Ampliando Horizontes Geométricos e Encolhendo Problemas: Homotetias e Composição de Homotetias

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1 Amplando Horzontes Geométrcos e Encolhendo Problemas: Homotetas e Composção de Homotetas. Introdução ª Semana Olímpca Maceó, AL Prof. Dav Lopes Nível 3 Sem dúvda, você já deve ter vsto uma fgura amplada, quando fo assstr um flme no cnema com a rapazada (o flme orgnal cabe na palma da mão, mas o vemos no famoso telão), ou mesmo uma fgura encolhda, quando olhamos o mapa de uma cdade ou mesmo quando olhamos um globo terrestre de madera (de manera nversa, vemos a cdade ou o mundo na palma da nossa mão). Claramente, tas esquemas não nos dão o tamanho real das cosas, mas dá a dea exata das proporções de meddas e nos dá também a mesma nclnação que a fgura real. E como descreveremos essa transformação de manera matemátca? É aí que entra o conceto de homoteta! Essa transformação, apesar de ser ntutva de se entender, nos dará resultados extremamente complexos, e é sso que estudaremos agora neste materal!. Defnndo Homoteta Defnção de Homoteta: Dado um ponto O e um número real k 0, defnmos a homoteta de centro O e razão k, como sendo a transformação que leva um ponto A ao ponto A, de modo que: OA = k. OA Notação para a homoteta de centro O e razão k: H(O, k); A = H(A); Note que podemos ter dos tpos de homotetas: a homoteta dreta (k > 0, veja a prmera fgura, abaxo) e a homoteta nversa (k < 0, veja a segunda fgura, abaxo)

2 3. Propredades da Homoteta As propredades báscas da homoteta seguem dretamente da defnção vetoral. Veja só: Propredade (Colneardade): Se H(O, k) leva A em A, então O, A, A são colneares. Além dsso, se H(A) = A, H(B) = B, H(C) = C, e A, B, C são colneares, então A, B, C são colneares. Propredade (Concorrênca): Se H(O, k) leva A em A, B em B e C em C, então AA, BB e CC concorrem em O. Propredade 3 (Paralelsmo): Se H(O, k) leva A em A e B em B, então AA BB. Propredade 4 (Semelhança): Se H(O, k) leva A em A, B em B e C em C, então temos que os trângulos ABC e A B C são semelhantes e a razão de semelhança é k. Todos esses fatos são extremamente smples de se provar, pos eles seguem dretamente da defnção vetoral. Fca como exercíco para o letor prová-los. O nosso prmero teorema sobre homotetas é: Teorema : Dos trângulos com lados homólogos paralelos são homotétcos. Demonstração: Sejam ABC e A B C os dos trângulos com lados homólogos paralelos (AB A B, BC B C e CA C A ). Seja O a nterseção de AA e BB. Você já deve estar suspetando qual a homoteta que vamos consderar... Seja k = A B AB. Então, k é a razão de semelhança entre os trângulos A B C e ABC, e também entre os trângulos OA B e OAB. Assm, concluímos que B C = k. BC e OB = k. OB. Como BC B C, então os trângulos OBC e OB C são semelhantes. Então, se tomarmos uma homoteta H(O, k), C é levado em um ponto P sobre a reta B C tal que B P = k. BC = B C. Logo, P = C, donde concluímos que a homoteta H leva ABC em A B C

3 4. Homotetas com Crcunferêncas Um fato bastante smples sobre crcunferêncas é que todas elas são semelhantes. Assm, podemos encontrar uma homoteta que leve uma crcunferênca qualquer em outra, ou seja, dos círculos são sempre homotétcos. Na maora dos casos, eles admtem duas homotetas, uma dreta e uma nversa. No caso de círculos dsjuntos, os centros de homotetas são fáces de encontrar: são as nterseções das tangentes comuns nternas (nversa) e das tangentes comuns externas (dreta). Outro fenômeno nteressante sobre crcunferêncas é o: Teorema : Seja ABC um trângulo e sejam K e L os pontos de tangênca do ncírculo e exncírculo relatvo a A em BC. Então A, L e o ponto K dametralmente oposto a K no ncírculo são colneares. Demonstração: Basta traçar a reta B C paralela a BC que tangenca o ncírculo de ABC em K. ABC e AB C são homotétcos com centro em A. Para termnar, o ncículo de ABC é ex ncírculo de AB C, de modo que os pontos K e L são correspondentes na homoteta e estão, portanto, alnhados com A. Vale a pena lembrar também que, na fgura acma, temos que BK = LC

