FACULDADE DE TECNOLOGIA TUPY CURITIBA

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1 FACULDADE DE TECNOLOGIA TUPY CURITIBA MÉTODOS QUANTITATIVOS ESTATÍSTICA APLICADA VAGNER J. NECKEL 2010 Rev. 00

2 SUMÁRIO 1. CONCEITOS GERAIS PANORAMA HISTÓRICO DEFINIÇÃO A ESTATÍSTICA NAS EMPRESAS APLICAÇÕES MÉTODO EXPERIMENTAL X MÉTODO ESTATÍSTICO FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO Denção do problema Coleta de dados Crítca dos dados Apuração dos dados Exposção dos resultados Análse dos resultados POPULAÇÃO E AMOSTRA TIPOS DE VARIÁVEIS DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SÍNTESE DE DADOS QUALITATIVOS SÍNTESE DE DADOS QUANTITATIVOS Dstrbução de requênca sem ntervalos de classe Dstrbução de reqüênca com ntervalos de classe MEDIDAS DE POSIÇÃO MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL Méda Medana Moda MEDIDAS SEPARATRIZES MEDIDAS DE DISPERSÃO AMPLITUDE TOTAL VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO COEFICIENTE DE VARIAÇÃO...37 BIBLIOGRAFIA...38 vagner.neckel@socesc.org.br 2

3 1. CONCEITOS GERAIS 1.1 Panorama hstórco ESTATÍSTICA Todas as cêncas têm suas raízes na hstóra do homem. A Matemátca, que é consderada a cênca que une a clareza do racocíno à síntese da lnguagem orgnouse do convívo socal, das trocas, da contagem, com caráter prátco, utltáro, empírco. A Estatístca, ramo da Matemátca Aplcada, teve orgem semelhante. Desde a Antgudade város povos já regstravam o número de habtantes, de nascmentos, de óbtos, azam estmatvas da rqueza ndvdual e socal, dstrbuíam equtatvamente terras ao povo, cobravam mpostos e realzavam nquértos quanttatvos por processos que hoje chamaríamos estatístcas. Na Idade Méda colham-se normações, geralmente com naldades trbutáras ou bélcas. A partr do século XVI começaram a surgr as prmeras análses sstemátcas de atos socas (batzados, casamentos, uneras) orgnando as prmeras tábuas e tabelas. No século XVIII o estudo de tas atos o adqurndo uma eção verdaderamente centíca. Godoredo Achenwall batzou a nova cênca com o nome de Estatístca, determnando o seu objetvo e suas relações com as cêncas. As tabelas tornaram-se mas completas, surgram as representações grácas e o cálculo de probabldades. A Estatístca dexa de ser smples catalogação de dados numércos coletvos para se tornar o estudo de como chegar a conclusões sobre o todo (população) partndo de observações de parte deste todo (amostras). Atualmente, o públco lego (letor de revstas e jornas) poscona-se em dos extremos dvergentes e gualmente errôneos quanto à valdade das conclusões estatístcas: ou crê em sua nalbldade ou arma que elas nada provam. Os que assm pensam gnoram os objetvos, o campo e o rgor do método estatístco; gnoram a Estatístca, quer teórca quer prátca, ou a conhecem muto supercalmente. Na era da energa nuclear, os estudos estatístcos têm avançado rapdamente e, com seus processos e técncas, têm contrbuído para a organzação dos negócos e recursos do mundo moderno. 1.2 Denção A Estatístca é uma parte da Matemátca Aplcada que ornece métodos para coleta, organzação, descrção, análse e nterpretação de dados e para a utlzação dos mesmos na tomada de decsões. A parte da estatístca que trata da coleta, organzação e descrção dos dados é denomnada Estatístca Descrtva; a parte que lda com a análse e nterpretação dos dados chama-se Estatístca Indutva ou Inerencal. Em geral, as pessoas, quando se reerem ao termo estatístca, o azem no sentdo da organzação e descrção dos dados (estatístca do Mnstéro de Educação e outras) desconhecendo que o aspecto essencal da Estatístca é o de proporconar métodos nerencas, que permtam conclusões que transcendam os dados obtdos ncalmente. Assm, a análse e nterpretação dos dados estatístcos tornam possível o dagnóstco de uma empresa (ex. escola), o conhecmento de seus problemas (condções vagner.neckel@socesc.org.br 3

4 de unconamento, produtvdade), a ormulação de soluções apropradas e um planejamento objetvo de ação. 1.3 A Estatístca nas empresas No mundo atual, a empresa é uma das vgas-mestra da Economa dos povos. A dreção de uma empresa, de qualquer tpo, nclundo as estatas e governamentas, exge de seu admnstrador a mportante tarea de tomar decsões, e o conhecmento e o uso da Estatístca acltarão seu tríplce trabalho de organzar, drgr e controlar a empresa. Por meo de sondagem, de coleta de dados e de recenseamento de opnões, podemos conhecer a realdade geográca e socal, os recursos naturas, humanos e nanceros dsponíves, as expectatvas da comundade sobre a empresa, e estabelecer suas metas, seus objetvos com maor possbldade de serem alcançados a curto, médo e longo prazo. A Estatístca ajudará em tal trabalho, como também na seleção e organzação da estratéga a ser adotada no empreendmento e, anda, na escolha de técncas de vercação e avalação da quantdade e da qualdade do produto e mesmo dos possíves lucros e perdas. Tudo sso que se pensou, que se planejou, precsa car regstrado, documentado para evtar esquecmentos, a m de garantr o bom uso do tempo, da energa e do materal e, anda, para um controle ecente do trabalho. O esquema do planejamento é o plano, que pode ser resumdo, com auxílo da Estatístca, em tabelas e grácos, que acltarão a compreensão vsual dos cálculos matemátco-estatístcos que lhes deram orgem. O homem de hoje, em suas múltplas atvdades, lança mão de processos e técncas estatístcas, e só estudando-os evtaremos o erro das generalzações apressadas a respeto de tabelas e grácos apresentados em jornas, revstas e televsão, requentemente cometdo quando se conhece apenas por cma um pouco de Estatístca. 1.4 Aplcações Contabldade: audtoras Fnanças: recomendações de nvestmento Marketng: pesqusa de mercado Produção: controle de qualdade Economa: prevsões sobre o uturo da economa Em vsta dos tópcos abordados até o presente é mportante ter em mente que é mportante estudar estatístca porque: O racocíno estatístco é amplamente utlzado no governo e na admnstração; A estatístca é uma erramenta para tomada de decsões; O conhecmento de estatístca auxla na letura crítca de jornas, revstas, artgos e outros. 1.5 Método Expermental x Método Estatístco Atualmente, quase todo acréscmo de conhecmento resulta da observação e do estudo. Apesar de que muto desse conhecmento pode ter sdo observado ncalmente vagner.neckel@socesc.org.br 4

