63

55 7) Calcule a medana da dstrbução: x F ) Uma loja de departamentos seleconou um grupo de 54 notas fscas, durante um da, e obteve o quadro abaxo. Determne o valor medano da sére. Consumo por nota Nº de (R$) notas , ,00 100, ,00 150, ,00 00, ,00 50, ,00 300,00 1 9) Consderando os conjuntos de dados: I. 3, 5,, 6, 5, 9, 5,, 8, 6 II. 0, 9, 7,, 1, 7, 0, 15, 7 III. 51,6; 48,7; 50,3; 49,5; 48,9 IV. 15, 18, 0, 13, 10, 16, 14 Calcule: a) a méda artmétca b) a medana c) a moda 10) Os saláros-hora de cnco funconáros de uma companha são: Determne: a) a méda dos saláros-hora b) o saláro-hora medano R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; R$ 14,00; R$ 88,00 11) As notas de um canddato, em ses provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,; 6,8; 8,7 e 7,. Determne: a) a nota méda b) a nota medana 64

56 c) a nota modal 1) Consderando a dstrbução abaxo: Calcule: a) a méda b) a medana c) a moda x F ) Em uma das classes de 50 alunos, as notas obtdas formaram a segunte dstrbução: Calcule: a) a nota méda b) a nota medana Notas Nº de Alunos 14) Calcule a méda, a medana e a moda das dstrbuções de freqüênca abaxo: I. Notas F = 44 65

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