4 5. Composção de Homotetas Teorema de Monge D Alambert Esse teorema é, de certo modo, uma novdade no mundo olímpco, uma vez que em 008 esse fato fo usado pela prmera vez numa IMO (O problema 6 da IMO 008 fo consderado um dos mas dfíces dos últmos anos: Apenas 53 dos 535 olímpcos que fzeram a prova conseguram pelo menos um ponto e somente 3 estudantes resolveram-no.). Então, há algo de novo a explorarmos sobre homotetas. E que teorema é esse? Teorema 3 (Teorema de Monge - D Alembert): Sejam H (O, k ) e H (O, k ) duas homotetas. Então: Se k k =, então a composção H = H o H é uma translação; Se k k, então a composção H = H o H é uma homoteta de centro O e razão k k, e além dsso, O, O, O são colneares; Demonstração: Vamos analsar prmero o caso em que k k =. Tomemos um exo cartesano em que O = (0,0), O = (0, a), e consderemos um ponto qualquer P 0, onde P = H (P 0 ) e P = H (P ). Então P = H(P 0 ). Como k = k, então P 0 P O O, de modo que os trângulos O P O e P 0 P P são semelhantes. Assm: P 0 O = P 0P O P O P 0 = O P O P = k = k k P 0 = ( k k ). O O E como O é fxo, então P 0 é sempre fxo, o que ndca que P é uma translação de P 0, como queríamos provar. Resta, pos, demonstrar o teorema para o caso em que k k.

5 Vamos achar as coordenadas de P = (x, x ) e de P = (x, y ) em função de a e de P 0 = (x 0, y 0 ). ) Como P = H (P 0 ), então: O P = k. O P 0 (x 0, y 0) = (k (x 0 0), k (y 0 0)) (x, y ) = (k x 0, k y 0 ) () ) Como P = H (P ), então: O P = k. O P 0 (x 0, y a) = (k (x 0), k (y a)) () (x, y a) = (k k x 0, k k y 0 ak ) (x, y ) = (k k x 0, k k y 0 + a( k )) () ) Afrmamos que o ponto O = (0, a(k ) k k ) é tal que OP = k. OP 0, para todo P 0, onde k = k k. Se demonstrarmos esse fato, temos que H = H o H é uma homoteta de centro O e razão k, e a colneardade dos centros de homotetas segue do fato de que todos os três centros estão sobre o exo y. Então vamos às contas! OP = (x 0, y a(k ) ) () OP k k = (k k x 0, k k y 0 + a( k ) a(k ) ) = (k k k k x 0, k k y 0 + k k ( a( k ) )) OP k k = k k (x 0, y 0 + a( k ) ) ( ) k k OP 0 = (x 0 0, y 0 a(k ) ) OP k k 0 = (x 0, y 0 + a( k ) ) ( ) k k De ( ) e ( ), temos que OP = k. OP 0, como queríamos provar Podemos também demonstrar o teorema de Monge usando geometra sntétca. Veja:

6 ª Demonstração: Na fgura acma, temos que B = H (B 0 ), B = H (B ), A = H (A 0 ) e A = H (A ). Sejam {O } = B 0 A 0, {O } = B A, {O} = B 0 A 0. Claramente, devdo às homotetas H e H, A 0 B 0 A B A B. Portanto, pra provarmos que H é uma homoteta, vamos provar prmero que O, O, O são colneares. Imagnemos que estejamos no espaço, e lá temos as três retas paralelas A 0 B 0, A B, A B. Elas formam um prsma nfnto. Agora, podemos consderar os trângulos A 0 A A e B 0 B B como sendo nterseções de dos planos α e β com o nosso prsma. Claramente, α e β se ntersectam numa reta r. Então, os pontos O, O, O estão todos sobre a reta r. Daí, projetarmos nossa fgura espacal no plano, obtemos exatamente a fgura acma, e como uma reta se projeta numa reta, então os três pontos O, O, O são colneares. Claramente, H é uma homoteta, pos A 0 é levado em A, B 0 é levado em B e