5 por acaso, a verdade é que desenvolvemos processos centícos para seu estudo e para adqurrmos tas conhecmentos. Sendo assm, Método é um conjunto de meos dspostos convenentemente para se chegar a um m. Dos métodos centícos, vamos destacar o método expermental e o estatístco. O método expermental consste em manter constantes todas as causas (atores), menos uma, e varar esta causa de modo que o pesqusador possa descobrr seus eetos, caso exstam. É o método preerdo no estudo da Físca, da Químca. O método estatístco, dante da mpossbldade de manter as causas constantes, admte todas essas causas presentes varando-as, regstrando essas varações e procurando determnar no resultado nal que nluênca cabe a cada uma delas. É amplamente aplcado nas Cêncas Socas. Ex.: Determnação das causas que denem o preço de uma mercadora. Para aplcarmos o método expermental teríamos que azer varar a quantdade da mercadora e vercar se tal ato nluencara seu preço. Porém, sera necessáro que não houvesse alteração nos outros atores. No método estatístco estes outros atores (unormdade dos saláros, gosto do consumdor e outros) são levados em conta. 1.6 Fases do Método Estatístco Denção do problema Determnar o objetvo da pesqusa, a população ou amostra a ser pesqusada e as característcas mensuráves que se quer pesqusar Coleta de dados Após cudadoso planejamento e a devda determnação das característcas mensuráves do enômeno coletvo que se quer pesqusar, é ncada a coleta de dados numércos necessáros à sua descrção. A coleta pode ser dreta e ndreta. Coleta dreta: normatvos de regstro obrgatóro (nascmentos, casamentos e óbtos, mportação e exportação de mercadoras), prontuáros de uma escola ou dados obtdos pelo própro pesqusador (questonáros); Coleta ndreta: quando é nerda de elementos conhecdos (coleta dreta) Crítca dos dados Obtdos os dados, eles devem ser cudadosamente crtcados, à procura de possíves alhas e mpereções, a m de não ncorrermos em erros grosseros ou de certo vulto, que possam nlur sensvelmente nos resultados Apuração dos dados Nada mas é do que a soma e o processamento dos dados obtdos e a dsposção medante crtéros de classcação. Pode ser manual, eletromecânca ou eletrônca Exposção dos resultados Os dados devem ser apresentados em orma de tabelas ou grácos, tornando mas ácl o exame daqulo que está sendo objeto de tratamento estatístco e ulteror obtenção de meddas típcas. vagner.neckel@socesc.org.br 5

6 1.6.6 Análse dos resultados Trar conclusões sobre o todo (população) a partr de normações ornecdas por parte representatva do todo (amostra). 1.7 População e amostra A Estatístca tem por objetvo o estudo dos enômenos coletvos e das relações entre eles. Fenômeno coletvo é aquele que se reere a um grande número de elementos, sejam pessoas ou cosas, os quas denomnamos de população ou unverso. Conceto 1: Ao conjunto de entes (pessoas, cosas) portadores de, pelo menos, uma característca comum denomnamos população estatístca (ou unverso estatístco). Assm, os estudantes, por exemplo, consttuem uma população, pos apresentam pelo menos uma característca comum: são os que estudam. Como em qualquer estudo estatístco temos em mente pesqusar uma ou mas característcas dos elementos de alguma população, esta característca deve estar peretamente denda. E sto se dá quando, consderado um elemento qualquer, podemos armar, sem ambgüdade, se esse elemento pertence ou não à população. É necessáro, pos, exstr um crtéro de consttução da população, váldo para qualquer pessoa, no tempo ou no espaço. Por sso, quando pretendemos azer uma pesqusa entre os alunos da Faculdade, precsamos denr quas são os alunos que ormam o unverso: os que atualmente ocupam as carteras da escola, ou devemos nclur também os que já passaram pela escola? É claro que a solução do problema va depender de cada caso partcular. De acordo com o seu tamanho, a população pode ser classcada pode ser classcada como nta ou nnta. A população nta é aquela que conhecemos o seu número total de elementos. Por ex: estamos analsando o aprovetamento nas aulas de Estatístca de uma turma de 50 alunos. Sabemos exatamente quantos alunos estão sendo observados. Logo, a população de alunos é nta. No entanto, se a população possu um número nnto de elementos, ela é uma população nnta. Por ex: desejamos saber quantas pétalas têm, em méda, as rosas que nascem no Brasl. Entretanto, não sabemos exatamente quantas são as rosas que nascem no Brasl. Logo, a população de rosas é nnta. Em resumo, população é o conjunto de elementos que desejamos observar para obter determnada normação. Na maora das vezes, por mpossbldade ou nvabldade econômca ou temporal, lmtamos as observações reerentes a uma determnada pesqusa a apenas uma parte da população. A essa parte provenente da população em estudo denomnamos amostra. Uma amostra é um subconjunto nto de elementos extraídos de uma população. Exemplo: Uma pesqusa típca de televsão utlza uma amostra de 4000 lares e, com base nos resultados, ormula conclusões acerca da população de todos os lares da cdade XYZ. vagner.neckel@socesc.org.br 6

7 1.8 Tpos de varáves Varável é a característca de nteresse dos elementos em estudo, sejam estes pessoas ou objetos. Os dados são os atos e os números que são coletados, analsados e nterpretados; são os resultados possíves para a varável. Exemplos de varáves são: nome, sexo, cor dos olhos, peso, estatura e outros. Uma varável pode ser: a) QUALITATIVA quando seus valores são expressos por atrbutos: sexo (masculno emnno), cor da pele (branca, preta, amarela), cargo (supervsor, chee, gerente, secretára) As varáves qualtatvas podem ser: Nomnas: não tem ordenamento, nem herarqua. Ex. varável sexo, cor da pele; Ordnas: possuem ordenamento, herarqua. Ex. varáves cargo, escolardade. b) QUANTITATIVA quando seus valores são expressos em números: saláros dos unconáros de uma determnada empresa, dade dos alunos de uma escola e outros. As varáves quanttatvas podem ser: Contínuas: podem assumr, teorcamente, qualquer valor entre dos lmtes. Assocada a medção. Ex. saláro, altura, temperatura. Dscretas: valores nteros. Assocada a contagem. Ex. número de alunos em uma sala, quantdade de lvros numa bbloteca. Obs: As operações artmétcas comuns só têm sgncado com dados quanttatvos. Exercícos de aplcação: 1. Classque as varáves em qualtatvas (nomnas ou ordnas) e quanttatvas (contínuas ou dscretas): População: alunos de uma escola Varável: cor dos cabelos População: casas resdentes em uma cdade Varável: número de lhos População: as jogadas de um dado. Varável: o ponto obtdo em cada jogada População: peças produzdas por certa máquna Varável: número de peças produzdas por hora População: peças produzdas por certa máquna Varável: dâmetro externo População: bblotecas da cdade de Curtba Varável: número de volumes 2. Identque cada número como dscreto ou contínuo: a. Cada cgarro FDB tem 16,13 mg de alcatrão. vagner.neckel@socesc.org.br 7

