Lista 11. Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados das seções 7.2 (pág. 311) e 7.3 (pág. 329).

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1 MA13 Exercícios das Unidades 17 e Lista 11 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados das seções 7.2 (pág. 311) e 7.3 (pág. 329). 1) Sejam dados um ponto A e um plano α com A α. Prove que existe uma única reta que passa por A e é perpendicular a α. 2) Se r e s são retas perpendiculares a um plano α prove que r e s são paralelas. 3) No espaço, sejam dados plano α e dois pontos A e B não pertencentes a α e situados em semiespaços distintos em relação a α. Prove que A e B equidistam de α se, e só se, o ponto médio do segmento AB pertence a α. 4) São dados quatro pontos não coplanares do espaço. Quantos são os planos que equidistam desses quatro pontos? 5) Dado um círculo Γ de centro O prove que o LG dos pontos do espaço que equidistam de todos os pontos de Γ é sua reta medial. 6) Sejam dados no espaço um círculo Γ e um ponto A não pertencente ao plano que contém Γ. Prove que existe uma única esfera que contém Γ e passa por A. 7) Sejam Γ 1 e Γ 2 dois círculos do espaço que não estão no mesmo plano e que possuem dois pontos em comum, A e B. Prove que existe uma esfera contendo Γ 1 e Γ 2. Problemas suplementares 8) É verdade que duas retas distintas ortogonais a uma terceira são paralelas entre si? 9) Desenhe um cubo. Que poliedro tem por vértices os centros das faces do cubo?

2 10) Sejam VA, VB e VC segmentos mutuamente perpendiculares. Mostre que a projeção de V sobre o plano ABC é o ortocentro do triângulo ABC. Sugestão: Seja H a projeção de V sobre o plano ABC. A reta AH encontra BC em D. Mostre que AD é altura do triângulo ABC, ou seja, mostre que AD é perpendicular a BC. 11) O triângulo ABC, retângulo em A, está contido em um plano α. Sobre a perpendicular a α traçada por C traçamos, por sua vez, as perpendiculares CE e CF às retas AD e BD, respectivamente. Mostre que: a) AB é perpendicular a AD. b) CE é perpendicular a EF. c) DF é perpendicular a EF. 12) Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são ortogonais. 13) Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três pontos A, B e C, não colineares? 14) A figura abaixo mostra um paralelepípedo retângulo. Sejam, AÔ P=α, B Ô P= β e C Ô P=γ. Mostre que cos 2 α+cos 2 β +cos 2 γ=1. 14) Em um octaedro regular de aresta a calcule: a) a distância entre duas faces opostas. b) o cosseno do ângulo entre duas faces adjacentes. 15) Sejam A e B pontos do espaço. Qual é o lugar geométrico dos pontos do espaço tais que o ângulo APB seja reto? 16) Seja P um ponto exterior a um plano α e Q um ponto de α. Qual é o lugar geométrico dos pés das perpendiculares traçadas de P às retas de α que passam por Q?

3 MA13 Exercícios das Unidades 19 e Lista 12 Geometria, Coleção Profmat, SBM. Problemas selecionados das seções 8.1 (pág. 344) e 8.2 (pág. 353). 1) Seja ABCD um tetraedro regular. a) Prove que as arestas AB e CD são ortogonais. b) Dentre todas as seções paralelas às arestas AB e CD encontre a de maior área. 2) Sejam ABCD um tetraedro qualquer e M, N, P e Q os baricentros das faces BCD, ACD, ABD e ABC, respectivamente. Prove que: a) os segmentos AM, BN, CP e DQ se intersectam em um único ponto (baricentro do tetraedro). b) AG BG = = GM GN CG GP = DG GQ = 3 3) Em uma pirâmide quadrangular regular a altura mede h e a aresta da base mede a. Se α é o plano que passa por dois vértices adjacentes da base e pelo ponto médio da altura α calcule, em função de a e h, a área da seção que determina na pirâmide. 4a 2 2 a + h 9 Resp: 4) Considere um cubo de bases ABCD e EFGH e arestas laterais AE, BF, CG e DH. AXF Tome sobre a face ABCD um ponto X tal que AXE. = AXH o = 90. Calcule o ângulo

4 A B C D 5) Considere um cubo de aresta a e bases ABCD e nomeadas da maneira usual. Se X, Y e Z denotam, respectivamente os pontos médios das arestas C C, faça o que se pede: a) Mostre que o plano (XYZ) passa pelo centro do cubo. b) Calcule, em função de a, a área da seção do cubo pelo plano (XYZ). A D, AB e Problemas suplementares 6) Em um tetraedro, mostre que os segmentos que unem os pontos médios das arestas opostas cortam-se em um único ponto. 7) ABCDEFGH é um paralelepípedo. Estude as possíveis seções produzidas no paralelepípedo por um plano que contém os vértices A e C.

5 8) Em um tetraedro regular de aresta a calcule: a) a distância entre duas arestas opostas. b) o cosseno do ângulo entre duas faces. 9) As moléculas de metano (CH 4 ) tem o formato de um tetraedro regular, com um átomo de hidrogênio em cada vértice, cada um deles ligado ao átomo de carbono no centro do tetraedro. Calcule o ângulo formado por duas dessas ligações. 10) Em uma pirâmide quadrangular regular a altura mede h e a aresta da base mede a. Calcule, em função de a e h, os raios das esferas inscrita e circunscrita.

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