A 0 B 0 A B, para quasquer pontos A 0 e B 0 6. Alguns Exemplos Exemplo (Lema da Estrela da Morte): Seja Ω uma crcunferênca, e sejam A e B dos pontos sobre Ω. Seja ω uma crcunferênca varável, que é tangente nternamente a Ω em P, tangente ao segmento AB em Q e que vara sobre um dos arcos AB de Ω. Prove que, ao vararmos ω, a reta PQ passa por um ponto fxo. Solução: Sejam r e R os raos de ω e Ω, respectvamente. A homoteta de razão postva que leva ω em Ω tem centro P, tal que P O R = ( ) P O r. Como PO R = ( ) PO, temos que P = P. Em geral, o centro da r

7 homoteta que leva uma crcunferênca em outra tangente a ela é o ponto é o própro ponto de tangênca (lembre-se desse fato, pos você va usá-lo váras vezes no futuro!) Assm, a magem homotétca da tangente a ω por Q (que é AB) é uma tangente a Ω, paralela a AB, ou seja, é a tangente que passa pelo ponto médo M do arco AB, como na fgura. Assm, PQ passa por M, que é um ponto fxo O próxmo exemplo apareceu em nossa olmpíada naconal, e é um forte exemplo de como o tratamento vetoral da homoteta pode gerar belos resultados e soluções. Exemplo : No trângulo ABC, seja r A a reta que passa pelo ponto médo de BC e é perpendcular à bssetrz nterna de BAC. Defna r B e r C da mesma forma. Sejam H e I o ortocentro e o ncentro de ABC, respectvamente. Suponha que as três retas r A, r B, r C defnam um trângulo. Prove que o crcuncentro desse trângulo é o ponto médo de HI. Solução: Sejam M A, M B, M C os pontos médos de BC, CA, AB, respectvamente, I A, I B, I C são os excentros relatvos aos vértces A, B, C, respectvamente. Sejam anda O e G o crcuncentro e o barcentro de ABC, respectvamente. Consdere a homoteta H, de centro G e razão. Tal homoteta leva o trângulo M A M B M C no trângulo ABC (veja o exercíco ). Dessa forma, como r A AI e r A passa por M A, temos que H(r A ) é uma reta paralela a r A (o que mplca H(r A ) AI) passando por H(M A ) = A, sto é, H(r A ) é a perpendcular, por A, à bssetrz nterna de A. Isso sgnfca que H(r A ) é a bssetrz externa relatva ao vértce A. Analogamente, H(r B ) e H(r C ) são as bssetrzes externas relatvas a B e C, respectvamente. Logo, o trângulo formado por r A, r B, r C é levado, por H, no trângulo formado pelas bssetrzes externas de A, B, C, ou seja, o trângulo I A I B I C (estamos usando o fato de que duas bssetrzes externas e a bssetrz nterna relatva ao tercero vértce concorrem no excentro relatvo ao tercero vértce). Portanto, se O é o crcuncentro do trângulo formado por r A, r B, r C e O = H(O ) é o crcuncentro de I A I B I C, temos que, da defnção vetoral da homoteta H (e é aí que os vetores começam a fazer a mágca!): GO = GO O G = (O G) O 3G O = ( )

8 Para termnar o problema, precsamos calcular, vetoralmente, o valor de 3G O em função de H e I. Com efeto, note que ABC é o ortocentro de I A I B I C (pos as bssetrzes nterna e externa são perpendculares), donde I é o ortocentro de I A I B I C e o crcuncírculo O de ABC é o centro do círculo de Euler de I A I B I C (veja o exercíco ). Como O é o crcuncírculo de I A I B I C, temos: O = O + I O = O I ( ) Por fm, sabemos que (Reta de Euler) H, G, O são colneares e: HG = GO G H = (O G) 3G = H + O ( ) Fazendo ( ) ( ), temos 3G O = H + I, donde O = H+I, donde o crcuncentro em questão é o ponto médo de HI No exemplo abaxo, veremos como aplcar o Teorema de Monge D Alambert para provar que uma determnada reta passa por um certo ponto. O segredo para se fazer sso é dentfcar tal ponto, que nesse tpo de problema costuma ser o centro de uma homoteta. Exemplo 3: Seja ABC um trângulo acutângulo de crcuncentro O e