8 b. O altímetro do avão ndca uma alttude de 10,54 m. c. Uma pesqusa eetuada com 1015 pessoas ndca que 40 delas são assnantes de um servço de computador on-lne. d. Dos 1000 consumdores pesqusados, 930 reconheceram a marca da sopa Delíca. Interessante: Índces, coecentes e taxas Índces são razões entre duas grandezas tas que uma não nclu a outra. Exemplos: QuocenteIntelectual dademental dadecronológca x100 DensdadeDemográca população superíce Re ndapercapta renda população Qual o quocente ntelectual (Q.I) de uma pessoa com dade mental de 12 anos e dade cronológca gual a 34 anos? Coecentes são razões entre o número de ocorrêncas e o número total; taxas são os coecentes multplcados por uma potênca de 10 para tornar o resultado mas ntelgível. Exemplos: CoecenteNataldade o n nascmentos populaçãototal Taxadenataldade CoecenteNataldadex1000 CoecentedeAprovetamentoEscolar o n dealunosaprovados o n naldematrículas TaxadeAprovetamentoEscolar CoecentedeAprovetamentoEscolarx100 Calcule a taxa de aprovação de um proessor de uma classe de 45 alunos, sabendo que obtveram aprovação 36 alunos. vagner.neckel@socesc.org.br 8

9 2. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA Uma dstrbução de requênca é um sumáro tabular de dados que mostra a requênca (ou o número) de observações em cada uma das dversas classes. Por classe entenda o ntervalo de varação da varável. Exemplos de dstrbução de requênca: a) Para dados qualtatvos Rergerante Frequênca ( ) Coca-Cola (CC) 18 Coca-Cola Lght (CCL) 9 Fanta Uva (FU) 5 Peps-Cola (PC) 13 Sprte (SP) 5 Total 50 b) Para dados quanttatvos Estaturas (cm) Frequênca Total Elementos de uma dstrbução de requênca São elementos de uma dstrbução de requênca: Classes (k) classes de requênca ou smplesmente classes são ntervalos de varação da varável. Lmtes de classe são os extremos de cada classe. Cada classe possu um lmte neror (L ) e um lmte superor (L s ). A t Ampltude total da dstrbução (A T ) derença entre o lmte superor da últma classe e o lmte neror da prmera classe. L L max mn vagner.neckel@socesc.org.br 9

10 Ampltude de um ntervalo de classe (h) derença entre o lmte superor da classe (L s ) e o lmte neror da classe (L ). h L s L ou A 24 T h 4 k 6 Obs. Todas as classes apresentam a mesma ampltude. Ponto médo de uma classe metade da soma dos lmtes de classe. L Ls Para a prmera classe temos: x Frequênca smples ou absoluta ( ) valor que representa o número de dados de cada classe. Temos sempre que n, onde n é o número total de observações. Frequênca relatva ( r ) razão entre a requênca smples e a requênca total. r n Da dstrbução acma temos que a requênca relatva da 3 a classe é 11 r 0, O propósto das reqüêncas relatvas é o de permtr a análse ou acltar comparações de dados. Frequênca acumulada (F ) total das requêncas de todos os valores nerores ao lmte superor do ntervalo de uma dada classe: F A requênca acumulada da 3 a classe da dstrbução acma lustrada é F = 24 (4+9+11), o que sgnca que exstem 24 alunos com altura neror a 162 cm (lmte superor do ntervalo da 3 a classe). Frequênca acumulada relatva (F r ) quocente entre a reqüênca acumulada e o total de reqüêncas. F r F 24 Assm, para a tercera classe temos que F r 0, vagner.neckel@socesc.org.br 10

11 Exercícos de aplcação 1. A tabela abaxo apresenta uma dstrbução de requênca das áreas de 370 lotes de uma determnada cdade. Áreas (m 2 ) Número de lotes Total 370 Com reerênca a essa tabela, determne: a ampltude total; o lmte superor da 5 a classe; o lmte neror da 8 a classe; o ponto médo da 7 a classe; a ampltude do ntervalo da 2 a classe; a requênca da 4 a classe; a requênca relatva da 6 a classe; a requênca acumulada da 5 a classe; o número de lotes cuja área não atnge 700 m 2 ; o número de lotes cuja área atnge e ultrapassa 800 m 2 ; a percentagem dos lotes que não atngem 600 m 2 ; a percentagem dos lotes cuja área é de 500 m 2, no mínmo, mas neror a 1000 m 2 ; a classe do 72 o lote. 2. Os valores da dstrbução de requênca abaxo se reerem aos preços de locação de sobrados de 2 quartos no barro TYÇ extraídos da Folha do Amanhã no período de 19 a 25/02/01. Preço de locação (em R$) Quantdade de móves Total 30 Responda: Qual a ampltude total da dstrbução? Qual a ampltude da 3 a classe? Quantos sobrados possuem seu preço de locação entre R$ 240,00 (nclusve) e R$ 405,00? Qual a requênca relatva da 6 a classe? Qual a requênca acumulada da 4 a classe? vagner.neckel@socesc.org.br 11

12 Qual o percentual de sobrados cujo preço de locação está entre R$ 240,00 (nclusve) e R$ 460,00? 3. Uma dstrbução de requênca está representada abaxo: Saláro dos unconáros da empresa ABC Faxa salaral, em R$ r F F r 0,00 240, ,00 480, ,00 720, ,00 960, , , , , , ,00 7 Acma de 1680, a) Complete as lacunas restantes. b) Com base na tabela completa responda: Qual o número de pessoas que recebe menos que R$ 960,00? Qual a porcentagem de pessoas que recebe entre R$ 1200,00 (nclusve) e R$ 1440,00? Qual o número de pessoas que recebe de R$ 720,00 para cma? 2.2 Síntese de dados qualtatvos Exemplo de aplcação: Foram coletados dados relatvos a 50 compras de rergerantes. Os produtos envolvdos na pesqusa oram: Coca-Cola (CC), Coca-Cola Lght (CCL), Peps-Cola (PC), Fanta Uva (FU) e Sprte (SP). CC CC CC CC CC CC SP CC CC PC CCL FU FU CC CCL CC FU CC CCL CCL PC CCL SP SP CC CC PC CC PC FU CCL PC CC CC SP PC CCL PC PC PC CC PC CCL CCL PC CC PC FU PC SP Elaboração da dstrbução de requênca Passo 1: Dstrbução das classes e contagem Rergerante Frequênca ( ) Coca-Cola (CC) 18 Coca-Cola Lght (CCL) 9 Fanta Uva (FU) 5 Peps-Cola (PC) 13 Sprte (SP) 5 Total 50 Passo 2: Cálculo das requêncas relatva ( r ) e percentual ( p ) vagner.neckel@socesc.org.br 12