sejam D, E, F os pés das alturas sobre os lados BC, CA, AB, respectvamente. Seja ω o crcuncírculo de ABC, seja ω o crcuncírculo de DEF e seja P um ponto varável sobre ω. Consdere uma crcunferênca tangente nternamente a ω por P e tangente externamente a ω em Q. Prove que a reta PQ passa por um ponto fxo sobre a reta HO. Solução: Prmero, seja N o crcuncentro do trângulo DEF. Sabemos que ω é o círculo dos nove pontos do trângulo ABC, donde H,N,O são colneares. Seja G o centro da homoteta de razão negatva que leva ω em ω. Pode-se provar que G, na verdade, é o barcentro do trângulo ABC: basta ver que o rao de ω é a metade do rao de ω, e que G está entre N e O, donde GO = NG, e como HN = NO, teremos HG = GO, donde G é o barcentro, pela reta de Euler.

9 Se ω é a crcunferênca tangente nternamente a ω em P e tangente externamente a ω em Q, temos que: Q é o centro da homoteta de razão negatva que leva ω em ω ; P é o centro da homoteta de razão postva que leva ω em ω Daí, pelo teorema de Monge-D Alambert, o centro da homoteta de razão negatva que leva ω em ω está na reta PQ. Como G é esse centro de homoteta, H, G, O são colneares e G é um ponto fxo (pos é o barcentro do trângulo), segue o resultado Por fm, o últmo exemplo é mas uma aplcação de Monge D Alambert. Veremos que uma manera bem efetva de provar que três retas concorrem é provar que tas retas passam por um ponto comum e que ao mesmo tempo é o centro de uma determnada homoteta. Exemplo 4 (Japão/007): Seja Γ o crcuncírculo do trângulo ABC. Denote Γ A a crcunferênca tangente a AB, AC e nternamente a Γ em P A. Defna P B e P C de modo análogo. Mostre que AP A, BP B, CP C são concorrentes. Solução: Seja ω o ncírculo de ABC e P o centro da homoteta de razão postva, que leva ω em Γ. Agora, veja que: A é o centro da homoteta de razão postva (e maor que ) que leva ω em Γ A ; P A é o centro da homoteta de razão postva (e maor que ) que leva Γ A em Γ. Como o produto dessas razões de homotetas é maor que (portanto dferente de ), temos que a composção de tas homotetas, que é a homoteta de razão postva que leva ω em Γ, é uma homoteta cujo centro P está em AP A. Logo, AP A passa por P. Analogamente, BP B e CP C passam por P, donde AP A, BP B e CP C concorrem em P Agora estamos prontos para encarar a lsta de exercícos abaxo, recheada de questões homotétcas para amplar nossos horzontes geométrcos. Dvrta-se! 7. Exercícos 0. Prove que as medanas de um trângulo ABC são concorrentes num ponto que as dvde na razão (tal ponto é o barcentro de ABC). 0. Prove que o crcuncentro O, o barcentro G e o ortocentro H de um ABC são colneares. Em seguda, prove que HG = GO. Depos, prove que o centro do Círculo de Euler (círculo que passa pelos pontos médos e pelos pés das alturas de um trângulo) é o ponto médo de OH. 03. (a) (Ponto de Nagel) Seja ABC um trângulo. O ex-círculo de ABC relatvo a A tangenca BC em D. Defna E em AC e F em AB de manera análoga. Prove que AD, BE, CF são concorrentes em um ponto N, chamado ponto de Nagel de ABC. (b) Seja G o barcentro de ABC e I o encentro de ABC. Mostre que I, G, N estão, nessa ordem, em uma reta (chamada de reta de Nagel) e GN = IG. 04. Quatro círculos famlares no plano de um trângulo escaleno são o ncírculo, o crcuncírculo, o círculo de Euler e o círculo de Speker (É o círculo que passa pelos pontos médos dos lados de um trângulo). Sejam I, O, E, S seus respectvos centros. Prove que as retas IO e ES são paralelas. 05. Dos círculos são tangentes nternamente no ponto A. Uma secante ntersecta os círculos em M, N, P e Q (nessa ordem). Prove que MAP = NAQ.