13 Rergerante Frequênca ( ) Frequênca relatva ( r ) Coca-Cola 18 Coca-Cola Lght 9 Fanta Uva 5 Peps Cola 13 Sprte 5 Total 50 Passo 3: Representação gráca Frequênca acumulada smples (F ) Frequênca acumulada relatva (F r ) Dstrbução das compras de 50 rergerantes Frequênca relatva 0,4 0,3 0,2 0, Rergerantes Exercíco de aplcação 1. Fo realzada uma pesqusa para avalação do restaurante do Zé. Uma das perguntas avaladas o: Qual a sua mpressão sobre a qualdade da comda apresentada no restaurante do Zé? Foram entrevstadas 50 pessoas e as respostas obtdas oram as seguntes (E= excelente, MB= muto bom, B= bom, R= regular, F= raco): B E B E E R E MB E E MB R R R R MB R B B E MB B B E F E MB E E R E MB R MB E E E B B MB E F E MB MB E E R MB MB a) Construa a dstrbução de requênca smples; b) Represente gracamente as dstrbuções; c) Interprete os resultados obtdos. 2.3 Síntese de dados quanttatvos Dstrbução de requênca sem ntervalos de classe Quando se trata de varável quanttatva dscreta de varação relatvamente pequena, cada valor pode ser tomado como um ntervalo de classe e, nesse caso, a dstrbução é chamada dstrbução sem ntervalos de classe, tomando a segunte orma: vagner.neckel@socesc.org.br 13

14 Varável de estudo (x ) Frequênca ( ) x 1 1 x x n n = n Exemplo de aplcação: Uma empresa de prestação de servços ez uma pesqusa onde seus 30 prncpas clentes, de um unverso de 150 clentes, avalaram o atendmento dando notas nteras de valor entre 0 e 10. Os resultados obtdos estão lstados na tabela abaxo (tabela prmtva) Elaboração da dstrbução de reqüênca sem ntervalos de classe A varável em estudo é nota (valores nteros de 0 a 10), sendo, para o caso em questão, uma varável quanttatva dscreta. Vamos então construr a dstrbução de requênca utlzando dados agrupados sem ntervalo de classe. Passo 1: Elaboração do rol (opconal). O rol consste na ordenação dos dados coletados em ordem crescente Passo 2: Dstrbução das classes e contagem. Cálculo das requêncas relatva ( r ) e percentual ( p ). Notas Frequênca ( ) Frequênca relatva ( r ) Frequênca percentual ( p ) 0 1 0,033 3, ,167 16, ,200 20, ,233 23, ,133 13, ,067 6, ,033 3, ,067 6, ,033 3,3 vagner.neckel@socesc.org.br 14

15 9 1 0,033 3,3 Total 30 1, Passo 3: Representação gráca Na dstrbução de requênca para dados agrupados sem ntervalo de classe não há perda de normação Dstrbução de reqüênca com ntervalos de classe Quando se trata de varável quanttatva contínua utlza-se a dstrbução de requênca com ntervalos de classe. Esta toma a segunte orma: Varável de estudo (x ) Frequênca ( ) x 1 x 2 1 x 2 x x m x n n = n Exemplo de aplcação: Suponha que desejamos realzar um estudo sobre estaturas de alunos de determnado grupo escolar e que este grupo seja composto de 40 alunos. A varável de nteresse é quanttatva contínua peso. Os dados coletados são lstados abaxo (valor de altura em cm) e consttuem a tabela prmtva. Vamos construr então a dstrbução de requênca consderando os dados agrupados com ntervalos de classe Elaboração de dstrbução de reqüênca com ntervalos de classe Passo 1: Após a coleta e lstagem dos dados na tabela prmtva o passo segunte é a elaboração do rol. O rol consste na ordenação dos dados coletados em ordem crescente. vagner.neckel@socesc.org.br 15

16 Passo 2: Elaborado o rol determna-se o número de classes da dstrbução: Este número pode ser determnado (a) por método empírco, (b) pela regra de Sturges ( k 1 3,3log n ) ou (c) regra prátca k n. Pela regra prátca: k n Inca-se então a montagem da dstrbução de requênca. AT Passo 3: Determna-se a ampltude do ntervalo de classe h 4 e k 6 denem-se os lmtes nerores e superores de cada classe. Para a prmera classe, temos que o lmte neror L é 150 e o lmte superor é L s = L + h= =154. Para determnação dos lmtes neror e superor para as classes seguntes o procedmento é o mesmo. Tem-se então: Estaturas (cm) Frequênca ( ) Total Passo 4: Procede-se a contagem dos elementos pertencentes a cada classe para determnar a coluna de requênca smples, requênca relatva e requênca acumulada. Estaturas x r F F r (cm) Total 40 Passo 5: Elabora-se o hstograma. vagner.neckel@socesc.org.br 16

17 Hstograma Frequênca Estatura dos alunos (em cm) Ao agruparmos os valores da varável desta orma ganhamos em smplcdade, mas perdemos os pormenores. O que pretendemos com a construção dessa dstrbução é realçar o que há de essencal nos dados e, também, tornar possível o uso de técncas analítcas para sua total descrção. Em resumo, para elaborar uma dstrbução de requênca para dados quanttatvos os seguntes passos devem ser segudos: a. A partr da tabela prmtva, elaborar o rol dos dados; b. Determnar o número de classes (k). Este número pode ser determnado (a) por método empírco, (b) pela Regra de Sturges ( k 1 3,3log n ) ou (c) regra prátca k n ; c. Determnar a ampltude do ntervalo de classe (A T ); d. Determnar os lmtes nerores e superores de cada classe; e. Realzar a contagem dos elementos de cada classe;. Montar a dstrbução de requênca nas ormas tabular e gráca. Exercícos de aplcação 1. Uma conecção contratou uma empresa para azer uma pesqusa para saber como vara a estatura das pessoas adultas de determnado barro da sua cdade, a m de saber como encamnhar a produção das roupas que produz. A pesqusa, eta com uma amostra de 40 adultos escolhdos ao acaso, revelou os seguntes dados: Estaturas (em m) de 40 pessoas adultas 1,66 1,50 1,62 1,79 1,64 1,85 1,68 1,65 1,61 1,68 1,63 1,61 1,68 1,76 1,70 1,70 1,75 1,62 1,63 1,70 1,58 1,57 1,73 1,82 1,72 1,68 1,70 1,70 1,67 1,67 1,56 1,58 1,69 1,65 1,58 1,65 1,64 1,64 1,64 1,69 a. Qual a varável em questão? Que tpo de varável é esta? b. Elabore uma dstrbução de requênca relatva. c. Elabore o hstograma de requênca relatva. 2. Os dados para os números de undades produzdas por um determnado unconáro da área de produção durante vnte das são apresentados a segur: vagner.neckel@socesc.org.br 17

18 Sntetze os dados construndo: a. Uma dstrbução de requênca relatva b. Uma dstrbução de requênca relatva acumulada c. Os respectvos hstogramas para os tens a e b. 3. O dretor de produção de uma grande ábrca de chocolates resolveu azer uma nspeção surpresa na lnha para vercar o peso dos chocolates, os quas deveram ter g. Para tanto, coletou uma amostra com 40 undades e vercou, um a um, o peso dos chocolates. Os resultados obtdos oram os seguntes: 199,4 198,5 199,7 200,3 197,8 199,2 201,2 200,5 198,2 197,9 199,8 201,4 199,4 199,4 200,1 198,9 197,9 199,2 200,2 200,3 199,7 199,5 197,8 199,5 199,5 199,1 200,4 198,5 198,9 200,3 198,6 199,2 198,6 198,8 200,1 199,1 198,8 201,4 199,8 198,5 Organzar os resultados um uma tabela de requênca acumulada relatva e azer o respectvo hstograma. Como dretor de produção avalar os seguntes tens: a. Quantos % do total da amostra pesam menos do que 199 g? b. Quantos % pesam mas do que 201 g? c. Sabendo que o valor admtdo é g como você avala a sua produção? 4. O IBOPE realzou levantamento estatístco, a respeto de índces de audênca de um determnado programa A Hora da Hora da emssora CCC, durante 50 das. A tabela abaxo ornece os dados obtdos, através de pesqusa realzada pelo IBOPE, reerentes a índces de audênca (de 0 a 100 pontos) para cada um dos 50 das de acompanhamento a. Com base nos dados apresentados construa hstograma de requênca relatva representando os índces de audênca do programa A Hora da Hora. b. Retre, do hstograma obtdo, o máxmo de normações e conclusões possíves sobre os índces de audênca do programa. 5. Uma empresa de prestação de servços ez uma pesqusa onde seus 60 prncpas clentes de um unverso de 1000 clentes avalaram o atendmento dando notas nteras de valor entre 0 e 10. Os resultados obtdos se encontram na tabela abaxo vagner.neckel@socesc.org.br 18

19 a. Com base nestes resultados elabore tabelas de reqüênca absoluta para dados agrupados sem ntervalo de classe e dados agrupados com ntervalo de classe. b. Represente as duas tabelas na orma de hstograma. c. Analse seus resultados o obtenha conclusões a respeto desta pesqusa. 6. Ao nal de um da de trabalho a ábrca de camsetas Arara produzu 5000 peças. O chee da qualdade resolve realzar nspeção para vercar a quantdade de deetos/ peça. Entre os tens vercados estão acabamento, estampa, costura, exstênca de rasgo e outros. Foram tomadas 50 camsetas e a quantdade de deetos/ peça o assm regstrada: Construa a tabela de requênca relatva com seu respectvo hstograma consderando dados agrupados sem ntervalo de classe. Como chee da qualdade avale: qual o percentual de zero deetos/peça obtdo? qual o percentual de peças com menos de três deetos? qual o percentual de peças com 5 deetos? Sabendo que a norma exge que o percentual máxmo admssível de peças com 5 deetos seja de 1,5% avale a produção do da. 7. Para os exercícos abaxo lstados: a) elabore dstrbução de requênca com, r, F e F r,b) construa os respectvos hstogramas e c) nterprete os resultados obtdos. a) Os seguntes dados reerem-se à méda salaral (em R$) dos unconáros contratados pelas melhores empresas (as que mas se destacaram em 1998), segundo dados da revsta Exame. Méda salaral (em R$) b) As cotações a segur reerem-se às varações do dólar tursmo no período de 03/01 a 18/02 do ano corrente. vagner.neckel@socesc.org.br 19

20 Cotação do dólar 03/01 a 18/02 1,78 1,82 1,8 1,79 1,78 1,73 1,72 1,72 1,77 1,82 1,81 1,79 1,77 1,73 1,73 1,72 1,73 1,8 1,82 1,77 1,77 1,73 1,77 1,74 1,72 1,77 1,78 1,75 1,73 1,74 1,73 1,72 1,72 1,72 c) Os valores que seguem reerem-se ao preço de locação de sobrados de 2 quartos no barro Boquerão, extraídos da Folha do Boquerão reerente ao período de 19 a 26/01/00. Preço de locação móvel de 2 q. no Boquerão d) Num restaurante os pratos que constavam no cardápo perazam um total de 50 tens derentes para o clente escolher. Pesqusado o preço dos tens (em R$), obteve-se a segunte constatação: e) Dentre os 40 postos de Saúde da grande Curtba, os valores abaxo mostram quantas são atenddas em cada um destes postos ) Os dados sobre a porcentagem de desemprego no muncípo de São Paulo, no período de 92 a 95, oram: 10,6 12,3 13,6 14,5 15,0 15,1 14,6 15,0 15,1 14,5 13,6 13,5 13,4 14,0 14,6 14,7 15,0 14,4 13,7 12,9 12,7 12,1 13,2 12,1 14,1 14,0 12,1 14,3 12,1 13,1 13,5 13,3 12,8 11,9 11,5 11,1 12,8 11,7 12,0 12,6 vagner.neckel@socesc.org.br 20