10 06. (Trenamento Brasl/999) Sejam I e O o ncentro e o crcuncentro do trângulo ABC. Sejam A, B, C os pontos de tangênca do ncírculo I com os lados BC, CA, AB. Seja H o ortocentro de ABC. Prove que I, O e H são colneares. 07. Seja F o ponto médo da altura CH relatva ao lado AB de ponto médo E do trângulo ABC. Q e P são pontos sobre os lados AC e BC tas que QP//AB. R é a projeção de Q sobre AB. S é a nterseção de EF e PR. Prove: S é o ponto médo de PR. 08. (IMO/98) Três círculos de rao t (guas) passam por um ponto T, são nternos a um trângulo ABC e tangentes a dos desses lados (cada um). Prove que t = R+r (R é o Rr crcunrao de ABC e r é o nrao de ABC) e que T pertence ao segmento unndo os centros do crcuncírculo e do ncírculo do trângulo ABC. 09. (IMO/98) Seja A A A 3 um trângulo escaleno com lados a, a e a 3 ( a é o lado oposto a A ). Seja M o ponto médo do lado a e T o ponto onde o ncírculo do trângulo toca o lado a, para =,, 3. Seja S o smétrco de T em relação à bssetrz nterna do ângulo A. Prove que as retas MS, MS e MSsão 3 3 concorrentes. 0. (IMO/983) Seja A um dos dos pontos de nterseção dos círculos C e C, de centros O e O, respectvamente. Uma das tangentes comuns aos círculos toca C em P e C em P, e a outra toca C em Q e C em Q. Seja M o ponto médo de PQ e M o ponto médo de PQ. Prove que O AO M AM.. (Teste IMO - Brasl/008) As dagonas do trapézo ABCD cortam-se no ponto P. O ponto Q está na regão determnada pelas retas paralelas BC e AD tal que AQD CQB e a reta CD corta o segmento PQ. Prove que BQP DAQ.. (OBM/0): Dado um trângulo ABC, o exncentro relatvo ao vértce A é o ponto de nterseção das bssetrzes externas de B e C. Sejam I A, I B e I C os exncentros do trângulo escaleno ABC relatvos a A, B e C, respectvamente, e X, Y e Z os pontos médos de I B I C, I C I A e I A I B, respectvamente. O ncírculo do trângulo ABC toca os lados BC, CA e AB nos pontos D, E e F, respectvamente. Prove que as retas DX, EY e FZ têm um ponto em comum pertencente à reta IO, sendo I e O o ncentro e o crcuncentro do trângulo ABC, respectvamente. 3. (IMO/008) Seja ABCD um quadrlátero convexo cujos lados BA e BC têm comprmentos dferentes. Sejam w e w as crcunferêncas nscrtas nos trângulos ABC e ADC, respectvamente. Suponhamos que exste um crcunferênca w tangente à reta BA de forma que A está entre B e o ponto de tangênca, tangente à reta BC de forma que C está entre B e o ponto de tangênca, e que também seja tangente às retas AD e CD. Prove que as tangentes comuns exterores a w e w se ntersectam sobre w. 4. (Banco IMO/007) O ponto P pertence ao lado AB do quadrlátero convexo ABCD. Seja w o ncírculo do trângulo DPD e I o seu ncentro. Suponha que w é tangente aos ncírculos dos trângulos APD e BPC em K e L, respectvamente. As retas AC e BD se encontram em E e as retas AK e BL se encontram em F. Prove que os pontos E, I e F são colneares. 5. (Romêna) Seja ABC um trângulo e wa, wb, wccírculos dentro de ABC tangentes exterormente dos a dos, tas que w a é tangente a AB e AC, w b é tangente a AB e BC e wc é tangente a AC e BC. Sejam D o ponto de tangênca entre w b e w c, E o ponto de tangênca entre w a e wc e F o ponto de tangênca entre w a e w b. Prove que as retas AD, BE e CF têm um ponto em comum. 6. Seja uma crcunferênca e A, B e C pontos em seu nteror. Construa as seguntes três crcunferêncas: tangente a, AB e AC; tangente a, AB e BC; 3 tangente a, AC e BC. Sendo C, C e C 3 os respectvos pontos de tangênca de,, 3 com, prove que AC, BCe CC 3 passam por um mesmo ponto.

11 7. Sejam w e o ncírculo e o crcuncírculo do trângulo ABC. w toca BC, CA e AB em D, E e F respectvamente. Os três círculos wa, w b e wc tangencam w em D, E e F, respectvamente, e em K, L e M, respectvamente. (a) Prove que DK, EL e FM têm um ponto P em comum. (b) Prove que o ortocentro do trângulo DEF pertence à reta OP. 8. (IMO/99) No plano, seja C uma crcunferênca, l uma reta tangente à crcunferênca C, e M um ponto sobre l. Determne o lugar geométrco de todos os pontos P com a segunte propredade: exstem dos pontos Q, R em l, tas que M é o ponto médo de QR e C é a crcunferênca nscrta do trângulo PQR. 9. (USAMO/999) Seja ABCD um trapézo sósceles, com AB CD.A crcunferênca nscrta ω do trângulo BCD tangenca CD em E. Seja F um ponto na bssetrz nterna de DAC tal que EF CD. A crcunferênca crcunscrta do trângulo ACF ntersecta a reta CD em C e G. Prove que o trângulo AFG é sósceles. 0. (Banco IMO/005) Seja ABC um trângulo de ncentro I e tal que AB + BC = 3AC. O ncírculo de ABC tangenca AB e BC em D e E, respectvamente. Sejam K e L os smétrcos de D e E com respeto a I. Prove que o quadrlátero ACKL é cíclco.. Dos círculos fxados são tangentes nternamente em A. Seja PQ uma corda varável do círculo maor que tangenca o círculo menor. Prove que o lugar geométrco dos ncentros dos trângulos APQ é um círculo que tangenca os dos círculos ncas em A.. (Roplatense/05) Seja ABC um trângulo acutângulo e escaleno, de ncentro I, crcuncentro O e nrao r. Seja ω a crcunferênca nscrta do trângulo ABC. A é o ponto de ω tal que AIA O é um trapézo convexo de bases AO e IA. Seja ω a crcunferênca de rao r que passa por A, é tangente à reta AB e é dferente de ω. Seja ω a crcunferênca de rao r que passa por A, é tangente à reta AC e é dferente de ω. As crcunferêncas ω e ω se cortam nos pontos A e A. Defna os pontos B e C de manera análoga. Mostre que as retas AA, BB e CC são concorrentes. 3. (OBM/04) Seja ABC um trângulo com encentro I e ncírculo ω. A crcunferênca ω A é tangente externamente a ω e tangente aos lados AB e AC em A e A, respectvamente. Seja r A a reta A A. Defna r B e r C de manera smlar. As retas r A, r B, r C defnem um trângulo XYZ. Prove que o encentro de XYZ o crcuncentro de XYZ e I são colneares. 4. (Teste IMO EUA/0) Num trângulo acutângulo e escaleno ABC, os pontos D, E, F são os pés das alturas nos lados BC, CA, AB, respectvamente, e H é o ortocentro de ABC. Os pontos P e Q estão no segmento EF, de modo que AP EFe HQ EF. As retas DP e QH se ntersectam em R. Calcule HQ/HR. 5. (USAMO/00) Seja ABC um trângulo e seja ω seu ncírculo. Denote por D e E os pontos onde ω é tangente aos lados BC e AC, respectvamente. Denote por D e E os pontos nos lados BC e AC, respectvamente, tas que CD = BD e CE = AE, e denote por P o ponto de nterseção dos segmentos AD e BE. ω ntersecta o segmento AD em dos pontos, sendo Q o mas próxmo do vértce A. Prove que AQ = D P. 6. (Torneo das Cdades/003) O trângulo ABC tem ortocentro H, ncentro I e crcuncentro O. Seja K o ponto onde o ncírculo toca BC. Se IO BC, prove que AO é paralelo a HK. 7. (Teste IMO Romêna/03) Os vértces de dos trângulos acutângulo estão numa mesma crcunferênca. O círculo de Euler de um dos trângulos passa pelos pontos médos de dos lados do outro trângulo. Prove que os trângulos possuem a mesma reta de Euler. 