21 3. MEDIDAS DE POSIÇÃO Meddas de posção são estatístcas que representam uma sére de dados orentando-nos quanto à posção da dstrbução em relação ao exo horzontal. As meddas de posção mas mportantes são as meddas de tendênca central, que recebem tal denomnação pelo ato de os dados observados tenderem, em geral, a se agrupar em torno dos valores centras. Dentre as meddas de tendênca central, destacamos a méda, a medana e a moda. As outras meddas de posção são as separatrzes, que englobam a própra medana, os quarts e os percents. 3.1 Meddas de tendênca central Méda Méda (artmétca), x, para dados não-agrupados É a medda de tendênca central mas utlzada. É a soma dos valores dvdda pelo número deles. x x1 x2... x x n n n Exemplo 1. Determnar a méda artmétca dos conjuntos de valores abaxo: 70, 80, 120 5, 8, 10, 12, 15 Exemplo 2. Em uma empresa de componentes eletrôncos, a exportação nos últmos 4 anos, em mlhares de dólares, o U$ 800,00, U$ 760,00, U$ 880,00 e U$ 984,00. Determnar a méda das exportações dessa empresa nos últmos 4 anos. O processo de cálculo da méda artmétca é o mesmo, quer se trate de um conjunto de valores que traduzam representações amostras, quer se trate de todos os valores de uma população. Temos então, Méda amostral x x e méda populaconal x n N Propredades da méda A méda de um conjunto de números pode sempre ser calculada. Para um dado conjunto de números, a méda é únca. A méda é sensível a todos os valores do conjunto. Assm, se um valor se modca, a méda também se modca. x 0 A soma dos desvos dos números a contar da méda é zero: Vantagens/ desvantagens da utlzação da méda Vantagens Desvantagens Fácl de compreender e calcular É aetada por valores extremos Utlza todos os valores da varável É necessáro conhecer todos os valores da varável vagner.neckel@socesc.org.br 21 x

22 É um valor únco Fácl de nclur em equações matemátcas A méda é utlzada quando: Desejamos obter a medda de posção que possu maor establdade; Houver necessdade de um tratamento algébrco ulteror. Exemplo de aplcação: Em controle de qualdade a méda é utlzada para determnar se o processo está operando ao redor de um valor esperado, o alvo. Méda (artmétca) em dstrbuções de reqüênca a) Dados agrupados sem ntervalos de classe x x onde x é a méda artmétca ponderada pela respectva reqüênca absoluta. Exemplo 3: Consdere a dstrbução relatva de 34 amílas de 4 lhos, tomando para varável o número de lhos do sexo emnno. Número de mennas (x ) Freqüênca ( ) x Calculando, x x Sendo x uma varável quanttatva dscreta, como nterpretar o resultado obtdo, 2 mennos e 3 décmos de menno? O valor médo 2,3 mennos sugere, neste caso, que o maor número de amílas tem 2 mennos e 2 mennas, sendo, porém, a tendênca geral de uma leve superordade numérca em relação ao número de mennos. b) Dados agrupados com ntervalos de classe x x onde x é o ponto médo da classe. Exemplo 4. Consdere a dstrbução de estaturas de 40 alunos. Estatura (cm) x P m vagner.neckel@socesc.org.br 22

23 Calculando, x x Exemplo 5. Em uma pesqusa realzada numa determnada Empresa quanto aos saláros médos de seus unconáros, vercou-se o segunte resultado: Saláros (R$) x P m Com base nestes resultados determne o saláro médo desses unconáros. Exercícos de aplcação - Méda 1. Um produto é venddo em três supermercados por R$ 13,00/kg, R$ 13,20/kg e R$ 13,50/kg. Determne quantos R$/kg se paga em méda pelo produto. 2. Determne a méda de cada uma das duas amostragens e compare os dos conjuntos de resultados: a) Tempos de espera de clentes no Banco Jeerson Valley (onde todos os clentes ormam uma la únca) e no Banco Provdence (onde os clentes entram em três las de guchês derentes): Jeerson Valley: 6,5 6,6 6,7 6,8 7,1 7,3 7,4 7,7 7,7 7,7 Provdence: 4,2 5,4 5,8 6,2 6,7 7,7 7,7 8,5 9,3 10,0 b) Amostras das dades (em anos) de carros de alunos e carros de proessores e unconáros da aculdade, obtdas na aculdade XCV: Alunos: Proessores/unconáros: O saláro de 40 unconáros de um escrtóro está dstrbuído segundo o quadro abaxo. Calcule o saláro médo destes unconáros. Saláro (R$) Número de unconáros vagner.neckel@socesc.org.br 23

24 Total Uma moblára gerenca o aluguel de resdêncas partculares segundo o quadro abaxo. Calcule o valor médo do aluguel por resdênca. Aluguel (R$) Número de casas Total Calcule o número médo de acdentes por da em uma determnada esquna. Número de acdentes por da Número de das x Total Calcule a méda de dade para a sére representatva da dade de 50 alunos de uma classe do 1 o ano de uma Faculdade. Idade (anos) Número de alunos Total Uma loja de departamentos seleconou um grupo de 54 notas scas, durante um da, e obteve o quadro abaxo. Determne o valor médo da sére. Consumo por nota (R$) Número de notas vagner.neckel@socesc.org.br 24

25 Total O consumo de energa elétrca, vercado em 250 resdêncas de amílas de classe méda, com dos lhos, revelou a segunte dstrbução. Consumo (kwh) Número de unconáros Total 250 Calcule a méda da dstrbução e nterprete o valor obtdo Medana Medana (M d ) para dados não-agrupados A medana é denda como o número que se encontra no centro de uma sére de números, estando estes dspostos segundo uma ordem. Em outras palavras, a medana de um conjunto de valores, ordenados segundo uma ordem grandeza, é o valor stuado de tal orma no conjunto que o separa em dos subconjuntos de mesmo número de elementos. Para determnar a medana ordenam-se os valores em ordem crescente (do mas baxo ao mas alto). Se a quantdade de valores n or um número ímpar a medana será o valor da varável stuado na posção n 1 ; se a quantdade de valores n or um 2 número par a medana será gual ao resultado de dvdr por dos a soma dos valores n n das posções e Exemplo 6. Calcular a medana dos conjuntos de dados abaxo: 5, 6, 8 7, 8, 9, 10 A medana é uma medda resstente, pos está relaconada apenas com a ordem dos valores da varável. Em outras palavras, não é sensível a valores extremos. Vantagens/ desvantagens da utlzação da medana Vantagens Fácl de calcular Desvantagens Dícl de nclur em equações matemátcas vagner.neckel@socesc.org.br 25