8. (Banco IMO/0) Seja ABC um trângulo com ncentro I e crcuncírculo ω. Sejam D, E os segundos pontos de nterseção de ω com AI e BI, respectvamente. A corda DE ntersecta AC em F, e BC em G. Seja P o ponto de nterseção da reta por F e paralela a AD com a reta por G e paralela a BE. Suponha que as tangentes a ω por A e B se ntersectam em K. Prove que as retas AE, BD, KP são paralelas ou concorrentes. 9. (Banco IMO/006) Em um trângulo ABC, sejam M a, M b, M c, respectvamente, os pontos médos de BC, CA, AB. Sejam T a, T b, T c, respectvamente, os pontos médos dos arcos

12 BC, CA, AB do crcuncírculo de ABCque não contém os vértces opostos de ABC. Para {a, b, c}, seja ω o círculo tendo M T como dâmetro. Seja anda p a tangente externa comum a ω j, ω k ({, j, k] = {a, b, c}), tal que ω está em um lado e ω j, ω k em outro lado em relação a p. Prove que as retas p a, p b, p c formam um trângulo semelhante a ABC e determne a razão de semelhança. 30. (Teste IMO Chna/04) Seja ABC um trângulo de crcuncentro O. H A é a projeção de A em BC. A reta AO ntersecta o crcuncírculo de BOC novamente em A. As projeções de A em AB e AC são D e E, respectvamente, e O A é o crcuncentro do trângulo DH A E. Defna H B, O B, H C, O C de manera smlar. Prove que H A O A, H B O B e H C O C são concorrentes. 3. (RMM/06) Um hexágono convexo A B A B A 3 B 3 está nscrto em uma crcunferênca Ω de rao R. As dagonas A B, A B 3, A 3 B são concorrentes em X. Para =,,3, seja ω a crcunferênca tangente a XA, XB e tangente nternamente ao arco A B de Ω que não contém os outros vértces do hexágono; seja r o rao de ω. (a) Prove que R r + r + r 3 (b) Se R = r + r + r 3, prove que os ses pontos de tangênca das crcunferêncas ω com as dagonas A B, A B 3, A 3 B são concíclcos. 3. (Teste IMO Irã/009) No trângulo ABC, de ncentro I, sejam D, E, F os pontos de tangênca do ncírculo de ABC com BC, CA, AB, respectvamente. Seja M o pé da perpendcular de D para EF. P é um ponto sobre DM tal que DP = MP. Se H é o ortocentro de BIC, prove que PH bssecta EF. 33. (RMM/00) Seja A A A 3 A 4 um quadrlátero sem pares de lados paralelos. Para cada =,,3,4, defna ω como sendo o círculo tangencando o quadrlátero externamente, e que é tangente às retas A A, A A + e A + A + (índces são consderados módulo 4). Seja T o ponto de tangênca de ω com o lado A A +. Prove que as retas A A, A 3 A 4, T T 4 são concorrentes se, e somente se, as retas A A 3, A 4 A, T T 3 são concorrentes. 34. (RMM/0) Seja ABC um trângulo de encentro I e crcuncentro O. Seja ω A a crcunferênca passando por B e C, tangente ao ncírculo de ABC; defna ω B e ω C de manera análoga. As crcunferêncas ω B e ω C se ntersecta em A A; defna B e C de manera análoga. Prove que AA, BB, CC são concorrentes em um ponto na reta IO. 35. (OBM/07) Um quadrlátero ABCD tem círculo nscrto ω e é tal que as semrretas AB e DC se cortam no ponto P e as semrretas AD e BC se cortam no ponto Q. As retas AC e PQ se cortam no ponto R. Seja T o ponto de ω mas próxmo da reta PQ. Prove que a reta RT passa pelo ncentro do trângulo PQC.