26 Não é aetada pelos valores extremos É um valor únco Não utlza todos os valores da varável Empregamos a medana quando: Desejamos obter o ponto que dvde a dstrbução em partes guas; Há valores extremos que aetam de uma manera acentuada a méda; A varável em estudo é saláro, renda anual e valores de bens. Exemplo de aplcação: Se qusermos conhecer o valor típco dos saláros, de uma determnada categora de trabalhadores, utlzaremos a medana. Exemplo 7. Calcular a méda e a medana a partr da tabela abaxo. Os dados são reerentes a 5 unconáros do Depto. Pessoal da Empresa DSF. Funconáro Saláro (R$) João 2100 Mara 800 Sebastão 200 José 400 Manoel 500 Medana em dstrbuções de reqüênca Se os dados se agrupam em uma dstrbução de requênca, o cálculo da medana se processa de modo muto semelhante àquele dos dados não-agrupados, mplcando, porém, a determnação préva das requêncas acumuladas. Anda aqu, temos que determnar um valor tal que dvda a dstrbução em dos grupos que contenham o mesmo número de elementos. Para o caso de uma dstrbução, porém, a ordem, a partr de qualquer um dos extremos, é dada por 2 a) Dados agrupados sem ntervalos de classe Neste caso, é o bastante dentcar a requênca acumulada medatamente superor à metade da soma das requêncas. A medana será aquele valor da varável que corresponde a tal requênca acumulada. Exemplo 8. Número de mennas F b) Dados agrupados com ntervalos de classe vagner.neckel@socesc.org.br 26

27 Neste caso, o problema consste em determnar o ponto do ntervalo em que está compreendda a medana. Para tanto, temos ncalmente que determnar a classe na qual se acha a medana classe medana. Na prátca, utlza-se o segunte procedmento: a. Determna-se as reqüêncas acumuladas. n b. Calcula-se PMe 2 2 c. Marca-se a classe correspondente à reqüênca acumulada medatamente superor a P - classe medana e, em seguda, emprega-se a segunte equação: Me M d onde: L PMe F a.h Me L = lmte neror da classe medana F = reqüênca acumulada da classe anteror à classe medana a Me = reqüênca smples da classe medana h = ampltude do ntervalo de classes Exemplo 9. Estatura (cm) F Da equação acma, temos: P = Me L = F = a Me = h = Substtundo em M d PMe F a.h L temos: Me Exercícos de aplcação - Medana Calcular a medana para todos os exercícos lstados na secção (Méda). vagner.neckel@socesc.org.br 27

28 3.1.3 Moda Moda - M o, para dados não-agrupados A moda é o valor que ocorre com maor reqüênca num conjunto de dados. Exemplo 10. Calcular a moda dos conjuntos de valores abaxo: 10, 10, 8, 6, 10 3, 5, 6, 7, 9 Vantagens/ desvantagens da utlzação da moda: Vantagens Desvantagens Fácl de calcular Pode estar aastada do centro dos valores Não é aetada pelos valores extremos Não utlza todos os valores da varável É um valor únco Dícl de nclur em equações matemátcas A varável pode ter mas de uma moda Algumas varáves não tem moda A moda é utlzada quando: Desejamos obter uma medda rápda e aproxmada de posção; A medda de posção deve ser o valor mas típco da dstrbução. Exemplo de aplcação: Na dstrbução do consumo de um mesmo produto com derentes apresentações a moda mostra a apresentação mas consumda. Moda em dstrbuções de requênca a) Dados agrupados sem ntervalos de classe Exemplo 11. Número de mennas b) Dados agrupados com ntervalos de classe A classe que apresenta maor reqüênca é denomnada classe modal. Calcula-se através da equação: L LS Mo 2 onde: L = lmte neror da classe modal L = lmte superor da classe modal S vagner.neckel@socesc.org.br 28

29 Exemplo 12. Estatura (cm) Exercícos de aplcação Moda Calcular a moda para todos os exercícos lstados na secção (Méda). Em resumo: não- Dados agrupados Méda Medana Moda x n ímpar Valor que ocorre x valor da varável com maor n stuada na posção requênca. n 1 2 n par dvdr por 2 a soma dos valores stuados nas n posções e n Dados agrupados sem ntervalo de classe x x Determnam-se reqüêncas acumuladas; Calcula-se ; 2 as Marca-se a classe medana; Vercar valor da varável correspondente. Identcar a classe modal; Vercar a coluna da varável correspondente. Dados agrupados com ntervalo de classe x x Determnam-se as reqüêncas acumuladas; Calculase PMe ; n 2 2 Marca-se a classe medana e, em seguda, emprega-se a Identcar a classe modal; L LS Mo 2 vagner.neckel@socesc.org.br 29

30 segunte equação: M d L PMe F a.h Me 3.2 Meddas separatrzes Quarts Denomnamos quarts os valores de uma sére que a dvdem em quatro partes guas. Há, portanto, três quarts: O prmero quartl (Q 1 ) valor stuado de tal modo na sére que uma quarta parte (25%) dos dados é menor do que ele e a três partes restantes (75%) são maores. O segundo quartl (Q 2 ) valor stuado de tal modo na sére que metade (50%) dos dados é menor do que ele e a metade restante (50%) é maor. O segundo quartl concde com a medana. O tercero quartl (Q 3 ) valor stuado de tal modo na sére que as três quartas partes (75%) dos dados é menor do que ele e a quarta parte restante (25%) é maor. Quando os dados são agrupados, para determnar os quarts usamos a mesma técnca do cálculo da medana, bastando substtur, na órmula da medana, n n.r PMe, por PQr (onde r é o número de ordem do quartl) Assm, temos: P Q1 n.1 4 Q L 1 PQ1 F a.h Q1 P Q2 n.2 4 Q L 2 PQ2 F a.h Q2 P Q3 n.3 4 Q L 3 PQ3 F a.h Q3 Exemplo 13: Dada à dstrbução abaxo, calcular Q 1, Q 2 e Q 3. Classes Total 56 vagner.neckel@socesc.org.br 30

31 Percents Denomnamos percents os noventa e nove valores que separam uma sére em 100 partes guas. Para determnarmos os percents usamos a mesma técnca do cálculo da n n.r medana, bastando substtur, na órmula da medana, PMe, por PPr (onde r é o número de ordem do percentl). Assm, para o 27 o percentl temos: P P27 n P L 27 PP27 F a.h P27 Exemplo 14: Calcular o 55º percentl da dstrbução do exemplo 13. Exercícos de aplcação méda, medana, moda; quarts e percents 1. Calcule a méda, a medana, a moda, o 3º quartl e o 30º percentl para as seguntes dstrbuções: a) As companhas de seguro pesqusam contnuamente as dades na morte e as causas de morte. Os dados se baseam no estudo levado a eeto pela revsta Tme sobre as pessoas que morreram vtmadas por armas de ogo durante uma semana. Idade na morte Frequênca b) Aluguel (x R$ 100) Quantdade de casas Das dstrbuções abaxo calcule: a. méda, medana e moda b. prmero e tercero quarts c. 10 o, 23 o e 90 o percents Elaborar o hstograma de requênca smples e localzar as meddas calculadas vagner.neckel@socesc.org.br 31

32 a) NOTAS b) Estaturas c) Saláros (R$) Os seguntes dados reerem-se ao saláro (em R$) de 40 unconáros da empresa GIS a. Qual a varável de estudo? Classque a varável. b. Se você tvesse de obter dados reerentes ao saláro dos unconáros de sua empresa qual a técnca de amostragem você utlzara. Justque sua escolha. c. Elabore uma dstrbução de reqüênca smples (dados agrupados com ntervalo de classe) e seu respectvo hstograma. d. Determne para a dstrbução obtda: lmte neror da 2ª classe, reqüênca relatva da 3ª classe e lmte superor da 4ª classe. e. Calcule para a dstrbução obtda: méda, medana e moda.. Identque no hstograma de reqüênca a localzação dos valores obtdos de méda, medana e moda. g. Interprete os resultados obtdos. vagner.neckel@socesc.org.br 32

33 4. MEDIDAS DE DISPERSÃO As meddas de dspersão ou varabldade ndcam o quanto os valores encontrados numa pesqusa estão próxmos ou aastados em relação a méda. Destacam o grau de homogenedade ou heterogenedade que exste entre os valores que compõem o conjunto. São meddas que servem para vercar com que conança as meddas de tendênca central resumem as normações ornecdas pelos dados obtdos em uma pesqusa. Exemplcando,... duas pessoas se submeteram a um teste... stuação a) as duas pessoas traram nota 6,0 stuação b) uma pessoa trou 2,0 e a outra 10,0 Nos dos casos a méda é gual a 6,0. Todava, em a elas se concentraram sobre a méda; em b elas se dspersaram em torno da mesma. Isto quer dzer que a méda é muto mas sgncatva em a do que em b. Anda, em a exste uma homogenedade nos conhecmentos adqurdos; em b heterogenedade. As prncpas meddas de dspersão são: ampltude total varânca e desvo padrão 4.1 Ampltude total É a derença entre o maor e o menor valor de uma sére de dados. Exemplo 1: Calcule o ntervalo total dos seguntes dados 4, 6, 8, 9, 12, 17, 25. O ntervalo ou ampltude total é uma medda ácl de calcular. Todava, é nstável. Leva em conta somente os valores externos, não sendo aetada pela dspersão dos valores nternos. É apenas uma ndcação aproxmada da dspersão. 4.2 Varânca e desvo padrão Como vmos, a ampltude total é nstável, por se dexar nluencar pelos valores extremos, que são, na sua maora, devdos ao acaso. A varânca e o desvo padrão são meddas que ogem a esta alha, pos levam em consderação a totaldade dos valores da varável em estudo, o que az delas índces de varabldade bastante estáves e. por sso mesmo, os mas geralmente empregados. A varânca basea-se nos desvos em torno da méda artmétca, porém determnando a méda artmétca dos quadrados dos desvos. Assm, representado a varânca por s 2, temos: s 2 2 x x x x n 2 Nota: Quando nosso nteresse não se restrnge à descrção dos dados mas, partndo da amostra, vsamos trar nerêncas váldas para a respectva população, convém eetuar uma modcação, que consste em usar o dvsor n-1 em lugar de n. vagner.neckel@socesc.org.br 33

34 A varânca é uma medda que tem pouca mportânca como estatístca descrtva, uma vez que sua undade de medda é o quadrado da undade de medda dos valores da varável. Todava, é extremamente mportante na nerênca estatístca e na combnação de amostras. Por sso mesmo, magnou-se uma nova medda que tem utldade e nterpretação prátcas, denomnada desvo padrão, denda como a raz quadrada postva da varânca. Assm, se a varânca de um determnado conjunto de valores or gual a 81, o desvo padrão será gual a 9. s n x x 2 Propredades da varânca e do desvo padrão - A varânca e o desvo padrão são sempre números postvos. - Se os valores de uma varável orem guas a varânca e o desvo padrão serão gual a zero. - A varânca e o desvo padrão são aetados pelos valores extremos. Para ns prátcos, a órmula do desvo padrão pode ser reorganzada da segunte orma: s n x 2 2 x n Dados não-agrupados Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores da varável x: 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70. X x s=? Exemplos: 1. Calcule o desvo padrão das vendas dáras (período de uma semana): $8100, $9000, $4580, $5600, $7680, $4800, $ vagner.neckel@socesc.org.br 34

35 2. Calcule a varânca e o desvo padrão para o segunte conjunto de dados: 83, 92, 100, 57, 85, 88, 84, 82, 94, 93, 91, 95. Dados agrupados a) Sem ntervalo de classe Neste caso temos a presença de requêncas e devemos levá-las em consderação: s n x 2 2 x n x x 2 x s =? b) Com ntervalo de classe 2 Pm Pm s 2 Estaturas P m P m 2 P m Exercícos de aplcação Meddas de dspersão 1. Calcule o desvo padrão dos seguntes conjuntos de dados: 20, 14, 15, 19, 21, 22, , 22.5, 13.3, 16.8, 15.4, 14.2 vagner.neckel@socesc.org.br 35

36 2. Um departamento de produção usa um procedmento de amostragem para testar a qualdade de tens recém produzdos. O departamento emprega a segunte regra de decsão em uma estação de nspeção: se uma amostra de 14 tem uma varânca de mas que 0,005 a lnha de produção precsa ser paralsada para reparos. Suponha que os seguntes dados tenham sdo coletados: 3,43 3,45 3,43 3,48 3,52 3,50 3,39 3,48 3,41 3,38 3,49 3,45 3,51 3,51 A lnha de produção devera ser paralsada? Por quê? 3. Os dados abaxo se reerem ao número de das exgdo para preencher peddos de compra para duas empresas dstntas A e B: Empresa A 11, 10, 9, 10, 11, 11, 10, 11, 10, 10 Empresa B 8, 10, 13, 7, 10, 11, 10, 7, 15, 12 Com base nos valores de desvo-padrão calculados determne qual das empresas ornece tempos de entrega mas constantes e conáves. 4. Dada a dstrbução relatva a 100 lançamentos de 5 moedas smultaneamente, calcule o desvo padrão. Número de caras Frequênca Total Em um levantamento entre os assnantes da revsta Fortune a segunte pergunta o realzada: Quantas das últmas quatro edções você leu ou olheou?. A segunte dstrbução de requênca sntetza 500 respostas. Edção lda Frequênca Total 500 Qual é o número médo de edções ldas por um assnante da Fortune? Qual é o desvo padrão do número de edções ldas? 6. Calcule o desvo padrão da dstrbução: Classes Frequênca Total 60 vagner.neckel@socesc.org.br 36